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Números Complexos Notas de Aula 08 –
Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010
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Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos
Considere incialmente o conjunto dos números naturais :
Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo
A solução pertence ao conjunto dos naturais. Porém se nos
propusermos a resolver a equação
, não encontraremos nenhum número natural que satisfaça a igualdade, pois
qualquer natural que escolhamos para ocupar o lugar de de x teremos
. Há a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais para
resolver tal equação (equação (1)). Para isso, “criamos” o conjunto dos
números inteiros :
Neste conjunto podemos resolver qualquer equação do tipo
, porém nem toda equação do tipo
terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis em se é múltiplo
de . Se a não for divisor de b, não encontraremos que satisfaça a
equação (2). Para estas situações “criamos” o conjunto dos números racionais:
No conjunto que qualquer equação do tipo , será solúvel.
Porém, nem toda equação do tipo
terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis se for um
quadrado perfeito. Se a não for um quadrado perfeito não encontraremos
que satisfaça a equação (3). Para estas situações “criamos” o conjunto dos
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números irracionais . Da união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais “surge” o conjunto dos números Reais:
Note que
Porém, mesmo em , equações do tipo podem ainda não
ser solúveis. Basta tomarmos, por exemplo . Não há solução pois
sabemos que, em , qualquer número elevado ao quadrado é sempre um
número positivo. Se faz necessária uma nova ampliação nos conjuntos
numéricos. Para isso, precisamos de um conjunto que contenha o conjunto dos
números Reais e que continue satisfazendo as propriedades algébricas deste
conjunto em relação às operações de adição e multiplicação.
A criação do conjunto dos Números Complexos
Imaginemos um conjunto, que indicaremos por , como um conjunto de pares
ordenados de números reais:
Neste conjunto, vamos definir operações de adição e de multiplicação, da
seguinte forma:
Adição
Multiplicação
As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem todas as
propriedades algébricas do conjunto dos números reais, que são:
i) Comutatividade da adição
Se então
ii) Associatividade da adição
Se então
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iii) Neutro aditivo
Existe , tal que
iv) Oposto aditivo
Dado , existe , tal que
v) Comutatividade da multiplicação
Se então
vi) Associatividade da multiplicação
Se então
vii) Neutro Multiplicativo
Existe , tal que
viii) Inverso multiplicativo
Dado , existe , tal que
ix) Multiplicação distributiva em relação a adição
Se então
Números Reais são um sub conjunto de
Ainda, se tomarmos o sub-conjunto de :
Teremos que, em :
A adição definida para será dada por , isto é,
.
A multiplicação definida para será dada por , isto
é, .
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Então se, denotarmos um elemento de de S, simplesmente por , termos
que , as operações de adição e multiplicação em S se comportam exatamente
como as operações de adição e multiplicação em , preservando todas as
suas propriedades,e, além além disso, podemos estabelecer uma
correspondência biunívoca entre os elementos de S e . Então, assumindo as
operações definidas em , o sub-conjunto S se comporta exatamente como o
conjunto dos números reais (com suas operações de adição e
multiplicação).Ou seja .
Concluímos então que
O conjunto permitindo soluções para
Voltemos ao nosso problema de resolver, agora no conjunto dos números
complexos, a equação
Consideremos a equação . Esta equação tem solução real dada por
.
Consideremos também o número complexo . Temos
E,
Como , e
Portanto, no conjunto dos números complexos o número é
solução da equação .
Portanto o conjunto , da forma como concebemos é uma ampliação do
conjunto dos números Reais que nos permire resolver equações do tipo
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A unidade imaginária
Como vimos, para solucionar equações do tipo ,
usamos um número real que obtemos em função de (o módulo de ) , e um
número complexo . Este número é o que nos permite solucionar em , as
equações do tipo . Por isso criamos um símbolo
especial para o número complexo , denotando-o por :
O número é chamado de unidade imaginária. Note que . Esta é uma
característica fundamental da unidade imaginária.
A forma algébrica
Qual quer número complexo pode ser escrito como:
Ainda,
Então,
Note que é o número Real , e é o número real . Então podemos
escrever:
Ou seja, dado um número complexo , ele pode ser escrito de forma
única como:
Esta é a chamada forma algébrica, ou forma binomial de um número
complexo.
