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Research Collection

Doctoral Thesis

Beiträge zur Lösung von Scheibenproblemen

Author(s): Mathys, Rudolf

Publication Date: 1960

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000097162

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Prom. Nr. 2933

Beiträge zur Lösung von

Scheibenproblemen

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN ZÜRICH

ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES

DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

Rudolf Mathys

dipl. Bauingenieur ETH

von Kölliken (AG)

Referent: Herr Prof. Dr. H. Favre

Korreferent: Herr Prof. Ed. Amstutz

Zürich 1960 Dissertationsdruckerei Leemann AG

Erscheint als Mitteilung Nr. 34 aus dem Institut für Baustatik

an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

Herausgegeben von Prof. Dr. F. Stüßi und Prof. Dr. P. Lardy f

Verlag Leemann Zürich

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 5

Abschnitt I Einführung 7

1. Darstellung der Grundlagen 7

2. Das Randwertproblem 9

3. Das Knotenlastverfahren 12

Abschnitt II Der Halbstreifen 20

1. Allgemeines Iterationsverfahren 20

2. Geschlossene Näherungslösung 25

3. Der Halbstreifen nach Fädle 33

4. Numerisches Beispiel 40

Abschnitt III Die Rechteckscheibe 47

1. Allgemeiner Ansatz 47


Abschnitt IV Die parallelogrammförmige Scheibe 63

1. Allgemeine Grundlagen 63

2. Die komplexen Eigenwerte der schiefen Scheibe . .66

3. Grundsätzlicher Lösungsgang 69

Abschnitt V Temperaturspannungen und Formänderungen 75

1. Grundlagen 75

2. Randbedingungen 77


Schlußbemerkungen 90

Anhang 90

Literaturverzeichnis 95

3

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Vorwort

Wenn man sich zur Aufgabe macht, den heutigen Stand der

„analytischen Berechnungsmethoden" von Problemen der Elastizi¬

tätstheorie zu beurteilen, so stellt man bei der Durchsicht des

Schrifttums eine breite, stetige, noch nicht abgeschlossene Ent¬

wicklung dieser bewährten Methoden fest.

So ist heute in der Literatur, mit den zur Verfügung stehenden

Methoden und Ansätzen, die Darstellung zahlreicher Platten- und

Scheibenaufgaben, welche in der Praxis für eine numerische Be¬

handlung Anwendung finden, aufgezeigt. Hingegen bemerkt man,

daß, bei steigendem Schwierigkeitsgrad der Randwertaufgaben, die

verwendeten Ansätze in vielen Fällen versagen, oder daß diese

dann für eine numerische Auswertung ungeeignet erscheinen.

Es soll deshalb das Ziel dieser Arbeit sein, Mittel und Wege auf¬

zuzeigen, welche versuchen, die „analytische Berechnung" solcher

Probleme am Beispiel von Scheibenaufgaben zu erleichtern oder

überhaupt erst zu ermöglichen.Ein erster Abschnitt der Arbeit ist den Randwertaufgaben zuge¬

dacht. Der dort vom Verfasser eingeschlagene Weg, dem „bau¬statische Methoden" zugrundeliegen, muß sich nicht auf die Schei¬

bentheorie beschränken, sondern kann sinngemäß auch auf andere

Problemstellungen übertragen werden.

Um die Anzahl der Lösungsklassen für die partikulären Integraleder Scheibengleichung zu erweitern, werden im Verlaufe der Arbeit

komplexe Ansatzfunktionen verwendet, entsprechend den weg¬

weisenden Arbeiten von F. Tölke und J. Fädle, mit denen auf ein¬

fache Art die Darstellung des Halbstreifens, der Rechteckscheibe

sowie der parallelogrammförmigen Scheibe gelingt. Die hier gewon¬

nenen Erkenntnisse, die mit eingestreuten numerischen Beispielenbelegt sind, bilden, zusammen mit der Neufassung der Randwert¬

aufgaben, den Kern dieser Arbeit.

5

Die vorliegende Abhandlung ist — was den theoretischen Teil

anbelangt — unter der Leitung meines verehrten Lehrers, Herrn

Prof. Dr. P. Lardy, entstanden, dem ich zahlreiche Ratschläge ver¬

danke, die meine Arbeit maßgebend gefördert haben. Ich bedaure

tief, daß es mir heute nicht vergönnt ist, meinem zu früh hinge¬schiedenen Lehrer für seine Bemühungen hier meinen Dank aus¬

zusprechen.Herrn Prof. Dr. H. Favre möchte ich für sein wertvolles Inter¬

esse, seine Hinweise und Anregungen, und Herrn Prof. E. Amstutz

für die Übernahme des Korreferates herzlich danken.

Zürich, im Dezember 1959.

6

ABSCHNITT I

Einführung

1. Darstellung der Grundlagen

Ein ebenes Flächentragwerk, das nur durch Kräfte in seiner

Ebene beansprucht wird, ist als Scheibe bezeichnet. Die Scheiben¬

stärke d soll dabei als konstant vorausgesetzt werden, und die

Mittelfläche bleibt nach der Formänderung eben.

Wir beziehen die Scheibenpunkte auf ein rechtwinkliges Koordi¬

natensystem (x, y, z), dessen zy-Ebene mit der Scheibenmittelebene

zusammenfällt. Da an den Begrenzungsebenen 2 = ±d/2 keine

äußern Kräfte angreifen, sind dort die Spannungskomponenten

az, rzx, rzy identisch null. Bei kleiner Scheibenstärke d dürfen diese

Spannungskomponenten aber auch im Innern der Scheibe vernach¬

lässigt werden, und es gilt somit:

az = Tzx = rzy= °- (!)

Damit sind aber alle zur Mittelebene parallelen Flächenelemente

spannungsfrei; es liegt also ein ebener Spannungszustand vor, und

die verbleibenden Spannungskomponenten ax, ay, rxy sind über

die Scheibenstärke d gleichmäßig verteilt.

Unter der weiteren Voraussetzung, daß die Scheibe nur längsihrer Ränder, nicht aber durch Massenkräfte beansprucht sein soll,

ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen für die Bestim¬

mungsstücke ax, ay, Txy des ebenen Spannungszustandes die folgen¬den Beziehungen:

d«x,dTyx 8ay ërxy~~c, 1" ~ö—

~~ u> ~ö i"~ö>—— U, Ty — ryx. {£)

8x 8 y 8 y exu "

Bezeichnet man weiter die Verschiebungskomponenten mit U,

7

V, die Dehnungen mit ex, ey und den Schubwinkel mit yxy, so

erhält man die geometrischen Beziehungen:

_a_C7 _^f _d_u_ bv_x~ 8x' y~ 8y'

Yxv~8y

+8x'

( '

welche, in geeigneter Weise verknüpft, die sogenannte „Verträg¬

lichkeitsbedingung" ergeben:

&yXy=

Pex|82ev

8x8y dy2 8x2'

Der Zusammenhang zwischen den Spannungen ax, ay, rxy und

den Dehnungen ex, ey, yxy wird durch das Hookesche Gesetz herge¬

stellt, wobei E den Elastizitätsmodul und v — ljm die Querdehnungs-zahl des isotropen Baustoffes bedeuten:

1( \

li ^

2(l+v)

ex=^Wx-vay), ey=

-ß((Jv-vvx), yxy=

^ rxy. (5)

Durch Einführen der Formeln (5) in die Beziehung (4) erhält

man nun:

l{l+v)8x8y- 8y2 v[dx* + 8y*) + 8x*' W

Setzt man eine Spannungsfunktion 0 (x, y) an und berechnet

man die Spannungskomponenten nach der RechenVorschrift:

820 8*® 8200„ — -TT"s-,

o„ = CO8y2'

v 8x2' xv 8xdy'

so werden die Gleichgewichtsbedingungen (2) identisch erfüllt.

Gleichung (6) liefert nun durch Einsetzen von 0 (x, y) eine lineare,

partielle Differentialgleichung vierter Ordnung [4], [6], [19]1):

8*0 8*0 8*0

J^+ 2Jx^ +

W= AA0 = °- (8)

Diese Gleichung wird „Scheibengleichung" genannt, und man

bezeichnet 0(x,y) als „Airysche Spannungsfunktion".

!) Die Zahlen in. eckiger Klammer beziehen sieh auf die am Schluß

zusammengestellte Bibliographie.

8

Es sind nun eine ganze Reihe von partikulären Integralen der

Scheibengleichung bekannt. So bilden gewisse biharmonische Poly¬nome eine erste Gruppe von Lösungen, dann genügen auch einzelne

logarithmische Funktionen der Scheibengleichung. Von größerer

Bedeutung sind jedoch partikuläre Integrale, die aus Produkten

einer Hyperbelfunktion und einer trigonometrischen Funktion be¬

stehen und eventuell noch mit x multipliziert werden dürfen:

Sh a y sin ax, x Sh a y sin a x,

wobei Sh mit Ch, sin mit cos und x mit y vertauscht werden können.

2. Das Randwertproblem

Mit der Einführung der Airyschen Spannungsfunktion ist es

möglich, die Lösung des Problèmes auf die Integration der einzigen

Differentialgleichung :

AA0(x,y) = O,

zurückzuführen, in der nur die Spannungsfunktion &(x,y) als

Unbekannte auftritt. Gelingt es deshalb, diese Differentialgleichungunter Berücksichtigung der Randbedingungen zu integrieren, so

gewinnt man die strenge Lösung der betreffenden Scheibenaufgabe.Beziehen sich die jeweiligen Randbedingungen ausschließlich auf

Randwerte der Spannungskomponenten, so läßt sich dieses „reine

Randwertproblem" folgendermaßen beschreiben: Es ist eine Span¬

nungsfunktion <P(x,y) zu ermitteln, die der Scheibengleichung ge¬

nügt und deren zweite Ableitungen (7) am Scheibenrande bestimmte,

vorgeschriebene Werte annehmen sollen.

Werden am Rande nebst Spannungskomponenten noch be¬

stimmte Verzerrungen oder Verschiebungen festgelegt, so liegt ein

„gemischtes Randwertproblem" vor und schließlich ein „geometrisches

Randwertproblem", wenn ausschließlich bestimmte Verzerrungenoder Verschiebungen am Rande vorgegeben sind.

Nun ist es sehr oft wegen unüberwindlichen mathematischen

Schwierigkeiten nicht möglich, ein Scheibenproblem streng zu lösen,

und man wird deshalb danach trachten, brauchbare Näherungs¬

lösungen zu entwickeln.

9

Von den im Schrifttum aufgezeigten Näherungslösungen soll in

der Folge nur eine Möglichkeit besprochen und durchgeführt wer¬

den.

Man bilde nämlich aus geeignet gewählten, partikulären Inte¬

gralen <p (x, y) der Scheibengleichung einen Ansatz :

<P(x,y) = ZCn<Pn(x,y), (n=l,2,...k) (9)n

wobei die mit einer freien Konstanten Cn multiplizierten Funktio¬

nen cpn (x, y) so gewählt werden, daß sie den Randbedingungen des

Problèmes schon möghchst weitgehend entsprechen. Die Freiwerte

Cn des Ansatzes (9) sind nun so zu bestimmen, daß auch die Rand¬

bedingungen, denen der Ansatz noch nicht genügt, möglichst guterfüllt werden.

Die verschiedenen Methoden zur Bestimmung der Freiwerte Cndes Ansatzes sollen am Beispiel eines reinen Randwertproblemesnun besprochen werden.

Zur Erfüllung aller Randbedingungen sei es nur noch notwendig,die nach (9) erhaltenen Normalspannungen a längs eines Randes

von der Länge s möglichst gut an vorgeschriebene Werte 5 anzu¬

gleichen. Der Einfachheit halber wird also hier vorausgesetzt, daß

die Schubspannungen f an diesem Rand null sind und daß sämt¬

liche gewählten Funktionen cpn diese Bedingung erfüllen.

Punktweises Erfüllen der Randbedingungen

Man spricht von punktweiser Erfüllung der Randbedingungen,wenn in einer endlichen Zahl von Punkten innerhalb der Rand¬

strecke gefordert wird, daß:

a = 5. (10)

Man kann nun offenbar in so vielen Punkten des Randes Über¬

einstimmung nach (10) verlangen, als Freiwerte Cn vorhanden sind.

Die k Unbekannten Cn (n = 1,2,. . . 1c) ermitteln sich dann aus k in

Cn linearen Gleichungen der Form (10).Dieses Verfahren der punktweisen Erfüllung der Randbedin¬

gungen ist aber für die numerische Berechnung wenig geeignet, da

die k Vergleichspunkte, zur befriedigenden Angleichung von o- an 5

10

über die ganze Randstrecke, in hinreichend kleinen Abständen

angeordnet werden müssen, damit die Abweichungen von a und 5

in den zwischengelegenen Randteilen nur unbedeutend werden.

Man ist daher gezwungen, der Berechnung sehr viele Vergleichs¬

punkte zugrundezulegen und damit eine große Anzahl von Frei¬

werten Cn in den Ansatz einzuführen.

Das Minimumprinzip

Um eine im Mittel möglichst gute Anpassung an die vorgegebe¬nen Randwerte 5 zu erreichen, bedient man sich des Prinzipes des

Minimums der Fehlerquadratsumme (in der Folge kurz als Minimum¬

prinzip bezeichnet). Aus dem Lösungsansatz (9) sind die Werte a

der Randspannungen, die sich als Funktionen der zu bestimmenden

Freiwerte Cn ergeben, nach diesem Prinzip zu ermitteln.

Die Forderung:

J(ä-a)2ds = Min.,o

führt auf die Bedingungen:s

0

S s\

oder: $(5-o)^rds = 0. (» = 1,2,...,*) (11)0 oLn

Auch hier entsteht zur Bestimmung der k unbekannten Bei¬

werte Cn ein nichthomogenes, lineares Gleichungssystem mit h

Gleichungen der Form (11).Dieses aufgezeigte Verfahren2) liefert eine gute Anpassung der

Randwerte a an die vorgegebenen ö über die ganze Randstrecke s.

Hingegen bestehen oft Schwierigkeiten bei der geschlossenen Aus¬

wertung der Gleichung (11), so daß das Minimumprinzip für prak¬tische Anwendungen, mit Ausnahme des Spezialfalles orthogonaler

Funktionen, für die numerische Berechnung ebenfalls einen großen

Berechnungsaufwand bedingt.

2) Siehe auch [6], S. 34.

11

Zusammenfassung

Man stellt zusammenfassend fest, daß diese beiden üblichen, im

Schrifttum oft erwähnten Methoden, zur numerischen Berechnungder Freiwerte Cn des Ansatzes (9) nicht immer befriedigend sind.

Die „punktweise Erfüllung der Randbedingungen" bedingt im

allgemeinen zur Erzielung guter Resultate eine große Anzahl von

Vergleichspunkten k und hat deshalb einen großen Rechenaufwand

zur Folge.Das „Minimumprinzip" (Prinzip des Minimums der Fehler¬

quadratsumme) ist gewöhnlich praktisch nur dann anwendbar,

wenn die Funktionen <p (x, y) am betrachteten Rand orthogonale

Systeme bilden. Damit wird aber die Auswahl unter den parti¬kulären Integralen der Scheibengleichung erheblich und empfind¬lich reduziert.

Es ist deshalb das Ziel des nächsten Abschnittes, ein drittes

Verfahren darzustellen, das, ähnlich dem Minimumprinzip, schon

bei wenigen Freiwerten Cn eine brauchbare Annäherung der Rand¬

werte a an £ ergibt und für allgemeine partikuläre Lösungen der

Scheibengleichung in vielen Fällen ohne großen Rechenaufwand

verwendbar ist.

3. Das Knotenlastverfahren

Ein aus geeignet gewählten partikulären Integralen <p(x,y) ge¬

bildeter Ansatz :

*(*,y) = I,Cn<pn(x,y), (»=1,2,...*) (9)n

soll wieder mit einer Ausnahme alle restlichen Randbedingungenerfüllen. An dem nun zu betrachtenden Rand von der Länge s

seien nur noch die Normalspannungen o- vorgegebenen Werten 5

möglichst gut anzupassen3). Man unterteilt nun die Randlänge s

3) Wir setzen also auch hier voraus, daß die Schubspannungen an diesem

Rand null sind und daß sämtliche gewählten Funktionen <pn diese Bedingungerfüllen. Die Methode läßt sich aber ohne weiteres auch auf Fälle anwenden,

wo die Randspannungen f verschieden von null sind.

12

durch Punkte m in Strecken A xm und vergleicht in jedem Abschnitt

Axm die Randnormalspannungen a mit den vorgeschriebenenWerten 5.

Es ist nun offenbar über den Bereich s eine im Mittel gute

Anpassung von a an 5 zu erreichen, wenn man fordert, daß für

jede Strecke A xm gelten soll (siehe Fig. 1):

mm mm

jadx = \ödx = Rm, und jaxdx = jöxdx = Rmxs. (12)m—3 m— 1 m—1 m—1

<%-!

»m-1

Rm + 1

"m + 1

m-1 m + 1

Fig. 1.

Diese Bedingungen (12) sind nun durch geeignete Maßnahmen wei¬

ter auszubauen. Setzt man nämlich voraus, daß der Verlauf von o-

und 5 über den Bereich (m — 1) bis (m+1) durch eine Parabel mit

vertikaler Achse, bzw. durch zwei Geraden genügend genau dar¬

gestellt werden kann, so lassen sich die Integrale (12) geschlossendarstellen, und man erhält, wenn man sich die Kräfte Rm und Rm+1nach dem Hebelgesetz in resultierende Knotenlasten in den Punkten

(m—1), (m) und (m + 1) aufgeteilt denkt, für den Punkt (m):

Km{a) = Km{5). (13)

Es sind also in den Punkten m (m= 1, 2,..., h) die Knotenlasten

der Randspannungen a, welche sich als Linearkombinationen der

Freiwerte Cn (n = 1,2,.. ., 1c) ergeben, denjenigen der vorgegebenenWerte 5 gleichzusetzen.

Für die Ableitung der Knotenlasten nach der Parabel- oder

13

Trapezformel sei auf die Schriften von Prof. Dr. F. Stüßi verwie¬

sen [14], [16]. Im Falle des gewählten Beispieles mit A xm #= A xm+1

und angenommener parabolischer Verteilung von a erhält man

nach einiger Zwischenrechnung 4) :

Für den Sonderfall a = 1 (A xm = A xm+1) ergibt sich die bekannte

Parabelformel5) :

A x

Km = -[2{am-l+1()am + (Jm+l}- (15)

Die unbekannten Beiwerte Cn bestimmen sich nun, entsprechenddem Vorgehen beim „punktweisen Erfüllen" und beim „Minimum¬

prinzip" aus einem inhomogenen Gleichungssystem mit in Cnlinearen Gleichungen der Form (13).

