procesos poisson

5/23/2018 Procesos Poisson

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Introduccin

Procesos de conteo:

N0= 0

Nt 0, para todo t Si s


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Procesos Poisson

Caso particular de proceso de conteo.

De incrementos independientesP(Nt Ns = n, Ns = m) = P(Nt Ns = n)*P(Ns = m)

La probabilidad de que ocurra un evento en un intervaloinfinitsimo es prcticamente proporcional a la amplituddel intervalo.

La probabilidad de que se produzcan 2 o ms eventos enun intervalo infinitsimo es un infinitsimo de orden

superior a dos. En consecuencia, en un intervaloinfinitsimo podrn producirse O 1 hecho pero nuncams de uno.


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Distribucin Poisson

Funcin de densidad:

P(Nt= n) =

()

!

Algunos estadsticos:

E(Nt) = tVar(Nt) = t


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Ejemplo 1

Un alumno de Ingeniera Industrial estacionailegalmente su vehculo en los alrededores de laFacultad dos veces al da por el perodo de una horacada vez. La pasada de los inspectores municipales oCarabineros de Trnsito es un Proceso de Poisson conun promedio de l pasadas por hora.

0 Cul es la probabilidad de que no le pasen un parte?

0 Qu caractersticas del proceso Poisson se utilizanpara resolver este problema?


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Ejemplo 2

Los clientes llegan a una tienda de acuerdo con unproceso de Poisson de tasa = 4 por hora. Si la tiendaabre a las 9 a.m.,

0 Cul es la probabilidad conjunta de que exactamenteun cliente haya entrado antes de las 9:30 a.m. y que untotal de cinco hayan entrado antes de las 11:30 a.m.?



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Ejemplo 3

Un cable submarino tiene defectos de acuerdo a unproceso de Poisson de parmetro = 0.1 por km.

0

Cul es la probabilidad de que no haya defectos enlos primeros dos kilmetros de cable?

0 Si no hay defectos en los primeros dos kilmetros,cul es la probabilidad de que tampoco los haya en eltercer kilmetro?



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Relacin Poisson-Exponencial

Los tiempos entre llegadas (Tn) son Exponenciales conparmetro si y slo si el nmero de llegadas quesuceden en el intervalo t sigue una distribucin dePoisson con parmetro t.


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Ejemplo 4

En un sistema electrnico se producen fallas de acuerdocon un proceso de Poisson de tasa 2.5 por mes. Pormotivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuandoocurran 196 fallas.

0 Hallar la media y la varianza del tiempo de uso delsistema.

0 Qu caractersticas de la distribucin exponencialy/o Procesos Poisson ha utilizado para resolver esteproblema?


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Ejemplo 5

Supongamos que la inmigracin a un pas se realiza segn unproceso de Poisson, de tasa = 1 inmigrante/da.

0 Cul es el tiempo esperado hasta que se produce el arribo

del dcimo inmigrante?

0 Cul es la probabilidad de que el tiempo de espera entreel dcimo y el undcimo arribo supere los dos das?

0 Qu caractersticas de la distribucin exponencial y/o

Procesos Poisson ha utilizado para resolver este problema?


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Relacin Poisson - Gamma

Sea N(t) un proceso Poisson de parmetro >0, el

tiempo que transcurre hasta que ocurren un nmero nde eventos Wnsigue una distribucin gamma confuncin de densidad:

1 !


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Ejemplo 6

Suponga que las llamadas que llegan a un conmutadorparticular siguen una distribucin de Poisson con unpromedio de 5 llamadas por minuto.

0 Cul es la probabilidad de que pase ms de unminuto hasta que llegue la primera llamada alconmutador?


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Ejemplo 7

Si un componente elctrico falla una vez cada cincohoras.

0

Cul es la probabilidad de que transcurran 12 horasantes de que fallen los dos componentes?


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Teorema Adicin

La variable suma de dos o ms variablesindependientes que tengan una distribucin de Poissonde distintos parmetros (de distintas medias) sedistribuir, tambin con una distribucin de Poissoncon parmetro igual a la suma de los parmetros (conmedia, la suma de las medias).


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Ejemplo 8

Moscas y abejas aterrizan en la mesa de un asado a lamanera de dos procesos de Poisson independientes detasas 2 y 1 por minuto, respectivamente.

