INTEGRAL GARIS

Standar Kompetensi :Mampu memahami konsep analisis kompleks untuk memecahkan masalah-masalah pada matematika dan bidang ilmu lainnya. Kompetensi Dasar : Mendeskripsikan pengintegralan fungsi kompleks.Indikator:1. Menjelaskan pengertian dan mendefinisikan fungsi integral garis.2. Menganalisis fungsi integral garis.3. Mendeskripsikan fungsi integral garis.4. Menghitung fungsi integral garisMateri :Integral fungsi kompleks dapat diuraikan menjadi jumlah empat integral garis. Sebagai akibatnya, sifat-sifat integral garis diwarisi oleh integral kompleks, dan cara-cara menentukan nilai integral garis sangat sering dapat dimanfaatkan secara efektif dalam menentukan nilai integral kompleks. Kita mulai dengan persiapan bagi definisi integral garis. Misalkan C adalah kurva mulus dalam bidang datar yang didefinisikan oleh Sekatlah interval t ini menjadi n subinterval dengan menggunakan sekatan = to < t1 < t2 < < tn-1 < tn = pada setiap subinterval tk-1 t tk .Ambillah secara sembarang, suatu titik k untuk semua k = 1, 2,, n. Lambangkan panjang subinterval ke-k, yaitu tk tk-1 dengan (t)k dan lambangkan subinterval yang terpanjang dengan . Sekarang, suatu penyekatan interval t mengakibatkan penyekatan yang sama pada C, karena setiap tk pada sekat tersebut menghasilkan suatu titik pada C dengan koordinat x = (tk) dan y = (tk). Jadi C disebut sekat menjadi n busur oleh titik-titik:(xo, yo), (x1, y1),, (xk, yk),, (xn,yn).Lebih jauh, pada setiap busur ini kita memperoleh suatu titik padanan titik k pada sumbu t, ialah titik (k, k) dimana k = (k) dan k = (k), untuk semua k = 1, 2,, n. Sekarang andaikan bahwa suatu fungsi bernilai-nyata M(x,y) dengan peubah-peubah nyata x dan y terdefinisikan sekurang-kurangnya di C. Maka, tentulah fungsi tersebut terdefinisikan pada titik-titik: (1, 1), (2, 2), , (n, n) untuk setiap k = 1, 2,, nBentuklah hasil kali M (k, k)(x)k. Dimana (x)k adalah proyeksi busur yang ujung-ujungnya (xk-1, yk-1) dan (xk, yk) ke sumbu x, dan kemudian bentuklah jumlah:

Dalam konteks bangunan di atas kita mendefinisikan integral garis bagi M(x,y) sepanjang C terhadap x sebagai limit jumlah di atas untuk 0, asal limit itu ada.lambangkan integral garis ini dengan Secara singkat menurut definisi:

Asal limit ini ada dan tidak tergantung pada pemilihan sekatannya dan titik-titik k. Kurva C akan disebut lintasan integrasi (path of integration).

Catatan 1 Integral garis M(x,y) sepanjang C terhdap y didefinisikan dengan cara yang sama. Integral garis yang dihasilkan dilambangkan dengan Catatan 2Cara menyekat interval t mengakibatkan bahwa integrasi sepanjang C mengarah ke t yang semakin besar. Ini berlaku juga bila C merupakan kurva tertutup, meskipun orientasi pada C bila t bertambah besar dari ke mungkin bukan orientasi yang positif bagi C.

Teorema 4.2 ( adanya integral Garis)Andaikan bahwa1. C adalah kurva mulus yang dinyatakan secara parametrik dengan x = (t ), y = (t) , t .2. Fungsi M(x,y) kontinu di C, maka integral garis M sepanjang C terhadap x ada dan nilainya diberikan menurut rumus:

Bukti:

Catatan 3Teorema 4.2 tidak hanya memastikan adanya integral garis, tetapi melengkapi rumus dasar untuk menghitung integral yang demikian. Suatu teorema yang analog juga benar jika integrasi dilakukan terhadap y, dan dalam hal ini nilainya diberikan oleh:

Catatan 4pada ruang cartesius berdimensi tiga, perhatikan M(x,y) yang didefinisikan pada himpunan titik-titik pada bidang xy termasuk kurva mulus C.

