baustatik kompakt 6.auflage

8/20/2019 Baustatik Kompakt 6.Auflage

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BBB Bauwerk-Basis-Bibliothek


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Prof. Dipl.-Ing. Klaus-Jürgen Schneider

Prof. Dipl.-Ing. Erwin Schweda

Baustatik kompaktStatisch bestimmte und

statisch unbestimmte Systeme

6., umfangreich ergänzte und vollständig überarbeitete Auflage

Bauwerk

Neu bearbeitet von:

Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg

Prof. Dr.-Ing. Christof Hausser


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Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet überhttp://dnb.ddb.de abrufbar.

Schneider / Schweda / Seeßelberg / HausserBaustatik kompakt

6. Aufl. Berlin: Bauwerk, 2007

ISBN 978-3-89932-168-5

© Bauwerk Verlag GmbH, Berlin 2007

[email protected]

Alle Rechte, auch das der Übersetzung,Vorbehalten.

Ohne ausdrückliche Genehmigung desVerlags ist es auch nicht gestattet, dieses Buchoder Teile daraus auf fotomechanischem Wege(Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigensowie die Einspeicherung und Verarbeitungin elektronischen Systemen vorzunehmen.

Zahlenangaben ohne Gewähr

Druck und Bindung: Druckservice EuroPB s.r.o., CZScan by woddi

http://dnb.ddb.de/http://www.bauwerk-verlag.de/mailto:[email protected]:[email protected]://www.bauwerk-verlag.de/http://dnb.ddb.de/


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Vorwort zur 6. Auflage

Das in 5 Auflagen bisher beim Werner Verlag erschienene Buch „Schneider/Schweda:Baustatik - Statisch bestimmte Systeme“ erscheint nun als 6. Auflage beim BauwerkVerlag unter dem geänderten Buchtitel „Baustatik kompakt“. Das Buch wurde dan

kenswerterweise von den Professoren Seeßelberg und Hausser aktualisiert und erweitert.Einzelheiten entnehmen Sie bitte dem Vorwort der neuen Autoren.

Somit steht auch der neuen Generation von Bauingenieurstudenten dieses in der Lehreweit verbreitete Grundlagenbuch der Statik als 6. Auflage weiterhin zur Verfügung.

Klaus-Jürgen Schneider Erwin Schweda

Mittlerweile sind nahezu alle Fachhochschulen und viele Universitäten den Forderungenaus der Politik gefolgt und haben ihre Studiengänge auf Bachelor- und Masterabschlüsseumgestellt. Mit dieser Umstellung geht eine Aktualisierung der Studieninhalte einher,von der auch die Baustatik nicht ausgenommen bleibt. Das vorliegende Buch orientiertsich bei seiner Stoffauswahl an typischen Baustatik-Modulen von Bachelorstudiengängen. Es behandelt erstmalig sowohl statisch bestimmte als auch unbestimmte Tragwerke.

Die Baustatikausbildung im Bachelorstudium verfolgt im Wesentlichen zwei Lernziele:

- Die sichere Beherrschung der Berechnung von Schnittgrößen an statisch bestimmten,ebenen Stab- und Fachwerken.

- Die Fähigkeit zur Berechnung der Schnittgrößen von statisch unbestimmten, ebenenTragwerken.

Besonders statisch unbestimmte Tragwerke werden in der Praxis der Tragwerksplanungnahezu ausschließlich mit Hilfe von Computerprogrammen und nicht mehr von Hand berechnet. Für die Baustatikausbildung folgt daraus:

- Es kommt nicht mehr darauf an, Rechentechniken zur Vereinfachung von Handrechnungen zu erlernen (z.B. Dreimomentengleichung, Belastungsumordnungsverfahren,Iterationsverfahren usw.). Solche Themen wurden daher nicht in das Buch aufgenommen.

- Um das Tragverhalten statisch unbestimmter Stabtragwerke kennen zu lernen, ist esausreichend, beispielhaft ein geeignetes Berechnungsverfahren von Hand anwendenzu können. Aus didaktischen Gründen haben wir uns für das Kraftgrößenverfahrenentschieden.

- Fähigkeiten, mit denen EDV-Ergebnisse überprüft werden können, sollen statt dessenmehr im Vordergrund stehen.

Neu aufgenommen wurden zwei Abschnitte:

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- Im Abschnitt „Senkrecht belastete, ebene Tragwerke“ wird gezeigt, dass Trägerrostemit derselben Methodik (Schnittprinzip, Gleichgewicht) berechnet werden könnenwie in ihrer Ebene beanspruchte Systeme.

- Mit dem Abschnitt „Einführung in das Arbeiten mit Stab Werksprogrammen“ sollenStudierende an die Anwendung von Stabwerksprogrammen und die Bewertung derErgebnisse herangeführt werden. Beispielhaft erfolgt dies mit Hilfe des für die Lehre bestens geeigneten Programms Stab2D.

Die Themen aus dem Bereich der Festigkeitslehre bleiben - wie bisher - einem eigenenBuch Vorbehalten.

Wir danken sehr herzlich den Herren Professoren Klaus-Jürgen Schneider und ErwinSchweda für die Möglichkeit, dieses bewährte, schon in 5 Auflagen erschienene Fach

buch in die durch neue Studienabschlüsse geprägte Zeit fortführen zu können.