Der Begriff der Knotenlasten, welcher erstmals von F. Stüßidefiniert und angewendet wurde, zeigt sich damit bei ebenen Rand¬

wertproblemen als anwendbar und bedeutet in vielen Fällen eine

wesentliche Verfeinerung und Verbesserung der Methode des

„punktweisen Erfüllens von Randbedingungen". Da sich schon

mit wenigen Konstanten Cn eine gute Annäherung an vorgegebeneWerte 5 erzielen läßt, ist zudem die Knotenlastmethode im allge¬meinen geeignet, das klassische „Minimumprinzip" dann zu

ersetzen, wenn die Spannungsfunktionen am betrachteten Rand

keine orthogonale Systeme bilden und deshalb ein erheblicher

Berechnungsaufwand in Kauf genommen werden müßte.

Ein numerisches Beispiel zur Bestimmung der Freiwerte Cn soll

nun noch einen abschließenden Vergleich zwischen dem Minimum¬

prinzip, der punktweisen Erfüllung und dem Knotenlastverfahren

ermöglichen, wobei der Ansatz (9) so gewählt werden soll, daß die

4) Eine andere Darstellung dieser allgemeinen Knotenlast findet sich in

[16], 8. 182.

5) Siehe [14], S. 71.

14

Randspannungen in eine trigonometrische Reihe mit endlicher Zahl

von Gliedern entwickelt werden können.

Eine Halbebene 0 ^ y < oo sei an ihrem Rande y = 0 durch eine

periodische, symmetrisch aufgebrachte Last nach Fig. 2 beansprucht.

»y

rr rft

ÉIUI

w

p a-c

'd'~cT

TTT7TTT

+1

à

sona >|g a-

TH

mr

Fig. 2.

-*»• x

Wir wählen den Ansatz:

V^ 1

<P{x,y) = 2J-y(C'i» + an«/C'2»)^a:"î/cosanx.m=ia»

Die Randbedingung {Txy)y=0 = 0 liefert uns:

und die Normalspannungen av lassen sich zu:

i

°v= - 2 C„(l+aw2/)e-a»"cosama;,

»=i

anschreiben. Insbesondere gilt für y = 0:

i

(Oy)y=0= ~ 2 CnCO$CtnX.11=1

Die vorgeschriebene Belastung läßt sich andrerseits als Fourier-

reihe von der Form:

00«

V n-rrx 2 f _

«-77«

5» = 2_1a«cos——• wo an = ä]av00a~!r '

»=i y

15

darstellen, und die Anwendung des „Minimumprinzipes" bedeutet

in unserem Fall:

niT

Cn = -an> mlt <xn = —r-

Die unbekannten Freiwerte Cn bestimmen sich also zu6):

(_!)» 2pa .mrc

Cn = +- --T-— sin . (n = 1,2,3,4n dnc a

Für c = 0,30 a und m = 1, 2, 3 und 4 erhält man nach kurzer Zwi¬

schenrechnung (pjd = + 1 ) :

C1 = - 1,715, C2 = +1,009, C3 = -0,218, C4 =-0,312.

Um entsprechende Vergleichswerte nach der Methode des punkt¬weisen Erfüllens der Randbedingungen zu erhalten, vergleichen wir

in 4 Punkten je die Randnormalspannungen ay und 5y (siehe Fig. 3).

Setzt man auch hier:

n TT

so erhält man mit dem gleichen Ansatz am Rande y = 0:

n-nx

K)„=o = -2C'»COS-

+ 1

1' 1

ol.

\'ll.

-a = L/2-

i_Ll

6 >H= 5+S-

§4x Jx

LH

MTTTT

4

<dx <4x

Fig. 3.

-2,333

A x = 0,30 a

6) Siehe [6], S. 45.

16

Die Werte von — cos für n = 1 bis 4 sind in der nachstehen-a

den Tabelle für alle Vergleichspunkte zusammengefaßt:

Punkt Nr. n= 1 n = 2 n=3 n=4

1 -0,951 -0,809 -0,588 -0,309

2 -0,309 +0,809 +0,809 -0,309

3 +0,588 +0,309 -0,951 +0,809

4 +1,000 -1,000 +1,000 -1,000

Diese Tabelle liefert uns sofort die Matrix des Gleichungs-

systemes, wenn wir für die 5y die entsprechenden Werte der Ver¬

gleichspunkte als Belastungsglieder einsetzen, wobei wir für die

Belastung des Punktes 3 das arithmetische Mittel x/2 ( + 1 — 2,333) =

— 0,667 eingeführt haben.

Oi C2 c» Ci Bel.

-0,951

-0,309

+0,588

+1,000

-0,809

+0,809

+0,309

-1,000

-0,588

+0,809

-0,951

+1,000

-0,309

-0,309

+0,809

-1,000

+1,000

+1,000

-0,667

-2,333

Die Lösung lautet:

Ci = -1,587, C2 =+0,697, C3 = -0,078, <74 =-0,029.

Bestimmt man die Freiwerte Cn nach dem Knotenlastverfahren,so sind vorerst die Knotenlasten von ay zu bilden.

Man erhält (Fig. 3):

K1 = -|{8,780l + 0,82C72}, nach (14)

A x

iT2 =——{0-J+10a2 + (T3}, nach (15) usw.1 Li

Diese Ausdrücke sind nun nach (13) den Knotenlasten von öyin den Vergleichspunkten gleichzusetzen (hier Anwendung der

Trapezformeln), und es entsteht so, nach Kürzen mit Ax/12, die

folgende Matrix des Gleichungssystemes:

17

Ci Ci C3 c4 Bel.

-8,608

-3,453

+6,571

+5,588

-6,443

+7,590

+2,899

-4,691

-4,502

+6,551

-7,701

+4,049

-2,968

-2,590

+6,781

+4,191

+10,000

+12,000

- 8,000

-14,000

Die Lösung lautet hier:

<?! = -1,700, C2 =+0,926, C3 = -0,196, C, = -0,150.

Vergleicht man nun die Ergebnisse der Bestimmung der Frei¬

werte des Ansatzes, so stellt man die befriedigende, gegenüber der

punktweisen Erfüllung wesentlich bessere Angleichung der Normal¬

spannungen durch die Knotenlastmethode fest, deren Resultate

nur unwesentlich von denjenigen des Minimumprinzipes abweichen

(siehe Figur 4 und Tabelle der Werte oy für y = 0).

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0

+0,5

+ 1,0

x1,5

x/l= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Fig. 4.

^

//ÏÏ/

Il !

(/

t

il,'i

>

/

!

1

.Ä "">1_ SS/—s? —**:

>

-- /

Punktweise Erfüllung

Knotenlastverfahren

Minimumprinzip

18

Tabelle der Werte ay für y = Q

x/aPunktweise Knotenlast- Minimum-

Erfüllung verfahren prinzip

0,0 -0,997 -1,120 -1,236

0,1 -1,000 -1,029 -1,040

0,2 -1,021 -0,907 -0,756

0,3 -1,051 -0,978 -0,860

0,4 -1,000 -1,162 -1,266

0,5 -0,726 -1,076 -1,321

0,6 -0,146 -0,429 -0,559

0,7 +0,667 +0,648 +0,742

0,8 +1,499 +1,722 +1,884

0,9 +2,110 +2,435 +2,479

1,0 +2,333 +2,672 +2,630

Abschließend sei zur Anwendung des Knotenlastverfahrens noch

das Folgende bemerkt:

Die geeignete Wahl der Vergleichspunkte m für die Knoten¬

lasten wird die numerische Zuverlässigkeit der Ergebnisse weit¬

gehend beeinflussen (wie auch für die Methode des punktweisenErfüllens der Randbedingungen).

Das mathematisch straffer formulierte Minimumprinzip wird

schon bei wenigen Freiwerten Cn die Randspannungen a in guter

Näherung an ö angleichen. Das Knotenlastverfahren kann lokal oft

größere Abweichungen von den vorgegebenen Werten aufweisen;

es wird aber trotzdem die Spannungen im Innern der Scheibe schon

bei wenigen Freiwerten zutreffender ermitteln als das Minimum¬

prinzip, da die Knotenlasten die Äquivalenz der Belastungen 5 ge¬

treu wiedergeben und also nach de Saint-Venant die ermittelten

Spannungen im Innern der Scheibe zutreffender sind.

Werden also die Randbedingungen nach der Knotenlastmethode

erfüllt, so sind im Scheibenbereich 0^y<Ax lokale Ungenauig-keiten zu erwarten und die Ergebnisse sind Näherungslösungen.

Dagegen darf im Scheibenbereich A x S y < co geschlossen werden,

daß die Resultate sehr genau sind (Fig. 5).Je mehr Beiwerte C„ nun nach dem Knotenlastverfahren be-

19

rechnet werden, desto mehr wird sich A x und damit die gestörteRandzone der Scheibe verkleinern.

Die Behandlung von Randwertaufgaben mit dem Knotenlast -

verfahren, aufgezeigt am Beispiel ebener Spannungszustände, kann

sinngemäß auch auf andere Problemstellungen übertragen werden.

4y

II Zlfx_

« >6 »« »« >

An. Ax Ax AxFig. 5.

ABSCHNITT II

Der Halbstreifen

1. Das allgemeine Iterationsverfahren

Der Grundgedanke, den Halbstreifen aus der Halbebene, welche

sich meist ohne Schwierigkeiten geschlossen darstellen läßt, abzu¬

leiten, führt auf ein Berechnungsverfahren, das hier kurz darge¬stellt werden soll. Dieses zu besprechende Iterationsverfahren ist,

wenn auch nicht in derselben Form, bereits von K. Qirkmann7)

aufgezeigt worden.

') Siehe [6], S. 100.

20

Wir denken uns den vorgegebenen Halbstreifen (Fig. 6), der

durch eine Nullbelastung (äy 4= 0, fxy— 0) am Rande y = 0 bean¬

sprucht werden soll (Eigenspannungszustände), nach beiden Seiten

zur Halbebene ergänzt und setzen die vorgeschriebenen Randwerte

von öy als periodische, antimetrische Belastung fort (Fig. 7).

iy

I—V

I—Ù [iflliLp—1

T |

<= L >c L

'--^nuT-y-1

Fig. 7.

Der Ansatz:

®{x,y) = X!"T(C,i» + a»2/(72»)e_a:"î/sma»a;> in = 1,2, ...,&)n

Xn

liefert zunächst die Spannungskomponenten einer ersten Berech¬

nungsstufe zu:

21

n

n

txv= +1,(0ln~Cin + anyC2n)e-^y cos ccnx.

n

Die Freiwerte Cln und C2m sollen so gewählt werden, daß die

Bedingungen am Rande y = 0 :

^xy > °V °î/ '

erfüllt werden können. Die erste Bedingung verlangt, daß:

und damit ergeben sich die Randnormalspannungen:

(°y)y=o = -I1Cnsmccnx.n

Die vorgegebene Belastung äv läßt sich ohne weiteres mit einer

Fourierentwicklung darstellen und es wird mit <xn = —^- :

i

„2 f ,

rnrxT , , „

C„ =

—y ä^sin—^—dx. (n = 1,2, . . .,&)

o

Damit ergeben sich die Spannungskomponenten einer ersten

Berechnungsstufe zu:

^ ^ l-. n-rty\ _ktv n-nx.,„.

^=

-2CB^H~p-je!

sin—j—, (16)

„„ mry -1?l2JL mrx

rxy=

+Z1Cn~1^e l COS-y—.

Betrachtet man nun wieder den Halbstreifen und bemerkt man,

daß ((7X)X^0 = 0, (ax)x=l = 0 sind, so stellt man fest, daß von den ins¬

gesamt sechs zu erfüllenden Randbedingungen vier erfüllt sind. Es

22

verbleiben am Rande x = 0 und x = l lediglich noch Gleichgewichts¬systeme von Randschubkräften der Form:

\Txy)x=0 — + 2j k»717T2/ _i

~ire

n-nv nvv(17)

In einer zweiten Berechnungsstufe trachtet man danach, diese

Randschubkräfte zu eliminieren. Der Halbstreifen ist diesmal in

Richtung der negativen «/-Achse zum unendlich langen Streifen zu

ergänzen, der durch die negativen Randschubkräfte (17) aus Stufe 1

zu belasten ist, wobei diese Belastung für y < 0 antimetrisch ergänztwerden soll (Figur 8).

xy/x = l

(^xy)x

Fig. 8.

Mit dem symmetrischen Ansatz, bezogen auf das neue System(x',y):

00

h^{x',y) = f -(A^hßx'+ßx'AzShßx'+AaShßx'o

+ ßx'AiChßx')cosßydß,

ergibt sich für die Spannungskomponenten:

23

hxox = -f^Chßx'+ßx'Ai&hßx' + AtShßz'+ßz'AiChßx')o

cosßydß,00

hav = +${(A1 + 2A2)Chßx'+ßx'A2Shßx'°

+ (Aa + 2Ai)Shßx' + ßx'AlChßx'}ooaßydß,

hlTxy = +j°{(A1 + A2)Shßx' + ßx'A2Chßx'+ (A3 + Ai)Chßx' + ßx' A^hßx^sinßydß.

Dank den Randbedingungen:

(hax)x'=+a = °> (hax)x'=-a = °>

\"lTxy)x'=+a—

\Txy)x=l> \"lTxy)x'=—a \Txy)x=0>

lassen sich die vier Unbekannten Ax, A2, A3, Ai bestimmen.

Kehren wir wieder zum Halbstreifen zurück, so stellt man fest,daß nun am Rande y = 0 Normalspannungen von der Form:

81<7j/ = +\'{(A1 + 2A2)Ch.ßx' +ßx' A2Shßx' + {Az + 2Ai)8hßx'

+ ßx'AiChßx'}dß,

verbleiben, die nun mit umgekehrtem Vorzeichen wieder als neue

Belastung einer dritten Berechnungsstufe eingeführt werden kön¬

nen.

Dieses skizzierte Verfahren ist fortzusetzen, bis die letzten erhal¬

tenen Randspannungen 8nax, 8nay oder Snrxy vernachlässigbarklein werden.

Die endgültigen Spannungen im Halbstreifen ergeben sich dann

zu:

KW. = ax + 81 ax +&2ax H»

KW. =

av +Kav +82cti/ + •

•. (19)

VxylRes.=

Txy + °1 rxy + °2 Txy +

Dieses interessante, bereits von Girkmann [6] vorgeschlageneIterationsverfahren dürfte aber für die praktische Berechnung eines

Halbstreifens nicht immer geeignet sein, und es ist deshalb im

nächsten Abschnitt ein Verfahren aufgezeigt, das, auf gleichenGrundgedanken basierend, zu einer geschlossenen Darstellung des

Iterationsverfahrens führt.

24

2. Geschlossene Näherungslösung

Der Halbstreifen soll wieder nach Fig. 6 mit einem Gleich¬

gewichtssystem (cr^ + O, rxy= 0) am Rande y = 0 belastet sein. Wir

denken uns nun diese vorgegebene Belastung öy vorübergehend in

zwei noch unbekannte Nullbelastungsanteile (ä^ und (ä )2 zerlegt.In einer ersten Berechnungsstufe werden wir, entsprechend dem

beschriebenen Iterationsverfahren, den ersten Belastungsanteil

(ôy)-^ behandeln. Mit den dort aufgezeigten Ansätzen erhalten wir

an den Rändern x = 0 und x = l Gleichgewichtssysteme von Rand¬

schubkräften. Diese Kräftegruppen werden mit umgekehrtem Vor¬

zeichen in einer zweiten Berechnungsstufe als neue Belastung ein¬

geführt, die nun ihrerseits am Rande y = 0 Normalspannungen oy

erzeugt. Diese Normalspannungen sollen nun gleich dem gedachten,zweiten Anteil (dy)2 der vorgegebenen Belastung sein.

Geüngt uns also eine solche Aufspaltung von öy in (öy)x und {äy)2,so ist es tatsächlich möglich, uns mit einem einzigen Schritt der

dargestellten Iterationsberechnung zu begnügen.Denken wir uns nun für die erste Berechnungsstufe den Halb¬

streifen beidseitig zur Halbebene ergänzt und die unbekannte

Randbelastung (äv)1 periodisch antimetrisch fortgesetzt, so ent¬

steht (Fig. 7):

mry\ n,,v.mrx

1e 1 sin-

l

n-nx, ns

sin—j—,(16)°v =-2^»l1+-jAje 1 si

„„ n-ny _n7rv mrx, , „

Txy = +2j6»—Y"e l COS^—. (71=1,2,...,*)n v *

Die Beiwerte Cn sind vorläufig als freie Konstanten zu berücksich¬

tigen, weil (äy)1 nicht bekannt ist. Die Bedingung:

\Txyly=0= ")

ist mit dem Ansatz (16), wie wir gesehen haben, bereits erfüllt. An

den Rändern x = 0 und x = l verbleiben jedoch infolge der voraus¬

gesetzten Nullbelastung (äy)1 Gleichgewichtssysteme der folgendenRandschubkräfte :

25

,. „„ n-rry -VlEI.

n *

mm n7rv

(rxy)^-+zcn-r-e—r(-ir.n '

Aus den Bedingungen:

GO

$(Txy)x=Ody = °. HTxv)x=.idy = o,

(17)

folgt für die Beiwerte Gn sofort eine erste Beziehung:

+ +9i=°- (20)

Nach dem Prinzip von de Saint-Venant darf geschlossen werden,

daß, infolge der Nullbelastung (5y)1, nur der Scheibenbereich

0 < y < l beansprucht wird. Insbesondere ist deshalb anzunehmen,

daß auch die Randschubkräfte in x = 0 und x — l im wesentlichen

auf diesen Bereich beschränkt sind. Da die (tXj/):(.=0>; wiederum

Nullbelastungen darstellen, soll deshalb aus den gleichen Gründen

für die zweite Berechnungsstufe die Voraussetzung getroffen wer¬

den, daß sich die beiden Randbelastungen rxy gegenseitig nicht

*y spannungsfrei

' (T*y)x - o

._l

Fig. 9.

26

beeinflussen, oder, daß die Schubkräfte links am rechten Rand

keine Beanspruchung ergeben und umgekehrt.Es gilt deshalb für eine zweite Berechnungsstufe, wenn zunächst

nur die Schubkräfte am Rande x = 0 in Rechnung gestellt werden

(Fig. 9):Mit dem Ansatz

00

8<P(x,y)=(~(A1+ßxA2)e-ß*coSßydß,o

erhält man entsprechend die Spannungskomponenten:00

Sax = -j(A1 + ßxA2)e~ßxcosßydß,o

00

8<jy =+$(A1-2A2 + ßxA2)e-ß*cosßydß, (21)o

8txv = -f(A1-A2 + ßxA2)e-ßxBinßydß.o

Die Randbedingungen für x = 0:

8(7^ = 0, §TXV = -Txy,

führen auf:

mrv n7,v

n<>

Der Beiwert A2 läßt sich nun als Fouriersches Integral8) der

Form:

n-rry _ZL

00

A2 = —\f(y)amßydy, mit f{y) = -XCn

0

darstellen und die Auswertung ergibt:

a _

4 Vp 2ß •+ _

n7T

^ --^LC»a-(«2+^2)2'mit

a»-"T-

Damit ist die folgende Darstellung der Spannungskomponenten

gefunden:

8) Darstellung einer ungeraden Funktion durch ein Fouriersches Inte¬

gral siehe z.B. [6], S. 48, Form. 116.

