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Informations-

visualisierung

Thema: 4. Darstellung von Graphen

Dozent: Dr. Dirk Zeckzer [email protected]

Sprechstunde: nach Vereinbarung

Umfang: 2

Prüfungsfach: Modul Fortgeschrittene Computergraphik Medizininformatik, Angewandte Informatik

Informationsvisualisierung 4-2

4.1 Einleitung

Zu visualisierende Entitäten besitzen häufig inhärente Relationen

(Beziehungen oder Abhängigkeiten)

Dann: Graphen eignen sich als Repräsentation

Knoten stellen Entitäten dar

Kanten stellen Relationen dar


4.1 Einleitung

Anwendungen Organigramm einer Firma

Projektmanagement (z. B. Project Evaluation and Review Technique -

PERT)

Soziale Netzwerke

Taxonomie biologischer Arten (bei Abstammung: phylogenetische

Bäume)

Biochemische Reaktionen, speziell Stoffwechselsysteme oder

Signalwege

Ähnlichkeiten von Dokumenten

Semantische Netzwerke und Wissensrepräsentationsdiagramme

Webseiten und ihre Links

Szenengraphen in der virtuellen Realität

Datenstrukturen, insbesondere bei Compilern

Strukturen objektorientierter Systeme (Klassenhierarchie, Datenfluss)

Echtzeitsystem (Zustandsdiagramme)

Schaltkreisentwurf (Very Large System Integration VLSI)


4.2 Definitionen

Graphen

Ein Graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus

𝑉: endliche Menge von Knoten

𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉

Wenn {𝑢, 𝑣 } eine Kante ist, so heißen u und v adjazent (benachbart)

Nachbarn von 𝑣 ∈ 𝑉 sind alle adjazenten Knoten

Anzahl der Nachbarn ist der Grad von 𝑣: |𝑣|

Ein Weg im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣ℎ) verschiedener Knoten

von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1,… , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1} ∈ 𝐸

Ein Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ, 𝑣1} ∈ 𝐸

Ein Graph ohne Zyklus heißt azyklischer Graph.


4.2 Definitionen

Graphen (Fortsetzung)

Ein Graph (𝑉′, 𝐸′) mit 𝑉′ ⊆ 𝑉 und 𝐸′ ⊆ 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt

Teilgraph von G.

Im Falle 𝐸′ = 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt 𝐺′ der durch 𝑉′ induzierte

Teilgraph von G.


4.2 Definitionen

Datenstrukturen für Graphen

Adjazenzmatrix 𝑨 Für 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , V = n hat 𝐴 𝑛 × 𝑛 Einträge

𝐴𝑢𝑣 = 1 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸0 {𝑢, 𝑣} ∉ 𝐸

Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist immer

symmetrisch

Adjazenzliste L

Für jeden Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erzeuge eine Liste mit allen

Nachbarn 𝑈 = {𝑢|{𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸} von 𝑣

Graph Drawing

Automatisches Zeichnen von Graphen in 2D und 3D


4.2 Definitionen

Digraphen

Ein gerichteter Graph oder Digraph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus

𝑉: endliche Menge von Knoten

𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉

Die gerichtete Kante (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸 ist

ausgehende Kante für 𝑢

eingehende Kante für 𝑣

Knoten ohne ausgehende Kanten heißen Senken

Knoten ohne eingehende Kanten heißen Quellen.

Ingrad von 𝑣 : Anzahl eingehender Kanten.

Ausgrad von 𝑣 : Anzahl ausgehender Kanten.


4.2 Definitionen

Digraphen (Fortsetzung)

Ein gerichteter Weg in G im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣ℎ) verschiedener Knoten von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1,… , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1} ∈ 𝐸

Ein gerichteter Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ , 𝑣1} ∈ 𝐸

Ein gerichteter azyklischer Graph (DAG, directed acyclic graph)

ist gerichteter Graph ohne Zyklus.

Zu einem Digraph 𝐺 gibt es immer Graph 𝐺′, der durch „Vergessen

der Orientierung der Kanten“ entsteht.


4.2 Definitionen


Kante (𝑢, 𝑣) eines Digraphen 𝐺 heißt transitiv, falls es einen Weg von

𝑢 nach 𝑣 gibt, der nicht durch (𝑢, 𝑣) läuft.

Transitiver Abschluss von 𝑮:

𝐺 = 𝑉, 𝐸 , 𝐸 = 𝐸 ∪ {(𝑢, 𝑣)|∃𝑊𝑒𝑔 𝑣𝑜𝑛 𝑢 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑣 𝑖𝑛 𝐺}


4.2 Definitionen


Auch für Digraphen eignen sich Adjazenzmatrizen und Adjanzenzlisten

als Datenstrukturen. In diesem Fall ist die Adjazenzmatrix 𝐴 nicht

symmetrisch.


4.2 Definitionen

Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist Abbildung Γ vom Graphen in Ebene:

Sie ordnet jedem Knoten 𝑣 einen Punkt 𝑝𝑣 und jeder Kante eine offene

Jordankurve 𝐽𝑢𝑣 zu, welche die Punkte 𝑝𝑢 und 𝑝𝑣 als Endpunkte hat.

Gerichtete Kanten eines Digraphen werden in der Regel als Pfeile

gezeichnet.

Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen heißt planar, wenn Kurven

zweier verschiedener Kanten außer den Endpunkten keine gemeinsamen

Punkte haben.

Ein Graph oder Digraph heißt planar, wenn es mindestens eine planare

Zeichnung gibt.

Man beachte, dass nicht alle Graphen planar sind.

Nach der Eulerformel kann ein planarer Graph mit n Knoten höchstens

3n-6 Kanten haben!


bett,fig1.6

4.2 Definitionen


4.2 Definitionen

Eine planare Zeichnung eines Graphen oder Digraphen zerlegt die Ebene in

topologisch verbundene Regionen. Diese werden Facetten genannt.

Die unbegrenzte Facette wird äußere Facette genannt.

Eine planare Zeichnung bestimmt zirkuläre Ordnung der inzidenten Kanten

an jedem Knoten durch Umlauf gegen/im Uhrzeigersinn.

Zwei planare Zeichnungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche

zirkuläre Ordnung an allen Knoten festlegen.

Eine planare Einbettung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist die

Äquivalenzklasse von planaren Zeichnungen:

• Wird durch Festlegen der zirkulären Ordnungen der inzidenten Kanten an

jedem Knoten festgelegt

• Auf der vorherigen Folie liefern a,b,c die gleiche, d dagegen eine andere

Einbettung des Graphen.

Ein eingebetteter Graph / Digraph ist ein Graph / Digraph mit festgelegter

planarer Einbettung.


4.2 Definitionen

Der Dualgraph 𝐺∗ zu einer Einbettung eines planaren Graphen 𝐺 besitzt

einen Knoten für jede Facette der Einbettung und

eine Kante (𝑓, 𝑔) zwischen zwei Facetten, wenn diese Facetten eine

gemeinsame Kante in der Einbettung haben


4.2 Definitionen

Ein Graph heißt zusammenhängend,

wenn es Weg zwischen beliebigen Knoten

𝑢 ≠ 𝑣, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 gibt.

Ein maximaler zusammenhängender

Teilgraph von 𝐺 heißt

Zusammenhangskomponente.

Ein Schnittknoten eines Graphen 𝐺 ist ein

Knoten, dessen Entfernen (einschließlich

der inzidenten Kanten) den Graphen 𝐺 in

mehrere Zusammenhangskomponenten

teilt.

Ein Graph ohne Schnittknoten heißt

doppelt zusammenhängend.

Maximale doppelt zusammenhängende

Teilgraphen heißen Blöcke.


4.2 Definitionen

Ein Paar (𝑢, 𝑣) von Knoten eines Graphen heißt trennendes Paar, falls das

Entfernen von 𝑢 und 𝑣 den Graphen teilt .

Ein doppelt zusammenhängender Graph ohne trennendes Paar heißt

dreifach verbunden (dreifach zusammenhängend).


4.2 Definitionen

Satz: Das Skelett (Ecken und Kanten) eines Polyhedrons im Raum ist ein

planarer, dreifach zusammenhängender Graph.

Satz: Ein planarer, dreifach zusammenhängender Graph hat eine eindeutige

Einbettung (bis auf Umdrehung der zirkulären Ordnung an allen Knoten).


4.2 Definitionen

Weitere Graphentypen

Multigraphen. Sowohl bei gerichteten als auch bei ungerichteten Graphen

können mehrfache Kanten zwischen gleichen Knoten und Kanten von

einem Knoten zu sich selbst auftreten.

Hypergraphen. Eine Kante verbindet mehr als zwei Knoten:

Ein Tupel (𝑉, 𝐸) mit einer endlichen Menge von Knoten 𝑉 und einer

endlichen Menge von Hyperkanten 𝐸 ⊆ 𝑃𝑜𝑡(𝑉).

