introducciÓn a las derivadas en 1 de bachillerato

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UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado

Trabajo Fin de Máster

INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS EN 1O DE

BACHILLERATO

Alumno/a: Gómez García, Javier Tutor/a: Prof. D. Pedro Garrancho García Dpto: Matemáticas

Junio, 2019

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1. Introducción....................................................................................4

2. Objetivos.........................................................................................5

3. Fundamentacióncurricular..............................................................6

3.1. Contextualizacióndeloscontenidosdentrodelcurrículum...................................7

3.2. Evolucióndellibrodetexto...................................................................................8

4. Fundamentaciónepistemológica...................................................10

4.1. Introducción.......................................................................................................10

4.2. Algodehistoria.Rectatangenteaunacurva.......................................................10

4.3. Derivadadeunafunciónenunpunto.................................................................12

4.3.1. Definición.........................................................................................................124.3.2. Derivabilidadycontinuidad..............................................................................13

4.4. Álgebradederivadas..........................................................................................14

4.4.1. Derivadadelasuma.........................................................................................144.4.2. Derivadadelproducto......................................................................................144.4.3. Derivadadelinverso.........................................................................................154.4.4. Derivadadelcociente.......................................................................................154.4.5. Derivadadelafuncióncompuesta:Regladelacadena...................................154.4.6. Derivadadelafuncióninversa.........................................................................16

4.5. Derivadasdelasfuncionesusuales.....................................................................17

4.5.1. Funciónconstante............................................................................................174.5.2. Funciónidentidad.............................................................................................174.5.3. Funciónpotencia..............................................................................................174.5.4. Funciónlogarítmicayexponencial...................................................................184.5.5. Funciónpotenciadeexponentereal................................................................184.5.6. Funcionestrigonométricas...............................................................................194.5.7. Funcionestrigonométricasrecíprocas.............................................................19

4.6. Aplicacionesdelasderivadas..............................................................................19

4.6.1. Cinemática........................................................................................................194.6.2. Tasainstantáneadevariacióndeunamuestra................................................204.6.3. Termodinámica................................................................................................20

5. Fundamentacióndidáctica:investigacionessobreaprendizajeyla

enseñanza............................................................................................21

5.1. Elpapeldelalumnado.........................................................................................21

5.2. Elpapeldelprofesorado.....................................................................................22

6. Proyeccióndidáctica:Derivadas.....................................................24

3

6.1. Justificación........................................................................................................24

6.2. Contextualizacióndelcentroyelaula.................................................................25

6.3. Objetivos............................................................................................................25

6.3.1. Objetivosgeneralesdeetapa...........................................................................266.3.2. Objetivosdelárea............................................................................................266.3.3. Objetivosdelaunidad......................................................................................27

6.4. Competenciasclave............................................................................................28

6.5. Contenidos..........................................................................................................29

6.6. Metodología.......................................................................................................29

6.7. Actividades,recursosytemporalización..............................................................31

6.7.1. Sesión1:Introducciónaladerivada.Significadomatemático.........................326.7.2. Sesión2:Cálculodederivadas.........................................................................336.7.3. Sesión3:Regladelacadenayejercicios..........................................................346.7.4. Sesión4:Definicióndederivada......................................................................356.7.5. Sesión5:Puntossingularesyrectatangente...................................................366.7.6. Sesión6:Guerradefunciones.Actividadgrupal..............................................386.7.7. Sesión7:Pre-examen.......................................................................................406.7.8. Sesión8:Correccióndelpre-examenydudas.................................................416.7.9. Sesión9:Examen..............................................................................................42

6.8. Atenciónaladiversidad......................................................................................42

6.8.1. Alumnadoconnecesidadderefuerzo..............................................................426.8.2. Alumnadoconaltascapacidades.....................................................................436.8.3. Alumnadocondificultadesenlainteracciónsocial.........................................44

6.9. Evaluación..........................................................................................................45

6.9.1. Contenidosdelaevaluación............................................................................456.9.2. Procedimientodeevaluación...........................................................................47

7. Conclusiones..................................................................................49

8. Referenciasbibliográficas..............................................................50

9. Anexos...........................................................................................52

9.1. Anexo1...............................................................................................................52

9.2. Anexo2...............................................................................................................55

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1. Introducción

El presente trabajo culmina el Master Universitario en Profesorado de EducaciónSecundariaObligatoriayBachillerato,FormaciónProfesionalyenseñanzadeIdiomas.Conélsepretendellevaralaprácticaloaprendidomediantelabúsquedaderecursosparaladocenciayelposteriordiseñodeunaunidaddidáctica.

Los contenidos en torno a los que se conforma el trabajo son la derivación.Contextualizaremos estos contenidos en la asignatura de Matemáticas I de 1º debachillerato. Es en este curso donde el alumnado tiene su primer contacto con lasderivadas.Estoesunadificultadañadiday,asuvez,unamotivaciónextraparaintentarpresentarloscontenidosdelamaneramásinteresanteposible.Unadelasrazonesporlasquesehaelegidoestecursoesdebidoaqueeldesarrollodelasprácticasdocenteshatenidolugar,engranparte,enunprimerodebachillerato.Estohasidounalicientemásparalaeleccióndecurso.

La primera parte del presente trabajo está dedicada al estudio curricular,epistemológicoydidácticodeladerivación:

o En el estudio del currículum se comenzará haciendo una comparativa de laestructuracióndelasderivadasenelcurrículumentrelosdocumentosoficiales,BOJA(nº145,Ordende14dejuliode2016),yellibrodetexto,ANAYA(2016).Acontinuación,seharáunanálisisdelaevolucióndellibrodetextocomparandodosejemplarespertenecientesadosleyeseducativasdistintas:ellibrodetextodelaeditorialSantillana(1976),delsistemaeducativodelaLGE,ydellibrodetextodelaeditorialAnaya(2013),delaLOE.

o En la fundamentación epistemológica se desarrollarán los contenidoscurriculares con cierta profundidad y rigor matemático. Tras una breveintroducción histórica se hará un repaso de los contenidos de las derivadastomando como guion el tema 26 de las oposiciones para profesor dematemáticas,queconstadelossiguientescontenidos:derivadadeunafunciónenunpunto,funciónderivada,derivadassucesivasyaplicaciones.

o La fundamentación didáctica se estará dirigida a los dos pilares del procesoenseñanza-aprendizaje:elalumnadoyelprofesorado.Paraello,sehanrevisadovarias investigaciones que serán de utilidad para elegir una metodologíaadecuada en el aprendizaje de las derivadas y en su evaluación por la partedocente.

Lasegundapartedeltrabajoconsistiráeneldiseñodeunaunidaddidácticateniendoencuentatodoslosrecursosquesehanvistoenlaprimeraparte.Paraestapartesetendrán en cuenta todos los aspectos necesarios para que la unidad sea realista yaplicable.Setendráencuentadentrodeuncontextodecentroyaulaespecíficos,que

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esestecasoesmuysimilaralcursadoenelperiododeprácticas.También,conelfindepoderdarleusoenunfuturo,algunasdelasactividadesmáselaboradasconstanconunplandeclasedefinido.Sinolvidarlasadaptacionescurricularespertinentesparacubrirlosaspectosreferentesalaatenciónaladiversidad.

En definitiva, este trabajo pretende ser el resultado de la aplicación de losconocimientos adquiridos en el master y el período de prácticas. A partir de estosconocimientos,sediseñaráunaunidaddidácticarealistaqueestarárespaldadaporunestudiocurricular,epistemológicoydidáctico,expuestoenestemismotrabajo.

2. Objetivos

LosobjetivosdeesteTrabajodeFindeMasterpuedenserdivididosendosbloques:adquisicióndecompetenciasyaplicaciónprácticaenladocencia.

LascompetenciasnecesariasparapoderdesarrollarlaactividaddocenteseencuentranrecogidasenelApartado3delANEXOdelaOrdenECI/3858/2007,de27dediciembre,porlaqueseestablecenlosrequisitosparalaverificacióndelostítulosuniversitariosoficiales que habiliten para el ejercicio de las profesiones de Profesor de EducaciónSecundariaObligatoriayBachillerato,FormaciónProfesionalyEnseñanzasdeIdiomas.Deestascompetencias,seplanteacomoobjetivolaadquisicióndelassiguientes:

1. Conocerloscontenidoscurricularesdelasmateriasrelativasalaespecializacióndocente correspondiente, así comoel cuerpode conocimientosdidácticosentornoalosprocesosdeenseñanzayaprendizajerespectivos.

2. Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizajepotenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de lascompetencias propias de las respectivas enseñanzas, atendiendo al nivel yformaciónpreviadelalumnado,así como laorientaciónde losmismos, tantoindividualmente comoen colaboración conotros/asdocentes yprofesionalesdelcentro.

3. Buscar,obtener,procesarycomunicarinformación(oral,impresa,audiovisual,digitalomultimedia),transformarlaenconocimientoyaplicarlaenlosprocesosdeenseñanzayaprendizajeenlasmateriaspropiasdelaespecializacióncursada.

4. Desarrollar y aplicar metodologías didácticas tanto grupales comopersonalizadas,adaptadasaladiversidaddelalumnado.

5. Diseñarydesarrollarespaciosdeaprendizajeconespecialatenciónalaequidad,laeducaciónemocionalyenvalores, laigualdaddederechosyoportunidadesentrehombresymujeres,laformaciónciudadanayelrespetodelosderechos

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humanos que faciliten la vida en sociedad, la toma de decisiones y laconstruccióndeunfuturosostenible.

6. Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del alumnado y promover sucapacidadparaaprenderporsímismoyconotros,ydesarrollarhabilidadesdepensamientoydedecisiónquefacilitenlaautonomía, laconfianzaeiniciativapersonales.

7. Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula, dominardestrezas y habilidades sociales necesarias para fomentar el aprendizaje y laconvivencia en el aula, y abordar problemas de disciplina y resolución deconflictos.

8. Diseñaryrealizaractividadesformalesynoformalesquecontribuyanahacerdelcentroun lugardeparticipación y culturaenel entornodondeestéubicado;participar en la evaluación, investigación y la innovación de los procesos deenseñanzayaprendizaje.

9. Conocer la normativa y organización institucional del sistema educativo ymodelosdemejoradelacalidadconaplicaciónaloscentrosdeenseñanza.

Asuvez,sepretendequeestetrabajotengaunautilidadprácticacomopartedeunafuturaprogramacióndidácticaparael concursodeoposicióny, llegadoelmomento,comomaterialparausarloenlapropiaactividaddocente.

3. Fundamentacióncurricular

Ellibrodetextoesusadoduranteelprocesodeenseñanza-aprendizajedeunamateriaconcreta por el profesorado y alumnado conjuntamente en el desarrollo del curso(Gonzalez, 2002). Tal es su importancia, que ya desde hace años se ha resaltado lainfluenciadellibrodetextoenlaenseñanzaylaprácticaeducativadeunpaís,inclusopor encima de los decretos y las órdenes ministeriales que definen el currículum(Schubring,1987).

EnlaprimerapartedeesteapartadosepretendecontextualizardentrodelcurrículumloscontenidosdedicadosalaenseñanzadelasderivadasenlaasignaturaMatemáticasI de 1º de Bachillerato. Este análisis se hará desde la perspectiva del currículumdesarrolladoporelBOJA(nº145,Ordende14dejuliode2016)yeldesarrolladoporellibrodetextodelaeditorialANAYA(2016)paralamismamateria.

Asuvez,sepretendeverlaevoluciónenlamaneradeimpartirloscontenidosdesdehacevariasdécadas,conunsistemaeducativoregidoporlaLGE,alaño2013,últimoañoenvigordelaLOE.Paraello,usaremosunlibrodetextodelaeditorialEducación

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Santillanade1976yotrodelaeditorialAnayade2013.Ambosdelmismocurso,3ºdelbachilleratounificadopolivalente,queesequivalentealactual1ºdebachillerato.

3.1. Contextualizacióndeloscontenidosdentrodelcurrículum

Según laOrden del 14 de julio de 2016 del BOJA, el currículumde la asignatura dematemáticasde1ºdebachilleratositúaa lasderivadasenelBloqueIII:análisis.EstebloqueestáprecedidoporelBloqueII:Númerosyálgebra;yseguidoporelBloqueIV:Geometría. Sin embargo, los libros de texto no siempre siguen esta ordenación decontenidos. En este apartado se analizarán las diferencias en la ordenación delcurrículumde1ºdebachilleratoentreelBOJAyellibrodetextodeAnaya(2016)paralaasignaturaMatemáticasI.Sepondráespecialinteréseneltemadelasderivadas,quesesitúanalfinaldelBloqueIIIsegúnelBOJA.

Enellibrodetextoyacitadoloscontenidosseordenanen4bloques:BloqueI:númerosyálgebra;BloqueII:Trigonometríaynúmeroscomplejos;BloqueIII:Geometría;grupoIV:Análisis;Distribucionesbidimensionales.Comosepuedeobservar,lasderivadassonimpartidascasiafinaldecurso.

Comopuntoencomún,esimportanteseñalarquetantoenelBOJAcomoenellibrodetextosesitúaeltemadelímitesjustoantesdeldederivación.Estoesdebidoaqueelconocimientodellímiteesfundamentalparalacomprensióndeladerivada.Además,elhechodequeseimpartejustoantesdeestetemaayudaráaqueelalumnadotengamásrecientesloscontenidosreferentesaloslímites.

Unaimportantediferenciaenlaordenacióndelcurrículumeslaunificacióndelostemasdenúmeroscomplejosytrigonometría(delosBloquesIyIVdelBOJA,respectivamente)enelBloqueIIdellibrodetexto.Estosetraduceenque,segúnellibrodetexto,cuandoseimpartanloscontenidosdelasderivadas,yasehabrávistoelbloquedegeometría(alcontrarioquesisesigueelordendelBOJA)ysehabráprofundizadoenlasfuncionestrigonométricas.CabedestacarqueenelBloqueIII(análisis)delBOJAestánincluidosloscontenidosdelasfuncionestrigonométricas,portanto,eltemadelasderivadasnoestaríalimitadoporeldesconocimientodeestasfunciones.Sinembargo,sedesarrollamásampliamenteenelBloqueIV(geometría),dondesehacehincapiéenlasrelacionestrigonométricasy la resolucióndeecuacionestrigonométricas.Por tanto,al seguirelordendellibrodetexto,elalumnadotendráunmayordominiodeloscontenidossobretrigonometríaysetendrálaopcióndeplantearejerciciosmáscompletosenlapartequeatañealaderivadadefuncionestrigonométricas.LasegundagrandiferenciaentrelaordenacióndelcurrículumhechaporelBOJAyporellibrodetextoanalizadoeselposicionamiento,porpartedellibrodetexto,delBloqueIV del BOJA (geometría) antes del bloque de análisis. En primera instancia, no se

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necesitanunasnocionesdegeometríamuyavanzadasparaestudiarlasderivadas,bastaconunosconceptosbásicosqueun/aalumno/ade1ºdebachilleratodebeconocer.Sinembargo,sisequiereprofundizarenlarealizacióndeproblemasporpartedelalumnadoytratarlosconunaperspectivatransversalentrelosdemáscontenidosdelaasignatura,elconocimientodelbloquedegeometríapresentaunagranventaja.Unclaroejemplodeestosonlosproblemasdeoptimizaciónquesepuedenrealizarutilizandoeláreaovolumendefigurasgeométricasysusrespectivasecuaciones,comosepuedeverenlaFigura1:

Figura1–Fuente:Librodetextopara1ºBachillerato.EditorialANAYA(2016).p.321.

