Statgraphics - Anleitung

Institut für Stochastik

Sommer 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Installation 4

2 Erste Schritte 6

3 Beschreibende Statistik 93.1 Eindimensionale Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Lageparamter und Streumaße für metrisch skalierte Daten . . . . 93.1.3 Box-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.4 Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.5 Tortendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Zweidimensionale Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1 Streudiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Kontigenztafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie 144.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1.1 Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.2 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.3 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.4 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.5 Negative Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.1 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Weibullverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.4 Gammaverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.5 Lognormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.6 Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.7 logistische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.8 Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.9 F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.10 t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Bearbeiten der Graphiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Grundlagen des statistischen Schließens 215.1 Parameterschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Konfidenzschätzungen für die Parameter einer Normalverteilung . 215.1.2 Konfidenzschätzungen für eine (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p 21

5.2 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

5.2.1 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - eineStichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.2 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zweiverbundene Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.3 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zweiunabhängige Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.4 Beispiele sogenannter verteilungsfreier Tests . . . . . . . . . . . . 235.2.5 Monte-Carlo-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Nichtparametrische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3.1 Test auf Vorliegen einer bestimmten Verteilung . . . . . . . . . . 255.3.2 Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenztafeln) . . . 26

5.4 Stichprobenpläne zur Qualitätskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4.1 (n,c)-Stichprobenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4.2 Laufende Kontrolle - Mittelwertkarte . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4.3 Sequentieller Stichprobenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Varianzanalyse 316.1 Einfache Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1.1 F-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.2 Kruskal-Wallis-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2 Zweifache Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.1 F-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.2 Zweifache Varianzanalyse mit Mehrfachbesetzungen und Wechsel-

wirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Mehrfaktorenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Korrelationsanalyse 357.1 Zwei Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.1.1 Einfache Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.1.2 Rangkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Mehrere Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2.1 empirische Korrelationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2.2 kanonische Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2.3 multiple Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2.4 partielle Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Regressionsanalyse 398.1 Einfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.1.1 Kleinste-Quadrate Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.1.2 Tukey-Ausgleichsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.2 Zeitreihen - Schätzung der Saisonkomponente und Saisonbereinigung . . 428.2.1 Zeitreihen - Trendschätzng, Trendabspaltung . . . . . . . . . . . . 438.2.2 Multiple parameterlineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.3 Regression bei qualitativen Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

8.3.1 Probit-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3.2 Logit-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

KAPITEL 1

Installation

Die Installationsdatei finden Sie unter http://www.statgraphics.com/downloads.htm.Wählen Sie dann bei Primary Language die setup?????_German.exe aus, falls Sieein 32-bit Betriebssystem besitzen. Bei einem 64-bit Betriebssystem nehmen Sie diesetup16118_X64_German.exe. Wenn Sie sich nicht sicher sind ob Sie ein 32-bit oder 64-bit Betriebssystem haben, dann wählen Sie die 32-bit Variante. Wenn die Download-Boxerscheint, drücken sie Save. Der Download kann einige Minuten dauern, die Dateigrößebeträgt zwischen 55 und 85 MB. Führen Sie dann die exe-Datei mit einem Doppelklick aus.Der InstallShield Wizard leitet Sie dann durch die weitere Installation. Es ist außerdemmöglich ein englisches Zusatpaket (Additional Language) setup16118_English Sup.exeoder setup16118_X64_English Sup.exe zu installieren.Starten Sie das Programm. Es sollte folgendes Fenster erscheinen.

Wählen Sie nun Aktivieren. Dann taucht folgendes Fenster auf.

4

Geben Sie hier ihre Daten ein. Die Seriennummer ist beim Übungsleiter oder di-rekt bei Dr. Andreas Wünsche http://www.mathe.tu-freiberg.de/sto/mitarbeiter/andreas-wuensche zu erfragen. Bei Ihrer Email-Adresse wird nur die der TU Bergakade-mie Freiberg akzeptiert. Der Produktschlüssel erscheint nachdem Sie die Seriennummereingegeben haben. Desweiteren sollten Sie bei Schritt 2 nur die zweite Variante (Sendungmittels Email) verwenden. Bei der ersten Variante kann es passieren, dass man einenungültigen Aktivierungskode erhält. Geben Sie danach bei Schritt 3 den per Emailerhaltenen Aktivierungskode ein und drücken Sie Aktivieren.

5

KAPITEL 2

Erste Schritte

Beim Start von Statgraphics öffnet sich automatisch der StatWizard. Dieser dientdazu Einsteigern die Arbeit mit Statgraphics zu erleichtern und beim Auffinden dergewünschten Funktionalität behilflich zu sein. Durch Entfernen des Häkchens im FeldShow the StatWizard at Setup erreicht man, dass dieser nicht mehr automatisch beimStart geöffnet wird. Nach Auswahl der entsprechenden Menüpunkte öffnet Statgraphicsdie jeweilige Prozedur.In dieser Anleitung wird auf die Verwendung des StatWizards verzichtet und die Aus-wahl der Prozeduren über das normale Hauptmenü vorgenommen. In Statgraphics gibtes zwei Varianten des Hauptmenüs: Six Sigma Menu und Standard Menu. In dieserAnleitung werden immer die Wege im Standard Menu beschrieben. Ein Wechsel zwi-schen den Menüarten ist unter Edit → Preferences . . . möglich. Wenn in der RegisterkarteGeneral unter System Options Use Six Sigma Menu ausgewählt wird, wird das SixSigma Menu verwendet. Sonst wird das Standard Menu benutzt. Unter Preferenceskönnen außerdem weitere Einstellungen vorgenommen werden. Es können zum Beispieldie Default-Werte für einige Prozeduren eingestellt werden. Das Statgraphics Fenster istim Wesentlichen in zwei Teile eingeteilt. Auf der linken Seite werden die einzelnen Teileeines Projekts angezeigt.

Das DataBook enthält alle eingegebenen oder aus externenQuellen eingelesenen Daten. Der StatAdvisor soll helfen dieErgebnisse der statistischen Prozeduren zu erklären. In die Stat-Gallery können mehrere Grafiken aufgenommen werden umsie gegenüberstellend zu vergleichen oder um sie zu überlagern.Im StatReporter können Dokumentationen aus den Berech-nungen erstellt und als rtf - Datei gespeichert werden. Unter

StatFolio Comments können Beschreibungen des StatFolios abgelegt werden Dierechte Seite entspricht der eigentlichen Arbeitsfläche. Diese hat eine eigene Menüleistemit folgenden für uns im Weiteren wichtigen Schaltflächen: Es sind nur die jeweils füralle im aktiven Fenster angezeigten Felder gültigen Schaltflächen anklickbar. EinzelneFelder in einem Fenster können durch Doppelklick in das entsprechende Feld maximiertwerden. Durch nochmaligen Doppelklick gelangt man zur Ausgangsansicht zurück werden.

