IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Equações diferenciais ordinárias

Alexandre Rosas

Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba

24 de Junho de 2009

Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias

IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Motivação

Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados

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Motivação

Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados

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Problemas de Contorno

Motivação

Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados

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Motivação

Problemas envolvendo equações diferenciais são muitocomuns em físicaExceto pelos mais simples, que podemos resolveranaliticamente, temos que recorrer a métodos numéricosDe forma geral, não existe um "melhor método"A compreensão dos diferentes métodos, seus pontosfortes e suas deficiências é fundamental parapodermos ter confiança nos resultados

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IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

O problema

Resolver uma equação do tipo

d2ydx2 + q(x)

dydx

= r(x)

Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem

dydx

= z(x)

dzdx

= r(x)− q(x)z(x)

Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

dyi

dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)

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O problema

Resolver uma equação do tipo

d2ydx2 + q(x)

dydx

= r(x)

Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem

dydx

= z(x)

dzdx

= r(x)− q(x)z(x)

Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

dyi

dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)

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O problema

Resolver uma equação do tipo

d2ydx2 + q(x)

dydx

= r(x)

Sempre podemos reescrever equações diferenciais deordem superior como um conjunto de equaçõesdiferenciais de primeira ordem

dydx

= z(x)

dzdx

= r(x)− q(x)z(x)

Portanto, o problema passa a ser estudar um conjunto deN equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

dyi

dx= fi(x , y1, y2, . . . , yN)

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Problemas de Contorno

O problema

Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções davariável independente) na definição das novas variáveispara evitar problemas numéricosTentativa e erro, senso comum, experiência→ indicam ocaminho

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O problema

Às vezes é conveniente incluir prefatores (funções davariável independente) na definição das novas variáveispara evitar problemas numéricosTentativa e erro, senso comum, experiência→ indicam ocaminho

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Problemas de Contorno

Condições de contorno

O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada

1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0

2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração

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Condições de contorno

O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada

1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0

2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração

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Condições de contorno

O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada

1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0

2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração

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Condições de contorno

O conjunto de equações diferenciais não definecompletamente o problemaO tipo das condições de contorno são determinantes paraa solução numérica a ser empregada

1 Problemas de valor inicial – todos os yi são conhecidos emum determinado ponto x0

2 Programas de valor de contorno – informação sobre ocomportamento da função na fronteira da região deintegração

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Idéia geral

Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial

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Idéia geral

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Idéia geral

Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial

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Idéia geral

Reescrever dy e dx como diferenças finitas ∆y e ∆xMultiplicar a equação por ∆xAssim obtemos expressões para a variação das funçõesquando um passo de tamanho ∆x é dadoNo limite em que ∆x é muito pequeno, temos uma boaaproximação para a equação diferencial

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de Euler

Consideremos a equação y ′(x) = f (x , y) com a condiçãode contorno y(x0) = y0Desejamos encontrar y(x)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, temos

y(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0) +O[(x − x0)2]

Definindo o tamanho do passo como h = x − x0,

y(x0 + h) = y(x0) + hf (x0, y0)

O método de Euler consiste na iteração desta equação

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Implementação

Para calcularmos y(x), dividimos o intervalo x − x0 em Npartes h = x−x0

N

Usamos o método de Euler

yn+1 = yn + hf (xn, yn)

x1 x2 x3

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Deficiências do método

O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado

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Deficiências do método

O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Deficiências do método

O erro é de ordem hA derivada é considerada constante ao longo do intervalohSeu valor no fim do intervalo não é considerado

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Runge-Kutta de segunda ordem

No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2

2+O[h3]

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Runge-Kutta de segunda ordem

No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2

2+O[h3]

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Runge-Kutta de segunda ordem

No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2

2+O[h3]

Precisamos, portanto, determinar y ′′(x0)

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Runge-Kutta de segunda ordem

No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2

2+O[h3]

Precisamos, portanto, determinar y ′′(x0)

y ′′(x0) = fx (x0, y0) + fy (x0, y0)f (x0, y0)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordem

No caso do método de Euler, expandimos y(x) atéprimeira ordemSe expandirmos até segunda ordem, teremos

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) + y ′′(x0)h2

2+O[h3]