Recapitulando,podemosconcluirquelaordenacióndelcurrículumhechaporelBOJAno afecta a los contenidos que se deben impartir en la unidad de las derivadas.Noobstante,silimitalaprofundidadeneldesarrollodeloscontenidoscuandosetrataderealizar problemas en los que estén involucradas las funciones trigonométricas y lageometría.

3.2. Evolucióndellibrodetexto

Generalmente,lasmatemáticasnodespiertanuninterésintrínsecohaciaelalumnadodebido al carácter abstracto de sus contenidos, por ello es necesario un mayoracercamientode estamateria al alumnadomediante la vinculacióndel currículuma

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elementos de la vida cotidiana del estudiante. De esta manera, contribuiremos aaumentarelinterésydisminuirelrechazoalasmatemáticas(Ruiz,2008).

Enestesentido,sehaproducidounamejoraencuantoalaformaenlaqueseadaptaelcurrículum a un entorno más familiar para el alumnado. Así lo podemos ver en lacomparativadelosdoslibrosdetextomencionadosanteriormente.EnellibrodetextodeEducaciónSantillanade1976secomienzaeltemadederivaciónconunapequeñaintroducción de lo que se impartirá durante el tema seguido del primer bloque decontenidos:Elproblemadelatangenteaunacurvaenunodesuspuntos.Estelibrodetextoabordaladerivadadesdeunproblemapuramentematemático:ladeterminacióndeunarectatangenteaunacurvaenunodesuspuntos.Enningúnmomentoseadaptaelproblemamatemáticoaelementosdelavidacotidianadelosestudiantes,estatareaquedaríalimitadaalavoluntaddelapersonadocente.Sinembargo,enellibrodetextode Anaya (2013), el tema de derivación comienza con una pequeña introducciónhistórica(dondesenombraelproblemadelarectatangentenombradoanteriormente)yun repasode losmatemáticosquemáscontribuyeronaldesarrollode laderivada.Después de esta breve introducción, se muestra una página con varios ejercicioscontextualizadosdentrodesituacionesfamiliaresparalaclase,comotomarunautobúsen marcha o una carrera de relevos, con sus representaciones gráficascorrespondientes. En estos ejercicios se pretende que el alumnado reflexione sobreestas gráficas y pueda detectar, desde un inicio, la utilidad de los contenidos queaprenderánenlaunidad.

Encuantoalaredaccióndeloscontenidos,enellibrodetextodel1976sehaceunusomásformaldelasmatemáticasysedaunamayorimportanciaalosdesarrollosteóricos,másquealaejemplificacióndecasosconcretos.Sinembargo,enellibrodetextode2013sehacemásusodellenguajeescritoquedelmatemáticoylosconceptosteóricosvanapoyándoseconejemplosconcretos.Enamboslibrosseusangráficasjuntoconlasexplicaciones pertinentes. De hecho, en el libro de 1976 todas las gráficas vienenenumeradas,porel contrario,estonoocurreenel librode2013y,enciertopunto,puedesuponerconfusiónalapersonaqueestéutilizándolo.Otropuntorelacionadoconlaredacciónhaciaelquehanevolucionadoloslibrosdetextoeslaimportanciaenlapresentacióndecontenidos.Incluyendocuadrospararesaltarconceptosimportantes,notasorientativaspararesolverlosejercicios,utilizandoletranegritaenpalabrasclave,etc. Todo ello con el objetivo de presentar el currículumde una formamás clara alalumnado.

Porúltimo,unadelascaracterísticasadestacarenlaevolucióndeloslibrosdetexto,yque está cada vez más presente, es la incorporación de elementos multimedia.Concretamente,ellibrodetextodelaeditorialAnaya(2013)constaconunCDdondese pueden revisar algunos ejercicios resueltos que hacen uso de la representación

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gráfica de funciones. En general, esta herramienta junto con las tecnologías de lainformaciónylacomunicaciónpermitenindagardemaneramásrápidaenlosconceptosmatemáticosquerequierendeunarepresentacióngráfica.

Paraconcluir,laevoluciónqueseobservaentreestosdoslibrosdetextoanalizadosnoes algo aislado. Cada vez se le damás importancia a los elementos que rodean losconceptosmatemáticos(historia,tecnologíasdigitales,elementosgráficosllamativos)sobrelaexposicióndeloscontenidosteóricos(RuizdeGauna,2013).

4. Fundamentaciónepistemológica

4.1. Introducción

Laderivaciónesunaherramientaquehafavorecidoeldesarrollodetodaslasciencias.ElconceptodederivadasurgiódelanecesidadderesolverdosproblemasqueocuparonelestudiodelosmatemáticosdelsigloXVIyanteriores:calcularlarectatangenteaunacurvaenunodesuspuntosyencontrarlavelocidadinstantáneadeunmovimientonouniforme.HastaelsigloXVII,lasolucióndecadaproblemateníaunsoluciónespecíficaynogeneralizable.

FueronNewtonyLeibniz,demanerasimultáneaeindependiente,quienesdesarrollaronunmétodopara laresolucióndeestosproblemascon laayudade losconocimientosacumuladoshastalafecha.Deestamaneranacióelcálculodiferencial.

Unsiglodespués,Eulercontribuyóamejorar laderivada,peroelcálculomatemáticoqueconllevabaseguíasiendopocosistemáticoeintuitivo.

Finalmente,enelsigloXIX,elcálculodelasderivadasseredujoasencillasoperacionesformales.LaideadeCauchyderelacionarelconceptodederivadaconeldelímitenospermitehoyendíapodertrabajarconsolturaenelcampodelasderivadas.

EnesteapartadoseharáunrepasodelafundamentaciónepistemológicadeltemadelasderivadasenlaasignaturadeMatemáticasI.Loscontenidosquesedesarrollaneneste apartado son los regidos por la Orden de 9 de septiembre de 1993 del BOE,concretamentesecentraenel“Tema26:Derivadadeunafunciónenunpunto.Funciónderivada.Derivadassucesivas.Aplicaciones”.Acontinuación,sedesarrollaránalgunaspartesdeestetemaquetienenrelaciónconelcontenidocurriculardelaasignatura.

4.2. Algodehistoria.Rectatangenteaunacurva

Un ejemplo del cálculo de la tangente a una curva mediante técnicas antiguascorrespondeaDescartes(1596-1650),descritoensuobra“LaGéométrie”de1637.Elmétodosedescribedelasiguientemanera:

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EncontrarunacircunferenciatangenteenunpuntoCaunacurvadada.Estose

haceigualandocircunferenciaycurvayobligandoaquesólosecortenenunpunto.

Yaquelarectatangenteaunacircunferenciaesperpendicularasuradio,comodecía

Euclides,estarectaesfácildecalcular.

(Suzuki,2005)

Peroestemétodoesviablesoloparacurvassencillas.Vamosailustrarloconunejemplo(Martínezde laRosa,2009).Sequiereencontrar latangentea lacurva! = #enelpunto$ %&, % (Figura2).

Figura2-Fuente:MartínezdelaRosa(2009).

Setomaunacircunferenciaconcentroen( = (ℎ, 0)yradio-.Suecuaciónsería:

# − ℎ & + !& = -&

Los puntos de intersección entre la circunferencia y la curva serían las soluciones alsistemadeecuacionessiguiente:

!& + #& − 2ℎ# + ℎ& − -& = 0

! = #

Sustituyendo!por #enlaprimeraseobtiene:

#& + 1 − 2ℎ # + ℎ& + -& = 0

Lacurvaylacircunferenciasecortaránenelpunto2(%&, %),esdecir,elpunto# = %&delacurva.Peroparacumplirlacondicióndequelacircunferenciaseatangentedebedecoincidirconlacurvaúnicamenteenunpunto.Portanto,sedebedecumplirque:

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#& + 1 − 2ℎ # + ℎ& + -& = # − %& &

Operandoeigualandoloscoeficientesde#seobtieneque1 − 2ℎ = 2%&,portanto:

ℎ = %& +1

2

Portanto,elcentrodelacircunferenciatangentealacurva! = #en(%&, %)esiguala

((%& +1

2. 0)

LatangenteenCenperpendicularalradioqueuneelcentrodelacircunferenciayelpuntodetangenciaPC,cuyapendientees−2%comosepuedecomprobar:

456 =% − 0

%& − ℎ=

%

%& − %& −1

2

= −2%

Portanto,lapendientedelarectatangenteenelpunto2(%&, %)seráperpendicularalradioPCeiguala:

1

2%

Esfácilverquecoincideconladerivadadelafunción7 # = #enelpunto2(%&, %):

78 %& =1

2 %&=1

2%

4.3. Derivadadeunafunciónenunpunto

4.3.1. Definición

Sea9 un abierto de:,% ∈ 9 y una función7:9 ⊂ : → :, se llama derivada de lafunción7(#)enunpunto# = %alnúmero:

4 = 78 % = limC→D

7 # − 7(%)

# − %

Siellímiteexisteesúnico,portanto,laderivadade7en# = %,deexistir,esúnica.

También se puede encontrar la expresión en función de ℎ, haciendo el cambio devariableℎ = # − %:

78 % = limE→F

7 % + ℎ − 7(%)

ℎ

Otramaneradedefinirladerivadaescomolatangenteaunafunciónenunpunto.Sellamatangentea lagráficade laaplicación linealquemásseaproximaa7 # enunpunto %, 7 % .Latangenteesunafunciónafíndadaporlaexpresión:

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G # = 78 % ∙ % + I

ComolarectatangenteG # ylafunción7(#)soncoincidentesen# = %tenemosque

G % = 78 % ∙ % + I = 7(%)

DespejandoIysustituyéndolaenlaecuacióndelarectatangenteobtenemos

G # = 78 % # − % + 7(%)

Laecuacióndelatangentealacurva! = 7(#)enelpunto %, 7 % es,portanto,

! − 7 % = 78 % · (# − %)

Siexisteladerivadaenunpunto,pordefinición,existeellímitequeladefine,portanto,existenloslímiteslateralesenesepunto.Cuandoenlaexpresióndeladerivadadadaenprimerlugartomamossoloellímiteporladerechaoporlaizquierda,hablamosdederivadas lateralespor la izquierdaopor laderechade7.Deaquí sededuceque laderivadade7en# = %existesiysolosiexistensusderivadaslateralesporlaizquierdayporladerechaen# = %y,además,soniguales.

4.3.2. Derivabilidadycontinuidad

Si una función es continuano tienepor qué ser derivable; se puede afirmar conuncontraejemplo usando la función 7 # = # . Vemos que es continua en # = 0 nosiendoderivableenestepuntoyaquesusderivadaslateralesen# = 0valen-1y+1,porlaizquierdayporladerecha,respectivamente.

Sinembargo,elteoremarecíprocosíescierto:

v Teorema.

Siunafunción7esderivableen# = %,entonces7escontinuaen# = %.

àDemostración:

Si7(#)esderivableen# = %,existeellímite

78 % = limE→F

7 % + ℎ − 7(%)

ℎ

Sepuedeescribir

7 % + ℎ − 7 % =7 % + ℎ − 7(%)

ℎ· ℎ

dondesepuedehacertenderℎa0:

limE→F

7 % + ℎ − 7 % = limE→F

7 % + ℎ − 7(%)

ℎ· limE→F

ℎ = 7′(%) · 0 = 0

Esdecir

14

limE→F

7 % + ℎ − 7 % = 0

lo que, deshaciendo el cabio de variableℎ = # − %, equivale a limC→D

7 # = 7(%), es

decir,que7escontinuaen# = %.

4.4. Álgebradederivadas

Usandolasoperacionesdefinidasenelanillodelasfuncionesrealesdevariablereal,lasuma y el producto, se calcularán las derivadas de la función suma, de la funciónproducto y del cociente. Así quedará establecida la regla de la cadena para derivarfuncionescompuestas.

4.4.1. Derivadadelasuma

SeaAunabiertode:,% ∈ 9y7:9 ⊂ : → :yG:9 ⊂ : → :dosfuncionesderivablesen# = %;entonces7 + Gesderivableen# = %,secumple:

7 + G 8 % = 78 % + G′(%)

Lademostraciónestrivialyseobtieneaplicandoladefinicióndederivada.

4.4.2. Derivadadelproducto

SeaAunabiertode:,% ∈ 9y7:9 ⊂ : → :yG:9 ⊂ : → :dosfuncionesderivablesen# = %;entonces7 · Gesderivableen# = %,secumple:

7 · G 8 % = 78 % · G % + G8 % · 7(%)

Secompruebadelasiguientemanera:

7 · G 8 % = limE→F

7 · G % + ℎ − 7 · G %

ℎ=

= limE→F

7 % + ℎ · G % + ℎ − 7 % · G %

ℎ=

= limE→F

7 % + ℎ · G % + ℎ − 7 % · G % + ℎ + 7 % · G % + ℎ − 7 % · G %

ℎ=

= limE→F

7 % + ℎ − 7 %

ℎ· limE→F

G % + ℎ + 7 % · limE→F

G % + ℎ − G %

ℎ=

= 78 % · G % + 7 % · G8 %

15

4.4.3. Derivadadelinverso

SeaAunabiertode:,% ∈ 9y7:9 ⊂ : → :unafunciónderivableen# = %talque7(%) ≠ 0;entonces1

7esderivableen# = %,secumple:

1

7

8

% = −7′(%)

7 % &

Secompruebadelasiguientemanera:

1

7

8

% = limE→F

1 7 % + ℎ − (1 7)(%)

ℎ= lim

E→F

1

7(% + ℎ)−

1

7(%)

ℎ=

= limE→F

1

ℎ−7 % + ℎ − 7 %

7 % · 7 % + ℎ=

1

7 % &limE→F

−7 % + ℎ − 7 %

ℎ=

= −7′(%)

7 % &

4.4.4. Derivadadelcociente

SeaAunabiertode:,% ∈ 9y7:9 ⊂ : → :yG:9 ⊂ : → :dosfuncionesderivables

en# = %conG(%) ≠ 0;entonces7 Gesderivableen# = %,secumple:

7

G

8

% =78 % · G % − 7 % · G′(%)

G % &

La demostración es inmediata escribiendo 7 G = 7 · 1 G y utilizando los resultadosusadosenlospuntos4.3.2.y4.3.3.