Jede Hyperkante verbindet eine Ausgangsmenge von Knoten mit einer

Eingangsmenge von Knoten.

Hypergraphen können gerichtet und ungerichtet sein.


4.2 Definitionen

Bäume

Werden auch als Hierarchien bezeichnet.

Spezielle Beziehungen

Eltern-Kind Beziehung

Geschwisterbeziehung


4.2 Definitionen

Bäume

Spezieller Graph mit Einschränkungen

Ein Baum ist ein Graph ohne Zyklen mit einem ausgezeichneten Knoten, der

Wurzel.

Knoten mit Grad 1 heißen Blatt

Alle anderen Knoten heißen innere Knoten

Ungerichtete Bäume

Ungerichtete Bäume haben keine weiteren Einschränkungen

Gerichtete Bäume

Gerichtete Bäume müssen zusätzlich schwach zusammenhängend sein,

insbesondere gibt es immer nur maximal einen Weg von einem Knoten 𝑢 zu

einem anderen Knoten 𝑣

Die Kanten sind immer von der Wurzel zu den Blättern oder von den Blättern zur

Wurzel gerichtet


4.2 Definitionen

Eigenschaften von Graphen, Knoten, Kanten

Graph

Zyklisch, azyklisch

Gerichtet, ungerichtet

Multigraph

Hypergraph

Planar

Baum

Knoten

Typ

Zusätzliche Information

Kanten

Gerichtet, ungerichtet

Gewichte

Typ

Zusätzliche Information


4.3 Graph Drawing

Graphenzeichnen (Graph Drawing)

Eigene Forschungsgemeinschaft

Sehr großes Gebiet

Literatur

Graph drawing conference

Visualization conferences and journals

Web:

http://graphdrawing.org

Graph Visualization Software:

http://www.graphviz.org


4.3 Graph Drawing

Graphenzeichnen (Graph Drawing)

Literatur:

Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia,

Ioannis G. Tollis.

Graph Drawing - Algorithms for the Visualization of

Graphs.

Prentice Hall Engineering, Science & Math. 1999. ISBN

0-13-301615-3

Handbook of Graph Drawing and Visualization

Roberto Tamassia, ed.

CRC Press 2014.

Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and

Navigation in Information Visualization: A Survey. IEEE

TVCG 6(1): 24-43, 2000


4.3 Graph Drawing

Forschungsgebiete Graph Layout und Position der Knoten

Skalierbarkeit

Navigation (besonders in großen Graphen)

Fokus & Kontext Methoden

Dynamische Graphen

Heterogene Knoten- und Kanten-Typen

Knoten mit großem Grad

Einbettung zusätzlicher Information

Visualisierung von isomorphen Teilgraphen

Vergleich von Graphen

…


4.3 Graph Drawing

Visuelle Darstellung

Knoten

Form

Farbe

Größe

Position

Bezeichnung


4.3 Graph Drawing

Visuelle Darstellung

Kanten

Farbe

Größe

Dicke

Richtung

Bezeichner

Form

Gerade

Gekrümmt

Planar

Orthogonal


4.3 Graph Drawing

Konventionen

Es gibt verschiedene Zeichenkonventionen mit entscheidendem Einfluss

auf die Auslegealgorithmen von Graphen. Die gebräuchlichen Konventionen

sind:

Geradlinige Zeichnung. Jede Kante wird als gerade Linie gezeichnet.

Polylinienzeichnung. Jede Kante wird als Polygonzug gezeichnet.

Orthogonale Zeichnung: Jede Kante wird als Polygonzug achsenparalleler

Linien gezeichnet.

Gitterzeichnung. Knoten, Schnittpunkte und Kantenknicke haben

ganzzahlige Koordinaten bzgl. eines festgelegten kartesischen Gitters.

Planare Zeichnung. Kanten schneiden sich höchstens an Knoten.

Aufwärtszeichnung / Abwärtszeichnung. Für azyklische gerichtete

Graphen (DAGs) wird jede Kante als monoton ansteigende / absteigende

Kurve gezeichnet.


Bett, fig 2.1 fig 2.2

4.3 Graph Drawing


4.3 Graph Drawing

Ästhetikkriterien I

Ästhetische Kriterien formulieren Wünsche an die Zeichnung eines Graphen,

welche die Zeichnung möglichst gut erfüllen soll

Oft sind nicht alle Kriterien, manchmal keines zu erreichen;

es wird ein guter Kompromiss gesucht.

Fläche: Graph wird auf möglichst kleiner Fläche gezeichnet. Dabei wird

entweder das Gitterzeichnen oder ein Mindestabstand von Knoten vereinbart.

Kantenschnitte: Minimierung der Anzahl der Schnittpunkte von Kanten

Kantenlänge

Gesamtkantenlänge: Gesamtkantenlänge wird minimiert. Auch dies ist nur bei

Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand sinnvoll.

Maximale Kantenlänge. Länge der längsten Kante wird minimiert. Wieder muss

man Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand vereinbaren.

Gleichförmige Kantenlänge. Varianz der Kantenlängen wird minimiert.


4.3 Graph Drawing

Ästhetikkriterien II

Knicke

Gesamtanzahl Knicke. Zahl aller Knicke aller Kanten soll minimiert werden. Dies

ist besonders bei orthogonalem Zeichnen sinnvoll.

Maximale Knickanzahl. Maximum von Knicken einer Kante wird minimiert.

Gleichmäßige Knickanzahl. Varianz der Knickanzahl wird minimiert.

Winkelauflösung. Kleinster auftretender Winkel zwischen zwei Kanten wird

maximiert.

Seitenverhältnis. Seitenverhältnis des kleinsten umschriebenen Rechtecks

soll nahe 1 sein.

Symmetrie. Symmetrien des Graphen sollen möglichst gut abgebildet

werden.

Aber:

Ästhetikkriterien widersprechen sich oft.

Einzelne Kriterien können nicht immer erfüllt werden.


4.3 Graph Drawing

Einschränkungen

Festlegen von Teilgraphen oder Teilzeichnungen, um bestimmte

Konventionen einzuhalten

Häufige Beispiele in der Visualisierung

Zentrum. Gegebener Knoten wird im Zentrum der Zeichnung fixiert

Außen. Bestimmter Knoten wird der äußeren Facette benachbart

Cluster. Gegebene Menge von Knoten wird nah beieinander angeordnet

Links-Rechts-Folge. Vorgegebener Weg wird von links nach rechts

gezeichnet (auch vertikal möglich)

Form. Zeichne gegebenen Teilgraphen mit vorgegebener Form


4.3 Graph Drawing

Topologie-Form-Metrik-Ansatz

Dieser Ansatz zielt vor allem auf orthogonale Gitterzeichnungen und basiert auf

drei Verfeinerungsebenen:

Topologie. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Topologie, wenn

sie durch

stetige Deformation ohne Vertauschen von Facetten ineinander überführt

werden können

Form. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Form, wenn sie

gleiche Topologie haben und

eine Zeichnung aus der anderen nur durch Längenänderungen der

Liniensegmente hervorgeht.

Metrik. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Metrik, wenn sie

kongruent sind, also durch

Verschieben und Drehen ineinander überführt werden können.


4.3 Graph Drawing

Topologie-Form-Metrik-Ansatz/2

Umsetzung erfolgt durch drei entsprechende Schritte, bei denen nacheinander

Topologie, Form und Metrik optimiert werden:

Planarisierung legt die Einbettung des Graphen, also seine Topologie fest:

Minimierung der Anzahl der Kantenschnitte:

Oft wird zunächst ein maximaler planarer Untergraph gesucht und

eingebettet.

Anschließend werden verbleibende Kanten einzeln eingefügt,

wobei jeweils möglichst wenig Überschneidungen erzeugt werden.

An Überschneidungen werden Dummy-Knoten eingefügt.

[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],

[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph Drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]

[Battista, Eades, Tamassia, Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall, 1999]


4.3 Graph Drawing

Topologie-Form-Metrik-Ansatz/3

Orthogonalisierung legt die Form fest:

Orthogonale Repräsentation des Graphen

Knoten ohne Koordinaten

Kanten lediglich Winkellisten, zur Festlegung ihrer Knicke

Minimierung der Knicke ist in der Regel das Hauptziel

Kompaktifizierung legt endgültige Koordinaten der Kanten und der

Kantenknicke fest:

In der Regel wird die Fläche des Graphen minimiert.