Logo a expansão se torna

y(x) = y(x0)+hf (x0, y0)+h2

2fx (x0, y0)+

h2

2fy (x0, y0)f (x0, y0)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordem

O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem

y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordem

O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem

y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordem

O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem

y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1

onde f0 = f (x0, y0), f1 = f (x0 + a1h, y0 + a2hf0), sendoA, B, a1 e a2 constantes a determinar

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Runge-Kutta de segunda ordem

O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem

y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1Expandindo f1 em série de Taylor, temos

f1 = f (x0, y0) + a1hfx (x0, y0) + a2hfy (x0, y0)f (x0, y0)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordem

O método Runge-Kutta assume que a inclinação nointervalo h pode ser escrita como uma combinação linearde f (x , y) em certos pontos do intervaloNo Runge-Kutta de segunda ordem

y(x) = y(x0) + Ahf0 + Bhf1Expandindo f1 em série de Taylor, temos

f1 = f (x0, y0) + a1hfx (x0, y0) + a2hfy (x0, y0)f (x0, y0)

Portanto, temos

y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta

y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)

com a expansão em série de Taylor,

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2

2fx (x0, y0) +

h2

2fy (x0, y0)f (x0, y0)

temos

A + B = 1

Ba1 =12

Ba2 =12

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Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta

y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)

com a expansão em série de Taylor,

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2

2fx (x0, y0) +

h2

2fy (x0, y0)f (x0, y0)

temos

A + B = 1

Ba1 =12

Ba2 =12

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Runge-Kutta de segunda ordemComparando a aproximação de Runge-Kutta

y(x) = y(x0)+(A+B)hf (x0, y0)+Bh2a1fx (x0, y0)+Bh2a2fy (x0, y0)f (x0, y0)

com a expansão em série de Taylor,

y(x) = y(x0) + hf (x0, y0) +h2

2fx (x0, y0) +

h2

2fy (x0, y0)f (x0, y0)

temos

A + B = 1

Ba1 =12

Ba2 =12

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamente

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

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Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 0, B = 1, a1 = a2 = 1/2

Regra do ponto médio

x1 x2 x3

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Escolha dos parâmetros

Como temos 4 parâmetros e 3 equações, podemosescolher um deles arbitrariamenteA = 1/3, B = 2/3, a1 = a2 = 3/4 → valores ótimos(minimiza coeficiente do erro)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Runge-Kutta de segunda ordem é apenas didático

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Runge-Kutta de segunda ordem é apenas didáticoPara uso prático → quarta ordem

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que

y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que

y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]

onde f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)

f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)

f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que

y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]

onde f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)

f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)

f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)

3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que

y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]

onde f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)

f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)

f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)

3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem4 Equacionar os termos das duas séries

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Runge-Kutta de quarta ordem

Dedução segue a mesma linha de raciocínio:1 Expandir y(x0 + h) até quarta ordem2 Assumir que

y(x0 + h) = y(x0) + h [Af0 + Bf1 + Cf2 + Df3]

onde f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 + αh, y0 + a0f0h)

f2 = f (x0 + βh, y0 + b0f0h + b1f1h)

f3 = f (x0 + γh, y0 + c0f0h + c1f1h + c2f2h)

3 Expandir f1, f2 e f3 em série de Taylor até terceira ordem4 Equacionar os termos das duas séries5 Serão 10 equações e 13 icógnitas → diversas

possibilidadesAlexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta de quarta ordem

Escolha mais comum:

f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 +h2, y0 +

h2

f0)

f2 = f (x0 +h2, y0 +

h2

f1)

f3 = f (x0 + h, y0 + hf2)

comy(x0 + h) = y(x0) +

h6

(f0 + 2f1 + 2f2 + f3)

Note que no caso f (x , y) = g(x), o método equivale àregra de Simpson

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Precisão

Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente

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Precisão

Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente

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Precisão

Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente

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Precisão

Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente

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Precisão

Como saber se nossa resposta é precisa?Como avaliar o erro?Possível solução: calcular y(x) usando dois tamanhos depasso diferentes e comparar os resultadosPodemos fazer essa comparação depois de vários passosContudo, a natureza da solução pode depender da regiãoPortanto, os resultados devem ser comparadosfrequentemente

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Passos de tamanho variável

Para atingirmos uma determinada precisão ε, podemosusar o seguinte algoritmo

1 Calcular y(x0 + h) e y(x0 + h/2)2 Se |y(x0 + h)− y(x0 + h/2)|<ε

Erro é pequeno e estamos realizando um esforçocomputacional desnecessárioAceitamos o passo e diminuimos h para o próximo passo