4.4.5. Derivadadelafuncióncompuesta:Regladelacadena

SeanAyBabiertosde:,demaneraque7 9 ⊆ N,% ∈ 9y7 % ∈ N.Yconsiderando7:9 ⊂ : → : yG:N ⊂ : → :.Si7esderivableen# = % yGesderivableen7(%),entoncesG ∘ 7esderivableen# = %,secumple:

G ∘ 7 8 % = G8 7 % · 78 %

Parademostrarlaregladelacadenaseconstruyelafunciónℎ:N ⊂ : → :definidadelasiguientemanera:

ℎ ! =

G ! − G 7 %

! − 7(%)PQ! ≠ 7(%)

G8 7 % PQ! = 7(%)

16

ComoGesderivableen7(%)setiene

limR→S(D)

ℎ ! = limR→S(D)

G ! − G(7 % )

! − 7(%)= G8 7 % = ℎ(7 % )

luegoℎescontinuaen7(%).

Ahora bien, 7 es derivable en %, por tanto, 7 es continua en %. Entonces, por laspropiedadesdelacomposicióndefuncionescontinuas,lafunciónℎ ∘ 7escontinuaen%.Portanto

limC→D

ℎ 7 # = ℎ 7 % = G′(7 % )

Porotraparte,porladefinicióndeℎ,para# ≠ %,setiene

7 7 # − G(7 % )

# − %= ℎ 7 # ·

7 # − 7(%)

# − %

entoncesexiste

limC→D

G 7 # − G(7 % )

# − %= G8 7 % · 7′(%)

Lautilidaddelaregladelacadenaesevidentepuestoque,conociendoladerivadadedistintasfuncionesenunpunto,podemoscalculardeformainmediataladerivadadelafuncióncompuestaporvariasdeellas.

4.4.6. Derivadadelafuncióninversa

Sea7unafunciónmonótonaycontinuaenunintervalo.Si7esderivableenunpunto%interioradichointervaloy78 % ≠ 0,entoncessufuncióninversaes7TUesderivableenV = 7(%)y

7TU 8 V =1

7′(%)=

1

7′(7TU(V))

Sabiendoquetodafunciónestrictamentecreciente(odecreciente)ycontinuatieneunainversaestrictamentecreciente(odecreciente)ycontinua.

Setienequecumplirque

limW→F

7TU V + X − 7TU(V)

X=

1

7′(%)

17

Sea

ℎ = 7TU V + X − 7TU V = 7TU V + X − %

Entonces% + ℎ = 7TU(V + X)y,portanto,V + X = 7(% + ℎ);luego

X = 7 % + ℎ − V = 7 % + ℎ − 7 %

Además,siX ≠ 0tambiénℎ ≠ 0puestoque7TUesmonótonaypodemosescribir

7TU V + X − 7TU V

X=

ℎ

7 % + ℎ − 7 %=

1

7 % + ℎ − 7 %

ℎ

Porotrolado,como7TUescontinuaenV,

limW→F

7TU V + X − 7TU V = 0

Esdecir,ℎ → 0cuandoX → 0,ycomo7esderivableen%y7′(%) ≠ 0,setiene

limW→F

7TU V + X − 7TU(V)

X= lim

E→F

1

7 % + ℎ − 7 %

ℎ

=1

78 %

Queesloquequeríamosdemostrar.

4.5. Derivadasdelasfuncionesusuales

Laderivadadeunafunciónrealdevariablerealenunpuntotienecomoresultadootronúmeroreal,encasodeexistir.

Acontinuación,veremoslasderivadasdelasfuncionesmásusuales.

4.5.1. Funciónconstante

Sealafunción7:: → :definidapor7 # = XsiendoX = $YIPZ%IZ[;existe

78 # = 0∀# ∈ :

4.5.2. Funciónidentidad

Sealafunción7:: → :definidapor7 # = #,suderivadaeslasiguiente

78 # = 1∀# ∈ :

4.5.3. Funciónpotencia

Sealafunción7:: → :definidapor7 # = #],conI ∈ ^suderivadaeslasiguiente

78 # = I · #]TU∀# ∈ :

18

4.5.4. Funciónlogarítmicayexponencial

Lafunciónlogaritmoneperianoeslafunciónln: 0, +∞ → :.Lafunción7 # = ln #esderivableentodo# > 0,siendosuderivadalasiguiente

78 # =1

#∀# ∈ (0, +∞)

La función inversadel logaritmoneperianoes la funciónexponencialexp: : → : debaseelnúmero[.Lafunciónexponencialeslafunción7 # = exp # = [Cy,comolafunción logarítmica es derivable para # > 0 con derivada no nula, el Teorema dederivación de la función inversa nos asegura que la función exponencial también esderivableconderivada

78 # = exp′ # =1

eI′(exp # )=

1

1

exp #

= exp # ∀# ∈ :

Para% > 0,% ≠ 1,sedefinelaexponencialdebase%paracada# ∈ :como

[#fD # = %C = [C·gh D

Siseaplica lareglade lacadena,sepuedeprobarque[#fDesderivablepara# ∈ :siendosuderivada

[#fD8 # = [C·gh D · ln % = [#fD # · ln % = %C · ln %

Lafuncióninversaaestaeslafunciónlogarítmicadebase%,eID,queparacada# ∈ :iverifica

eID# =ln #

ln %

Sepuedededucirquesuderivadaes

eID8 # =

1

# · ln %∀∈ :i

4.5.5. Funciónpotenciadeexponentereal

ParaX ∈ :arbitrariosedefinelafunciónpotenciadeexponenteXparacada# > 0por

7 # = #W = [W·gh C

Estafunciónesderivableparacada# > 0ysuderivadaeslasiguiente

78 # = [Wj]C · X ·1

#= #W · X ·

1

#= X · #WTU

19

4.5.6. Funcionestrigonométricas

Para# ∈ :lasfuncionesdefinidasporsin # ! cos #tienenlassiguientesderivadas

(sin #)′ = cos #

(cos #)′ = −sin #

Delamismamanera,teniendoencuentaquelafuncióntangentevienedadapor

tan # =sin #

$YP#

paratodo# ≠ Ip

&siendoI ∈ ^.Laderivadadelafuncióntangenteseslasiguiente

(tan #)′ =1

$YP&#∀# ∈ ::# ≠ I

q

2

4.5.7. Funcionestrigonométricasrecíprocas

Definiendolasfuncionesinversasalasfuncionesseno,cosenoytangenteobtenemoslassiguientesfunciones

7 # = %-$ sin # # ∈ −1, 1 ; 7(#) ∈ −q

2,q

2

G # = %-$ cos # # ∈ −1, 1 ; G(#) ∈ 0, q

ℎ # = %-$ tan # # ∈ :; ℎ(#) ∈ −q

2,q

2

cuyasderivadassonlassiguientes,respectivamente,

78 # =1

1 − #&# ∈ −1, 1

G8 C = −1

1 − #&# ∈ −1, 1

ℎ′ # =1

1 + #&# ∈ :

4.6. Aplicacionesdelasderivadas

Enesteapartadosetrataránalgunosejemplosdelaaplicacióndelasderivadasenlaciencia.

4.6.1. Cinemática

Porlogeneral,elmovimientodeunobjetoenelespaciosedeterminaenfuncióndeltiempo.SiendoPelespaciorecorridoporuncuerpoyZeltiempoempleadoenrecorrereseespacio,sedefinelafunciónP(Z).Siconsideramosqueuncuerposedesplazadesde

20

unpuntoPFaotroPU,siendoeltiempoencadaposiciónZFyZU,respectivamente,sedefinevelocidadmediadelmóvilendichointervalodetiempocomo

st =PU − PF

ZU − ZF=∆P

∆Z

Sielmovimientonoesuniforme,esdecir,notienevelocidadconstante,estecocientevaríaconeltiempo.ParacalcularlavelocidadinstantáneaenuninstanteZFsecalculaellímitedelavelocidadmediacuando∆Z → 0delasiguientemanera:

lim∆v→F

st = lim∆v→F

∆P

∆Z= s(ZF)

Por tanto, la velocidad instantáneaes laderivadadel espacio recorrido respectodeltiempo.

Asímismo,cuandounmóvilvaríasuvelocidadsedicequesufreunaaceleración.Deforma análoga, se puede calcular la aceleración instantánea del movimiento en elinstanteZFdelasiguientemanera:

lim∆v→F

∆s

∆Z= %(ZF)

Esdecir,laaceleracióninstantáneaesladerivadadelavelocidadinstantánearespectoaltiempo,oloqueeslomismo,laderivadasegundadelespaciorecorridorespectoaltiempo.

4.6.2. Tasainstantáneadevariacióndeunamuestra

Siendow = 7(Z)elnúmerodenúcleosdeunamuestraradiactivaenelinstanteZ,porejemplo,sepuededefinirlavelocidaddedesintegracióncomolasiguientederivada:

w8 Z = 7′(Z) = lim∆v→F

7 Z + ∆Z − 7 Z

∆Z

EstelímiteserácerosiZesunpuntoenelquelafunciónpermanececonstanteparaunincrementodetiempolosuficientementepequeño,sinembargo,ellímiteseráinfinitosiZesunpuntoenelquehayunsalto.Enestecaso,esinteresantesustituirlafunciónempíricaporunafuncióncontinuayderivableenlaqueellímiteanteriorexisteynosdaunaideadelcrecimientoinstantáneo.

4.6.3. Termodinámica

Eltiemponoeslaúnicavariableindependientedeinterésparausarladerivadacomorepresentacióndelavariación.Enelcampodelatermodinámica,podemosreferirnosal

21

númerodepartículas∆wenunvolumen∆xdeuncuerposólido.Sepuedehablardedensidaddelcuerpoenunpuntoconcretodesuestructurausandolaexpresión:

lim∆y→F

∆w

∆x

Delamismaformasepuedendefinirotrasmagnitudesfísicascomolavelocidaddeunareacciónquímica,elcalorespecífico,ladilatacióndeunsólido,etc.

5. Fundamentacióndidáctica:investigacionessobreaprendizajeylaenseñanza

Enesteapartadosepretendehacerunanálisisdealgunas investigacionesquehayantratadosaspectosdelaenseñanzadelasderivadas.Paraello,noscentraremosenlosprotagonistasenelprocesodeenseñanza-aprendizaje:elalumnadoyelprofesorado.

5.1. Elpapeldelalumnado

Enelpresenteestudiosepretendedarunaespecialimportanciaalpapeldelalumnadodurante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Para que la clase adopte el papelprotagonista se propone aplicar, al menos en parte de las sesiones, el método deenseñanzaactiva,enconcreto,laclaseinvertida(flippedclassroom).Los/asestudiantestienensuprimercontactoconlasderivadasen1ºdebachillerato,porloquesenecesitaasentarunasbasessólidasenesteconocimiento.Enestesentido,esimportanteescogerunmétododeenseñanzaadecuado.Estametodologíaestárespaldadaporelestudio“Impactodelaulainvertidaduranteelprocesoeducativosuperiorsobrelasderivadasconsiderando la ciencia de datos y el aprendizaje automático” (Salas-Rueda, R.A., &Lugo-García,J.L.,2019),elcualconcluyequeelaulainvertidaesunmodeloquemejoraelprocesoenseñanza-aprendizajeenmatemáticas.ElestudioenelqueestábasadoelartículoserealizaenlaasignaturadeMatemáticasBásicasdelaFacultaddeNegociosen unamuestra 88 estudiantes. Este estudio basado en estudiantes de universidadpuede extenderse a estudiantes de bachillerato. Los ejercicios propuestos en laspruebasdeevaluacióntienenunadificultadasumibleparalaasignaturaMatemáticasIde primero de bachillerato. Asimismo, estos ejercicios actúan como instrumento demedicióndelacomprensióndelasderivadas(Figura3).

22

Figura3-Instrumentodemedicióndelacomprensióndelasderivadas.Tomadade(Salas-RuedayLugo-García,

2019)

Elprocedimientodeclaseinvertidaquesellevaacaboconelalumnadocomienzaconla creación de contenidos, como videos de YouTube, que dotarán a la clase de losconocimientospreviosalassesionesprácticas.Acontinuación,duranteestassesionesdeberándetrabajarengruposdetresparareflexionarydebatirsobrelaresolucióndelos ejercicios. Posteriormente, resolverán algunos de estos ejercicios en la pizarra.Duranteesteprocesoel/ladocenteadquiereunpapeldecolaborador/aenlassesionespresenciales.

Partiendodelosresultadosobtenidosenelartículoantescitado,sepuedeconcluirquela utilización de la clase invertida es una metodología que da el protagonismo alalumnadoyfomentalaadquisicióndeconocimientosdeformaautónomamediantelasherramientas de la información y la comunicación. Además, durante las sesionesprácticasengrupo,setieneunabuenaoportunidadparapromoverlascompetenciasargumentativasycomunicativasalavezqueseponeenvalorladiversidad.

5.2. Elpapeldelprofesorado

Porotro lado, el papeldelprofesorado tambiénes crucial enel procesoenseñanza-aprendizaje de las derivadas y en su evaluación. Dada la novedad del concepto dederivadaparalaclase,esnecesarioasegurarelentendimientototaldelmismo.Porestarazón,identificarelniveldecomprensióndeladerivadaporpartedelalumnadoesunacompetencia que se debe desarrollar en los futuros docentes. Con este fin se harealizadoelestudio“Eldesarrollodelacompetenciadeestudiantesparaprofesordematemáticasdeeducaciónsecundariaenidentificarlacomprensióndeladerivadaenestudiantesdebachillerato”(Sánchez-Matamoros,G.,Fernández,C.,Llinares,S.yValls,J., 2013). Este estudio consiste en evaluar en futuro profesorado el desarrollo de lacompetenciaparaidentificarlacomprensióndeladerivadaenunentornocreadoconestefin.Los/asparticipantesdelestudiorealizanunapruebainicialyotrafinalenlaque

Impacto del aula invertida durante el proceso educativo superior sobre las derivadas considerando la ciencia de datos y el aprendizaje automático

edmetic, 8(1), 2019, E-ISSN: 2254-0059; pp. 147-170 doi: https://doi.org/10.21071/edmetic.v8i1.9542

edmetic, Revista de Educación Mediática y TIC

Tabla 2. Instrumento de medición 1

No. Pregunta Puntos

1 Encontrar la derivada de la siguiente función: y = x4 - 2x3 + x-3 + 1000 10%

2 Utiliza la definición de límite para encontrar la primera derivada de la siguiente función y = x2 + 4x + 1 15%

3 Encontrar la distancia, velocidad y aceleración si x=2. Considera que la Función distancia es y = 2x3 +x2 +x +1 15%

4 Encontrar el valor crítico, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y el máximo o mínimo de la siguiente función y = x2 -4x + 8

20%

5 Encontrar la cuarta derivada yIV de la siguiente función: y=(-2x+1)4 20%

6 Encontrar y‟ y3 + 2x = y2 +1 20%

El Instrumento de medición 2 está compuesto por 15 preguntas cerradas

(Ver Tabla 3).