München, im September 2007 Christoph Seeßelberg, Christof Haus ser

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Inhaltsverzeichnis

1 Grund lagen ............................................................................................................. 13

1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 131.2 Kräfte und Momente ....................................................................................... 141.2.1 Kräfte .................................................................................................... 141.2.2 Moment einer Kraft bezüglich einer A chse..................................... 161.2.3 Moment eines Krä ftepaares.............................................................. 161.2.4 Darstellung eines Momentes ............................................................ 171.2.5 Versetzungsmoment .......................................................................... 18

1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Sy stem en ............................................ 191.3.1 Stabachse, Quers chnit t...................................................................... 191.3.2 Achsenkreu z........................................................................................ 191.3.3 Gelenk, L ager...................................................................................... 20

1.3.4 Stü tz weite............................................................................................ 241.4 Belastungen bei Bau werk en ........................................................................... 25

1.4.1 Lastarten und Belastungsannahmen................................................. 251.4.2 Lastermittlungen ................................................................................ 28

1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften ................................................ 281.5.1 Zusammensetzen von Kräften auf zeichnerischem W ege.............. 28

1.5.1.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 281.5.1.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunk t........................... 30

1.5.2 Zerlegen von Krä ften.......................................................................... 321.5.2.1 Vorbemerkungen ................................................................ 32

1.5.2.2 Zeichnerische M eth ode....................................................... 321.5.2.3 Rechnerische Methode ....................................................... 331.5.3 Zusammensetzen von Kräften auf rechnerischem W ege................ 35

1.5.3.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 351.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunk t........................... 38

1.6 Gleichgew icht.................................................................................................. 401.6.1 Allgemeines ........................................................................................ 401.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen..................................... 41

1.7 Schnittgrößen .................................................................................................. 441.8 Nebenbedingungen ........................................................................................ 441.9 Statische Bestimmtheit ................................................................................... 45

1.10 Überlagerungsprinzip ..................................................................................... 46

2 Statisch best immte Systeme ohne Nebe nb ed ingun ge n................................... 472.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 472.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen............................................................... 47

2.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 472.2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen auf rechnerischem Wege . . . . 472.2.3 Reaktionen und Aktionen an Lagerstellen....................................... 53

2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen....................................................... 53

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Inhaltsverzeichnis

2.3.1 Allgemeines ................................................................................. 532.3.2 Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes ................. 542.3.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ohne Achsenkreuz........ 55

2.4 Ermittlung der Schnittgrößen................................................................... 562.4.1 Allgemeines ................................................................................. 56

2.4.2 Allgemeine Anwendung des Schnittprinzips .............................. 562.4.3 Rekursionsformeln zur Ermittlung von Schnittgrößen ................ 662.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen................................................. 71

2.5.1 Allgemeines ................................................................................. 712.5.2 Funktionsgleichungen beim Träger auf zwei Stützen

für spezielle Lastfalle .................................................................... 722.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen..................... 78

2.6.1 Auswirkungen von Einzelkraftgrößen......................................... 782.6.2 Auswirkungen von Streckenlasten -

Differentialgleichungen ................................................................ 792.6.3 Zusammenfassung für Kräfte senkrecht zur Stabachse............... 81

2.7 Zustandsflächen M8, V, N ......................................................................... 822.7.1 Allgemeines ................................................................................. 822.7.2 Belastung durch Einzellasten Fx,Fz ............................................. 842.7.3 Gleichmäßig verteilte Lastqz = const........................................... 872.7.4 Dreieckförmig verteilte Streckenlastqz (x ) .................................. 882.7.5 Belastung durch Einzellastmomente M1̂ ...................................... 882.7.6 Merkmale für das Zeichnen von Zustandslinien........................... 892.7.7 Anwendung des Überlagerungsprinzips....................................... 902.7.8 Ermittlung der Schnittgrößen durch Integration........................... 93

2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente ..................................................... 100

2.8.1 Allgemeines ................................................................................. 1002.8.2 Gerader Stabwerksabschnitt mit speziellen Belastungen ............ 1002.8.3 Träger auf zwei Stützen mit speziellen Belastungen ................... 1032.8.4 Beispiele ....................................................................................... 103

3 Fachwerke ........................................................................................................ 1093.1 Vorbemerkungen - Gelenkfachwerk, statische Bestimmtheit,

Stabilität (Unverschieblichkeit)................................................................ 1093.2 Rechnerische Stabkraftermittlung............................................................ 113

3.2.1 Knotenschnitt................................................................................ 1133.2.2 Ritterscher Schnitt........................................................................ 116

3.3 Bestimmung der Nullstäbe ....................................................................... 122

4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen ..................................... 1244.1 Allgemeiner Lösungsgang ....................................................................... 1244.2 Gelenkträger............................................................................................. 1264.3 Unter-bzw. überspannte Träger............................................................... 1354.4 Dreigelenkrahmen .................................................................................... 139

4.4.1 System, Wirkungsweise ............................................................... 139

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Inhaltsverzeichnis

4.4.2 Berechnung von Dreige len kra hm en ................................................. 1414.5 Dreigelenkbögen ........................................................................................... 147

4.5.1 Systeme, Bogengleichung ................................................................ 1474.5.2 Berechnung von Dreigelenkbögen ................................................... 149

