international conference “recent problems in computational mathematics and
DESCRIPTION
International Conference “Recent Problems in Computational Mathematics and Mathematical Modeling” November, 29 – 30, 20 10 , Moscow , Russia. Past, Present and Future of Atmospheric Circulation Studies at INM RAS. V.P. Dymnikov Institute for Numerical Mathematics, RAS - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
International International ConferenceConference““Recent Problems in Computational Mathematics and Recent Problems in Computational Mathematics and
Mathematical Modeling”Mathematical Modeling” November, 29November, 29 – – 30,30, 20 201010, , MoscowMoscow, , RussiaRussia
Past, Present and Future of Atmospheric Circulation Studies
at INM RAS
V.P. DymnikovV.P. Dymnikov Institute for Numerical Mathematics, RAS E-mail: [email protected]
Introduction - I
• In the atmospheric sciences there are two main problems – weather prediction and climate change. These problems are connected each other.
• Let’s imagine that we have ideal mathematical model of climate system.
• Let A- global attractor of this model, m* –probabilistic ergodic invariant mesure on A. Then :
• Weather prediction : convergence of m(t) = B(m(t0)) to m*
Introduction - II• Climate change : delta m*• Mean rate of convergence m(t) to m* on A is
climatic characteristic and defines the weather predictability. The predictability time is defined, in particular by energy and enstrophy transfer along spectra.
• Therefore I’l consider our achievements in both problems.
• Because the roots of INM belong to Computer Centre of SB of AS I’l begin the consideration of past from the period of our work in CC.
Large-scale hydro-thermodynamics of the atmosphere uF
RT
av
a
uf
dt
du
cos
1tg ,
vFRT
au
a
uf
dt
dv
1
tg ,
RT
,
0cos
cos
1
vu
at,
Tp
Fa
v
a
u
tc
RT
dt
dT
cos ,
),( ECFdt
dqq
where
a
v
a
u
tdt
d
cos.
Subgrid-scaleprocesses:
parameterization
Parameterization of subgrid-scale processes • Turbulence in the atmospheric boundary
layer, upper ocean layer and bottom boundary layer
• Convection and orographic waves• Diabatic heat sources (radiative and phase
changes, cloudiness, precipitation, etc.) • Carbon dioxide cycle and photochemical
transformations • Heat, moisture and solute transport in the
vegetation and snow cover • Production and transport of the soil methane• Etc.
Weather prediction (1965-1969-1973-1993)-I
• Model: Primitive hydrostatic hydrodynamic
equations, Transport of humidity fields, Boundary layer (calculation of air surface
temperature and wind), Precipitation
Weather prediction (1965-1969-1973-1993)-II
• What was original (complitly new)? 1. Splitting-up method of solution (transport,
adaptation, physics) 2. Reduction on three-dimensional adaptation
system to the few two-dimensional problems 3. New equation for the transport humidity,
condensation and precipitation 4. SOS-scheme (control energy scheme)
1 2( )mf q q aq
Weather prediction (1965-1969-1973-1993)-III
• Project PASP (Hydrometeorological Institute, Novosibirsk , 1971-1973 ):
Data –analysis – model –postprocessing (Computer Vesna, 200 Kflops, Levin) • Present time: Semi-Lagrangian operative model of medium-
range weather forecast (INM – HMC – Meteo-France )
Coupled model of general circulation of the atmosphere and ocean ( 1975-1980) - I
• What was original (new )? 1. Symmetrization of primitive equations 2. Exact conservation of energy by finite-difference
approximation (adiabatic approximation ) 3. Original parameterizations of all sub-grid physical
processes 4. Splitting-up method 5. Factorization of implicit scheme 6. Reduced grid for iteration processes
0S
dSt
cos ( cos )M a u a
1
1
0
cosS
S S
MdSd a dSt
1 1
0 0 0
( ) .S p u v T
S
K c T d dS uF vF F d dSt
0, 0,S u v FF F F
1
0
0.p
S
K c T d dSt
Conservation laws
1. Mass conservation
2. Angular momentum balance
3. Total energy balance
If
then there is total energy conservation law
Для адиабатической атмосферы интегральный закон сохранения полной энергии не является квадратичным, так что выполнение его в конечномерном аналоге не обеспечивает вычислительной устойчивости. Если сделать замену переменных
1, 1, ,u u v v T
то закон сохранения будет иметь вид2 2 211 1
0
20,
2p
S
u v cd dS
t
так что систему уравнений термогидродинамики атмосферы можно представить в виде:
0Kt
, 0.K u
Схема Кранка-Николсон обеспечивает точный закон сохранения энергии для конечно-мерной аппроксимации, если оператор задачиаппроксимируется кососимметрической матрицей (что делается элементарно):
( )K
1 1
0.2
i j i i
uK
Если ,ih hK K u
то метод расщепления также обеспечивает такое сохранение полной энергии (квадратичной формы), что обеспечивает и вычислительную устойчивость. Модель циркуляции атмосферы и океана на основе этой идеи была построена и описана в монографии (Г.И. Марчук, В.П. Дымников, В.Б. Залесный, В.Н. Лыкосов, В.Я. Галин. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1984 г., 320 с.)