[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],

[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]

[Battista, Eades, Tamassia, Tollis, Graph Drawing, Prentice-Hall, 1999]


Bett fig2.6

4.3 Graph Drawing


4.3 Graph Drawing

Sichtbarkeitsansatz

Der Sichtbarkeitsansatz dient dem Auslegen beliebiger Graphen mit Polylinien

Planarisierung gleicht dem Topologie-Form-Metrik-Ansatz;

Ziel ist Schnittvermeidung

Der Sichtbarkeitsschritt schafft eine Sichtbarkeitsrepräsentation des

Graphen

Jedem Knoten wird horizontales und jeder Kante {u,v} vertikales Segment

zugeordnet

Kantensegment hat Anfang und Ende innerhalb Knotensegmente

Kantensegmente schneiden einander nicht

Ersetzungsschritt erzeugt endgültige Zeichnung des Graphen

Ersetzen jedes horizontalen Segments durch Punkt

Ersetzen jedes vertikalen Segments durch Polylinie

Mögliche Strategien / Ästhetikkriterien: Knickminimierung, Symmetriebetonung,

gleichmäßige Verteilung der Knoten


4.3 Graph Drawing


4.3 Graph Drawing

Verfeinerungsansatz

Betrachtet Polylinienzeichnungen

Planarisierung gleicht Topologie-Form-Metrik-Ansatz;

Ziel ist Schnittvermeidung

Verfeinerung fügt geeignete Anzahl von Kanten (evtl. auch Knoten) in

Einbettung ein, um einen maximalen planaren Graphen zu erzeugen:

Alle Facetten haben dann drei Kanten - Triangulierung

Qualität des Zeichnens maximaler Graphen hängt in der Regel vom

Knotengrad ab

Minimierung des maximalen Knotengrad

Triangulierungszeichnung erzeugt Zeichnung durch

Auslegen aller Dreiecke und

anschließendes Entfernen der Dummy-Kanten und ggf. Dummy-

Knoten


4.3 Graph Drawing

Verfeinerungsansatz/2

Alle Algorithmen nutzen spezielle Triangulierungseigenschaften durch

überschneidende aufspannende Bäume oder

kanonische Knotenaufzählungen

(Beim Entfernen der Dummy-Knoten können Knicke und Schnitte

entstehen.)


4.3 Graph Drawing


4.3 Graph Drawing

Kraftbasierter Ansatz

Kraftbasierte Ansätze sind intuitive Methoden für geradlinige Zeichnungen

ungerichteter Graphen.

Simuliert System von Kräften auf Eingabegraphen und gibt Zeichnung

minimaler Energie aus.

Zwei Knoten stoßen sich ab

Eine Kante hält zwei Knoten zusammen („anziehende“ Kraft)

Oft weitere Kräfte

Zentrumskraft um Zeichnung im View zu halten

Energieminimierung: einfache iterative Ansätze zur Lösung


4.3 Graph Drawing

Divide-and-Conquer Ansatz

Beliebtes Informatikprinzip wird auch bei Zeichnungen von Graphen gerne

benutzt

Zerlegt Graph in Teilgraphen, zeichnet diese und erhält letztlich eine

Zeichnung des gesamten Graphen

Besonders geeignet für Bäume


4.3 Graph Drawing

Topologischer Ansatz [Archambault, Munzner, Auber. TopoLayout: Multi-Level Graph Layout by Topological Features.

IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 13(2):305—317, 2006]

Idee:

1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener

Typen

2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung

a) Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus

b) Reduziere Kanten-Schnitte

c) Entferne Überlappungen von Knoten


4.3 Graph Drawing

Topologischer Ansatz

1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener Typen

a) Auswahl der Typen

a) Bäume

b) Bi-Connected Components

c) HDE

d) Fast vollständig

e) Cluster

b) Reihenfolge der Erkennung wichtig


4.3 Graph Drawing


1. Beispiel


4.3 Graph Drawing


2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung

a. Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus

b. Reduziere Kanten-Schnitte Rotieren der Subgraphen

c. Entferne Überlappungen von Knoten


4.3 Graph Drawing


Komplexität

𝑟𝑖: maximaler Grade eines Knotens im Teilgraphen der Ebene 𝑖

𝑑: Dimension des Raumes bei HDE

Algorithmus Komplexität

Erkennung

Baum 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)

Biconnected Component 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)

Connnected Component 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)

HDE 𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 + 𝐸𝑖))

Vollständig 𝑂(1)

Cluster 𝑂(𝑟𝑖 ∙ 𝐸𝑖)


4.3 Graph Drawing


Komplexität

𝑑: Dimension des Raumes bei HDE

𝐿: Anzahl Ebenen um Drehung zu berechnen

Algorithmus Komplexität

Initiales Layout

Bubble Tree 𝑂(𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖)

Walker Tree 𝑂(𝑁𝑖)

Zirkulär (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁𝑖)

GEM (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁𝑖3)

HDE (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖 + 𝐸𝑖))

Verfeinerung

Kreuzungsminimierung 𝑂(𝐿 ∙ 𝑁𝑖 ∙ 𝐸)

Überlappungsentfernung 𝑂(𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖)


4.3 Graph Drawing


Ergebnisse


4.3 Graph Drawing

Hierarchischer Ansatz

Der hierarchische Ansatz eignet sich besonders für das Layout von Bäumen und

gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) und verwendet ebenfalls drei Schritte

1. Der Schichtungsschritt verwandelt einen DAG in einen geschichteten

Digraphen, bei dem jedem Knoten eine Schicht 𝐿𝑖 zugeordnet wird, so dass

für alle Kanten (𝑢, 𝑣) gilt: 𝑢 ∈ 𝐿𝑖 ∧ 𝑣 ∈ 𝐿𝑗 ∧ 𝑖 < 𝑗

Nach Einfügen von Dummy-Knoten auf Kanten, die über mehr

als eine Ebene laufen - so dass jede Kante von einer Schicht 𝑖 zur

Schicht 𝑖 + 1 läuft - ist die ein echt geschichteter Digraph.

2. Bei Schnittreduzierung erhält jede Schicht eine Reihenfolge (Ordnung)

Reihenfolge bestimmt Topologie des Layouts.

Dabei wird Anzahl der Kantenschnitte minimiert.

3. Festlegen der x-Koordinaten legt x-Koordinaten der Knoten in den

Ebenen fest

Für endgültige Zeichnung ersetzt man Dummy-Knoten durch Knicke

Knicke können minimiert oder Symmetrien betont werden


4.3 Graph Drawing

Hierarchischer Ansatz/2

Für gerichtete Graphen wird eine minimale Anzahl von Kanten umgedreht,

um einen DAG zu erzeugen.

Diese werden aber in ihrer ursprünglichen Richtung gezeichnet.


Bett fig 2.7

4.3 Graph Drawing


4.3 Graph Drawing

Klassischer Algorithmus von Sugiyama, 1981 [K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda. “Methods for Visual Understanding of Hierarchical

Systems Structures”, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 11(2), pp. 109-125, 1981]

Sugiyama, 1989 [K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda, „Methodes for Visual Understanding of Hierarchical

Systems Structures“, IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, vol. 11, no. 2, pp. 109-125,

1989]

Problem der Schnittminimierung zwischen zwei Ebenen ist bereits NP-

hart

Heuristiken werden benötigt


4.3 Graph Drawing

Tutte, 1963 [W. Tutte, „How to Draw a Graph“, Proc. London Math. Soc., vol. 3, no. 13, pp. 743-768, 1963]

Heuristik legt eine Ordnung der ersten und letzten Ebene fest

Jeder Knoten soll im Schwerpunkt seiner Nachbarn (im Graphen) liegen

Die führt zu einem linearen Gleichungssystem

Vergleich von Heuristiken [M. Laguna and R. Marti, „Heuristics and Meta-Heuristics for 2-Layer Straight Line Crossing

Minimization“,

URL: http://www-bus.colorado.edu/Faculty/Laguna/, 1999].


4.3 Graph Drawing


4.4 Bäume

Eigenschaften von Bäumen

Eltern-Kind Relation

Relationen in der Regel gerichtet

Meist mit ausgezeichneten Knoten

Wurzel: keine eingehenden Kanten

Blätter: keine ausgehenden Kanten

Spezielle Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen

Optimal bezüglich Kriterien

Optimal bezüglich Zeitbedarf


4.4 Bäume

Beispiele von Bäumen

Organigramm einer Firma

Stammbaum

Taxonomie von biologischen Arten

Phylogenetische Bäume (Evolution)

Software Enginerring

Vererbungsbäume (manchmal auf DAGs)

Syntaxbäume


4.4 Bäume

Darstellungen

Bäume

Gerichtete azyklische Graphen

Graphische Darstellung

Node-Link-Diagramm

Platzfüllendes Diagramm

Kriterien

Platzeffizienz

Abstraktion von Information

Einfachheit

Navigation


4.4 Bäume

Horizontales/Vertikales Layout

Layout Kriterien

Eltern werden über ihren Kindern platziert

Knoten der gleichen Ebene (Abstand zur Wurzel) liegen auf der selben

horizontalen Linie

Reihenfolge der Kinder bleibt erhalten

Symmetrie: der Baum und sein Spiegelbild sollen sich entsprechen

Teilbäume werden mit den gleichen Regeln erstellt

Kleine Teilbäume werden gezielt angeordnet

Symmetrie: Kleine, innere Teilbäume werden gleichmäßig zwischen den großen

Teilbäumen verteilt

Kleine, äußere Bäume sollen nahe den großen Teilbäumen plaziert werden

Schmales, platzsparendes Layout


4.4 Bäume

Walkers Algorithmus [J. Walker. A Node-positioning Algorithm for General Trees. In Software-Practice and

Experience, 20(7). pp. 685-705, 1990.]

