UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELaurate International UniversitiesFACULTAD DE INGENIERA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

Curso: Resistencia de Materiales IAPLICACIONES DE SISTEMAS HIPERESTTICOS

DA Y HORA: mircoles 4 de diciembre - 2:00 pmDOCENTE: CHILET CAMA WILBER CASTAEDA, Vctor FLORES ALMAZN, Jhonatan Marcelo KJURO AUCCA, Francisco LISANA CORTEZ, Alexander

Lima Per2013

Dedicamos este trabajo a todos los estudiantes de la carrera de ingeniera civil de la Universidad Privada del Norte y a nuestras familias que siempre creyeron en nosotros.

INDICEINTRODUCCIN4FORMULACIN DEL PROBLEMA5OBJETIVOS5OBJETIVO PRINCIPAL5OBJETIVOS ESPECIFICOS5JUSTIFICACIN5MARCO TERICO6Clasificacin de las Estructuras.6Sistemas hiperestticos7Mtodo De Los Tres Momentos7Teorema De Castigliano8SOLUCIN DEL PROBLEMA14Calculo de la carga de servicio14Comprobacin Con Mtodo De Superposicin20CONCLUSIONES22RECOMENDACIONES22ANEXOS23

INTRODUCCINSe conoce como estructura Hiperesttica, a aquella estructura que en esttica se encuentra en equilibrio, destacando que las ecuaciones que expone la esttica no son suficientes para saber las fuerzas externas y reacciones que posee. La hiperestaticidad se encuentra en varias formas, como las siguientes: Una estructura es internamente hiperesttica, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar sus esfuerzos. Una estructura es externamente hiperesttica, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar las fuerzas de reaccin que hay desde la estructura al suelo. Una estructura es completamente hiperesttica, esto requiere que la estructura sea interna y externamente hiperesttica. Un problema que muestre estas caractersticas, tiene que resolverse tomando en cuenta la elstica del material en que est confeccionada la estructura, para as poder determinar y saber cules son las ecuaciones adecuadas que se van a aplicar, con la finalidad de poder resolver el problema estructural y sus deformaciones

FORMULACIN DEL PROBLEMACmo calcular reacciones en Sistemas hiperestticos en casos reales?

OBJETIVOSOBJETIVO PRINCIPAL Encontrar el valor de las reacciones.OBJETIVOS ESPECIFICOS Mostrar mtodos para sistemas hiperestticos. Demostrar el teorema de castigliano. Resolver un caso con Mtodo de tres Momentos y comprobar con el mtodo de Superposicin.

JUSTIFICACINCon este proyecto buscamos incrementar nuestra sed de investigacin tratando un nuevo tema para nosotros tal es el caso de Sistemas hiperestticos, buscando mtodos usados en los libros para dar solucin a problemas relacionados a este tema. En este caso fue un tema de investigacin y aplicacin por que se trato de llevar la teora a un caso real, y encontrar la solucin.

MARCO TERICOClasificacin de las Estructuras.Una estructura, en general est formada por elementos interconectados, los cuales independientemente de su forma, se consideran en una, dos o tres dimensiones. En realidad un elemento tiene siempre tres dimensiones: longitud, anchura y espesor; sin embargo, si la anchura y el espesor son pequeos en comparacin con la longitud, como en el caso de vigas y columnas, tales elementos pueden considerarse como unidimensionales. En el caso de placas y cscaras, el espesor es normalmente ms pequeo que la longitud y la anchura del elemento; de ah que las placas y cascaras se consideran bidimensionales. Como para las relaciones entre longitud, anchura y espesor no hay una delimitacin clara, de acuerdo con la cual los elementos puedan clasificarse como unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, esto queda enteramente a juicio del ingeniero y a la exactitud esperada de los resultados.Las estructuras pueden dividirse en las tres categoras siguientes considerando sus elementos como de una, dos o tres dimensiones. Estructuras de esqueleto Estructuras laminares SlidosEsta clasificacin el resultado de la idealizacin de las estructuras con ciertas aproximaciones e hiptesis.Las estructuras por su comportamiento esttico, pueden clasificarse como: Inestables. Estables Las estructuras inestables, son aquella q al aplicar un pequeo empuje, pierden su equilibrio. Al menos que estas sean de una naturaleza especial.Las estructuras estables, son aquellas capaces de soportar un sistema general de cargas cuyos valores tienen un lmite de manera que no ocurra la falla por deformacin excesiva.Estas estructuras estables pueden ser: Estticamente determinadas; Estructura que puede ser analizada mediante los principios de la esttica; la supresin de cualquiera de sus ligaduras conduce al colapso. Tambin llamada estructura isosttica. Estticamente indeterminadas;Estructura en la cual los principios de la esttica (condiciones de equilibrio) resultan insuficientes y se recurre a ecuaciones adicionales. (Estructura hiperesttica).Sistemas hiperestticosLos sistemas hiperestticos son aquellos casos que no pueden ser resueltos con las ecuaciones de la esttica.

