UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO CALCULO II

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO CALCULO II

UNIVERSIDADANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA:LEVANTAMIENTO DE CANAL DE IRRIGACION

CURSO: CALCULO IIDOCENTE : VELASQUEZ HACHA, IGNACIOALUMNOS : QUIPO KANCHA KELLY STEYSI NAYDA SOLEDAD PARRA ORTIZ HUGO ORLANDO AGUILAR PARAVICINO SHARON ADRIANA LEIVA MARN MIA JARA NINALAYA PRESENTACIONEl presente informe contiene el desarrollo del tema Integrales Dobles y Triples aplicado a la Ingeniera Civil, el cual fue realizado con bastante dedicacin y esmero, dicho informe ha sido elaborado con el propsito de mostrar lo bueno y practico que es buscar la relacin y la utilidad que proporciona este curso Calculo II en nuestra vida futura como Ingenieros Civiles.

Finalmente toda la informacin se puede apreciar en este informe el cual ser llevado a exposicin, como fines futuros para poder hacer uso de estos conocimientos en un proyecto futuro.

IntroduccinEl uso de integrales ya sean simples dobles o triples es una de las mejores herramientas matemticas aplicables en el soporte y anlisis terico de las diversas reas de la ingeniera civil como la hidrulica, la ingeniera estructural, la programacin lineal, la toma de decisiones, la estadstica, la mecnica de suelos, la mecnica de slidos, debido a que mediante estas integrales lograremos clculos muy precisos y potencialmente ventajosos para el rea de trabajo en el que se van a aplicar.

OBJETIVOS El objetivo es de capacitar y adiestrar al estudiante en Las diversas aplicaciones que llegan a tener las integrales en la carrera de ingeniera civil.

Reconocer y comprobar la aplicacin de los fundamentos bsicos de la ingeniera dentro del anlisis de estructuras como sub disciplina de la ingeniera civil.

Demostrar mediante los datos recopilados que las integrales aplican en la vida diaria, claro, si es que te sometes a la investigacin, como por ejemplo en los problemas de fsica. Si estudias economa o finanzas, o estadstica de hecho que tienes que conocer estas herramientas, para describir matemticamente (y si es matemtico, es preciso) los fenmenos econmicos o poblacionales y predecir de manera regular que tanto crece una poblacin, si hay devaluacin de moneda, inflacin, tasas de inters. Por supuesto que para la aplicacin a la vida "cotidiana" de estos principios armnicos hay que tener una profesin y, sobretodo ser conscientes que las grandes comodidades de las que disfrutamos hoy en da se debe precisamente a la ciencia-arte de estudiar y dominar las relaciones numricas....

MARCO TEORICOExiste el mtodo de doble integracin para encontrar de flexiones en una viga, que dice que la doble integral de la ecuacin de momento, o la triple integral de la ecuacin de cortante te entregan las deflexiones e a lo largo de una viga, claro que a esa integral an hay que dividirla entre la inercia del rea transversal y el mdulo de elasticidad del material, con esto se pueden determinar las reas de vigas para obtener una deflexin Y en el punto X, y dimensionar el rea o escoger el material.

Con estas frmulas se llega a la frmula de las flechas mximas en vigas, cuando estas tienen cargas repartidas, pero si quieres encontrar la deflexin en un punto x de la viga esta se obtiene por el mtodo de doble integracin.

Tambin varias cuestiones de anlisis estructural provienen de integrales, como el esfuerzo, incluso la inercia y los momentos se pueden resolver por mtodos que incluyen integrales, recuerda que todo en este mundo tiene una explicacin matemtica.En mecnica de materiales y analisis estructural haces muchas aplicaciones indirectas (porque ya muchas se han ido estandarizando con formulas pero sus origenes son con estas integrales) y mas a fondo cuando haces analisis de mecanica del medio continuo, y estudios mas profundos en el comportamiento estructural en el que tienes que aplicar calculo multivariable etc, para optimizacion del comportamiento, de esfuerzos de pesos, se aplican metodos con bases en integrales multivariadas y dobles, algunos en dinamica estructural, pero pos para no ir tan lejos, checate la deduccion de algunas ecuacioness de mecacnica de materiales.Ademas las integrales dobles te sirven para encontrar reas y las trples volumenes o slidos de revolucin.Integrales triples: Clculo de las coordenadas del centro de masas de un slido.

Tambin tienen aplicacin en hidrulica cuando sacas centros de gravedad en presas, y la presin de lquidos, centros de masa y momentos de inercia y en general existen muchas aplicaciones.En la generacin de sistemas de vaco y de resistencia de materiales. Tambin se ve mucho en fsica, esttica y resistencia de la columna, para determinar los centros de gravedad yd ems complicaciones.