Tabla 3. Instrumento de medición 2

No. Variable Dimensión Escala de medición

1 Perfil del estudiante

Edad 18 años, 19 años, 20 años, 21 años, 22 años y 23 años

Carrera Administración, Contaduría, Comercio, Mercadotecnia e Informática

Sexo Hombre y Mujer

2 Uso del aula invertida para la comprensión

Reglas de derivación

Mucho (1), Bastante (2), Poco (3), Muy Poco (4) y Nada (5)

Derivada del polinomio


Cálculo de las derivadas


3

Uso del aula invertida para el desarrollo de las habilidades

Recordar las fórmulas


Reconocer la clasificación


Identificar las reglas sobre las derivadas


4 Uso del aula invertida para la aplicación

Empleo de las fórmulas


Resolución de los problemas


Realización de las tareas


5 Uso del aula invertida para la utilidad

Uso de la regla de la cadena


Uso de las derivadas de orden superior


Uso de las derivadas


23

tienenqueinterpretarlasrespuestasdeestudiantesde1ºdebachilleradoaejerciciosde derivadas y calificar en qué nivel han comprendido la derivada. Entre estas dospruebas, los/as participantes reciben 5 sesiones teóricas dirigidas a desarrollar lacompetenciaobjetodeestudio.EnlaFigura4sepuedeobservarelesquemadelmódulorealizado.

Figura4-Esquemadediseñodelmóduloderivada.(Sánchez-Matamorosetal.,2013)

Losnivelesdereconocimientodelacomprensióndeladerivadaqueseusanparamedirlamejoradedichacompetencia son los siguientes (Sánchez-Matamorosetal.,2013,pp.505-506):

- Nivel bajo: se considera la comprensión de los/as estudiantes como “todo onada”.

- Nivelmedio:seidentificanalgunascaracterísticasdelacomprensióndelos/asestudiantesdebachilleratoenrelaciónaalgunoselementosmatemáticos.

- Nivel alto: se identifican las diferentes características de la comprensión delos/asestudiantes.

Los resultados del módulo mostraron que en la prueba inicial la totalidad departicipantespartíandeunnivelbajo.Enlapruebafinalsolo2llegaronaunnivelaltoy4aunnivelmedio,manteniéndoselos2restantesenelnivelbajo(Figura5).

El desarrollo de la competencia de estudiantes para profesor de matemáticas de educación secundaria 503 en identificar la comprensión de la derivada en estudiantes de bachillerato

Figura 1. Esquema del diseño del módulo de derivada

Cuestionario inicial

Cuestionario final

Figura 2. Estructura de las tareas en el cuestionario inicial y final

En el cuestionario final las cuestiones planteadas a los estudiantes para profesor eran las mismas excepto que hacían referencia a las respuestas a los dos problemas. Los problemas del cuestionario inicial mostraban diferentes elementos matemáticos del concepto de derivada de una función en un punto en los modos de representación analítico y gráfico que se habían mostrado relevantes en la caracterización de la comprensión de la derivada (figura 3). De esta manera el cuestionario proporcionaba diferentes respuestas que mostraban diferentes niveles de comprensión de la derivada. Así, el estudiante 1 usa elementos de la derivada de una función en un punto solo en el modo analítico (Nivel Intra). El estudiante 3 usa elementos de la derivada de una función en un punto en el modo analítico y es capaz de usar la aproximación numérica de la derivada de una función en un punto a través de la expresión analítica como límite del cociente incremental pero tiene dificultades en usar algunos elementos en modo gráfico y/o establecer algunas relaciones necesarias en algún problema (Nivel Inter). Y finalmente, el estudiante 2 usa todos los elementos de la derivada de una función en un punto en todos los modos de representación, relacionándolos cuando es necesario en la resolución de los problemas (Nivel Trans).

24

Figura5-Nivelesdecomprensión.(Sánchez-Matamorosetal.,2013)

Elhechodequenoseprodujeraunaevolucióntotalmentepositivaencompetenciadeidentificarlacompresióndeladerivadaenlos/asparticipantesindicaquesudesarrolloescomplejoyserequierenmásactividadesenfocadasaestefin(Sánchez-Matamorosetal.,2013).

EnelpresenteTrabajodeFindeMástersepretendedarimportanciaalacomprensióndeladerivadaporpartedelalumnado.Paraello,esesencialquelos/asdocentesprestenatenciónalasrespuestasdelalumnadodiferenciandoloselementosrelevantesparalacomprensióndeladerivada,yaqueesteesunindicadordeesacompetencia(Sánchez-Matamoroset al., 2013,p.508). Por tanto, la evaluaciónnodebede centrarseenelresultado finaldeunejerciciooproblema, sinoenelprocedimientoempleadoen laresolución del mismo. Para llevar a cabo esta evaluación se debe evitar que losproblemas planteados guíen totalmente al alumnado.Deben de ser problemas cuyaresolucióndejelibertadcadaestudiante,deestamanerasabremosqueconceptoshansidoentendidosporpartedelaclaseysobrecualeshayquetrabajarmás.Además,sefavorece laautonomíadelalumnadoa lahorade resolverlos. Segúnesteestudio,elobjetivo final será que el alumnado comprenda la derivada de manera que puedaresolverelmismoejercicioabordándolodesdedistintosplanteamientos.

6. Proyeccióndidáctica:Derivadas

6.1. Justificación

Lasderivadas sonunaherramientadegranutilidadparaelestudiode innumerablesfenómenos físicos.Porestomismo, seráunaherramientaespecialmente importanteparaelalumnadoquetengaunaproyecciónacadémicaenelmundodelasmatemáticas,laindustriaolafísica.Unbuenejemploenelquesepodríanusarlasderivadasydotarlas,a su vez, de significado físico, es la asignatura de Física de segundode bachillerato.Inclusoenelcursoposterior,segundodebachillerato,sepuedemostrarlasaplicacionesdelasderivadasmedianteladeduccióndelasecuacionesdemovimientoapartirdelasderivadas de la posición respecto al tiempo. Pero para ello, es necesario que el

506 Sánchez-Matamoros, G., Fernández, C., Llinares, S. y Valls, J.

Nivel medio: cuando los EPMs identifican algunas características de la comprensión de los estudiantes de bachillerato en relación a algunos elementos matemáticos.

Nivel alto: cuando los EPMs identifican las diferentes características de la comprensión de los estudiantes.

RESULTADOS La tabla 1 muestra los cambios en la competencia de los EPMs de identificar e interpretar lo que es relevante en relación al comportamiento de los estudiantes de Bachillerato cuando resolvían los problemas de derivada.

Tabla 1. Niveles de noticing

Cuestionario Inicial Cuestionario Final

Niv

eles

de

reco

noci

mie

nto

de la

co

mpr

ensi

ón

mat

emát

ica

Bajo

AAC; SAP; JGM; RLS; JMI; ABPG;

ARP; MV (8) SAP; ABPG (2)

Medio (0) JGM; RLS; ARP; MV (4)

alto (0) AAC ; JMI (2)

El análisis de los cuestionarios inicial y final indica que en general la participación en el módulo mejoró la competencia de reconocer la comprensión, ya que 6 EPMs mejoraron en alguna medida. Esta mejora estuvo vinculada a la manera en la que los EPMs identificaban como relevante cómo los estudiantes de Bachillerato usaban las siguientes relaciones en la resolución de los problemas,

- La relación entre el límite del cociente incremental y el significado de la derivada como pendiente de la recta tangente

- La relación entre la derivabilidad de la función y su continuidad, y

- La manera en la que se usaba la información obtenida desde la función o la función derivada alrededor de los puntos de inflexión y el punto cúspide (entendido como la manera de interpretar el comportamiento de la función derivada para inferir información sobre el comportamiento de la función)

Antes del módulo En el cuestionario inicial los 8 EPMs se referían a la comprensión de los estudiantes de Bachillerato como “o todo o nada”. 5 de los EPMs reconocieron el uso de la TVM, la TVI en x =a y la TVI = f`(a) indicando que los estudiantes conocían algunos elementos matemáticos relativos a la idea de derivada, sin embargo los EPMs no supieron relacionarlo con las evidencias de los otros estudiantes. En cierto sentido, estos EPMs reconocieron las características del nivel de comprensión intra de la derivada de una función en un punto identificando que las respuestas de alguno de los estudiantes indicaban que comprendían elementos matemáticos aislados pero sin relacionarlo con las evidencias de los otros estudiantes.

Los otros 3 EPMs relacionaron entre sí la manera en la que los estudiantes de Bachillerato estaban resolviendo los problemas y reconocieron los dos extremos de la comprensión. Es decir, identificaron que el estudiante 1 sólo era capaz de usar la representación analítica de los diferentes elementos matemáticos pero que tenía dificultades cuando la resolución del problema implicaba manejar la representación geométrica y el paso al límite del cociente incremental en la aproximación numérica, y que el estudiante 2 podía usar adecuadamente estas ideas para resolver los problemas. De esta manera, estos EPMs identificaron las características de la comprensión del

25

alumnadohagaunaprendizajesignificativodelasderivadasenprimerodebachillerato.Para ello, se desarrollará esta unidad con la intención de darle un significado a lasderivadas,empezandoporunaideaintuitivayacabandoporlacomprensiónapartirdeladefinicióndelconceptodederivada.

SegúnlanormativavigenteyexpuestaenelBOJA(nº145,Ordende14dejuliode2016),lasderivadasseencuentranenelBloqueIIIdelcurrículum.EstebloqueestádedicadoalAnálisis y, entre otros, incluye en sus contenidos los tipos de funciones básicas, loslímites,lasderivadasylarepresentacióngráficadefunciones.Sepuedeverqueestoscontenidos tienen un orden lógico, ya que para estudiar las derivadas necesitamosconocer, al menos, las funciones básicas y los límites. A su vez, para estudiar larepresentacióngráficadefuncionesesnecesarioconocertambiénlasderivadas.Estoexplicalasituacióndelasderivadasenestebloquedecontenidosdentrodelcurrículum.

6.2. Contextualizacióndelcentroyelaula

Elcontextoelegidoparadesarrollarestaunidaddidácticasebasaenelcentroenelqueherealizadolasprácticasdocentes:elIESVirgendelCarmen.SituadoenlazonacéntricadeJaén.Latipodealumnadoqueestámatriculadoesestecentroesdefamiliadeclasemedia. El alumnado que ingresa en el IES proviene tanto de colegios situados en lamismazonageográficacomodeotrossituadosenelextrarradiodelaciudad,porloquesepuededecirquehayunaricadiversidadencuantoaalumnadoserefiere.

Elnúmerodepersonasdiscentesquecomponenlasclasesdeprimerodebachilleratoserádeunas20,aproximadamente.Elaulacontaráconmesasysillasquepodremosmoverlibremente,unapizarraclásicayunapizarradigital.Además,elcentrodisponedecalculadorasgráficasyunasaladeordenadoresqueestaráadisposicióndelcuerpodocenteyalumnado.

Launidaddesarrolladaestápensadaparaaplicarseaunaclaseconunnúmerosuficientedeestudiantesparapoderformargruposyrealizaralgunasdelasactividades.EnelIESVirgendelCarmentambiénseimparteelbachilleratodeadultos,enelcualyorealicélaspracticas,conunnúmeronotablementemásreducidodepersonasqueenelgrupodemañana.Eldesarrollodelaunidadcontieneactividadesengrupos,porloqueparapoder aplicarlo a un grupo más reducido serían necesarios algunos ajustes de lasactividadespropuestas.

6.3. Objetivos

Elestudiodelosobjetivosseharádiferenciandoentrelosdeetapa,correspondientesalosdelaúltimaetapadelaeducaciónsecundaria;losdeárea,quesonlospropiosdela

26

asignaturadeMatemáticasI;ylosdelaunidaddederivadas.Estosúltimosestaránmásadaptadosalaunidaddelaquetrataelpresentetrabajo.

6.3.1. Objetivosgeneralesdeetapa

Segúnlalegislaciónpublicadaenelartículo25delRealDecreto1105/2014,de26dediciembre,estaunidaddidácticacontribuiráaqueelalumnadodesarrollelassiguientescapacidadespropiasdelaetapadeBachilleratoquelespermita:

-Fomentarlaigualdadefectivadederechosyoportunidadesentrehombresymujeres,analizar y valorar críticamente las desigualdades y discriminaciones existentes, y enparticularlaviolenciacontralamujereimpulsarlaigualdadrealylanodiscriminacióndelaspersonasporcualquiercondiciónocircunstanciapersonalosocial,conatenciónespecialalaspersonascondiscapacidad.

-Afianzarloshábitosdeestudioydisciplina,comocondicionesnecesariasparaeleficazaprovechamientodelaprendizaje,ycomomediodedesarrollopersonal.

- Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y lacomunicación.

-Accedera losconocimientoscientíficosytecnológicosfundamentalesydominar lashabilidadesbásicaspropiasdelamodalidadelegida.

-Comprenderloselementosyprocedimientosfundamentalesdelainvestigaciónydelosmétodoscientíficos.Conoceryvalorardeformacríticalacontribucióndelacienciaylatecnologíaenelcambiodelascondicionesdevida,asícomoafianzarlasensibilidadyelrespetohaciaelmedioambiente.

-Afianzarelespírituemprendedorconactitudesdecreatividad,flexibilidad,iniciativa,trabajoenequipo,confianzaenunomismoysentidocrítico.

6.3.2. Objetivosdelárea

Asimismo,eldesarrollodeltemadelasderivadaspretendelaconsecucióndealgunosdelosobjetivosdefinidosporelBOJA(nº145,Ordende14dejuliode2016)paralaasignaturadeMatemáticasI:

- Conocer, comprender y aplicar los conceptos, procedimientos y estrategiasmatemáticosasituacionesdiversasquepermitanavanzarenelestudioyconocimientodelasdistintasáreasdelsaber,yaseaeneldelaspropiasMatemáticascomodeotrasCiencias,asícomoaplicaciónen laresolucióndeproblemasde lavidacotidianaydeotrosámbitos.