3 Se |y(x0 + h)− y(x0 + h/2)|>εO erro é muito grandeRejeitamos o passo, diminuimos h e tentamos de novo

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos

y(x0 + h) = yexato + khn+1

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos

y(x0 + h) = yexato + khn+1

Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é

yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h) = khn+1 − k̂hn+2 ≈ khn+1

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Para um método de Runge-Kutta de ordem n, temos

y(x0 + h) = yexato + khn+1

Portanto, a diferença entre Runge-Kutta de ordem n e n + 1 é

yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h) = khn+1 − k̂hn+2 ≈ khn+1

Logo k ≈ yn−yn+1hn+1

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)

hnewε = khn+1new =

hn+1new

hn+1 |yn − yn+1|

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Runge-Kutta Fehlberg

Alternativa aos passos de tamanho variávelUtiliza o conhecimento do erro para estimar o tamanho dopasso necessário para manter uma dada precisão

O método

Portanto, se hnew é o tamanho do novo passo de forma a essasduas expressões concordarem (aceitando um erro ε)

hnewε = khn+1new =

hn+1new

hn+1 |yn − yn+1|

Dondehnew = h n

√hε

|yn(x0 + h)− yn+1(x0 + h)|

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Implementação

1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|

2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew

3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.

Atenção

Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew

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Implementação

1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|

2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew

3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.

Atenção

Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew

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Implementação

1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|

2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew

3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.

Atenção

Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew

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Implementação

1 A partir de um passo de tamanho h, calculamos o erro|yn − yn+1|

2 Se o erro for maior do que o aceitável, rejeitamos o passoe repetimos o processo com um passo menor hnew

3 Se o erro for menor que o aceitável, estamos usando umpasso grande demais. Aceitamos o passo e aumentamoso passo para a próxima iteração.

Atenção

Como o custo computacional de repetir um passo é relativa-mente alto, é aconselhável ser conservador e usar um passomenor que o estimado. Digamos, 0.9hnew

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Ganho computacional

Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!

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Ganho computacional

Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Ganho computacional

Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!

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Ganho computacional

Qual o ganho computacional do método?Em geral, nenhum.O que se ganha com a otimização do passo, se perde coma aplicação de dois Runge-Kutta para cada passo.A Sacada:Usar métodos Runge-Kutta de diferentes ordens, com asmesmas funções intermediárias!!!

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Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem

Funções intermediárias

f0 = f (x0, y0)

f1 = f (x0 +h4, y0 +

h4

f0)

f2 = f (x0 +3h8, y0 +

3h32

f0 +9h32

f1)

f3 = f (x0 +12h13

, y0 +1932h2197

f0 −7200h2197

f1 +7296h2197

f2)

f4 = f (x0 + h, y0 +439h216

f0 − 8hf1 +3680h

513f2 −

845h4104

f3)

f5 = f (x0 +h2, y0 −

8h27

f0 + 2hf1 −3544h2565

f2 +1859h4104

f3 −11h40

f4)

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem

Aproximações

y4 = y0 + h(

25216

f0 +14082565

f2 +21974104

f3 −15

f4

)y5 = y0 + h

(16

135f0 +

665612825

f2 +2856156430

f3 −9

50f4 +

255

f5

)

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Problemas de Contorno

Método de EulerRunge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordemPassos de tamanho variávelRunge-Kutta Fehlberg

Runge-Kutta-Fehlberg de quarta/quinta ordem

Erro

∆ = |y4−y5| = h∣∣∣∣ 1360

f0 −128

4275f2 −

219775240

f3 +1

50f4 +

255

f5

∣∣∣∣Não é necessário calcular y explicitamente para aceitar ounão o passo

hnew = 0.9h 4

√hε∆

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IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Problemas com condições de contorno fixas

Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem

Y =

yy ′

y ′′...

yn−1

Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Problemas com condições de contorno fixas

Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem

Y =

yy ′

y ′′...

yn−1

Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Problemas com condições de contorno fixas

Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem

Y =

yy ′

y ′′...

yn−1

Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Problemas com condições de contorno fixas

Neste caso, queremos resolver uma EDO de ordem nsujeita a condições de contorno na superfíciePrimeiramente, reescrevemos a EDO como um conjuntode n equações de primeira ordem

Y =

yy ′

y ′′...

