01/12/2016

1

Intensification des contraintes à

l’extrémité de fissures

CFMR - Chapitre 4

A. Zeghloul

Master Matériaux-Mécanique-Structures-Procédés

SOMMAIRE

� Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K

� Modes de sollicitation des fissures

� Approche de Westergaard

� Expression des champs de contrainte et de déplacement

� Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de

déplacement

� Mode de cisaillement anti-plan

� Principe de superposition

� Zone plastifiée à fond de fissure

� Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids

� Ténacité - FIC critique

� Approche énergétique de Griffith

� Relation entre énergie de Griffith et FIC K

01/12/2016

42

2 - vérifier que la fonction poids précédente est exacte en considérant le chargement

simple σ0 sur les lèvres de la fissure.

1(x)

2

xh

a xaπ=

−

σ0

2a

x

y2

0

0

( 2 )2

a

I

xK x a dx

a xa

σπ

= =−∫

2Changement de variable 2 cos

4 cos sin

x a

dx a

αα α

=⇒ = −

2 / 2 / 2

0 0 0

cos4 cos sin 2 (1 cos 2 )

2 sin

ax

dx a d a d aa x

π πα α α α α α πα

= = + =−∫ ∫ ∫

00( 2 )IK x a a a

a

σ π σ ππ

⇒ = = =

K p x h x dxI = z ( ) ( )0IK aσ π=

K p x h x dxI = z ( ) ( )

K x aa

p xx

a xdxI

a

( ) ( )= =−z2

1

20

2

π

K xa

p xa x

xdxI

a

( ) ( )= = −z01 2

0

2

π

2a

x

y

p0

2p0

p(x) parabolique( )2

0 2( ) 1

x ap x p

a

−= +

1(x)

2

xh

a xaπ=

−

2a

x

y p(x)

Exemple

( )22

002

0

2 3( 0) 1

2

a

I

x ap a xK x dx p a

a xaπ

π

− −= = + = ∫

3 – Calculer KI pour l’exemple ci-dessous.

01/12/2016

43

4 - Calculer le FIC KI au l’extrémité x=l pour les chargements (1) et (2)

sachant que le KI pour le chargement * est :

*

2I

lK

πσ ∞= *

2 2( )

4I

zZ z

z l

σ ∞

=−

I i iK T h ds

Γ

= ∫

*

*

'

2

ii

I

uEh

K l

∂=∂

* *

2

2Sur les lèvres Im ( ) en CPIu Z x

E= *

2 2( )

4I

xZ x

x l

σ ∞

=−

* * 2 2

1 4IZ Z dx x lσ ∞= = −∫* 2 2

2

2( ,0 , ) 4u x l l x

E

σ ∞±⇒ = ± −

En se plaçant sur le repère associé

au chargement (1) ce qui revient

à changer x en x-l/2,

le déplacement u2* s’écrit :

*

2

2( ,0 , ) ( )u x l x l x

E

σ ∞± = ± −

*

2 ( ,0 , )u x l x

l E l x

σ± ∞∂⇒ = ±

∂ −

01/12/2016

44

I i iK T h ds

Γ

= ∫

**

*La relation donne compte tenu de

2 2

ii I

I

uE lh K

K l

πσ ∞∂= =∂

*

22 *

( ,0 , ) 1( ,0 , )

2 2I

u x lE xh x l

K l l xlπ

±± ∂ ±= ± =

∂ −

Seule la composante T2 du vecteur contrainte est non nulle. Elle est donnée par :

Chargement (1) T2=σ¶ sur la lèvre supérieure et T2=-σ¶ sur la lèvre inférieure,

Chargement (2) T2=σ¶x/l sur la lèvre supérieure et T2=-σ¶x/l sur la lèvre inférieure.

2(1) 2 2

0 02 2 2sin ( sin )

2 2

l

I

x lK dx d x l

l xl l

πσ σ θ θ θπ π

∞ ∞

= = =−∫ ∫

2(1)

02 (1 cos 2 )

22I

l lK d

l

πσ πθ θ σπ

∞∞⇒ = − =∫

2(2) 4 2

0 02 2 2sin ( sin )

2 2

l

I

x x lK dx d x l

l l xl l

πσ σ θ θ θπ π

∞ ∞

= = =−∫ ∫

2(2)

0

1 3 cos 42 2cos 2

2 2 22I

lK d

l

πσ θθ θπ

∞ = − +

∫

(2) 3

4 2I

lK

πσ ∞⇒ =

01/12/2016

45

FIC K pour fissures tridimensionnelles

Les fissures traversantes avec un front bien défini ont une configuration 2D. Les

méthodes indiquées précédemment permettent le calcul du FIC K dans un grand

nombre de cas simples.