4.5.2.1 Allgemeiner Lösungsgang ................................................. 149

4.5.2.2 Stützlinie .............................................................................. 152

5 Ausnutzung von Sym metriee igen sc ha ften ....................................................... 156

6 Senkrecht belastete, ebene Tragwerke ............................................................. 1626.1 Einführung...................................................................................................... 1626.2 Schnittgrößen Gleichgewichtsbedingungen .............................................. 1636.3 Auflager, Gelenke, statische Bestimmtheit ................................................ 164

6.3.1 Auflager................................................................................................ 1646.3.2 Gelenkarten.......................................................................................... 1646.3.3 Statische Bestimmthei t...................................................................... 165

6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerroste n............. 1656.4.1 Vorgehensweise, D ars tellu ng ............................................................ 1656.4.2 Beispiele .............................................................................................. 166

6.5 Einfeldträger unter To rsionslast................................................................... 170

7 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen , Beziehungenaus de r Kinem atik, Anwend ung en ...................................................................... 1727.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückun gen.................................................... 1727.2 Beziehungen aus der Kinem atik................................................................... 172

7.2.1 Hauptpole, Nebenpole........................................................................ 172

7.2.2 Satz der gedrehten Verschiebungen ................................................. 1747.3 Untersuchung der Stabilität (Unverschieblichkeit) von Sy stemen ........... 1757.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen

auf kinematischem W eg e................................................................................ 177

8 Einflusslinien.......................................................................................................... 1818.1 Vorbemerkungen ........................................................................................... 1818.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem W eg e .......................... 1828.3 Auswertung von Einflusslinien ................................................................... 1868.4 Ungünstigste Laststellungen......................................................................... 187

9 Kra ftgrö ßenverfahre n.......................................................................................... 1909.1 Übersicht über Berechnungsmethoden für statischunbestimmte Stabwerke ................................................................................ 190

9.2 Feststellen der statischen Unbestim mtheit.................................................. 1919.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 1919.2.2 Aufbaukriterium ................................................................................ 1919.2.3 Abzählformel...................................................................................... 195

9.2.3.1 Allgemeine Stabwerke......................................................... 1959.2.3.2 Fachwerke ............................................................................ 197

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Inhaltsverzeichnis

9.3 Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens................................................... 1979.3.1 Allgemeines ....................................................................................... 1979.3.2 Auflagerkraft als statisch Unbestim mte........................................... 1979.3.3 Stützmoment als statisch Unbest im mte........................................... 200

9.4 Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens ................................. 203

9.4.1 Statisch bestimmtes Grundsystem ................................................... 2039.4.2 Überlagerung und Überlag erungsformel......................................... 2049.4.3 Verträglichkeitsbedingungen als Bestimmungsgleichungen

des Kraftgrößenverfahrens................................................................ 2069.4.4 Ermittlung der Koeffizienten


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B e z e i c h n u n g e n v o n s t a t i s c h e n G r ö ß e n

I m R a h m e n d i e s e s B u c h e s w e r d e n d i e i n d e r f o l g e n d e n Z u s a m m e n s t e l l u n g a n g e g e b e n e n B e -

z e i c h n u n g e n v e r w e n d e t .


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1 Grundlagen

1.1 VorbemerkungenAls Teilgebiet der Physik umfasst die Mechanik die Lehre von den Bewegungen und

Kräften der Körper. Mit den drei Begriffen Kraft, Länge, Zeit lässt sich ein Bewegungsvorgang eindeutig beschreiben. Somit ergibt sich folgende mögliche Einteilung derMechanik:

Dabei beinhaltet die Dynamik den eigentlichen Gedanken der Mechanik, nämlich die

Berechnung eines Bewegungsvorganges unter dem Einfluss von Kräften. Alle drei dergenannten Größen (Kraft, Länge und Zeit) werden also berücksichtigt. Der Ruhezustandder Körper bei angreifenden Kräften wird im Gebiet der Statik behandelt. Die Statikerweist sich somit als Sonderfall der Dynamik.

Die Kinematik schließlich ist das Teilgebiet der Mechanik, in dem allein die Bewegungder Körper ohne Berücksichtigung der sie verursachenden Kräfte untersucht wird.

Bei der Statik der Baukonstruktionen handelt es sich dem Wesen der Bauwerke entsprechend um die Statik der festen Körper. Für die Berechnung werden die Bauwerke ineinzelne, z. T. idealisierte Tragwerke unterteilt. Durch Symbole dargestellte Tragwerkenennt man statische Systeme.

Jedes der im Folgenden betrachteten Tragwerke besteht aus einem Stab oder mehrerengelenkig oder biegesteif miteinander verbundenen Stäben. Fallen alle Stäbe des Systemsund die Lasten in eine Ebene, so ist ein ebenes Tragwerk gegeben, andernfalls liegt einräumliches Tragwerk vor.

Ein Stab ist ein Tragwerk oder Tragwerksteil, bei dem die Querschnittsabmessungenklein gegenüber der Stablänge sind. Tragwerke, die nur aus Stäben bestehen, bezeichnetman als Stabwerke. Daneben gibt es Flächentragwerke wie z. B. Platten (ebene Flächentragwerke, die senkrecht zur Tragwerksebene belastet werden), Scheiben (ebeneFlächentragwerke, die in Richtung der Tragwerksebene belastet werden), Schalen (gekrümmte Flächentragwerke).

Die statische Berechnung hat das Ziel, bei Einhaltung der notwendigen Sicherheiten dieerforderlichen Abmessungen eines Bauwerkes anzugeben.