27

00

8a* = +^HC»"*»j (xf+Xßre~ßXC0Sßydß'

ocry =+-

^Txy = +

00

ßx+ /S2)2 [x

C

ßx

«+ß2)%ß~:

e~ßxco8ßydß,

e~ßxsmßydß.

Mit der Substitution v=ß\a.n und den neuen, dimensionslosen

Variabein £ = xß, r\ = y\l lauten die entsprechend umgeformtenAusdrücke :

8 er, =+4 Z°nnJ {1^v2)2e-vn7Ttcosvnnr,dv,

0Oy =+4

0

00

riTT

i-v--

-iv

nir

e-vnn£cosvmrr]dv, (22)

^vn7T^sinvmr7]di

Werden nun die Schubkräfte am Rande x = l in gleicher Weise

in Rechnung gestellt, so erhält man mit dem Ansatz:

00

8<P(x',y) = j ^(A1+ßx' A2)e+ß*' cos ßydß,

o

wobei x'= —(l — x), die entsprechenden Ausdrücke (22), nur daß £durch (1—£) zu ersetzen ist und die Spannungskomponenten 8axund ooy mit — ( — \)n, diejenigen von orxy mit +( —1)TC zu multi¬

plizieren sind.

Führen wir zunächst die folgenden Beziehungen ein:

CD

28

(23)

CO

0

00

JSn(£,v) =

) (1+^2)2 f»--^Jc-^-^fidnwBw^d»,0

so lassen sich, wenn man die Ergebnisse der ersten und der zweiten

Berechnungsstufe zusammenfaßt, die folgenden Ausdrücke für die

resultierenden Spannungskomponenten angeben:

KW. =+zcn{4n[jln(i,r,)-jln(i-è,7i)(-mn

- ( 1 - n TT rj) e~nw7i sin n tt £},

KW. =+ZCU4»[jîn(£,)-jïn(i-£1,)(-i)»]n

- ( 1 + n TT rj) «-"' sin n n £},

(TawW = +2CB{4n[J,B(^r,) + J8n(l-f,,)(-l)»]

+ w TT i? e-'7'' cos n 7T £}.

Man überzeugt sich leicht, daß, wenn nach Voraussetzung in der

zweiten Berechnungsstufe sich die Ränder x = 0 und x = l gegen¬

seitig nicht beeinflussen sollen, die Randbedingungen:

x = 0: ax = 0, txj/= 0,

x = Z: ax =0, tx„= 0,

y = 0: txj/= 0,

erfüllt werden. Liegt ein symmetrischer Belastungsfall vor, so muß

aus Symmetriegründen gelten:

<"x (>*}) = M1-^-»?)'

Man stellt fest, daß dies der Fall ist für:

n= 1,3,5,... .

Umgekehrt ergeben antimetrische Belastungsfälle:

29

Dies trifft aber zu für:

n = 2,4, 6,

Die Bestimmung von Cn

Als Aufgabe verbleibt nun noch die Bestimmung der k Frei-

werte Cn, die wir zur Erfüllung der letzten, verbleibenden Rand¬

bedingung, nämlich:

[KWUo =

<V (24)

verwenden. Diese Bedingung ist nun, nach Aufspalten einer belie¬

bigen Belastung in einen symmetrischen und einen antimetrischen

Anteil, durch Anwendung des Knotenlastverfahrens zu erfüllen.

Man wird also die Knotenlasten Km von [{ay)Res}v=^ denjenigen von

öv bei k Freiwerten Cn in (Jc-l) geeignet gewählten Punkten m

gleichsetzen. Damit erhalten wir, zusammen mit der Beziehung

(20), ein System mit ä; Gleichungen zur Bestimmung der k Unbe¬

kannten Cn, und die Aufgabe ist damit prinzipiell gelöst.Die notwendige Voraussetzung, daß 5y eine Nullbelastung dar¬

stellen soll, ist bereits mit Gleichung (20) implizit formuliert, und

es ist deshalb nicht erforderlich, diese Bedingung durch die ent¬

sprechende Wahl der Vergleichspunkte mit den Knotenlasten Km•nochmals zu berücksichtigen.

Sind die Cn berechnet, so kann nun rückwärts auf die eingangsdefinierten Belastungsanteile (äJ/)1 und (äy)2 ohne Schwierigkeiten

geschlossen werden, und die Verwandtschaft des Verfahrens mit

der Iterationsmethode ist damit aufgezeigt.

Darstellung von Jln, JZn und J3n

Für die numerische Berechnung sind zunächst die Integrale Jln,

J2n und J3n auszuwerten. Diese Ausdrücke sind in ihrer allgemei¬nen Form nicht geschlossen darstellbar; sie lassen sich jedoch als

Reihenentwicklungen darstellen.

30

Betrachten wir zunächst den Ausdruck:

1

(l+v2)2'

so läßt sich die folgende Taylorsche Entwicklung ableiten:

1= l-2v2 + 3vi-àv6 + •

,

(l+v2)2

und wir erhalten für die Auswertung von Jln, J2n und JSn, wenn

wir die Reihe nach einigen Summanden abbrechen, eine endliche

Summe von Integralen der Form :

jV»e—dSin^U, (A = 2,3,...0 [COSVUTTT]]

Letztere lassen sich jedoch berechnen, und wir erhalten, wenn

£>0»):

00

J" ^-D t-vmr£ cos vn-n-rjdv0

= (A - 1 ) ! {n2 TT2|2 + n2 n2 -q2}-^2 cos JA arc tg ||,00

J w(A-x) e~vn77£ sin w n n -q d v

o

= (A-l)!{w2772^2 + w27r2r?2}-A'2sinJAarctg||.Eine geschlossene Darstellung von Jln, J2n, J3n läßt sich jedoch

für Spezialfälle angeben, die nun hier noch untersucht werden sollen.

Am Rande £ = 0 wird:

(<An)|=0 = °>

(Jin)f-o = —: + |{c+B'"»et(-n7ri?)-e-»'"»»*(»7ri7)}J

Wn)f-o=-i^e-»'"».

Hierin bedeutet e i (x) = —dt das Exponentialintegral, und

ei* (x) ergibt sich zu: -«

Siehe [7], S. 139.

31

%2v+loV x

6 *<==> = 6*<"*> + 2 L (2v+l)(2v+l)!

Für die Auswertung des Exponentialintegrales können Tabellen¬

werke benützt werden. So sind z.B. in der „Praktischen Funktio¬

nenlehre" von Tölke [17] die Werte des Integrales tabelliert, und

es findet sich dort auch die tabellarische Auswertung der Summe10) :

L(2v+l)(2v+~lY\ = x + +3-3! 5-5!

- +

Eine weitere Sonderform der Integrale, die geschlossen darge¬stellt werden können, ergibt sich für rj — 0 und £ > 0:

(Jm\=o = +^|sin«,7r| \Ci(mrÇ)-nirC^ +nnCSi (mr$)2

v

+ cos n 77% IflTT èCi(niri;)-Si(nirfi + -

1 £\Wn),-0 = +— -

2 (Sm* ^ ^ 3Ci(w7T^) — mr^~ + n TTÏSi(nTTt)\

(^3»)l)=0 — °-

Hierin bedeuten:

E+ C0SW77-£ WlT^Ci(W7r^)-3Äi(W7T^)+-

C'^ = e + lnx + h-2vkw Integralcosinus,v=l

Si^ = L (2v+l)(2v+l)!= Integralsinus>

e =0,577215... = Eulersche Konstante.

Auch hier existieren in den Funktionentafeln von Tölke [17]und Jahnke-Emde [9] Tabellen für den Integralsinus und den

Integralcosinus. Die Möglichkeit der geschlossenen Darstellung der

Integrale für 77 = 0 ist besonders günstig, da auf diese Art die Rand¬

bedingung nach Gleichung (24) genauer erfüllt werden kann.

10) Siehe [17], S. 159 bzw. S. 248.

32

Als letzte Sonderform seien noch die Ergebnisse der Integralefür £ = 0 und t] = 0 angeführt. Es wird:

1

n-n-'(<Am)|=0,ij=0 — 0) ("2m)|=0,r7=0 ~ (^3»)f=0,i)=0 — 0.

3. Der Halbstreifen nach Fädle

Nachdem im vorhergehenden Abschnitt die Möglichkeit der ge¬

schlossenen, reellen Darstellung der Spannungskomponenten des

Halbstreifens für eine beliebige Randbelastung aufgezeigt wurde,

soll nun hier ein Ansatz für die Spannungsfunktion besprochenwerden, der sich, wie die weiteren Abschnitte dieser vorliegendenArbeit zeigen werden, als sehr fruchtbar erweisen wird.

Wir wollen uns in der Folge auch hier auf sogenannte „Null¬

belastungen" beschränken, d.h. die angreifenden Kräfte längs des

Randes y = 0 sollen ein Gleichgewichtssystem bilden. F. Tölke hat

gelegentlich der Untersuchung von dreieckigen Scheiben bei Ge¬

wichtsstaumauern erstmals gezeigt, daß solche Nullbelastungen,die zu sogenannten ,,Selbstspannungszuständen" führen, durch

komplexe Eigenwertfunktionen dargestellt werden können11). J. Fädle

Fig. 10.

ii) Siehe [18], S. 388.

33

hat nun diese Funktionen für den Sonderfall des Halbstreifens dar¬

gestellt und auch die Grundlagen für die numerische Berechnung

von Aufgaben bereitgestellt12).Es soll nun die Aufgabe dieses Abschnittes sein, die Erkennt¬

nisse von F. Fädle auf einfache und leichtverständliche Art darzu¬

stellen und insbesondere das Randwertproblem wesentlich zu ver¬

einfachen.

Wir wollen hier von der folgenden Aufgabenstellung ausgehen:Es sei ein Halbstreifen (Rechteckscheibe mit H > l) vorgegeben, an

dessen Rand y = 0 vorgeschriebene Werte von 5y und fxy angreifen

sollen, die je für sich Gleichgewichtssysteme bilden (Figur 10).

Ein aus partikulären Integralen der Scheibengleichung gebildeter

Ansatz13):

>(x,y) = Yj-Y e-a"v{Clncos*nx + C2nsm<xnx + C3nccnxcosocnxn

a»

+ Cinxnxsinxnx}, (n = 1,2,. ..,1c)

liefert zunächst:

ax = I1^~'XnV{Gincosccnx + Ginsmocnx + C3nocnxcos!xnxn

+ Oinctnxsmccnx},

°y = Ze~°<»v{-Clncosocnx-C2nsinccnx (25)n

— C3n{2sma.nx + acnxcos<xnx)+ C4n(2cosxnx — <xnxsin<xnx)},

rxV= 2e-a»"{-ClnsinaTCx + C2„cosamx-|-C3„(cosawa;-ana;sinaxa:)

n

+ C4n (sin ocn x + a.n x cos ctn x)}.

Am Rande x = 0 muß sein:

Diese Randbedingungen ergeben:

12) Siehe [3], S. 125.

13) Die Zahlen n als Index von a» bedeuten in den folgenden Formeln

Symbole, um gewisse Werte ai, a2, .,voneinander zu unterscheiden.

34

und die entsprechenden Forderungen für x = l führen auf das

Gleichungssystem :

C2n{mianl-oinlco%(xnl) + Cina.nlsm.xnl = 0,

(26)C2nccJsmctnl + Cin(smunl + ocnlcos<xnl) = 0.

Das System (26) ist aber durch nicht-triviale Lösungen nur dann

befriedigt, wenn die Determinante identisch null wird, d.h. wenn:

sin2anZ-(a„Z)2 = 0,

oder: sin xnl = ± xnl. (27)

Es sei bereits jetzt darauf hingewiesen, daß die Wurzeln der

transzendenten Gleichung (27) komplexe Werte sind, die später

besprochen werden sollen.

Die Spannungskomponenten aus (25) lassen sich nun mit:

Gln = 0, -C2n = C3n = —-(l + -^-1cosxnl)cin,ctn i\ sin ctn i /

und wenn wir noch —jGin = ^Cn setzen, wie folgt darstellen:CCn fr

ar — \ X Gn e-01«y\- n

7 sin»„ (l — x) — sinx„ x

+ -r—^—7 <X„ X COS Xn(l — x) —

X„(l — X) COS <X„ X),

smanZn nX ' v ' n

\

:—^—J xn X COS a.n (l — x) + am (l — x) COS <xn x\,sin am l J

Txy= iZ^»e~a"!' feT~1«.nxsma.n{l-x) + a.n(l-x)wa.xnx .

m lsm am « J

Mit der Abkürzung ocnl-qn, sowie xß = £ und yß = i\, gehen die

Beziehungen über in:

35

"* =i2C-»^-'f^-8ingB(l-|)-Bin?Bf

+ ^r(inèoo8qn(l-^-qn(l-Ocosqj\,sin </B j

^= hZCne-w\-^-smqn(l-Ç)sinqJ (28)

Sill (/„ J

m (Sin </re J

Es läßt sich nun zeigen, daß die Spannungskomponenten ay und

rxy laut (28) für jeden Schnitt -q = konst. Selbstspannungszuständebilden, d.h. diese Spannungen stellen in beliebigen, horizontalen

Schnitten und so auch am Rande ^ = 0, Gleichgewichtssysteme

dar14).

Die transzendente Gleichung (27)

Führen wir auch hier die Abkürzung qn = ocnl ein, so lautet die

abgeleitete Beziehung (27):

qsin<7„

= +a„, oder:.

"= + 1.

a?l ~Hn

smgm

Erzeugen die vorgegebenen Randwerte äy und fxy einen sym¬

metrischen Spannungszustand, so gilt:

<*x(>v) = M1-£•>?)>

Vyii'V) = ay(l-£,y),

Man stellt sofort fest, daß diese Bedingungen für g„/sin qn = — 1

erfüllt werden.

Ferner überzeugt man sich entsprechend, daß antimetrische

Spannungszustände für qjsin qn = + 1 entstehen.

Die Lösungen der transzendenten Gleichung (27) zerfallen also

in zwei Teilergebnisse:

14) Der leicht zu führende Beweis findet sich in [3], S. 128.

26

sin qH = — qn bezieht sich auf symmetr. Spannungszustände,

smqn = +qn Hefert Lösungen für antimetr. Spannungszustände.

Setzt man qn als eine komplexe Größe an,

so ergibt sich zur Bestimmung der Real- und Imaginärteile:

Symmetr. Spannungszustand I n

„, ,n ,n'\cosanShbn = -bll;

» i.- x ei ^ifsinamCh6„ = + an,

Antimetr. Spannungszustand { „, , ,

cosol, Shö„ = + 6„.

(29)

Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren, auf das hier weiter

nicht eingetreten werden soll15), lassen sich mit wenigen Rechen¬

schritten die Lösungen ermitteln. J. Fädle hat in seiner Arbeit „Die

Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe"

je für den symmetrischen und den antimetrischen Spannungszu¬stand die ersten fünf Lösungen der Gleichung (27) nach (29) berech¬

net und die Ergebnisse seien auch hier der Vollständigkeit halber

wiedergegeben16) :

Symmetrischer Spannungszustand

a1 = + 4,21239, 61 = ±2,25072,

a3 = +10,71253, 63 = ±3,10314,

a5 = +17,07336, 65= ±3,55108,

a7 = + 23,39835, 67 = ± 3,85880,

a9 = +29,70811, 69 = ±4,09370.

A ntimetrischer Spannungszustand

a2 = + 7,49767, 62 = ±2,76867,

a4 = + 13,89995, 64 = ± 3,35220,

a6 = +20,23851, be =±3,71676,

a8 = +26,55454, b8 = ±3,98314,

a10 = +32,85974, 610= ± 4,19325.

is) Siehe z. B. [20], S. 14.

i«) Siehe [3], S. 129.

37

Man bemerkt, daß für jeden Zeiger n zwei Lösungen entstehen,die konjugiert komplex sind. Die Beziehung (27) wird also mit:

<ln = an + ibn> und Qn ^ an~iK> (30)

erfüllt.

Reelle Darstellung der Spannungskomponenten

Betrachtet man nun die Spannungskomponenten, die mit den

Beziehungen (28) zunächst in komplexer Form vorliegen, und den¬

ken wir uns für qn die Lösungen an±ibn eingesetzt, so folgt:

n

°v -iZCê-^nî^}. (31)n

n

Die verwendeten Abkürzungen F1,F2,...,Ft sind Funktionen

von £, an und bn. Sie lauten:

^1 = ^[BinaB(l-f)Ch6),(l-f) + anfooBaB(l-f)Ch6B(l-f)+ 6„£sinaB(l-£)Sh&B(l-|)]-[sinaB|Ch&B£

+an(l-£)cosa„£Ch6„£+ &B(l-£)sinanfSh6nf|,

Ji = ^[oo8an(l-f)Sh6n(l-|)-oBfsinoB(l-f)Sh6B(l-f)+ 6m|cosam(l-£)Ch6m(l-£)]-[cosamfSh&Mf

-are(l-£)sinan£Sh&n£+ 6„(l-£)cosaB£Ch6nf|,

Fs = S-^[Sman(l-Ç)Chbn(l-t)-aJCoSan(l-è)Chbn(l-è)qn

-bniâaan(l-i)Shbn(l-$)]-[fânan$Chbni (32)

-an(l-Ç)GoaanÇChbn$-bn(l-Ç)amanf;Shbn£],

^4 = ^[cosam(W)ShMW) +a»£smaw(W)ShMW)

-6B£cosan(l-£)Ch6B(l-£)]-[cosa„£Sh6n£-|-

+an(l-Ç)smani;Shbné;-bn(l-!;)cosaJCh.bn£],

J'5 = 5ps[«»f8inan(l-f)Ch6B(l-f)-ôBfco8aB(l-f)ShôB(l-f)]+ [a„(l-f)sina„fCh6n|-67l(l-|)cosan^Sh6„|],

F' = S^^^cosan(l-^Shbn(^) + bnînan(l-è)Chbn(l-i)]+ [aB(l-£)cosan£Sh6Bf+ &B(l-£)sinaB£Ch&Bf].

38

Diese Ausdrücke (32), welche reelle Größen darstellen, weil

—— = ± 1 ist, wurden von J. Fädle [3] ausgewertet, und sie sindIn

im Anhang für verschiedene Werte von £ sowie für je die ersten

fünf Lösungen von qn des symmetrischen und des antimetrischen

Spannungszustandes wiedergegeben. Mit der Eulerschen Beziehungfolgt aus (31) nun zunächst:

°x = iZCne-a«i{[F1cosbnr)+F2smbnr)]±i[-F1$mbnr]+F2cosbnri]},n

v» = %ZCne-a^{[F3cosbnr]+Fismbnr]]±i[-F3smbnri+Fico$bnr]]},n

TXy= \2 Cn e-0"v {Œ cosbnV+Fe sin bnV]±i [-Fs sin bnV+F6 cos bn v]}.

