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Contrato Interadministrativo 0803 de 2016 Mallas de aprendizaje, Matemáticas, Grado Sexto. Versión Preliminar

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INTRODUCCIÓN GENERAL DEL ÁREA PARA EL GRADO (Saber ser, saber hacer, saber conocer)

En las mallas de aprendizaje se pretende ofrecer orientaciones para esbozar caminos posibles para el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes en el área de matemáticas. Esta propuesta se fundamenta en los Derechos Básicos de Aprendizaje, a su vez, retoma la propuesta de los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, a partir de estos documentos subyace una visión de las matemáticas como creación humana y como disciplina en desarrollo y en constante cambio. En consecuencia con ello, se espera consolidar ideas para el acompañamiento a los profesores, en este caso de grado sexto; con la intención que se propenda por el desarrollo de dimensiones como el saber SER, el saber HACER, y el saber CONOCER, pues no se trata de la implementación aislada de conceptos, sino de apostarle al desarrollo integral de los estudiantes, al reconocer que las matemáticas forman parte del sistema de valores compartidos y tienen fundamentos éticos para constituirse en una práctica social. El inicio de un nuevo ciclo de aprendizaje implica muchos cambios para los estudiantes, allí sus intereses son distintos, buscan nuevos amigos, se asumen otros roles, y no solo los cambios físicos sino también los aspectos sociales requieren de la atención del profesor y de los padres de familia. Al respecto, la clase de matemáticas debe posibilitar la interacción y la participación de modo que entre profesor y estudiantes, constituyen la cultura del aula, y se establezcan las convenciones y los acuerdos tanto de las reglas de interacción social como de las representaciones de los conceptos y procesos matemáticos. Además el reconocimiento, el respeto a sí mismo y la visión crítica con criterios éticos para la toma de decisiones son aspectos fundamentales a desarrollar en este nivel de escolaridad, y las matemáticas no pueden esconder su papel. En coherencia con los planteamientos en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas (MEN, 2006), y los aprendizajes fundamentales descritos en los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2016) se enfatiza en que la formulación y resolución de problemas es el proceso a través del cual se dinamizan otros procesos, la actividad matemática misma y, por tanto, los aprendizajes de los estudiantes. La noción de ser matemáticamente competente sugiere ambientes de aprendizaje a través de la formulación y resolución de problemas que propicien la construcción progresiva y cíclica de niveles de conceptualización y construcción del conocimiento matemático de los estudiantes, para ello se requiere que los profesores propongan diversidad de situaciones, con diferentes grados de complejidad, de tal manera que se movilicen procesos que involucran las actividades que conforman el ciclo de resolución de problemas. Los aprendizajes y procesos esperados para el grado 6º, en el área de matemáticas, se fundamentan en los conocimientos, competencias y actitudes desarrollados en la Primaria, para ampliarlos y estructurar nuevos conocimientos, privilegiando las conexiones entre las matemáticas y la vida cotidiana. De acuerdo con ello se espera promover en este grado actitudes para dar sentido a los problemas, perseverar en su solución, razonar cualitativa y cuantitativamente, construir argumentos plausibles y criticar los argumentos de los otros, modelar con matemáticas, usar herramientas apropiadamente, usar las operaciones con precisión y usar la aproximación y la estimación para interpretar y resolver problemas. De igual manera cobran sentido los cálculos y las operaciones entre números enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal), en diferentes contextos de variación, medición, repartos, particiones, estimaciones. Se espera también que los estudiantes lleguen a generalizaciones para describir las propiedades de los planos y clasificar a partir de ello, las figuras geométricas y los sólidos. La medición debe posibilitar la comprensión de los significados de los números y a su vez ampliar los conceptos de cada magnitud. En este grado se formulan y resuelven problemas recopilando, organizando, exhibiendo e interpretando datos y se utilizan las probabilidades teóricas y experimentales para hacer predicciones sobre eventos. En esta malla se retoman los enunciados y evidencias de la segunda versión de los Derechos Básicos de Aprendizaje. Se agrupan por tipos de pensamiento, a saber: Numérico - Variacional, Métrico- Espacial y Aleatorio, además una red conceptual que permite visibilizar algunas de las relaciones entre los saberes estructurantes, los DBA y los procesos generales. Otro componente de las mallas,


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son las consideraciones didácticas, como posibles caminos de diseño curricular, algunas claridades sobre los tópicos y las acciones sugeridas para abordar los aspectos mencionados, con el propósito de lograr consistencia, coherencia y pertinencia de las propuestas curriculares del MEN para el área de matemáticas. Los aprendizajes esperados en el estudiante al finalizar el grado se consolidan en la siguiente red conceptual:


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PROGRESIÓN DBA GRADO ANTERIOR- GRADO SIGUIENTE

Pensamiento DBA Grado 5 Grado 6 Grado 7

Pensamiento numérico

1 Interpreta y utiliza los números naturales y racionales en su representación fraccionaria para formular y resolver problemas aditivos, multiplicativos y que involucren operaciones de potenciación.

Interpreta los números enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) con sus operaciones, en diferentes contextos, al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc. Reconoce y establece diferentes relaciones (de orden y equivalencia y las utiliza para argumentar procedimientos.

Comprende y resuelve problemas, que involucran los números racionales con las operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) en contextos escolares y extraescolares.

2 Describe y desarrolla estrategias (algoritmos, propiedades de las operaciones básicas y sus relaciones) para hacer estimaciones y cálculos al solucionar problemas de potenciación.

Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

Describe y utiliza diferentes algoritmos, convencionales y no convencionales, al realizar operaciones entre números racionales en sus diferentes representaciones (fracciones y decimales) y los emplea con sentido en la solución de problemas.

3 Compara y ordena números fraccionarios a través de diversas interpretaciones, recursos y representaciones.

Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar procedimientos sencillos.

Utiliza diferentes relaciones, operaciones y representaciones en los números racionales para argumentar y solucionar problemas en los que aparecen cantidades desconocidas.

Pensamiento variacional

8 Describe e interpreta variaciones de dependencia entre cantidades y las representa por medio de gráficas.

Identifica y analiza propiedades de covariación directa e inversa entre variables, en contextos numéricos, geométricos y cotidianos y las representa mediante gráficas (cartesianas de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.).

7. Plantea y resuelve ecuaciones, las describe verbalmente y representa situaciones de variación de manera numérica, simbólica o gráfica.


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9 Utiliza operaciones no convencionales, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.

Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problemas.

Pensamiento métrico

4 Justifica relaciones entre superficie y volumen, respecto a dimensiones de figuras y sólidos, y elige las unidades apropiadas según el tipo de medición (directa e indirecta), los instrumentos y los procedimientos.

Utiliza y explica diferentes estrategias (desarrollo de la forma o plantillas) e instrumentos (regla, compás o software) para la construcción de figuras planas y cuerpos.

Utiliza escalas apropiadas para representar e interpretar planos, mapas y maquetas con diferentes unidades.

5 Explica las relaciones entre el perímetro y el área de diferentes figuras (variaciones en el perímetro no implican variaciones en el área y viceversa) a partir de mediciones, superposición de figuras, cálculo, entre otras.

Propone y desarrolla estrategias de estimación, medición y cálculo de diferentes cantidades (ángulos, longitudes, áreas, volúmenes, etc.) para resolver problemas.

Observa objetos tridimensionales desde diferentes puntos de vista, los representa según su ubicación y los reconoce cuando se transforman mediante rotaciones, traslaciones y reflexiones.

Pensamiento espacial

6 Identifica y describe propiedades que caracterizan un cuerpo en términos de la bidimensionalidad y la tridimensionalidad y resuelve problemas en relación con la composición y descomposición de las formas.

Representa y construye formas bidimensionales y tridimensionales con el apoyo en instrumentos de medida apropiados.

7 Resuelve y propone situaciones en las que es necesario describir y localizar la posición y la trayectoria de un objeto con referencia al plano cartesiano.

Reconoce el plano cartesiano como un sistema bidimensional que permite ubicar puntos como sistema de referencia gráfico o geográfico.

6. Representa en el plano cartesiano la variación de magnitudes (áreas y perímetro) y con base en la variación explica el comportamiento de situaciones y fenómenos de la vida diaria.

Pensamiento aleatorio

10 Formula preguntas que requieren comparar dos grupos de datos, para lo cual recolecta, organiza y usa tablas de frecuencia, gráficos de barras, circulares, de línea, entre otros. Analiza la información presentada y comunica los resultados.