Innerhalb einer statischen Berechnung umfasst die eigentliche Statik die Bestimmungder wirkenden Kräfte und Momente. Die Festigkeits- und Formänderungsnachweisesowie die Stabilititätsuntersuchungen (Knicken, Biegedrillknicken, Beulen)1} gehören

Man verwechsle diese Stabilitätsuntersuchungen nicht mit Untersuchung eines Systemsauf Stabilität im Sinne von Unverschieblichkeit.

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M e c h a n i k

D y n a m i k St a t ik K i n e m a t i k


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1 Grundlagen

zum Gebiet der Festigkeitslehre (vgl. [2]), die wiederum ein Teilgebiet der technischenMechanik ist.

1.2 Kräfte und Momente

1.2.1 KräfteIm Internationalen Einheitensystem ist die Kraft eine abgeleitete Größe. Als Einheit istdas Newton [N] festgelegt. 1N ist die Kraft, die einem Körper der Masse 1 kg dieBeschleunigung 1ms-2 erteilt.

1N = 1 kg • 1 ms-2 (1.01)

Abgeleitete Krafteinheiten sind:

1kN (Kilonewton) = 1000 N

1MN (Meganewton) = 1000 kN = 1000 000 N

Im Bauwesen hat man es sehr häufig mit Kräften infolge äußerer Belastung (z.B.Eigenlasten, Schneelasten) zu tun. Diese Kräfte werden durch die Erdanziehung hervorgerufen. Die Erdanziehungskraft beträgt:

G = m -g (1.02)

m = Masse; g = Fallbeschleunigung

Die Fallbeschleunigung g beträgt an einem Normort 9,80665 ms-2 und kann mit genügender Genauigkeit im Bauwesen mit g = 10 ms-2 angesetzt werden.

Somit hat ein Körper von der Masse 1 kg die Eigenlast:

G = 1 kg • 10 ms-2 = 10 kgms~2 = 10 N

Eine Kraft ist ein VektorX) (gerichtete Größe).Ein Vektor wird durcheinen Pfeil dargestellt (Abb. 1.01). Die Länge des Pfeilesgibt den Absolutbetrag der Kraft an, diePfeilspitze den Richtungssinn.

Eine Kraft ist eindeutig bestimmt durch Betrag, Richtung, Richtungssinn und Angriffs punkt. Sie ist nicht direkt wahrnehmbar, sondern nur an ihren Wirkungen zu erkennen, andem Vermögen, Bewegungen und Verformungen hervorzurufen.

Auf eine mathematisch exakte Vektorschreibweise wird im Rahmen dieses Buches verzichtet.

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Abb. 1.01


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Verschiebung einer Kraft

Die Wirkung einer Kraft bezüglich des Gleichgewichtszustandes (vgl. 1.6) oder desBewegungszustandes eines Körpers ändert sich nicht bei Verschiebung der Kraft innerhalb ihrer Wirkungslinie. Zum Beispiel ist es für den Bewegungsvorgang des in Abb.1.02 dargestellten Körpers gleich, ob die Kraft schiebt oder zieht. Für die örtlicheReaktion an der Kraftangriffsstelle und für die innere Beanspruchung (Schnittgrößen,vgl. 1.7) spielt der unmittelbare Kraftangriff jedoch eine Rolle. Bezüglich dieser beidenPunkte ist eine Verschiebung einer Kraft innerhalb ihrer Wirkungslinie also nicht möglich.

Darstellung einer Kraft

Der Betrag einer Kraft wird durch eine Zahlenangabe oder durch die Länge des Kraftpfeilesim Zusammenhang mit einem Kraftmaßstab bestimmt, Im Gegensatz zu einem Längenmaßstab sind beim Kräftemaßstab stets Zahl und Einheit anzugeben, z. B. 1 cm = 2 kN.

Bei der Angabe des Richtungssinnes einer Kraft ist Folgendes zu beachten:

Wird die Größe1} einer Kraft mit Hilfe eines Kräftemaßstabes angegeben, so ist derKraftpfeil grundsätzlich so zu zeichnen, dass die Pfeilspitze den tatsächlichen Richtungssinn angibt.

Wird die Größe einer Kraft durch eine Zahl angegeben, so ist der tatsächliche Richtungssinn der Kraft erst durch das Vorzeichen und die in der Skizze angegebenePfeilspitze eindeutig bestimmt. Ein negatives Vorzeichen besagt, dass die Kraft entgegengesetzt der eingezeichneten Pfeilrichtung wirkt.

Wird also der in Abb. 1.03 dargestellte Körper am oberen Rand durch eine nach rechtswirkende Kraft beansprucht, so sind beide Darstellungen nach Abb. 1.03a und 1.03bmöglich.

^ Man beachte: Größe bedeutet Betrag und Richtungssinn.

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Abb. 1.03

Abb. 1.02


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1 Grundlagen

1.2.2 Moment einer Kraft bezüglich einer Achse

Ist eine Kraft F mit einer Drehachse durch einen Hebelarm a verbunden, so übt sie umdiese Achse eine drehende Bewegung aus (Abb. 1.04). Man bezeichnet diesen Vorgangals Moment einer Kraft um eine Achse oder kurz als Moment.

Moment = Kraft • Hebelarm, M = F • a (1.03)Der Hebelarm a ist stets der kürzeste Abstand zwischen Kraft und Drehachse, d. h.Kraft und Hebelarm stehen immer senkrecht aufeinander.