27

-ReconocereldesarrollodelasMatemáticasalolargodelahistoriacomounprocesocambiantequesebasaeneldescubrimiento,paraelenriquecimientodelosdistintoscamposdelconocimiento.

-Utilizarlosrecursosymediostecnológicosactualesparalaresolucióndeproblemasyparafacilitarlacompresióndedistintassituacionesdadosupotencialparaelcálculoyrepresentacióngráfica.

- Adquirir y manejar con desenvoltura vocabulario de términos y notacionesmatemáticasyexpresarseconrigorcientífico,precisiónyeficaciadeformaoral,escritaygráficaendiferentescircunstanciasquesepuedantratarmatemáticamente.

-Emplearel razonamiento lógico-matemáticocomométodoparaplantearyabordarproblemasdeformajustificada,mostraractitudabierta,críticaytoleranteanteotrosrazonamientosuopiniones.

- Valorar la precisión de los resultados, el trabajo en grupo y distintas formas depensamientoyrazonamientoparacontribuiraunmismofin.

6.3.3. Objetivosdelaunidad

Duranteeldesarrollodelaunidadsepretendenconseguirlossiguientesobjetivos:

OB1:Desarrollarlaautonomíaparaelaprendizajedelasderivadasmedianteelusodelaclaseinvertidayelrazonamientodelosprocedimientosenlosdebatesgeneradosenclase.

OB2: Utilización de las tecnologías de la información y la comunicación (TICs) comofuente de información sobre los contenidos del tema y como soporte para lacomprobacióndeejercicios.

OB3: Identificar gráficamente la ecuaciónderivadadeuna funciónbasándose en losintervalosdecrecimientoydecrecimiento.

OB4: Dominar el cálculo de derivadas en funciones sencillas. Conocer la expresiónmatemática de la definición de derivada. Saber calcular la derivada de una funciónsencillapartiendodelaecuacióndeladefinicióndederivada.

OB5:Conocerlainterpretacióngeométricadeladerivadacomopendientedeunarecta.Sabercalcularlarectatangenteaunafunciónenunpuntoapartirdesuderivada.

OB6:Estudiaryrepresentargráficamentefuncionesobteniendoinformaciónapartirdesus propiedades y extrayendo información sobre su comportamiento local o global.Valorarlautilizacióndelarepresentacióngráficadefuncionesenproblemasgeneradosenuncontextodeterminado,yusarlosmediostecnológicoscomoherramientaparael

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estudiolocalyglobal,yparalarepresentacióndefuncionesylainterpretacióndesuspropiedades.

OB7:Saberidentificarlospuntosdebloqueoenlarealizacióndeproblemas.Argumentaryjustificarelprocedimientousadoenlarealizacióndeproblemas.Aprenderadebatirsobreproblemasmatemáticosescuchandoyrespondiendoconciertorigormatemático.

6.4. Competenciasclave

Lascompetenciasclavequetrabajalaunidadsonlassiguientes:

- Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología(CMCT). Se pretende dar significado a las matemáticas y hacer uso de lastecnologías de la información y la comunicación (TICs). Esto se conseguirácontextualizando algunos de los problemas propuestos en el desarrollo de launidad.

- Competenciaencomunicaciónlingüística(CCL).Sepretendequeseargumentenciertos razonamientos matemáticos de forma correcta y estructurada. Sefavorecerálacreacióndedebatesentornoaproblemaspropuestosenlosqueelalumnadotengaelprotagonismoypuedajustificarsutrabajo.

- Competencia digital (CD). Mediante el uso de las TICs como soporte deaprendizaje.Seharádeformaautónomaydurantelasclasescomoherramientapara una mayor compresión de los contenidos. Estarán en todo momentodisponiblesparaelusoporpartedelalumnadoy lapersonadocentedebedeincentivarsuuso.

- Competenciadeaprenderaaprender (CAA).Directamente relacionadacon lacompetenciadigital,dondelasTICsledaránalalumnadociertaautonomíaparalaadquisicióndeconocimientos.EldesarrollodeestacompetenciaesnecesarioparalaconsecucióndelosOB1yOB2delaunidad.

- Competenciassocialesycívicas(CSC).Medianteeltrabajoengrupoylatomadedecisiones dentro el mismo. Los grupos que se formen deben de tener unadiversidadqueledéalalumnadolaoportunidadrelacionarseconcompañerosycompañerasquenoloharíanfueradeclase.Asuvez,larealizacióndedebates,entornoalcontenidomatemático,esunaoportunidaddefomentarelrespetoylacordialidad,porejemplo,respetandoelturnodepalabra.

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6.5. Contenidos

LoscontenidosimpartidosenestaunidaddidácticaestánbasadosenlaOrdendel14dejulio de 2016 del BOJA. Ordenado temporalmente atendiendo en la aparición en launidadsonlossiguientes:

- Interpretacióndeladerivadacomopendientedeunacurva.

- Relaciónentreladerivadadeunafunciónysusintervalosdecrecimiento.

- Cálculodederivadas.Regladelacadena.

- Definicióndederivada.

- Puntossingulares.

- Rectatangenteaunafunciónporunpunto.

- Representacióndefunciones.

- Problemasdeaplicacionesdelasderivadas.

6.6. Metodología

Lametodologíaqueseempleeenlaenseñanzadelasmatemáticasenbachilleratonoesalgotrivial,comoquedareflejadoenlosdocumentosoficiales:

Elprofesoradodebeactuarcomoorientador,promotoryfacilitadordel

aprendizajeydeldesarrollocompetencialdelalumnado,fomentandosuparticipación

activayautónoma.Asimismo,debedespertarymantenerlamotivación,favoreciendo

laimplicaciónensupropioaprendizaje;promoverhábitosdecolaboraciónydetrabajo

engrupoparafomentarelintercambiodeconocimientosyexperienciasentreiguales;

provocarunavisiónmásampliadelosproblemasaldebatirlosycuestionarlas

soluciones,conlaposibilidaddeplantearnuevosinterrogantesonuevoscaminosde

resoluciónydeaprenderdeloserrores.

BOJA(Ordende14dejuliode2016)

Lasmetodologíasusadasenestaunidadpretendesajustarse,enlamedidadeloposible,alorecomendadoparalaasignaturadematemáticas.

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Unadelasmásusadasparalaunidadquesedesarrollaeslaclaseinvertida.Comoyasevioenelapartadodefundamentacióndidáctica,laclaseinvertidadaelprotagonismoalalumnado y pretende que éste desarrolle su autonomía en la adquisición deconocimientos, es decir, se persigue desarrollar la competencia clave CAA. En estaunidad,laclaseinvertidaseusaparaimpartiralgunoscontenidosteóricos.Enlasesión1,seusaparaqueelalumnadosehagaunaideaintuitivadelsignificadomatemáticodeladerivada.Yenlasesión4,paradeducirlaexpresióndeladefinicióndeladerivadaapartirdelarectatangente.Unpuntopositivodeestametodologíaesqueseleotorgaal alumnado el material que puede revisar cuando quiera. Desde el punto de vistadocente,siseusalaclaseinvertidaparadarcontenidosteóricos,comoeselcasoenestaunidad,sedejamástiempodeclaseparapracticarconactividades.Porelcontrario,existelaposibilidaddequepartedelalumnadonosepreparelapartecorrespondientealtrabajoencasa.Paraello,sehaceunabreveexplicacióndeestoscontenidosamododerepasoy,enelcasodequepartedelalumnadonohayapreparadoloscontenidos,paraqueningúnmiembroquedetotalmentedesubicadoduranteelrestodelasesión.

Otrametodologíaqueseunaeslacreacióndepequeñosdebatesydiscusionesenclase.Estasefomentasiemprequesetieneoportunidad,peroespecialmentecuandopartedelalumnadocometealgúnerroroexisteunpuntodebloqueoenunaactividad.Loquese pretende es que el alumnado sepa identificar el punto de bloqueo y expresarlocorrectamente, para que el resto de compañeros y compañeras argumenten unasoluciónparasolucionarelproblema.Portanto,setrabajanlascompetenciasclavesCCLyCSC.Elpapelde lapersonadocenteconsistiráenguiarestosdebatesparaquenopierdanelobjetivoporelqueseiniciaronymediarcuandoseanecesariohaciendolaspreguntasoportunas,paraquelacomunicaciónseaefectiva.

Unatercerametodologíaesladelagamificaciónyeltrabajoengrupo.Aestaselededicalasesión6completa.Delasesión1ala5sehanvistotodosloscontenidosteóricosdelaunidadysehantrabajadoconactividades.Enlasesión6seseguirántrabajandoloscontenidos, pero esta vez en el contexto de un juego y formando equipos. De estamanerasepretendeaumentarel interésy lamotivacióndelalumnado,evitandoquerelacionenlarealizacióndeactividadesconunatareamonótona.Además,contribuiráaldesarrollodelascompetenciasCCLyCSC.Denuevo,elpapeldelapersonadocenteesdemediadorayguíaparaqueeljuegotranscurraconformealosesperado.TambiénseusaestametodologíajuntoconelusodelasTICsconrecursoscomoelKahoot.Coneste recursosepretendecaptar laatencióndelalumnadoyel interésen lamateria,motivadoporlacompetitividadquedaestejuegoyelusodelastecnologías.

ElusodelasTICstambiénestápresentemásvecesalolargodelaunidad,ysedebedeanimar a utilizar este recurso en cualquier momento que la persona docente o elalumnadoloconsidereútil.

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Enlassesiones7y8sedesarrollaunsimulacrodeexamenylaresolucióndelmismo,elpre-examen.EstametodologíalaheextraídodelperíododeprácticasenelIESVirgendel Carmen. La realización de un pre-examen en las sesiones previas al examenevaluable permite que el alumnado elimine posibles inseguridades de cara a laevaluación y le permita hacer autocrítica. De esta manera, podrá identificar loscontenidossobrelosquemásdebetrabajardecaraalexamendelaunidadypreguntarlasdudasqueselepresenten.Elaspectonegativodelpre-exameneseltrabajoextradecorrecciónquetendrálapersonadocente.Siestosupusieseunproblemaqueafectasea la temporalización de las sesiones, existe la posibilidad de corregirlo en la sesiónposterioralpre-examenjuntoconlaclase.

Por último, y de forma más general, el método empleado en la ordenación de loscontenidosdelassesionestienetambiénunfindidáctico.Alcontrariodeloquesehaceenalgunoslibrosdetexto,ladefinicióndederivadasepresentaenestaunidaddespuésde trabajar el cálculo de las derivadas. El objetivo de este orden es hacer que elalumnado tome contacto con las derivadas, haciéndose una idea intuitiva de susignificadoy,posteriormente,mecaniceelcálculodeladerivadadeunafunción.Unavez estén trabajados estos contenidos, tendrá más herramientas para entender laexpresión de la definición de derivada. Además, podrá dar sentido a las reglas dederivaciónconlaobtencióndelaexpresióndeladerivadadeunafunciónapartirdeladefinicióndederivada,yaqueobtendráporsímismo lasexpresionesquehaestadousandoanteriormente.

En definitiva, las metodologías usadas en la unidad de derivadas están dirigidas aincentivarlamotivaciónyelinterésenlaasignatura.Sepretendecentrarlaatenciónenelalumnado,medianteeldiálogoylaargumentacióndelosprocedimientosqueseusanenlaresolucióndeejercicios.Debidoaesto,lapersonadocentedebedeactuarcomomediadoraparaqueel trabajode loscontenidosporpartedelalumnadosehagademaneraefectiva.

6.7. Actividades,recursosytemporalización

Usandocomoreferencialasguíasdocentesdeloslibrosdetexto,elnúmerodesesionesdedicadasalasderivadasseráde9.Acontinuación,semuestratantolaadaptacióndeloscontenidosalas9sesiones,comoeldesarrollodelosmismos,incluidoslosrecursosusadosylasactividades.

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6.7.1. Sesión1:Introducciónaladerivada.Significadomatemático.

En esta sesión haremos uso de la clase invertida. En la sesión previa omediante laplataformadigitalqueseuse,seleenvíaalalumnadounvídeoquetendránqueveryanalizarantesdeestasesión.

· Recurso: vídeo de la plataforma YouTube donde se explica el significadomatemáticodeladerivadacomopendienteaunacurva(Figura6).

Figura6–Imagendelvídeousadoenlaclaseinvertida1.Fuente:Youtube,link:https://youtu.be/w8hOoHjKo60

Durantelasesión1sediscutirálosprimerosminutossobrelasposiblesdudasquehayanpodidosurgirdelvídeo.

Acontinuación,usandoelproyectordelapizarradigitalsemostrarándistintasfuncionesysepreguntaráa laclasesobre los intervalosdecrecimientoydecrecimientode lasmismas.Elalumnadodeberádeargumentarlasrespuestasquedé.

Unavezqueelejercicioanteriorhayaquedadoclaro.Seharálasiguienteactividad:

à Actividad 1: Relaciona cada ecuación con su representación gráficacorrespondienteycadarepresentacióngráficaconlagráficadesuderivada.

Figura7-Ejemploresueltodeuncasodelaactividad1(Sesión1).

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EnlaFigura7sepuedeverunejemplodeuncasodelaactividadresuelto.EnelAnexo1sepuedeencontrarelmaterialpara realizarelejerciciocompletoy la resolucióndelmismo.

Conestaactividadsepretenderepasarloscontenidosdeltemadefuncionesyafianzarlodadohastaahorasobrelafunciónderivadadeotra.Enlaresolucióndelejercicio,deforma conjunta por toda la clase, se deben de argumentar las soluciones que seplanteen,independientementedesisoncorrectasono.Sinodatiempodeacabarloenclasesemandarácomotarea.

6.7.2. Sesión2:Cálculodederivadas.

En esta sesión se practicará el cálculo de las derivadas. Al comienzo de la clase serepartirá una hoja con las derivadasmás comunes: constante, recta, polinómica degrado n, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También deben de estarincluidas las derivadas de los resultados operativos de una función: constante porfunción,suma,productoycocientedefunciones.

·Recurso:tablaconlasderivadasdelasfuncionesmáscomunesylasderivadasdelosresultadosoperativos.

Laprimerapartedelaclasesededicaráaexplicarcadaunadelasentradasdelatabla,dedicandomástiempoalasquetienenunadificultadmayor.EsrecomendableapoyarseenlasTICspararepresentarlasecuacionesestudiadasysusecuacionesderivadas,deestamanerasepuederesaltarlaimportanciadelsignodeladerivadaconlaszonasdecrecimientoydecrecimientodelafunción.