Ao escrevermos um número complexo na forma algébrica, nós o estamos
dividindo em duas partes que chamaremos de parte real, denotada por , e
de parte imaginária, denotada por :
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Note que, no formato acima:
se teremos que será um número Real;
se teremos , que será classificado como um número
Imaginário Puro.
A subtração e a divisão no conjunto dos números complexos
Já definimos a soma e o produto de complexos para definir este conjunto. As
operações de subtração e divisão decorrem destas duas operações já
definidas.
Subtração: Se e
Então
Então,
Divisão: Se e , com
Então,
Então se
Então,
Ainda,
Então,
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A equivalência entre o produto definido em e a aplicação da propriedade
distributiva para multiplicar dois complexos na for algébrica
Sejam dois complexos e . Se
multiplicarmos estes dois números utilizando a propriedade distributiva
teremos:
como
E, na forma de par ordenado temos
Representação Geométrica dos números Complexos
Vimos que um número complexo está associado a um par ordenado de
números reais. Também sabemos que cada par ordenado de números reais
está associado de forma única a um ponto do plano cartesiano. Sendo
assim, podemos representar cada número complexo como um ponto do
plano cartesiano:
O plano cartesiano onde são representados os números complexos é chamado
de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. O ponto é chamado de
afixo do número complexo .
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Por exemplo, os pontos , , , , e
podem ser representados no plano complexo conforme abaixo:
No plano complexo, o eixo das abscissas é chamado de eixo real, e nele está
representada a parte real de cada número complexo. Note que o eixo x se
torna assim a representação de todo o conjunto dos números reais dentro do
plano complexo.
O eixo y é chamado de eixo imaginário, e os pontos sobre este eixo são
números imaginários puros.
No plano complexo, podemos pensar cada número complexo como um vetor
com origem no ponto (0,0) cuja extremidade final é o ponto P(a,b). Desta
forma, a soma de números complexos também pode ser pensada como uma
“soma de vetores” no plano cartesiano, onde, dados os complexos e , o
número complexo é o vetor representado pelo segmento que coincide
com a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores representados por e
, conforme abaixo.
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Módulo de um número complexo
A partir da representação geométrica de um número complexo, definimos o
módulo de um número complexo , como a medida do comprimeto do
vetor que representa no plano complexo, ou seja, é a distância entre a origem
(0,0) e o ponto . Representando o módulo de por , temos:
Então,
Note que, como o módulo representa um comprimento, ele será sempre um
número positivo.
Complexos Conjugados
Dado um número complexo , definimos como o “conjugado de z”, e
representamos por , o número complexo dado por:
Geometricamente, o conjugado de é representado pelo ponto simétrico a
em relação ao eixo x:
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Propriedades do conjugado
I)
De fato, se , então,
II)
De fato, se , então,
III)
De fato, se
IV)
De fato, se
V)
De fato, se
Divisão de números complexos usando o complexo conjugado
Vimos anteriormente que se e , com então a
divisão de por será dada por
Porém, o conjugado nos fornece uma forma mais simples de efetuar a divisão:
Efetuar a divisão desta forma é mais simples pois é um número real.
Por exemplo, vamos calcular o inverso de :
Temos
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A forma trigonométrica dos números complexos
Qualquer número complexo está unicamente associado, no plano
complexo, a um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) que pode ser pode
ser localizado também em função de suas coordenadas polares, que são:
A distância do ponto P até a origem (0,0), que coincide com . Esta
distância também é representada pela letra grega .
O ângulo , situado no intervalo , que o vetor que representa o
número complexo forma com o eixo x. Este ângulo denomina-se
argumento de e é denotado por .
Graficamente temos:
Observando a representação acima, concluímos que:
e com
Assim, um número complexo pode ser expresso, na chamada forma
trigonométrica ou polar,em função de suas coordenadas polares como:
Quando o argumento de z é chamado de argumento principal.
Por exemplo, vamos representar o complexo na sua forma
trigonométrica:
Temos,
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E,
De (A) e (B) temos que
Geometricamente temos:
E, na forma trigonométrica, z é dado por
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica
Sejam e dados nas suas formar trigonométricas:
Calculando utilizando suas formas trigonométricas temos
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Das identidades e
Concluímos que,
Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o produto de dois números
complexos resulta em um número cujo módulo é o produto dos módulos dos
números que estão sendo multiplicados, e cujo argumento é a soma dos
argumentos dos números que estão sendo multiplicados (soma esta reduzida
à “primeira volta”, ou seja ).