Abb. 1.04

Entsprechend dem Produkt aus Kraft und Länge ergibt sich die Einheit eines Momentes,z. B. zu kNm, MNm usw. Die Umrechnung von Einheiten ist aus Tabelle 1 ersichtlich.

Tabelle 1

MNm MNcm kNm kNcm

1MNm 1 100 1000 100 000

1MNcm 0,01 1 10 1000

1kNm 0,001 0,1 1 100

1kNcm 0,00001 0,001 0,01 1

Durch Veränderung der Größe der Kraft, durch Veränderung der Größe des Hebelarmesoder durch beides verändert sich entsprechend Gl. (1.03) die Größe des Momentes.

1.2.3 Moment eines Kräftepaares

Zwei parallele Kräfte, die gleich groß sind, entgegengesetzt wirken und einen bestimmten Abstand a haben, werden als Kräftepaar bezeichnet. Ein Kräftepaar hat die Wirkungeines Momentes und, wie aus Abb. 1.05 leicht ersichtlich ist, die Größe

M = F ■ a

Abb. 1.05

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Drehachse senkrecht zur Zeichenebene


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Das Moment der beiden Kräfte eines Kräftepaares um jede beliebige Achse senkrecht zur Kraftebene hat immer die gleiche GrößeMF a. Nach Abb. 1.06 erhält man für die verschiedenen Bezugspunkte:

M\=F •a; M2 = F{a + b)F'b=F'a

M3=F {ac) + F •c = F

•a

I

Die Größe des Momentes eines Kräftepaares ist unabhängig von der Wahl des Be

zugspunktes.

1.2.4 Darstellung eines Momentes

Die symbolische Darstellung eines Momentes erfolgt aus Gründen der Anschaulichkeit durch einen krummen Pfeil. Analog der bei dem Richtungssinn von Kräften getroffenen Regelung wird der tatsächliche Drehsinn eines Momentes erst durch die Pfeilspitze des krummen Pfeiles und das Vorzeichen des dazugehörigen Zahlenwertes bestimmt:

Stimmt der tatsächliche Drehsinn des Momentes mit dem skizzierten Drehsinn überein, so erhält der Zahlenwert ein positives Vorzeichen, andernfalls wird ein negatives Vorzeichen gesetzt.

So wie eine Kraft, lässt sich auch einMoment als VektorX) darstellen.Der Vektorpfeil steht senkrecht zur Kraftebene, d. h. entsprechend Abb. 1.07 senkrecht zur Zeichenebene.

Abb. 1.06

Abb. 1.07

Vgl. Fußnote 1, Seite 14.

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1 Grundlagen

Die Länge des Vektorpfeiles ist gleich dein Absolutbetrag des Momentes.

Die Anordnung der Pfeilspitze ergibt sich aus folgender Festlegung:

Dreht das Moment im Uhrzeigersinn (Abb. 1.07a), so zeigt die Pfeilspitze in dieZeichenebene hinein; dreht das Moment entgegen dem Uhrzeigersinn (Abb. 1.07b), so

zeigt die Pfeilspitze aus der Zeichenebene heraus (Korkenzieherregel). Die Pfeilspitzemuss also so eingetragen werden, dass das Moment im Uhrzeigersinn dreht, wenn manin Richtung der Pfeilspitze blickt.

1.2.5 Versetzungsmoment

Soll eine Kraft F um eine bestimmte Strecke parallel zur ursprünglichen Lage versetztwerden, so ist das nur möglich, wenn ein zusätzliches Moment, das sog. Versetzungsmoment angebracht wird. In Abb. 1.08a greift eine Kraft F außerhalb der Mittellinie einesKörpers an. Zwei entgegengesetzt gleich große Kräfte F, die sich in ihrer Wirkung

aufheben, werden entsprechend Abb. 1.08b angebracht. Die beiden Belastungszuständein Abb. 1.08a und Abb. 1.08b sind daher in ihrer Wirkung gleich. Die beiden inAbb. 1.08b unterstrichenen Kräfte F können zu einem Kräftepaar zusammengefasstwerden, das die Wirkung M = F •a hat. Der Belastungszustand in Abb. 1.08c ist in seinerWirkung also gleich dem Belastungszustand in Abb. 1.08b.

Abb. 1.08

I

Wird eine Kraft F um eine Strecke a parallel versetzt, so muss zusätzlich ein Versetzungsmoment von der Größe M = F • a angebracht werden.

Sollen die beiden Kräfte F\ und F2 (Abb. 1.09) in die Mittellinie des Körpers versetztwerden, so ergeben sich eine zentrische Kraft

F = 2 + 5 = 1 kN

und ein Versetzungsmoment

M = 2 - 2 , 5 - 5 - 2 , 0 = - 5 ,0 k N m

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das wirkliche Moment den umgekehrten Drehsinn wie das eingetragene Moment hat, also entgegen dem Uhrzeigersinn wirkt. (Vgl.1.2.4.)

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1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen

Abb. 1.09

1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen1.3.1 Stabachse, Querschnitt

Die Verbindungslinie der Schwerpunkte beliebiger Querschnittsflächen eines Stabeswird als Stabachse bezeichnet (Abb. 1. 10).

Als Querschnitt bezeichnet man jede Schnittfläche, die senkrecht zur Stabachse liegt.