Interpreta información estadística presentada en diversas fuentes de información, la analiza y la usa para plantear y resolver preguntas que sean de su interés.

8 Plantea preguntas para realizar estudios estadísticos en los que representa información mediante histogramas, polígonos de frecuencia, gráficos de línea entre otros; identifica variaciones, relaciones o tendencias para dar respuesta a las preguntas planteadas.


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Utiliza la media y la mediana para resolver problemas en los que se requiere presentar o resumir el comportamiento de un conjunto de datos.

Compara características compartidas por dos o más poblaciones o características diferentes dentro de una misma población para lo cual seleccionan muestras, utiliza representaciones gráficas adecuadas y analiza los resultados obtenidos usando conjuntamente las medidas de tendencia central y el rango.

11 Predice la posibilidad de ocurrencia de un evento simple a partir de la relación entre los elementos del espacio muestral y los elementos del evento definido.

A partir de la información previamente obtenida en repeticiones de experimentos aleatorios sencillos, compara las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas.

9. Usa el principio multiplicativo en situaciones aleatorias sencillas y lo representa con tablas o diagramas de árbol. Asigna probabilidades a eventos compuestos y los interpreta a partir de propiedades básicas de la probabilidad.

NUMÉRICO - VARIACIONAL

APRENDIZAJES EVIDENCIAS

Interpreta los números enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) con sus operaciones, en diferentes contextos, al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc.

Resuelve problemas en los que intervienen cantidades positivas y negativas en procesos de comparación, transformación y representación.

Propone y justifica diferentes estrategias para resolver problemas con números enteros, racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) en contextos escolares y extraescolares.

Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias.

Interpreta y justifica cálculos numéricos al solucionar problemas.

Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

Propone y utiliza diferentes procedimientos para realizar operaciones con números enteros y racionales.

Argumenta de diversas maneras la necesidad de establecer relaciones y características en conjuntos de números (ser par, ser impar, ser primo, ser el doble de, el triple de, la mitad de, etc.).


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Describe las diferencias y similitudes de los sistemas numéricos en diferentes bases tanto posicionales como aditivas.

Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar procedimientos sencillos.

Determina criterios de comparación para establecer relaciones de orden entre dos o más números.

Representa en la recta numérica la posición de un número utilizando diferentes estrategias.

Describe procedimientos para resolver ecuaciones lineales

Identifica y analiza propiedades de correlación entre variables, en contextos numéricos, geométricos y cotidianos y las representa mediante gráficas (cartesianas de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.).

Propone patrones de comportamiento numéricos y expresa verbalmente o por escrito los procedimientos matemáticos.

Realiza cálculos numéricos, organiza la información en tablas, elabora representaciones gráficas y las interpreta.

Trabaja sobre números desconocidos y con esos números para dar respuestas a los problemas.

Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problemas.

Utiliza las operaciones y sus inversas en problemas de cálculo numérico.

Realiza cálculos numéricos, organiza la información en tablas, elabora representaciones gráficas y las interpreta.

Realiza combinaciones de operaciones, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.

MÉTRICO - ESPACIAL


Utiliza y explica diferentes estrategias (desarrollo de la forma o plantillas) e instrumentos (regla, compás o software) para la construcción de figuras planas y cuerpos.

Construye plantillas para cuerpos geométricos dadas sus medidas.

Selecciona las plantillas que genera cada cuerpo a partir del análisis de su forma, sus caras y sus vértices.

Utiliza la regla no graduada y el compás para dibujar las plantillas de cuerpos geométricos cuando se tienen sus medidas.

Propone y desarrolla estrategias de estimación, medición y cálculo de diferentes cantidades (ángulos, longitudes, áreas, volúmenes, etc.) para resolver problemas.

Decide acerca de las estrategias para determinar qué tan pertinente es la estimación y analiza las causas de error en procesos de medición y estimación.

Estima el resultado de una medición sin realizarla, de acuerdo con un referente previo y aplica el proceso de estimación elegido y valora el resultado de acuerdo con los datos y contexto de un problema.

Estima la medida de longitudes, áreas, volúmenes, masas, pesos y ángulos en presencia o no de los objetos y decide sobre la conveniencia de los instrumentos a utilizar, según las necesidades de la situación.

Representa y construye formas bidimensionales y Diferencia las propiedades geométricas de las figuras y cuerpos geométricos.


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tridimensionales con el apoyo en instrumentos de medida apropiados.

Identifica los elementos que configuran las figuras y cuerpos geométricos.

Describe las congruencias y semejanzas en figuras bidimensionales y tridimensionales.

Estima áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

Construye cuerpos geométricos con el apoyo de instrumentos de medida adecuados.

Reconoce el plano cartesiano como un sistema bidimensional que permite ubicar puntos como sistema de referencia gráfico o geográfico.

Localiza, describe y representa la posición y la trayectoria de un objeto en un plano cartesiano.

Identifica e interpreta la semejanza de dos figuras al realizar rotaciones, ampliaciones y reducciones de formas bidimensionales en el plano cartesiano.

ALEATORIO


Interpreta información estadística presentada en diversas fuentes de información, la analiza y la usa para plantear y resolver preguntas que sean de su interés.

Lee y extrae la información estadística publicada en diversas fuentes.

Plantea una pregunta que le facilite recolectar información que le permita contrastar la información estadística publicada.

Organiza la información recolectada en tablas y la representa mediante gráficas adecuadas.

Calcula las medidas requeridas de acuerdo a los datos recolectados y usa, cuando sea posible, calculadoras o software adecuado.

Escribe un informe en el que analiza la información presentada en el medio de comunicación y la contrasta con la obtenida en su estudio.

Compara características compartidas por dos o más poblaciones o características diferentes dentro de una misma población para lo cual selecciona muestras, utiliza representaciones gráficas adecuadas y analiza los resultados obtenidos usando conjuntamente las medidas de tendencia central y el rango

Comprende la diferencia entre la muestra y la población.

Selecciona y produce representaciones gráficas apropiadas al conjunto de datos, usando, cuando sea posible, calculadoras o software adecuado.

Interpreta la información que se presenta en los gráficos usando las medidas de tendencia central y el rango.

Compara las características de dos o más poblaciones o de dos o más grupos, haciendo uso conjunto de las respectivas medidas de tendencia central y el rango.

Describe el comportamiento de las características de dos o más poblaciones o de dos o más grupos de una población, a partir de las respectivas medidas de tendencia central y el rango.


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A partir de la información previamente obtenida en repeticiones de experimentos aleatorios sencillos, compara las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas.

Enumera los posibles resultados de un experimento aleatorio sencillo.

Realiza repeticiones del experimento aleatorio sencillo y registra los resultados en tablas y gráficos de frecuencia.

Interpreta y asigna la probabilidad de ocurrencia de un evento dado, teniendo en cuenta el número de veces que ocurre el evento en relación con el número total de veces que realiza el experimento.

Compara los resultados obtenidos experimentalmente con las predicciones anticipadas

CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

Sobre el Pensamiento Numérico y Variacional

1. Introducción Finalizado el ciclo de la Educación Básica Primaria para los estudiantes que inician el grado sexto, uno de los desafíos que se presentan al profesor en torno al pensamiento numérico y variacional es observar cómo los estudiantes construyeron a lo largo de los primeros años de escolaridad su noción de número. En este sentido, se sugiere que el profesor indague por medio de una actividad inicial las maneras en que los estudiantes interpretan los números, es importante reconocer diversidad de usos e interpretaciones de tal forma que se trascienda la idea de número sólo como cantidad de objetos en una colección y que realicen otros significados como medición, comparación de cantidades (razón) y como cantidades relativas (entero). Esta diversidad de usos e interpretaciones deben estar articuladas a las diferentes formas de representar, comparar y operar con los números. En la diversidad de usos, contextos e interpretaciones, los estudiantes podrán estar en capacidad de estudiar estos sistemas numéricos a través de la abstracción de más relaciones y en el enfoque de sus propiedades estructurales. En este sentido, parte de los propósitos del grado sexto es poder estudiar los sistemas numéricos en diferentes bases, tanto posicionales como aditivas. Se espera cultivar en los estudiantes el desarrollo de actitudes hacia la creación de estrategias que, fundamentadas en los aspectos conceptuales tratados, puedan utilizarse en nuevos sistemas numéricos. Asimismo, se espera promover la participación de los estudiantes en la creación de matemáticas, por ejemplo, que propongan nuevas bases para los números naturales y que a partir de allí consoliden la aritmética de los naturales. En la formación de los estudiantes, desde el nivel de la Educación Básica Primaria se viene fomentando actitudes por un continuo cuestionamiento de las matemáticas en relación con los problemas, fenómenos y situaciones que pueden describirse, controlarse o resolverse. En ese sentido, se espera que en este grado los estudiantes se introduzca en el estudio de los sistemas de números racionales y enteros, con sus diferentes propiedades de tal manera que dé continuidad al trabajo iniciado en grado 5to. De igual, este grado es propicio para continuar cultivando en los estudiantes su deseo por argumentar, proponer y justificar nuevas estrategias a las convencionalmente construidas con los diferentes números. Se propone desarrollar con los estudiantes tareas en las que se indague por el uso y el sentido de los números racionales y enteros. Estas tareas no deben quedar enmarcadas solo en los problemas presentados a través de enunciados verbales estereotipados, es decir, tareas que evocan contextos artificiales que poco o nada tienen que ver con la experiencia y uso de las matemáticas en las labores, oficios, y prácticas en contextos fuera del aula. Los problemas que se sugiere trabajar, deben permitir que los estudiantes indaguen y reflexionen sobre el papel de las operaciones cuando se compra un artículo, se hace una lista de mercado, se practica un deporte, o cuando se reparte una cantidad de dinero entre varias personas, entre otras. A partir de ello, se debe promover el reconocimiento acerca de la naturaleza de las cantidades que intervienen; y analizar y representar las relaciones cuando algunas de esas cantidades varían.


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2. Objetos y momentos para la actividad matemática


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Algunas ideas fundamentales del pensamiento numérico-variacional del grado 6°

Usos e interpretaciones de los números y de las

operaciones en contextos

Reconoce cantidades que a pesar de tener la misma magnitud, son diferentes en sus posiciones o direcciones, por tanto utiliza signos opuestos para diferenciarlos (Distancia recorrida hacia la derecha o hacia la izquierda). Proporciona ejemplos que den cuenta de una relación semántica para expresiones como -(-2); + (-5); -2 - (-3) en contextos. Reconoce en la cotidianidad acciones que conlleven a transformaciones o comparaciones entre cantidades y que conlleven modelarlas con operaciones entre números enteros y racionales. Identifica números racionales en etiquetas, facturas, envolturas y explica su significado. Describe por qué un porcentaje de descuento (por ejemplo del 10%) aplicado después de otro descuento (por ejemplo del 15%) tiene el mismo comportamiento si se cambia el orden de aplicación de ambos porcentajes, pero si se tratara de un descuento y de un incremento los resultados se diferencian dependiendo del orden de aplicación de los porcentajes.

Uso y sentido de los procedimientos y estrategias con

números y operaciones

Describe la diferencia entre los signos (+, -) como cantidades relativas y como operaciones, y los utiliza para

simplificar expresiones aritméticas. Asimismo, describe por qué una expresión como -a no necesariamente representa una cantidad negativa y, por tanto, reconoce los intervalos para los cuales esa expresión la expresión es positiva o negativa. Describe los números enteros como un subconjunto de los racionales y a su vez los racionales como una razón de enteros.

Comprensión de las relaciones entre

números y operaciones

Ordena de mayor a menor o recíprocamente una secuencia de números enteros y racionales (escritos en forma fraccionaria o decimal); asimismo, ofrece argumentos que muestren por qué declaraciones como “1/3=0.333… no es exacto” es incorrecta y propone formas adecuadas de expresar la relación. Describe la noción de infinito en la notación decimal de algunos racionales la diferencia de la misma noción en los naturales.

Patrones, regularidades y covariación

Construye e interpreta gráficos cartesianos de sucesiones numéricas y de cantidades en correlación directa y en proporcionalidad directa. Propone condiciones en los fenómenos para que un problema sea o no de proporcionalidad directa o inversa. Asimismo, ofrece criterios visuales para diferenciar una correlación de una proporción. Frente una secuencia numérica, ofrece descripciones que den cuenta de varios patrones y generalizaciones que se puedan ajustar a dicha secuencia; así mismo, propone estrategias para determinar


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patrones recursivos, aditivos y multiplicativos en las secuencias que sean del caso.

Comprensión de la estructura de los

conjuntos (propiedades, usos y

significados en la resolución de problemas)

Describe las acciones que deben realizarse para calcular el valor de una incógnita en una ecuación lineal y las justifica en las propiedades de los sistemas numéricos. Argumenta por qué una ecuación como 2x+1=5 tiene solución en los enteros, pero la ecuación 2x+1=4 no la tiene en ese mismo conjunto. Asimismo, determina patrones sobre los sistemas de ecuaciones que tendría solución en un sistema numérico y en otro no; por ejemplo, ax+b=c tendría solución en los enteros solo cuando a sea divisor de c-b.

3. Situaciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática A manera de ejemplo, supongamos que los estudiantes están inmersos en un contexto en el cual la producción de panela es una de las actividades a partir de las cuales las familias de la región derivan su sustento; se le pediría a los estudiantes el reconocimiento de los números, sus usos y operaciones, es decir, los costos de producción, número de unidades producidas por días y semanas, precios de venta, salario de los empleados, etc. A partir de este reconocimiento, las operaciones básicas entre números naturales y racionales adquirirán sentido para modelar relaciones como:

, , , , etc. Es importante apoyar a los estudiantes para que

reconozcan en cada una de estas relaciones la existencia de tres cantidades, por ejemplo la relación . Conforme se mencionó en las líneas anteriores, se sugiere reconocer la naturaleza de cada cantidad; en la relación anterior, la cantidad total de unidades puede variar, pero la cantidad de unidades en cada caja debe permanecer fija para que la división cobre sentido y se pueda determinar la cantidad de cajas requeridas para el empaque. En el contexto de la producción de panela, se puede identificar la producción diaria del trapiche, y con ello, determinar la producción semanal y el número de cajas o empaques requeridos para su desplazamiento y distribución. Preguntar por el precio final de cada par o de cada caja también tendría sentido dependiendo de los datos a los cuáles los estudiantes puedan acceder. A lo largo del año escolar, en grado sexto se espera que la comprensión de los estudiantes sobre los números evolucione tanto hacia el estudio de los números naturales y sus representaciones en diferentes bases, como hacia la modelación de fenómenos de cantidades relativas (positivas y negativas) para darle sentido a los números enteros y sus operaciones. En el primer caso, los estudiantes deberán aprender que los números en bases diferentes se usan en otras ciencias (ej. binarias en computación) así como diferenciar sistemas de numeración aditivos y posicionales. En el segundo


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caso, se deben proponer experiencias en las que los estudiantes se enfrenten a superar la visión estereotipada de ciertas propiedades numérico-variacionales (la resta disminuye una cantidad, la suma siempre agranda, etc.), así como la comprensión e interpretación en contexto de las diferentes operaciones entre cantidades positivas y negativas (producto de cantidades con iguales y diferentes signos, sumar y restar cantidades positivas y negativas, etc.). Como ejemplo del primer caso, se puede retomar la lectura del episodio “El cuento de la cuenta” en el texto Malditas Matemáticas - Alicia en el País de los Números. En el cuento se presenta de forma particular una situación que permite encontrar algunas diferencias entre el sistema de numeración decimal y el sistema de numeración romano. De manera complementaria, se sugiere que en el trabajo de aula, el estudiante pueda construir un sistema de numeración en otras bases (por ejemplo base 5). Para ello, se puede argumentar que el ojo humano puede percibir de manera súbita (sin contar) hasta 4, 5 o 6 objetos (dependiendo de la disposición en que se ubique). Se podría usar este hecho para justificar la necesidad de construir símbolos diferentes cada cinco símbolos de la cantidad precedente. Por ejemplo:

Así sucesivamente se podrán construir hasta el número 24. Para representar el número 25 se requeriría un nuevo símbolo. Se sugiere promover el razonamiento y la discusión entre los estudiantes con preguntas como ¿Cuál será el máximo número que se podrán escribir con esos tres símbolos? ¿Con cuál número aparecería la necesidad de “inventar” un nuevo símbolo? Las mismas preguntas aparecen con cuatro, cinco, seis símbolos. A partir de esta situación, se puede promover razonamiento algebraico al establecer patrones de covariación entre la cantidad de símbolos y las potencias de cinco. Es importante que los estudiantes encuentren similitudes y diferencias entre el sistema numérico construido (base 5) y el sistema de numeración convencional (decimal). Entre las diferencias que deben hacerse notar están: Uno de ellos es posicional y el otro es aditivo; frente a la escritura de números cada vez más grande, en uno de ellos se deben “inventar” símbolos, en el otro ampliar una nueva posición. En ambos se puede hacer operaciones básicas con números naturales y los algoritmos que se puede construir guardan similitudes en ambos sistemas. Para el caso de los usos y significados de las operaciones con cantidades relativas, es importante recuperar las experiencias, contextos y problemas desarrollados con números naturales y analizar la posibilidad de relativizar algunas de las cantidades que en ellas intervienen. Por ejemplo, un tipo de tarea que es común desarrollar con los números naturales es en actividades de consumo el producto de valor unitario y cantidad de unidades para calcular el precio total, de esa manera si se tiene que el valor unitario de una fruta es de $1200 y se quieren comprar 20 frutas entonces el producto de 1200x20 daría el valor total de la compra. Para relativizar las cantidades se puede discutir y llegar a un convenio para diferenciar entre “comprar” y “no comprar” y “gastar” y “no gastar”. De esa manera, en el ejemplo se puede proponer preguntas como “Carlos debe comprar cierta cantidad de frutas, después de recibir una llamada de su casa se le informó que requería comprar cinco frutas menos. ¿Cuánto dinero deja de gastar Carlos? En la convención esto podría simbolizarse así: 1200x (-5)=-6000. Es decir, ahorraría (no gastaría) 6 mil pesos. Otro ejemplo podría ser:


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Una persona camina a razón de 20 pasos por minuto. ¿Cuántos pasos caminará en los próximos seis minutos? ¿Qué se puede decir de la posición de la persona hace seis minutos? Para responder estas preguntas el estudiante debe relativizar el tiempo y suponer a partir de determinada posición (inicial) y tiempo, los minutos que transcurrirían se asumirían con un signo, y los minutos que han pasado se asumirían con el signo contrario. Así, la primera pregunta puede responderse con la expresión 20x6=120 cuya interpretación es que en los próximos seis minutos la persona avanzará 120 pasos. Para la segunda pregunta, 20 x (-6) = - 120, es decir, hace seis minutos la persona se encontraba 120 pasos atrás de la posición inicial acordada. En esta tarea, las cantidades se pueden relativizar aún más, si se hacen convenciones frente al sentido en el cual camina la persona, si camina hacia adelante se asume con un signo, pero si camina hacia atrás caminaría con una “velocidad” con signo contrario. Es importante aclarar que en ningún caso se está afirmando que existe el tiempo negativo, solo se está relativizando en la tarea. Este tipo de tareas ofrece oportunidades para que los estudiantes le den sentido a las operaciones (por ejemplo cantidad positiva multiplicada por cantidad negativa da como resultado una cantidad negativa). De ese modo, las operaciones no solo deben utilizarse para operar sobre los números sin contexto, sino que, contrario a ello, usan los contextos y problemas para realizar operaciones con sentido y dando significados a los procedimientos. Una excelente manera de evaluar los desarrollos de los estudiantes sería darles la posibilidad de que ellos mismos construyeran situaciones y relativizarán las cantidades en ellas, e hicieran las operaciones de acuerdo con las preguntas que ellos mismos pudieran plantear. En relación con el trabajo con fracciones conviene que los estudiantes aprecien las fracciones en el entorno y las representen, por ejemplo, conviene que los estudiantes comparen fracciones decimales- un décimo y un centésimo- preguntados por cuál es el mayor, los estudiantes seguramente afirmarán que un centésimo es mayor, dado ‘cien’ es mayor que ‘diez’. Si los estudiantes toman dos tiras de papel, a una la dividen en cien partes, y a la otra la dividen en diez partes, comprenderán lo que significa la expresión y determinarán la fracción mayor. Una tarea que genera actividad matemática en el ámbito de los números enteros es la siguiente (DBA grado sexto): Una compañía de pintura contrata empleados por días. La compañía determina que el monto que se paga por hora trabajada es de $8.000, en jornada normal (8 horas diarias), pero si se hacen horas extras, se paga la hora a $9.000 (máximo 4 diarias). Describe verbal, numérica, gráfica o simbólicamente, el monto que se ha de pagar diariamente y en varios días según la cantidad de horas extras. Puede pedir a los estudiantes que discutan el enunciado, que realicen una tabla donde consignen los datos y descubran las relaciones. Cualquier forma de solución: verbal, numérica, gráfica o simbólica es válida. Conviene resaltar que esta tarea promueve la identificación de relaciones entre variables (el monto del salario en función de horas trabajadas), representaciones en diversos sistemas, encontrar las operaciones, interpretar los resultados, hacer previsiones. No conviene preferir una solución sobre otra, en todas las estrategias de solución se realiza actividad matemática, lo cual motiva a los estudiantes a participar y buscar soluciones más idóneas. A lo largo del curso podría retomarse el mismo enunciado y asignar precios que incluyan fracciones, por ejemplo, se paga $ 9550 por hora, de tal suerte que los estudiantes operen con expresiones decimales. Este contexto podría ayudar a los estudiantes a usar naturalmente sus conocimientos sobre operaciones con dinero para efectuar las operaciones, y sus propiedades, que posteriormente podrían ser discutidas formalmente con los estudiantes. El profesor debería aceptar que los estudiantes adopten procedimientos correctos pero no estándar de cálculo. Si tales procedimientos son válidos solo en algunos casos, los mismos estudiantes descubrirán la limitación de tales procesos. Esta actitud promueve el desarrollo de la actividad matemática en relación con los usos en contextos sociales, no debe promoverse una imagen de la matemática en términos de reglas o propiedades que se desarrollan pero sin comprender su naturaleza. La misma tarea se puede utilizar para discutir sobre el uso de porcentajes, sobre los aportes para pensiones y cesantías, así mismo para discutir sobre este concepto- seguridad social, ahorro- que


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pueden vincularse con temas de carácter social. En este contexto puede preguntarse sobre el efecto que tiene aumentar el porcentaje de aporte- considerando que refiere a una disminución del salario del empleado, pero un aporte futuro a su bienestar en salud y en prestaciones sociales. La regla de la Oficina de Seguridad Social dice: Si se trabaja 8 horas diarias, se ha de pagar $1000 fijos, más un 5% para salud, pensiones y cesantías. Pero si se trabajan más de 8 horas, se ha de pagar $1000, más un 4% para salud, pensiones y cesantías.’ se puede discutir sobre si los cálculos que se hacen son por día o son mensuales, y las implicaciones financieras que para el salario del obrero tendría cada una de ellas. Se sabe que el cálculo debe ser diario y el pago debe ser con periodicidad mensual, de acuerdo con las normas del Estado Colombiano. Es decir el salario de un trabajador que trabajara 12 horas diarias, durante 30 días, sería de 6 millones menos los descuentos por seguridad social, salud y cesantías correspondientes a (180000) pesos, tendríamos un salario de 5820000 pesos mensuales. Podríamos proponer una situación que conduzca a una ecuación: Si se supone que si un obrero no va a trabajar, no le pagan el día no trabajado, y si el salario de un obrero a fin de mes fue de 5520000 mensuales, ¿cuántos días faltó al trabajo? El estudiante podrá generar preguntas como: ¿Trabajaba jornada de 8 horas o jornada de 12, o algunas veces trabajaba menos de cuatro horas extras? Estas son preguntas válidas que permiten diversos tipos de estrategias y de cálculos.

4. Evidencias evaluativas

Posibles dificultades Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer

No establecer una diferencia entre las cantidades relativas en un contexto determinado para realizar operaciones entre ellas.

Es común que los estudiantes al realizar operaciones con números enteros, multipliquen los signos sin hacer ninguna distinción entre la operación que están desarrollando, es por ello que se sugiere analizar el contexto en el cual aparecen estas cantidades y de esa manera dialogar con los estudiantes sobre el significado de una cantidad positiva y de una negativa.

Realizar representaciones incorrectas para comparar dos números racionales.

