integrální pocet - ii. cást (urcitý integrál a jeho aplikace)fusekmi/esmat/prednaska07.pdf ·...
TRANSCRIPT
Integrální pocet - II. cást(urcitý integrál a jeho aplikace)
Michal Fusek
Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected]
7. prednáška z ESMAT
Michal Fusek ([email protected]) 1 / 23
Obsah
1 Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
2 Vlastnosti Riemannova integrálu
3 Výpocet Riemannova integrálu
4 Výpocet obsahu rovinného obrazce
Michal Fusek ([email protected]) 2 / 23
Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
Delení intervaluNecht’ 〈a,b〉 je uzavrený interval ax0, x1, . . . , xn−1, xn reálná císla splnující
a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.
Potom množinu uzavrených intervalu
D = {〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉}
nazýváme delením D intervalu 〈a,b〉 a císla x0, x1, . . . , xn nazývámedelicími body intervalu 〈a,b〉.
Normou ν(D) delení D rozumíme maximální vzdálenost sousedníchdelicích bodu, tedy
ν(D) = max{x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1}.
Michal Fusek ([email protected]) 3 / 23
Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
Integrální soucet
Necht’ f je ohranicená funkce defino-vaná na uzavreném intervalu 〈a,b〉.Necht’
D = {〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉}
je delení intervalu 〈a,b〉.
Dále necht’ R = {ξ1, ξ2, . . . , ξn} je tzv. výber reprezentantu z deleníD, tj. císla z intervalu 〈a,b〉 splnující
xi−1 ≤ ξi ≤ xi , i = 1, . . . ,n.
Potom soucetS(f ,D,R) =
n∑i=1
f (ξi)(xi − xi−1)
nazýváme integrálním souctem funkce f príslušným delení D avýberu reprezentantu R z delení D.
Michal Fusek ([email protected]) 4 / 23
Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
Geometricky je integrální soucet S(f ,D,R) kladné funkce f rovensouctu obsahu obdélníku, jejichž základny mají délku xi − xi−1 ajejichž výška je rovna f (ξi).
Je-li funkcní hodnota v reprezentantu záporná (obdélnícek je podosou x), pak príspevek tohoto obdélnícku do integrálního souctuje záporný.
Integrální soucet je dán rozdílem obsahu obdélníku nad osou x apod osou x .
Michal Fusek ([email protected]) 5 / 23
Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
Urcitý (Riemannuv) integrál
Necht’ f je ohranicená funkce definovaná na uzavreném intervalu〈a,b〉. Rekneme, že f je Riemannovsky integrovatelná na 〈a,b〉,jestliže existuje císlo I ∈ R takové, že ke každému ε > 0 existujeδ > 0 tak, že pro každé delení D intervalu 〈a,b〉 s libovolným výberemreprezentantu R, jehož norma ν(D) < δ, platí
|S(f ,D,R)− I| < ε.
Císlo I nazýváme urcitý integrál nebo též Riemannuv integrálfunkce f na intervalu 〈a,b〉 a znacíme jej∫ b
af (x)dx .
Císlo a nazýváme dolní mez a císlo b horní mez Riemannovaintegrálu.
Michal Fusek ([email protected]) 6 / 23
Urcitý vlastní (Riemannuv) integrál
Konstrukce Riemannova integrálu pro spojitou funkciNecht’ f je spojitá funkce definovaná na uzavreném intervalu 〈a,b〉.Necht’ {D1,D2, . . . ,Dn} je posloupnost delení intervalu 〈a,b〉 taková,že každé nové delení Dk+1 vznikne z delení Dk pridáním novýchdelicích bodu do stredu každého podintervalu 〈xi−1, xi〉 u delení Dk .Dále necht’ {R1,R2, . . . ,Rn} je libovolná posloupnost reprezentantu ztechto delení. Potom
limn→∞
ν(Dn) = 0 a∫ b
af (x)dx = lim
n→∞S(f ,Dn,Rn).
Interval rozdelíme na podintervaly. Z každého podintervaluvybereme reprezentanta a urcíme integrální soucet.
Delení zjemníme tak, že pridáme stredy puvodních podintervalu,címž získáme delení s menší normou. Opet vyberemereprezentanty a urcíme integrální soucet.
Postup opakujeme, dokud se integrální soucty neustálí(Riemannuv integrál funkce f na intervalu 〈a,b〉).