MECANICA DE MATERIALES:Mtodo de Doble IntegracinEs el ms general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinacin de cargas y condiciones de apoyo en vigas estticamente determinadas e indeterminadas.Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexin de una viga por medio del clculo integral.El mtodo de doble integracin produce ecuaciones para la pendiente la deflexin en toda la viga y permite la determinacin directa del punto de mxima deflexin. Recordando la ecuacin diferencial de la elstica:

El producto EI se conoce como la rigidez a flexin y en caso de que vare a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de seccin transversal variable, debe expresarse en funcin de x antes de integrar la ecuacin diferencial. Sin embargo, para una viga prismtica, que es el caso considerado, la rigidez a la flexin es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el mdulo de rigidez e integrar respecto a x. Planteamos:

Donde C1 es una constante de integracin que depende de las condiciones de frontera, como se explicar ms adelante. Como la variacin de las deflexiones es muy pequea, es satisfactoria la aproximacin:

De modo que con la expresin anterior se puede determinar la inclinacin de la recta tangente a la curva de la elstica para cualquier longitud x de la viga. Integrando nuevamente en ambos lados de la expresin anterior, tenemos:

Mediante esta expresin podemos conseguir la deflexin para cualquier distancia x medida desde un extremo de la viga.El trmino C2 es una constante de integracin que, al igual que C1, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexin y/o el ngulo de deflexin en algn(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta informacin.En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en A puede establecerse:x = LA y = 0Y, debido al apoyo en B :x = LB y = 0

Debido al empotramiento A :x = LA y = 0x = LA = 0

EN EL ANALISIS ESTRUCTURALEn nuestra propuesta de enfoque estructural funcional del tratamiento del Clculo Integral, ste ser tratado en primera instancia en el desarrollo de la teora de la Integral Definida, y con posterioridad se ir generalizando dicho enfoque de invariante por el propio estudiantado y se aplicar al desarrollo de las restantes variantes (integral doble. triple, de lnea, y de superficie). A continuacin describiremos nuestro invariante y lalgicade su aplicacin a las distintas variantes descritas.Componentes relativas al enfoque estructural-funcional de la teoria de integracion:1.- Definicin de integral.2.- Teorema de Newton - Leibnitz.3.- Teorema sobre el cambio de variable en la integral.Despus de tratada la teora de la integral definida, se va generalizando y aplicando el anterior sistema aqu obtenido, a las restantes variantes.Este proceso no lo mostraremos en la primera componente del sistema (definicin de integral), pues las ideas que permiten dicho proceso de generalizacin descansan en el enfoque estructural - funcional del concepto general de integral desarrollado por la Dra. H. Hernndez que presentando sus respectivas componentes.Aplicacin del invariante a la variante de las Integrales Mltiples.Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZ que en esencia refiere que:Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) es f(x) )Para ello se referir que al pasar a la teora bidimensional se produce un cambio cuantitativo que origina un cambio cualitativo, se produce una negacin dialctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cualitativamente superior. Se aprovechar entonces la analoga con la derivacin, en la cual la expresinse determina calculando la derivada parcial respecto a y considerando a x constante, y derivando con posterioridad respecto a x la expresin as obtenida. Lo anterior conduce de forma natural al concepto de integral iterada de segundo orden (se integra primero respecto a una variable considerando la otra constante y despus respecto a la restante), quedando slo por precisar loslmitesde integracin en que se debe evaluar dicha integral iterada. Tomando una regin de integracin regular respecto a y: y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se evala la primitiva en el Teorema de Newton - Leibnitz, son los extremos de la regin de integracin o lo que es lo mismo, estos puntos constituyen lafronterade dicha regin, resultara natural evaluar la integral iterada en la frontera de la regin de integracin. Basado en la heurstica anterior, que debe ser desarrollada a travs deltrabajogrupal estudiantil,en la que el docente jugara el rol de facilitador, se obtiene el Mtodo de clculo de la integral doble para regiones regulares respecto a la variable y:De forma anloga se obtiene la expresin equivalente para regiones regulares con respecto a x. El clculo de integrales sobre regiones que no sean regulares respecto a ninguna de las variables se lleva a cabo tomando una particin de dicho regin en subregiones regulares respecto a x o respecto a y, aplicndose con posterioridad lapropiedadde aditividad de la integral con respecto a la regin de integracin. Losmtodosde clculo de la integral triple son anlogos a los descritos para la integral doble.El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque estructural funcional de la teora de integracin) debe ser generalizado aqu tambin, de la integral definida a la integracin mltiple. El sealado teorema en el caso de la integral definida en esencia refiere que:

Si pretendemos en la integral doble introducir el cambio de variablee inducir en este caso su expresin, debemos hallar la forma del elemento matemtico que generalice a, siendo natural en este caso considerar como tal al mdulo del siguiente jacobiano (determinante de lamatrizjacobiana):