Verbesserung, die garantiert lineare Zeit benötigt [Buchheim, C., Jünger, M., and Leipert, S. 2002. Improving Walker’s Algorithm to Run

in Linear Time. In Revised Papers From the 10th international Symposium on Graph

Drawing (August 26 - 28, 2002). S. G. Kobourov and M. T. Goodrich, Eds. Lecture

Notes In Computer Science, vol. 2528. Springer-Verlag, London, 344-353.]


4.4 Bäume

Algorithmus benötigt zwei Druchläufe

Erster Durchlauf

Post-order (links-rechts-Wurzel)

Bestimme vorläufige Positionen

Komplette Teilbäume sind balanciert entsprechend den Layout-

Kritierien

Zweiter Durchlauf

Pre-order (Wurzel-links-rechts, Tiefensuche)

Berechnung der endgültigen Positionen

Komplexität: 𝑂(𝑛) 𝑛: Anzahl der Knoten


4.4 Bäume

Beispiel mit k Knoten

[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]


4.4 Bäume

Ausbalancieren der Teilbäume

Ergebnis

[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]


4.4 Bäume

Vorteile der Methode

Knoten der gleichen Ebene sind auf der gleichen horizontalen Ebene

Einfach

Symmetrie

Nachteile (im Allgemeinen)

Hoher Platzbedarf

Große Bäume werden sehr breit

Viel ungenutzte Zeichenfläche

Kein Platz für Bezeichner


4.4 Bäume

Radiales Layout

Konzentrische Kreise

Kinder gleicher Entfernung von der Wurzel liegen auf dem selben Kreis

Prinzipiell gleiche Kritierien wie horizontales Layout

[I. Herman, G. Melancon, M. De Ruiter, and M. Delest. “Latour - A Tree Visualization System”. In Proc. of the Symp. on Graph Drawing, GD’99, pp. 392-399, 1999.]


4.4 Bäume

Bäume können auch H-förmig ausgelegt werden

Wird für Chip-Layout verwendet [P. Eades, „Drawing Free Trees“, Bulletin of the Inst. For the Combinatorics and Its

Applications, pp. 10-36, 1992].


4.4 Bäume

[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE

FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]


4.4 Bäume




4.4 Bäume

3D

Layout-Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen wurden nach

3D portiert

Vorteile

Mehr Platz verfügbar

Selten Schnitte von Kanten

Nachteile

Probleme mit der Navigation

Verdeckungen

Design der Bezeichner


4.4 Bäume

[Herman I; Melancon G; Marshall MS. Graph visualization and navigation in information visualization: A survey. 2000.]


4.4 Bäume

Ansatz von Hong und Eades, 2003 [Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions, Algorithmica, vol. 36, no. 2,

2003.]

Teilbäume werden auf Teilebenen gezeichnet

Wird eine Partitionierung vorgegeben, so läuft der Algorithmus in linearer

Zeit

Berechnung der besten, balancierten Partitionierung ist NP-hard

[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]


4.4 Bäume

[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,

Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]



4.4 Bäume





4.4 Bäume

Cone Trees [G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d

visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New

Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]

3D Darstellung von Bäumen

Die Kindknoten sind auf einem Kreis mit Mittelpunkt Elternknoten auf

einer tieferen Ebene angeordnet.

Vorteile

Bessere Ausnutzung des verfügbaren Platzes

Focus & Context

Animation

Nachteile

Knoten verdecken sich


4.4 Bäume

Cone Trees [G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d

visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New

Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]

[C. Chen. Information Visualization. Springer, London, Berlin, Heidelberg, 2nd Edition, ISBN 1-85233-789-3, 2004 , page 308]

[C. Ware. Information Visualization: Perception for Design. 2nd Edition, Morgan Kaufman, San Francisco, ISBN 1-55860-819-2, 2004, page 286]

http://rw4.cs.uni-sb.de/~kerren/lehre/seminar/ss99/7/CTvrml.html


4.4 Bäume

Cone Trees

[http://www.fask.uni-mainz.de/user/warth/hypertext/diplom/Hypertext-3.5.5.html]


4.4 Bäume

Cone Trees [J. Carriere and R. Kazman, “Interacting with huge hierarchies: Beyond cone trees,“ in Proceedings

of the IEEE Symposium on Information Visualization, (Atlanta, GA), October 1995, 1995, pp. 74-81.]


4.4 Bäume

[C.-S. Jeong and A. Pang, “Reconfigurable disc trees for visualizing large hierarchical information

space," in Proceedings of the 1998 IEEE Symposium on Information Visualization (North Carolina,

October 19 - 20, 1998). INFOVIS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 1998, pp. 19-25.]


4.4 Bäume

Degree-of-Interest Trees [Card, S. K. and Nation, D. Degree-of-interest trees: a component of an attention-reactive user

interface. Advanced Visual Interfaces (AVI 2002). 2002, pp. 22-24. Trento, Italy.]

Traditionelle 2D Technik mit folgenden Erweiterungen

Darstellung basiert auf einer Einschätzung des Grades an Interesse

eines Benutzers

Knoten von geringem Interesse werden versteckt

Geometrische Skalierung der Knoten entsprechend dem DOI

Semantischer Zoom

Große, nicht-expandierte Zweige werden geclustert

Animation des Fokuswechsels


4.4 Bäume

Degree-of-Interest Trees

[http://davenation.com/doitree/doitree-avi-2002.htm]


4.4 Bäume

Botanische Bäume [E. Kleiberg, H. van der Wetering, and J. J. van Wijk. Botanical Visualization of Huge Hierarchies. In

Proceedings of the IEEE Symposium on Information Visualization ‘01, pp. 87-94, 2001.]

Botanische Metapher

Bäume werden als „reale“ Bäume dargestellt

Attribute der Blätter werden auf Farbe und Geometrie

abgebildet

Keine empirische Evaluation


4.4 Bäume

Botanische Bäume

[http://www.win.tue.nl/~vanwijk/botatree.pdf]


4.4 Bäume

Hyperbolische Bäume

In der hyperbolischen Geometrie gelten Gesetze von Euklid.

Aber: Zu einer Geraden gibt es mehr als eine parallele Gerade durch

einen festen Punkt außerhalb der Geraden.

Beim Kleinmodell (nach Felix Klein) wird Kreisscheibe in euklidischer

Ebene benutzt.

Punkte liegen alle innerhalb

Geraden sind Sekanten (enden auf dem Rand)

Für hyperbolische Länge gibt es eine

Formel, die Linienstücke gleicher

hyperbolischer Länge im euklidischen

Sinne zum Rand der Scheibe immer

kürzer werden lässt

Parallelen divergieren


4.4 Bäume

Hyperbolische Bäume [John Lamping, Ramana Rao, and

Peter Pirolli, “A Focus+Context

Technique Based on Hyperbolic

Geometry for Visualizing Large

Hierarchies”, Proceedings of the ACM

SIGCHI Conference on Human Factors

in Computing Systems, Denver, May

1995, ACM]

Inspiration: M. C.

Escher „Heaven and

Hell“

Focus & Context,

Fisheye

Animation für

Navigation in Ebenen


4.4 Bäume

Layout Hyperbolische Bäume

Rekursiver Algorithmus basierend auf lokaler Information

Jeder Knoten belegt ein keilförmiges Segment der Ebene

Alle Kinder werden entlang eines Bogens plaziert

Die Distanz wird so berechnet, dass alles Platz findet

Beobachtung

Da Parallelen divergieren, können die Keile der Kinder nicht überlappen

Das Layout kann inkrementell erzeugt werden

Die minimale Distanz zwischen Geschwistern bestimmt die darstellbare

Tiefe

Unbalancierte Bäume nutzen den Platz nicht optimal

Schließlich muss der Baum zurück in die euklidsche Ebene

transformiert werden


4.4 Bäume


Uniform

Tiefe: 5

Verzweigungsfaktor: 3


4.4 Bäume


Fokusänderung


4.4 Bäume


4.4 Bäume

3D – Verschiebung eines Knotens ins Zentrum

3D – Rotation um den selben Knoten

[Tamara Munzner, H3: Laying Out Large Directed Graphs in 3D Hyperbolic Space, 1997]


4.4 Bäume

Magic Eye View [Kreuseler, Matthias; Lopez, Norma; Schumann, Heidrun.: A Scalable Framework for Information

Visualization In: Proceedings IEEE Information Visualization 2000, Salt Lake City, Utah, Oktober

2000.]