Las que no son suficientes debido al nmero de incgnitas.Se debe recurrir entonces a la deformacin del componente o estructura, que permita el planteo de ecuaciones adicionales para poder resolver el problema. Mtodos de clculo para estructuras hiperestticas Mtodo matricial de la rigidez Mtodo de Cross Teoremas de Castigliano Teoremas de Mohr Teorema de los tres momentos Principio de los trabajos virtuales Mtodo De Los Tres MomentosEl ingeniero francs Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuacin fundamental de los tres momentos.La ecuacin de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura.Entonces, este mtodo sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperesttica, o en puntos caractersticos o notables de la viga.Al aplicar la ecuacin fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los trminos del corrimiento del segundo miembro de la ecuacin sern nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuacin que contiene, como nicas incgnitas, a los momentos en los apoyos.La ecuacin de los Tres Momentos para vigas continas de tres apoyos es:

Teniendo esta expresin se proceder a resolver la viga continua de dos tramos con carga uniformemente distribuida.

Teorema De Castigliano

Principio de superposicin Mtodo de la Superposicin Tabla de deflexiones y pendientes

Siempre que la magnitud de un efecto por determinar sea funcin lineal de las cargas aplicadas, la magnitud buscada puede encontrarse considerando cada carga en accin independiente y luego superponiendo los resultados. As, se obtiene el efecto deseado debido a la accin simultnea de todas las cargas. En Mcanica de Materiales, este principio es vlido para esfuerzos, deformaciones unitarias, momentos flectores, deflexiones en vigas y cargas sobre columnas.En el caso de deflexiones en vigas, el principio de superposicin es vlido en las siguientes condiciones: El material cumpla la Ley de Hooke Las deflexiones y rotaciones en la viga sean pequeas Las deflexiones no alteren las cargasEstas condiciones garantizan que las ecuaciones diferenciales de la elstica sean lineales, validando el principio de la superposicin.

Es un procedimiento utilizado para obtener deflexiones y pendientes en puntos especficos de vigas. Concepto: En condiciones adecuadas, la deflexin de una viga producida por varias cargas diferentes que actan simultneamente, puede encontrarse superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas actuando separadamente.

Sea un cuerpo elstico enR3 sobre el que actan un conjunto de fuerzas generalizadas X1, ..., Xn aplicadas sobre los puntos del slido A1, ...,An y llamamos UT (X1, ...,Xn) a la energa potencial elstica o potencial interno. Entonces la relacin entre la deformacin i del punto Ai y Xi viene dada por:

Relacin Geomtrica con el momento flector

(1)

(2)

Las fuerzas generalizadas se refieren tanto a las fuerzas como a los momentos de las fuerzas. En el caso de las primeras, Xi = Fi, la deformacin i = yi es la distancia entre dos puntos, antes y despus de la deformacin, como se muestra en la figura (I). Si Xi = Mi es un momento aplicado en i, entonces , es decir la tangente de la deformacin en el punto de aplicacin del momento.

Figura I: Deformacin

1.1 Ejemplo 1: Sistema Isosttico

En la figura (I) se muestra una viga de longitud L empotrada en su parte izquierda, y sometida a una carga F en su extremo. Vamos a calcular la deformacin inducida utilizando el primer teorema de Castigliano.