Coupled model of general circulation of the atmosphere and ocean ( 1975-1980) - II
• First version -10 degrees in longitude, 6 degrees in latitude, 3 vertical levels (10x6x3)• Shortcomings: 1. Upper boundary condition (much better for so crude
approximation to have the boundary condition on tropopouse)
2. Wrong transfer energy along spectra for “real” orography 3. No local balances• G.I. Marchuk, V.P. Dymnikov, V.B. Zalesny, V.N. Lykossov,
V.Ya. Galin “Mathematical modeling of general circulation of the atmosphere and ocean“, 1984, Leningrad, Gidrometeoizdat
Coupled model of general circulation of the atmosphere and ocean ( 1975-1980) - III
• Next version: 1. conservation of potential enstrophy in two-
dimensional approximation 2. Semi-explicit scheme in time• Shortcoming: broad stencil (smoothing of high-frequency mid-scale
variability)• Resolution: 5x4x21 (good results for 1x1x21)• AMIP 1, AMIP2
Среднегодовая ошибка ТПО в модели
Давление на уровне моря в декабре-феврале по данным модели (вверху) и наблюдений (внизу)
Температура в декабре-феврале по данным модели (вверху) и наблюдений (внизу)
U-компонента скорости ветра в декабре-феврале по данным модели (вверху) и наблюдений (внизу)
Среднеквадратичное отклонение ТПО в районе Эль-Ниньо по данным модели (вверху) и наблюдений (внизу)
Mathematical problems of climate theory - I
1. Global solvability2. Existence of global attractor. Estimates of dimension3. Dynamics on attractor. Local and global Lyapunov exponents4. Stability of attractor (set and ergodic measure)5. Response operator to small external forcing (FDT-theorem, periodic orbits)
Mathematical problems of climate theory - II
6. Possibility of calculations of response operator for real climate system
7. Approximation of attractor8. Calculation of stationary points and periodic orbits on attractor9. Approximation of atmospheric regimes by
stationary points and periodic orbits10. Stabilization of trajectories
Оператор отклика для первого момента (нелинейная теория)
Нелинейная модель:
( - белый шум по времени)
«Возмущенная» модель:
)()( tuBdtdu
ftuBdtud
)()(
)(t
Стационарный отклик
Уравнение Фоккера-Планка для плотности инвариантной меры
имеет единственное стационарное решение .
fMu
uuu
))(( uBdivt
*
В первом приближении по
В случае нормального распределения
jj
t
j
iiftdt
utuu
0
*
*)(
1)(
dCCM )0()( 1
0
f
Отклик, рассчитанный с помощью CCM0 (справа) и восстановленный с использованием M-оператора (слева). Аномалия нагревания задана на (60E, 00N). Верхний рисунок – 0.336, нижний - 0.811
Восстановление отклика CCM0 на синусоидальную аномалию нагревания
If we know М we can find the forcing producing given response in the system statistics
.fMW
.1 WMf
Model response (right) onto the heating (top left) was multiplied by the inverse response operator. Reconstructed forcing is shown on the (bottom left)
Apply the forcing to the model, get
Reconstruct the forcing as
WM 1
W
How it works for CCM0?
Projects
• Modeling of climate and climate change• Mathematical modeling of regional climate
processes• Construction of computational core for Earth
System Model of new generation (petascale and exascale computations)
• Mathematical problems of climate theory
Thank you for your attention!