Lorsque les fissures ont un caractère tridimensionnel comme celles de surface ou de

coin, le FIC K varie le long du front de fissure ; on le calcule par la méthode des

éléments finis.

En pratique, lorsque ces fissures s'amorcent, elle se propagent dans les directions où le

FIC K est plus élevé mais elles tendent le plus souvent vers une configuration où le FIC

se stabilise le long du front de fissure si bien qu’on peut les traiter ensuite en 2D.

Pour des fissures de surface ou de coin de forme elliptique (a/c <1) dans des plaques

sollicitées en mode I, Raju et Newman9,10 ont proposés pour le calcul du KI des

formules empiriques obtenues par ajustement numérique aux résultats de calculs par

éléments finis :

, ,I S

a aK aF

c tσ π ϕ∞ =

01/12/2016

46

( )2 3

3 1 0,08 0,15( ) (1 cos )g a t ϕ= + + −

( )2 3

2 1 0,08 0,4( ) (1 sin )g a t ϕ= + + −

FIC critique - Ténacité

Les évolutions caractéristiques de KIc , obtenues à partir d’essais normalisées,

sont représentées schématiquement sur la figure suivante .

01/12/2016

47

01/12/2016

48

http://nte.mines-albi.fr/SciMat/co/SM6uc2-2.html

Matériau Ténacité (MPa÷m σR (MPa)

2014 T651 40 500

TA6V 85 1020

40CrMoV20 42 1850

35NiCrMo16 95 1850

Céramique 5 800

Quelques valeurs de la ténacité des matériaux

Mesure de la ténacité

01/12/2016

49

En plus des conditions précédentes, les normes ASTM exigent, lors de l’essai de

mesure de KIc, de s’assurer que :

le diagramme P-d ;

Diagramme charge-déplacement et procédure

de détermination des charges PQ et Pu.

IC QK K=

01/12/2016

50

TD11 : Mesure de ténacité KIc

(figure fi)

L’enregistrement du digramme charge-déplacement

a donné les valeurs suivantes

Calculer la ténacité KIc et vérifier que la valeur

trouvée est conforme aux conditions de l’ASTM.

01/12/2016

51

Corrigé du TD 11

1ère condition

vérifiée

La condition i.

vérifiée

La condition ii. vérifiée

La condition iii. vérifiée

La condition iv.

vérifiée

70,6IC QK K MPa m= =Conditions de l’ASTM toutes

vérifiées î

01/12/2016

52

Approche énergétique de Griffith

Dans un matériau, une extension ∆a d’une

fissure de longueur a s’accompagne des

variations d’énergie suivante :

Généralement, on considère l’unité d’épaisseur (e=1) si bien que l’énergie G rapportée

à l’épaisseur unité devient :

� Propagation à déplacement u imposé (figure b)

� Propagation à force P imposée (figure c)

01/12/2016

53

Propagation à déplacement (b) ou à force (c) imposés.

Diagrammes charge-déplacement

2 22

2

1

2 2 2él él

u

u u CW CP W a

C C a

∂ = = ⇒ ∆ = − ∆ ∂

∆u=0 ï ∆Wext=0 avec Wél=Pu/2, soit en introduisant la complaisance

(c.à.d. l’inverse de la rigidité) C=u/P :

2 2

22 2u u

u C P CG

C a a

∂ ∂ = = ∂ ∂

01/12/2016

54

2

2 P

P CG

a

∂ = ∂

Les expressions précédentes de l’énergie de Griffith G pour une propagation de

fissure à déplacement ou force imposés peuvent se mettre sous une forme unique :

2

ou 2 u P

P CG

a

∂ = ∂

Si l’épaisseur e de l’éprouvette n’est pas égale à un, l’expression de G est :

2

ou 2 u P

P CG

e a

∂ = ∂

01/12/2016

55

Dans les deux cas examinés (chargement à déplacement ou force imposés), il apparait

que l’énergie ∆U dépensée lors de la propagation est égale à l’aire du triangle OAB dans

le diagramme charge-déplacement.