·Recurso:TICspararepresentarfuncionesysusderivadas.Porejemplo,conelprogramaGeoGebra.

En lasegundapartede laclaseseplantearánactividadesparapracticarelcálculodederivadas.

àActividad1:Calculalasderivadasdelassiguientesfunciones:

a) 7 # = 5# + 3 b)7 # = #|

c)7 # =U

C} d)7 # = 2#

~

e)7 # =C· C�~

C} f)7 # =

C~i&C}iÄ

C· C

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a) 7 # = [C · $YP# b)7 # =jÅÇ}C

&ÉÑ�

c)7 # =&C~T|CiÖ

C}iU d)7 # = (%-$P[I#)(# − 3)

e)7 # =DÜáàâ]C

äãå C f)7 # =

C}·|É

C~

Semandarácomotareaparacasalosejerciciosquenoseanacabadosenclase.Comoelobjetivoesfamiliarizarseconelcálculodederivadas,esrecomendablemandaractividades,semejantesalasanteriores,parapracticarloencasa.

6.7.3. Sesión3:Regladelacadenayejercicios.

Enestasesiónsecomenzaráconlacorreccióndelasactividadesdelasesión2ylaresolucióndeposiblesdudas.

Después,seprocederáalaexplicacióndelaregladelacadenaconalgunosejemplos.

Elrestodelasesión,quedebedeserlamitadaproximadamente,sededicaráaactividadesparapracticarelcálculodederivadas.Estashanderealizarsedemaneraparticipativa,bienconunaconsultacontinuaporpartedelprofesoradohacialaclase,oconunapersonadelalumnadoenlapizarrasiempreguiadaporlafiguradocente.Lasactividadesarealizarserándeltiposiguiente:


a) 7 # = ln 3# + [TC b)7 # = 7 · ln #~

c)7 # = ZGÖ#& d)7 # = arctanC}

Ö

e)7 # = # + # f)7 # = ln(P[I#&)

g)7 # = lnC}iU

C}TU h)7 # = ln(# · [TC)

i)7 # = log(tan #)& j)7 # = logU

âÉ

Enalgunasdelasderivadasdelaactividadhayquehacernotarqueesmásfácilseoperamosparareducirloscálculos.

Comotareaparacasasepuedenmandarejerciciossemejantesalanterior.

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Decaraalasiguientesesiónlemandaremos,mediantelaplataformadigitalqueseusenormalmente,unvídeoexplicativodeladefinicióndederivadaquedeberánverantesdelasiguientesesión.

·Recurso:vídeodelaplataformaYouTubesobrelaobtencióndeladerivadaapartirdelapendientedelarectatangenteaunacurveenunpunto(link:https://youtu.be/57IlIc7P8e8?t=405desdeelminuto6:45al15:20)

6.7.4. Sesión4:Definicióndederivada.

Laprimerapartedelasesión4ladedicamosalaresolucióndedudassobrelosejerciciosdelaclaseanterior.Paracomprobarelgradodecomprensióndelalumnadosobreloscontenidosimpartidoshastaahora,incluidoelvídeoquesemandóverenlasesiónanterior,seharáuncuestionariodemaneragrupalydigital,graciasalaherramientaKahootquecontengapreguntascomolasmostradasenlaactividad1.

·Recurso:cuestionariodigitalizadoenlaplataformaKahootsobrelacomprensióndelasderivadas.

àActividad1(dentrodeKahoot):Contestaalassiguientespreguntassobrederivadas:

1. Laderivadadeunafuncióneslapendientedelarectatangentealagráficaenesepunto.

Opciones:Verdadero/Falso.

2. 78 3 = 0significaquelatangentealagráficade! = 7(#)en# = 3esparalelaalejeX.


3. Si78 −4 > 0,entonces7escrecienteenelpunto# = −4.


4. Lasderivadasdelasfunciones7 # = 5#&yG # = 5#& + 8sonigualesparacualquierpunto#.


5. Laderivadadelafunción7 # = #[&esiguala:

Opciones:78 # = 2#[/78 # = [& + 2#[/78 # = [&/78 # = 0.

Enesteejerciciosedebededaruntiempoderespuestaconsiderable,quepermitapensarlarespuesta.Despuésdecadacuestiónyantesdemostrarlarespuestasedebe

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deplantearlacuestiónalaclasey,encasodequehayadiversidadderespuestas,sedebendeargumentar,favoreciendoquehayaunpequeñodebate.Sepuedeinclusoanimaralalumnadoareforzarsusexplicacioneshaciendousodelapizarraolosprogramasderepresentacióngráficaenlapizarradigital.

Enlasegundamitaddelasesión,serepasanbrevementeloscontenidosdelvídeoparaasegurarnosdequequedanclarosloscontenidossobreladefinicióndeladerivadaapartirdelafórmula:

78 # = limE→F

7 # + ℎ − 7(#)

ℎ

Actoseguido,seprocedeademostrar,conlafórmulaanterior,algunasdelasderivadasquesehanestadopracticandoenlassesiones2y3.Paraellosepuedenrealizarlassiguientesactividades,laprimeraenclasedeformaconjuntaentredocenteyalumnado,ylasegundaparaentregar:

àActividad1:Demuestra,mediantelafórmuladeladefinicióndeladerivadaqueladerivadade7 # = #& + 2esiguala78 # = 2#.

àActividad2:Eligeunafuncióndelatabladelasderivadasmáscomunesydemuestraquesuderivadacoincideconladelatabla.

Paralaactividad2selepediráalalumnadoquenosmuestreladerivadaelegidaparaasegurarquelademostraciónnoexigeconocimientosfueradesualcance.Además,sedebedeinsistirenquelosproblemasqueselesplanteeneneldesarrollodelejerciciolosconsultenconlapersonadocenteyhagananálisisdelospuntosdebloqueo.

6.7.5. Sesión5:Puntossingularesyrectatangente.

Enlaprimeramediahoradelasesiónexplicaremosloquesonlospuntossingularesdeunafunciónycomoobtenerlos.Tantoenunafunciónentodo:comocuandoéstasedefine en un intervalo. Es recomendable ayudarse de las TICs y representar, porejemplo, en lamismagráfica la función y suderivada. Sepuedemostrar así que lospuntos de corte con el eje de abscisas de la derivada corresponden a los puntossingularesdelafunción.

· Recurso: programa Geogebra para representar una función y su derivadaconjuntamente.

Se harán un par de ejercicios como ejemplo de hallar los puntos singulares de unafunción.

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Lasegundamitaddelaclasesededicaráacalcularlaecuacióndelarectatangenteaunafunciónenunpunto.Estodebedehacersemediantelaresolucióndeejemplos.Sedebendeincluirlasrectastangentesdependiente0paraqueseaprecielarelaciónentrelaprimerapartedelaclaseyestasegunda.

El tiempo restantede la clase sededicaráa la resolucióndeejerciciosen losqueseapliquelodadoenestasesión.Algunosdeellossemandaráncomotareaparacasa.Losejerciciosdebendeserdeltipo:

à Actividad 1:Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de laecuación! = #í − 2# − 3enlospuntosdeabscisa-1,0y2.

à Actividad 2:Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la

función! = C�

í− 2#& + 3#cuyapendientesea3.

àActividad3:Hallalaecuacióndelarectatangentealacurva7 # = 3#& − 4#queseaparalelaalarecta2# − ! + 5 = 0.

àActividad4:Dadalaparábola! = #& − 2# − 2,setrazalacuerdaqueunelospuntosdelaparáboladeabscisas# = 1y# = 3.Hallalaecuacióndelarectatangentealaparábolaqueesparalelaaesacuerda.

àActividad5:MercedesquierepasarleunapelotaaJuanporencimadeunapared. Lanza la pelota y ésta describe una trayectoria dada por la ecuación7 # = −5#& + 10#definidaentreMercedes,# = 0,yJuan# = 2.¿QuéalturamáximadebedetenerlaparedparaqueMercedespuedapasarporencimalapelota?

Recomendaciones: Haz un dibujo de la situación del problema. Haz lasconsideracionesquecreasnecesariassiemprequeesténrazonadas.

Esteúltimoejerciciopermiteacercaraalumnadoaunasituacióncontextualizadayverlarelacióndelasderivadasconlarealidad.Además,se ledacierta libertadparaquerazonesobreelproblemaypuedahacerciertasconsideraciones.Lasconsideracionesqueseesperaqueelalumnadohagasondel tipo: seconsiderael sueloenelejedeabscisasolapareddebedeestarsituadaenelpuntodemáximaaltura.

En laActividad5se tratancontenidosde laasignaturadeFísicayQuímicade formatransversal.Comopropuestademejora,seproponeponersedeacuerdoconlapersonadocentedeestaasignaturaparaadaptarlaactividadysupresentaciónaloscontenidosdelamisma,demaneraqueelalumnadoseaconscientedelarelaciónentreambas.

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6.7.6. Sesión6:Guerradefunciones.Actividadgrupal.

Duranteestasesiónsedesarrollaráunaactividadengrupo.Alcomienzodelaclasesedividiráalalumnadoengruposde3a4personasycadagrupodeberádetenerungrupocontrincantedelmismonúmerodepersonas.Estadivisiónladirigirálapersonadocentefavoreciendo la diversidad en la formación de grupos. Como resultado se tendrán 3parejas de grupos. La distribución de mesas en la clase debe de favorecer lacomunicaciónentregruposcontrincantesdemanerafrontal,portanto,sedispondránlasmesasde3isletasycadagruposesituaráenunladodelaisleta.Laorganizacióndelaclasenodebededurarmásde10min,encasodequesepreveaquedurarámásdeesetiempo,ladivisióndegruposlapuedehacerlapersonadocenteantesdelasesión.

Acontinuación,seexpondrálaactividadysepresentaráelplandeclaseparalamisma:

àActividad1:Vamosalibrarunabatallaen2dimensionesentredosmundosconunaextensiónde15x15unidades(Figura8).Hemosconseguidoinfiltrarunafunciónespíaenelmundobi-dimensionaldelenemigo,perotenemosnoticiasde que en nuestro mundo también hay una función malvada. Para evitarconflictosdeunamayormagnitud,hemoshechounpactoconelenemigoconlassiguientesreglas:

a) Cadacontrincantedispararárectasmágicasporturnosdesdeelcentrodesumundoparadescubrirlafunciónenemiga.

b) Cada recta tiene el poder de interaccionar con la función enemiga en lospuntosdeintersecciónconlamisma.

c) Cuandolarectamágicainteraccioneconlafunciónenemiga,elcontrincantedeberádedarnoslospuntosdeintersecciónyelvalordeladerivadadesufunciónenesosmismospuntos.

Ganarálabatallaquienantesdescifrelaecuacióndelafunciónenemigaoculta.

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Figura7-Mapaparaactividadgrupal.

Elplandeclaseparaestaactividadsepuedeestructuraren3puntos:

1. Presentación:Acadagruposeleproporcionaunmapavacío(Figura8)yunmapaconunafuncióndibujadaylaecuacióncorrespondiente.Estesegundomapaeseldelafunciónquetienequedescifrarelequipocontrario.Lacomplejidaddetodaslasfuncionesenjuegodebedesersimilarparaevitarfavoreceraningúnequipo.Laactividad comienza con la lectura del enunciado por parte del alumnado. Acontinuación,seexplicabrevementeelejercicioyseresuelvenlasposiblesdudasquepuedansurgir.Laeleccióndelprimerturnosehacealazar.

2. Desarrollodeljuego:Duranteelprincipiodeljuegolafiguradocentedebeatenderatodoslosgruposparaasegurarsedequehanentendidoladinámicadeljuego.Sihaydudasgeneralizadasseharánexplicacionesparatoda laclase.Estetipodedudasgeneralizadas pueden indicar que hay algo que no está claro en el ejercicio, portanto,nosayudanahacerunaautoevaluacióndelmismoseguidodeunaposiblemejora para un futuro. Además, es necesario comprobar el desarrollo de lasoperaciones que realiza el alumnado para evitar que den resultados erróneos alequiporival.Sialgúngruposebloqueahabráqueguiarlomediantepreguntassobresuprocedimiento,demaneraqueseanlosmismosintegranteslosquesedencuentadesupuntodebloqueoyplanteenunasolución.Igualmente,siungruposecentrademasiadoen loscálculosse ledeberádedarun tiempo límiteypasarde turnotranscurridoesetiempo.

3. Finalizaciónydebate:Cuandohayaalgúnequipoganador tendráque justificareltrabajoquehahechoparallegaradescubrirlaecuacióndelafunciónoculta.Encaso

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dequehayaequiposquenohayandescubiertolafunciónenemiga,selededicaránlos últimos minutos de la clase a que cada equipo explique brevemente elprocedimiento que ha seguido y las dificultades que han tenido. El objetivo esgenerarunpequeñodebateenelquecadaequipomuestrelosresultadosalosqueha llegado y el contrincante la corrijao valide losmismos, siempreenunmarcoargumentativoenel ámbitode lasmatemáticas. Enestaúltimaparte lapersonadocentedeberádeactuardemediadora,dirigiendolasargumentacioneshacialospuntosquetenganmásinteréscomo,porejemplo,lasdudasyequivocacionesmáscomunesentretodoslosparticipantes.

EnelAnexo2sepuedeverunejemploderesolucióndelaactividadpropuesta.

6.7.7. Sesión7:Pre-examen.

Lasesión7sededicaráporcompletoarealizarejerciciossemejantesalosqueseharánenelexamendelaevaluacióndeltema.Durantelarealizacióndeestapruebalapersonadocenteestaráadisponibilidadderesolverdudassobrelosejercicios.Alserunapruebano evaluable, se pueden ayudar a resolver algunos ejercicios si el alumnado estábloqueadoyresolviendolasdudasdeteoríaquenopuedanresolverporsímismo,noobstante,esrecomendablesiemprenodarunarespuestadirectaalaspreguntasquehagan,sinoguiarlosparaqueellosyellasmismaslleguenaresolversupropiaduda.Ladificultaddeestapruebadebededaralalumnadounaideadecómoseráelexamenevaluabledeltema,asuvez, lapersonadocentepuedeextraer informaciónsobreelniveldeaprendizajequesehaalcanzadoduranteel tema.Estoserádeutilidadparadefinirlapruebafinaly/oreforzarloscontenidosenlosqueseveaunmenordominio.Paraestoúltimoseusarálapróximasesión.

Elpre-examendeberállevar,almenos,lossiguientescontenidos:

- Unejerciciodecálculodederivadas.

- Unoovariosejerciciosde representaciónde funciones.Enestosejercicios sepuedehacerusodeloaprendidoenlaunidaddelímites.