0 Cul es la tasa de llegada del proceso Poisson de lasmoscas?

0 Cul es la probabilidad de que el primer insecto enaterrizar en la mesa sea una mosca?

0 Si a las 13:30 se sirven los chorizos, cul es laprobabilidad de que la primera mosca tarde ms de 2minutos en aterrizar en la mesa?


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Ejemplo 9

A un banco llegan clientes de acuerdo con un procesode Poisson de intensidad 20 por hora. En formaindependiente de los dems, cada cliente llega arealizar un depsito con probabilidad 1/4 o unaextraccin con probabilidad 3/4.

0 Si el banco abre sus puertas a las 10:00, cul es laprobabilidad de que el segundo depsito se efecte

pasadas las 10:30?


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Ejemplo 10

Los clientes entran a una tienda de acuerdo a unproceso de Poisson con intensidad de 10 por hora. Demanera independiente, cada cliente compra algo conprobabilidad p = 0.3 o sale de la tienda sin comprarnada con probabilidad q = 1-p = 0.7.

0 Cul es la probabilidad conjunta de que durante laprimera hora 9 personas entren a la tienda y que tres

de estas personas compren algo y las otras 6 no?


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Procesos de Poisson compuesto

() ()

=

donde: N(t) ~ Poisson(t) y Yison i.i.d. e independientes deN

Se cumple:

. []

. . 2 . .2 .[2]


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Aplicacin Mercado de valores

(Poisson compuesto)En la Bolsa de Comercio de Santiago, se ha estudiado elcomportamiento de las compras y ventas de acciones. En un danormal se van produciendo transacciones segn un proceso de

Poisson a una tasa promedio de 10 operaciones por da.Durante cada transaccin el precio de un activo puede subir o bajar,donde el cambio de precio del activo entre dos transaccionesconsecutivas est dado por la siguiente funcin de distribucin.

0 Encuentre el promedio del cambio total de precio durante un danormal.

0 Si el activo inici el da en 20. Cul es la probabilidad de que elprecio disminuya en mas de 10% al final del da?.

i -2 -1 0 1 2

Pr(Y=i) 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1


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Aplicacin Teora del riesgo

(Poisson compuesto)Modelo clsico de Cramr-Lundberg

()=

donde:

es el crdito disponible en el tiempo tes el capital iniciales la prima del proceso de riesgo

es un proceso de conteo que determina la llegada de las reclamaciones.

son variables i.i.d e independientes de N, que denotan el tamao de lasreclamaciones.

Cuando N(t) es un proceso Poisson homogneo con parmetro , X es llamadoproceso de riesgo clsico o proceso de Poisson compuesto.


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(Poisson compuesto)Modelo clsico de Cramr-Lundberg

Se define:

0 Ruina en el tiempo t: X(t) 0

0 Tiempo de ruina: =min{ t > 0: X(t) 0}

0 Probabilidad de ruina con capital inicial : , ( / (0) )

Cuando las reclamaciones Yi~ exp(), ()es explcito conecuacin


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(Poisson compuesto)Suponga que las reclamaciones en el modelo deCramr-Lundberg siguen una distribucin exponencialde parmetro =1. Suponga adems que =1/2 y c=2.Observe que se cumple la condicin de ganancia netac>/u. Cul debe ser el capital inicial u para que laprobabilidad de ruina sea menor o igual a 0.01?


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Aplicacin Poisson compuesto

Al parque nacional Santuario de la Naturaleza llegan diariamenteautomviles de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa automviles/hora. La entrada al recinto se paga por persona queingresa y el precio individual de p, es decir, si en un automvil

vienen tres personas, la entrada total de este auto es de 3p.Estadsticamente se sabe que el nmero de personas en cadaautomvil, Y, son variables aleatorias i.i.d con las siguiente ley deprobabilidad:

El parque abre sus puertas diariamente desde las 08:00 hasta las16:00 hrs. Una hora despus de cerrar, todas las personasabandonan el parque (suponga que nadie se va antes).

i 1 2 3 4 5

Pr(Y=i) 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1


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Aplicacin Poisson compuesto

0 Se sabe que a las 8:15 habrn llegado 2 personas al parque. Cules la probabilidad de que las primeras 2 personas que llegan alparque vengan juntas?.