Abb. 1.10

1.3.2 Achsenkreuz

Für die im Rahmen dieses Buches zu behandelnden statischen Probleme wird mit einemAchsenkreuz nach Abb. 1.11a gearbeitet. Die x-Achse wird in die Richtung der Stabachse gelegt, so dass die y- und die z-Achse für die Querschnittsebene zur Verfügungstehen.

Die positiven Richtungen in dem verwendeten Koordinatensystem sind durch die Pfeilspitzen der Koordinatenachsen gegeben. Die im mathematischen Sinne positiven Dreh-

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Abb. 1.11


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1 Grundlagen

richtungen (Rechtsschraube) sind in Abb. 1.11a eingetragen. Die positiven Drehrichtungen ergeben sich auch, wenn man im Sinne des Alphabetes vorgeht und auf kürzestemWege von x nach y von y nach z und von z nach x dreht.

Für ebene Systeme reicht es bei der Behandlung von statischen Aufgaben aus, nur diex, z-Ebene des Achsenkreuzes zu zeichnen (Abb. 1.11b).

Das Achsenkreuz x, z befindet sich grundsätzlich nur in einem festen Punkt. Es handeltsich daher um ein sog. ortsfestes Koordinatensystem. Oft ist es erforderlich, auch füreinzelne, beliebig liegende Stäbe eines statischen Systems Achsenkreuze zu verwenden.Zur Unterscheidung vom ortsfesten x, z-Koordinatensystem erhalten diese sog. umlaufenden Koordinatensysteme die Achsenbezeichnungen x, z (Abb. 1.11c).

1.3.3 Gelenk, Lager

Ein Gelenk erlaubt eine gegenseitige Drehung der verbundenen Stab werksteile. Es kanneine beliebig gerichtete Kraft durch ein Gelenk weitergeleitet werden, jedoch kein

Moment. Die symbolische Darstellung eines Gelenkes zeigt die Abb. 1.12.

Abb. 1.12

In der Abb. 1.12c ist ein Halbgelenk dargestellt; das Tragwerksteil s2, ist gelenkig amdurchlaufenden Tragwerksteil s\ angeschlossen.

Jede Baukonstruktion ist unmittelbar oder über andere Konstruktionen mit dem Erdboden verbunden, sie ist an ihn „gefesselt“ 1 Die Verbindungsteile zwischen Konstruktionund Erdboden bzw. zwischen zwei Tragwerken werden als Lager bezeichnet. Die Kräfte,die in diesen Lagern auftreten, werden Auflagerkräfte oder Fesselkräfte genannt. Tretenin den Lagerpunkten auch Momente auf, so spricht man von Einspannmomenten oderFesselmomenten. Auflagerkräfte und Einspannmomente bezeichnet man als Auflagerreaktionen.

Bei einer nicht „gefesselten“ starren Scheibe2) sind in ihrer Ebene Verschiebungen in beliebige Richtungen sowie eine Drehung um eine beliebige Achse, die senkrecht zurScheibenebene steht, möglich.

Da alle möglichen Verschiebungen in der Ebene aufgeteilt werden können in Komponenten zweier beliebiger nicht paralleler Richtungen, lässt sich jede mögliche Bewegungder Scheibe in ihrer Ebene darstellen durch zwei Verschiebungsanteile und eine Dre-

Die Konstruktionen sind mit dem Erdboden derart verbunden, dass keine Bewegungenauftreten würden, wenn das Material der Konstruktion und der Erdboden starr wären.Man spricht dann von einer stabilen Lagerung.

* Starre Scheibe: Ein in sich unverschiebliches ebenes Gebilde.

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1.3 Symbole und Begriffe bei statischen Systemen

hung. Entsprechend diesen Bewegungsmöglichkeiten hat die starre Scheibe drei Freiheitsgrade, d. h. für ihre Festlegung ist eine dreifache Fesselung erforderlich. Wie inAbb. 1.15 gezeigt wird, ist die Anordnung dieser drei Fesseln nicht beliebig.

Die symbolische Darstellung, die Wirkung und die mögliche Anordnung solcher „Fesseln“ werden am Träger auf zwei Stützen (Abb. 1.13 und 1.14) und am Kragträger

(Abb. 1.16) gezeigt.

Abb. 1.13

In den Abb. 1.13 und 1.14 sind bei den Trägern auf zwei Stützen an der Stelle 1ein festesund an der Stelle 2 ein bewegliches Lager angeordnet. Das feste Lager kann zwei Auflagerkräfte übertragen, während das bewegliche Lager nur eine Auflagerkraft übertragen kann. Die Richtung dieser Auflagerkraft ist immer senkrecht zur Bewegungsrichtung.

Abb. 1.14

An den Lagerpunkten 1 und 2 befinden sich Gelenke: die Trägerenden können sich andiesen Stellen also frei drehen. Die Biegelinie, d. h. die Form der Stabachse nach einerBelastung durch Kräfte und Momente, ist ebenfalls in Abb. 1.13 dargestellt. An denGelenkstellen bildet sie mit der unverformten Stabachse einen bestimmten Winkel.

Das feste Lager im Punkt 1 der Abb. 1.13 und 1.14 allein ist in der Lage, beide Verschiebungsmöglichkeiten eines ebenen Trägers auszuschalten. Der Träger hat jetzt nurnoch einen Freiheitsgrad (Drehung um Punkt 1). Durch die Anordnung des beweglichen

Lagers im Punkt 2 wird auch diese Drehung verhindert, da die Auflagerkraft im beweglichen Lager ein Moment um den Punkt 1ausübt. Genauso wie eine Kraft in der Lage ist,eine Verschiebung zu verhindern, ist ein Moment in der Lage, eine Drehung zu verhindern.