(33)Um nun die Ausdrücke für die Spannungskomponenten aus

Gleichung (33) reell darzustellen, setzen wir die noch freie Konstante

Cn ebenfalls als konjugiert komplexe Größe an:

Cn = C* + iCi. (34)

Damit entstehen für einen Zeiger n zwei Summanden ent¬

sprechend den konjugiert komplexen Lösungen für qn und dem

Ansatz für Cn :

°x = hZ{(C%-iCÏ) e-»nv [(Ft cos bn r, + F2 sin bn r?)"

+i(-F1ambnr) + F2coabn7l)]

+ (C% + iCÏ) e-»nv [(^ cos bnl + F2 sin bn v)

-i{-F1sinbn7, + F2co8bn71)]}.

Man erhält so (analog für oy und rxy) nach kurzer Zwischen¬

rechnung die folgenden, reellen Werte für die gesuchte Darstellungder Spannungskomponenten:

<*x = Z^anV{Gn[F1coabnV + F2ämbnV]

+ CÏ[-F1smbnr1 + F2cosbnrl]},

°y= 2 e-0"1» {C* [F3 cos bn y, + F4 sin bn ij]

+ Ci [ - F3 sin bn v + FA cos bn rj]},

rxv = 2 e-°»" {CS [F5 cos bn v + F6 sin bn r,]

+ Ci[-F&smbnrl + Fecoabn71)}.

Insbesondere ergeben sich die Randspannungen für 77 = 0 zu:

(35)

39

n

K)„=o =Z{CSfa+ CiFt}, (36)n.

n

Die Bestimmung von Cn

Die Real- und Imaginärteile der freien Konstanten Cn sind aus

den Bedingungen am Rande rj = 0 zu ermitteln. Diese lassen sich

anschreiben zu:

oy =X{C*F3 + CiFi} = öv,n (37)

T*y= Z{C*Fs + CiFt} = fxy.

n

Die vorgegebene Nullbelastung des Scheibenrandes rj — 0 läßt

sich zunächst in einen symmetrischen und in einen antimetrischen

Teil aufspalten. Durch Anwendung des Knotenlastverfahrens, das

im folgenden an einem Beispiel noch dargelegt werden soll, für

beide, getrennt zu behandelnden Belastungsfälle, lassen sich die

Bedingungen (37) in inhomogene Gleichungssysteme umsetzen,

welche uns die gesuchten Werte von C^ und GJn liefern.

Damit ist aber das Problem grundsätzlich gelöst und die Span¬

nungskomponenten ax, ay und Txy lassen sich für jeden beliebigenPunkt £ = xß, r\ = y\l für die vorgegebenen Nullbelastungen mit

Hilfe von (35) darstellen.

J. Fädle hat in seiner Arbeit „Die Selbstspannungs-Eigenwert-funktionen der quadratischen Scheibe" [3] die Konstanten C% und

C% nach dem Minimumprinzip bestimmt. Diese Ableitungen sollen

hier nicht wiedergegeben werden, hingegen sind im folgendenAbschnitt die Wirkungsweisen der beiden Verfahren an einem

numerischen Beispiel miteinander verglichen.

4. Numerisches Beispiel

Es sollen für einen Halbstreifen die Spannungskomponenten für

die in Fig. 11 dargestellte Nullbelastung, die am untern Scheiben¬

rand angreifen soll, ermittelt werden.

40

Die Randbedingungen für x = 0 und x = l führen auf die Dar¬

stellung der Spannungskomponenten nach den Beziehungen (28),wobei für qH die Werte des symmetrischen Belastungsfalles:

smqn -?».

einzusetzen sind.

Die Randbedingungen für 77 = 0 lauten entsprechend:

av = ÖV ' Txy= 0,

mit Hilfe der Gleichungen (37):

XiCSFz + CÏFJ-= Öy,

Z{C*F6lCiF9} == 0.(38)

VH

0 b-

"1 1

I1IHMU

0,1 L 0,1 L

L

5V= -4-f

Fig. 11.

Verwenden wir nur die ersten fünf Lösungen von qn für einen

symmetrischen Spannungszustand, so können wir nach dem

Knotenlastverfahren in fünf geeignet gewählten Randpunkten jedie Knotenlasten der vorgeschriebenen Belastung äy und fxy mit

denjenigen der Spannungen entsprechend der Gleichungen (28)

gleichsetzen.

41

Als Vergleichspunkte seien hier die Punkte £ = 0,00, 0,10, 0,20,

0,30 und 0,40 gewählt. Da jede beliebige Spannungsverteilung laut

(28) am unteren Rande „Nullbelastungen" erzeugt, werden auch

die Knotenlasten im Punkte £ = 0,50 implizite miteinander ver¬

glichen.Nach der Trapezformel und mit A x = 0,05 l lauten die Knoten¬

lasten der vorgegebenen Randwerte:

5y Tzy

-Ko, oo -—•96

249Ö 0

-Ko ,io-^•72

240

•Ko, 20A X

+ ir48 0

-Ko,30A x

+ 24-48 0

-Ko,40A x

+ 24-48 0

Um die Knotenlasten der Spannungskomponenten ay und r

am Rande 17 = 0 mit möglichst großer Genauigkeit zu bestimmen,

denken wir uns in den Punkten £ = 0,00, 0,05, 0,10, 0,15 usw.

vorerst Knotenlasten nach der Parabelformel gebildet. Werden

diese „Hilfsknotenlasten" in den gewählten Vergleichspunkten zu

„Hauptknotenlasten" zusammengefaßt, so entsteht nach Fig. 12:

A x

%-m = -WT{°"m-2 + 12 am-\ + 22 °m + 12 am+l + ^m+i)

— "

^^_ 1

m-2 m-1

m

m

N+1

m+1

Km_2'

Km

42

Entsprechend entstehen für Randknotenlasten:

A x

Mit den Beziehungen (37) folgt nun aber sofort:

KM = I,{c*KM)+ciKm(Ft)} = Km(ay),»

_ (39)Km(rxv) = Z{C^Km(Fs) + CiKm(Fe)} = Km(fxy) = 0.

n

Die gesuchten Knotenlasten der Funktionen F3, Ft, F5, F6,die mit (32) definiert wurden, ergeben sich nun für die Vergleichs¬

punkte £ = 0,00, 0,10, 0,20, 0,30 und 0,40 mit den im Anhangtabellierten Funktionswerten nach der abgeleiteten Rechenvor¬

schrift zu:

Km(F3):

£ n= 1 w=3

0,00 +164,832 +337,144

0,10 +188,308 - 73,524

0,20 + 11,464 -648,146

0,30 -105,336 -288,194

0,40 -166,758 +352,382

0,00 +115,690 +225,024

0,10 +207,984 +199,836

0,20 + 88,018 -593,298

0,30 - 75,602 -605,034

0,40 -207,500 +322,878

Km(F5):

£ w=l w=3

0,00 +15,760 +116,512

0,10 +65,450 +300,330

0,20 +70,666 -112,114

0,30 +47,320 -458,138

0,40 +21,312 -358,846

rc=7 w=9

+ 361,650 + 214,642 - 85,008

- 775,806 -1074,170 - 493,742A x

- 199,976 +1429,868 + 981,118 ^Ä+1189,018 - 564,782 -1412,690

- 19,284 - 890,896 +1687,628

n— 5 n=7 n=9

+ 320,658 + 352,168 + 258,218

- 296,652 - 972,594 -1167,392A x

- 886,080 + 669,994 +1752,640 IST+1196,154 + 473,706 -1871,768

+ 397,768 -1450,570 +1832,856

+ 253,952

+ 89,670- 945,838

+ 143,074

+1013,238

w = 7

+ 356,576- 625,846- 223,412

+1349,150

-1280,550

n=9

+ 348,434

-1166,218

+1521,070

-1262,030

+ 693,460

Ax

"24"

43

KmiF*)'-

1 n— 1 n = 3 n = 5 n=7 n = 9

0,00 + 29,314 +122,896 + 265,632 + 451,522 +646,738

0,10 +157,202 +533,186 + 621,628 + 83,942 -838,980Ax

0,20 +244,036 +178,268 -1142,574 -1562,148 +446,122 '~zi0,30 +235,008 -738,368 - 657,414 +1924,142 -165,666

0,40 +141,630 -912,456 +1578,628 -1238,882 + 35,502 J

Die so gefundenen Werte für die Knotenlasten der Funktionen

F lassen sich entsprechend der Vorschrift (39) zu einem Systemvon 10 Gleichungen mit den Unbekannten C* und CJn zusammen¬

fassen. Die angeschriebene Matrix (40) ergibt mit Hilfe des „abge¬kürzten Gaußschen Algorithmus"17) die folgende Lösung:

Of = -0,5847

C* = -0,1469

Cf = -0,0123

C? = +0,0388

0? =-0,0123

2d'

C{ = +-0,1484

C{ = + 0,0933

C{ = +0,0421

O? = - 0,0255

Ci = +0,0047

2d- (41)

Nachdem nun diese Ergebnisse vorliegen, können die Spannungs¬komponenten in behebigen Punkten der Scheibe ermittelt werden.

So ergeben sich z.B. die Normalspannungen ax im Schnitt ^ = 1/2mit Hilfe der ersten der Gleichungen (35):

°x = Ze-^CMcos&^ + ^sin^]

+ CÏ[-F1sinbnr] + F2co8bnri]},

nach einiger Zwischenrechnung, zu (siehe auch Fig. 13):

Fig. 13. +2,530;?d

0,0 + 2,530

0,1 + 0,857

0,2 + 0,203

0,3 -0,193

0,4 -0,343

0,5 -0,320

0,6 -0,314

0,7 -0,235

0,8 -0,175

0,9 -0,116

1,0 -0,075

2

«) Siehe [15], S. 82.

44

0,00

35,50

+-1238,88

+1578,63

-912,46

+141,63

693,46

+

0,00

165,67

-

+1924,14

657,41

-

-738,37

+235,01

-1262,03

0,00

446,12

+-1562,15

-1142,57

+178,27

+244,04

+1521,07

0,00

838,98

-

83,94

+621,63

++533,19

+157,20

-1166,22

0,00

646,74

+451,52

+265,63

++122,90

29,31

+348,43

+

+48,00

+1832,86

-1450,57

397,77

++322,88

-207,50

+1687,63

+48,00

-1871,77

473,71

++1196,15

-605,03

75,60

-

-1412,69

+48,00

+1752,64

669,99

+886,08

-

-593,30

88,02

+981,12

+

-72,00

-1167,39

972,59

-

296,65

-

+199,84

+207,98

493,74

-

-96,00

258,22

+352,17

+320,66

++225,02

+115,69

85,01

-

Bel.

ci

ci

ci

c{

ac$

(40)

Matrix

-1280,55

+1349,15

223,41

-

625,85

-

356,58

+

890,90

-

564,78

-+1429,87

-1074,17

214,64

+

+1013,24

143,07

+

945,84

-

89,67

+

253,95

+

19,28

-+1189,02

199,98

-

775,81

-

361,65

+

-358,85

-458,14

-112,11

+300,33

+116,51

+352,38

-288,19

-648,15

73,52

-+337,14

21,31

+

47,32

+

70,67

+

65,45

+

15,76

+-166,76

-105,34

11,46

++188,31

+164,83

of

Durch Integrieren ergeben sich nach Fig. 13 die Größen £ (Hebel¬arm der resultierenden Kräfte der Zug- und Druckspannungen)und 8 (Abstand der resultierenden Zugkraft vom untern Scheiben¬

rand) zu:

£ = 0,4741, 8 = 0,066 lw).

Um ein Kriterium über die Güte der Erfüllung der Randbedin-

Fig. 14.

ctj, (Knotenlastverfahren)

oy (Minimumprinzip)

+ 1,0r

iKnotenlast - Minimum¬

verfahren prinzip

0,00 -5,998 1 -4,726

0,05 -3,002 -3,716

0,10 -1,391 -1,658

0,15 -0,055 +0,761

0,20 +1,362 +1,291

0,25 +1,598 +1,012

0,30 +0,830 r +1,095 r0,35 +0,672 +1,005

0,40 +1,134 +0,756

0,45 +1,107 +0,996

0,50 +0,873 j +1,283 J

46

gungen für 17 = 0 zu besitzen, sind die Koeffizienten C* und Crfauch nach dem Minimumprinzip bestimmt worden.

Es soll hier nicht auf die Berechnung dieser Werte eingegangenwerden, die nach Zwischenrechnung, basierend auf dem Vorschlagvon J. Fadle, die folgenden Resultate ergeben:

Cf = -0,5859'

G§- -0,1470

C# = -0,0106

Cf = +0,0454

Cg = +0,0042.

Berechnen wir nach Vorschrift (36) die Spannungen ay für 77 = 0

je mit den Konstanten nach dem Knotenlastverfahren und nach

dem Minimumprinzip, so ergibt sich das in Fig. 14 dargestellteResultat.

Der Vergleich der Ergebnisse zeigt auch hier eine befriedigendeArbeitsweise des Knotenlastverfahrens, das dem Minimumprinzipals praktisch gleichwertig gegenübergestellt werden darf.

ABSCHNITT III

Die Rechteckscheibe

1. Allgemeiner Ansatz

Eine Rechteckscheibe sei an allen vier Rändern durch beliebige

Nullbelastungsgruppen beansprucht. Da wir jede dieser vier Rand¬

belastungen getrennt behandeln können und die resultierenden

Teilspannungszustände superponiert werden dürfen, genügt es, die

Lösung dieser allgemeinen Aufgabe nach Fig. 15 darzustellen, wo

18) Vergleichen wir diese Ergebnisse mit denjenigen der durchlaufenden

Scheibe, so erhalten wir bei entsprechenden Verhältnissen nach Dischinger [1]

die folgenden Werte : £ = 0,4651, 8 = 0,060 L

P

d'

ci-

a-.ci-

+ 0,1502

+ 0,0946

+ 0,0438

-0,0203

P'

d'

47

nur ein Rand je durch Gleichgewichtsgruppen von 5y und fxy

beansprucht sein soll.

Legt man den Nullpunkt des Koordinatensystemes in den Mittel¬

punkt einer unbelasteten Rechteckseite, die dem belasteten Rand

i.y

06 -*-x

(7„ I

Fig. 15.

benachbart sein soll, und setzt man die aus partikulären Integralender Scheibengleichung gebildeten Ansätze an:

na

+ G3na.nz cos ocnx + Cinocnx sin anx},

+ CSna.nx cos a.n x 4- C4 n <xn x sin ocnx},

(»= 1,2,. ..,1c)

n ~»

(42)

(43)

so erkennt man, daß &s einen zur x-Achse symmetrischen Span¬

nungszustand beschreibt:

48

und daß entsprechend &A einen zur z-Achse antimetrischen Span¬

nungszustand darstellt:

Man wird deshalb eine nach Fig. 15 vorgegebene, allgemeineNullbelastung nach Fig. 16 in zwei Eigenspannungszustände zer¬

legen und diese getrennt behandeln (die Randschubspannungensind in Fig. 16 nicht eingetragen).

t ftTïï *

'f

men

t fTTn t

°?— <Pa "x

\ u^ r

Fig. 16.

Der zur x-Achse symmetrische Spannungszustand

Er wird durch die Spannungsfunktion &s(x,y) beschrieben:

0s= lj~jG^oi.ny{Clnco8<x.nx + C2nsmxnx

+ C3n<xnx cos xnx + Cinocnxsm<xnx}. (42)

Durch zweimaliges Ableiten ergeben sich die folgenden Span¬nungskomponenten:

°x = ZCharey{Clmcosana: + (72nsina:„a;

+ GZn <x.nx cos <xnx + Cin <xn x sin a.n x},

av= Echa.ny{-Clncos<xnx-C2nsmoc„x

— C3n(2sinxnx + <xnx cos ocn x)

+ Cin(2cos<xnx-a.nx sin <xnx)},

Txy= 2 Sh am 2/ {^lm sin «^~ C2n COS <Xn X

— C3 n (cos *» » - *» » sin an z)

— C4m (sinama:-|-ama;cosama;)}.

49

Die Randbedingungen (orx)x=0 = (rxy)x=<) = 0 liefern auch hier ent¬

sprechend dem Halbstreifen:

^ln — 0> 03n = — C2n,

und diejenigen für x — l führen mit dem Gleichungssystem (26)durch Nullsetzen der Determinante auf die Forderung (27):

smocJ=±ccJ. (27)

Mit den Abkürzungen xnl — qn, %ß = £ und yjl = rj entsteht auch

hier aus den Randbedingungen:

Ci» = 0, ~Cin = 0Zn = J-(i+5^-oo8?B)ö4n.In \ Sln1n I

Wenn wir — Cin = \Cn setzen, lassen sich nun die Spannungskom-3»

ponenten zunächst noch in komplexer Form wie folgt darstellen:

°x = +i20»ChgTO>?M^-sin^(l-|)-singw^

+ -r?rr-qnècosqn(l-$)-qn(l-Ç)cosqj\,sin qn )

°v =+è2c»Chîwr?-j|^sing„(l-^-sinïre|» lBm Hn

sin qn j

TaW= -i2CnShgn»ïj-j^-îBf8in5fn(l-f) + gB(l-|)8ing),«.

n ism<z» J

Ein Vergleich mit den Ergebnissen für den Halbstreifen zeigt,daß die transzendente Gleichung:

sin?m = ±qn,

unverändert erhalten bleibt und also auch für die allgemeine Recht¬

eckscheibe Gültigkeit besitzt. Insbesondere erkennt man, daß

auch hier

?»= -1

smqn

50

einen Spannungszustand beschreibt, welcher die Eigenschaft be¬

sitzt, daß:

und also für eine symmetrische Mandbelastung in bezug auf die

Achse x = lß Gültigkeit hat. Für -J^- = + 1 gilt:sin c^fi

&s(C,r,) = -$s(l-£,rj),

und der Spannungszustand wird durch eine antimetrische Rand¬

belastung, auf die gleiche Achse bezogen, dargestellt.Im übrigen sind die Ausdrücke für die Spannungskomponenten

im Vergleich zum Halbstreifen im wesentlichen unverändert, nur

ist e~9n7> durch Chqnr) bzw. Shqnrj zu ersetzen. Mit den bereits

definierten Punktionen F1}...,Ft (32), die deshalb unverändert

beibehalten werden können, ergibt sich nun zunächst:

"* =+iZGnChqnV{F1±iF2},n

°v =+ïZCnChqnr,{F3±iFé},n

rxy = -lZOnShqnrj{F5±iF6}.n

Mit den Beziehungen:

Ch?nij = Ch{(on±»6w)ij}= Ch.anr)CosbnTj +1 Sh a„ 77 sin 6m tj ,

Shgnij =Sh{(o„±»6B)ij}= Sh an 7] cos bnr)±iChan7] sin bn -q,

gilt deshalb für die Spannungskomponenten:

^ = h21Cn{[F1Chanr,cosbnr]-F2Shanr)8inbnr]]

±i[Ft Shanrj sinbnrj + F2Chan-qcos6mrj\},

°v= hI1Gn{[F3Chanr)cosbnrl- FiShanTjsmbnT)]

±i[F3Shanf) smbnr] + FiChanr] cosbnT]]},

t«/= i 2 Gn {[ ~ F5 Sh an -q cos bn ij + F, Ch an -q sin bn ij]

± i [ - -F6Cha„ Tj sin bn -q- F6 Sh an r] cos6re ij]}.

