Introduccin a los Procesos de Poisson*Victor M. Prez Abreu C.Departamento de Probabilidad y Estadstica, CIMATDavid Reynoso ValleLicenciatura en Matemticas,DEMAT, Universidad de Guanajuato22 de julio del 2010ndice1. Introduccin 22. Propiedades de la distribucin de Poisson 22.1. Aproximacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Distribucin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Proceso de Conteo 64. Proceso de Poisson Homogneo 65. Algunas variables aleatorias de inters 75.1. Tiempos de llegada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2. Tiempos entre llegadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3. Tiempo de prxima ocurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4. Tiempo desde ltima falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156. Simulacin de un Proceso de Poisson 167. Denicin equivalente 168. Combinacin de Procesos de Poisson 209. Proceso de Poisson compuesto 2010.Proceso de Poisson no homogneo 22*Notas de la Primera Parte del curso impartido durante el Segundo y Tercer Verano deProbabilidad y Estadstica, en julio de 2009 y 2010.11. IntroduccinEn estas notas se compila parte del material que se cubri en el curso deProbabilidad I de las Licenciaturas en Matemticas y en Computacin de laUniversidad de Guanajuato, en el semestre agosto-diciembre del 2008.Estas notas son un complemento al material de la primera parte del Cursode Procesos de Poisson del III Verano de Probabilidad y Estadstica. Contienenmaterial bsico sobre Procesos de Poisson, el cual aparece en la mayora delos textos que tratan este tema. El nfasis en estas notas es en el rigor de lasdeniciones y las demostraciones detalladas de las principales propiedades deestos procesos, usando conceptos y resultados sencillos de probabilidad.Los autores agradecen de antemano los comentarios que los participantespuedan tener. Nuestro objetivo es terminar pronto una Notas de Introduccinal Tema de Procesos de Poisson, dirigidas a alumnos que han tomado un primercurso de probabilidad en licenciatura.2. Propiedades de la distribucin de Poisson2.1. Aproximacin de PoissonLa distribucin de Poisson es un caso lmite de la distribucin binomial1(:, jn) cuando la probabilidad de xito es variable.Si una variable aleatoria A modela el nmero de xitos obtenidos luego de: ensayos Bernoulli con probabilidad de xito j0, entonces la probabilidadde tener / xitos en : ensayos est dada porP(A = /) =_:/_j|(1 j)n|.Se dice entonces que A tiene distribucin binomial de parmetros : y j (A ~1(:, j)).Si ` = 1(A) = :j se mantiene constante cuando : y j varan, tenemos que| (`) =lmn!1P(A = /) = `|cX/!(1)para toda r _ 0. (notemos que cuando : crece, j decrece).Ejercicio 1 Probar (1). Sugerencia: Recordar que lmn!1_1 + rn_n= cr.2.2. Distribucin de PoissonDenicin 1 Una variable aleatoria A tiene distribucin de Poisson 1 (`) sitoma valores enteros positivos yP(A = /) = | (`) = `|cX/!/ _ 02donde ` puede tomar cualquier valor `0.Ejercicio 2 Probar que si A ~ 1 (`)1. 1 (A) = `.2. \ ar (A) = `.3. La funcin generadora de momentos de A ~ 1 (`) c(t) = cX(tt1).En ocasiones es til extender la denicin de 1 (`) para incluir los casosextremos 0 e . 1 (0) sera la distribucin concentrada en el 0P(A = 0) = 1,y 1 () la distribucin concentrada en +P(A = +) = 1.Una de las propiedades ms importantes de la distribucin de Poisson es suaditividad.Teorema 1 Si A y 1 son variables aleatorias independientes con distribu-ciones 1 (`1) y 1 (`2), entonces A +1 ~ 1 (`1 +`2).Demostracin. Ejercicio.Por induccin, podemos ver fcilmente que este resultado es cierto paracualquier suma nita de variables aleatorias independientes. Adems se tiene lasiguiente propiedad importante.Ejercicio 3 Probar que la distribucin de Poisson es innitamente divisible,esto es, dada una variable aleatoria A con distribucin Poisson 1 (`), paratoda :0 podemos encontrar : variables aleatorias independientes A1, . . . , Ancon distribucin Poisson 1 (`1) , . . . , 1 (`n) tales que nI=1AI ~ 1 (`).Teorema 2 (Teorema de Aditividad Numerable) Sea A1=1 una suce-sin de variables aleatorias independientes, donde A ~ 1 (`) , = 1, 2, . . ..Sio = 1

=1`converge, entonceso = 1

=1Aconverge con probabilidad 1 y o ~ 1 (o).Por otro lado, si 1=1` diverge, entonces o diverge con probabilidad 1.3Demostracin. Por el Teorema 1, tenemos queon =n