Michal Fusek ([email protected]) 7 / 23
Vlastnosti Riemannova integrálu
Vlastnosti Riemannova integrálu
Necht’ a < b. Potom ∫ a
bf (x)dx = −
∫ b
af (x)dx ,
∫ a
af (x)dx = 0.
Necht’ f je funkce integrovatelná na intervalu 〈a,b〉 a necht’ c ∈ (a,b).Potom je f integrovatelná na intervalech 〈a, c〉 a 〈c,b〉 a platí∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx .
Michal Fusek ([email protected]) 8 / 23
Vlastnosti Riemannova integrálu
Vlastnosti Riemannova integrálu
Necht’ f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉 a necht’c ∈ R. Pak platí∫ b
a
[f (x)± g(x)
]dx =
∫ b
af (x)dx ±
∫ b
ag(x)dx ,
∫ b
ac f (x)dx = c
∫ b
af (x)dx .
Necht’ f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉 takové, žepro x ∈ (a,b) je f (x) ≤ g(x). Pak platí∫ b
af (x)dx ≤
∫ b
ag(x)dx .
Michal Fusek ([email protected]) 9 / 23
Vlastnosti Riemannova integrálu
Vlastnosti Riemannova integrálu
Necht’ f je funkce integrovatelné na intervalu 〈a,b〉. Dále necht’ S jesudá funkce a L lichá funkce, obe integrovatelné na intervalu 〈−a,a〉.Potom platí∫ b
a 0 dx = 0∫ ba dx = b − a
f (x) ≥ 0 na 〈a,b〉 ⇒∫ b
a f (x)dx ≥ 0∣∣∣∫ ba f (x)dx
∣∣∣ ≤ ∫ ba |f (x)|dx
∫ a−a S(x)dx = 2
∫ a0 S(x)dx∫ a
−a L(x)dx = 0
Michal Fusek ([email protected]) 10 / 23
Vlastnosti Riemannova integrálu
Postacující podmínky integrovatelnosti
Funkce f je Riemannovsky integrovatelná na intervalu 〈a,b〉, pokudsplnuje alespon jednu z následujících podmínek:
Funkce f je na 〈a,b〉 spojitá.Funkce f je na 〈a,b〉 monotonní.Funkce f je na 〈a,b〉 ohranicená a má na 〈a,b〉 konecný pocetbodu nespojitosti 1. druhu.
Príkladem funkce, která není Riemannovsky integrovatelná, je napr.funkce
f (x) =
{1 pro x ∈ Q,0 pro x ∈ I,
která není Riemannovsky integrovatelná na žádném intervalu.
Michal Fusek ([email protected]) 11 / 23
Výpocet Riemannova integrálu
Newtonova–Leibnizova formule
Jedna z nejduležitejších vet matematické analýzy dávající dosouvislosti derivaci a neurcitý a urcitý integrál.
Necht’ f je Riemannovsky integrovatelná funkce na intervalu 〈a,b〉.Dále necht’ F je primitivní funkce k funkci f na intervalu 〈a,b〉, tj. provšechna x ∈ 〈a,b〉 platí F ′(x) = f (x). Potom∫ b
af (x)dx =
[F (x)
]ba = F (b)− F (a).
Príklad ∫ 5
−2x2 dx =
1333
Michal Fusek ([email protected]) 12 / 23
Výpocet Riemannova integrálu
Metoda per partes pro urcitý integrál
Necht’ funkce u, v a jejich derivace jsou spojité na intervalu 〈a,b〉.Potom platí∫ b
au(x)v ′(x)dx =
[u(x)v(x)
]ba −
∫ b
au′(x)v(x)dx .
Príklad∫ 31 x ln x dx = 9
2 ln3− 2 [u = ln x , v ′ = x ]
Michal Fusek ([email protected]) 13 / 23
Výpocet Riemannova integrálu
Substitucní metoda pro urcitý integrál
Necht’ funkce f , ϕ a ϕ′ jsou spojité na príslušných intervalech a necht’funkce ϕ je ryze monotonní. Potom platí∫ b
af (ϕ(x))ϕ′(x)dx =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)f (t)dt
a ∫ b
af (x)dx =
∫ ϕ−1(b)
ϕ−1(a)f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .
Príklad
(a)∫ 5
1
√2x − 1 dx = 26
3 [2x − 1 = t ]
(b)∫ 1
0 x2(5− 2x3)4dx = 144115
[5− 2x3 = t
]Michal Fusek ([email protected]) 14 / 23
Výpocet Riemannova integrálu
Príklad
Overte podmínky existence a vypocítejte integrály:
(a)∫ π
40 tg2 x dx
(b)∫ 4
0
√x
1+√
x dx[x = t2
](c)
∫ π3
π4
xsin2 x dx
[u = x , v ′ = 1
sin2 x
](d)
∫ 12
0 arcsin x dx[u = arcsin x , v ′ = 1, pak 1− x2 = t
](e)
∫ π2
π3
1sin x dx
[cos x = t ,
∫ 1x2−A2 dx = 1
2A ln∣∣∣ x−A
x+A
∣∣∣+ c]
(f)∫ π
0
√sin x − sin3 x dx [sin x = t , pozor na abs. hod.]
Rešení:
(a) 1− π4
(b) ln9
(c) π36 (9− 4
√3) + 1
2 ln 32
(d) π12 − 1 +
√3
2
(e) 12 ln3
(f) 43
Michal Fusek ([email protected]) 15 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Obsah obrazce ohraniceného grafem kladné funkce f a osou x naintervalu 〈a,b〉:
S =
∫ b
af (x)dx .
Michal Fusek ([email protected]) 16 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Príklad
Urcete obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí y = x a y = x3.
Rešení:
Prusecíky: x1 = −1x2 = 0x3 = 1
S = 2(∫ 1
0 x dx −∫ 1
0 x3 dx)= 1
2
Michal Fusek ([email protected]) 17 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí f a g, f (x) > g(x) naintervalu 〈a,b〉:
S =
∫ b
a[f (x)− g(x)]dx .
Pritom nemusí na celém intervalu 〈a,b〉 platit f (x) ≥ 0 nebo g(x) ≥ 0.⇒ pripoctením vhodné konstanty k obema funkcím posuneme celouoblast nad osu x (konstanty se v integrálu odectou)
Michal Fusek ([email protected]) 18 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
PríkladUrcete obsah obrazce ohraniceného grafy funkcí f (x) = 2x − 1 ag(x) = x2 − x − 1.
Rešení:
Prusecíky: x1 = 0x2 = 3
S =∫ 3
0
[2x − 1− (x2 − x − 1)
]dx = 9
2
Michal Fusek ([email protected]) 19 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
PríkladOdvod’te vzorec pro obsah kruhu.
Rešení:
r
y =√r2 − x2
y = −√r2 − x2
x2 + y2 = r2 ⇒ y = ±√
r2 − x2
S = 4∫ r
0
√r2 − x2 dx = πr2
[x = r sin t ]
Michal Fusek ([email protected]) 20 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
PríkladNakreslete a urcete obsahy obrazcu ohranicených krivkami:(a) xy = 6, x + y = 7(b) y = 2x , y = 2
x , y = x2 , x = 0 (plocha leží v I. kvadrantu)
(c) x2
a2 + y2
b2 = 1 [x = a sin t ]
Rešení:(a) S =
∫ 61
[(7− x)− 6
x
]dx = 35
2 − 6 ln6
(b) S =∫ 1
0
(2x − x
2
)dx +
∫ 21
( 2x − x
2
)dx = 1
ln 2 + 2 ln2− 1
(c) S = 4∫ a
0ba
√a2 − x2 dx = πab
PríkladUrcete k (k > 0) tak, aby obsah obrazce ohraniceného prímkou y = kxa parabolou y = 4x − x2 mel hodnotu 9
2 .[∫ 4−k0
[(4x − x2)− kx
]dx = 9
2 ⇒ k = 1]
Michal Fusek ([email protected]) 21 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Už umím integrovat - zkusím jednoduchý príklad
Príklad
Spoctete obsah plochy pod krivkou 1x2 na intervalu 〈−1,1〉.
Rešení:
∫ 1
−1
1x2 dx =
[−1
x
]1
−1= −2 ??!
(to je nejaké divné)
Michal Fusek ([email protected]) 22 / 23
Výpocet obsahu rovinného obrazce
Nevlastní integrálUrcitý integrál jsme definovali pro:
konecný interval 〈a, b〉ohranicenou funkci f : 〈a, b〉 → R
Nevlastní integrál - nekterá z podmínek pro definici integrálu nenísplnena:
Integrál z neohranicené funkce
Integrál na neohraniceném intervalu.
Presahuje rámec tohoto kurzu.
Michal Fusek ([email protected]) 23 / 23