- Uno o varios problemas de optimización. Esto serán los ejercicios de mayordificultaddelpre-examenyaque,nosolo seusan loscontenidos, tambiénsedebendeaplicaraunasituaciónconcreta.

Unejemplodepre-examenpuedeserelsiguiente:

àActividad1:Calculalasderivadasdelassiguientesfunciones:(lasfuncionesdeberándesersimilaresalasdelaActividad1delaSesión3).(1punto)

àActividad2:Analizayrepresentalafunción7 # = 3 − # + 2 Ö.(2puntos)

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àActividad3:Hallalaecuacióndelarectatangentea7 # = tan #enelpunto

# =Öp

í.(2puntos)

à Actividad 4: De todos los rectángulos de perímetro 46cm, halla lasdimensionesdelquetienemayorsuperficie.(2,5puntos)

àActividad5:UnbancohaanalizadolasvariacionesenlabolsayhalanzadounplandeinversiónquetieneunarentabilidadRenfuncióndelacantidadinvertidax (en €) dada por la ecuación ì # = −0.0011#& + 0.8# + 2. Los clientesconocenlaecuacióndelarentabilidadytienenquetomarladecisióndeinvertir.Sifuerasuncliente:

a) ¿Cuántodineroinvertirías?(1,5puntos)

b) ¿Cuantoganaríasconesainversión?(1punto)

Justificaambasrespuestas.

Se puede observar que con los conocimientos básicos ya se puede aprobar el pre-examen,estossonlas3primerasactividades.Enellassedemuestraelconocimientodecálculodederivadas, representaciónde funciones y cálculode recta tangente aunafunciónporunpunto. Sin embargo, se espera tambiénqueel alumnadoaplique losconocimientos de las derivadas a problemas reales. Por ello, una vez cubiertos losconocimientosmínimosconlas3primerasactividadesyunpesoenlanotasuficienteparaelaprobado,secompletaelpre-examencondosactividadesdeaplicacióndelasderivadasconunpesoigualalanterior.

Lacorrecciónporlapartedocentedelaspruebasdepre-examendebedehacerseparalasiguientesesión.

6.7.8. Sesión8:Correccióndelpre-examenydudas.

Estasesiónserádedicadaprincipalmentealacorreccióndelpre-examen.Debedeestarcentradaenlasactividadesenlasqueelalumnadohayatenidomásproblemas.

Unavezqueelpre-examenestécorregido.Sepreguntarándudasgeneralessobreeltema.

El tiempo restante de la sesión será dedicado a la realización de ejercicios. Se lepreguntaráalalumnadoquétipodeejerciciosquierepracticar.Sinohayunarespuestaclarasedebendehacerejerciciossemejantesal4y5delpre-examen,yaquesonmáscompletosypuedenaportarideasdecaraalaresolucióndelosmismosenlapruebadeevaluacióndeltema.

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6.7.9. Sesión9:Examen.

Enestasesiónserealizarálapruebaevaluabledeltema.Laestructuradebedeserlamismaqueladelpre-examen.Sinembargo,durantelarealizacióndelmismonosedebedarinformaciónalalumnadosobreloscontenidosdeltema,solamenteseharádeguía,paraasegurarqueelentendimientodelosejerciciosescorrecto.

Adiferenciadelpre-examen,estapruebasiformapartedelaevaluacióndelalumnado.

6.8. Atenciónaladiversidad

Esmuchaladiversidaddeestudiantesquepasanporunaasignatura,tantoenunañocomoalolargodeltiempo.Porestomismo,elcurrículumdeunaasignaturadebedeestardiseñadoparaposibilitaradaptacionesdelmismoacasosenlosqueelalumnadorequiera necesidades especiales. A continuación, veremos algunos casos deadaptacionescurricularesdelaunidaddidácticadelasderivadas.

6.8.1. Alumnadoconnecesidadderefuerzo.

Aveces,pordiversosmotivos,partedelalumnadotieneunniveldeconocimientomásbajoqueelrestodelaclasesobreyexistelaposibilidaddequenosiganconfacilidadelritmodelassesiones.Enestecaso,lapersonadocentedebedeadaptarlasactividadesparaqueestetipodealumnadonosedescuelguedelasclases.Concretamenteenlaunidaddelasderivadas,estaadaptaciónconsistiráenadaptarlasactividadesdemaneraqueelalumnadoconnecesidadderefuerzoconsiga,comomínimo,losconocimientosbásicos del cálculo de derivadas, dándole prioridad a éstos sobre los problemas deaplicación.Esdecir,lassesionessepodríanmodificardelasiguientemanera:

- Sesiones 1, 2 y 3: el objetivo primario que se pretende del alumnado connecesidades de refuerzo es que maneje el cálculo de derivadas. Para elloconvienecentrarseduranteeltema,enprimerainstancia,enejerciciossimilaresalosdeestassesiones.Siesnecesariosereduciráladificultaddelasactividadesaunniveladecuadoparaestetipodealumnado.

- Sesión 4: se le puede plantear una actividad como la Actividad 2 (calcular laexpresióndeunaderivadaapartirde sudefinición) conuna funciónsencilla,paraqueconozcaelorigendelaexpresióndeladerivadadeunafunción.

- Sesión5:Paralasactividadesdeestasesión,selepuedeentregarunaguíaparaque el alumnado sigua las instrucciones de lo que le pida el problema, porejemplo:

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àActividad3:Hallalaecuacióndelarectatangentealacurva7 # = 3#& − 4#queseaparalelaalarecta2# − ! + 5 = 0.

Guíaparalaresolución:

a) Para hallar la ecuación de la recta tangente -(#) = 4# + $ necesitamossaberlapendiente4yeltérminoindependiente$.Siesparalelaalarectadadaporlaecuación,tienelamismapendiente.Calculalapendientedelarectadada.¿Cuáleslapendientedelarectatangentequebuscamos?

b) Lapendientede larectatangenteaunafunciónenunpuntoes iguala laderivadadelafunciónenesepunto.Esdecir:78 # = 4.¿Enquépuntode7 # lapendienteesiguala4?Lollamaremosf.

c) Yatenemosidentificadoelpuntof,dondelarectaestangentealafunción,es decir 7 f = -(f). Resolviendo esta igualdad, halla el términoindependiente$delaecuaciónrelarectatangente- # = 4# + $.

Paralasactividadesconmásdificultad,comolas4y5,selepuededarundibujoaclarativoylasunasinstruccionescomolasanterioressifueranecesario.Estasinstruccionesnotienenqueirescritasnecesariamente,siexistelaposibilidad,sepuedeguiaralalumnadodirectamentemientrashaceelejercicioysepuedenusarlasTICscomoayudaalahoradevisualizarlasfunciones,sisepiensaqueestoresultarádeayuda.

- Sesión6:enlasesióndetrabajoengrupoelobjetivoseráintegrar lomáximoposible a este tipo de alumnado. Lamanera de hacerlo será organizando lastareasdetalmaneraqueelalumnadoconnecesidadderefuerzorealiceaquellastareasquesesabequepuedehacersimproblema,porejemplo,loscálculosdelas derivadas. También se puede facilitar la actividad de este alumnadootorgandofuncionesmássencillasalosgruposdóndeseveaimplicado,deestamanerahabrámásposibilidadesdequesiganeljuego.

- Sesiones7,8y9:Encuantoalpre-examenyexamen,habráquedarmáspesoalos ejercicios sobre cálculo de derivadas, Actividades 1, 2 y 3, sobre los deaplicacióndederivadas.Siesnecesario,sepuedehacerunexamenespecialquecontengaestetipodeejercicios.

6.8.2. Alumnadoconaltascapacidades.

Paraelalumnadoquetieneunascapacidadesparanuestraasignaturaporencimadelrestodelaclasesepuedeaumentarladificultaddelasactividadespropuestaseincluirnuevamateria,todoconelobjetivodequeestetipodealumnadonopierdaelinterésenlasclasesdebidoalbajoniveldedificultadquelepuedesuponer.

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Duranteeneltrascursodelassesionesselepuedendaractividadesqueimpliquenunamayordificultad,yaseanadicionalesoensustitucióndealgunasdelasqueseimpartenalresto.

Porejemplo,selepuedenpresentaractividadesdeltipo:

àActividad1:Pruebaquelafunción7 # = #notienederivadaen# = 0.

à Actividad 2: Halla las asíntotas oblicuas de la función 7 # = #& + 1 yestudialaposicióndelacurvaconrespectoaellas.Calculalospuntossingularesyrepresentalafunción.

àActividad3:Hallalasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurva! = 2#& − 3# − 2enelpunto# = 2.

àUnagricultorcalculaque,silarecogidadetomateslarealizahoy,obtendrá120Tmypodrávendera150€/Tm.Sinembargo,siesperauntiempo,lacosechaaumentará en 20Tm por semana, pero el precio disminuirá en 15€/Tm a lasemana.¿Cuántodebedeesperarparasacarelmáximobeneficio?

àEnunaláminadecartónde12.96î4&,hallaelladodelcuadradoquehayquecortarasusesquinasparaformarunacajaconvolumenmáximo.

Asuvez,enlasesión6,dondesetrabajaengrupo,sepuedeaumentarladificultaddela función que debe descubrir el equipo que tiene a este tipo de alumnado comointegrante,siemprequenoseperjudiquealrestodeintegrantes.Seríarecomendablequeelrestodeloscompañerosdelgrupotuvieranunbienniveldeconocimientodelasmatemáticas,demaneraqueningunotengadificultadesparaseguireljuego.

Adicionalmente,sepuedendarcontenidosadicionalessobrelamateria,comolaregladeL’Hôpitalolaclasificacióndelospuntossingularesapartirdelasegundaderivada.Siestosuponeunproblemaenlaorganizacióndelassesiones,sepuedehacerdeformadigital, seleccionando y comunicándole contenidos que pueda trabajar en casa yatendiendoalasdudasquetengadurantelassesiones.Demanerasemejanteacomosehacecuandoaplicamoslametodologíadelaclaseinvertida.

6.8.3. Alumnadocondificultadesenlainteracciónsocial.

Eldiseñodeestaunidaddidácticaestáfuertementeligadoaunaaltaparticipaciónporpartedelalumnado.Éstasellevaráacabomediantepequeñosdebates,preguntasdelapersonadocenteoactividadesengrupo.Laposiblediversidadquepuedeexistirenelaula con respecto al grado de desarrollo de habilidades sociales o patologías quesuponganunamayordificultadenlainteracciónsocial,hacequeseanecesariounplan

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deacciónespecífico.Acontinuación,seexponenlaspautasquesedebendeseguirenestoscasos:

- Preguntarledemaneraquenoseveaforzado/adarunaexplicacióndelantedelaclase,guiandolapreguntayfacilitándolerespuestascortas.

- Incluir más actividades, como el Kahoot, en las que no se necesite unaintervencióndirecta,sinomedianteunrecursodigital.

- Siesnecesario,hablarconél/ellaparadejarleclaroquenodebedeexponerseasaliralapizarraopresentarunejerciciosiél/ellanoquiere.

- Adaptar los debates que puedan surgir en clase a medios digitales, de estamaneraelalumnadoconestascaracterísticaspodráparticiparenunambientemáscómodo.

- En la sesión 6, la actividad grupal, formar los equipos de manera que estérodeado/adelagenteconlaquemásconfianzatiene.

- Poneradisposiciónuncorreoelectrónicodelapersonadocenteyanimaralaclaseapreguntardudasmedianteelmismo.

Como sepuede ver, el usode las TICs puede ser unaherramientamuyútil para laspersonasquetienenmásdificultaddeestablecerrelacionessociales.

6.9. Evaluación

Laevaluacióndelaprendizajedebededarunaidearealistadeléxitoenelprocesodeenseñanza-aprendizaje. No solo debe de ser una herramienta que mida losconocimientosadquiridosporpartedelalunando,tambiéndebedeserunaherramientadeestudioporlapartedocentequelehagapreguntarseesquémedidaesresponsabledelresultadodeunaevaluaciónalalumnado.Larespuestaaestapreguntapuedeserunaoportunidadpararevisarymejorarlasmetodologíasusadas.

6.9.1. Contenidosdelaevaluación

Loscontenidosobjetodeevaluaciónde launidaddederivadashansidodefinidosenbasealoscriteriosdeevaluaciónpublicadosenlaOrdendel14dejuliode2016delBOJAdelBloqueIyIIIdelaasignaturadeMatemáticas1yatendiendoalosestándaresdeaprendizajepublicadosenelRealDecreto1105/2014de26dediciembredelBOE.Loscontenidosevaluables(CE)hansidobasadosenlosobjetivosdelaunidaddidáctica(OB)y serán evaluados de en concordancia a los criterios y estándares publicados en losdocumentoscitados.Deestamaneraseaseguraquelaevaluacióndelalumnadoestáfuertementeligadaalaconsecucióndelosobjetivos:

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CE1:Expresaverbalmente,deformarazonada,elprocesoseguidoenlaresolucióndeunproblema,conelrigorylaprecisiónadecuados.

CE2:Usaadecuadamentelosmediostecnológicosparaestructurarymejorarsuprocesodeaprendizajerecogiendolainformacióndelasactividades,analizandopuntosfuertesydébilesdesuprocesoacadémicoyestableciendopautasdemejora.

CE3:Utilizamediostecnológicoscomounaherramientadeapoyopararepresentacionesgráficasdefuncionesyextraeinformacióncualitativaycuantitativasobreellas.

CE4: Identifica gráficamente laderivadadeuna función y reconoce los intervalosdecrecimientoydecrecimiento.

CE5:Calculaladerivadadeunafunciónusandolosmétodosadecuados.

CE6:Derivafuncionesquesoncomposicióndevariasfuncioneselementalesmediantelaregladelacadena.

CE7: Realiza la demostración de la derivada de una función sencilla a partir de sudefiniciónysabeplantearlademostraciónparafuncionesmáscomplejas.

CE8:Sabecalcularlarectatangenteaunafunciónenunpuntoapartirdesuderivada.

CE9: Representa gráficamente funciones, después de un estudio completo de suscaracterísticasmediantelasherramientasbásicasdelanálisis.

CE10:Calculaladerivadadeunafunciónylaempleaparaestudiarsituacionesrealesyresolverproblemas.

CE11:Reflexionasobreelprocesoderesolucióndeproblemas.

CE12:Reflexionasobreelprocesoyobtieneconclusionessobreloslogrosconseguidos,resultadosmejorables,impresionespersonalesdelproceso,etc.