0 Cul es la recaudacin diaria promedio del parque?.

0 Se est pensando hacer un descuento a aquellos autos con msde 2 pasajeros (3 o ms). En este caso se cobrara el 80% delprecio por persona Cul sera la recaudacin promedio diaria eneste caso?.

0 Se est pensando en construir un estacionamiento techado. Cul

debe ser su tamao M [sitios] de modo que la probabilidad deque algn auto no alcance a estacionarse bajo techo sea menor oigual a 5 %?. Asuma que un conductor siempre se estaciona bajotecho si hay espacio disponible


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Procesos no homogneos

Nt(nmero de eventos en el intervalo [0,t]) es unproceso Poisson no homogneo con parmetro t, si:

0 N0= 0

0 Nttiene incrementos independientes

0 NtNs~ Poisson ( ), para todo 0s


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Procesos no homogneos

0 Teorema de la Adicin

Sean Nty Mtprocesos de Poisson no homogneo conintensidad (t) y (t) respectivamente y N*(t)=N(t)+M(t)

0 N*(t) es Poisson no homogneo con tasa (t)+(t)

0 Si ocurre un evento N*(t) en el tiempo t, independientede lo que haya sucedido antes t, dicho evento viene de

N(t) con probabilidad () + ()


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Aplicacin - Procesos no

homogneos0 A una gasolinera que permanece abierta las 24 horas del

da llegan clientes de acuerdo a un proceso Poisson de lasiguiente forma: desde las 00:00 h a las 7:00 los clientes

llegan, en media, con tasa 2 clientes por hora; de 7:00 a17:00 crece linealmente hasta alcanzar los 20 clientes porhora, permaneciendo esta tasa hasta las 22:00, momentoen que empieza a decrecer hasta alcanzar los 2 clientes porhora a las 24:00. Si suponemos que el nmero de clientesque llegan a la gasolinera, durante periodos de tiempos

disjuntos son independientes, cul es la probabilidad deque llegue un cliente entre la 1:00 y las 3:00? y cul es elnmero esperado de llegadas entre las 8:00 y las 10:00?


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Aplicacin Procesos nohomogneos

A un banco llegan clientes de acuerdo a un proceso Poisson nohomogneo, cuya tasa est dada por

114.1 , 0 < < 1 4 . 1El tiempo est medido en horas, y el banco opera desde las 9 y hasta las

14 horas. Los clientes, sin embargo, llegan entre las 9 y las 14:06 hrs.0 Cul es la probabilidad de que el primer cliente llegue entre las 10:00

y las 11:00 ?.

0 Si todos los clientes se demoran exactamente 12 min. dentro del banco,determine el nmero esperado de clientes dentro del banco en

cualquier instante del da.0 Calcule el nmero promedio de clientes que se retiran indignados

pensando seriamente en cambiarse de banco cada da (esto ocurrecuando el cliente encuentra que el banco ya cerr sus puertas). A quhora debiese cerrar sus puertas el banco para que este nmerodisminuya a la mitad?


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Ejercicio

Entre las distintas actividades que se deben planificar paraun evento que durar 10 horas, est el planificar el tamaodel estacionamiento que se va a arrendar para los autos de

los visitantes. La llegada de los automviles al evento siguenun proceso Poisson con tasa autos / hora. Losorganizadores deben pagar por el rea total arrendada. Ellossaben que cada auto ocupa un rea de A (m2) y el costo es deh [$/m2]. Cada auto que no puede estacionarse porque elestacionamiento est lleno es un cliente (visitante) perdido,

pues ste abandona el lugar. Una vez que un visitante llega alevento permanece en l hasta la hora de cierre. Los clientesque entran al evento reportan un beneficio de b ($/Cliente).


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Ejercicio (continuacin)

0 Formule el problema para determinar el nmero ptimo deestacionamientos (X) que deben arrendar losorganizadores del evento.

0 Suponiendo que los organizadores determinan que elnmero ptimo de estacionamientos es X=500. Cul es laprobabilidad de que se llene?.

0 Cul es el nmero promedio de autos que entran alestacionamiento?.

0 Si el evento comienza a la 10 de la maana, Cul es laprobabilidad de que si Ud. llega al recinto a las 3 de la tardeencuentre estacionamiento?.

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