Allgemein gilt:

1. Die Wirkungslinien der Auflagerkräfte einer statischen Konstruktion dürfensich nicht in einem Punkt schneiden (Drehung der Konstruktion um diesenPunkt wäre sonst möglich, siehe Abb. 1.15a),

21


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1 Grundlagen

2. sie dürfen nicht alle parallel sein (Verschiebung der Konstruktion senkrecht zuden Wirkungslinien sonst möglich, siehe Abb. 1.15b).

Abb. 1.15

Ein Kragträger (Abb. 1.16a) zeichnet sich durch die Einspannung aus. An der Einspannstelle treten drei Auflagerreaktionen auf: ein Einspannmoment und zwei Auflagerkräfte.

Damit sind alle drei Freiheitsgrade aufgehoben und der Träger eindeutig an andereKonstruktionen „gefesselt“.

Im Gegensatz zur gelenkigen Lagerung (Abb. 1.13 und 1.14) kann sich das Trägerendean der Einspannstelle nicht frei drehen. Fällt die Biegelinie an dieser Stelle mit der Achsedes unverformten Trägers zusammen, so spricht man von einer starren Einspannung, andernfalls liegt eine elastische Einspannung vor. Ein Kragträger kann z. B. in einerWand eingespannt sein. Das Einspannmoment wirkt dann als Moment eines Kräftepaares nach Abb. 1.16b.

Ausführungsmöglichkeiten von beweglichen und festen Lagern zeigen die Abb. 1.17 und1.18. Bewegliche Lager können z. B. als Rollenlager (Abb. 1.17a) oder als Gleitlager^

(Abb. 1.17b) ausgeführt werden. Es ist auch möglich, Auflager durch Anordnung von beiderseitig gelenkig angeschlossenen Stäben, sog. Pendelstäben, zu bilden. Da einPendelstab nur eine Kraft in Richtung der Stabachse übertragen kann, sind zur Bildungeines beweglichen Lagers ein Pendelstab, zur Bildung eines festen Lagers zwei Pendelstäbe erforderlich. Sehr anschaulich ist auch die symbolische Darstellung von Lagerndurch Pendelstäbe. Verschiedene Möglichkeiten der Lagersymbolik sind in denAbb. 1.17c und 1.18b zusammengestellt.

Reibungskräfte dürfen zur A ufnahme äu ßerer Lasten nicht angesetzt werden.

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1.3 Symbole und Begr iffe bei statischen Systemen

Abb. 1.16

a)

Abb. 1.17

Abb. 1.18

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1 Grundlagen

Zusätzlich zu den bisher behandelten Punkten beinhaltet die Lagersymbolik auch, dasseine Auflagerkraft grundsätzlich innerhalb ihrer Wirkungslinie beide Richtungssinneannehmen kann. Je nach Belastung ist es z. B. möglich, dass eine vertikale Auflagerkraftnach oben (Abb. 1.14a) oder nach unten (Abb. 1.14b) wirkt. Es ist in jedem Fall sicherzustellen, dass die nach Größe und Richtungssinn ermittelte Auflagerkraft (siehe 2.2)

vom Erdboden oder von anderen Bauwerksteilen aufgenommen werden kann. So ist esu. U. erforderlich, dass eine Konstruktion gegen Abheben verankert werden muss.

1.3.4 Stützweite

Unter dem Begriff Stützweite l einer Konstruktion versteht man im Allgemeinen diehorizontale Entfernung der Auflagerachsen. Sie ist größer als die Lichtweite /w,(Abb. 1.19). Ist die Auflagerachse nicht eindeutig definiert, wie z. B. bei unmittelbarerAuflagerung eines Trägers auf Mauerwerk oder Beton, so sind die Stützweiten gemäßden entsprechenden DIN-Vorschriften festzulegen, und zwar für

• Holzkonstruktionen (DIN 1052) und für Stahlkonstruktionen, die auf Mauerwerkoder Beton aufliegen (DIN 18 801):/ = 1,05 /w > /w + 12 cm und für

• Stahlbetonkonstruktionen (DIN 1045):

Abb. 1.19

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1.4 Belastungen bei Bauwerken

1.4 Belastungen bei Bauwerken 1.4.1 Lastarten und Belastungsannahmen

Die im Bauwesen auftretenden Lasten können nach verschiedenen Gesichtspunkten unterteilt werden.

a) Einzellasten Einheit:

Beispiele:

(Abb. 1.20a), der Lastangriff ist punktförmig.

N, kN, MN.

Belastung eines Fundamentes durch eine Stütze, Auflagerkraft eines Trägers.

b) Streckenlasten Einheit:

Beispiele:

(Abb. 1.20b)

N/m, kN/m, MN/m.

Belastung eines Fundamentes durch eine Wand, Trägerbelastung infolge Deckenauflagerung.

c) Flächenlasten Einheit:

Beispiel:

(Abb. 1.20c)

N/m2, kN/m2, MN/m2.

Belastung einer Decke durch Schüttgut, durch Verkehrslasten (z. B. Menschen, Möbel).

