határozatlan integrál

Határozatlan Határozatlan integrálintegrál

AntideriválásAntideriválás

Tóth István – Műszaki Iskola Ada 2

A primitív függvény

• Ha f(x)-hez létezik F(x) függvény úgy, hogy F(x) differenciálható egy [a,b] intervallumon és

F '(x) = f(x) x [a,b]

akkor F(x) az f(x) primitív függvényeprimitív függvénye.

• A primitív függvény keresése a deriválás műveletének ellentett művelete (antiderivált)


Példák

13)( xf Keressük azt a függvényt, amelynek deriváltja 13.

113)(1 xxF 1313)(2 xxF

xxf )(

xxF 13)( mert 13)( xF

2)(

2xxF mert x

xxF

2

2)(

xxf sin)( xxF cos)( mert xxxF sin)sin()(


A primitív függvény tulajdonságaiA primitív függvény tulajdonságai

• Ha F(x) primitív függvénye f(x)-nek, akkor minden C valós számra az F(x)+C is primitív függvény.

)(xF primitív, ha )()( xfxF

, tehát )(0)()( xfxFCxF is primitív.CxF )(


• Ha F(x) és G(x) primitív függvényei az f(x)-nek, akkor csak állandóban térnek el egymástól.

G(x) = F(x) + C• Egy függvénynek

végtelen sok primitív függvénye van.

A primitív függvény tulajdonságaiA primitív függvény tulajdonságai


A határozatlan integrál

• Egy f(x) függvény összes primitív függvényeinek halmazát a függvény határozatlan integráljánakhatározatlan integráljának nevezzük.

)()('|)()( xfxFxFdxxf

Rövidebben:

CxFdxxf )()( CxFdxxf )()(


A határozatlan integrál

dxxf )( dxxf )(

Az integrál műveleti jele

Az integrálandó függvény

(integrandus)

Az x változó differenciálja

(megmutatja, mely változó szerint integrálunk)


A határozatlan integrál kiszámítása

• alapintegrálok táblázata

• integrálási szabályok

• integrálási módszerek– helyettesítés módszere– parciális integrálás


Integrálok táblázata

1 d CxCxC

Cx

dxx

1

1

Cexe xx d

Ca

axa

xx

ln d

Cx-xx cos d sin

Cxxx sin d cos

Cxxx

ctgdsin

12

Cxxx

tgdcos

12

Cln d 1

xxx

Cxxx

arctgd1

12

Cxxx

arcsind1

12


Példák

xd5

xx d

xx d2

xx d10

xx

d13

xx d

xx d5 4

xx

d1

xx

d1

Cx 5

Cx

2

2

Cx

3

3

Cx

11

11

Cx

22

1

Cx

3

2 3

Cx

9

55 9

Cx 2

Cx ln

Cx

dxx

1

1

C

xdxx

1

1


Integrálási szabályok

• Ha f(x)-nek létezik primitív függvénye és c tetszőleges valós szám, akkor

• Ha f(x), g(x)-nek létezik primitív függvénye, akkor

fcfc

gfgf gfgf


Integrálási szabályok

Szorzatra, hányadosra, összetett függvényre

NINCSNINCS

általános integrálási szabály !!!!!!!!