DataBookDas DataBook enthält die Daten mit denen später gearbeitet werden soll. Diese könnenin die 10 Tabellen (A-J) entweder per Hand eingegeben oder aus einer Datenquelleeingelesen werden. Um Daten aus einer Datenquelle einzulesen die Tabelle auswählen, in

6

die die Daten eingefügt werden sollen. Nun im Menü File → Open → Open Data Source. . . auswählen. Um mit Statgraphics erzeugte Daten einzulesen STATGRAPHICS DataFile wählen. Um die Aufgaben aus der Übung zu bearbeiten, wählen Sie auf der Sei-te http://www.mathe.tu-freiberg.de/inst/stoch/Lehre/WiWi_Statistik/ die SG-Datenfiles aus und laden diese herunter. In Excel gespeicherte Daten werden nach Auswahlvon External Data File eingelesen. Es können auch Daten mittels einiger Funktionenerzeugt werden, hierfür die Spalte markieren und im Menü Edit → Generate Data wäh-len. Bei Operators die gewünschten Operatoren auswählen und die ? jeweils durch diegewünschten Werte ersetzen. Nachdem man die Spalte markiert, gelangt man auch durchRechtsklick in das Kontextmenü und kann auch dort Generate Data wählen. Man kanndie Daten auch einfach in die gewünschte Tabelle eingeben. Um Einstellungen bezüglichdes Datentyps vorzunehmen auf den Spaltennamen doppelklicken. Nun kann ausgewähltwerden, von welchem Datentyp die eingegebenen Werte sind. Außerdem kann nun auch derName der Spalte geändert werden (Name) oder ein Kommentar zur Spalte, welcher späterunter dem Spaltennamen angezeigt wird, eingegeben werden (Comment). Um die Da-ten im DataBook zu sichern im Menü File→ Save As→ Save Data File As . . . auswählen.

StatGalleryDie StatGallery hat mehrere Seiten, zwischen denen mit Hilfe der Buttons Next Page,Prev Page, First Page und Last Page hin und her gewechselt werden kann. Standardmäßighat jede Seite der StatGallery 4 Felder. Man kann die Anzahl und die Anordnung derFelder jedoch verändern, indem man im Kontextmenü, welches sich nach Rechtsklick indie StatGallery öffnet, Arrange Panes auswählt. Nun kann man das gewünschte Layoutauswählen. Dieses Layout gilt nur für die aktuelle Seite. Um eine in die StatGalleryeinzufügen, diese irgendwo in Statgraphics kopieren. Rechtsklick in das Feld, in welchesdie Graphik eingefügt werden soll und Paste bzw. Paste Link wählen. Wird Paste Linkgewählt wird die Grafik mit ihrem Ursprungspunkt verknüpft (funktioniert nur beigespeicherten StatFolios) und ändert sich automatisch, wenn dort eine Änderung auftritt.Um mehrere Graphiken zu überlagern eine Graphik in ein Feld einfügen in dem schoneine Graphik vorhanden ist und im sich öffnenden Dialog Overlay wählen. Um den Inhaltder StatGallery zu speichern im Hauptmenü File → Save As → Save StatGallery As. . . auswählen (*.sgg Format). Eine Speicherung in anderen Graphikformaten ist nichtmöglich.

StatReporterDer StatReporter soll die Erstellung von Dokumentationen in Statgraphics vereinfachen.Er ist nach dem Vorbild von Microsoft WordPad aufgebaut und liefert als Ergebnisrtf-Dateien. Tabellen und Graphiken können mittels Copy und Paste in den StatReporterübernommen werden. Spätere Änderungen werden nicht berücksichtigt. Text kann wie ineiner Textverarbeitung üblich hinzugefügt und die entsprechenden Einstellungen daranvorgenommen werden. Um den Inhalt des StatReporters zu speichern im Hauptmenü File→ Save As → Save StatReporter As . . . auswählen. Um Alles zusammen abzuspeichernFile → Save As → Save StatFolio As . . . auswählen. Dabei wird das gesamte aktuelleProjekt abgespeichert. Das sind neben den Daten, der Gallery und den Reporter auch

7

die statistischen Auswertungen. Die Daten, die Gallery und der Reporter müssen dabeivorher extra abgespeichert werden.

Dateneingabe und Speichern der BeispieldatenImDataBook in Blatt A in der ersten mit dem Namen Spalte Col_1 die Daten eintragen,jede Zahl bekommt eine eigene Spalte.

14, 21, 19, 14, 19, 16, 12, 14, 16, 16, 12, 15, 18, 16, 16,16, 22, 19, 12, 11, 16, 10, 19, 6, 16, 18, 18, 18, 13, 14

Dann auf den Spaltenkopf doppelklicken und bei Name Beispielzahlen1 eintragen. BeiType Numeric auswählen. Im Menü File → Save As → Save Data File as. . . auswählen.Als Namen beispiele.sgd wählen und abspeichern. Um die Daten wieder ins DataBookzu laden wählen Sie File → Open → Data Source, wählen Sie dann STATGRAPHICSData File aus und laden sie die Datei mit dem Namen Beispielzahlen1.

8

KAPITEL 3

Beschreibende Statistik

3.1 Eindimensionale Daten

3.1.1 Histogramm

Wählen Sie Plot → Exploratory Plots → Frequency Histogram.Auf der linken Seite des Dialogfelsden Namen der Spalte, die die Datenmit denen das Histogramm erstelltwerden soll, enthält, auswählen unddiesen mit Klick auf den Pfeil unterData oder durch Doppelklick über-tragen. Der Name der Spalte kannauch direkt eingegben werden. Op-tionale Felder, hier Select, werden

in Klammer geschrieben. Dort können Eintragungen vorgenommen werden. Nach demKlick auf OK wird das Histogramm erstellt. Änderungen am Histogramm können Sie miteinem Rechtsklick im Histogramm und Auswahl von Pane Options erreichen. Bei Numberof Classes kann man die gewünschte Anzahl an Klassen eingeben. Mit Lower Limit istdie untere Grenze des ersten Intervalls und mit Upper Limit die obere Grenze des letztenIntervalls einstellbar. Wenn bei Counts ein Häkchen bei Relative gemacht wird, werdendie relativen anstatt der absoluten Häufigkeiten eingezeichnet. Cumulative kumuliert dieeinzelnen Häufigkeiten. Unter Plot Type kann man wählen ob das Histogramm als Säu-lendiagramm (Histogram) oder als Polygonzug (Polygon) dargestellt werden soll. UnterGraphic Options kann man die Graphiken nach seinem eigenen Geschmack gestalten.

3.1.2 Lageparamter und Streumaße für metrisch skalierte Daten

Wählen Sie Describe → Numeric Data → One Variable Analysis.Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die Werte enthält, die betrachtet werdensollen. Falls die Summary Statistics noch nicht angezeigt werden, ein Häkchen hierfürin der Tables- Schaltfläche setzen. Mit einem Rechtsklick in das Feld mit der SummaryStatistics klicken und Pane Options auswählen. In der nun geöffneten Liste können Sienun wählen was alles berechnet werden soll.Um die Quantile anzeigen zu lassen, wählen Sie in der Tables- Schaltfläche Percentiles.Unter Pane Options im Feld mit den Quantilen kann man die zu berechnenden Quantileangeben. Hierfür bei Percentiles die gewünschten Werte für α eingeben.

9

Unter Graphs sind noch weitere Graphiken wählbar.Im Beispiel wählen Sie File → Open → Data Source, machen Sie dann bei STATGRA-PHICS Data File ein Häkchen und laden sie die Datei mit dem Namen Beispielzahlen1.Wählen Sie danachDescribe → Numeric Data → One Variable Analysis. Bei Data Bei-spielzahlen1 eintragen und mit OK bestätigen. Nach Treffen der folgenden Auswahl imFeld Summary Statistics und beibehalten der voreingestellten Werte im Feld Percentiles,erhäl man die untenstehenden Ergebnisse.

3.1.3 Box-Plot

Wählen Sie Plot → Exploratory Plots → Box-and-Whisker-Plots → One Sample.Verwenden Sie hier wieder die Beispielzahlen1.