La energa potencial elstica almacenada en la viga puede calcularse mediante la expresin:

En este caso el momento flector es M(x) = F(x L)

Segn el primer teorema de Castigliano,

Por lo que,

Y por tanto la deformacin i = yi es,

2) Sistemas Hiperestticos

Se dice que un sistema tiene grado de hipersestaticidad G, cuando son necesarias G ecuaciones extras, adems de las correspondientes a las condiciones de equilibrio.

En equilibrio esttico:

Si N +M es el nmero de ecuaciones independientes y V es el nmero de incgnitas (en nuestro caso, reacciones en vnculos), G = V N M.

2.1 Sistemas de primer orden

2.1.1 Ejemplo 1:

En la viga de la figura (2), el vnculo B introduce una nueva incgnita en el sistema de ecuaciones estticas:

Figura 2: Ejemplo 2

Como se deduce del diagrama de cuerpo libre de la figura (3).

Para calcular las reacciones en los vnculos, podemos volver a utilizar el primer teorema de Castigliano. En este caso podemos utilizar el desplazamiento o su derivada.

En los empotramientos e = 0 y e/x = 0

Primer mtodo; La deformacin i en A es igual a cero,

Figura 3: DCL

Esta ltima expresin nos permite conocer una nueva relacin entre las incgnitas (Ra, Rb, Ma).Pero antes tenemos que calcular el momento flector y su deriva respecto a Ra en el nico tramo de la viga.

La expresin (8), utilizando la relacin (5) para conocer la derivada parcial de Ma respecto a Ra, queda como:

Y de (4), obtenemos:

Por tanto, ya podemos integrar la expresin (6):

De donde obtenemos:

Las relaciones (4), (5) y (9) permiten conocer las reacciones en los vnculos. Segundo mtodo; La derivada de la deformacin tambin se anula en el empotramiento,

En este caso particular es fcil demostrar que M(x)/Ma = cte M(x)/Ra, y por tanto:

Igual que antes.SOLUCIN DEL PROBLEMA(Mtodo de 3 momentos)

Calculo de la carga de servicio

Carga muerta Si el peso del concreto es , a este factor se le multiplicara por el volumen de la losa.

Carga vivaUnidad de carga por metro cuadrado en puentes peatonales es , a este factor se le multiplicara el rea de la losa para obtener un mximo de carga.

Entonces la carga de servicio ser la siguiente:

Con estos datos se tendr la siguiente viga de estudio:

La ecuacin de los Tres Momentos para vigas continas de tres apoyos es:

Teniendo esta expresin se proceder a resolver la viga continua de dos tramos con carga uniformemente distribuida.

Se determinara el momento de continuidad; Para poder obtener este dato se trabajara por tramos.

Tramo 1 Tenemos una viga simplemente apoyada Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo.

Se proceder haciendo los diagramas de fuerza cortante y de momento flector

Tramo 2

Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo.

Se proceder haciendo los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Se iguala los valores de los ngulos a ambos lados del apoyo B para determinar el momento de continuidad entre ambos tramos.

Simplificando los se obtiene:

Una vez obtenido nuestro momento de continuidad, se podr calcular las reacciones.

Se sumaran las reacciones segn el comportamiento de estas.

Comprobacin Con Mtodo De Superposicin

Caso 01Ecuacin de la deflexin (carga distribuida ver cuadro)

Caso 01Ecuacin de deflexin: carga puntual

Igualando las ecuaciones del caso 1y 2.

CONCLUSIONES

Se determin las reacciones con la ayuda de mtodos investigados. Se logr comprobar el mismo resultado por dos mtodos diferentes del problema aplicativo del Puente Peatonal. Las ecuaciones de Esttica, tiene un lmite y se nota ms an con sistemas que emulan la realidad. Estos 2 mtodos aunque no son mucho, tiene una aplicacin especfica. Los sistemas reales son ms complejos es por eso que se requieren mtodos ms complejos para poder hacer un correcto anlisis.

RECOMENDACIONES Buscar nuevas alternativas de solucin. Internet es una gran fuente de informacin, por ello es factible encontrar informacin sobre mtodos para la solucin de sistemas hiperestticos. Tomar consideraciones fsicas

ANEXOS