Untuk mengetahui sifat-sifat dasar integral garis akan dibahas teorema barikut.Teorema 4.3andaikan bahwa adalah suatu konstanta kompleks sembarang dan bahwa C+K adalah suatu lintasan yang terdiri dari kurva mulus C dan K. Andaikan lebih lanjut bahwa integral-integral garis fungsi M(x,y) dan N(x,y) sepanjang lintasan diatas, ada. Maka,1. 2. 3. 4. Bukti:Andaikan C adalah lintasan yang terdiri dari kurva mulus x = (t), y = (t) , t . Andaikan juga bahwa integral garis fungsi M(x,y) dan N(x,y) ada disepanjang setiap kurva mulus diatas, maka:1. ( teorema 4.2) = = (teoerema kelinearan integral tentu) = (teorema 4.2)2. dt (teorema 4.2) = (sifat distributif) = (teorema kelinearan integral tentu di kalkulus) = (teorema 4.2)

3. Andaikan bahwa C+K adalah lintasan yang terdiri dari kurva-kurva mulusC: x = (t), y = (t), t dan K: x = (t), y = (t), t . Dengan menggunakan rumus pada soal 17.8 materi sebelumnya, kita mengetahui bahwa kurva mulus K secara parametrik dapat dinyatakan dengan x = (t), y = v(t), pada interval t .dimana (t) pada interval t bersesuaian dengan (t) di t dan v(t) pada interval t bersesuaian dengan (t) di t . Selanjutnya, lintasan C+K dapat dinyatakan dengan x = f(t), y=g(t), t . dimana f(t) = (t), g(t) = (t), pada interval t dan f(t) = (t), g(t) = v(t), pada interval t , sehingga dari persamaan-persamaan diatas diperoleh: (menggunakan teorema 4.2) = (sifat penambahan selang integral tentu) = (substitusi persamaan diatas) = (substitusi persamaan diatas) = (teorema 4.2)

4. Andaikan lintasan C direpresentasikan oleh x = (-t), y = (-t), - t - dan dx = - (-t) dt, maka: (teorema 4.2)Selanjutnya dengan mengambil substitusi t = s, sehingga interval s berada pada s atau s dan dt = - ds, maka diperoleh: = (substitusi t=s dengan interval s atau s dan dt = - ds) = = (karena , maka berlaku sifat integral tentu yang didefinisikan di kalkulus) = (teorema 4.2)

Catatan 5:Dengan memperluas bagian 3 teorema 4.3. melalui induksi, maka akan membentuk suatu bukti bagi kenyataan bahwa teorema 4.2. yang menetapkan adanya suatu integral garis sepanjang kurva mulus, adalah berlaku untuk C sembarang lintasan.

Penghitungan Integral GarisLangkah pokok dalam proses perhitungan integral garis ialah substitusi yang tepat dari persamaan lintasan integrasi ke dalam integran. Dalam menghitung integral garis, terdapat 3 bentuk lintasan integrasi sebagai berikut:1.Menghitung integral garis dengan lintasan integrasi berbentuk persamaan parametrikx = (t), y = (t), dx = (t) dtAdalah dengan cara mensubstitusikan persamaan tersebut ke dalam rumus teorema 4.2 dan substitusi ini akan menghasilkan integral biasa(Riemann) dalam peubah t yang limitnya dan menentukan interval integrasinya. Contoh:Hitung integral garis terhadap kedua peubah bagi fungsi M(x,y) = xy sepanjang C: x = 4t, y=t2, 0t2.Penyelesaian: x = 4t dx = 4 dt = 16 = 16 [ = 642. Menghitung integral garis dengan lintasan integrasi diberikan dalam bentuk :y = f (x) atau x = g(y)Dengan titik awal (a,b) dan titik akhir (c,d). Dalam hal demikian, substitusi langsung mengahasilkan rumus: dan Dengan catatan bahwa integral sebelah kanan pada setiap rumus adalah integral biasa(riemann).Contoh:Hitung kedua integral garis M(x,y)= x + 2y sepanjang C+K , dimana C: y=x2 dari (-2,4) ke (0,0), dan K: x = y2 dari (0,0) ke (4,2).Penyelesaian:Pada kurva C : y = x2 dy = 2x dx, pada kurva K: x = y2 dx = 2y dy. Maka : = = 6 + 16 = 223.Menghitung integral garis dengan variasai untuk bentuk lintasan bagian 2 diatas, dengan memanfaatkan rumus-rumus:dy = f(x) dx dan dx = g(y) dy,Yang menghasilkan persamaan y = f (x) atau x = g(y) , sehingga menghasilkan rumus-rumus: dan Contoh:Hitung integral garis x2 + y2) dx sepanjang setengah lingkaran bagian atas |z| = 2, dijelajahi secara berlawanan dengan jarum jam.Penyelesaian:|z| = 2 = 2 x2 + y2 = 4 y2 = 4 - x2y = dengan x : 2 -2 maka dengan substitusi ke dalam integral yang diberika, diperoleh:x2 + y2) dx = = = = -16