10

Es ist auch möglich ein 95 % Konfidenzintervall für den Median anzugeben. Hierfürrechtsklicken Sie in den Box-Plot und wählen unter Pane Options Median Notch aus.

3.1.4 Balkendiagramm

Wählen Sie Plot → Business Charts → Barchart.Bei Counts den Datensatz eingeben den Sie als Balkendiagramm darstellen wollen, unterLabels können Sie dann die Beschriftung für die Spalten angeben.Unter Pane Options können Sie dann unter Chart Type auswählen ob die Säulen wie imBeispiel dargestellt werden sollen (Clustered) oder direkt aufeinander gestapelt (Stacked).Unter Scaling können Sie entscheiden welchen Maßstab die Achse haben soll, entwederprozenutal (Percentages) oder die absoluten Häufigkeiten (Frequencies). Unter Directionkönnen Sie entscheiden ob die Balken horizontal oder vertikal geplottet werden.

Für das mehrfache Balkendiagramm wählen Sie Plot → Business Charts → MultipleBarchart. Hier können Sie dann mehrere Daten eingeben. Verwenden Sie die Daten ausder 3. Übung des Sommersemesters, so erhalten Sie

11

Es entsteht dann folgende Graphik.

Achtung! Man kann nicht alles als Balkendiagramm darstellen, zum einen muss derDatentyp Numeric sein und zum anderen darf die Klassenanzahl nicht größer als 20 sein.

3.1.5 Tortendiagramm

Wählen Sie Plot → Business Charts → Piechart.Unter Counts die Daten eingeben die Sie plotten wollen, unter Labels die Bezeichnung fürdie Tortenstücke ändern. Wenn Sie im Tortendiagramm wieder unter rechtsklicken undPane Options auswählen haben Sie nun die Möglichkeit die Beschriftung der Legendeund die Beschriftung der Bezeichnung zu verändern.

Achtung! Man kann wieder nicht alles als Kuchendiagramm darstellen, zum einen mussder Datentyp Numeric sein und zum anderen darf die Klassenanzahl nicht größer als 20sein.

12

3.2 Zweidimensionale Daten

3.2.1 Streudiagramm

Wählen Sie Plot → Scatterplots → X-Y Plot.In den Feldern X und Y die Namen der Spalten mit den zu betrachtenden Daten eingeben.Nach Bestätigung mit OK wird ein Streudiagramm erstellt. Für die Daten aus der 3.Übung des Sommersemesters ergibt sich

3.2.2 Kontigenztafel

Sehen Sie hierfür bei 5.3.2 Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenztafeln)nach.

13

KAPITEL 4

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Im Folgenden Kapitel werden die wichtigsten Verteilungen dargestellt. Für die Verteilun-gen wählen Sie Plot → Probability Distributions aus.

4.1 Diskrete Verteilungen

4.1.1 Geometrische Verteilung

Die Geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für unabhän-gige Bernoulli-Experimente. Die Zufallsgröße X kann die Werte k = 0, 1, 2, . . . annehmen.Der Parameter p liegt zwischen 0 und 1. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lautet

pk = P (X = k) = p(1− p)k, k = 0, 1, 2, . . .

Achtung! Es gibt zwei verschiedene Varianten die Zufallsgröße X zu interpretieren, zumeinen als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche n ∈ N die notwendigsind um einen Erfolg zu haben und zum anderen als Anzahl der Fehlversuche vor demersten Erfolg, hier ist n ∈ N0. Diese Variante wird von Statgraphics verwendet. Diebeiden Interpretationsmöglichkeiten haben verschiedene Erwartungswerte und Varianzen.

14

Zum Plotten in der Liste Geometric auswählen. Die Eintrittswahrscheinlichkeit für denErfolg p kann unter Event Prob. festgelegt werden.

4.1.2 Hypergeometrische Verteilung

Bei der Hypergeometrischen Verteilung wird von einer dichotomen GrundgesamtheitN ausgegangen, unter diesen N Stück finden sich M Besondere. Dieser Grundgesamt-heit werden zufällig n Elemente nacheinander und ohne Zurücklegen entnommen. Miteiner hypergeometrisch verteilten Zufallsgröße X beschreibt man dann die Anzahl ider besonderen Elemente unter den n gezogenen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitenlauten

pi = P (X = i) =

(M

i

)(N −Mn− i

)(N

n

)In der Liste Hypergeometric auswählen. Bei Hypergeometric Options kann nun die Ein-trittswahrscheinlichkeit p = M/N (Event Prob.), die Anzahl der Versuche n (Trials) unddie Losgröße N (Pop. Size) eingegeben werden.

Achtung! Leider kann man M nicht direkt eingeben. Sie müssen zuerst p = M/Nberechnen. Statgraphics berechnet dann mit Hilfe von N den Wert von M . Es kann des-halb zu Fehlermeldungen kommen, falls der Wert vonM nicht exakt berechnet wird. ZumBeispiel reicht es nicht aus bei N = 7 und M = 4 als Wahrscheinlichkeit p = 0, 57142857einzugeben, es wird eine noch größere Genauigkeit benötigt, achten Sie deshalb hieraufbei der Eingabe der Werte.

4.1.3 Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigenund unabhängigen Versuchen, die jeweils zwei Ausgänge (Erfolg und Misserfolg) haben.Die Anzahl der Versuche wird durch n ∈ N beschrieben, p ist die Wahrscheinlichkeit fürden Erfolg. Es gilt für die Wahrscheinlichkeiten

pi = P (X = i) =

(n

i

)pi(1− p)n−i, i = 0, 1, 2, . . . , n

In der Liste Binomial auswählen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist Event. Prob, dieAnzahl der Versuche n ist Trials.

4.1.4 Poissonverteilung

Die Poissonverteilung kann als ein Spezialfall der Binomialverteilung angesehen werden.Insbesondere in der Versicherungsmathematik findet sie Anwendung, hier beschreibt sie

15

z. B. die Anzahl der Schadensfälle in festen Zeitintervallen. Der Parameter der Verteilungist λ > 0, diese Zahl stellt zugleich den Erwartungswert und die Varianz dar. Es gilt

pk = P (X = k) =λk

k!e−λ, k = 0, 1, 2, . . .

In der Liste Poisson auswählen. Bei Mean den Wert von λ eingeben.

4.1.5 Negative Binomialverteilung

Bei der Negativen Binomialverteilung wird die Anzahl der benötigten Versuche beschrie-ben um eine in einem Bernoulli-Prozess vorgegebene Anzahl von Erfolgen betrachtet. Eshandelt sich also um eine Verallgemeinerung der Geometrischen Verteilung. Die Parameterlauten nun r (Anzahl der benötigten Erfolge) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit). Danngilt

P (X = k) =

(k − 1

r − 1

)pr(1− p)k−r, k = r, r + 1, . . .

Achtung! In Statgraphics wird jedoch nicht die Anzahl der benötigten Versuche beschrie-ben, sondern die Anzahl der Misserfolge bis zum r-ten Erfolg. Die Erfolge werden alsonicht mitgezählt, es gilt folgende Modifikation obiger Formel

P (X = k) =

(k + r − 1

k

)pr(1− p)k, k = 0, 1, 2, . . .

In der Liste Negative Binomial auswählen. Event Prob. ist die Erfolgswahrscheinlichkeitp und bei Successes die Anzahl der benötigten Erfolge r eingeben.