Pour réaliser ce type de chargement, la machine d’essai doit être soit de rigidité infinie

pour imposer un déplacement, soit de souplesse infinie pour imposer une force.

Dans la pratique des essais, on est entre ces deux cas extrêmes et le diagramme charge-

déplacement présente pour différentes longueurs de fissure ai, l’allure suivante :

Diagramme charge-déplacement pour différentes longueurs de fissure.

Considérons à présent deux longueurs de fissure ai et aj. L’énergie ∆U correspond à

l’aire du triangle OAiAj :

' ' ' '

( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 ( )( )

2 2 2

i j

i i i i j j j j

i i i j j i j j

U Aire OA A

Aire OA A Aire A A A A Aire OA A

Pu P P u u P u

∆ =

= + −

= + + − −

1( )

2i j j iU Pu P u⇒ ∆ = −

1

2

i j j i

j i

Pu P uG

e a a

−=

−

01/12/2016

56

Energie de Griffith critique GC

TD12 : Mesure de ténacité GIc

Ces résultats sont représentés sur les courbes charge-déplacement de

la figure suivante ;

01/12/2016

57

Courbe charge-déplacement à rupture d’un acier

Calculer la valeur moyenne en KJ/m2 de la ténacité de l’acier par les deux méthodes :

1

2

i j j i

I

j i

Pu P uG

e a a

−=

−

2

ou 2I

u P

P CG

e a

∂ = ∂

Corrigé du TD 12

Calcul de GIC à partir des aires dans le diagramme charge-déplacement

1

2

i j j i

I

j i

Pu P uG

e a a

−=

−

230,2 0,6 /5

ICmoy

IC

GG KJ m⇒ = = ±∑

2

1 2 3 3

1 4 0,5 3,5 0, 4Aire triangle 30,0 /

2 10 (40 30) 10IC

OA A G KJ m− −

× − ×⇒ = =

⋅ − ⋅

01/12/2016

58

Les valeurs de la complaisance C=u/P sont directement déduites des données :

Calcul de GIC à partir des variations de la complaisance

2

ou 2I

u P

P CG

e a

∂ = ∂

2

2I

P CG

e a

∂ = ∂ La ténacité est calculée par la relation

Pour plus de précision, on détermine GIC à partir des valeurs moyennes de ∂C/∂a

calculées à gauche et à droite de chaque valeur de a .

( )

( )

( )

( )

( )

76 1

3

76 1

3

76 1

3

76 1

3

7

3

(1, 43 1,00) 104,30 10

10 10

(2,02 1,43) 105,62 10

10,5 10

(2,79 2,02) 106,94 10

11,1 10

(3,59 2,79) 107,92 10

10,1 10

(4,26 3,59) 10

7,3 10

D

C a N

C a N

C a N

C a N

C a

−− −

−

−− −

−

−− −

−

−− −

−

−

−

− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅

− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅

− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅

− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅

− ⋅∂ ∂ =⋅

6 19,18 10 N− −= ⋅

( ) 6 140 4,96 10moy

a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅

( ) 6 150,5 6,28 10moy

a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅

( ) 6 161,6 7,43 10moy

a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅

( ) 6 171,7 8,55 10moy

a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅

( )2 6

6 2

3

3,5 10( 40 ) 4,96 10 30,38 /

2 10IC IC

G a mm G KJ m−−

⋅= = ⋅ ⇒ =

⋅

01/12/2016

59

a (mm) 40 50,5 61,6 71,7

GIC (KJ/m2) 30,38 30,57 29,13 29,35

229,86 0,39 /4

ICmoy

IC

GG KJ m⇒ = = ±∑

Les deux méthodes donnent des valeurs de la ténacité GIC proches.

Relation entre énergie de Griffith G et FIC K

Considérons une fissure sollicitée en mode I ; les chargements en mode II

ou III se traitent de façon similaire.

La fissure de longueur initiale a

se propage sur une distance ∆a.