51

Entsprechend dem Halbstreifen treten also auch hier für jedenZähler n zwei Summanden auf, die den konjugiert komplexen

Lösungen von qn entsprechen. Um die Spannungskomponentenreell darzustellen, setzen wir wieder die noch freie Konstante Cnals konjugiert komplexe Größe der Form:

Qn= Cn +1 Cn,

an. Die gleichen Überlegungen wie beim Halbstreifen führen nun

auf die folgende, reelle Darstellung:

°x = 2{C» [-?iC!hfflmy cosbnt)-F^hanr,&inbnv]

+ CJ[F1ShaHrjsmbnrl + F2Chan7)COfibnr1]}>

<*v =2{C»[^3Chanr?cos6n1?-^4Sha„T?sinöMT?]n (44)+ C» [F38h.anTjsin6wrj + -F4Chan-qcosbn??]},

TXV= 2 {Gn [ - •#> Sh «« *? COS bnl + F6 Ch O» *? sinK n\

+ Gi [ - F& Ch aTC tj sin bn rj- F6 Sh an -q cos 6W vß).

Im Schnitt 77 = 0 längs der z-Achse ergibt sich nach (44) :

t =0

wie dies für einen zur x-Achse symmetrischen Spannungszustandgefordert werden muß.

Je nach der vorliegenden Randbelastung in y= ±h, welche jain bezug auf die Achse x = Z/2 in eine symmetrische und eine anti¬

metrische Teilbelastung aufgespalten werden kann, sind nun zur

Ermittlung der Spannungskomponenten die Werte von an, bn und

F1,...,Fefür: sing^ = — qn, (Symmetrie)

oder: sing^ = +qn, (Antimetrie)

einzusetzen. Die Anpassung der Freiwerte C% und CJn zur Erfüllungder Randbedingungen in y= ±h:

av = ay ' rxy=

Txy »

geschieht hier wieder zweckmäßig nach dem Knotenlastverfahren,

das uns zur Bestimmung von C% und C% ein inhomogenes Glei¬

chungssystem liefert. Für die numerische Berechnung sei im übri¬

gen auf das noch zu besprechende Beispiel verwiesen.

52

Der zur x-Achse antimetrische Spannungszustand

Er wird durch die Spannungsfunktion &A beschrieben:

0A = 2_J-ïShan2/{Clmcosa„a; + C2„sinana;

+ C3nxnxcosotnx + Cinxnxsinxnx}, v '

und es ergeben sich damit die Spannungskomponenten:

ox = ^Sheeny {Clncos<xnx + C2nsinocnx

+ C3nxnx cos xn x + Ci n xn x sin xn x),

°y= ^Sh<x.ny{-Clncoaanx-Cin&m«.nx

— C3n (2 sin xn x + xn x cos xn x)

+ Cin(2 cos xn x—

ocn x sin <xn x)},

rxV= 2Cha«2/{C'i»sma»a;-c'2»COSa»a;

— Cs» (cos xn x - xn x sin xn x)

— Cin (sin <xn x + xn x cos xn x)}.

Die Randbedingungen für £ = 0 und x = l entsprechen denjeni¬

gen des symmetrischen Spannungszustandes, und wir erhalten nach

einiger Zwischenrechnung:

°x = +iZ<7»shgBiJM^smgB(i-f)-singBf

+ ^rrrctn^oBqn{\~è)-qn^-è)^sqné,sin qn )

ay =+i2C»Sh?llijM^-Bingn(l-|)-HinjBfn Is111 Ï»

sin qn j

^= -i2CBChjB97Mi-g'nffling'B(l-f) + g'B(l-|)sin?B||.

„ [bin qn |

Auch hier ist nun, je nach der vorliegenden Randbelastung in

y= ±h, welche ja in eine symmetrische und eine antimetrische

Teilbelastung in bezug auf die Achse x = l\2 aufgespalten werden

kann, zur Ermittlung der Spannungskomponenten

53

entweder:.

= — 1, (Symmetrie)smqn

oder:.

= +1, (Antimetrie)Hingn

zu setzen.

Mit der Einführung der im Anhang dargestellten Funktionen

F1,.. .,Fe (32) erhält man mit dem gleichen Vorgehen wie beim

Halbstreifen schließlich die folgende reelle Darstellung der Span¬

nungskomponenten :

°x =2]{c'»[-FiSliam^cos6„7;-i^Chœre7?sin6„i?]

+ C» [-*! Ch an rj sin bn -q + F2 Sh an v cos bn v]},

av =Z{Cn[FsShanrlcosbnr)-FiChanr]smbnrj]

+ Ci[F3Chanr)sinbn7) + FiSh.anrjcosbnrl]},

TxV= Z{Cn[-F&GhanVoosbnrl + F6Shanr)smbn7]]

+ CJ[-FbShanr]smbnT]-F6ChanT]cosbnr]]}.

Auch hier wird mit:

ay = ax = 0, für v\ = 0

die Bedingung eines antimetrischen Spannungszustandes erfüllt.

Entsprechend dem Vorgehen beim zur x-Achse symmetrischen

Spannungszustand können auch hier mit dem Knotenlastverfahren

die Freiwerte C% und C% den vorgegebenen Randwerten äy und

Txy angepaßt werden, wobei öy und fxy wieder in einen symmetri¬schen und einen antimetrischen Anteil aufzuspalten sind.

Zusammenfassung und Ergänzungen

Die Aufgabe der Spannungsermittlung für eine Rechteckscheibe,

die durch eine Nullbelastung längs eines Randes beansprucht sein

soll (Fig. 17), läßt sich also lösen, indem man die gegebene Belastungin vier Teilbelastungen aufspaltet, nämlich in eine

x-symmetrische A -symmetrische,

x-symmetrische A-antimetrische,x-antimetrische A -symmetrische,x-antimetrische A-antimetrische Belastung,wobei A die Achse x = Iß bezeichnet.

54

Diese Teilbelastungen können durch die folgenden Ansätze

berechnet werden:

08(x,y), mit sin qn = -qn,

®8{x,y), mit &inqn = +qn,

&A{x,y), mit sinqn = -qn,

<PA(x,y), mit sinqn = +qn.

Das auftretende Randwertproblem (Anpassung der Freiwerte

C% und C% an die vorgegebenen 5y und fxy in y— ±h) ist hier

zweckmäßig mit dem Knotenlastverfahren zu behandeln.

y,J

h «—1/2—» ^1/2—*

| 0

h

1 /l ,

—*'\t"~*'

\f Txy

Fig. 17.

Durch Vertauschen von Sh mit sin und Ch mit cos in den

Ansätzen für &s und <PA erhält man eine weitere Gruppe von

Ansätzen für Rechteckscheiben, die hier noch kurz besprochenwerden sollen.

Es ergibt sich entsprechend (vergleiche mit (42) und (43)):

n n

+ C3na.nx Ch xn x + Ci n a.n x Sh ctn x},

0A, = 2J-2-sinanj/{ClnCha„a; + (7anSh«na;n

Ä«

+ C3nocnxGhccnx + Cin<x.nxShccnx}.

(46)

Diese Funktionen (46)*liefern die Spannungskomponenten:

55

{ClnChocnx + C2nShccnx=

+y[-cosany

Ljl-sm«ny+ G3n xn x Ch *» » + Cin ccn x Sh ccn x),

+ C3n (2 Sh aTC x + a.n x Ch <xn a;)

+ C4 n ( 2 Ch am x + <x.n x Sh <x„ a;)},

S [^^{^Sh^X+C^Ch^X

+ 03n(Chocnx + ccnxSh<xnx)

+ Cin(Sh.ccnx + ocnxCha.nx)}.

(47)

+

Die Randbedingungen für x = 0 führen wieder auf:

^ln, = 0, C2re = — C3re,

und für a; = Z folgt entsprechend:

+ C2» (Sh a„ Z - <xn l Ch am l) + Cin xn l Sh <xn l = 0,

- C2n <*n l Sh a» l + Gin (Sh *» l + a» ' Ch xn l) = °•

Damit das Gleichungssystem mit den Unbekannten C2n und

Cin nicht-triviale Lösungen besitzt, muß die Determinante des

Systèmes identisch null sein und es folgt:

oder:

Sh2 a.n l - (<xn If Ch2 0Ln l + (a„ If Sh2 aw l = 0,

Shoç„Z = ±<xnl. (48)

Die Form dieser Gleichung entspricht der abgeleiteten Beziehung

(27), nur ist hier sin durch Sh ersetzt.

Setzt man ocnl = qn = an + ibn, so ergibt sich :

Sh (an + ibn) = ±(an + ibn),

oder die Bestimmungsgleichungen für die Wurzeln der transzen¬

denten Beziehung (48) lauten:

Shamcos6m — ±an,

Cha„sin6„ = +&„.

56

Ein Vergleich mit (29) läßt sofort erkennen, daß, nach Ver¬

tauschen von an mit bn, die Lösungen von Gleichung (48) auf die

bereits bekannten Wurzeln der Beziehung (27) zurückgeführt wer¬

den können.

Die komplexen Eigenwerte qn dieses Ansatzes entsprechen also

den bisher bekannten Ergebnissen, wenn die Real- und Imaginär¬teile vertauscht werden.


Eine Rechteckscheibe mit dem Seitenverhältnis 2h:l = 2 soll

durch zwei Einzellasten nach Fig. 18 a beansprucht werden, und es

seien die Spannungskomponenten in beliebigen Scheibenpunktenzu ermitteln19).

Man stellt zunächst fest, daß die vorgegebene Randbelastungin y= ±h keine „Nullbelastung" darstellt. Es ist daher durch die

yi 'i

a)

-L-

H

mim

dl

i nim

b)

Fig. 18 a, b, c.

d = Scheibenstärke

V4

+ 0,>

P

dl

TTTT"

TTTT

c)

19) Eine ähnliche Aufgabe wurde erstmals von -R. Miche [13] behandelt.

57

in den Figuren 18b und 18c skizzierte Aufteilung der Belastungdafür zu sorgen, daß beim ersten Belastungsanteil die Voraussetzungvon Randgleichgewichtssystemen erfüllt wird.

Der zweite Anteil der Belastung (Fig. 18c) liefert:

P

und wir können uns daher auf die Untersuchung der ersten Teil¬

belastung beschränken.

Da diese zur x-Achse symmetrisch ist und zudem gilt:

5v(£) = öy{\-£), rxy(0 = -fxy(l-i),

haben wir zur Lösung der gestellten Aufgabe die Spannungsfunk¬tion &s(x,y) mit singre= — qn anzusetzen.

Die Randbedingungen für y= ±h, d.h. für rj = + 1, lauten dem¬

nach:

oder, ausgedrückt mit den Gleichungen (44):

2 {C% [Fa Ch an cos bn - FA Sh an sin bn]

+ Ci [F3 Sh an sin bn + F^ Ch an cos bn] } = 5y,

Z{CS[-F6Shancosbn + FBChanfànbn]n

+C^[-l,6Chawsin6TC-^6Shamcos6J} = 0.

Verwenden wir auch hier wieder die ersten fünf Lösungen von

qn für einen symmetrischen Spannungszustand, so sind nach dem

Knotenlastverfahren in fünf Randpunkten je die Knotenlasten von

üy und fxy mit denjenigen von ay und rxy zu vergleichen.Als Vergleichspunkte seien wieder die Randpunkte mit £ = 0,00,

0,10, 0,20, 0,30 und 0,40 betrachtet und die Knotenlasten der vorge¬

gebenen Randwerte lauten nach der Trapezformel mit A x = 0,05 Z20):

20) Da jede beliebige Spannungsfunktion (43) am betrachteten Rande

Nullbelastungen erzeugt, werden auch die Knotenlasten im Punkte f = 0,50

implizite miteinander verglichen, wo im Ausdruck für -Ko.so die angreifendeKraft P als Summand auftreten würde.

58

Ôy fxy

K0,0024^

dl0

-Ko,io24

*ödl

0

-Ko, 20 -^•48-^24 dl

0

-Ko, 30Ax

,„

P0

-Ko,4024

ödl

0

Die Knotenlasten von {oy)n=±1 und (t^^^ ergeben sich ent¬

sprechend dem Vorgehen beim numerischen Beispiel für den Halb¬

streifen zu:

A x

ô,oo = "24" (8 ^0,00 + 16 ô.os} >

A x

-^0,10 = "24" Woo +12 °o,o5 + 22 CTo,io + 12 ô.is + ^0,20} >

usw., und es entsteht so mit den erwähnten Beziehungen (44):

Km(ov) = 2{C7«[X8,(^)ChoBcoB6n-J8:B,(Jl)ShanSin6n]»

+ C» [Km (F3) Sha„sinbn + Km (Ft) Chan cos 6„]} = Km (5y),

Km {rxu) = X{CX[-Km (F5) Sh an cos bn + Km (F6) Ch an sin 6„] <49)

+ Ci[-Km (F5) Ch am sin bn - Km (Ft) Sh an cos 6J } = 0.

Die Knotenlasten der Funktionen F3,.. ., F6, die ebenfalls vom

Berechnungsbeispiel des vorhergehenden Abschnittes übernommen

werden können, sind also mit den unten dargestellten Faktoren zu

multiplizieren und zur Matrix (50) zusammenzustellen.

103

10«

109

1012

n Chonoos6n Sh an sin bn Sh ancos bn Ch an sin b„

1 -21,139 +26,206 -21,130 +26,218

3 -22,448 + 0,847 -22,448 + 0,847

5 -11,886 - 5,144 -11,886 - 5,144

7 - 5,446 - 4,741 - 5,446 - 4,741

9 - 2,006 - 2,835 - 2,006 - 2,835

59

dl

'

P0,00

+2037,18

-12818,04

+23975,67

-20178,87

+2433,88

+1290,43

-1100,34

+3922,88

8828,23

-

+4163,58

0,00

-3910,18

+16875,20

7078,05

-

-16186,84

+3723,08

-2061,97

-1774,89

+5082,32

-10909,68

+7161,31

0,00

+5207,15

9239,89

-

-18446,03

4096,72

++3303,76

+1786,51

+5904,98

-5364,83

2365,74

-

+7891,31

0,00

-4989,22

2509,99

-

7849,93

++11714,58

+1605,71

39,07

+-3806,33

-2131,84

7193,42

++5504,48

0,00

+2285,17

4149,52

+4463,63

+2660,08

+206,21

+-1134,54

198,75

-

+1652,06

2719,55

++1101,56

+48,00

-8461,13

+12123,54

4628,67

-

6949,50

-

16,28

++1810,76

-2025,33

+2275,33

8183,75

-

+8962,84

+48,00

+7759,74

97,83

+-20333,80

+13337,70

-1162,28

-2472,61

+5321,64

-7979,65

6981,84

++4207,92

+48,00

-6297,27

-10427,79

+11560,62

+12769,37

-1560,19

+3000,61

-4610,62

-2181,08

+15052,10

-2548,94

+48,00

+3741,55

+10389,39

7516,75

+4548,19

-

538,23

+-2319,11

+1238,86

+7695,25

1481,21

+-9431,07

+24,00

276,99

-

2935,52

-

5671,67

-

4765,78

-

+1874,02

902,57

+500,69

+-2649,11

7758,80

-

-6516,16

Bel.

ci

ci

ci

ci

ac$

Cf

c%

c?

Cf

(50)

Matrix

©Ol

Die Auflösung der so gefundenen Matrix (50) ergibt für die

Unbekannten CJ? und C{ :

Cf = -0,00389

103 C£ = +0,01486P

10« Cf = -0,03515 "rf710» Gf = +0,04315

1012 C« = +0,01945 J

Cf = +0,01534

103 • Ci = -0,01173

10« • Ci = +0,01084

10» • Cf = +0,01544

loi2- C{ = -0,01393

P_"dl (51)

Mit diesen Ergebnissen können nun in beliebigen Scheibenpunk¬ten die Spannungskomponenten nach der Rechenvorschrift (44)ermittelt werden. Für die numerische Auswertung sind vorerst für

verschiedene Werte von y die Resultate von Ch an rj cos bnt],Sh an y] sin bn y, Sh an y\ cos bn -q und Ch an r/ sin bn r/ in der nachste¬

henden Tabelle zusammengestellt.

V n Ch a„ i) cos bn n Shon Tj sin bn-q Sh ant) cos bn ?/ Chan i?sin6re i)

1 +1,3601 + 0,6713 +1,0650 + 0,8574

3 +0,0052 + 0,0051 +0,0052 + 0,0051

0,25 5 +0,0000 + 0,0000 +0,0000 + 0,0000

7 +0,0000 + 0,0000 +0,0000 + 0,0000

9 +0,0000 + 0,0000 +0,0000 + 0,0000

1 +1,8013 + 3,6528 +1,7487 + 3,7626

3 +0,0020 + 0,1060 +0,0020 + 0,1060

0,50 5 -0,0005 + 0,0025 -0,0005 + 0,0025

7 -0,0000 + 0,0000 -0,0000 + 0,0000

9 -0,0000 + 0,0000 -0,0000 + 0,0000

1 -1,3793 +11,6749 -1,3743 +11,7176

3 -1,0593 + 1,1224 -1,0593 + 1,1224

0,75 5 -0,1612 + 0,0833 -0,1612 + 0,0833

7 -0,0203 + 0,0051 -0,0203 + 0,0051

9 -0,0024 + 0,0002 -0,0024 + 0,0002

103

10«

109

1012

103

10«

109

1012

103

10«

109

1012

Beschränken wir uns für die Auswertung der Ergebnisse auf die

Ermittlung der ay in verschiedenen Schnitten 17 = konstant, so

erhalten wir nach einiger Zwischenrechnung die in Fig. 19 darge¬stellten Resultate, die nach den Ausführungen des ersten Abschnit¬

tes für 77 < 0,90 als genaue Lösungen betrachtet werden dürfen.

61

Zu diesen Ergebnissen des „ersten Belastungsanteiles" nach

pFig. 18b ist nun noch ay =

—

jjzu addieren und wir erhalten:

V

1

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

0,00

0,25

0,50

0,75

-0,964

-0,853

-0,433

+0,204

-0,945

-0,874

-0,628

-0,241

-0,971

-0,953

-0,874

-0,541

-1,016

-1,048

-1,146

-0,963

-1,055

-1,124

-1,382

-1,973

-1,070

-1,153

-1,480

-2,674

dl

Der Vergleich der Ergebnisse mit den Resultaten anderer Auto¬

ren [2], [8], [13] zeigt eine gute Übereinstimmung der berechneten

ykn

0,251_2_-.