Se sugiere proponer actividades de aula en las cuales se exploren diferentes maneras de representar un número racional, algunas de ellas centradas en su representación decimal,


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otras en su representación fraccionaria incluida un diagrama que se relacione con ella; también conviene recurrir al trabajo realizado en el grado anterior con la recta numérica.

Identificar de manera inadecuada una relación entre dos o más variables.

Determinar la cantidad de variables que aparecen en un problema, identificar las características de cada una de ellas y centrar el diálogo con los estudiantes en el análisis de cada una de esas características, es una estrategia que permite encontrar relaciones entre las variables de manera verbal, numérica, gráfica o simbólica.

Describe procedimientos incorrectos para hallar la solución de una ecuación lineal.

El trabajo de aula vinculado a plataformas virtuales que representan el proceso para solucionar una ecuación lineal, promueve acciones por parte de los estudiantes que le permiten identificar las propiedades de la igualdad y superar conjeturas como “lo que está sumando pasa a restar”.

Sobre el Pensamiento Espacial y Métrico

1. Introducción

Al llegar al grado sexto, los estudiantes se han acercado de manera informal al reconocimiento de puntos, líneas, planos, figuras y cuerpos. A partir de procesos de visualización global, percepción de elementos constitutivos de figuras y sólidos, descripción, dibujo e interacción con objetos del entorno, realizaron conjeturas acerca de lo bidimensional y lo tridimensional y establecieron relaciones entre las características y propiedades de los objetos, relaciones de paralelismo, perpendicularidad y regularidades que se expresan con mayor facilidad por medio de figuras que de expresiones


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verbales. De esta manera en el grado sexto se busca que los estudiantes no solo perciban, describan y comparen cuerpos y figuras, sino que puedan avanzar en los niveles de razonamiento en tanto las representaciones mentales puedan surgir a partir de las transformaciones de las figuras y su construcción. De otro lado, se espera que utilicen diferentes estrategias de medida directas e indirectas de manera comprensiva, que estimen la medida de ángulos, agudos, obtusos, reflejos etc. y utilicen este conocimiento para resolver problemas geométricos que involucran las propiedades de los ángulos y los lados de una figura y puedan hallar las medidas desconocidas de unos y otros, ya no solo por técnicas directas de medición sino con procesos de estimación, mediciones indirectos a partir del reconocimiento de las propiedades y regularidades entre las figuras. Después de constatar que los estudiantes reconocen figuras bidimensionales y tridimensionales y sus propiedades, hacen representaciones, mediciones y clasificaciones entre ellas, el profesor puede proponer acciones para afianzar o para profundizar según el caso. Para afianzar los procesos de razonamiento puede proponer pruebas, por ejemplo, para la “cuadratura de los triángulos” o la clasificación de los cuadriláteros, entre otras. Para el primer caso se consideran las preguntas, la orientación dirigida, la explicación, la orientación libre y la integración. Para el segundo caso los organizadores gráficos y los diferentes ordenamientos propuestos tanto por el profesor como por los mismos estudiantes. Para afianzar en los conceptos relativos a las magnitudes y sus medidas, se propone que los estudiantes analicen una situación de un contexto real y seleccionen los instrumentos, los tipos de medición, las unidades y la pertinencia de usar algunos de ellos para enfrentar la situación. De igual manera y con la ayuda del profesor que revisen las respuestas a la luz de las preguntas, y puedan aproximarse a la generalización, es decir que puedan responder preguntas como: ¿En qué otras situaciones o problemas se puede utilizar esta estrategia de solución?, los mismos instrumentos?, unidades, etc.?



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Algunas ideas fundamentales del pensamiento métrico-espacial del grado 6°

Las formas y sus relaciones

Al presentarles triángulos rectángulos en distintas posiciones, los estudiantes pueden reconocer el ángulo recto y los lados evidenciando que no cambian al pasarlos de una posición a otra, de igual manera los triángulos equiláteros, si los ve en diferentes lugares del plano y al aplicarles rotaciones, los estudiantes reconocen que sus lados y sus ángulos son iguales. Pueden hacer mediciones y comprobar las invariantes. Reconocen que un paralelogramo se puede descomponer y componer como un rectángulo y que se conservan los lados paralelos e iguales, es decir sigue siendo paralelogramo, pero los ángulos ahora son rectos y por ello es posible calcular el área de paralelogramos como la de un rectángulo, donde la altura y la base son las mismas. Así paulatinamente los estudiantes van descubriendo regularidades en las figuras y en sus transformaciones y pueden explicitar propiedades y relaciones entre ellas, y reconocer la semana y las congruencias entre figuras aunque no se aborden demostraciones formales. Para realizar construcciones, se espera que el profesor acompañe a los estudiantes inicialmente explicando la importancia de las “construcciones euclidianas” su diferencia con las construcciones, a partir de mediciones. Así que reconozcan que en las construcciones euclidianas no se permite medir y por lo tanto la regla euclidiana no es graduada como las reglas modernas.

Atributos de los cuerpos que se pueden

medir

Se propone generar diálogos con los estudiantes, con relación a las unidades más conocidas de longitud, ángulos, área, volumen, y cómo están presentes en los respectivos instrumentos de medición de esas magnitudes. Además cuáles situaciones se relacionan con la medición de unas o de otras, es decir ¿en qué casos se mide longitud?, ¿en qué casos se mide área?, ¿en cuales se mide volumen, etc.?

Medición y Estimación de Atributos

Luego que hagan estimaciones de longitud, con base en instrumentos como cintas: una que mida un metro pero no tenga divisiones, otra de un metro pero con diez divisiones iguales y otra con 100 divisiones, así un metro no tradicional, en el cual se puedan reconocer las unidades por separado. Después de las estimaciones, hacer unas primeras mediciones de unas cintas con otras, unas como objeto para medirle la longitud (lado más largo, para este caso) y otras como instrumento de medida, por lo tanto las unidades para expresar la medida deben ser las del instrumento utilizado en cada caso. De igual manera puede hacerse con él área, el volumen y otras magnitudes.


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Localización en el espacio y trayectoria

recorrida

Las situaciones relativas a la ubicación tanto del propio cuerpo como de otros cuerpos y de figuras en el espacio y en el plano, son muy ricas para afianzar conceptos y procesos tanto de localización como de representación e interpretación de relaciones entre coordenadas. Una amplia gama de tareas para poner en juego la actividad matemática de los estudiantes tiene que ver con juegos, software y aplicaciones como Google maps y Street View; en los cuales la localización, las trayectorias, los giros, las ampliaciones y reducciones se hacen significativas para el estudiante. Es así como la utilización del plano cartesiano y de las tareas mencionadas, permitirá pasar de descripciones basadas en la percepción de formas y figuras al análisis de las relaciones entre sus propiedades, por ejemplo comprender las relaciones entre ángulos, entre la longitud de los lados, el perímetro, el área, y el volumen de objetos similares. Dibujar polígonos en el plano coordenado a partir de las coordenadas de los vértices, utilizar las coordenadas para hallar la longitud de los lados cuando los puntos tienen alguna coordenada igual, esto favorece la solución de problemas de la vida cotidiana y afianzar en los aspectos mencionados.

3. Situaciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática Los tipos de problemas asociados al pensamiento geométrico y al pensamiento métrico, están relacionados con la formulación y resolución de situaciones en las que se:

● Necesita comunicar a otros cuestiones relacionadas con: ¿cómo se puede descomponer o recomponer figuras bidimensionales ? ● Requiere identificar las propiedades de las figuras bidimensionales que se emplean al realizar teselaciones. ● Requiere justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos exteriores e interiores de una figura o polígono. ● Justifican los procesos de medición directa o indirecta, o el uso de instrumentos estandarizados como cintas métricas, compás y transportador.