Por exemplo, o produto de
e
é
dado por
Divisão de números complexos na forma trigonométrica
Sejam e dados nas suas formar trigonométricas:
Calculando
utilizando suas formas trigonométricas temos
Como e , podemos escrever
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Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o quociente de dois números
complexos resulta em um número cujo módulo é o quociente dos módulos dos
números que estão sendo divididos, e cujo argumento é a diferença dos
argumentos dos números que estão sendo divididos (diferença esta reduzida à
“primeira volta”, ou seja
).
Por exemplo, se queremos dividir o complexo
pelo
complexo
, teremos
Tomando o argumento do resultado entre e temos
Potenciação de números complexos na forma trigonométrica
Temos que,
Utilizando a multiplicação de complexos na forma polar, se
Então
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A fórmula acima é conhecida como fórmula de De Moivre.
Portanto, ao elevarmos um número complexo na forma trigonométrica a uma
potência n, obteremos como resultado um complexo cujo módulo é igual ao
módulo do número original elevado à n-ésima potência, e cujo argumento é
igual ao argumento do número original multiplicado por n, reduzido à primeira
volta .
Por exemplo,
se queremos calcular a sétima potência do complexo
teremos,
Na forma algébrica,
Radiciação de números complexos
Queremos agora obter a raiz n-ésima do número complexo
Se , então
Então, da igualdade acime resulta que
E, que
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Portanto
Note que se , assumirá valores distintos. Após , os
valores da medida de são iguais a algum valor já obtido quando
.
Assim, sempre teremos n raízes n-ésimas distintas para o complexo
e, estas raízes serão obtidas pela expressão
Por exemplo, vamos determinar a 3 raízes cúbicas do complexo .
Temos
Então,
Se , temos
Se , temos
Se , temos
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Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas estão sobre uma
circunferência de raio 1 e dividem a circunferência em três arcos congruentes
de
radianos cada um, formando um triângulo eqüilátero de vértices
, conforme a figura abaixo. Se calculássemos , encontraríamos
, estando estes dois números complexos sobre o ponto (ver figura
abaixo).
Equações binômias e trinômias
Equação binômia
Chamamos de equação binômia toda equação redutível á forma
com , , e .
Para resolver uma equação binômia basta isolar e aplicar o processo de
radiciação em :
Sendo assim uma equação binômia de ordem terá raízes complexas.
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Por exemplo, vamos resolver a equação
Temos . Vamos encontra então as raízes cúbicas do complexo .
Na forma polar temos
Então suas raízes cúbicas serão dadas por
Se , temos
Se , temos
Se , temos
Então, o conjunto solução da equação será dado por
Equação trinômia
Chamamos de equação trinômia toda equação redutível á forma
com , , e .
Para resolver uma equação trinômia fazemos a substituição , obtemos
as raízes e da equação , e resolvemos as equações
determinando as raízes complexas da equação original.
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Por exemplo, vamos determinar as soluções da equação .
Fazendo a substituição teremos a equação
De onde concluímos que
Temos agora que resolver as equações , e
Para temos
Se , temos
Se , temos
Se , temos
Para temos
Se , temos
Se , temos
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Se , temos
Portanto, as seis raízes cúbicas da equação serão dadas
pelo conjunto
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Exercícios
1) Determine x e y para que se verifiquem as igualdades:
a.
Resposta: x=3; y=3
b.
Resposta: x=3; y=4
c.
Resposta: x=
; y=
d.
Resposta: x=
; y=
2) Coloque na forma algébrica os seguintes números complexos:
a.
b. )
c.
d.
e.
Respostas
a.
b.
c.
d.
e.
3) Dados os números complexos , , calcule:
a.
b.
c.
d.
Respostas
a.
b.
c.
d.
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4) Determine o valor real de x para que o número complexo
a. seja um número imaginário puro
b. seja um número imaginário puro
c. seja um número imaginário puro
d. seja um número imaginário puro
Respostas
a.
b.
c.
d.