Projektion auf eine 3D Halbkugel

Leicht skalierbar

Interaktive Änderung des Projektionszentrums ermöglicht

flexiblen Fokus auf jeden Teil der Hierarchie

Gebiete im Fokus werden vergrößert dargestellt

Der Rest wird verkleinert

Fokus & Kontext


4.4 Bäume

[M. Kreuseler, T. Nocke, H. Schumann,Integration of Cluster Analysis and Visualization Techniques for Visual Data Analysis,2003]

3 Ebenen 6 Ebenen

Fokus


4.4 Bäume

Diskussion Node-Link Darstellung

Vorteile

Leicht zu verstehen

Nachteile

Keine optimale Nutzung des Platzes

Es ist schwierig weitere Variablen für die Knoten anzuzeigen,

wenn man folgende Parameter verwenden will

Form

Farbe

Größe

Alle Möglichkeiten vertragen sich nicht mit der Node-Link

Struktur


4.4 Bäume

Platz-füllende Darstellungen

Versuchen zwei konzeptuelle Schwächen von Node-Link

Darstellungen zu beheben

Platzbedarf

Darstellungen zusätzlicher (komplexer) Attribute

Älteste und bekannteste Darstellung: tree-maps

Vorteile:

Sehr guter Überblick

Nachteile

In der Regel werden nur die Kinder dargestellt


4.4 Bäume

Tree-map (Baumkarte) [B. Johnson and B. Schneiderman, „Tree-Maps: A Space-Filling Approach to the Visualization of

Hierarchical Information Structures“, Proc. IEEE Visualization '91, pp. 275-282, 1991]

Die Hierarchie wird rekursiv auf Rechtecke abgebildet

Jedem Teilbaum wird ein Rechteck zugewiesen

Kinder werden innerhalb ihrer Eltern gezeichnet

In jeder Ebene wird abwechselnd horizontal und vertikal

unterteilt

Attribute können dargestellt werden durch

Fläche des Rechtecks (z.B. Größe)

Farbe des Rechtecks (z.B. Knotentyp)

Zusätzlicher Text (z.B. Bezeichner)


4.4 Bäume

Algorithmus (Darstellung eines Dateiverzeichnisses)

Zeichne tree map (Verzeichnis)

Wechsle Orientierung (Horizontal/Vertikal)

Lese alle Verzeichnisse und Dateien

Erzeuge für jedes Elements eine Rechteck, skaliert mit seiner

Größe

Zeichne die Rechtecke mit der berechneten Größe und der

Farbe entsprechend dem Knotentyp

Für jedes Verzeichnis

Zeichne tree map (Verzeichnis)


4.4 Bäume

Beispiel

Root-

Verzeichnis

b a c i

d e

f g h

Nach [Ware 2004]


4.4 Bäume

Beispiel

b a c i

d e

f g h

Nach [Ware 2004]


4.4 Bäume

Beispiel a

b

c

i

b a c i

d e

f g h

Nach [Ware 2004]


4.4 Bäume

Beispiel a

b

c

d e

i

b a c i

d e

f g h

Nach [Ware 2004]


4.4 Bäume

Beispiel

Nach [Ware 2004]

a

b

c

d e

f

g

h

i

b a c i

d e

f g h


4.4 Bäume

Vorteile

Gut geeignet auch für große, rekursive Hierarchien

Platzeffizienter als Baumdiagramme da raumfüllend (Space

Filling)

Große Elemente sind schnell sichtbar

Blattstruktur gut erkennbar

Nachteile

Standard-TreeMaps (ver-)brauchen Rand plus Fläche

Hierarchie selbst ist nicht gut erkennbar

Haben u.U. schlechtes Seitenverhältnis

Rechteckig statt quadratisch

Problematisch bei kleinen Dateien auf oberen Ebenen (lang und

schmal)


[Johnson, Shneiderman 1991]

4.4 Bäume

Platznutzung

Rand plus Fläche begrenzen

Elementgröße

Kleine Elemente sind schwierig

zu unterscheiden


4.4 Bäume

Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps [Wijk, Wetering, 1999]

Grate zum Betonen der Grenzen

Grate in zwei Orientierungen: Cushions / Kissen

z = ax2 + bx + cy2 + dy + e

+ =


4.4 Bäume

Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps [Wijk, Wetering, 1999]


4.4 Bäume

Beleuchtung der Elementfelder - Schwache Beleuchtung von

Rechtecken [Fekete, Plaisant, 2002]

Partitionsgrenzen

erhalten


4.4 Bäume

[Fekete, Plaisant, 2002]

1 Million Elemente


4.4 Bäume

Betonung der

Hierarchiegrenzen [Bruls et al., 2000]

Verstärkung

Beleuchtung der

Grenzen mit Graten

Verbraucht

zusätzlichen Platz


4.4 Bäume

Betonung der

Hierarchiegrenzen [Fekete, Plaisant, 2002]

Verstärkung

Beleuchtung der Grenzen

Verbraucht

zusätzlichen Platz


4.4 Bäume

Verbesserung des Seitenverhältnisses (aspect ratio)

Verhältnis der Rechteckseiten: Längere Seite / Kürzere Seite

Ideal: nahe 1 (Quadrat)

Bei großen Werten

Lange, schmale Rechtecke

Schwierig zu erkennen


4.4 Bäume

Verbesserung des Seitenverhältnisses

Kreisförmiges Layout [Wetzel 2004]

Gutes Seitenverhältnis

Gute Hierarchiedarstellung

Schlechte Platzeffizienz


Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „TIFF (LZW)“

benötigt.

4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Slice and Dice

Standardverfahren für TreeMaps

Erhält Reihenfolge (Ordnung)

Ist stabil

Bekannte Probleme

Vergleichproblem: Welches Rechteck ist größer?


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Cluster TreeMaps [Wattenberg 1999]

Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal

Freiheitsgrade werden zum Sortieren nach Ähnlichkeit genutzt

Man verliert aber ursprüngliche Ordnung

Gleichmäßigere Aufteilung

Slice and Dice Cluster TM


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps [Bruls et al. 2000]

Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal

Elemente teilen vorgegebene Fläche im Verhältnis auf

Unterteilt Hierarchieebenen nacheinander

Verliert Ordnung


4.4 Bäume


Unterteile in Richtung der kleineren Seite (fülle linke/obere Hälfte der längeren Seite)

bis Seitenverhältnisse nicht mehr besser werden (schlechter/gleich gut)

Wechsel zur leeren Seite (rechts/unten)

Lokales Optimierungsverfahren ähnlich zum steepest Gradient/Hill Climbing

Gute (aber nicht optimale) Lösung


4.4 Bäume



6

6

4

3

2 2 1

6

6

6 6

6

Aspektratio: 8/3 3/2 4/1

6 6 4

9/4

4

9/2

6

6 4 3

49/27

6

6 4 3 2

.... 6

6 4 3

2 2 1

25/9


4.4 Bäume




4.4 Bäume



Mit Hierarchieinformation (anderes Filesystem)


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Squarified vs. Cluster TreeMaps

Problem: Nicht Ordnung-erhaltend Dynamische Änderungen können zu völlig neuem Layout führen.

Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung.


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001]

Idee: Platziere Elemente, die in der Ordnung benachbart sind, in benachbarten Rechtecken

1. Sei P (Pivot-Element), das Element mit der größten Fläche

2. Unterteile Feld in vier Teile: R1, RP, R2, R3

3. Platziere P in RP

4. Verteile alle anderen Element auf drei Teillisten: L1, L2, L3, die alle leer sein können

5. Layout von L1, L2, L3 in R1, R2, R3, falls entsprechende Liste nicht leer

6. Unterteile einzelne Teilfelder rekursiv

Mit Teilung wird Lokalität heuristisch besser gewahrt


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001]

Teillisten:

Alle Elemente von L1 liegen vor P

Alle Elemente von L2 und L3 liegen nach P

Alle Elemente von L2 liegen vor denen von L3

Das Seitenverhältnis von P soll so nah an 1 wie möglich sein

|L3| 1


Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung

4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001, Bederson et al. 2002]

Drei Varianten für Pivot-Wahl: Größe (siehe oben)

Mittleres Element der Liste

Fläche von R1 und R3 sind etwa gleich


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap [Bederson et al. 2002]

Variation der Squarified TreeMap: Wechselkriterium

Horizontal oder Vertikal

Erstes Element einfügen mit entsprechender Höhe über ganze Zeile

Füge nächstes Element ein und passe Höhe an

Veränderung wie squarified tree map.

Letzter Strip problematisch.


