APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

TRABAJO

MIGUEL ANGEL SUAREZ 2010297667

ANDERSON DAVID JARAMILLO

TRABAJO PRESENTADO AL PROFESOR

HUMBERTO DÁVILA MOLINA

EN LA MATERIA CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

NEIVA

2011

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer la aplicación especifica de las integrales definidas para

trabajos variables.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Conocer el concepto de “trabajo constante” y “trabajo variable” para

entender el uso de las sumas de riemann en este concepto.

Demostrar el uso de integrales como herramienta para calcular un

“trabajo variable”

resolver un problema de “trabajo variable” aplicando las integrales

definidas y la ecuación de “trabajo” con integrales.

INTRODUCCIÓN

Al aprender la teoría de la integral, encontramos que la idea básica es que se puede calcular el área de una región de forma irregular subdividiéndola en rectángulos.

Se implementará ésta misma filosofía para calcular la cantidad de trabajo necesario para llevar a cabo diversas acciones, utilizando integrales definidas.

BASES TEÓRICAS

TRABAJO

El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w = F . d

Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.

Unidades

La unidad de medición para el trabajo depende de las unidades de fuerza y distancia.

Sistema U. fuerza U. Distancia U. trabajoS.I. Newton Metro Joule (j)C.G.S. Dina Centímetro ergio

1 joule =107 ergios / 1 newton = 105 dinas.

Ejemplo #1:

Si W libras-pie es el trabajo necesario para levantar un peso de 70 lb hasta una altura de 3 pies, entonces

W= 70 *3

W=210

Asi el trabajo realizado es de 210 lb-pie.

Ejemplo #2:

Se desea determinar el trabajo realizado al levantar una caja cuya masa es de 8kg a una altura de 4 m.

F=M*a donde f (newtons) es la fuerza necesaria para dar a la masa M (kg) una aceleración de “a” (m * s2). En este caso la fuerza es la fuerza de la gravedad y la aceleración es la ejercida por la misma, la cual es 9.8 m/s2. La masa es 8kg.

Por tanto, M=8 y a= 9.81

F= 8(9.81)

F= 78.5

De este modo, se quiere determinar el trabajo realizado por una fuerza de 78.5N y una distancia de 4m. Si W (joules) es el trabajo, entonces

W= (78.5)(4)

W=314

En consecuencia, el trabajo realizado es de 314 joules.

Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x a hasta x b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a x0 x1 x2 x3 ......... xn1 xn b donde xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir xi xi xi1. Para cada i escogemos ci tal que xi1 ci xi. En ci la fuerza está dada por F(ci). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, xi es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde xi1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). xi

Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por

w .

Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de

esta suma cuando n resulta w

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x a hasta x b está dado por

w .

EJERCICIOS:

Ejemplo1:

Un resorte tiene una longitud natural de 14 cm. Si una fuerza de 500 dinas se requiere para mantener el resorte estirado 2 cm, ¿Cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte de su longitud natural hasta una longitud de 18 cm?

Solución: coloque el resorte a lo largo del eje x de modo que el origen quede en el punto donde empieza el estiramiento. Vea la fig1. Sea f(x) dinas la fuerza requerida para estirar el resorte x centímetros más allá de su longitud natural. Entonces, por ley de hooke,

f(x) = k . x

Como f(2) = 500, se tiene 500=k . 2

K=250 así, f(x) = 250 x

Debido a que el resorte se estira de 14 a 18 cm, se considera una partición del intervalo cerrado [0,4] sobre el eje x. si W ergios es el trabajo realizado al estirar el resorte de 14 a 18 cm, entonces:

Conclusión: el trabajo realizado para estirar el resorte de 14 a 18 cm es de 2000 ergios.

ejemplo2:

Un tanque que contiene agua, tiene la forma de un cono circular recto invertido, tiene un diámetro de 2m en su parte superior y 1.5 m de profundidad. Si la superficie del agua está 0.5m por debajo de la parte superior del tanque, determine el trabajo realizado, determine el trabajo realizado para bombear el agua hasta la parte superior del tanque

Solución: considere una partición del intervalo cerrado [0.5,1.5] sobre el eje x. el volumen de este elemento es π[f(wi)]2Δix metros cúbicos. Como el peso de un metro cubico de agua es de 9810N, el peso del elemento es 9810 π[f(wi)]2Δix newtons, el cual es la fuerza que actúa sobre el elemento.asi, el trabajo realizado para bombear el agua a la parte superior del tanque es aproximadamente (9810 π[f(wi)]2Δix) . wi joules. Entonces:

A fin de determinar f(x) se obtiene una ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (1.5, 0) empleando la forma pendiente-intercepción:

Conclusión: el trabajo realizado es de 3424 joules.

Ejemplo3:

Conforme se levanta un tanque que contiene agua, esta se descarga a una tasa constante de 2pie3 por pie de altura, si el peso del tanque es de 200lb y originalmente contenía 1000 pie3 de agua, determine el trabajo efectuado al subir el tanque 20 pie.

solución: se considera el origen en el fondo del tanque y la parte positiva del eje x hacia arriba debido a que el movimiento es vertical hacia arriba desde 0. Considere una partición del intervalo cerrado [0,20] sobre el eje x. sea wi cualquier punto del i-esimo subintervalo[xi-1,xi]. Cuando el fondo del tanque esta en wi, existen (1000 - 2wi) pies3 de agua en el tanque. Como el peso de 1 pie3 de agua es de 62.4 lb.

Entonces el peso del tanque y su contenido, cuando está en wi es de [200 + 62.4 (1000 - 2wi)] libras o (62600 – 124.8wi) libras, lo cual es la fuerza que actua sobre el tanque. El trabajo realizado al subir el tanque a través del i-esimo subintervalo es aproximadamente (62600 – 124.8wi) Δix libras-pie. Si w libras- pie es el trabajo total realizado al subir el tanque 20 pies, entonces:

Conclusión: el trabajo realizado es 1 230 000 lb-pie.

CONCLUSIONES

Las integrales tienen múltiples aplicaciones que nos ayudan a

desarrollar el campo científico y la vida cotidiana, por ello es necesario

comprenderlas, saberlas desarrollar y aplicar.

La aplicación de las integrales definidas dentro del campo de la física es

muy importante para poder entender fenómenos físicos que ocurren a

diario en nuestro entorno y que sin ellas no podríamos explicar

En las aplicaciones a la ingeniería las integrales forman un factor

fundamental, pues cada punto de trabajo se desarrolla gracias a ellas y

si no tuviéramos esta valiosa herramienta, tal vez ni siquiera existirían

muchas cosas que hoy conocemos.

BIBLIOGRAFÍA

Leithold. El calculo, 7º edicion

Purcell. Calcul y geometría analítica. 4 edicion

Serway-beicher. Física II.

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