0,00 L

.2_..

•1/2-

=a=coiEII

x

-1/2-

-2,674dl

-1,480dl

-1,153d-L

Ix P

j+7 -1-070dä

Fig. 19.

62

Spannungskomponenten. So hat zum Beispiel P. Dubas21) mit

baustatischen Methoden die folgenden Zahlenwerte für ay gefunden:

av nach P. Dubas

V

(

0,00 0,50

0,00

0,25

0,50

-0,96

-0,86

-0,44

-1,06

-1,14

-1,44

p_dl

ABSCHNITT IV

Die parallelogrammförmige Scheibe

1. Allgemeine Grundlagen

Zur Bestimmung von strengen sowie von angenäherten Lösungenist wohl eines der geeignetesten Hilfsmittel die zweckmäßige Wahl

eines Koordinatensystemes, das der Form des zu untersuchenden

Körpers angepaßt ist. Es wird deshalb im folgenden ein schief¬

winkliges Koordinatensystem eingeführt.

y*

//

/

//a> u

/

/

P(x,y), (u,v)

A

V/

Fig. 20.

2!) Siehe [2], S. 149.

63

Der Zusammenhang zwischen den schiefwinkligen und den

rechtwinkligen Koordinaten folgt aus Fig. 20 mit den Abkürzungen:

cosü> = c, smcu = s,

zu:X = u + cv,

y = sv,

u = x y,

v = -y.

(52)

Die Gleichgewichtsbedingungen am Element {du,dv) lauten

nach Fig. 21:

du dv'

dv du(53)

I ^°V, l .

'o<, + -^- dvjdurv

;rvu+^dv|du

<7u + ^-du dv

Fig. 21.

Auf die Darstellung der geometrischen Beziehungen soll hier

verzichtet werden. Aus der Literatur [5], [10], [11] erhält man,

wenn U, V die schiefen Komponenten der Verschiebungen eines

Punktes bezeichnen, für die Dehnungen e„, ev und für die Änderungyuv des Winkels œ des Volumenelementes:

_d£ dV_u~ du+c du'

_

dv duv~ dv+c dv'

idü dV\ ,_,.^ =

S{jv- + Ju-\- (54)

EKminiert man in geeigneter Weise die Verschiebungskomponentenaus den Gleichungen (54), so erhält man die Verträglichkeits¬

bedingung in schiefen Koordinaten:

64

o 7^ ^— ~—S—r ~—n v

'

dudv dv2 du2 dudv(55)

Bezeichnet E den Elastizitätsmodul und v=-\\m die Querdeh-

nungszahl eines isotropen Baustoffes, so lauten die Beziehungenzwischen den Spannungen au, av, tuv und den Dehnungen eu, ev,

7uv [10]:

sE{ov + (c2-vs2)<tu + 2ctuv}, (56)

2(l+v)f c,

Werden die Ausdrücke von (56) in Gl. (55) eingeführt, erhält

man zunächst:

d2

dudv2(l+v) Tra + 2(CT« + 0:»)

e2

g^ {<*« + (c2 - vs2) <t„ + 2 c tmJ +^{aB + (c2 - vs2) <ju + 2 Crwv}

d2— c

dudv{au + av + {c2-v s2) [au + a„] + 4 c t„„} .

Oder geordnet, ergibt sich:

dudv{l+c2 + v82)-2ci"

T"c

'

82'uvUV .

^ Tuv\ V ®tl.

V &v

du2 dv2— +

dv2 du2

+ (c2-^)fe +^l-2cü^+aV-

du2 dv2

(57)

dudv dudv\

Setzt man nun eine Spannungsfunktion 0 (u, v) an und berech¬

net man die Spannungskomponenten nach der Rechenvorschrift:

82<P

dv2'

_d2$0v~dTu^'

d2®

'dudv' (58)

so werden die Gleichgewichtsbedingungen identisch erfüllt. Glei¬

chung (57) liefert durch Einsetzen aber eine lineare Differential¬

gleichung vierter Ordnung:

65

8*<P 3*0 d*<P

du* dv*v 'du2dv*

-4c ^^- +

& 1

8u3dv dud

Damit ist aber die ,,Scheibengleichung"" in schiefwinkligenKoordinaten gefunden, wobei <P (u, v) wieder die Airysche Span¬

nungsfunktion darstellt.

Man überzeugt sich leicht, daß alle diese Beziehungen für den

Spezialfall s=\ und c = 0 in diejenigen für rechtwinklige Koordi¬

naten übergehen. Die abgeleitete Differentialgleichung kann auch

direkt durch Koordinatentransformationen aufgestellt werden und

führt zu den gleichen Ergebnissen.Auch hier sind nun eine ganze Reihe von partikulären Integralen

der Scheibengleichung bekannt. Neben Ansätzen von Polynomensind vor allem wieder Produkte der Exponentialfunktionen mit

trigonometrischen Funktionen von Bedeutung, die wie folgt zusam¬

mengefaßt werden können22):

cosoc(u + cv),].,

\ Cha.sv,1

mit'

sin a (u + c v), J (Shasv;

cosß(cu + v),\ iChßsu,sin ß (c u + v), \ }Shj3sw

Mit oder ohne die Faktoren u und v.

2. Die komplexen Eigenwerte der schiefen Scheibe

Mit den gleichen Überlegungen wie bei der Rechteckscheibe

kann auch hier gezeigt werden, daß für die Erfassung einer allge¬meinen Belastung die Berechnung einer „Nullbelastung" nach

Fig. 22 genügt.Wir wählen zuerst für die Spannungsfunktion &(u,v) den aus

partikulären Integralen der Scheibengleichung zusammengesetztenAnsatz :

22) Siehe [11], S. 208

66

0(u,v) = 2_l"2-cosare(cw + ü){ClmChanSM + C2mShawS'i

+ C3na.nsuCh<xnsu + CinxnsuShtxnsu}.(61)

Dieser liefert uns nach Zwischenrechnung die folgenden Span¬

nungskomponenten:

au = -^cosa.n(cu + v){ClnCh<xnsu + C2nSh.oi.nsu

+ C3na.nsu Cham s u + Ci n <xn s u Sh ccn s u},

av = +Y1{cos<x.n(cu + v)[ClH(s2-ci) Chixnsu + C2n(s2-c2)Shansu

+ C3n(s2-c2)ocnsuChoc.nsu + 2C3ns2Sha.nsu

+ Cin(s2 — c2)<xnsuSih.(xnsu + 2Cins2Ch <xn s u]

— 2 s c sin <xn (c u + v ) [C^ n Sh a.n s u + C2 nCh ocn s u

+ C3n(Chansu + <xnsuShotnsu) (62)

+ Cin (Sh a.nsu + <xnsuCh<xnsu)]},

T = +2{ccosam(cw + «)[ClmChare5M-l-C2reShaTCsw

+ G3ntxnsuCh/xnsu + Cina.nsuSh.a.nsu]

+ s sin xn(cu + v) [Gln Sha.nsu + C2n Ch <xns u

+ C3n (Ch a.n s u + ocn s u Sh ocn s u)

+ Cin (Shansu + ansuChxnsu)]}.

Mit den Randbedingungen für u = +1 :

= 0, = 0,

Fig. 22.

67

folgt zunächst:

ClnCh.<xnsl + G2nSh.ocnsl + CSn<xnslCh(xnsl + C4nocnslShixnsl = 0,

Cln Sh ccn s l + C2n Ch ocn s l + C3n (Ch ocn s l + <xn s l Sh ocn s l)

+ Cin(Shansl + anslChocnsl) = 0.

Für den Rand u= —l müssen wieder die Spannungskomponen¬ten du und tuv identisch null sein. Damit gilt:

ClnCh.ocnsl — C2n&hotnsl — C3n<xnslCha.nsl + Cin<xnslSh.<xnsl = 0,

- C1 nSh <xn s l + C2n Ch ocn s l + C3n (Ch <xn s l + an s l Sh ocn s l)

-Cin(Sh(xnsl + ocnslCh.oi.nsl) = 0.

In einer Matrix zusammengefaßt, lassen sich nun diese insge¬samt vier Bedingungen wie folgt darstellen:

Cin C2n Cin Cin

Chansl

Sh ansl

Ch ansl

-Sh ansl

Sh an S l

Ch an s l

-ShanSl

Chansl

anslChansl

Ch an S l + an S l Sh an S l

-an slCh an sl

Ch ansl+ anslSh ansl

anslShansl

Sh an S l + an S l Ch an S l

ansl Sh an S l

-Sh an Sl — anSl Ch ansl

Soll dieses System von homogenen Gleichungen nicht-triviale

Lösungen besitzen, so muß gefordert werden, daß die Determinante

identisch null wird. Diese Forderung führt nach elementarer

Zwischenrechnung auf die Bedingung:

Sh2a„s£= ±2<xnsl. (64)

Setzen wir:

2ocnsl = qn = an + ibn,

so erkennt man, daß die von J. Fädle [3] angegebenen Lösungender transzendenten Gleichung (64) erhalten bleiben, wobei nach den

Ausführungen am Ende des vorhergehenden Abschnittes „Die

Rechteckscheibe" nur die Real- mit den Imaginärteilen zu vertau¬

schen sind (siehe Bemerkung nach Gleichung (48)). Es zeigt sich

also, daß die für den Halbstreifen abgeleiteten komplexen Eigen¬werte nicht nur für die Rechteckscheibe gültig bleiben, sondern

68

auch im Falle parallelogrammförmiger Scheiben beibehalten werden

können. Die verwendete Airysche Spannungsfunktion (61) stellt

ihrerseits eine Verallgemeinerung des ersten Ansatzes von (46) dar,

welche sich auf diese Weise mit den früher verwendeten Spannungs¬funktionen (42) und (43) der Rechteckscheibe nicht durchführen

läßt.

3. Grundsätzlicher Lösungsgang

Es wird immer möglich sein, eine Nullbelastung nach Fig. 22,

welche längs eines Randes angreifen soll, in eine polarsymmetrischesowie in eine polarantimetrische Belastungsgruppe aufzuspalten,welche ihrerseits wiederum Nullbelastungen darstellen. In Fig. 23

ist dargelegt, wie diese Aufspaltung vorgenommen werden muß

(die Randspannungen fvu sind in der Figur nicht gezeichnet).

Fig. 23.

Entsprechend dem Vorgehen bei der Rechteckscheibe wollen

wir auch hier versuchen, die beiden Teilbelastungen, deren Summe

eine allgemeine „Nullbelastung" ergibt, getrennt darzustellen und

zur endgültigen Lösung die Spannungskomponenten zu super-

ponieren.

Der polarsymmetrische Belastungsfall

Ein zweckmäßiger Ansatz lautet hier entsprechend Gleichung (61):

<PS (u, v) = /, ~2cos a« (c u + v) [Ci nChccnsu + CinxnsuShocnsu].

na»

"

(65)

69

Man erkennt sofort, daß der Ansatz der Bedingung:

<£s(w,v) = +0s(-u, -v),

genügt. Die Spannungskomponenten ergeben sich aus (62) mit

G2n = 0, C3m = 0, zu:

au= — ^ COS xn(cu + v) [ClnChxnsu + CinxnsuShxnsu],

n

av = +X{cosxn{cu + v)[Cln{s2-c2)Chxnsu

+ Cin (s2 — c2) ocnsu Sh xns u + 2 Cins2 Ch <xnsu]

— 2scsman(cu + v)[ClnSha.nsu (66)

+ C4 n (Sh xn s u + xn s u Ch <xn s u)]},

tuv= + 2{ccosxn(cu + v) [ClnChxnsu + CinxnsuSh.xnsu]

+ ssin ocn(cu + v) [C1 n Sh<xn s u

+ Cin (Sh œM s u + xn s u Ch <xn s m)]}.

Beachtet man zunächst die Randbedingungen in u = + Z, so lie¬

fern die Forderungen nach uu= 0 und tu„

= 0 das Gleichungssystem :

ClnChxHsl + C4MamsZSham«Z = 0,

ClnShxnsl + Cin(Shxnsl + xnslChxnsl = 0.

Durch Nullsetzen der Determinante ergibt sich:

Chxnsl{Shxnsl + xnslGhxnsl} — xnslSh2xnsl = 0,

und mit 21 = L erhalten wir schließlich:

ShxnsL = -xnsL. (67)

Man stellt also fest, daß für polarsymmetrische Belastungsfälle in

Gleichung (64) nur das negative Vorzeichen Gültigkeit hat.

Drückt man Cln mit Cin aus, so folgt sofort:

c-=-c4+s^ch«»4Dieser Ausdruck läßt sich mit 21 = L und

"nS= - 1 noch weiter

vereinfachen und man erhält:

Cln = \Cin{Q\vxnsL-\).

Mit den Abkürzungen Cin = Cn, xnsL=qn und u\L = %, vfL — r],

lauten die umgeformten Spannungskomponenten:

70

°u =-i2CBjooBgn^ +^)[(ChgB-l)Chgnf + 2gBfSh?B^]J>

+ 2(s*-c*)qJShqJ + 4s*ChqJ]

-2scsinqn^ +^J[(Ghqn+l)Shqn^ + 2qJGhqJ]\,

^uv = +^GJfoosqJ^ +~rA[(Chqn-l)ChqJ + 2qn^ShqJ]

+ßsmqn(~C +^vy(Chqn+l)ShqJ+ 2qnChqJ]\.Setzen wir nun in den Ausdrücken für die Spannungskompo¬

nenten für qn die Lösungen

qn = an±ibn

des polarsymmetrischen Zustandes ein und fassen wir die Real¬

bzw, die Imaginärteile der Ausdrücke in den eckigen Klammern

mit den Abkürzungen Ff ,F^,. .., F§z zusammen, so ergibt sich:

ou =-i2C»{oos(0n±i6B)(^ + ^)[l'f±.-J'&]},"* = +^Cn\ooB(an±ibn)^ +^vyFfn±i FfY]

-2scSm(an±ibJ^ + lv)[F^±iF^>T«B = +i2CB{coon(aB±i6B)^ + ^)[iff±tJ'fI]

+ a sin (an ± i bn) fe + ~ v) [Ff ± i ^f,]}.Setzt man den Freiwert Cn als konjugiert komplexe Zahl an,

so ergeben sich mit:

und der Abkürzung:. c

.1

s s

71

nach einigen Umformungen entsprechend dem Vorgehen bei der

Rechteckscheibe, die reellen Werte der Spannungskomponenten zu:

<>u = +ZCn{-Fi cosa„ACh6wA-^fIsinaTOASh6reA}

+2^«{+ ^fsinoreASh6nA-J'fIcosaTCACh6„A},n

av = +2Cf|{+ jrfIIoosonACh6nA + ^fvsma„AShè„A

-F§2scsmanXChbn\ + F%I2sccosan\ShbnX}

+ 2C»{--f,inSin«»ASh6nA+ Jffvcosa„ACh6„A (68)

-F§2sccosan\$hbn\-F§I2scsman\Chbn\},

+ Ff s sin an A Ch bn A - Ffj scos an A Sh 6„ A}

+ 2^{--Ficsin«»ASh6BA + #fIccosa„AChôJlA

+ .Fv scosaMASh6„A+ J,fIssina„ACh6nA}.

Es bedeuten dabei, wie bereits erwähnt:

Ff ±»ffi =(Ch?n-l)Ch?nf+ 2?nfShgnf,

^fii±^fv = (s*-c*)(Chqn-l)ChqJ + 2(S*-c*)qJShqnÇ

+ U*ChqJ,(69)

#« ±iF^ = {Chqn+l)8hqnè + 2qntChqnt.

Die Doppelvorzeichen erklären sich dabei aus den konjugiert kom¬

plexen Lösungen für qn.

Damit sind aber die allgemeinen Ausdrücke für die Spannungs¬

komponenten für den polarsymmetrischen Belastungsfall gefundenund die Freiwerte C% und C£ können nach dem Knotenlastver¬

fahren, dessen Anwendung keinerlei Schwierigkeiten bietet, zur

Erfüllung der verbleibenden Randbedingungen in v — ±h, bestimmt

werden.

Der polarantimetrische Belastungsfall

Hier lautet der Ansatz entsprechend Gleichung (61):

<PA(u,v) = 2_i-YOOSacn{cu + v)[GinSh<xn8U + C3nocn8uCheinsu].

72

Man überzeugt sich sofort, daß Polarantimetrie vorliegt, d. h. daß :

$A{u,v) = -$A(-u, -v).

Die Spannungskomponenten ergeben sich zunächst durch zwei¬

maliges Ableiten zu:

<r„ = — '£{cosa.n(cu + v)[C2nSh.ccnsu + C3nxnsuChtxnsu]},n

av = + *Z {cos <xn(cu + v)[C2n(s2-c2)Sh.oi.n s u

+ C3n (s2 - c2)an s u Ch <xn s u + C3 n2 s2 Sh an s u]

— 2scsmacn(cu + v) [C2nCh<xnsu (71)

+ C3n (Ch a.n s u + a.n s u Sh <xn s u)]},

fuv = +2{ccosaTC(cw + tt)[(72mShaTCsw + C'3wamswChaMsw]

+ s sin a.n(cu + v) [C2n Ch a.n s u

+ C3n (Ch <xn s u + <xn s u Sh <xn s u)]}.

Erfüllen wir zuerst die Randbedingungen in u= ±1, so muß sein:

C2nSh<xnsl + C3nacnslCh<xnsl = 0,

C2nCh.ocnsl + C3n(Ch.ocnsl + <xnslSh<xnsl) = 0.

Durch Nullsetzen der Determinante des Systèmes erhalten wir mit

21 = L'ShtxnsL = +a.nsL, (72)

das heißt, für polarantimetrische Belastungsfälle sind die Lösungender Gleichung (64) mit dem positiven Vorzeichen einzuführen.

Für C2n folgt sofort:

C2n = -$C3n(Ch*nsL+l).

Mit den Abkürzungen C3n = Cn, <xnsL = qn, u/L = ^ und v\L — t\,

lauten zunächst die Spannungskomponenten:

°u =-12C»{ooB?n0f + ^J[-(ChgB + l)Shgnf + 2grnfChgnf]J,'v =+:kZCnj[cosqnfe + ~r]y(c2-s2)(Chqn + l}ShqJ

+ 2(s*-c2)qJChqJ + 4s2ShqJ]

-2scsmqn^ + ^y]y-(Ghqn-l)ChqJ + 2qJShqJ^,73

Tuv = +hZCJccosqJ^ + ^rA[-(Chqn+l)ShqJ+ 2qnÇChqJ]

+ ssinqn(^ + ^r]\[-(Chqn-l)ChqnÇ+ 2qnÇShqnd.