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap [Bederson et al. 2002]


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen [Bederson et al. 2002]

Readability is better if the value is smaller


4.4 Bäume


Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen [Bederson et al. 2002]: Fläche: Marktkapitalisierung


4.4 Bäume

NewsMap [Weskamp et al., 2004]

TreeMap für Zeitungsartikel von GoogleNews

Größe referenziert auf Anzahl der verwandten Artikel

Farbe markiert Nachrichtentyp


4.4 Bäume


4.4 Bäume

Verbesserung des Flächenelements

Voronoi-TreeMap [Balzer, Deussen 2005]

Voronoi-Diagramm als Ebenenunterteilung

Fläche repräsentiert Größe

Farbe repräsentiert Hierarchietiefe

Guter Aspektratio (1) durch implizite Optimierung durch Voronoi-Zerlegung

Ungleichförmige Elemente


4.4 Bäume

Verbesserung des Flächenelements

Voronoi-TreeMap [Balzer et al. 2005]


4.4 Bäume

Circular Partitions [Onak et al., 2008]

Partitionierung der

Ebene (auch für höhere

Dimensionen)

Beliebige

Unterteilungsrichtungen


4.4 Bäume

Zusammenfassung

TreeMaps sind kompakte, dichte Darstellung

Gut für rekursive Baum-/Hierarchiedarstellungen

Hierarchie selbst nicht so gut sichtbar

Erhaltung von gutem Seitenverhältnis und der Ordnung wichtig

Interaktive Darstellung wichtig


4.4 Bäume

Beamtrees [F. van Ham and J.J. van Wijk, "Beamtrees : Compact Visualization of Large Hierarchies", Proc.

IEEE Conf. Information Visualization 2002, IEEE CS Press, pp. 93-100, 2002.]

Nachteil tree maps

Es ist schwierig, Betrachtungen über die Struktur der Hierarchie

anzustellen (z.B., die Tiefe des Baumes)

Beamtrees sind eine Variante der treemaps

Herausstellen der Struktur steht im Vordergrund

Idee: Knoten-Überlappung anstelle von Schachtelung

Geeignet für 2D und 3D Ansichten


4.4 Bäume

Beamtrees [van Ham, van Wijk, 2002]

Vergleich mit tree maps (slice-and-dice)


4.4 Bäume


2D


4.4 Bäume


3D


4.4 Bäume

Radial-Flächenfüllend Idee:

Verwende Kreis-Segmente für die Darstellung von Baumknoten

Von innen nach außen mehr Platz


4.4 Bäume

Semi-Circular Discs [Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies

using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,

9-12.]

Verwendet zwei Halbkreise um große Hierarchien anzuzeigen

Jede Scheibe stellt mehrere Ebenen der Hierarchie dar

Fokus & Context

Fokus: Ausdehnung der zweiten Scheibe

Textuelle Attribute werden in separaten Bereichen dargestellt,

nicht in der Graphik selbst

Kodierung

Farbe: Typ

Winkel: Größe


4.4 Bäume

Semi-Circular Discs [Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies

using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,

9-12.]


4.4 Bäume

Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang. "Focus+Context Display and Navigation Techniques for Enhancing

Radial, Space-Filling Hierarchy Visualizations", p. 57, IEEE Symposium on Information Visualization

2000.]

Erweiterung der Semi-Circular Discs um animierte Transitionen

und Interaktion

Fokus & Kontext:

Winkel Detail

Detail außen

Detail innen

Empirische Studie bestätigt Vorteile gegenüber tree maps

Zeitbedarf für Navigation

Erlernbarkeit

Bevorzugung

Kodierung wie Semi-Circular Discs


4.4 Bäume

Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang 2000.]

[JOHN STASKO, An evaluation of space-filling information visualizations for depicting hierarchical structures, 2000]

Kopie von Andreas_Vorlesung_06_07_ORIGINAL/sunburst1.mpg


4.4 Bäume


Winkel Detail


4.4 Bäume


Winkel Detail

Überblick wird verkleinert

Die Fokus-Region wächst keilförmig aus der Peripherie

Vorteile

Intuitive

Nachteile

Nicht sehr Platzsparend


4.4 Bäume


Detail außen


4.4 Bäume


Detail außen

Überblick wird verkleinert

The Fokus-Region bildet einen Ring um den Kreis

Vorteile

Platzsparend

Nachteile

Nicht so intuitiv

Anfang der vergößerten Region ist unklar


4.4 Bäume


Detail innen


4.4 Bäume


Detail innen

Überblick wir vergrößert

Die Fokus-Region bilder einen Ring in dem Kreis

Vorteile

Sehr platzsparend

Nachteile

Wahrscheinlich am wenigsten intuitiv

Starke Verzerrung


4.4 Bäume

InterRing [Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface

for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]

Erweiterung des Sunburst-Ansatzes

Mehrere Fokus-Punkte

Unterschiedliche Radien für verschiedene Hierarchieebenen

Vierte Interaktionstechnik

Vergrößerung des Winkels in der Fokus-Region

Komprimierung der anderen


4.4 Bäume



Winkel


4.4 Bäume



Radius


4.4 Bäume

Icicle Plots [J.B. Kruskal and J.M. Landwehr, Better Displays for Hierarchical Clustering, The American

Statistician, May 1983, Vol.- 37, No. 2.]

Vergleich der ‚modernen‘ Version mit anderen Techniken

Organization

Chart

Tree ring Icicle Plot Treemap


4.5 Graphen

Alle besprochenen Baum-Layout-Algorithmen sind vorhersagbar

Bei gleichem Eingabegraphen liefern sie gleichen das gleiche

Layout

Isomorphe Teilbäume werden gleich behandelt

→ sehr sinnvolle Eigenschaft für Visualisierung


4.5 Graphen

Das Layout von gerichteten Graphen wird in der Regel mit dem

Sujiyama Algorithmus und verschiedenen Heuristiken

durchgeführt

Gleicher Input erzeugt das gleiche Layout (falls dieselbe Heuristik

verwendet wird)

Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche

Layout


4.5 Graphen

Ungerichtete Graphen können auf verschiedene Weisen

behandelt werden

Nicht alle Algorithmen liefern zu den gleichen Eingabegraphen das

gleiche Layout

Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche

Layout


4.5 Graphen

Kraftbasierte Methoden orientieren sich an einem

physikalischen Modell mit Kräften bzw. potentieller Energie

Energie wird minimiert

Das Optimierungsproblem wird lokal gelöst


4.5 Graphen

Spring Embedder

Im Graph Drawing zuerst von P. Eades eingeführt (1984)

Zwei Kriterien

Symmetrie

Einheitliche Länge der Kanten

Gerade Linien

Kräfte

Abstoßende Kräfte (Ladungen) zwischen den Knoten

Federkraft für die Kanten


Spring Embedder

Knoten

Positiv geladene Teilchen

𝑔𝑢𝑣: elektrische Abstoßung von 𝑣 durch 𝑢

Kanten

Feder mit vorgegebener Ruhelänge 𝑙𝑢𝑣

𝑓𝑢𝑣: die Kraft durch die Feder zwischen u und v

𝑔𝑢𝑣 und 𝑓𝑢𝑣 wirken jeweils auf 𝑢 und 𝑣

Kraft auf 𝑣

𝐹 𝑣 = 𝑓𝑢𝑣{𝑢,𝑣}∈𝐸

+ 𝑔𝑢𝑣{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉

4.5 Graphen


Spring Embedder

Genauer gilt

𝐹 𝑣 = 𝑘(1)𝑢𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣) − 𝑙𝑢𝑣

𝑝𝑢 − 𝑝𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)

{𝑢,𝑣}∈𝐸

+ 𝑘(2)𝑢𝑣1

(𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣))2

𝑝𝑢 − 𝑝𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)

{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉

Mit

Zeichnungspositionen 𝑝𝑢, 𝑝𝑣

Euklidischem Abstand 𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)

Federkonstanten 𝑘(1)𝑢𝑣

Ladungsbasierter Abstoßungsstärke 𝑘(2)𝑢𝑣

4.5 Graphen


Spring Embedder

Lösung mit numerischen Verfahren mit häufig genutztem intuitiven

Ansatz

1. Plaziere Knoten zufällig in der Ebene

2. Berechne Kraft 𝐹(𝑣) für alle Knoten 𝑣

3. Bewege jeden Knoten 𝑣 ein kleines Stück in Richtung 𝐹(𝑣)

4. Wenn Kräfte nicht annähernd Null sind und das Maximum an Iterationen

nicht erreicht ist, gehe zu 2.