Le champ de contrainte en aval

de l’extrémité A de la fissure est

donné par :

( , 0)2

Iy

Kr

rσ θ

π= =

01/12/2016

60

Le champ de déplacement des lèvres de la fissure en amont de l’extrémité A’

s’écrit :

La force appliquée aux lèvres de la fissure

est σy(r)edx avec r=x-a.

Le déplacement en r’=a+∆a-x est uy(r’).

Le travail de régression est donné par :

( , 0)2

Iy

Kr

rσ θ

π= =

01/12/2016

61

2 1 *

2

IK

U aυ

µ−∆ = ∆

2

0

1 *lim

2

II

a

KUG

a

υµ∆ →

∆ −⇒ = =

∆

( )2

21DP II

KG

Eυ= −

2CP II

KG

E=

( )2

2

' en CPou encore avec

' 1 en DP'

II

E EKG

E EE υ== = −

Mode II

( )2

2

' en CP avec

' 1 en DP'

IIII

E EKG

E EE υ== = −

Mode III

2

2

IIIIII

KG

µ=

01/12/2016

1

Application de la MLR

Fatigue des Matériaux

CFMR - Chapitre 5

A. Zeghloul

Master Matériaux-Mécanique-Structures-Procédés

SOMMAIRE

� Introduction

� Endurance en fatigue

� Endommagement par fatigue

� Fissuration par fatigue

� Endommagement en propagation par fatigue

� Fermeture de fissure en bas de cycle de fatigue

� Propagation des fissures courtes en fatigue

� Applications : calculs des durées de vie en fatigue

01/12/2016

2

Introduction

La fatigue correspond à la détérioration des propriétés mécaniques des matériaux

consécutives à l’application de sollicitations cycliques.

L’endommagement par fatigue, associé à un grand nombre de défaillances de

systèmes mécaniques (industries automobile, aéronautique …), se manifeste par

l’apparition de fissures qui se propagent ensuite et parfois jusqu’à rupture.

Dans la pratique des procédures de caractérisation du phénomène de fatigue, la

période de l’amorçage (apparition de fissure) est traitée à l’aide d’essais sur des

éprouvettes lisses (parfois entaillées) et l’on détermine alors une durée de vie en

fonction d’une amplitude de contrainte ou de déformation.

La phase de propagation est quant à elle essentiellement étudiée à partir d’essais

de fatigue sur des éprouvettes entaillées, la vitesse de fissuration est ensuite

décrite en fonction de l’amplitude du facteur d’intensité des contraintes ∆K.

Le développement de la mécanique de la rupture a été d’un apport majeur

dans l’étude et la description de la propagation des fissures de fatigue.

01/12/2016

3

01/12/2016

4

Trajet du vol 32 Qantas Airways

L'accident s'est produit le 4 novembre 2010 à 10h01 heure locale (02h01

UTC) alors que l'appareil redécollait de Singapour en direction de Sydney.

Cause de l'accident

L'agence australienne de sécurité des transports et le motoriste Rolls-

Royce ont enquêté sur l'accident et ont établi que c'est un « défaut de

fabrication des turbines haute pression et à pression intermédiaire, là où le

circuit distribue l'huile pour les roulements des arbres » qui est en cause :

il a ensuite causé des fissures liées à la fatigue. C'est donc Rolls-Royce qui

a été reconnue coupable, et dû verser un dédommagement de 72 millions

d'euros à la compagnie australienne. Cet appareil a repris ses vols

commerciaux en avril 2012.

01/12/2016

5

Endurance en fatigue

Un cycle de contrainte est caractérisé par une amplitude de contrainte ∆σ et par une

contrainte moyenne σmoy.

Pour décrire les résultats, on utilise souvent

l’amplitude ∆σ et le rapport R défini par :

min

max1R

σσ

= < max min max (1 )Rσ σ σ σ∆ = − = −

max min 1

1 1 2(1 )

moyR R

R R R

σ σσ σ σ σ∆ ∆ += = = ∆− − −

Les courbes de fatigue sont souvent présentées en fonction de la contrainte alternée

σa qui correspond à la demi amplitude de contrainte:

( )max min1

2 2a

σσ σ σ∆= = −

aσ

Lorsqu’on soumet un lot d’éprouvettes à des sollicitations cycliques, d’amplitude et de

fréquence fixées, on obtient une courbe (en échelle semi-logarithmique) présentant la

contrainte alternée en fonction du nombre de cycles à rupture, qui a l’allure suivante:

01/12/2016

6

Cette dernière zone est délimitée par une asymptote qui donne la limite de fatigue ou

limite d’endurance, notée σD pour des essais à σmoy=0 ou R=-1

La limite d’endurance σD peut être définie comme l’amplitude de contrainte en

dessous de laquelle une microfissure créée par fatigue dans un matériau n’arrive plus à

passer une barrière métallurgique telle un joint de grain par exemple.