Realizar teselaciones permite a los estudiantes caracterizar relaciones entre figuras o entre sus elementos constitutivos, por lo tanto, se espera que los estudiantes puedan avanzar a un nivel operatorio de la percepción visual, en el cual cobran importancia las manipulaciones mentales de las figuras, las transformaciones (rotaciones, traslaciones) visuales como en el caso de los rompecabezas y los teselados. Al llevar a cabo una teselación los estudiantes forman imágenes mentales y visualizan las posibles rotaciones y posiciones de la figura y a partir de estas manipulaciones reconocen congruencia entre figuras, la conservación y medición de área y algunas conjeturas con relación a procesos de medición, como también regularidades geométricas. Para el grado 6, se espera que los estudiantes identifiquen y expresen en forma oral y escrita, con lenguaje formal, la notación para los ángulos, los lados, las líneas de simetría las figuras y las propiedades de los polígonos regulares, especialmente de los triángulos y cuadriláteros. Además es importante continuar con el desarrollo del sentido espacial, a partir de la necesidad de refinar los procesos de visualización y de las transformaciones entre las figuras involucradas en diferentes teselaciones y rompecabezas, a través de actividades articuladas y tendientes a la búsqueda de


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argumentos geométricos (razonamiento), por ejemplo después de interactuar con teselados y de comparar diferentes triángulos y cuadriláteros, identificar y explicar las razones por las cuales la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 y la de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360. Una situación que puede desencadenar actividad matemática en el desarrollo de los derechos de aprendizaje del grado 6, relativos al pensamiento espacial y métrico, consiste en realizar una teselación sobre una cartulina o papel grande a partir de diferentes figuras geométricas, de forma que puedan decidir cuáles figuras cumplen con las condiciones para ser teseladas y diferencien entre teselaciones y semi-teselaciones, a partir de los ángulos involucrados y de las propiedades de las figuras (lados paralelos, lados iguales, relaciones de inclusión y clasificación de polígonos) . En un primer momento se sugiere indagar con los estudiantes, ¿en qué lugares se usan los embaldosados?, ¿cómo se usan?, ¿qué estilos prefieren?, ¿cómo los pegan?, ¿cómo hacen los cálculos de cuántas baldosas necesitan?, ¿qué formas tienen las baldosas que conocen?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿puede haber otros tipos de baldosas?, el profesor puede incentivar el debate a partir de preguntas como las siguientes: ¿se puede diseñar un tipo diferente de baldosas?, esto ¿qué implicaría para la construcción?. Aquí se puede explorar y reflexionar sobre la necesidad de los estilos rectangulares en términos de facilidad para la construcción, o en términos del costo, la optimización de espacios y materiales, además la necesidad de usar unos patrones (baldosas de unos tamaños y formas estandarizados). A partir de imágenes de pisos (Fig. 1) el profesor puede proponer el análisis de las relaciones entre las figuras (semejanzas, relaciones de paralelismo y perpendicularidad, número de lados y de ángulos, medida que deben tener los ángulos de las figuras que se utilizan), y plantear preguntas que conduzcan a comprender la relación entre las formas de las figuras y la posibilidad de teselarse: ¿Cómo hacer para saber si determinada figura puede utilizarse para embaldosar una superficie?, ¿Quedarán espacios sin cubrir entre las figuras?. El énfasis de las preguntas debe hacerse en busca de las definiciones, para que los estudiantes orientados y acompañados por el profesor y en grupos colaborativos se atrevan a expresar matemáticamente las regularidades y las generalizaciones que encuentran, y argumenten sobre su clasificación, recurriendo al lenguaje formal, es decir explicitando las relaciones entre los lados de las figuras, entre los ángulos, ya no solo con gestos y palabras sino también utilizando notación específica para los vértices, los lados, las caras, los ángulos, etc.

Fig. 1.

Luego, es importante propiciar espacios de discusión en torno a las preguntas y tareas de teselados planteadas, para ello se les puede pedir a los estudiantes que discutan cómo cubrir el piso del salón o de un sitio conocido (figura rectangular), utilizando diferentes figuras y se les pregunta ¿con qué figuras pueden cubrir la superficie?, ¿todas las figuras la llenan?, ¿cómo tienen que ser los polígonos que cubren completamente la superficie?, estas discusiones en pequeños grupos y luego hacer una puesta en común donde se reconozca el papel de las transformaciones en la solución de la situación. Que admitan que los cuadriláteros, los triángulos equiláteros y los hexágonos regulares cubren por sí solos la superficie, es decir, pueden teselar el plano. (Fig. 2.)


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Fig. 2.

A partir de lo anterior es importante preguntar a los estudiantes por las conclusiones y generalizaciones a las que se han acercado de manera que se aproximen a comprender que hay teselaciones regulares en las que la figura elegida llena completamente el plano y teselaciones semirregulares en las que se emplean más de un tipo de polígonos regulares. En las teselaciones se cumple que la suma de las medidas de los ángulos alrededor de un punto es 360°, como es el caso de los hexágonos regulares 120° + 120° + 120° = 360°, sin embargo los pentágonos regulares, por ejemplo, no pueden teselarse pues la suma de las medidas de los ángulos alrededor de un punto apenas es de 324° y queda un espacio de 36° sin llenar. (Fig. 3.)

Fig. 3.


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Existen 8 tipos diferentes de teselaciones semirregulares que los estudiantes pueden encontrar y explorar y realizar, con alguna de ellas, un póster decorativo, pues en este proceso se requiere medir ángulos, trazar paralelas, perpendiculares, hacer transformaciones (rotaciones y traslaciones) y hallar regularidades. Un ejemplo de una de estas teselaciones es la formada por dos octógonos y un cuadrado. En el punto donde se unen los ángulos de las figuras se tiene 2 ∗ 135 + 90 = 360 (Fig. 4)

Fig. 4.

Es posible valorar las teselaciones de los estudiantes atendiendo a criterios como la precisión en los cálculos, el empleo de herramientas adecuadas en su realización, la indagación por otras posibles teselaciones y los criterios empleados para elegir determinadas figuras que cumplan con las características adecuadas para ser teseladas y descartar otras con argumentos geométricos y no únicamente a partir de la percepción visual. En conclusión, para avanzar en el desarrollo del pensamiento métrico - espacial en el grado 6, se requiere reconocer la dialéctica teoría-práctica al propiciar que los estudiantes no solo vivencien de manera reflexiva el proceso de clasificar y describir figuras a partir de sus propiedades y de sus movimientos, de medir y elegir unidades e instrumentos adecuados,, sino que puedan justificar el uso de técnicas y herramientas para desarrollar dichos procesos, que calculen las medidas de manera directa e indirecta sustentando con diferentes niveles de formalización los cálculos, entre ellos las relaciones aditivas y multiplicativas, que a su vez identifiquen y determinen relaciones entre las diferentes unidades usadas en una magnitud específica y realicen las conversiones adecuadas a partir de diferentes estrategias, como también, que refinen cada vez más los procesos de medida y propongan transformaciones a los sistemas de medida utilizados y a los instrumentos, al reconocer la necesidad de obtener mayor precisión, exactitud y eficiencia, en el proceso. En cuanto al uso de unidades para relacionar magnitudes extensivas, continuas y discretas se involucran situaciones de la vida cotidiana que requieran grados de precisión específicos, identificar y representar relaciones entre unidades para dar solución y comunicar a otras personas, por ejemplo en las recetas de cocina, o en situaciones que tienen que ver con el cálculo de algún tipo de material para un arreglo o construcción. En muchos casos se requiere encontrar la mínima o la máxima unidad con la que es posible medir dos o más magnitudes, hacer encuadramientos y buscar niveles cada vez de mayor precisión. Para enfrentar la situación de los teselados, los estudiantes deben reconocer los ángulos en las figuras, analizar la medida de ellos, interpretar lo que significa un grado, y en qué sistemas de medición se utiliza; y a partir de ello hacer los cálculos y ajustes necesarios al momento de explicar los procedimientos utilizados validar las respuestas.


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Posibles dificultades Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer

Clasifican los triángulos y los cuadriláteros asociados a una posición más que a sus propiedades. Así los triángulos rectángulos y los triángulos equiláteros sólo los reconocen como tal cuando están en una posición (tradicional o clásica)

Se recomienda la geometría activa, por ejemplo presentar diferentes figuras en papel, para hacer movimientos naturales, presentar polígonos en geogebra o en otro software para rotarlos y observar sus características, perímetro, área, ángulos

Consideran los lados de las figuras pero no tienen en cuenta sus ángulos, así al hacer construcciones o enfrentar situaciones comete errores con relación a los ángulos, como puede suceder en el caso de los teselados.

Proponer revisión de trabajos de los compañeros y encontrar el error en la medición de ángulos, o de longitudes o de áreas. Actividades en las que dadas dos figuras aparentemente iguales en todo su aspecto, encuentren cierta cantidad de diferencias en el menor tiempo posible. Procesos de ejercitación.