Unavezdefinidosestoscontenidosevaluablessepuedehacerunatablaparateneruncontroldelosobjetivosquehacumplidoelalumnadoenbasealaevaluación,comosemuestraenlaTabla1:

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6.9.2. Procedimientodeevaluación

Laevaluacióndelalumnadoseestructuradelasiguientemanera:

- Participación20%.

Dentro de este apartado se deben de tener en cuenta aspectos como laparticipaciónenlasclases,laargumentaciónyelrigormatemáticousadoensusexplicacionesoenlosdebatesquesegeneren,elrespetoconelquesedirijaalprofesoryalrestodelaclase,lasdudasqueseleconsultenalapersonadocente,etc.Sipartedelalumnadotienemásreticenciaaserparticipativosedeberádefomentar su participación y evaluarlo teniendo en cuenta sus característicaspersonales. En definitiva, se pretende evaluar el interés que muestre elalumnadoporlaasignatura.

Se valorará positivamente que el alumnado haga uso de las TICs durante lasexplicacionesoenlaresolucióndeejercicios.

Enesteapartadosetendráencuentatambiénlaasistenciaalasclases.

- Actividades20%.

OB1 OB2 OB3 OB4 OB5 OB6 OB7

CE1

CE2

CE3

CE4

CE5

CE6

CE7

CE8

CE9

CE10

CE11

CE12

Tabla1-Evaluacióndeloscontenidosenbasealosobjetivos.

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Enesteapartadoseevaluarán lasactividadesque lapersonadocentemandeparaserentregadas.Porejemplo,laactividad2delasesión4.Enlaevaluaciónde las actividades debe de primar el procedimiento seguido por delante delresultado obtenido. Si un ejercicio no queda totalmente resuelto pero elalumnadoescapazdeidentificarelpuntodebloqueoyexpresarlodeformaclaralapersonadocentedebedevalorarlopositivamente.

Tambiénseevaluarádentrodeesteapartadoeltrabajocontinuoenlosejerciciosquesedesarrollenenclaseyencasa.

- Trabajoengrupo10%.

Laevaluacióndeltrabajoengruposecentraráenlasesión6.Eneldesarrollodela actividad grupal se valorará positivamente el interés en la misma, laargumentacióntantodedudasexistentescomoderesultadosobtenidosy,porúltimo, el resultado obtenido. Al igual que en la participación en clase, elprincipalobjetivoesevaluartantoelinterésmostradocomolajustificacióndeltrabajoconunciertorigormatemático.

Otrosaspectosatenerencuentaparaevaluarpositivamentelaactividadeselrespetoaloscompañerosdelmismogrupoydelgrupocontrincante.

- Examen50%.

Enel examenevaluablede la asignatura sedebendemostrar los contenidosimpartidosdurantetodoeltema.Esteexamentendráunaestructurasimilaraladelpre-examenrealizadoenlasesión7.Portanto,habráunapartequeevalúeloscontenidosmatemáticosdados,conlaquesepodráaprobar.Yotrapartequeevalúa la aplicación de los contenidos a situaciones contextualizadas ensituacionesreales.

Lareparticióndepesosentreelexamenylasdemáspartesdelaevaluacióncontinuatieneelobjetivodenocerrarlaposibilidaddequepartedelalumnadoquiera,porlosmotivosquesea,hacerusoúnicamentedelexamen.Porotrolado,sipartedelalumnadohaestadoparticipandoactivamenteenlaasignatura,peroporalgunarazónobtuvieseunacalificaciónmuybajaenelexamen,estamaneradeevaluarlepermitiríaaprobarlaunidad.Noobstante,loqueseesperadeldesarrollodelaunidadesqueelalumnadoseimpliqueenlaasignaturaconsiguiendopartedelanotadelaparticipación,actividadesytrabajoengrupoy,habiendotrabajadolaunidaddeestamanera,notengaproblemaenobtenerbuenacalificaciónenelexamen.

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7. Conclusiones

Con el presente Trabajo de Fin de Master se ha pretendido tener una visión másprofunda de la docencia de las matemáticas, en concreto, de la enseñanza de lasderivadas. Este acercamiento a la docencia se ha producido en distintos ámbitos,marcados en gran medida por los objetivos que este trabajo y el propio masterpersiguen. Las principales contribuciones del Trabajo de Fin de Master sobre miformacióndocentehansido:

- Elconocimientodelcurrículumylanormativavigente.Graciasalarepetitividadconlaquehayqueconsultarlanormativaparaverificaraspectosdelcurrículum,objetivos,metodologías, criterios de evaluación, competencias clave, etc., seadquiere una visión más estructurada de la normativa y un manejo en labúsqueda de información que, bajo mi punto de vista, es muy necesario yaplicableeneldíaadíadelalabordocente.

- Eldesarrolloyadaptacióndemetodologíasteniendoencuentainvestigacionesdocentes.Lasinvestigacionesquesenombranenestetrabajopermitendaruntrasfondomássólidoalaaplicacióndeciertasmetodologíasenelcampodelasderivadas.Estohaservidodeayudaparaconstruirunaunidaddidácticaenbaseaalgunasdeesasmetodologías,comopuedeserlaclaseinvertida.

- Laadaptacióncurricularatendiendoaladiversidad.Algoqueheaprendidoenlasprácticasdocentesesqueunasesióndeclasenoesalgoquepuedastenertotalmentecontrolado,poresto,hayqueotorgarunamayorimportanciaalosrecursosquehaydetrásdeesaclasepararecurriraellossiesnecesario.Delamismamanera,hayquetenerunbagajederecursosparapoderafrontarunaclaseatendiendoaladiversidaddelalumnado.Mehaparecidomuyinteresanteesteejerciciodeadaptacióndelaunidad,especialmenteenelcasodealumnadocon dificultades en la interacción social, ya que la unidad desarrollada estábastantecentradaenlaparticipacióndelalumnadoyeltrabajoengrupo.

Porotrolado,lamayorlimitacióndelpresentetrabajoestáensuaplicaciónenelaula.Me hubiera gustado poder aplicar la unidad didáctica desarrollada para comprobarciertosaspectosdelamisma.Elmásimportante,bajomipuntodevista,eselhechodetrabajarelcálculodederivadasantesde ladefinicióndederivada.Esteordende loscontenidosnoeselusual en los librosde texto, sinembargo, comoseexplicaenelapartado demetodología, considero que para el alumnado esmás fácil entender ladefinicióndederivadasianteshatrabajadolosejerciciosdecálculodederivadasytieneunaintuiciónsobresusignificado.

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Para concluir, la realización del master y del presente trabajo es una experienciatotalmentenecesariaquerequieredelaadquisicióndenumerososrecursos.Conocerlaexistenciadeestosrecursosesunaherramientaindispensablequedebederespaldareltrabajodeunbuendocente.

8. Referenciasbibliográficas

[1] Orden ECI/3858/2007, de 27 de diciembre, BOE, 312, por la que se establecen los

requisitos para la verificación de los títulos universitarios oficiales que habiliten para el ejercicio de las profesiones de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.

[2] González, M. T. (2002). Sistemas simbólicos de representación en la enseñanza del análisis matemático: perspectiva histórica acerca de los puntos críticos. (Tesis doctoral no publicada). Universidad de Salamanca, Salamanca, España.

[3] Schubring, G. (1987). On the Methodology of Analysing Historical Textbooks: Lacroix as textbook author. For the Learning of Mathematics, 7(3), 41-51.

[4] Orden de 14 de julio de 2016, BOJA, 145, por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan determinados aspectos de la atención a la diversidad y se establece la ordenación de la evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado.

[5] Ruiz Socarras, J. M. (2008). Problemas actuales de la enseñanza aprendizaje de la matemática. Revista Iberoamericana de Educación, 47(3).

[6] Ruiz de Gauna, J. R. , Dávila, P., Etxeberria, J., Sarasua, J. (2013). Los libros de texto de matemáticas del bachillerato en el periodo 1970-2005. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2013), 16(2),245-276.

[7] Orden de 9 de septiembre de 1993, BOE, 226, por la que se aprueban los temarios que han de regir en los procedimientos de ingreso, adquisición de nuevas especialidades y movilidad para determinadas especialidades de los Cuerpos de Maestros, Profesores de Enseñanza Secundaria y Profesores de Escuelas Oficiales de Idiomas, regulados por el Real Decreto 850/1993, de 4 de junio.

[8] Suzuki, J. (2005). The lost Calculus (1637-1670): Tangency and optimization without limits. Mathematics Magazine, 78(5), 339-340.

51

[9] Martínez de la Rosa, F. (2009). La recta tangente: notas históricas y actividades

para el aula. Suma+, 61, 7-15.

[10] Salas-Rueda, R.A., & Lugo-García, J.L. (2019). Impacto del aula invertida durante el proceso educativo superior sobre las derivadas considerando la ciencia de datos y el aprendizaje automático. EDMETIC, Revista de Educación Mediática y TIC, 8(1), 147-170, doi: https://doi.org/10.21071/edmetic.v8i1.9542

[11] Sánchez-Matamoros, G., Fernández, C., Llinares, S. y Valls, J. (2013). El desarrollo de la competencia de estudiantes para profesor de matemáticas de educación secundaria en identificar la comprensión de la derivada en estudiantes de Bachillerato. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Climent (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVII (pp. 501-509). Bilbao: SEIEM

[12] Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, BOE, 3, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato

[13] Khan Academy en Español. (2017). La derivada como pendiente de una curva [Vídeo]. Recuperado de https://youtu.be/w8hOoHjKo60

[14] Matemáticas sencillas. (2015). Derivadas de una función: definición, significado e interpretación geométrica. Cálculo Diferencial [Vídeo]. Recuperdao de: https://youtu.be/57IlIc7P8e8?t=405

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9. Anexos

9.1. Anexo1

Imágenesdelenunciado:

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Elejercicioresueltoseríaelsiguiente:

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9.2. Anexo2

Para la segundapartede la tareanospondremosenel puntode vistadeunbando(equipoA)ydescribiremoslasoluciónquecorrespondealdescubrimientodelafunciónocultadelequipocontrincante(equipoB).RecuadradoenrojoestaráelmapadelequipoAyenazuleldelequipoB.LaecuacióndelafuncióndelequipoBeslasiguiente(estasfuncionesselasproporcionamosnosotrosacadagrupojuntoconsurepresentaciónenelmapa):

! = # + 3 & − 1

Estedato,porsupuesto,sololoconoceelequipoByconocerloeselobjetivodelequipoA.

Comenzaríaeljuego:

Turno1-EquipoA.Disparamoslaprimerarecta:! = 3#

VemosquenointersectaconlafuncióndelequipoB,portanto,estenotienequedarningúndato.Paraverificarlo,elequipoBpuedeigualarlaecuacióndelarectalanzadaconlaecuacióndesufunciónyveránquenohaysoluciónreal:

3! = # + 3 & − 1

Turno 1 - Equipo B. Ahora el equipo B haría el mismo procedimiento y nosotroscomprobaríamos si su recta intersecta nuestra función y le daríamos los datoscorrespondientes,peroparanoserredundantesvamosasolucionarsololaparteenlaqueelequipoAlanzarectasparadescubrirlafuncióndelequipoB,laotraparteseríaanáloga.

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Turno2-EquipoA.Disparamoslasegundarecta:! = −3#

AhoranuestrarectaintersectaalafuncióndelequipoBenunpunto(dentrodelmundode15x15).Portanto,elequipoBnostienequedarelpuntodeintersecciónyladerivadaenesepunto.ElequipoBtendríaqueprocederdelasiguientemanera:

- Calcularelpuntodeintersecciónconlarectalanzadaigualandolasdosecuacionesyresolviendolaresultante:

−3! = # + 3 & − 1

Alresolvercomprobamosquelasfuncionesintersectanendospuntos:

! −8 = 24 à! −1 = 3

Elpuntoseñaladoconlaflechaeselqueseencuentradentrodeldominio15x15.EsteseríaunodelosdatosquenostendríaquedarelequipoB.Elotrodatoseríaelvalordeladerivadaenesepunto.Portanto,elequipoBtendríaquecalcularlafunciónderivadadelafunción! = # + 3 & − 1ysustituirelpuntodeintersecciónconnuestrarecta:

!8 = 2# + 6 à!8 −1 = 4

Endefinitiva,elequipoBtendríaqueinformarnosdequenuestrarectaintersectaasufunciónocultaen! −1 = 3yelvalordesuderivada(esdecir,supendiente)enesepuntoes4.

Conestosdatos,nosotros,elequipoA,podemosdibujarennuestromapaalgocomolosiguiente:

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Donde se puede sacarinformacióndelpuntoporelquepasalafunciónylatendenciaquelleva.Incluso,sisuperponemoslasdos rectas que hemos trazadosabemos que no puedeintersectaralaprimera.

Turno2-EquipoB.(seharíadeformaanáloga).

Turno3-EquipoA.Disparamosunatercerarecta:! = 0.

ConestatercerarectaelequipoBharíaelmismoprocedimientoylosdatosquetendríaquedarnosseríanlospuntosdecorteen! −4 =0yen! −2 = 0conelvalordesusderivadas !8 −4 = −2 y !8 −2 = 2, respectivamente. Por tanto, en el equipo Apodemosdibujartodaesainformaciónennuestromapa:

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Aquíyasepuedeintuirquelafuncióntendráunmínimoentre# = 4y# = −2,yaquepasaaserdecrecienteacreciente.Además,conlosvaloresquetenemosdelafunciónderivadasepuedeplantearunsistemadeecuacionesquenosdéelvalordelafunciónderivada.Entonces,sisuponemosunafunciónderivada:

! = %#& + V# + $

Ytenemoslossiguientesdatos:!8 −1 = 4; !8 −4 = 2; !8 −2 = 2.

Podemosplantearelsiguientesistemadeecuaciones:

4 = % − # + $

2 = 4% − 2V + $

−2 = 16% − 4V + $

Resolviéndolopodemosobtenerlaecuacióndeladerivada!8 = 2# + 6.

Llegados a este punto y observando la derivada, ya podemos imaginarnos que laecuaciónquequeremosobteneresdesegundogrado,paranogastarmásdisparosynodarlemás opciones al contrincante (porque supondría un turnomás para el equipocontrario)podemosarriesgarnosyplantearunsistemadeecuacionescomoelanteriorsobrelafunciónquequeremoshallaryresolverlo.

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Otraopciónseríacalcularlaprimitiva(paraestoesposiblequesenecesitelaayudadelprofesorado)ydejareltérminoindependientecomoincógnitadeestamanera:

! = #& + 6# + 9

Acontinuación,tendríamosquelanzarotrarectaen# = 0ydespejaríamoseltérminoindependiente. Este método es más rápido, pero le concederíamos otro turno alcontrincante.

introducciÓn a las derivadas en 1 de bachillerato

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