4.2 Stetige Verteilungen

4.2.1 Normalverteilung

Die wohl wichtigste Verteilung ist die Normalverteilung. Unter dem Namen Gauß-Verteilung ist sie auch bekannt. Die Abweichungen der Messwerte vieler Vorgänge in denNatur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften lassen sich durch die Normalverteilungin sehr guter Näherung beschreiben. Wichtig ist die Normalverteilung auch, wenn manden Zentralen Grenzwertsatz betrachtet, der besagt, dass die Summe von n unabhängig,identisch verteilten Zufallsgrößen bei Übergang von n→∞ normalverteilt ist.Die beiden Paramter der Verteilung sind µ ∈ R als Erwartungswert und σ2 > 0 alsVarianz. Für die Dichtefunktion fX(x) gilt

fX(x) =1√2πσ

exp

(−(x− µ)2

2σ2

)Gilt µ = 0 und σ2 = 1, so spricht man von einer Standardnormalverteilung.

In der Liste Normal auswählen, Mean enstpricht dem Erwartungswert µ, Std. Dev.ist die Standardabweichung σ.

16

4.2.2 Exponentialverteilung

Eine wichtige Verteilung bei der Betrachtung von Lebensdauern stellt die Exponential-verteilung dar. Jedoch sollten hierbei nur äußere Bedingungen Einfluss haben und derAlterungsprozess sollte vernachlässigbar sein. Der Paramter λ > 0 steht für die Anzahlder erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Die Dichtefunktion fX(x) lautet

fX(x) =

{0 für x < 0

λ · exp(−λx) für x ≥ 0

In der Liste Exponential auswählen, Mean entspricht hier 1/λ. Falls Sie Exponential2-parameter auswählen gibt es noch die Möglichkeit, die Verteilung um den Nullpunktzu verschieben, dies geschieht durch Eingabe eines Wertes bei Treshold.

4.2.3 Weibullverteilung

Die Weibullverteilung kann als Grenzverteilung für das Minimum einer großen Zahlvon unabhängigen Zufallsgrößen auftreten, deswegen wird sie auch manchmal als dieVerteilung des schwächsten Kettengliedes bezeichnet. Die Dichtefunktion fX(x) hatfolgende Form

fX(x) =

0 fürx < c

b

a

(x− ca

)b−1

· exp

(−(x− ca

)b)für x ≤ c

Der Parameter a > 0 heißt Skalenparameter (Scale), b > 0 heißt Formparameter (Shape),c ∈ R sorgt für eine Verschiebung des Nullpunkts (Treshold). Falls von einer zweiparamet-rigen Weibullverteilung gesprochen wird, so ist c = 0. In der Liste Weibull (3-parameter)auswählen und die Werte für die Parameter eingeben.

4.2.4 Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist auch eine Lebensdauerverteilung, sie ist jedoch flexibler imVergleich zur Exponentialverteilung. Die Dichtefunktion fX(x) lautet

fX(x) =

0 für x < 0λp

Γ(p)xp−1 exp(−λx) für x > 0

Die Gammafunktion Γ(p) =∫∞

0exp(−t)tp−1 dt für p > 0 hat folgende Eigenschaften:

Γ(1) = 1,Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1) und Γ(n) = n! für n ∈ N. Die Parameter derGammaverteilung sind der Skalenparameter λ > 0 (Scale) und der Formparameter p > 0(Shape). In der Liste Gamma auswählen und die Parameter eintragen. Wenn Sie Gamma3-parameter auswählen, können Sie unter Treshold eine Verschiebung des Nullpunktserreichen.

17

4.2.5 Lognormalverteilung

Die Lognormalverteilung taucht bei Zeitstudien und Lebensdaueranalysen in ökono-mischen, technischen und biologischen Vorgängen auf. Für die Dichtefunktion fX(x)gilt

fX(x) =

0 für x < 01√

2πσxexp

(−(lnx− µ)2

2σ2

)für x > 0

In der Liste Lognormal auswählen, den Wert für den Parameter µ (Mean) und für dieStandardabweichung σ (Std. Dev.) eingeben. Falls Sie Lognormal 3-parameter auswählenund Sie für Treshold einen Wert ungleich Null eingeben, findet wieder eine Nullpunktver-schiebung statt.

4.2.6 Gleichverteilung

Die stetige Gleichverteilung oder auch ihrer Form entsprechend Rechteckverteilunggenannt besitzt als Paramter das Intervall [a, b] ⊂ R. Die Dichtefunktion fX(x) siehtfolgendermaßen aus

fX(x) =

1

b− afür a ≤ x ≤ b

0 sonst

In der Liste Uniform auswählen. Lower Limit ist a und Upper Limit ist b.

4.2.7 logistische Verteilung

Die logistische Verteilung findet vor allem bei Wachstumsprozessen mit einer Sättigungs-tendenz Anwendung. Die beiden Paramter lauten α ∈ R und β > 0, α ist zugleich derErwartungswert und der Median der Verteilung. Die Dichtefunktion lautet

f(t) =exp

(− t−α

β

)β(

1 + exp(− t−α

β

))2

In der Liste Logistic auswählen. Es dient wieder Mean als Erwartungswert und Std. Dev.als Standardabweichung.

4.2.8 Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden (χ2n-Verteilung) beschreibt die Ver-

teilung der Summe von n unabhängigen quadrierten und standardnormalverteiltenZufallsgrößen.

In der Liste Chi-Square auswählen und die Anzahl der Freiheitsgrade D.F. eingeben.

18

4.2.9 F-Verteilung

Die F-Verteilung ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen.Diese werden durch die Größe ihrer Freiheitsgrade n bestimmt. Die F-Verteilung besitztalso zwei unabhängige Paramter.

In der Liste F (Variance Ratio auswählen. Num. D.F. stellt hierbei die Anzahl derFreiheitsgrade des Nenners da, Denom. D.F. ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Zählers.

4.2.10 t-Verteilung

Für statistische Fragestellungen wird die t-Verteilung, oder auch Studentsche t-Verteilung,benötigt. Diese hat auch wieder n Freiheitsgrade.

In der Liste Student’s t auswählen und die Anzahl der Freiheitsgrade D.F. eingeben.

4.3 Bearbeiten der Graphiken

In Statgraphics ist es möglich die Graphiken zu bearbeiten. Wenn Sie eine Verteilungerzeugen erscheint folgendes Fenster.

Falls die Verteilungs- oder die Dichtefunktion nicht angezeigt werden in der SchaltflächeCDF für die Verteilungsfunktion bzw. Density/Mass Function für die Dichtefunktionauswählen. Für stetige Verteilungen ist es möglich, bestimmte Bereiche der Verteilungzu schattieren. Hierzu in der Graphik der Dichtefunktion rechtsklicken und unter PaneOptions die gewünschte Einstellung übernehmen. Für alle Verteilungen kann man dieGraphiken noch weiter bearbeiten, sei es um die Achsen umzubenennen, die Dicke derStriche bzw. die Form der Punkte zu ändern oder um Farbe ins Spiel zu bringen, hierfürrechtsklickt man in der Graphik, Sie können dann unter Graphics Options die gewünsch-ten Einstellungen treffen. Unter Analysis Options können Sie die Grundeinstellungen fürdie Verteilung ändern.Um Wahrscheinlichkeiten der gewählten Verteilung zu bestimmen, wählen Sie die Cumu-lative Distribution aus. Mit einem Rechtsklick in das zugehörige Feld können Sie unterPane Options die Werte unter Random Variable ändern.Wenn man Quantile bestimmen möchte, klickt man auf Inverse CDF. Im Normalfallwerden die 0.01, 0.1, 0.5, 0.9 und 0.99 Quantile der Verteilung angezeigt. Möchten Sie

19

den Wert für ein anderes Quantil wissen, einfach rechtsklicken und unter Pane Optionsdas gewünschte Quantil eingeben.