Setzen wir nun wieder in diese Ausdrücke für qn die Lösungen des

polarantimetrischen Belastungsfalles ein:

und fassen wir die Real- und Imaginärteile der Ausdrücke in den

eckigen Klammern mit den Abkürzungen Ff, Ffj,.. ., F^x zu¬

sammen, so ergeben sich entsprechend dem Vorgehen bei Polar¬

symmetrie mit:

. c. 1A = -£ + ->?,

S s

die reellen Spannungskomponenten: -

<*u = +I1CS{-FfcosanXChbnX-FfIsmanXShbnX}n

+ T1Ci{ + Ffsman\ShbnA-Fflcosan\ChbnX},n

av = +^CK{ + Fincosan\Qhbn\ + F{Ywn.anAGh.bn\- J'42scsma»^Gh6„A+F4i2sccosamASh6mA}

+ XCÏ{-FfllBÏnanÀShbnX + FfYcosan\Chbn\ (73)'

"

-iï142sccosaTOASh6ttA-^I25csinaMACh6„A},

ruv = + ZC,*{+ #fcCOSareACh&mA + iYlcsm«»ASh6mA

+ F4 s sin an A Ch bn A — FYI s cos an A Sh bn A}

+ 2C£{-i^csinanASh6wA + i'YIccosa„ACh6nA

+ Fy s cos an A Sh bn A + FYl s sin an A Ch bn A}.

In diesen Formeln bedeuten:

Ff ±iF& = -(Chqn+l)ShqJ + 2qJChqnè,

Ffn±iFfY = -(s*-c*)(Chqn+l)ShqJ

+ 2(s*-c*)qJChqJ+ 4:s*ShqJ,(?4)

F4 ±iF4, = - (Chqn-l)ChqJ + 2qJShqJ.

74

Damit ist aber auch hier die reelle Darstellung der Spannungs¬komponenten gefunden und die Freiwerte C% und CJn lassen sich

nach dem Knotenlastverfahren mit Hilfe der verbleibenden Rand¬

bedingungen in v = ± h bestimmen.

Numerische Berechnung

Der grundsätzliche Lösungsgang zur Berechnung von parallelo-

grammförmigen Scheiben für beliebige Randbelastungen ist nach

den vorhergehenden Ausführungen prinzipiell aufgezeigt.Für die numerische Berechnung solcher Scheiben sind jedoch

weitere Grundlagen bereitzustellen. So sind insbesondere die Funk¬

tionen Ff^fj,..., Fvi sowie Ff ,Ffx,. . ., F$i für verschiedene

Werte von |, qn,s,c zu berechnen und etwa in der Art darzustellen,wie dies J. Fädle für den Halbstreifen bereits getan hat.

Mit diesen, noch zu erarbeitenden Grundlagen läßt sich eine

allgemeine parallelogrammförmige Scheibe unseres Erachtens ohne

zu großen Rechenaufwand übersichtlich für beliebige Randbe¬

lastungen berechnen. Die auftretenden Randwertprobleme geben— bei zutreffender Verwendung des Knotenlastverfahrens — weiter

zu keinen Schwierigkeiten Anlaß.

ABSCHNITT V

Temperaturspannungen und Formänderungen

1. Grundlagen

Es sei eine Scheibe vorgegeben, welche nicht nur durch äußere

Lasten, die auch hier wieder an den Rändern angreifen sollen, son¬

dern auch durch beliebige Temperaturwirkungen beansprucht wer¬

den soll.

Diese Temperaturwirkungen, die allgemein Funktionen des

Ortes (x, y) sind, haben eine Dehnung eT nach beiden Richtungen

75

ex_dU

_

dx

1, -vor^ + ey,

V_

8V-

~

dy~

1.

-varx) + T,

Yxy

BU

dy

8V_

2(l+v)

x und y jedes Elementes (dx,dy) zur Folge. Dies führt zur nach¬

stehenden Verallgemeinerung der Spannungsdehnungsgleichungen:

(75)

Wird wieder mit <P(x,y) die Airysche Spannungsfunktion be¬

zeichnet, so gilt nach früher:

_

Bz&_

82® d%$>ax~

8yt> aV~ 8x2' T*V-8xdy-

ilb>

Durch Einführen dieser Ausdrücke in die Verträglichkeits¬

bedingung:

^Jx.^Jv=

ë2Yxv

dy2 dx2 dxdy'

erhält man die veränderte, allgemeinere Grundgleichung für die

Spannungsfunktion2S) :

AA0(x,y) + EAeT(x,y) = 0, (77)

wo A =^—i

+ ~—£ °-en Laplaceschen Operator bezeichnet. Mit der

fiktiven Belastung:

wo K= die Biegesteifigkeit bedeutet, geht (77) in die ge¬

wöhnliche Plattengleichung über und ist entsprechend zu behan¬

deln. Die Spannungsfunktion kann sich in diesem Falle als Summe

eines partikulären Integrales &0 der vollständigen Gleichung und

eines möglichst allgemeinen Integrales 01 der homogenen Gleichungzusammensetzen :

23) Siehe z. B. [12], S. 204.

76

&(x,y)=0o+&1. (78)

Die Verschiebungen U (x, y) und V (x, y) folgen aus den Beziehun¬

gen (75) durch Integration sofort zu:

EU(x,y)=$(<jx-voy)dx + E$eTdx + il,1(y),

EV(x,y) =S(ay-vaJdy + EjeTdy + tf,2(x).(79)

Darin sind aber die Integrationsfunktionen if>x(y) und tfi2(x)gemäß :

BU 8_V_

2(l+v)

Ty~+ Vx~

E~"Txv'

miteinander verbunden. Durch die Einführung der Ausdrücke (79)und (76) gilt deshalb zusätzlich:

oy ex exoy

(80)

2. Die Randbedingungen

Zur Lösung eines vorgegebenen Problèmes wird man gemäß (78)einen Ansatz für die Spannungsfunktion der folgenden Form

bilden:

0 = 0o +01 = 0o + liCn9n(x,y), (81)n

wobei <pn(x,y) geeignet gewählte, partikuläre Integrale der homo¬

genen Scheibengleichung bedeuten, so daß bei passender Wahl der

Beiwerte Cn die Randbedingungen des gestellten Problèmes mit

dem Ansatz (81) möglichst genau befriedigt werden können.

Es soll deshalb im folgenden angenommen werden, daß nur noch

der Spannungs- oder Verschiebungszustand an einem Rand mög¬lichst gut an vorgegebene Werte angepaßt werden muß.

Im Falle geometrischer Randbedingungen — die noch kurz be¬

sprochen werden sollen — ergibt sich damit durch Einsetzen der

Ausdrücke (76) in die Formeln (79), unter Berücksichtigung von (81):

77

-5c.J(t^M(7£-'£-)"

+ ^8(a:) =*EV,

wobei U und F die vorgeschriebenen Werte der Verschiebungs¬

komponenten darstellen (für die Bestimmung von ip1 (y) und ip2 (x)siehe das folgende, numerische Beispiel).

Diese Randbedingungen sind entweder punktweise zu erfüllen,

wenn in genügend engen Abständen Übereinstimmung verlangt

wird, oder das Randwertproblem kann nach dem Minimumprinzipbehandelt werden.

Das Knotenlastverfahren, als wesentliche Verbesserung des

„punktweisen Erfüllens von Randbedingungen", steht für eine

numerische Auswertung auch hier im Vordergrund und dürfte

besonders gut geeignet sein, mit wenig Freiwerten Cn gute Nähe¬

rungslösungen zu liefern.

Wir werden also auch hier so vorgehen, daß wir die Knoten¬

lasten der Verschiebungen U und V, die sich, abgesehen vom Bei¬

trag der partikulären Lösung &0, als Linearkombination der Frei¬

werte Cn ergeben, mit denjenigen der vorgegebenen Randwerte U

und V in k Punkten vergleichen.Die k Freiwerte Cn folgen dann wieder aus einem Gleichungs¬

system mit k in Cn linearen Gleichungen.Für das Knotenlastverfahren gelten im wesentlichen die bereits

im ersten Abschnitt gemachten Anmerkungen. Insbesondere sei

hier nochmals hervorgehoben, daß für Scheibenzonen, welche vom

Rande entfernt liegen, schon bei wenigen Freiwerten Cn ziemlich

genaue Lösungen entstehen, da das de Saint-Venantsche Prinzip

sinngemäß auch auf Formänderungen übertragen werden kann.

Hingegen bleibt zu bemerken, daß die Spannungskomponentenin der Randzone, welche aus den Konstanten Cn folgen, sehr unge¬

nau sein werden, da ax, ay und rxy aus den näherungsweise erfüllten

Randverschiebungen durch Differentiationen hervorgehen, die den

78

Charakter einer Näherungslösung nicht abschwächen, sondern im

Gegenteil verschärfen werden.


Es sollen an einem Halbstreifen nach Fig. 24, der am untern

Rand total eingespannt ist, die Spannungen infolge Schwinden

(gleichmäßige Temperaturänderung) ermittelt werden.

Dieser Eigenspannungszustand kommt in der Praxis etwa bei

in den Fundamenten eingespannten Wänden vor, wobei die Funda¬

mente als starr vorausgesetzt werden sollen.

Fig. 24.

Darstellung der Formänderungen

Nach den Gleichungen (79) sind die Formänderungen U (x,y)und V (x,y) zu:

30EU(x,y) =\oxdx-v—-E<isx + i\sx(y),

d0EV{x,y) = \oydy-v-~ ~ Eesy + i(,2(x),

anzusetzen, wobei -es den konstanten Wert der hier negativen

Dehnung eT infolge Schwinden darstellt.

Für die Integrationsfunktionen, die nach (80) miteinander ver¬

knüpft sind, gilt mit:

79

v x v y n'

sowie mit den folgenden Ansätzen von partikulären Integralen <pn

der homogenen Scheibengleichung:

=e-«nv\co&«nA mit oder ohne Faktoren

Kx\[sin an x) \ocn y\

die Beziehung:

d«/ ^#

Durch Trennung der unabhängigen Veränderlichen können ^ (y)und ^2 (x) zu:

angeschrieben werden, wobei f0,f1,f2 Festwerte bedeuten, die aus

den Randbedingungen des Problèmes bestimmt werden können.

Mit den im zweiten Abschnitt „Der Halbstreifen" abgeleiteten

Darstellungen kann der folgende Ansatz, der die Randbedingungenin x = 0 sowie in x = l bereits erfüllt, angeschrieben werden, da sich

Gleichung (77), weil JeT = 0, hier auf Ad& = 0 reduziert:

&(*,y) = iZ^^e-8"» l "nBin a^-g)-Binons

n aTO Is111 am *

+ cJmj 0Cn X COS <Xn {l-rX)-OCn{l-x) COS a.nx\.

olli. OCj, £ I

Nach zweimaligem Ableiten entstehen die Spannungskomponenten:

o-r = èSC« e_a»î/l^—Tsina„ (Z — a;)— sin a„ a;

x

„ {sm<xnl n\ / n

+ d^n 7"«^cosam(;-a:)-aw(?-a:)cosama; ,

f « Ï(83)

n lbm an '

-^rb~locnxoosun(l-x) + ocn(l-x)coa<xnx\.S1I1 otj, t I

(Siehe auch die Gleichungen (28).)

80

Die Formeln für die Verschiebungen lauten nun vorerst in kom¬

plexer Darstellung nach den Beziehungen (79):

EU{x,y) = \^Cne-^y~\ 2 -r-^—T cos a„ (l — x) + 2 cos œ„ x

-(v+1)[sin

-Eçgx + fo + ^y,

EV(x,y)=iXCne-«»y±-\vn an (

OL„l

i-^—j xn x sin a.n (l — x)+ <xm (l — x) sin <xm x \\

anl

.

n-r sin a« (Z — aj) — sin «,, a:

+Sina lccnxc^»n(l~x)-'xn(l-x)^SacnX

~ Lj" 7sinaTO(Z-x)-sinawx--T^-Tawa;cosam(Z-aj)

+ xn(l- x) cos a.n X }-^«sy + /,-/1x.

Der zu erwartende, symmetrische Spannungszustand erzeugtantimetrische Verschiebungen U (x, y). Deshalb ergibt sich aus der

Forderung:

w~»a0' mit e&r-1'für die Bestimmung der Freiwerte:

f0 = +Eesll2, /1 = 0. (84)

Verlangen wir ferner:

(' )x=O,j/=0 = ">

so gilt mit den Voraussetzungen des symmetrischen Spannungs¬zustandes:

/. = +*2C'n. (85)n

Damit lauten die Verschiebungskomponenten, wenn wir wieder

die Abkürzungen qn = ocnl, £ = xß und -q = yß einführen, für den

Schnitt 17 = 0:

81

E(U\ cosgw(l-£) + 2cosgm£=0~2ÇSw{[2sin^

Lsln In

+ Eesl(\-è),

^(F^o^Ç^f^sin^d-a-sin,^ (86)

+ ^smqn

?re|cosg-m(l-|)-?re(l-^)cos?„^

- h|^sin^(l-^)-sing„^-^-?„^cosg„(l-^)|_sui qn sin qn

+ ^qn •+ ?«(l-£)cosg'tt£

Man überzeugt sich leicht, daß für einen symmetrischen Span¬

nungszustand mit qn\'sinqn= — 1 gilt:

u(i,r,) = -u(i-è,7l), v(è,v) =+v(i-$,Tl),

und somit die Symmetrie- und Antimetriebedingungen im Schnitt

7] = 0 erfüllt sind.

Um nun die Verschiebungskomponenten reell darzustellen, die

mit (86) vorerst in ihrer komplexen Darstellung vorliegen, fassen

wir die Real- und Imaginärteile der eckigen Klammern in einer

ersten Stufe wie folgt zusammen:

g"smqn(l-Ç)-smqnÇ + -M-qn$cosqn(l-$)

smqn"" v " """

sing'

^r-smqn(l-^)-smqn^--M~qn$cosqn{l-i)sin qn sin qn

singwqn$sinqn(l-Ç)+ qn(l-Ç)smqnÇ = F5±iF6.

Man überzeugt sich sofort, daß die Funktionen F±, F2,.. ., F6,die von £ und qn abhängig sind, mit denjenigen des Spannungs¬zustandes identisch sind (vergleiche mit Abschnitt III, 1. und siehe

82

die numerischen Werte im Anhang). Es brauchen also zur Dar¬

stellung der Verschiebungen nur noch die durch die folgendenBeziehungen definierten Funktionen F7, Fa:

F1±iFs = 2-£-eoaqn(l-$) + 2ooBqnÇ,sin(/n

für verschiedene Werte von £ und qn berechnet zu werden.

Damit lauten aber die Verschiebungskomponenten:

E(U)^0 = l~YiCn~{[F7-(l+v)F5]±i[Fs-(l+v)F6]}+ E*sl(\-è), (87)

E (F)^0 = | £ C±{[v F1 -F3]±i [v F2 - FJ + 2 qn}.

Mit dem bereits wiederholt besprochenen Vorgehen erhält man so,

mit:

schließlich die folgenden Formeln:

E(U)^0 = lZC^-^{anF!-an(l+v)F5+ bnF6-bn(l + v)Fe}

+ lZCi-^-ü{-bnF7 + bn(l+v)F5 + anF8-an(l+v)F,}

+ Ez8l{\-£), (88)

E(V)^0=lZCz\~^[anvF1-anF3+ bnvF2-bnFi] + 2\

+ l?lOinl,hi{-KvFi + bnFi + anvF1-anFi}.

Die Funktionen F7 und Fs

Zur numerischen Erfassung der Verschiebungen sind noch die

bereits definierten Funktionen F7 und F8 auszuwerten, die im

Hinblick auf die Aufgabenstellung nur für einen symmetrischenSpannungszustand bestimmt werden sollen, also für:

sinqn

83

Die Bedingung lautet somit:

-2ooaqn(l-$) + 2coaqn$ = F7±iFa,

oder nach Einsetzen von qn = an ±ibn folgt:

-2cosare(l-£)Ch6„(l-£) + 2cosaMfCh6m£ = ^7,

+ 2sman(l-É)ShMl-É)-2Binan£Sh&nÉ =-Fg.

Die Auswertung ergibt die folgenden Resultate:

F7:i n=l n=3 n = 5 n-t n=9

0,00 +6,602 + 8,230 + 9,085 + 9,883 +10,234

0,05 +7,578 +15,694 +26,825 +38,851 +49,014

0,10 +8,032 +17,011 +22,767 +17,687 + 0,407

0,15 +7,974 +13,261 + 5,619 -15,718 -32,861

0,20 +7,529 + 6,603 -10,342 -21,888 - 2,824

0,25 +6,750 - 0,513 -15,242 - 2,063 +22,001

0,30 +5,702 - 6,017 - 8,610 +14,318 + 3,262

0,35 +4,439 - 8,671 + 2,543 + 9,594 -15,381

0,40 +3,038 - 8,081 + 9,591 - 5,796 - 1,961

0,45 +1,542 - 4,780 + 8,074 -10,721 +12,313

0,50 0 0 0 0 0

£ n= 1 ra=3 n=5 n—1 w=9

0,00 -8,250 -21,350 -34,132 -46,780 -59,040

0,05 -6,390 -13,197 -14,501 - 9,464 + 2,134

0,10 -4,696 - 4,065 + 7,513 +25,349 +39,695

0,15 -3,231 + 3,393 +18,378 +23,313 + 5,059

0,20 -2,031 + 7,866 +15,561 - 1,167 -25,235

0,25 -1,130 + 9,232 + 5,150 -16,437 - 8,361

0,30 -0,493 + 8,278 - 4,514 -11,144 +14,757

0,35 -0,127 + 6,116 - 8,943 + 2,436 + 9,596

0,40 +0,040 + 3,773 - 8,072 + 9,694 - 6,776

0,45 +0,046 + 1,743 - 4,445 + 7,361 - 9,967

0,50 0 0 0 0 0

Die Bestimmung der Beiwerte Cn

Zur Erfüllung der verbleibenden Randbedingungen des Pro¬

blèmes, nämlich:

(^„.„seO, (F)„_o=0, (90)

84

stehen uns nun noch die Freiwerte C% und C% zur Verfügung. Mit

dem Knotenlastverfahren werden wir also in ausgewählten Rand¬

punkten die Knotenlasten der Verschiebungen (U) ^ und (V) 0

je gleich null setzen.

In Anwendung der Beziehungen (88) lauten also die Bedingun¬gen von (90) :

Yi^iw^nKm(F1)-an{l + v)Km{Fb)

+ bnKm(F8)~bn(l + y)Km(F6)}

+ anKm(F8)~an(l+v)Km(F6)}

v CR

L^djë{anvKm(Fi)-anKm(F3)+ bnvKm(F2)

(91)

+aî+bî

{-bnvKm(F1) + bnKm(F3)

+ anvKm(Fs)-anKm(Fi)} = 0.