Confunden la rotación con la traslación u otros movimientos. Los software también son una herramienta recomendable aquí. Además los trabajos con tangram, o figuras recortadas en fomi o en papel, permiten diferenciar estos movimientos.

Confunden las unidades con los instrumentos de medida. Las actividades con cintas de papel, los problemas relativos a los teselados como en el caso. Las preguntas sobre la estimación de magnitudes siempre hay que “exigirla” con sus respectivas unidades. Llevar varios instrumentos a la clase para hacer mediciones de diferentes magnitudes, y comparar los procesos de medición, los instrumentos utilizados y los resultados obtenidos.

Sobre el Pensamiento Aleatorio

1. Introducción

Al ingresar al sexto grado los estudiantes han tenido experiencias con el desarrollo de un ciclo investigativo a partir del análisis de variables cualitativas, han elaborado tablas y gráficos adecuados al tipo de problemas abordados y han utilizado medidas de tendencia central para variables cuantitativas discretas. El propósito de los estudios realizados tiene que ver con la descripción del comportamiento de una variable o de la comparación de dos poblaciones o subconjuntos de ellas.


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Para este grado, como en los anteriores, se propone que los estudiantes participen en un ciclo investigativo en el cual se espera que se inicie con el estudio estadístico con datos provenientes de muestras representativas, se usen tablas y gráficas adecuadas y se compare el comportamiento de los datos, así como analicen y cuestionen información estadística proveniente de diferentes fuentes. De otro lado, se profundiza en el significado y el cálculo de la probabilidad como frecuencia relativa.



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Algunas ideas fundamentales del pensamiento aleatorio del grado 6°

Organización de los datos y las medidas de tendencia central y la

variabilidad

Se desarrolla la capacidad para organizar los datos y las medidas de tendencia central y la variabilidad cuando:

Recolectan, organizan, analizan e interpretan datos provenientes de una o varias muestras de variables cuantitativas discretas. Decide el método

de seleccionar la(s) muestra(s) de una población, de tal manera que sea representativa. Explica la variabilidad de los datos debida a las

diferencias muestrales. Determina la muestra y describe la distribución muestral a partir de la media, la mediana y el rango.

Determinan y justifican las mejores formas de representar y analizar los datos. Comunican los resultados sobre la población haciendo inferencias sobre los resultados muestrales.

Probabilidad e inferencia

Se desarrolla una idea de probabilidad e inferencia cuando Los estudiantes construyen el concepto de probabilidad desde la frecuencia relativa, examinado la proporción de éxitos cuando se realizan observaciones repetidas de ocurrencia de resultados aleatorios de un determinado evento. Hacen inferencias sobre los posibles resultados apoyados en la probabilidad.

3. Situaciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática

Algunas situaciones a las que puede hacerse referencia son:

● Comparar el comportamiento de una variable cuantitativa discreta en dos grupos de una misma población o en dos muestra provenientes de dos poblaciones diferentes. ● Diseñar y analizar experimentos para comparar varios grupos, generalmente denominados métodos o tratamientos, como por ejemplo comparar dos o más tratamientos médicos,

entrenamientos, formas de enseñar, etc. ● Desarrollar experimentos aleatorios para describir la probabilidad de ocurrencia de un evento.

A continuación ejemplificamos uno de estos tipos de situaciones, desarrollando un ciclo investigativo. Para iniciar el ciclo el profesor propone a los estudiantes discutir sobre un tema que quieran investigar. Un tema de interés, por ejemplo, puede ser la relación entre el uso del internet y la actividad física entre los estudiantes de básica secundaria de una ciudad determinada. Dado que para este grado el interés del estudio, es comparar los resultados de una variable cuantitativa para dos poblaciones el profesor, una vez definido el tema, les propone a los estudiantes que elaboren una pregunta estadística que tenga implique hacer comparaciones. Entre todos los estudiantes y el profesor proponen algunas preguntas y luego seleccionar aquella que les permite comparar los resultados. Por ejemplo, algunas preguntas a estudiar pueden ser ¿en qué grados los estudiantes prefieren usar el internet a realizar actividad física?, ¿existe diferencia entre las preferencias por hacer actividad física o usar el internet entre hombres y mujeres?, ¿la edad de los estudiantes influye


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en las preferencias a usar el internet o a hacer actividad física? Para continuar con el ciclo investigativo, el profesor formula interrogantes tendientes a determinar lo que han comprendido los estudiantes en relación con la pregunta planteada y si es necesario o no, realizar una retroalimentación o hacer uso de analogías para ampliar la comprensión frente a la pregunta y al desarrollo del ciclo en general; para desarrollar una fase transitoria que le permita avanzar hacia la siguiente etapa, la formulación del plan, se sugiere el abordaje de interrogantes como: ¿Qué se debe hacer para responder a esta pregunta?, ¿Qué tipo de información se necesita saber para responder la pregunta?, ¿Cómo se va a encontrar la información que se necesita?, ¿Qué se debe hacer con la información que se recopila?, ¿Cómo se analizará la información y de qué manera se presentarán los resultados? Estos momentos de transición entre una fase y otra, permitirán al profesor identificar que aprendizajes han consolidado los estudiantes en relación con las variables, los métodos de recolección, análisis, presentación de la información así como la manera como se comunican los resultados de una investigación. Una discusión importante para la comprensión colectiva de la pregunta estadística, girará alrededor las razones que pueden explicar la existencia de una preferencia por el uso del internet, en vez de realizar actividad física, para lo cual es conveniente discutir inicialmente lo que se entenderá por “actividad física” y por el “uso del internet” y cómo se mide cada uno. Este momento es importante pues se delimitan tanto las variables en estudio como el plan de recolección de los datos. En este caso, las variables pueden ser tiempo de navegación diaria en internet, o tiempo de entrenamiento por día, o por semana. Para definir un plan de recolección de información adecuado, se establece cuál es o cuáles son las poblaciones que se involucran en el estudio, para el ejemplo las poblaciones pueden ser los hombres y las mujeres de toda la básica secundaria de una ciudad o cada uno de los grados de básica secundaria de una institución educativa. En esta etapa es vital que los estudiantes expresen sus ideas frente a las formas en las que se puede medir las variables, y cómo podrán recolectar la información. Como en este grado, se busca que los estudiantes realicen una aproximación más profunda hacia la diferenciación entre población y muestra, será necesario que el profesor proponga una discusión sobre la necesidad de seleccionar muestras teniendo en cuenta el tamaño de la población, lo que éstas significan, los métodos para su selección y la representatividad de las mismas para el desarrollo del estudio; preguntas como: Si se conoce el total de elementos que conforman la población, ¿cuál es el tamaño de una muestra para que represente a la población?, ¿qué porcentaje de la población necesitamos para la muestra?, ¿cómo seleccionamos la muestra?, ¿cómo garantizamos que la muestra representa a toda la población?, ¿qué debemos tener en cuenta para seleccionar la muestra?, permiten que los estudiantes desarrollen estrategias informales para la obtención de la muestra, y reconozcan el significado de representatividad y se inicien en el muestreo aleatorio simple. Aquí los conceptos de proporcionalidad podrán aportar para la obtención de la muestra. En el ejemplo, sabiendo que cada grado tiene 40 estudiantes, se podría pensar en que la muestra sea de 10 estudiantes por grado y que la proporción entre hombres y mujeres sea de 4 a 6, ya que se sabe que esta es una buena estimación de la relación entre hombres y mujeres que están matriculados en la institución educativa. Un aspecto importante sobre la noción de muestra y en la que el profesor debe enfatizar es que se reconozca que la muestra no es única y que dependiendo de la muestra que se tome, los resultados del estudio cambiarán, acercando a los estudiantes a la noción de variabilidad muestral. En este sentido, el profesor debe procurar que los estudiantes identifiquen diferentes muestras y que observen qué tan diferentes son unas de otras, lo que les servirá para concluir que aunque las muestras varían los resultados que se obtengan tienen cierta cercanía. En relación con el instrumento de recolección de datos, se invita a los estudiantes a formular preguntas constatando que las preguntas estén bien formuladas y atiendan a las variables a estudiar, en este caso las preguntas deben referir a variables cuantitativas: ¿Cuántas horas diarias hace uso del internet?, ¿Cuántas horas diarias realiza actividad física?, ¿cuántas horas de su tiempo libre dedica a cada una de las siguientes actividades? (realizar una lista), etc. En esta etapa el profesor debe orientar a los estudiantes en reconocer las posibles respuestas que se pueden obtener de una pregunta,