(Este tipo de generalizacin fue vista ya por el estudiante cuando se estudi el proceso de extensin de la derivada de unafuncindefinida de forma implcita por una ecuacin, a la derivada parcial de una funcin definida de forma implcita por un sistema deecuaciones, en la cual, lasderivadasordinarias son sustituidas por los respectivos jacobianos). En consecuencia, el teorema sobre la transformacion de coordenadas en la integral doble, en esencia nos aportara la siguiente expresin:con la cual, con posterioridad el estudiantado podr deducir la expresin de la integral al realizar cambio de coordenadas a polares, las que deben ser introducidas apoyados en preceptos geomtricos. El tratamiento del cambio de variables en la integral triple es anlogo al de la integral doble, y aqu, de forma similar, los alumnos podrn inferir, con la ayuda mnima indispensable del profesor, la expresin de la integral triple al realizar los respectivos cambios de coordenadas a cilndricas y esfricas, tambin introducidas por vas geomtricas.

CLCULO DE VIGAS DEFORMABLES A TRAVS DE CARGAS PUNTUALESLas deformaciones de vigas pueden encontrarse en diferentes situaciones ya que al realizar el anlisis interno de dicho cuerpo suelen dividirse en vigas hiposttica o hiperestatica. Recordemos que esta divisin corresponde a las condiciones de apoyo que presente el cuerpo al analizar. Por otra parte si realizamos y observamos que la viga tiene un nmero igual o inferior a tres incgnitas en sus reacciones, bastara con aplicar las condiciones de equilibrio esttico para resolverla. Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx sumatoria de fuerzas en x Fy sumatoria de fuerza en y M sumatoria de momentosPara vincular el anlisis de las vigas hiperestaticas o estticamente indeterminadas se dar como resultado el estudio de las deformaciones de las vigas luego de ser aplicadas distintas fuerzas generando as tensin de corte y flexin en la barra logrando deformar la viga. Sin embargo nuestros principales objetivos, uno seria el poder obtener nuevas condiciones planteadas en ecuaciones que demuestre resolver las ecuaciones en vigas hiperestaticas; por otra parte las deformaciones las deformaciones deben ser limitadas. Las armaduras de madera o acero por ejemplo pueden quedar excelentemente diseadas por resistencia lo que vale decir, no se grietaran bajo la carga, pero podrn deformarse mas all de lo permitido, lo que llevaran el colapso de elementos de terminacin como cielos falsos o ventanales. No Obstante La deformacin de una viga puede expresarse en muchas deformaciones y no por la resistencia de dicho cuerpo.Flecha de una vigaEn coordinacin de la flecha desde la posicin no deformada. Se puede medir desde la superficie neutra de la viga deformada hasta la posicin original de dicha superficie. La figura acoplada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elstica de la viga3. Momento flector de una vigaEs la suma algebraica de momentos de las fuerzas externas a un lado de una seccin cualquiera de la viga respecto a un eje que pasa por dicha seccin.M (AB)+M (BC)+M (CD)+(n...)Aplicando la teora de la esttica, la figura se encuentra empotrada a una pared, produciendo un momento de nombre PL. Se procede hallar las reacciones que ejerce la pared sobre la barra, lo que se consigue fcilmente, ya que la viga esta empotrada con un momento PL en sentido negativo aplicando a la barra una carga p hacia arriba. Por lo tanto el momento flector en la seccin x es:M = -PL + PxLa ecuacin diferencial de la elstica es:EIdy = M dxSustituyendo el valor de M tenemos:EIdy = -PL + Px ec(a) dxEsta ecuacin se integra fcilmente, obteniendo:EIdy = -PLx + Px + c1 ec(b)dx 2Al obtener la primera integral nos arroja la ecuacin de la pendiente. Pues la viga esta perfectamente empotrada, por tanto:(dy/dx)=0, sustituyendo en ella la condicin para x=0 se tiene 0=0+0+c1 c1=0.Integrando nuevamente la ecuacin anterior se tiene:EIy = -PLx + Px + c2 ec(c) 2 6Se puede denotar que c2 es una segunda constante de integracin. Aplicando la misma definicin de la primera integral obtenemos que c2=0 ya que esta empotrado al muro, reemplazando en la ecuacin se tiene que (y)x=0 vemos que 0=0+0+c2 c2=0.As pues las ecuaciones b y c con c1=c2=0 dan la pendiente (dy/dx) en un punto cualquiera x de la viga. El sentido es mximo en el extremo derecho x=L, bajo la carga P, donde la ecuacin c que se halla es:EI(y)max= - PL 3En la que el signo negativo indica que este punto esta, en la curva deformada por debajo de la superficie. Si se desea calcular la magnitud de la flecha mxima en x=L, se suele representar por :max= PL 3EI4. Criterio de los SignosSe conservaran los criterios de signos de los momentos flectores adoptados. Los valores E e I que aparecen en la ecuacin anterior son indudablemente positivas, por lo que si M se expresara en sentido positivo para un cierto valor de X, (dy/dx) ser positivo. Con este criterio de signos de los momentos flectores es necesario considerar la coordenada X positiva hacia la derecha a lo largo de la viga. Una vez aplicada estas reglas de signos algebraicos puede integrarse la ecuacin. Se puede decir que las deformaciones son pequeas comparadas con las dimensiones de la seccin de la viga, admitiendo que la viga es recta antes de la aplicacin de las cargas.5. Ley de HookeEsta ley propuesta por Hooke nos permite crear una relacin entre la tensin y la deformacin unitaria como una constante, la cual se denota con el nombre de modulo de elasticidad.E= EElasticidad (Kg/cm)Tension (Kg/cm)Deformacion UnitariaOtra manera de calcular la tensin aplicada a la viga seria: =MV ITension (Kg/cm)MMomento Flector (Kg.cm)VDistancia desde la fribra neutra a la fibra ms traccionada o comprimida (cm)IInercia (cm4)6. Mtodo de la doble integracin para el clculo de la elstica o viga deformableEIdy = M dxE: modulo de elasticidad del materialI: modulo de inercia de la seccin respecto al eje neutroM: momento de la vigaEs la ecuacin diferencial de la elstica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexin es totalmente constante a lo largo de viga.Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequea, su cuadrado es despreciable frente a la unidad, por lo que se puede denotar despejando EI de la formula inicial obtenemos:dy = Mdx EIIntegramos la ecuacin aplicando la atribucin que EI es constante nos da:EI dy = M dx + c1 dxDe all obtendremos la ecuacin de la pendiente y que permite determinar la ecuacin de la misma, M no es un valor del momento, sino la ecuacin del momento flexin de x,y c1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuacin obtendremosEIy = M dx dx + c1x + c2Es otra constante de integracin a determinar tambin por las condiciones de sucesin de la viga. Si las condiciones de carga varan a lo largo de la vida, la ecuacin de momentos tambin tendr la variacin correspondiente.Esto permite una ecuacin de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminacin, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo que dara lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente, dos constantes para cada tramo tambin. La determinacin de esas constantes se hace muy laboriosa y se esta expuesto a errores. Afortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una nica ecuacin de momentos valida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.7. Curva elsticaLa curva elstica o elstica es la deformada por flexin del eje longitudinal de una viga recta, causada por la aplicacin de cargas transversales en el plano x,y sobre la viga.8. Conclusiones Ha quedado demostrado a travs de mtodos numricos la existencia de soluciones sin resultados exactos. Por medio del mtodo de la doble integracin se pudo demostrar que al integrar la ecuacin de la elstica nos dar como resultado la pendiente de dicha ecuacin, evitando crear datos no existentes que generen el error. Por otra parte las cargas o fuerzas puntuales aplicadas en una viga creara tensiones provocando flexin en la viga por el cual tomando valores en la sumatoria de momentos lo que es igual hablar del momento flector del cuerpo se obtendr el valor de la tensin apoyada en el cuerpo. Los sistemas de cargas distribuidas bien sea cargas activas, externas y momentos existentes en las vigas sern los determinantes de la ecuacin de la elstica.