Példák

xx d3 2 xx d3 2 Cx

33

3Cx 3

xex d xex d Cex

dxex 2 xeex d2 xee x d2 Cee x2 Cex 2

xxx d)( 2 xxxx dd 2 Cxx 32

3

1

2

1

xxx d)cos(sin xxxx dcosdsin Cxx sincos


Példák xx d)2(

xxx d)423( 2

xx

xxd

4232

2

xx

xxxd

2325 23

Cxx

22

2

Cxxx 423

Cx

xx 4

ln23

Cxxxx

ln233

5 23


Példák

x

xe xx d

2

122 cxe

xx ln

2

1

2ln

22

x

xx

xd

44

1

cos

3cos22

Cxxx

arcsin2

1tg3

sin

dxx2

1 Cx

xx 23

4 23

dxxxx 11 Cxxx 2

5

2

dxx

xx 43 2

Cxxx 4 36

3

4

7

6

xx

xd

1

13Cxxx

x

3

2

2

2


Integrálás helyettesítéssel

dttgtgfdxxf )('))(( )(

ttgx

tgx

d)(d

)(


Példák

xx d)32sin(

xe x d43

Cx )32cos(2

1

Ce x 43

3

1

xx d)32( 5

2

dd

dd2

32

tx

tx

tx

2

d5 tt C

t

62

1 6C

x

12

)32( 6

2

dd

dd2

32

tx

tx

tx

2

dd

dd2

32

tx

tx

tx


Példák

xx d14

xx d)15( 4

xx d)42( 5

Cx 5)15(25

1

Cx 6)42(24

1

Cx 3146

1

5

dd

dd5

35

tx

tx

tx

4

dd

dd4

42

tx

tx

tx

4

dd

dd4

14

tx

tx

tx


Példák

xxx dcossin5 Cx

6

sin6

xxxxx d24 3324 C

xx

4

424

xx

xd

ln2C

x

3

ln3

dtxx

tx

dcos

sin tt d5

txxx

txx

dd24 3

24

txx

tx

dd1ln


222d

xba

x

241

d

x

x 2)2(1

d

x

x

2

dd

dd2

2

tx

tx

tx

Cx 2arctg2

1

251

d

x

x 2)5(1

d

x

xCx 5arctg

5

1

2254

d

x

x

425

1

d

4

12x

xC

x

2

5arctg

10

1

2

25

1

d

4

1

x

x

Cxxx

arctgd1

12

Cxx

xarctgd

1

12


222 xba

dx

21

d

x

x )1)(1(

d

xx

x

x

xxd

)1(2

1

)1(2

1C

x

x

1

1ln

2

1

291

d

x

x

3

dd

dd3

3

tx

tx

tx

231

d

x

x

21

d

3

1

t

tC

x

x

31

31ln

6

1

24981

d

x

x

2

97

1

d

81

1

x

x

21

d

63

1

t

tC

x

x

79

79ln

126

1


222

d

xba

x

22516

d

x

x

16

25116

d

2x

x

2

45

1

d

4

1

x

xC

x

4

5sinarc

5

1

Cxxx

arcsind1

12

Cxxx

arcsind1

12

291

d

x

x

235

d

x

x

Cx 3arcsin3

1

Cx

5

3sinarc

3

1


Parciális integrálás

xxvxuxxvxuxxvxu d)()(d)()(d)()(

xxvxuxxvxuxxvxu d)()(d)()(d)()(

xxvxuxxvxuxvxu d)()(d)()()()(

xxxxxxxx d )(v)(u - )v()u( d )(v)u(

uv d v - vu du uv d v - vu du


A parciális integrálás alkalmazása

• A parciális integrálást akkor célszerű használni, ha az integrálandó függvény a következők valamelyike (p(x) egy polinom):

xexp )( xxp sin)( xxp cos)(

xxp ln)( xxp arcsin)( xxp arctg)(


Példák

xxx dcos

xxxvxu

xxvxu

sindcosdd

dcosd

xxxx dsinsin Cxxx cossin

xex x d)32(

x

x

evxu

xevxu

d2d

dd32

xeex xx d2)32( Cex x )12(


Példák

xxxx dsin132

xvxxu

xxvxxu

cosd32d

dsind132

xxxxxx dcos)32(cos132

xvxu

xxvxu

sind2d

dcosd32

xxxxxxx d2sinsin32cos132

Cxxxxxx cos2sin32cos132

Cxxxxx sin32cos332

Ismételt parciális integrálás:


Példák

xxx dln3

4

dd

ddln4

3

xv

x

xu

xxvxu

x

xxx

x d

4ln

4

44 C

xx

x

16ln

4

44Cx

x

4

1ln

4

4

xxx darctg

21

dd

ddarctg2

2x

vx

xu

xxvxu

Cx

xx

2

arctg2

12


Példák

xxx d4cos)3(

4

dd

dd4

4

tx

tx

tx

4

dcos3

4

tt

t

Cxxx

4cos16

14sin

4

3

xex x d)52( 3 Cex x 3

9

135

xxx d)13ln()2( Cxxxxx

36

669)13ln()227218( 22


Példák

xxeI x dcos

A keresett integrálra vonatkozó egyenlet:

xvxeu

xxveux

x

sindd

dcosd

xxexe xx dsinsin

xvxeu

xxveux

x

cosdd

dsind

xxexexe xxx dcoscossin

xxexexe xxx dcoscossin

CIxxeI x 2)cos(sin CxxeI x 2)cos(sin2

CxxeI x )cos(sin2

1

határozatlan integrál

Documents