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de manera que pueda reconocer la variabilidad de los datos, debida a las diferentes opiniones de los estudiantes que responden la encuesta. Una vez definido el tamaño de la muestra, se procederá a seleccionar los individuos que la conformarán, para el ejemplo en cuestión, se pueden seleccionar tomando la lista de alumnos de cada curso y usando un método como la rifa, hasta obtener el número total de hombres y mujeres requeridos por cada salón hasta completar todos los cursos seleccionados. Una vez recolectados los datos, se organizan y presentan en tablas de frecuencia, gráficos de barras agrupadas, gráficos de línea o pictogramas según el contexto del problema. En este momento, las acciones del profesor pueden estar orientadas a reconocer claramente los aprendizajes que los estudiantes han alcanzado, por ejemplo, reconocer qué tipos de gráficos construyen y con qué características y en cuáles presentan dificultades, de manera que pueda orientar el trabajo de los estudiantes hacia superar dichas dificultades. Un aspecto importante para la construcción de tablas de frecuencia para este grado, será incluir una nueva columna en la que se represente la frecuencia relativa para hacer interpretaciones de los datos en términos de relaciones parte-todo y razón, de manera que esta nueva representación numérica de la frecuencia de los datos, lleve a construir gráficos de frecuencias relativas o diagramas circulares, para hacer comparaciones en términos porcentuales. En la etapa de Análisis, los estudiantes razonan acerca de las tendencias generales que se observan en las variables a partir de una lectura de los gráficos. Dicha lectura no se limita a verbalizar la información que se encuentra en el gráfico, sino que va más allá, el estudiante deberá realizar operaciones aritméticas usando las frecuencias relativas y explicar su significado en el contexto de la situación en estudio, y a partir de ellas explicar diferencias o semejanzas entre el comportamiento de las variables en estudio. Para el ejemplo, los gráficos y tablas empleados deben permitir que los estudiantes den cuenta de si existe diferencia, entre los estudiantes de cada grado, en relación con las horas diarias dedicadas al uso del internet y a la realización de actividad física o entre los hombres y las mujeres que integran la muestra. El análisis de los resultados incluye el cálculo de medidas representativas que permitan argumentar sobre las diferencias o semejanzas y la distribución de los datos. En este sentido, el uso de calculadoras y hojas de cálculo para obtener los valores de dichas medidas permite que el estudiante se centre en la interpretación de dichos valores y no se limite exclusivamente a calcular las medidas; en nuestro ejemplo, reconocer que si la mediana en la muestra de un grado fue 3 horas de uso del internet diariamente, significa que la mitad de los estudiantes de este grado usan el internet más de 3 horas. Si por el contrario, se ha calculado la media de la muestra de todas las mujeres, y esta ha dado 4,2 horas de uso diario del internet, se deberá entender que si todas las mujeres navegan en internet el mismo número de horas por día, éste debería ser igual a 4,2 horas, interpretación de la media como reparto equitativo. Para la comunicación de los resultados se solicita a los estudiantes que utilicen una lectura diferencial de la información que se obtiene con cada una de las representaciones, y se apoyen en el uso adecuado de expresiones como variables, población o muestra, moda, mediana o media. Para dar respuesta a la pregunta, los estudiantes deben construir argumentos, apoyados en los resultados, que sustenten si existen o no diferencias entre los grados sobre las preferencias por el uso del internet o hacer actividad física. Para el ejemplo, las diferencias pueden sustentarse en un hallazgo que permite afirmar que a mayor grado de escolaridad se disminuye la preferencia de realizar actividad física, o que los hombres prefieren hacer actividad física que usar el internet etc. De otro lado, en la escritura de los hallazgos se propone combinar los análisis de las variables o de las muestras para decidir sobre la tendencia de comportamiento de las variables estudiadas.


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De otro lado y con el interés de fomentar el análisis crítico de la información es importante que el profesor lleve a la clase noticias, informes, reportes de juegos, etc. en los que sea necesario analizar información, para plantear una posible pregunta, analizar el tipo de empleado (gráfica o tabla) y si su construcción corresponde a las características estadísticas establecidas, inferir un plan de recolección de datos, preguntarse si se desarrolló un estudio censal o muestral, y analizar las conclusiones presentadas, en otras palabras, recuperar el ciclo investigativo para una información que se lleva al aula. Este tipo de actividades permitirán que el profesor pueda valorar los avances y progresos de los estudiantes en relación con el tratamiento, organización y análisis de la información, debido a que los estudiantes deberán hacer explícitos sus razonamientos y comunicarlos en relación con un tipo de información determinado. Es por esto, que la lectura de los datos, se debe complejizar, buscando pasar de “leer entre los datos” que consiste en una lectura en donde se desarrollan procedimientos matemáticos para hallar más información, a una lectura que inicie con la construcción de inferencias e identificación de tendencias “leer más allá de los datos”. La lectura de los datos, le debe permitir a los estudiantes poder recuperar las etapas del ciclo investigativo (problema, plan, datos, análisis y conclusiones) y al profesor identificar qué etapas recupera el estudiante y de qué manera. Una de las actividades evaluativas que puede utilizar un profesor, es solicitar a los alumnos que se planteen, a partir de la investigación ya terminada, nuevas preguntas como ¿si se cambia de población o muestra los resultados serán similares? Este tipo de cuestiones cumplen dos propósitos primero, iniciar a los alumnos en el razonamiento inferencial y segundo involucrar a los alumnos en el estudio del azar como una condición presente en algunos los problemas estadísticos en los que se trabaja con muestras. En relación con el estudio de la aleatoriedad y el azar, se espera que el estudiante pueda realizar experimentos aleatorios, anticipar los posibles resultados y calcular las probabilidades de ocurrencia de un evento. Este aspecto se desarrolla mediante la participación de los estudiantes en actividades de juegos en las que esté presente el azar, por ejemplo, los juegos de dados, las cartas, la ruleta, las rifas. Es muy importante que los estudiantes puedan predecir los resultados antes de realizar los experimentos, ya que con ello consolidan la idea de experimento aleatorio como una noción diferente a la que tienen los experimentos determinísticos. En este grado, se acercará a los estudiantes a la comprensión del significado de la probabilidad frecuencial, la cual se busca contrastar con los significados abordados en los años anteriores. Se continúa el proceso del desarrollo de experimentos aleatorios sencillos, en donde se interpreta y asigna la probabilidad de ocurrencia de un evento dado, teniendo en cuenta el número de veces que ocurre el evento dado en relación con el número total de veces que realiza el experimento, por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar un dado con forma de tetraedro, y determinar la probabilidad de que en la cara de la base quede el número 4, será necesario, realizar diferentes repeticiones del experimento, registrar los resultados en una tabla de frecuencias, calcular la frecuencia relativa de cada resultado posible, y con base en esta última, determinar la probabilidad del evento. Es importante mencionar que, las repeticiones que se realizan de un experimento influyen en el resultado de la asignación de la probabilidad, es por esto que los estudiantes deben reconocer que a medida que se aumenta el número de repeticiones del experimento, el valor asignado a la probabilidad será más cercano al valor teórico. Esto significa que los estudiantes deberán hacer comparaciones entre los valores que pueden anticipar para la asignación de una probabilidad, (conociendo el espacio muestral y el evento) con los resultados del experimento.


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Posibles errores o incomprensiones Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer

No diferenciar entre la población y la muestra en un estudio El profesor puede hacer analogías con conjuntos y subconjuntos de cantidades pequeñas, para que se reconozca

que uno es parte del otro.

Hacer preguntas que inviten a reconocer las semejanzas y diferencias entre la población y la muestra.

Asumir que la muestra en un conjunto es única El profesor le puede solicitar al estudiante que extraiga diferentes muestras de una población, y que a partir de ellas realice inferencias frente a los resultados que tendrá de cada estudio.

No diferenciar la media de la mediana Pedir a los estudiantes que cada vez que calculen una medida la interpreten en relación con el problema.

Analizar un conjunto de datos en donde estas medidas sean muy diferentes y hacer sus interpretaciones a la luz del

problema.

Emplear diferentes estrategias numéricas y gráficas para hallar las medidas, reconociendo diferencias en los procedimientos y en lo que representan en un conjunto de datos.

introducciÓn general del Área para el grado...

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