Alternative, schnellere Ansätze liefert beispielsweise Numerik

gewöhnlicher Differentialgleichungen

4.5 Graphen


Spring Embedder

4.5 Graphen


4.5 Graphen

Spring Embedder


Spring Embedder

Probleme

Hohe Laufzeit: 𝑂 𝑛2

Möglicherweise nicht effizient für große Graphen

Sehr empfindlich gegenüber Veränderungen im Graphen

Hinzugefügte oder entfernte Knoten

Hinzugefügte oder entfernte Kanten

4.5 Graphen


Spring Embedder

Verbesserungen

Hinzufügung lokaler minimaler Energien

Kamada and Kawai, 1989 [T. Kamada and S. Kawai. An Algorithm for Drawing General and Undirected Graphs.

Information Processing Letters, 31(1), pp. 24-38, 1989]

Iterative, force-directed node placement

Fruchterman and Rheingold, 1991 [T. Fruchterman and E. Rheingold. Graph Drawing by Force-directed Placement.

Software – Practice and Experience, 21, pp. 1129-1164, 1991]

Simulated Annealing

Davidson and Harel, 1996 [R. Davidson and D. Harel. Drawing Graphs Nicely Using Simulated Annealing. ACM

Transactions on Graphics, 15(4), 301-331, 1996]

4.5 Graphen


Baryzentrische Methode [Tutte. Convex Representation of Graphs. Proc. of London Mathematical Society 10(3):304-320,

1960],

[Tutte. How to Draw a Graph, Proc. of London Mathematical Society 13(3):743-768, 1963]

Vor der Methode von Eades entwickelt

Fixiert eine ausgewählte Menge von Knoten als konvexen Rand der

Zeichnung.

Nutzt Federn der Länge 0

Die Energiefunktion lautet

𝐹 𝑣 = (𝑝𝑢 − 𝑝𝑣)

{𝑢,𝑣}∈𝐸

4.5 Graphen


Baryzentrische Methode

Für fixierte Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erhält man so folgende lineare Gleichungen

𝑝𝑣 =1

deg 𝑣 𝑝𝑤𝑤∈𝑁0 𝑣

+ 𝑝𝑢𝑢∈𝑁1 𝑣

𝑁0(𝑣): fixierte Nachbarn von 𝑣

𝑁1(𝑣): freie Nachbarn von 𝑣

deg 𝑣 = 𝑁0 + |𝑁1|

Bedeutung:

Jeder Knoten wird als Schwerpunkt (Barycenter) seiner Nachbarn gezeichnet

4.5 Graphen


4.5 Graphen


4.5 Graphen

Baryzentrische Methode

Theorem:

Sei 𝐺 ein dreifach zusammenhängender Graph,

sei 𝑓 eine Facette einer planaren Einbettung von 𝐺 und

sei 𝑃 eine streng konvexe Zeichnung von 𝑓. Dann liefert Barycenter-Draw eine konvexe, planare Zeichnung

von 𝐺 mit fixierten Ecken von 𝑓


4.5 Graphen


4.5 Graphen

Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte [Kamada, Kawai. An Algorithm for Drawing Undirected Graphs. Information Processing Letters

31(1):7-15, 1989]

Definition:

Sei 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ein zusammenhängender Graph. Für zwei Knoten 𝑢, 𝑣 heißt die Länge 𝛿(𝑢, 𝑣) des kürzesten Weges graphentheoretische

Distanz.

Ziel dieser Ansätze ist Übereinstimmen von euklidischer Distanz in

der Zeichnung und graphentheoretischer Distanz im Graphen


4.5 Graphen

Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte

Kamada und Kawai wählen daher 𝑘𝑢𝑣 ≔𝑘

𝛿(𝑢,𝑣)2 mit Konstante 𝑘

Die potentielle Energie der Feder zur Kante {u,v} wird gesetzt auf

𝜂{𝑢,𝑣} =𝑘

2

𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣𝛿(𝑢, 𝑣)

− 1

2

Die potentielle Energie der gesamten Zeichnung wird gesetzt auf

𝜂 =𝑘

2 𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣𝛿(𝑢, 𝑣)

− 1

2

𝑢,𝑣∈𝑉𝑢≠𝑣

Dieser Wert wird dann iterativ minimiert

Nach allen Knotenpositionen ableiten

Knoten in Richtung mit größter Ableitung bewegen


4.5 Graphen

Magnetische Felder [Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language

Computation 6(3), 1995].

Man kann Federn auch magnetischen Kräften aussetzen, um sie

möglichst gleich auszurichten.

Dabei werden einige oder alle Federn im Modell magnetisiert .

Es wirkt ein globales magnetisches Feld in senkrechter,

waagrechter oder radialer Richtung (mit Zentrum).


4.5 Graphen

Magnetische Felder [Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language

Computation 6(3), 1995].

Federn sind wie folgt modelliert:

Unidirektional mit Tendenz zur Ausrichtung in Feldrichtung, oder

bidirektional mit Ausrichtung nur parallel zum Feld


4.5 Graphen

Magnetische Felder

Unidirektionale Federn und magnetische Kräfte erlauben Auslegen

von Digraphen.


4.5 Graphen

Allgemeine Energiefunktionen

Neben kontinuierlichen Energieansätzen können auch diskrete

Ästhetikmaße als Energien genutzt werden

Anzahl der Kantenschnitte

Anzahl der vertikalen und horizontalen Kanten

Anzahl der Knicke

Dabei verwendet man als Energie der Zeichnung

𝜂 = 𝜆1𝜂1 +⋯+ 𝜆𝑘𝜂𝑘

Wobei die 𝜂𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑘 einzelne Kriterien messen

li sind die Gewichtungen der Einzelenergien


4.5 Graphen

Allgemeine Energiefunktionen

Die 𝜂𝑖 können folgende Energien enthalten

Potentielle Federenergien

Potentielle elektrische Energien

Potentielle magnetische Energien


4.5 Graphen

Beispiel allgemeiner Energien [Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on

Graphics 15(4):301-331, 1996]

Davidson und Harel verwenden vier Teile

𝜂 = 𝜆1𝜂1 + 𝜆2𝜂2 + 𝜆3𝜂3 + 𝜆4𝜂4

𝜂1 simuliert eine Art elektrischer Abstoßung

𝜂1 = 1

(𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣 )2

𝑢,𝑣∈𝑉

𝜂2 bestraft das Annähern an den Rand

𝜂2 = 1

𝑟𝑢2 + 𝑙𝑢

2 + 𝑡𝑢2 + 𝑏𝑢

2

𝑢∈𝑉

mit Randabständen 𝑟𝑢, 𝑙𝑢, 𝑡𝑢, 𝑏𝑢


4.5 Graphen

Beispiel allgemeiner Energien [Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on

Graphics 15(4):301-331, 1996]

𝜂3 bestraft zu lange Kanten

𝜂3 = (𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣 )2

{𝑢,𝑣}∈𝐸

𝜂4 hält die Anzahl der Kantenschnitte gering


4.5 Graphen

Nachteile der Energie-basierten Ansätze

Finden nicht immer die beste Lösung

Sind stark parameterabhängig


4.5 Graphen

Vorteile der Energie-basierten Ansätze

Lassen sich gut verbinden mit Einschränkungen (Constraints)

Festgelegte Positionen einiger Knoten

Fixierte Teilgraphen

Als Energie beschreibbare Beschränkungen

Bemerkungen

Kraftbasierte Methoden benötigen oft viel Rechenaufwand

Daher effiziente Minimierungsmethoden nötig

Auf Zufallsbasis (Simulated Annealing, Behandlung steifer

Differentialgleichungen, Kombinatorische Vorbehandelung)

Geeignete Heuristiken


4.5 Graphen

Clustering

Insbesondere, wenn Graph zu groß für Darstellung ist, kann man ihn

vereinfachen

In einigen Anwendungen sind die Graphen bereits geclustert

Allgemein: Clustering der Knoten mit folgenden Grundprinzipien

Structural-Clustering: es wird nur aufgrund der Struktur des Graphen

zusammengefasst

Content-based Clustering: es wird die Semantik (insbesondere der

Knoten) mit berücksichtigt

Fast alle Verfahren basieren auf Structural-Clustering

Es ist einfacher umzusetzen

Der Ansatz kann auf jeden Graphen unabhängig von der

Anwendungsdomäne angewendet werden


4.5 Graphen

Clustering

Es werden praktisch immer disjunkte Cluster erzeugt

Aus Clustern wird neuer Graph erzeugt

Cluster werden zu Knoten

Es wird eine Kante zwischen Clustern gebildet, wenn eine Kante

zwischen Elementen der Cluster existiert


4.5 Graphen

Clustering

Für Clustering ist Metrik der Knoten nötig

Metriken können strukturell oder inhaltsbasiert sein und ergeben so

die beiden Typen des Clusterings.

Metrik von Furnas mischt die Distanz von einem Knoten zum anderen

mit dem gewünschten Detailgrad für den jeweiligen Bereich des

Graphen [Furnas, Generalized Fisheye Views, Human Factors in Computing Systems, CHI'86 Conference

Proceedings, 1986, 16-23]


4.5 Graphen

Clustering

Man kann Knoten und Kanten auch einfach einen Relevanzwert

geben [Kimelman, Leban, Roth, Zernik, Reduction of visual complexity in dynamic graphs, Proc. Symp.