=1Atiene distribucin 1 (on) dondeon =n

=1`.Es fcil ver que \: _ 1 on _ r on+1 _ r, de dondeo _ r = 1

n=1on _ ry por tanto1P(o _ r) = lmn!1P(on _ r)= lmn!1:

|=0P(on = r)= lmn!1:

|=0| (on)=:

|=0lmn!1| (on) .Si on o < , por ser : (`) continua tenemos queP(o _ r) =:

|=0| (o)yP(o = r) = : (o) .Por lo tanto o es nita con distribucin 1 (o).Si on ,P(o _ r) =:

|=0| (o)= ccn:

|=0o|n/! 0.EntoncesP(or) = 1.1Si An 2 F, n1 y An # A, entonces P(A) = lmn!1P(An)4Como este resultado es cierto \r _ 0, podemos concluir que o diverge conprobabilidad 1.Luego de este resultado parece ms natural haber denido 1 (0) y 1 ().Con esta convencin, si tenemos variables aleatorias independientes A con dis-tribuciones 1 (`) respectivamente, su suma tiene distribucin 1 (

`), y estoes cierto sin importar que haya un nmero innito de ellas, incluso si algunos` son 0 o .Supongamos que A1, . . . , An son variables aleatorias independientes conA ~ 1 (`). Entonces o = A1++An tiene distribucin 1 (o) con o =

`,y entonces, si r1, . . . , rn son tales que

r = : tenemos queP(A1 = r1, . . . , An = rn [ o = :) =n

=1`:j cXjr!_oscc:!=:!r1!rn!_`1o_:1

_`no_:n.Estas son las probabilidades de una distribucin multinomial ' (:, j1, . . . , jn),con jI = Xic .Para el caso en el que : = 2, tenemos que si A y 1 son variables aleatoriasPoisson independientes (A ~ 1 (`1) y 1 ~ 1 (`2)), dado que A + 1 = :, ladistribucin condicional de A es 1(:, j), dondej =1 (A)1 (A) +1 (1 ).Hay un resultado muy til, que parecera ser el converso del anterior. Supong-amos que ~ 1 (`) , y que la distribucin condicional de ' dado es 1(, j)para alguna constante j. Esto esP(' = t [ = :) =_:t_j|(1 j)s|.Entonces, para :, / _ 0,P(' = :, ' = /) = P( = :+/) P(' = : [ = :+/)=cX`n+|(:+/)!_:+/:_jn(1 j)|=cX`n+|(:+/)! (:+/)!/!:!jn(1 j)|= cXcX(1)`n`|1/!:!jn(1 j)|=cX`njn:!cX(1)`|(1 j)|/!=cX(`j)n:!cX(1)(`(1 j))|/!.5As, ' y ' son variables aleatorias independientes Poisson con medias `jy `(1 j) respectivamente.3. Proceso de ConteoDenicin 2 (Proceso de Conteo) Se dice que un proceso estocstico (t) ; t _ 0es un proceso de conteo si representa el nmero de eventos ocurridos hasta eltiempo t, esto es, satisface:i) (0) _ 0.ii) (t) toma valores enteros.iii) Es no decreciente, i.e. si : < t, entonces (:) _ (t).iv) Para : < t, (t) (:) es igual al nmero de eventos que ocurrieron enel intervalo (:, t].La trayectoria de un proceso de conteo es la grca (t, (t)) para t _ 0.Las trayectorias se toman de tal forma de que sean continuas por la derecha yque tengan lmite por la izquierda.4. Proceso de Poisson HomogneoDenicin 3 (Proceso de Poisson homogneo) Una coleccin de variablesaleatorias (t) ; t _ 0 (denidas en un espacio de probabilidad (, T, P)) sellama proceso de Poisson (homogneo) con intensidad `0 si satisfacelas siguientes propiedades:i) P((0) = 0) = 1, esto es, (0) es siempre 0.ii) \ 0 < : < t (t) (:) tiene distribucin de Poisson de parmetro`(t :).iii) \ 0 _ t1 0 si P(Xx) = Rx0 f (t) dt, con f (t) = et.8Demostracin. De la proposicin 1 tenemosP(Tn _ t) = P((t) _ :)= 1 P((t) _ :1)= 1 n1

|=0P((t) = /)= 1 n1

|=0(`t)|cX|/!Derivando obtenemos)Tm(t) = ddt_cX| n1

|=0(`t)|/!_= `cX| n1

|=0(`t)|/! cX| n1

|=1`/(`t)|1/!= `cX|_n1

|=0(`t)|/! n1

|=1(`t)|1(/ 1)!_= `cX|_n1

|=0(`t)|/! n2

|=0(`t)|/!_= `cX| (`t)n1(:1)!=1(:)`ntn1cXque es la funcin de densidad de una v.a. con distribucin G_:, 1X_.5.2. Tiempos entre llegadasDenicin 4 (Tiempo entre llegadas)4t| =nf :t : (:) (t) = 1Teorema 3 \: _ 1, las v.a. t1, t2, . . ., tn son independientes y con la mismadistribucin exponencial 1(`).Demostracin. Veamos primero el caso cuando : = 2.Queremos demostrar que \0 < :1 < :2 < se tiene queP(t1 _ :1, t2 < :2) = P(t1 _ :1)P(t2 _ :2).4(!) Checar que est bien denido...9P(t1 _ :1, t2 _ :2) = P(T1 _ :1, T2T1 _ :2)= P(T1 _ :1, T2 _ :2 +T1)= P(T1 _ :1, T2 _ :1 +:2)= P((:1) _ 1, (:1 +:2) _ 2)=1

|1=1P((:1) = /1, (:1 +:2) _ 2)=1

|1=11

k2=2k1