5) Efetue as operações indicadas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Respostas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
6) Calcule o valor das potências de : .
Resposta:
7) Calcule o valor de
a.
b.
c.
Respostas
a.
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b.
c.
8) Resolva a equação , no conjunto dos números
complexos.
Resposta: .
9) Resolva a equação , no conjunto dos números
complexos.
Resposta: e
10) Determine uma equação do segundo grau que, em , tenha como raízes
e .
Resposta:
11) Encontre o número complexo z tal que:
a.
b.
c.
Respostas
a.
b.
c.
12) Mostre que os números complexos e são as
soluções da equação .
13) Mostre que e coloque na forma algébrica o número
Resposta:
14) Mostre que e calcule
Resposta:
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15) Dados os números complexos , , , localize no
plano complexo os pontos correspondentes a cada número.
Resposta:
16) Determine os números complexos correspondentes aos pontos A,B,C,D
e E na figura abaixo:
Resposta: ; ; ; ;
;
17) Localize os pontos do plano correspondentes aos números complexos
, nos seguintes casos:
a.
b.
c.
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Respostas
18) Efetue algébrica e geometricamente a adição dos números complexos
e .
Resposta:
19) Mostre que o módulo do produto de dois números complexos é igual ao
produto dos módulos destes números, ou seja
Sugestão: use que (
20) Determine o módulo dos seguintes números complexos
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Respostas
a.
b.
c.
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d.
e.
f.
21) Se e , determine
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Respostas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
22) Determine o número complexo tal que .
Resposta:
23) Mostre que o conjugado do conjugado de é o próprio .
24) Encontre tal que
Resposta:
25) Escreva na forma os números complexos:
a.
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b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Respostas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
26) Localize geometricamente os números complexos z tais que:
a.
b.
c. é um número imaginário puro e
d.
e. é um número imaginário puro e
27) Dado , , determine
.
Resposta:
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28) Mostre que se são dois números complexos quaisquer, e ,
então
29) Determine , tal que .
Resposta:
30) Determine , tal que .
Resposta:
, ou
31) Determine , tal que .
Resposta:
, ou
32) Determine o módulo de cada um dos números complexos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Respostas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
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33) Determine o módulo de cada um dos números complexos:
a.
b.
c.
d.
Respostas
a.
b.
c.
d.
34) Qual é o módulo do número complexo que é solução da equação
?
Resposta
35) Determine a representação geométrica e a forma trigonométrica dos
complexos abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
Respostas
a.
b.
c.
d.
e.
36) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:
a.
b.
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c.
Respostas:
a.
b.
c.
37) Determine o valor do arg(z) dos números complexos:
a.
b.
Respostas:
a.
b.
38) Dados os números complexos
e
, calcule :
a.
b.
c.
d.
Respostas
a.
b.
c.
d.
39) Determine o numero complexo , sabendo que
sen 9 e 1 2=203cos17 18+ sen17 18
Resposta:
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40) Determine o produto e o quociente
para:
a.
e
b.
e
Respostas:
a.
e
b.
e
41) Calcule os valores das potências , sabendo que
Resposta: , , e .
42) Calcule as potências
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Respostas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
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43) Determine o menor valor de natural para que seja um
número real e positivo.
Resposta:
44) Escreva na forma o número complexo
Resposta:
45) Encontre as raízes quartas do complexo
Resposta:
,
sen17 16, 82cos9 16+ sen9 16, 82cos25 16+ sen25 16
46) Determine as raízes enésimas do número complexo 1.
Resposta:
47) Determine as raízes quadradas dos seguintes números complexos e dê
sua representação geométrica:
a.
b.
c.
d.
Respostas:
a.
b.
c.
d.
48) Determine as raízes cúbicas dos seguintes números complexos e dê sua
representação geométrica:
a.
b.
c.
d.
Respostas
a.
,
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b.
,
c. , ,
d.
,
,
49) Resolva as equações em .
a.
b.
c.
d.
Respostas
a.
b.
c.
d.
50) Resolva as equações em .
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Respostas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
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Referências
Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 3. Ed. 1.
Impressão 3. Editora Ática. São Paulo.2001.
Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume
6. Ed Atual. São Paulo. 1977.