Zum Erzeugen von Zufallszah-len Random Numbers auswäh-len. Um die Anzahl der zu er-zeugenden Zufallszahlen zu än-dern mit der rechten Maustas-te in das Feld klicken und Pa-ne Options auswählen, danachtragen kann man einen Wert

eintragen. Zum Erzeugen der Zufallszahlen auf die Save Results Schaltfläche klicken,im Fenster ein Häkchen vor Random Numbers for Dist. 1 setzen. Bei Datasheet kanndas Blatt ausgewählt werden, in welches die Zufallszahlen im DataBook eingetragenwerden sollen. Bei Target Variables wird der Name eingegeben, den die Spalte mit denZufallsvariablen erhalten soll. Wird ein bereits existierender Spaltenname verwendet,fragt Statgraphics ob es die bisherigen Werte in dieser Spalte ersetzen soll.

20

KAPITEL 5

Grundlagen des statistischen Schließens

5.1 Parameterschätzungen

5.1.1 Konfidenzschätzungen für die Parameter einer Normalver-teilung

Wählen Sie Describe → Numeric Data → One Variable Analysis.Die Spalte mit den gewünschten Daten auswählen und bestätigen. Falls die Konfidenz-intervalle nicht mit angezeigt werden die Tables-Schaltfläche anklicken und ConfidenceIntervalls auswählen. Es werden die Konfindenzintervalle für Erwartungswert und Stan-dardabweichung für eine normalverteilte Stichpropbe ausgegeben. In beiden Fällen wirdder jeweils andere Parameter aus der Stichprobe geschätzt.

Einstellungen können unter Pane Options imFenster mit den Konfidenzintervallen vorgenom-men werden. Im Eingabefeld Confidence Levelkann das Konfidenzniveau 1− α geändert wer-den. Bei Interval Type kann ausgewählt werden,ob das zentrale Konfidenzintervall (Two-Sided),

die obere (Upper Bound) oder die untere Konfidenzgrene (Lower Bound) berechnetwerden soll.

5.1.2 Konfidenzschätzungen für eine (unbekannte) Wahrschein-lichkeit p

Wählen Sie Describe → Numeric Data → Hypothesis Test.Unter Parameter wählen Sie Binomial Proportion. Weiter gibt man unter Sample Sizeden Stichprobenumfang n an und im Feld Sample Proportion die relative Häufigkeit (k/n)an. Unter Analysis Options können Sie zwischen den möglichen Alternativhypothesenund ein Niveau Alpha (das Konfidenzniveau) ist 1−Alpha) wählen. Man erhält das zurTestalternative zugehörige Konfidenzintervall.

21

5.2 Tests

5.2.1 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten -eine Stichprobe

Mittelwerttest - Signifikanztest für den Erwartungswert µ (t-Test)

Wählen Sie Describe → Numeric Data → One Variable Analysis.Die Spalten mit den gewünschten Daten auswählen und bestätigen. Falls die Tests nichtmit angezeigt werden, die Tables-Schaltfläche auswählen und Hypothesis Test auswählen.Die nötigen Einstellungen kann man im Pane Options-Menü im Feld mit den Testsvornehmen. Unter Normalverteilungsvorraussetzung sollte t-Test gewählt werden. BeiMean/Median wird der Erwartungswert eingetragen, bei Alpha kann das Signifikanz-niveau in Prozent angegeben werden und die Auswahl der Alternativhypothese erfolgtunter Alt. Hypothesis: Die drei Möglichkeiten Not Equal µ 6= µ0, Less Than µ < µ0 undGreater Than µ > µ0.Wenn Sie die Daten aus der 1. Übung des Wintersemesters verwenden, ergibt sich fürden Benzinverbrauch

Man kann bei den Tests auch den Vorzeichentest (Sign Test) bzw. den Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest (Signed Rank Test) wählen.

Streuungstest - Signifikanztest für die Standardabweichung σ

Das Vorgehen ist wie beim Signifikanztest für den Erwartungswert µ. Nur wählt manhier im Pane Options-Menü im Feld Dispersion den Chi-Squared-Test und gibt dieStandardabweichung (Standard Deviation) ein.

5.2.2 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten -zwei verbundene Stichproben

Die Tests bei zwei verbundenen Stichproben funktionieren wie die bei einer Stichprobe.Seien X und Y zwei verbundene Stichproben, dann wendet man die Tests auf die DifferenzZ = X − Y an.

22

Sie können auch Compare → Two Samples → Paired Samples wählen und eine Analysedurchführen.

5.2.3 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten -zwei unabhängige Stichproben

Mittelwertvergleich bei gleichen (unbekannten) Varianzen (doppelter t-Test)

Wählen Sie Compare → Two Samples → Independent Samples.Bei Sample 1 und Sample 2 die Namen der Spalten mit den zu betrachtenden Werteneingeben und bei Input Two Data Columns auswählen.Falls noch nicht angezeigt, wählen Sie in der Tables-Schaltfläche Comparisons of Meansaus. Im Menü Pane Options diesen Feldes können die weiteren Einstellungen vorgenom-men werden.Bei Null Hypothesis wird die angenommene Differenz der beiden Mittelwerte ∆ = µ1−µ2

angegeben. Die Auwahl der Alternativhypothese erfolgt unter Alt. Hypothesis. Bei Alphadas Signifikanzniveau in Prozent angeben. Für den doppelten t−Test muss das Häkchenvor Assume Equal Sigmas gesetzt sein.Nehmen wir Aufgabe 1a) aus der 2. Übung des Wintersemesters und vergleichen Techno-logie A mit Technolgie B, so ergibt sich

Mittelwertvergleich bei möglicherweise ungleichen Varianzen (Welch-Test)

Wählen Sie Compare → Two Samples → Independent Samples.Die Vorgehensweise ist wie beim doppelten t-Test, nur dass das Häkchen vor AssumeEqual Sigmas nicht gesetzt wird.

5.2.4 Beispiele sogenannter verteilungsfreier Tests

Vorzeichentest

Wählen Sie Compare → Two Samples → Paired Samples.Die Wertepaare so eingeben, dass die jeweils zusammengehörigen Werte nebeneinanderstehen. Bei Sample 1 und Sample 2 die Spaltennamen der beiden Spalten mit den Werten

23

eingeben und bestätigen.Nun auf die Tables-Schaltfläche klicken und Hypothesis Testsauswählen. Der Sign Test entspricht dem Vorzeichentest, wie in der Vorlesung vorgestellt.Falls das Ergebnis des Sign Tests noch nicht angezeigt wird, Pane Options auswählenund ein Häkchen vor Sign Test setzen. Mann kann hier außerdem unter Alt. Hypothesisdie gewünsche Alternativhypothese auswählen und unter Alpha das Signifikanzniveau inProzent eingeben.

Rangtest nach Wilcoxon

Wählen Sie Compare → Two Samples → Independent Samples.Bei Sample 1 und Sample 2 die Spaltennamen der beiden Spalten mit den Werteneingeben und bestätigen. Nun auf die Tables-Schaltfläche klicken und Comparison ofMedians auswählen. Unter Pane Options kann bei Alt. Hypothesis die gewünschte Alter-nativhypothese ausgewählt und unter Alpha das Signifikanzniveau in Prozent eingebenwerden.