CONCLUSIONES

Despus de elaborado este informe se concluye que muchas de las teoras del diseo estructural se basan en clculo integral y diferencial, lmites y todo lo que nos ensean en clculo de diseo estructural de estructuras metlicas y vienen desarrolladas las frmulas de las teoras de diseo.

Por otra parte es necesario aclarar que el clculo de las integrales sirve en cualquier rama de la ingeniera solo para deducir ciertas frmulas, sobre todo en en el anlisis de estructuras civiles entendiendo que despus de esas deducciones es necesario aprender a usar los resultados, no se usa en otros mbitos, en los ms cotidianos almenos.

BIBLIOGRAFIA http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/ampliacion-de-matematicas-------------------------------1/materiales/Lectura1_OCW.pdf https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081105115141AANngwY------------ https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081105115252AAjvoGh--------- http://valmeida.webs.ull.es/Hidrologia/2008-09/Tema90809.pdf http://prezi.com/peded5bamecx/la-integral-doble-fundamentacion-teorica-y-aplicaciones-des/--------------------------- http://www.dicym.uson.mx/wp-content/uploads/2010/11/CalculoDiferencialIntegralIII.pdf---------- http://calculoavanzado.usach.cl/Apunte/Libro/Calculo%20Avanzado%20USACH.pdf http://www2.ula.ve/dsiaportal/dmdocuments/Resistencia%20de%20Materiales%20Tema%205.pdf

TRABAJO DE INVESTIGACIONPgina 2