Graph Drawing GD'94, 1994]

Für die Repräsentation gibt es drei verschiedene Ansätze

Ghosting: unwichtige Kanten und Knoten treten in Hintergrund

Hiding: unwichtige Elemente weglassen

Grouping: unwichtige Elemente zusammenfassen


4.5 Graphen


4.5 Graphen

Clustering

Ansatz von Noack und Lewerentz (Software Systeme) [A. Noack and C. Lewerentz. “A Space of Layout Styles for Hierarchical Graph Models of Software

Systems”. ACM SoftVis’05, 2005]

Drei Layout-Kriterien

Clustering

Repräsentation der Hierarchie

Verzerrung

Verwendet ein Energiemodell mit drei Parametern (𝑐, ℎ, 𝑑)

Finde eine Layout, das die Gesamtenergie des Systems minimiert

Anwendung

Vererbung

Methoden-Aufrufe


4.5 Graphen

Clustering (Noack, Lewerentz)

Ein hierarchischer Graph 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein gerichteter Graph 𝐺 zusammen

mit einem gerichteten Baum 𝑇, so dass alle Blätter von 𝑇 genau die Knoten

von 𝐺 sind.

𝑇 heißt hierarchischer Baum von 𝐺.

Graph Hierarchical tree

111 112 113

13 122 121

1

11 12 13

121 122 113 112 111


4.5 Graphen


Die Ansicht eines hierarchischen Graphen 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein Graph

(𝑉, induced 𝑉 ), so dass die Menge 𝑉 für jeden Knoten von 𝐺 genau einen

Vorgänger in 𝑇 enthält. (Abstraktion eines hierarchischen Graphen)

111 112 113

13 122 121

1

11

122 121 13


4.5 Graphen


𝑐 ∈ (0,1] ist der Clustering Parameter

c = 0.2 c = 0.5 c = 1.0


4.5 Graphen


ℎ ∈ [0,1] ist der Hierachie Parameter

𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0

Oberstes Package Packages der 3. Ebene Oberste Ebene der Klassen


4.5 Graphen


d ∈ [0,1] ist der Verzerrungs Parameter

𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0

d = 0,0 d = 0,5 d = 1,0


4.5 Graphen

3D Graph Drawing

Klassische 2D Algorithmen werden auf 3D erweitert (siehe auch den

Abschnitt über Bäume)

Probleme

Navigation

Überlappungen (Überdeckungen)

Mental map (kognitive Karte)


4.5 Graphen

3D Graph Drawing: Linux Kernel

[http://www.pabr.org/kernel3d/kernel3d.html]


4.5 Graphen

3D Orthogonal graph drawing

[D.R. Wood. Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing. PhD Thesis, School of Computer Science and Software Engineering, Monash University, Australia, 2000.] [http://www.cs.nthu.edu.tw/~spoon/3G_Lab/Projects/ortho_drawing.htm]


4.6 Dynamische Graphen

Netzwerke können sich im Laufe der Zeit verändern

Biochemische Netzwerke werden durch neu entdeckte Pfade

ergänzt

Soziale Netzwerke: neue Kontakte

Evolution von Software

Die Darstellungen sollten die „Mental Map“ erhalten

„Alte Strukturen“ sollten leicht wiedererkannt werden

[K. Misue, P. Eades, W. Lai, and K. Sugiyama, “Layout Adjustment and the Mental Map”,

Journal of Visual Languages and Computing 6 (1995), 183-210.]



Morphing

Visualisierung des Übergangs von einem Layout zum nächsten durch

stetige, ruckfreie Animationen (‚smooth animations‘)

Vorteile

Ästhetisch ansprechend

Nachteile

Knoten ändern ihre Position

Neue oder entfernte Knoten werden unter Umständen nicht erkannt



Morphing

Morphing kann auf jedes 2D und 3D Layout angewendet werden

Wenn ein Knoten eine neue Position im neuen Layout erhält, wir ein

Animationspfad berechnet, der zwischen alter und neuer Position

interpoliert

GraphAEL [C. Erten, P. J. Harding, S. G. Kobourov, K. Wampler, and G. Yee, “GraphAEL: Graph

Animations with Evolving Layouts”, 11th Symposium on Graph Drawing (GD), p. 98-110, 2003.]

Verwendet eine Kraft-basierte Methode



Morphing

[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]



Foresighted Graph Layout [S. Diehl, C. Görg, and A. Kerren. “Preserving the Mental Map using Foresighted Layout”. In

Proceedings of Joint Eurographics - IEEE TCVG Symposium on Visualization, VisSym’01, Springer

Verlag, 2001.]

Voraussetzung

Die Graphensequenz ist bekannt

Die Graphensequenz kann vorab berechnet werden

Idee

Berechne den Super-Graphen der Graphensequenz

Platziere die Knoten optimal entsprechend dem Super-Graphen

Zeichne die Knoten des aktuellen Graphen an den festgelegten

Positionen

Zeichne die Kanten des aktuellen Graphen



Foresighted Graph Layout

Vorteile

Die „Mental Map“ bleibt erhalten

Kann mit jedem Graph-Layout verwendet werden

Nachteile

Oft ist die Graphensequenz nicht vorab bekannt

Zum Teil schlechte Ästhetik



Foresighted Graph Layout

[Stephan Diehl. Carsten Görg. Andreas Kerren, Preserving the Mental Map using Foresighted Layout, 2000]



Adaptiv, Kraft-basiert [Y. Frishman, Dynamic Drawing of Clustered Graphs, InfoVis 2007]


4.7 InfoVis Techniken

Visualization of internet traffic [http://www.unc.edu/depts/jomc/academics/dri/011/growth.html]

Byte traffic into the ANS/NSFnet T3 backbone



Visualisierung von Netzwerken: SeeNet [Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]



Visualisierung von Netzwerken: SeeNet3D [Kenneth C. Cox, Stephen G. Eick, Taosong He, 3D Geographic Network Displays, 1996]



Abstammungsbäume [Bezerianos et al. : GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]



Abstammungsbäume [Bezerianos et al. GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]



Abstammungsbäume [Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis

2005]




2005]



Dynamische Darstellung von Knoten und Kanten [Pak Chung Wong, Patrick Mackey :Dynamic Visualization of Graphs with Extended Labels,

INFOVIS, 2005]



Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates (Semantischer

Träger) [B. Shneiderman and A. Aris. Network Visualization by Semantic Substrates. IEEE Transactions on

Visualization and Computer Graphics, 12(5), pp. 733-740, 2006]

Idee

Layout basiert auf Benutzer-definierten Semantic Substrates

Keine Überlappung der Bereiche der Knoten

Die Plazierung der Knoten hängt von ihren Attributen ab

Verwendung von Slidern

Um die Sichtbarkeit von Kanten zu kontrollieren

Um Kantendurcheinander zu entschärfen



Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates

htt

p://w

ww

.cs.u

md

.edu

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s/p

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tatio

ns/N

VS

S-3

_file

s/fra

me

.htm



Hybride Visualisierung [N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]



Hierarchien [D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in

Graphs, PacificVis 2009]



Kantenbündel (Edge Bundles) [Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data,

InfoVis 2006]



Graph-Motive (Graph Motifs) [T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST

2009]




2009]



Hybrid Visualisierung und Clustering [V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,

PacificVis 2010]




PacificVis 2010]


4.8 Ausblick

Offene Fragen und Trends

Einige Graphentypen sind bisher weniger beachtet worden:

Hypergraphen lassen sich als bipartite Graphen auffassen

Für jede Hyperkante ein Zusatzknoten einfügt wird

Dieser wird dann mit den übrigen Knoten der Hyperkante verbunden

Die Zeichnung kann dann mit einem Standard-Algorithmus erfolgen

Anwendungen (z. B. Stoffwechsel in der Biologie) erfordern besondere

Erweiterungen, die Gegenstand aktueller Arbeiten sind


4.8 Ausblick

Offene Fragen und Trends

Visualisierung sehr großer Graphen mit mehreren Millionen oder

gar Milliarden Knoten und Kanten

Der Abstammungsbaum aller biologischen Arten

Alle Webseiten

Netze: Festnetztelefone, Handynetz, Internet

Soziale Netzwerke

Ansätze des Graphenzeichnens müssen mit schneller Interaktion

und effizienten Datenstrukturen verknüpft werden


Literatur

Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and Navigation in Information

Visualization: A Survey. IEEE TVCG 6(1): 24-43, 2000

G. Di Battista, P. Eades, R. Tomassia, I. G. Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall,

Upper Saddle River, NJ, USA, 1999

Roberto Tamassia, ed. Handbook of Graph Drawing and Visualization. CRC Press

2014.

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