Achtung! Da Statgraphics eine andere Teststatistik verwendet, weichen die ausgege-benen Zahlenwerte von den nach dem Muster der Vorlesung und Übung berechneten ab.Die Testentscheidung ist jedoch bei beiden Methoden gleich.

5.2.5 Monte-Carlo-Tests

Der Monte-Carlo-Test wird anhand eines kleinen Beispiels erklärt.Wählen Sie Plot → Probability Distributions. In der Liste Exponential auswählen undbestätigen. Klicken Sie dann auf die Tables-Schaltfläche und wählen Random Numbersaus. Mit der rechten Taste in das Feld klicken und Pane Options auswählen. Sie kön-nen nun einstellen, wieviele Zufallszahlen erzeugt werden sollen (1000). Unter AnalysisOptions können Sie den Erwartungswert (Mean) der zu erzeugenden Stichprobe, also1/λ0 eingeben. Zum Erzeugen der Zufallszahlen auf die Save results-Schaltfläche klickenund ein Häkchen vor Random Numbers for Dist. 1 setzen. Bei Datasheet kann das Blattausgewählt werden, in welches die Zufallszahlen im Data Book eingetragen werden sollen.Bei Target Variables wird der Name eingegen, den die Spalte mit den Zufallszahlenerhalten soll. Wird ein bereits existierender Spaltenname verwendet, fragt Statgraphicsob es die bisherigen Werte in dieser Spalte ersetzen soll.Nun die nächste Spalte im Data Book markieren, mit der rechten Maustaste anklicken undim Kontextmenü Generate Data wählen. Hier bei Expression: Rep(Count(1;1000;1);10)eingeben. Es werden die Zahlen von 1 bis 1000 mit einer Schrittweite von 1 bis 1000 miteiner Schrittweite von 1 erstellt, wobei jede Zahl zehnmal hintereinander aufgeführt wird.Eine Stichprobe entspricht jetzt den zehn exponentialverteilten Zufallszahlen, denen inder zweiten Spalte die gleiche Zahl zugeordnet ist.Um die Mittelwerte der 1000 Stichproben zu berechnen, wählen Sie im Menü Describe→ Numeric Data → Subset Analysis aus. Bei Data den Namen der Spalte eingeben,die die exponentialverteilten Zufallszahlen enthält, den Namen der Spalte, welche dieNummerierung enthält, bei Codes eintragen. Nach Erstellung der Analyse wieder auf die

24

Save results-Schaltfläche klicken. Bei Save setzen Sie ein Häkchen vor Means und beiDatasheet das Datenblatt auswählen, welchem die Werte hinzugefügt werden sollen. BeiTarget Variables steht der Name, den die Spalte erhält, in welcher die Mittelwerte gespei-chert werden. Hier wird der Name dieser Spalte also MEAN. Um jetzt das Histogrammund die Quantilstabelle zu erstellen, im Menü Describe → Numeric Data → One-VariableAnalysis auswählen. Bei Data 1/MEAN eingeben. Nun wählen Sie Percentiles und GraphsFrequency Histogramm aus.

5.3 Nichtparametrische Tests

5.3.1 Test auf Vorliegen einer bestimmten Verteilung

χ2−Anpassungstest

Wählen Sie Describe → Distribution Fitting → Fitting Uncensored Data.Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu überprüfenden Werte enthält.Analysis Options auswählen und im nun geöffneten Dialogfenster auswählen auf welcheVerteilungen hin die Stichprobe überprüft werden soll.Anschließend auf die Tables-Schaltfläche klicken und Goodness-of-Fit Tests auswählen,falls diese noch nicht angezeigt werden. Rechtsklick in dieses Feld und Pane Optionsauswählen. Hier kann das durchzuführende Testverfahren ausgewählt werden. Chi-squaredist der χ2−Anpassungstest. Falls man use equiprobable classes auswählt, wird die Klas-seneinteilung so vorgenommen, dass alle Klassen gleichwahrscheinlich sind.Nach Klick auf die Graphs-Schaltläche können verschiedene Graphiken ausgewählt werden.

Kolmogorov-Smirnov-Test

Wählen Sie Describe → Distribution Fitting → Fitting Uncensored Data.Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu überprüfenden Werte enthält.Analysis Options auswählen und im nun geöffneten Dialogfenster auswählen auf welcheVerteilungen hin die Stichprobe überprüft werden soll.Anschließend auf die Tables-Schaltfläche klicken und Goodness-of-Fit Tests auswählen,falls diese noch nicht angezeigt werden. Rechtsklick in dieses Feld und Pane Optionsauswählen. Hier kann das durchzuführende Testverfahren ausgewählt werden. Chi-squaredist der χ2−Anpassungstest.

Shapiro-Wilk-Test

Das Vorgehen ist wie beim Kolmogorov-Smirnov-Test. In der Tables-Schaltfläche auf Testfor Normality klicken, um das Ergebnis des Shapiro-Wilk-Tests anzeigen zu lassen.

25

5.3.2 Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenzta-feln)

Wählen Sie Describe → Categorial Data → Contigency Tables.Bei Columns die Namen von zwei oder mehr Spalten eingeben, die den Spalten derDatentabelle entsprechen. Falls die Kontigenztafel noch nicht angezeigt wird, auf dieTables-Schaltfläche klicken und Frequency Tables auswählen. Die Realisierung der Test-statistik und den p-Value erhält man durch Wählen von Tests of Independence. WeitereEinstellungen können unter Pane Options im Feld mit der Kontigenztafel vorgenommenwerden. Für das Weinbeispiel aus der Übung ergibt sich

Den Mosaikplot erhält man, wenn man ein Häkchen in der Tables-Schaltfläche bei MosaicPlot setzt.

Den Unabhängigkeitstest erhält man, wenn man ein Häkchen bei Tests of Independencesetzt.

26

5.4 Stichprobenpläne zur Qualitätskontrolle

5.4.1 (n,c)-Stichprobenplan

Wählen Sie SPC → Acceptance Sampling → Attributes.

Bei Action Create OC Plan wäh-len. Den gesamten Lieferumfang beiLot Size eintragen, unter DesiredFeatures können Sie das Produzen-tenrisiko α (Producer’s Risk) unddas Konsumentenrisiko β (Consu-mer’s Risk) eingeben. Bei QualityLevels werden pα (Acceptance qua-lity level, AQL) und pβ (Lot tole-rance percent defective, LPTD) ein-tragen. Falls die OC-Funktion nochnicht angezeigt wird, auf die Graphs-Schaltfläche klicken und OC Curveauswählen.

Achtung! Statgraphics rechnet mit der Hypergeometrischen Verteilung und nicht miteiner Poisson- bzw. Normalverteilungsapproximation.

Mit den obigen Werten ergibt sich

Wählen Sie Analyze existing plan, so wird ein bereits bestehender Plan mit Stichproben-größe n und Akzeptanzzahl c untersucht.

27

5.4.2 Laufende Kontrolle - Mittelwertkarte

Wählen Sie SPC → Control Charts → Basic Variables Charts → X-bar and R.

Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten:1. In eine Spalte die Werte aus allen zu betrachtenden Teilstichproben eingeben. Dabeimüssen die Werte , die zu einer Teilstichprobe gehören untereinander stehen. Aus derTeilstichprobe sollen jeweils die Mittelwerte berechnet werden.Bei Data - Observations den Namen dieser Spalte eintragen. Bei Date/Time/Labels orSize geben Sie den Namen der Spalte ein, der die einzelnen Teilstichproben unterscheidet.

