INTEGRACIÓN DEFINIDA

S = ∫√[1+(f ‘(x))²] dx f(x) = y = ± (2/3) x^(3/2) f(x) = y = (2/3) x^(3/2)

Y el intervalo es [0, 3]

F ‘ (x) = √x 1 +(f ‘(x))² = 1 + x S = ∫√[1+x] dx = ((1))

Hacemos el siguiente cambio de variable:

1 + x = u² dx = 2u du

Tenemos que cambiar los límites de integración;

x = 0; 1 + x = u² = 1 => u = 1 (estamos en la parte positiva) x = 3; 4 = u² = u = 2 (estamos integrando en la parte positiva)

Luego nuestro intervalo se ha transformado en el [1, 2]

((1)) = ∫ 2u√[u²] du = ∫ 2u² du = (2/3) u³] = (16/3) – (2/3) = 14/3

Sino hubiéramos cambiado los límites de integración, tendríamos que deshacer el cambio antes de evaluar la integral.

(2/3) u³ = (2/3) (1+x)^(3/2)] = (2/3) (8 – 1) = 14/3