yn−1

Assim, teremos n1 condições de contorno no ponto inicial(t = 0) e n2 = n − n1 condições de contorno no ponto final(t = tf )

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método da tentativa e erro

1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial

2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf

3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final

Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método da tentativa e erro

1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial

2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf

3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final

Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método da tentativa e erro

1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial

2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf

3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final

Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método da tentativa e erro

1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial

2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf

3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final

Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método da tentativa e erro

1 Escolhemos n2 condições contorno arbitrárias (chute)complementanto as n1 condições já existentes no pontoinicial

2 Usando um método para problemas de valor inicial,deixamos o sistema evoluir até o ponto tf

3 Calculamos o erro em relação às condições de contornono ponto final

Se o erro (todas as componentes) for menor que atolerância, achamos a soluçãoSe não, escolhemos um novo chute voltamos ao passo 2

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Aprendendo a chutar

Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir

α′ = α + ∆α

Para isso, escolhemos ∆α tal que

ε = J∆α J = [jij ] =

[∂εi

∂αj

]E aproximamos

∂εi

∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)

∆αj

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Aprendendo a chutar

Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir

α′ = α + ∆α

Para isso, escolhemos ∆α tal que

ε = J∆α J = [jij ] =

[∂εi

∂αj

]E aproximamos

∂εi

∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)

∆αj

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Aprendendo a chutar

Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir

α′ = α + ∆α

Para isso, escolhemos ∆α tal que

ε = J∆α J = [jij ] =

[∂εi

∂αj

]E aproximamos

∂εi

∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)

∆αj

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Aprendendo a chutar

Queremos, a partir de um conjunto de condições decontorno α = {α1, α2, · · · , αn2}, encontrar um novoconjunto que faça o erro diminuir

α′ = α + ∆α

Para isso, escolhemos ∆α tal que

ε = J∆α J = [jij ] =

[∂εi

∂αj

]E aproximamos

∂εi

∂αj=εi(α1, · · · , αj + ∆αj , · · · , αn2)− εi(α1, · · · , αn2)

∆αj

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Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 1

dy1

dx= y2

dy2

dx= F (x , y , y ′)

2 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,

temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se

torne menor que a tolerância

Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias

IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,

y1(x0) = y0 e y1(xf ) = yf

3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,

temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se

torne menor que a tolerância

Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias

IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)

6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos

7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância

Alexandre Rosas Equações diferenciais ordinárias

IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta paraobter

y1(xf , α1) e y1(xf , α2)

5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,

temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se

torne menor que a tolerância

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IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2) e estimamos

∂ε

∂α=

ε2 − ε1

α2 − α1

6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos

7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)

6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,temos

∆α = − ε2∂ε∂α

7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| setorne menor que a tolerância

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Exemplo: EDO de segunda ordem

1 Escrevemos y ′′ = F (x , y , y ′) como 2 EDOs de ordem 12 As condições de contorno do problema são, portanto,3 Chute inicial: dois valores iniciais para y ′(x0), α1, α2

4 Usamos, por exemplo, o método de Runge-Kutta paraobter

y1(xf , α1) e y1(xf , α2)

5 Calculamos o erro ε1,2 = y1,2(xf , α1,2)6 Como a mudança no erro deverá ser contrária ao erro,

temos7 Repetimos o processo, desde o passo 4 até que |ε2| se

torne menor que a tolerância

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)

dyi

dx=

yi+1 − yi−1

2he

d2yi

dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)

dyi

dx=

yi+1 − yi−1

2he

d2yi

dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)

dyi

dx=

yi+1 − yi−1

2he

d2yi

dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida

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Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)

dyi

dx=

yi+1 − yi−1

2he

d2yi

dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida

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IntroduçãoProblemas de valor inicial

Problemas de Contorno

Método da tentativa e erro (shooting method)Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Mais uma vez, queremos resolver uma EDO comcondições de contorno nas bordas y(x0) = y0 e y(xf ) = yfPara isso, dividimos o intervalo em N partes iguais detamanho h, de forma que temos N + 1 pontos (yi , xi), ondeyi = y(xi)Discretizamos as derivadas da EDO (para uma EDO desegunda ordem, poderíamos escrever)

dyi

dx=

yi+1 − yi−1

2he

d2yi

dx2 =yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Introduzindo essa discretização na EDO, calculamos umanova aproximação para yi em função dos valores de yi±1Repetimos o processo, até que a precisão desejada sejaobtida

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