2. Die Werte, die zu einer Teilstichprobe gehören, werden in mehreren Spalten ne-beneinander geschrieben. Die Werte der nächsten Teilstichprobe darunter usw. Bei Data- Observations werden die Namen der Spalte eingetragen. Statgraphics fasst jetzt alleWerte, die in einer Zeile stehen zu einer Teilstichprobe zusammen.

Das weitere Vorgehen ist für beide Möglichkeiten gleich.Wählen Sie dann bei Type of Study die Control to Standard Variante aus. Bei SpecifyParameters geben Sie den Sollwert (Mean) und die Standardabweichung (Std. Dev.) ein.Eine andere Möglichkeit die Eingriffslinien einzugeben ist unter Specify Control Limitsmöglich. Klicken Sie dann auf OK. Die Mittelwertkarte erhält man, indem man auf dieGraphs-Schaltfläche klickt und X-bar Chart auswählt. Mit den Daten zur Schichtdickeaus Aufgabe 7 ergibt sich

5.4.3 Sequentieller Stichprobenplan

Wählen Sie Describe → Numeric Data → Sequential Sampling.Bei Data variable die bisher gesammelten Daten eingeben. Unter Sequential Sampling

28

Options können Sie nun weitere Einstellungen bezüglich des Stichprobenplans treffen.Verwenden Sie beispielsweise die Daten aus der Übung zum Sequentiellen Stichproben-plan, ergibt sich für Lieferung 1

Zur besseren Darstellung des Cumulative Plot kann man die Achsen unter GraphicsOptions einstellen.

29

Für den ASN-Plot erhält man

30

KAPITEL 6

Varianzanalyse

Die Varianzanalyse gestattet es, den Einfluss eines qualitativen Merkmals (Faktor), aufein quantitatives bzw. messbares Merkmal zu untersuchen.

6.1 Einfache Klassifikation

6.1.1 F-Test

Wählen Sie Compare → Analysis of Variance → One-Way Anova.Bei Dependent Variabls die Spalte mit den Werten des zufälligen Merkmals eintragenund bei Factor die Spalte mit den Werten des Faktors. Falls die ANOVA-Tafel nochnicht angezeigt wird, auf die Tables-Schaltfläche klicken und ANOVA Table auswählen.Für den Fußballdatensatz ergibt sich beispielsweise

31

Es ergibt sich folgende Varianzanalysetabelle

6.1.2 Kruskal-Wallis-Test

Wählen Sie Compare → Analysis of Variance → One-Way Anova.Wie beim F-Test in die Spalte bei Dependent Variables die Werte des zufälligen Merkmalseintragen und bei Factor die Werte des Faktors. Unter der Tables-Schaltfläche denKruskal-Wallis-Test auswählen. Das Ergebnis lautet

6.2 Zweifache Klassifikation

Bei der zweifachen Varianzanalyse wird die Abhängigkeit eines Merkmals X von zweiFaktoren A und B untersucht.

6.2.1 F-Test

Wählen Sie Compare → Analysis of Variance → Multifactor Anova.Bei Dependent Variable den Namen der Spalte mit den Werten des zufälligen Merkmalseintragen, bei Factors die Namen der beiden Spalten, welche die Werte der Faktorenenthalten, eingeben. Für den Datensatz über das Kaufverhalten ergibt sichDen Typ können Sie unter Pane Options einstellen, außerdem können Sie dort auchandere Fehlerterme auswählen.

32

6.2.2 Zweifache Varianzanalyse mit Mehrfachbesetzungen undWechselwirkungen

Möchte man Wechselwirkungen betrachten, so wählt man wie oben die Anova-Tafelaus. Unter Analysis Options geben Sie dann bei Maximum Order Interaction 2 ein. AlsErgebnis erhalten Sie beispielsweise

Den Interaction Plot wählen Sie in der Tables-Schaltfläche aus.

6.3 Mehrfaktorenanalyse

Bei der Mehrfaktorenanalyse gehen Sie genauso vor wie bei der zweifachen Klassifikation.Im Feld Factors werden jetzt mehr als zwei Spaltennamen eingegeben. Beim Auftreten

33

von Wechselwirkungen bei Maximum Order Interaction die Anzahl der Faktoren eintra-gen, wenn alle Wechselwirkungen untersucht werden sollen. Für 3 Faktoren ergibt sichbeispielsweise folgende Untersuchung in Abhängigkeit von Maximum Order Interaction:

Maximum Order Interaction: 1 A, B, CMaximum Order Interaction: 2 A, B, C, AB, AC, BCMaximum Order Interaction: 3 A, B, C, AB, AC, BC, ABC

34

KAPITEL 7

Korrelationsanalyse

Mit Hilfe der Korrelationsanalyse sollen statistisch gesicherte Aussagen über bestimmteAspekte des Zusammenhangs von mehreren Merkmalen getroffen werden.

7.1 Zwei Merkmale

7.1.1 Einfache Korrelation

Wählen Sie Describe → Numeric Data → Multiple Variable Analysis.Bei Data die Namen der beiden Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merk-male eingeben. Falls das Feld mit der Korrelation noch nicht angezeigt wrid, auf dieTables-Schaltfläche klicken und Correlations auswählen. Wenn Sie beispielsweise Dollarsund Miles aus der Übung zur American Express Company vergleichen ergibt sich für dieKorrelation und den dazugehörigen Box-Plot

7.1.2 Rangkorrelation

Für Aussagen über den Zusammenhang zweier nichtnormalverteilter Merkmale treffen,kann man den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten oder den von Kendall nutzen.Wählen Sie Describe → Numeric Data → Multiple Variable Analysis.Bei Data die Namen der beiden Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmaleeingeben. In der Tables-Schaltfläche klicken und Rank Correlations auswählen. ZwischenSpearman und Kendall können Sie wechseln, wenn Sie mit der rechten Maustaste in dasFeld mit der Rangkorrelation klicken und Pane Options auswählen. Mit dem Datensatzzur Weinanalyse ergibt sich

35

7.2 Mehrere Merkmale

7.2.1 empirische Korrelationsmatrix

Werden p > 2 Merkmale, modelliert durch ZufallsgrößenX1, . . . , Xp untersucht, so könnenfür alle Paare XiXj mit i, j = 1, . . . , p die entsprechenden Korrelationskoeffizientenberechnet werden. Diese Korrelationskoeffizieten werden zu einer Korrelationsmatrixzusammengefasst.Wählen Sie Describe → Numeric Data → Multiple Variable Analysis. Bei Data dieNamen der Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben. DieKorrelationsmatrix können Sie anzeigen lassen, indem Sie in der Tables-SchaltflächeCorrelations auswählen. Die Korrelationsmatrix für das Verkaufsbeispiel lautet

7.2.2 kanonische Korrelation

Der kanonische Korrelationskoeffizient dient der Berechnung des linearen Zusammenhangszwischen zwei Gruppen von Merkmalen.Wählen Sie Describe → Multivariate Methods → Canonical Correlatiosn.Die Namen der Spalten mit den Merkmalen einer Gruppe sind bei First Set of Variableseinzutragen, die der anderen Gruppe bei Second Set of Variables. Falls es in den Gruppeneine unterschiedliche Anzahl von Merkmalen gibt, sind die Namen der Spalten, die die

36

Merkmale aus der größeren Gruppe enthalten, bei First Set of Variables einzugeben. Fürdas Verkaufsbeispiel ergibt sich

7.2.3 multiple Korrelation

Bei der multiplen Korrelation handelt es sich um einen Spezialfall der kanonischenKorrelation. Der multiple Korrelationskoeffizient ist der betragsmäßig größte kanonischeKorrelationskoeffizient.