(92)

Da für die Verschiebungen ( U)v=0 die Randbedingung im Punkte

£ = 0,50 bereits erfüllt ist, wählen wir als Vergleichspunkte für die

Knotenlasten von U, £ = 0,00, 0,10, 0,20, 0,30 und 0,40. Die ent¬

sprechenden Ausdrücke für die Belastungsglieder von (91) lauten

nun nach der Trapezformel mit A x = 0,051 :

i = o,oo, -Ko.oo = -11,20

i = 0,10, Ko,w = - 19,20Ax

| = 0,20, Ko.so = - 14,40 '~2Tes,bj-f = 0,30, Ko,3o = - 9,60

è = 0,40, Ko,40 = - 4,80

Die Knotenlasten der Funktionen F5 und F6 für einen symmetri¬schen Spannungszustand wurden bereits im Beispiel für den Halb¬

streifen (siehe Abschnitt II, 4) benützt. Es sind deshalb nur noch

nach dem früher besprochenen Vorgehen die Zahlenwerte für die

Knotenlasten der Funktionen F7 und F8 zu ermitteln. Diese erge¬

ben sich zu:

85

Km(Fl)'

n= 1 n = 3 n = 5 n=7 n-9

0,00 +174,064 +316,946 +501,880 +700,680 +866,098

0,10 +377,460 +736,536 +888,946 +654,706 +210,200A x

0,20 +356,060 +309,236 -328,844' -'662,904 -188,780 '2Ï0,30 +270,280 -244,060 -342,560 +377,684 +146,420

0,40 +144,310 -345,212 +329,796 -126,718 - 76,696

Km(F8):

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

:1

-168,240

-229,046

-102,204

- 27,922

- 0,586

-381,954

-220,562

+328,766

+377,932

+185,592

-505,074

+193,240

+627,678

-137,336

-342,754

n=7

-525,666

+675,920

+ 71,044

-404,654

+319,688

w = 9

-438,178

+875,332

-540,342

+307,464

-138,768

Ax

"24"

Für die Verschiebungen (F)7?=0 sollen die Knotenlasten nach

Gleichung (92) in den Punkten £ = 0,10, 0,20, 0,30, 0,40 und 0,50

identisch null gesetzt werden, da hier diese Randbedingung im

Punkte £ = 0,00 bereits erfüllt ist.

Die Knotenlasten der Funktionen Fx und F2 ergeben sich nach

Zwischenrechnung zu:

Km{Fx):

Î n= 1 n = 3 n= 5 n = 7 n = 9

0,10 - 2,450 +185,612 +477,710 + 345,092 - 377,472

0,20 -18,954 +181,462 -375,224 -1369,984 - 427,978A X

0,30 -49,396 - 70,564 -855,822 + 819,814 +1059,330 1Ï40,40 -78,784 -256,304 +178,076 + 592,402 -1443,272

0,50 -90,818 -298,898 +838,010 -1310,708 +1570,154

Km(F2):

n= 1 n=3 w=7 w=9

0,10 + 51,142 + 480,024 +1208,232 +1698,860 +1418,908

0,20 +155,066 + 994,576 + 703,092 -1346,348 -2044,266A x

0,30 +272,840 + 586,596 -1641,462 - 222,368 +2164,602 '

2Î0,40 +362,262 - 544,052 - 325,198 +1605,970 -2117,060

0,50 +395,332 -1155,970 + 1785,578 -2115,890 +2082,414

Die entsprechenden Zahlenwerte für F3 und JT4 können auch

hier vom numerischen Beispiel für den Halbstreifen übernommen

werden. Ergänzend sind noch die Knotenlasten im Punkte £ = 0,50

zu berechnen:

Km(F3):

f n=l n=3

0,50 -185,230 +631,756

Km(Ft):

f n= 1 n = 3

0,50 -257,326 +899,062

Multiplizieren wir nun die vorgegebenen Werte der Knotenlasten

mit den Faktoren der nachstehenden Tabelle,

n a„ van (l + v)an bn vbn (l + x)6n V(°\ + K)

1 4,212 0,702 4,914 2,251 0,375 2,626 43,840-10-3

3 10,713 1,785 12,498 3,103 0,517 3,620 8,039-10-3

5 17,073 2,846 19,919 3,551 0,592 4,143 3,288-10-3

7 23,398 3,900 27,298 3,859 0,643 4,502 1,778-10-3

9 29,708 4,951 34,660 4,094 0,682 4,776 1,112-10-3

(" ^0,16667)

so ergibt sich die Matrix (93), die uns die folgenden Werte für die

Unbekannten C^ und C^ liefert:

Cf = -0,06785

cs = -0,00618

c? = -0,02218

c? = -0,03802

c9fi = + 0,12580

0{ = +-0,15341

<% = + 0,02942

ci = 4-0,02107

a = +-0,09687

a = - 0,08204.

Damit ist nun der Spannungszustand der Scheibe bekannt und

die Spannungskomponenten lassen sich in beliebigen Scheiben¬

punkten ohne Schwierigkeiten darstellen.

Von besonderem Interesse sind hier die Normalspannungen ax,

die nach der Rechenvorschrift (35) zu:

<*x = 2 e-tt"" {GSŒ cos bnV + Ft sin bn rj]

+ Ci[-F1smbn7] + F2cosbny1]},

n = 5 w= 7 n = 9

-1165,042 +1590,494 -1779,954-^.24

n = S n= 7 n = 9

-1475,380 +1801,762 -1802,588 -4r-24

87

0,00

+61,720

77,218

-

84,296

+77,014

-

',=

Km{2)

:

42,896

+

:Beachte

+173,232

5,964

++189,944

10,070

++159,302

0,00

-63,450

64,686

+25,948

-

25,756

-

34,312

+22,340

++148,948

93,468

+51,654

++150,802

0,00

+66,536

26,056

-

66,960

-

53,628

+12,778

++158,674

+121,672

4,066

++137,344

+125,878

0,00

-64,382

25,832

-

54,720

+48,440

+10,038

-

51,698

+20,894

++115,436

+173,362

87,164

+

0,00

+44,428

44,472

+17,970

+12,928

-

18,214

-

+116,624

+151,686

+149,846

+102,006

41,468

+

4,80

-

1,922

-

64,062

+-112,678

+105,830

42,406

-

30,080

-

68,992

+73,346

-

37,506

+5,696

+

9,60

-

9,174

+-102,028

41,294

+99,490

+77,004

-

55,756

+67,946

-

21,252

-

55,928

+9,908

+

-14,40

-26,112

78,630

++101,024

0,574

-

98,442

-

69,686

-

4,226

-

66,374

+40,910

+12,352

+

-19,20

+54,106

14,546

+39,022

-

82,200

-

-105,874

60,328

+61,578

+37,826

+12,236

+15,048

+

-11,20

-41,494

45,738

-

48,154

-

49,760

-

52,744

-

9,760

+4,622

+2,026

+2,484

+8,774

+

Bel.

ci

Ci

ci

ci

ci

C*

0?

Cf

c§

Cf

(93)

Matrix

CO

00

angeschrieben werden können. Die Auswertung ergibt für £ = 0,40und £ = 0,50 die folgenden Ergebnisse, wobei die Spannungen für

r) = 0 aus bereits erwähnten Gründen unzutreffende Resultate erge¬

ben werden:

(ffz)£=0,' (ox)fi-o,l

- 0,4

0,0 +6,8832 -5,2441

0,1 +0,6688 +0,7026

0,2 +0,4052 +0,4709

0,3 +0,2350 +0,2537

0,4 +0,1116 +0,1257

0,5 +0,0356 •e8E, +0,0412 -es je.

0,6 +0,0026 +0,0047

0,7 -0,0141 -0,0144

0,8 -0,0193 -0,0206

0,9 -0,0182 -0,0196

1,0 -0,0150 -0,0162

t "

t "

r 1,0 r-1,0

0,8 0,8

(ct,)^_0,4 (") (<7x){-0,5 (-)

- 0,6 - 0,6

Fig. 25.

89

Nimmt man für die Spannungsverteilung von ax längs des Ran¬

des 7] = 0 einen parabolischen Verlauf an, so ergibt sich mit den so

bestimmten Werten:

K)f-M ^ + 1,44 es E, K)f=0j5 ^ + 1,50 es E,

der in Figur 25 dargestellte Verlauf von ax.

Schlußbemerkungen

Wenn im Vorwort das Ziel dieser Arbeit umrissen wurde, so

erkennt man nun, daß die angestrebte Förderung der „analytischen

Berechnung" von Scheibenaufgaben im wesentlichen durch zwei

Maßnahmen erreicht wurde.

Durch die „baustatische" Fassung des Randwertproblems ge¬

lingt eine zweckmäßige und übersichtliche Darstellung dieser Auf¬

gaben.Mit den gewählten komplexen Ansätzen lassen sich die behan¬

delten Probleme leicht faßbar darstellen.

Ein Ausbau des in dieser Arbeit eingeschlagenen Weges ist durch

Bereitstellung ergänzender numerischer Grundlagen anzustreben.

So können insbesondere noch weitere Lösungen der Gleichung

singm = ±qn

berechnet werden, die uns erlauben, entsprechend mehr Freiwerte

in die Rechnung einzuführen.

Einer besonderen Weiterentwicklung bedarf auch die parallelo-

grammförmige Scheibe, bei der die numerischen Grundlagen vorder¬

hand noch ganz fehlen.

Anhang

Es sind hier noch die Funktionen F1, _F2,. . ., F^, auf die wieder¬

holt hingewiesen wurde, für verschiedene £ und qn dargestellt. Die

Werte sind direkt von J. Fädle [3] übernommen worden und sollen

hier der Vollständigkeit halber aufgeführt werden.

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Antimetrischer Spannungszustand

( n = 2 n = 4 w=6 n = 8 w=10

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0,05 +0,453 + 3,891 +11,748 +23,649 +37,278

0,10 +1,235 + 9,009 +18,017 +13,691 -16,703

0,15 +1,737 + 8,610 - 1,502 -41,907 -76,035

0,20 +1,726 + 2,117 -27,274 -44,976 +26,249

0,25 +1,274 - 6,494 -31,078 +18,756 +82,008

0,30 +0,627 -12,628 - 9,266 +55,974 -24,958

0,35 +0,063 -14,026 +17,965 +18,637 -76,719

0,40 -0,229 -11,210 +29,929 -37,585 +14,838

0,45 -0,214 - 6,018 +21,304 -44,563 +71,625

0,50 0 0 0 0 0

1 W=2 n= 4 n=6 ra=8 n=10

0,00 0 0 0 0 0

0,05 + 1,089 + 5,129 +13,504 +27,439 + 47,447

0,10 + 4,043 +17,967 +40,615 +61,817 + 63,274

0,15 + 8,029 +28,964 +39,483 + 4,913 - 75,746

0,20 +11,975 +28,178 - 4,266 -77,962 - 73,616

0,25 +14,845 +12,761 -51,189 -45,223 + 96,699

0,30 +15,858 -10,886 -50,801 +62,344 + 58,019

0,35 +14,629 -30,815 + 0,422 +72,856 -109,267

0,40 +11,214 -36,377 +52,331 -32,894 - 31,035

0,45 + 6,079 -24,179 +52,382 -85,289 +114,917

0,50 0 0 0 0 0

i w=2 w= 4 n=6 n = 8 n=10

0,00 +14,995 +27,799 +40,477 +53,109 +65,719

0,05 + 9,190 + 9,234 - 0,887 -21,495 -49,947

0,10 + 2,801 -12,243 -36,784 -48,745 -24,962

0,15 - 2,746 -22,410 -22,270 +27,461 +90,291

0,20 - 6,641 -17,556 +20,198 +63,663 - 0,804

0,25 - 8,625 - 3,074 +42,060 - 2,420 -95,910

0,30 - 8,848 +12,114 +23,531 -63,773 +10,559

0,35 - 7,687 +20,928 -14,527 -32,585 +89,778

0,40 - 5,578 +20,639 -38,307 +39,902 - 8,368

0,45 - 2,913 +12,489 -30,806 +56,213 -84,106

0,50 0 0 0 0 0

( n = 2 n = 4 w = 6 n-S «.= 10

0,00 + 5,537 + 6,704 + 7,433 + 7,966 + 8,386

0,05 + 7,870 +13,975 +18,027 +16,237 + 5,212

0,10 + 6,273 + 2,257 -17,474 -49,179 - 74,087

0,15 + 1,985 -15,865 -40,101 -28,744 + 42,234

0,20 - 3,372 -25,024 -12,006 +59,246 + 83,363

0,25 - 8,194 -17,615 +36,494 +52,593 - 75,344

0,30 -11,218 + 2,233 +47,741 -46,367 - 65,057

0,35 -11,725 +22,302 + 6,449 -69,347 + 95,016

0,40 - 9,622 +30,280 -42,946 +24,068 + 34,673

0,45 - 5,401 +21,160 -46,475 +76,546 -103,928

0,50 0 0 0 0 0

i n = 2 w = 4 n — 6 n = 8 n=10

0,00 0 0.0 0 0

0,05 +3,601 +11,553 +19,653 +23,175 +17,632

0,10 +4,823 + 8,605 - 3,204 -34,214 -69,547

0,15 +4,197 - 3,159 -31,263 -43,411 + 6,417

0,20 +2,472 -14,189 -26,943 +25,819 +88,589

0,25 +0,366 -17,856 + 5,401 +60,406 -17,202

0,30 -1,588 -13,121 +32,886 + 7,637 -86,611

0,35 -3,105 - 3,291 +31,948 -52,385 +15,692

0,40 -4,108 + 7,042 + 6,652 -40,558 +80,070

0,45 -4,652 +14,383 -21,721 +20,568 - 6,146

0,50 -4,821 +16,984 -33,608 +53,809 -77,082

1 n = 2 n = 4 n = 6 n=8 w=10

0,00 0 0 0 0 0

0,05 + 4,339 +11,713 +22,174 +34,434 + 45,705

0,10 + 7,924 +17,852 +20,135 + 2,208 - 41,197

0,15 + 9,520 + 9,896 -18,920 -66,504 - 78,297

0,20 + 8,596 - 8,712 -49,494 -33,427 + 73,962

0,25 + 5,310 -26,291 -29,828 +63,824 + 72,189

0,30 + 0,373 -31,244 +24,270 +61,647 - 95,325

0,35 - 5,169 -19,439 +55,800 -42,109 - 48,068

0,40 -10,174 + 3,393 +29,995 -77,393 +106,759

0,45 -13,636 +25,080 -27,239 +14,313 + 16,649

0,50 -14,870 +33,901 -56,467 +82,044 -110,292

Literaturverzeichnis

(Alphabetische Reihenfolge)

[1] F. Dischinger: Beitrag zur Theorie der Halbscheibe und des wand¬

artigen Balkens. Internationale Vereinigung für Brückenbau und Hoch¬

bau, Abhandlungen Band I, 1932, S. 69 ff.

[2] P. Dubas: Calcul numérique des plaques et des parois minces. Mittei¬

lungen aus dem Institut für Baustatik an der Eidg. Techn. Hochschule

in Zürich, Nr. 27, Verlag Leemann, Zürich.

[3] J. Fädle: Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischenScheibe. Ing. Archiv, Band XI, 1940.

[4] H. Favre: Cours de mécanique III, Verlag Leemann, Zürich, 1946.

[5] H. Favre: Sur l'introduction des coordonnées cartésiennes obliques dans

la Théorie de l'élasticité (Mémoire présenté au Sixième congrès inter¬

national de Mécanique appliquée, Paris, 1946). Bulletin technique de

la Suisse romande, Nos des 7 et 21 décembre 1946.

[6] K. Girkmann: Flächentragwerke, vierte Aufläge, Springer-Verlag, Wien,1956.

[7] W. Oröbner und N. Hofreiter: Integraltafeln, zweiter Teil, Springer-

Verlag, Wien und Innsbruck, 1950.

[8] Y. Ouyon: Contraintes dans les pièces prismatiques soumises à des

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nationale Vereinigung für Brückenbau und Hochbau, AbhandlungenBand XI, 1951.

[9] E. Jahnke und F. Emde: Funktionentafeln, zweite Auflage. VerlagTeubner, Leipzig und Berlin, 1933.

[10] P. Lardy: Die Elastizitätstheorie der parallelogrammförmigen Scheibe.

Schweizerische Bauzeitung, 67. Jahrgang, 1949.

[11] P. Lardy: Die strenge Lösung des Problems der schiefen Platte. Schwei¬

zerische Bauzeitung, 67. Jahrgang, 1949.

[12] P. Lardy: Das 2-dimensionale Problem bei periodisch veränderlicher

Temperatureinwirkung. Internationale Vereinigung für Brückenbau

und Hochbau, Abhandlungen Band XII.

[13] R. Miche: Le calcul pratique des problèmes élastiques à deux dimen¬

sions par la méthode des équations intégrales. Verhandlungen des 2.

internationalen Kongresses für technische Mechanik, Zürich, 12.—17.

September 1926. Orell Füßli Verlag, Zürich und Leipzig, 1927, S. 126ff.

[14] F. Stüßi: Baustatik I, zweite Auflage, Verlag Birkhäuser, Basel/Stutt¬

gart, 1953.

95

[15] F. Stüßi: Baustatik II, Verlag Birkhäuser, Basel/Stuttgart, 1954.

[16] F. Stüßi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten, erster Band.

Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1958.

[17] E. Tölke: Praktische Funktionenlehre, erster Band, zweite Auflage.

Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1950.

[18] F. Tölke: Talsperren (Staudämme und Staumauern), zweite Hälfte/erster Teil der „Wasserkraftanlagen", herausgegeben von A. Ludin,

Springer-Verlag, Berlin, 1938.

[19] H. Ziegler: Mechanik III, Verlag Birkhäuser, Basel, 1952.

[20] R. Zurmühl: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker,zweite Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1957.

96

Curriculum vitae

Am 21. Juli 1931 wurde ich in Menziken AG geboren. Nach fünf

Jahren Primarschule in der Wohngemeinde Menziken und vier

Jahren Bezirksschule im benachbarten Remach, trat ich im Früh¬

jahr 1947 in die Realabteilung der Kantonsschule Aarau ein, wo

ich im Herbst 1950 die Reifeprüfung Typ C bestand.

Nach einer zweijährigen Tätigkeit als Kaufmann in Lausanne

immatrikulierte ich mich im Herbst 1952 an der Abteilung für

Bauingenieurwesen der Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich und schloß dort vier Jahre später meine Studien mit dem

Diplom als Bauingenieur ab.

Seit dem Januar 1957 bin ich am Lehrstuhl für Baustatik und

Massivbau an der Eidgenössischen Technischen Hochschule als

Assistent tätig, wo unter der Leitung von Prof. Dr. P. Lardy die

vorliegende Arbeit im wesentlichen entstanden ist. Nach dem uner¬

warteten Hinschied meines Lehrers wurde ich, bis zur Neubesetzungdes Lehrstuhles, von der Eidgenössischen Technischen Hochschule

während drei Semestern mit Lehraufträgen betraut.

in copyright - non-commercial use permitted rights ...33627/... · ausdeminstitut für baustatik...

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