Dans la zone 2 d’endurance limitée, une des nombreuses expressions empiriques pour

relier σa et NR est la relation de Weibull :

( )/ pour n

R a D a DN A σ σ σ σ= − >

La zone 1 correspond au domaine de fatigue oligocyclique où les contraintes

appliquées sont supérieures à la limite d’élasticité du matériau. Dans cette zone, la

courbe contrainte-déformation stabilisée prend la forme d’une boucle d’hystérésis.

Les lois empiriques les plus utilisées pour décrire les résultats de fatigue oligocyclique

sont :

( )' 2 Relation de Manson-Coffin2

' et coefficient et exposant de ductilité en fatigue

cp

f R

f

N

c

εε

ε

∆= ⋅ ( )'

2 Relation de Basquin2

' et coefficient et exposant de résistance à la fatigue

bfeR

f

NE

b

σε

σ

∆ = ⋅

01/12/2016

7

Dans la zone 3 d’endurance illimitée, il est parfois difficile d’évaluer la limite de

fatigue ou limite d’endurance σD.

On introduit alors la notion de limite de fatigue conventionnelle qui correspond à

la plus grande amplitude de contrainte pour laquelle la probabilité de rupture est

de 50% après N cycles de sollicitation (N variant de 106 à 108).

Aspect probabiliste de la courbe de Wöhler

Etant donné la dispersion sur les résultats d’essais d’endurance, il est nécessaire

de construire des courbes d’équiprobabilité.

01/12/2016

8

La courbe de Wöhler étant la courbe médiane à 50%, il est vérifié par l’expérience

que :

- La distribution de Log(NR) suit une loi normale pour une contrainte donnée;

- La distribution de la contrainte suit une loi normale pour un nombre de cycles

donné.

Influence de la contrainte moyenne sur la

courbe de Wöhler

Lorsque les essais de fatigue sont réalisés à

contrainte moyenne σm non nulle, la durée de

vie est modifiée :

- Une contrainte moyenne de traction

diminue la durée de vie ;

- Une contrainte moyenne de compression

l’augmente ;

- La limite d’endurance σD varie dans les

mêmes sens.

Différents diagrammes permettent de représenter ces variations :

- Digramme de Haig;

- Droites de Söderberg ou de Goodman;

- Parabole de Gerber.

01/12/2016

9

Diagramme de Haig

Ce diagramme, déduit des courbes de Wöhler, représente la variation de l’amplitude de

contrainte σa=∆σ/2 en fonction de la contrainte moyenne σm pour NR donné.

Les points A et B correspondent respectivement à σD obtenue à R=-1 (σm=0) et à Rm la

résistance à rupture en traction. La construction expérimentale de Haig résulte :

Construction du Diagramme de Haig

01/12/2016

10

TD13 : Calcul de durées de vie à partir des Diagrammes d’endurance

Une pièce en alliage d’aluminium est soumise à un chargement cyclique variant

de 50 à 350MPa. Estimer la durée de cette pièce à partir des droites de Goodman

de Söderberg, et de la parabole de Gerber.

Données : Re=435MPa, Rm=570MPa et la courbe de Wöhler à σm=0 est décrite

par σD=a-bLogNR avec a=630MPa et b=65MPa.

Corrigé

Droite de Söderberg (1 ) 278ma D D

e

MPaR

σσ σ σ= − ⇒ =

Contraintes alternée et moyenne : 150 200a mMPa MPaσ σ= =

52,60 10RN cycles⇒ = ⋅

Droite de Goodman (1 ) 231ma D D

m

MPaR

σσ σ σ= − ⇒ = 61,38 10RN cycles⇒ = ⋅

2

Parabole de Gerber 1 171ma D D

m

MPaR

σσ σ σ = − ⇒ =

71,15 10RN cycles⇒ = ⋅