37

7.2.4 partielle Korrelation

Eine Korrelation zwischen zwei Zufallsgrößen X und Y kann möglicherweise auf einengemeinsamen (linearen) Einfluss einer dritten Zufallsgröße U zurückgeführt werden. Diepartielle Korrelation zwischen X und Y ist die Korrelation zwischen X und Y unterAusschaltung des Einflusses von U .Wählen Sie Describe → Numeric Data → Multiple Variable Analysis.Bei Data die Namen der Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben.In der Tables-Schaltfläche Partial Correlations anzeigen lassen. Für das Verkaufsbeispielerhält man

38

KAPITEL 8

Regressionsanalyse

8.1 Einfache lineare Regression

8.1.1 Kleinste-Quadrate Methode

Wählen Sie Relate → One Factor → Simple Regression.Den Namen der Spalte mit Wirkgröße bei Y und den der Spalte mit der Einflussgröße beiX eingeben und mit OK bestätigen. Im darauffolgenden Fenster wählen Sie Linear aus.

Wie Sie sicherlich feststellen gibt es eine Vielzahl von Regressionsmodellen, wir entscheidenuns für die einfache Linear Variante. Setzen Sie ein Häkchen unter Include constant, fallsSie die Regression mit einer Konstanten bestimmen wollen. Bei Alternative Fit könnenSie verschiedene Varianten der Minimierung auswählen, wobei sich die Least-Squaresoder Kleinste-Quadrate Methode als sehr nützlich erwiesen hat.

39

In der Graphs-Schaltfläche die folgenden Einstellungen treffen.

Als AnalysisSummary erhält man dann

40

Sie erhalten folgende Graphik mit Konfidenz- und Prognoseschlauch.

Für den Residual Plot gibt es zwei Möglichkeiten das Residuum zu berechnen. WählenSie hierfür unter Pane Options bei Residual Plot entweder Residuals oder StudentizedResiduals.Man kann auch Vorhersagen treffen, rechtsklicken Sie hierfür in die Forecast-Graphik.Wählen Sie unter Pane Options die Werte aus, für die Sie die Vorhersagen treffen wollen,außerdem können Sie das Konfidenzintervall ändern sowie die Art der Grenze unter Typeof Limits.

8.1.2 Tukey-Ausgleichsgerade

Wählen Sie Relate → One Factor → Simple Regression.Den Namen der Spalte mit Zielgröße bei Y und den der Spalte mit der Einflussgröße beiX eingeben und bestätigen. Das Analysis Options-Menü öffnen. Bei Type of Model Linearund bei Alternative Fit Use Medians of 3 groups wählen. Im Plot of Fitted Model wird nunauch die Tukey-Ausgleichsgerade angezeigt. Möchten Sie nur die Tukey-Ausgleichsgeradeanzeigen lassen, dann wählen Sie unter Pane Options Alternative Fit Only aus.

41

8.2 Zeitreihen - Schätzung der Saisonkomponente undSaisonbereinigung

Wählen Sie Describe → Time Series → Seasonal Decomposition.Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu betrachtenden Daten enthält,hier wieder die Beispielzahlen1. Unter Once Every: wird eingetragen, wie oft die Datenerhoben wurden. Es kann ausgewählt werden ob dies jährlich (Year(s), 4-digit), vier-teljährlich (Quarter(s)), monatlich (Month(s)), täglich (Day(s)), stündlich (Hour(s)),minütlich (Minute(s)), sekündlich (Second(s)) oder auf sonstige Art (Other) geschehenist. Bei Starting At wird der Startzeitpunkt der Erhebung angegeben. Unter Seasonalityschließlich wird die Saisonalität eingetragen.

In dem Fenster können Sie nun noch einmal wählen. Unter Math werden die Daten jenach der angeklickten mathematischen Operation verändert, es reicht jedoch oftmals aus,wenn Sie None auswählen. Unter Inflation können Sie noch die Inflationsrate auswählenund zu welchem Zeitpunkt sie angewendet werden soll. Im Beispiel werden die Wertevon Beispielzahlen1 verwendet, die von 2008 einmal jährlich erhoben wurden und einePeriode von 5 aufweisen. Es findet keine Transformation der Daten statt und die Inflationwird auf 0, 0 gesetzt. Unter Pane Options bei Method Additive wählen. Sie erhalten diefolgende Graphik.

42

Unter der Graphs-Schaltfläche Seasonal Indices wählen. Wenn Sie sich auch hier wiederunter Pane Options für die Additive Variante entscheiden sollte die Graphik erscheinen.

8.2.1 Zeitreihen - Trendschätzng, Trendabspaltung

Glättung

Wählen Sie Describe → Time Series → Smoothing.

Bei Data den Namen der Spalte mit den Zeitreihendaten eingeben und bestätigen. BeiLength of Moving Average kann man die gewünsche Fensterlänge für die gleitenden Durch-schnitte ändern, je größer diese Zahl ist, desto glatter ist das Ergebnis. Die dazugehörigenDaten kann man sich anzeigen lassen, indem man auf die Tables-Schaltfläche klickt undData Table auswählt.

43

Trendabspaltung

Wählen Sie Describe → Time Series → Descriptive Methods. Bei Data den Namen derSpalte mit den Werten der Zeitreihe eingeben und bestätigen. In der Tables-Schaltflächeklicken und Data Table auswählen. Hier werden die Werte der Zeitreihe und auch dieWerte der trendbereinigten Zeitreihe d(q)

t angezeigt. Der Wert q kann unter AnalysisOptions verändert werden. Hierfür kann der gewünschte Wert von q, der ganzzahlig sowiezwischen 0 und 6 liegen muss bei Differencing Nonseasonal Order eingegeben werden.

8.2.2 Multiple parameterlineare Regression

Wählen Sie Relate → Multiple Factors → Multiple Regression.Den Namen der Spalte mit der Wirkgröße bei Dependent Variable eintragen. Bei Indepen-dent Variables die Namen der Spalten mit den Einflussgrößen eingeben. Bei IndependentVariables können auch Statgraphics Ausrücke wie beispielweise Spaltenname ^2 eingegbenwerden.

8.3 Regression bei qualitativen Merkmalen

In vielen Anwendungen nimmt der Regressand nur zwei Werte an, oft kodiert durch 0und 1. Hier sind die bisher behandelten Regressionsansätze nicht sinnvoll, da als Werteder Regressionsfunktion im Allgemeinen Werte ungleich 0 oder 1 berechnet werden, diekeine direkte Interpretation erlauben. Am Beispiel der Wäschefirma aus der Vorlesungsoll das Vorgehen erläutert werden.

8.3.1 Probit-Modell

Wählen Sie Relate → Attribute Data → Probit Analysis.Bei Dependent Variable Treue eingeben und als Quantitative Factors können Sie beispiels-

44

weise das Preisniveau verwenden. Danach auf OK klicken. Bei Probit Analysis Optionskönnen Sie noch weitere Einstellungen treffen, die Grundeinstellungen genügen jedoch.Es ergibt sich

45

8.3.2 Logit-Modell

Wählen Sie Relate → Attribute Data → Logistic Regression.Hier die gleichen Einstellungen wie beim Probit-Modell. Es ergibt sich

46