Die Bezeichnung erfolgt bei Einzellasten durch Großbuchstaben, bei Strecken- und Flächenlasten durch kleine Buchstaben.

Von der Art und Größe eines Tragwerkteiles wird es abhängen, ob eine Belastung als Einzel-, Strecken- oder Flächenlast anzusetzen ist. Die Radlasten eines Schwerlastwagens mit einer Aufstandsfläche je Rad von 0,2 m mal 0,6 m ergeben für das in engen

Abständen unterstützte Fahrbahnblech einer Brücke eine Flächenlast; für den über viele Meter gespannten Hauptträger der gleichen Brücke sind die Radlasten dagegen als Einzellasten anzusetzen.

Lastfunktionen/Resultierende Ersatzlasten

Strecken- und Flächenlasten können sowohl gleichmäßig als auch ungleichmäßig verteilt wirken. Im zweiten Fall wird die Belastung durch ein Lastbild und/oder durch eine Lastfunktion angegeben.

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Lasteinteilung nach Art des Lastangriffs

Abb. 1.20


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1 Grundlagen

In Abb. 1.21a sind die beliebigen Streckenlasten qx(x) und qx(x) durch ein Lastbilddargestellt; in Abb. 1.21b dagegen sind zwei Streckenlasten durch Lastbild und Lastfunktion angegeben. Werden die Streckenlasten zu resultierenden Ersatzlasten Rz bzw.

Rx zusammengefasst, so ist der Inhalt der Belastungsfläche gleich dem Betrag derzugehörigen Ersatzlast; ihre Lage wird durch den Schwerpunkt der Belastungsfläche

bestimmt. Rz wirkt senkrecht zur Stabwerksachse, Rx greift in der Stabwerksachse an.Fehlt bei der Darstellung von Streckenlasten die Angabe der Pfeilspitze, so handelt essich stets um abwärts gerichtete Lasten.

Lastunterteilung nach Ursachen

Bei einer Unterteilung nach Ursachen der Belastung werden im Wesentlichen folgendeLasten unterschieden:

Ständige Lasten (g, G),

das sind ständig wirkende, ruhende Lasten, also die Eigenlast der tragenden oder stützenden Bauteile und der unveränderlichen Lasten, die von den tragenden Bauteilen

dauernd aufzunehmen sind. Nutzlasten (q, Q)

Sie sind nicht ständig wirksam und werden hervorgerufen durch die veränderliche oder bewegliche Belastung eines Bauteiles, z. B. durch Menschen, Möbel, Lagerstoffe, Maschinen, Kran-, Straßen- oder Eisenbahnfahrzeuge. Neben diesen lotrechten Nutzlastengibt es auch waagerechte Nutzlasten (z. B. Horizontalkraft an Geländerholmen).

„Nicht vorwiegend ruhende“ Nutzlasten, die Stöße oder Schwingungen verursachen,sind mit Stoß- oder Schwingbeiwerten, bzw. Schwingfaktoren zu vervielfachen. Hierzu

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Abb. 1.21


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1 Grundlagen

ergänzten europäischen Normenreihe ENV 1991 (Eurocode 1), die demnächst die nationalen Normen ablösen wird.

DIN 1055 ist gegliedert in:

Teil 1: Wichten und Flächenlasten von Baustoffen, Bauteilen und Lagerstoffen

Teil 2: Bodenkenngrößen, Wichte, Reibungswinkel, Kohäsion, Wandreibungswinkel

Teil 3: Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten

Teil 4: Windlasten

Teil 5: Schnee- und Eislasten

Teil 6: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter

Teil 7: Temperatureinwirkungen

Teil 8: Einwirkungen während der Bauausführung

Teil 9: Außergewöhnliche Einwirkungen

Teil 10: Einwirkungen infolge Krane und MaschinenWeitere Belastungsannahmen sind in den Vorschriften für die entsprechenden Bauwerkezu finden.

1.4.2 Lastermittlungen

Die Lastermittlung steht am Anfang der statischen Berechnung jedes Bauwerkes. Bei derLastzusammenstellung sind auch die Eigenlasten jener Bauteile zu berücksichtigen,deren Abmessungen auf Grund der Berechnung erst festgelegt werden.

In der Regel können diese Eigenlasten genau genug geschätzt werden, wenn Erfah

rungswerte von ähnlichen Bauwerken vorliegen; andernfalls sind durch eine Überschlagsrechnung die Abmessungen ungefähr zu bestimmen. Weichen die endgültigenEigenlasten wesentlich von den vorher getroffenen Annahmen ab, so ist eine neueFestigkeitsberechnung mit den berichtigten Eigenlasten aufzustellen.

1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften1.5.1 Zusammensetzen von Kräften auf zeichnerischem Wege

1.5.1.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ̂

Sollen zwei Kräfte F xund F2 durch eine Kraft ersetzt werden, so gehe man folgendermaßen vor:

Die beiden Kräfte F xund F2 werden zu einem Parallelogramm ergänzt (Abb. 1.22). DieDiagonale dieses Parallelogramms wird als Resultierende R bezeichnet und hat die

1) Ein gemeinsamer Schnittpunkt ist auch dann gegeben, wenn die Wirkungslinien der Kräftedurch einen Punkt gehen. Nach 1.2.1 kann eine Kraft in ihrer Wirkungslinie unter bestimmten Voraussetzungen verschoben werden. Diese Voraussetzungen sind für die Pro blemstellungen des Abschnittes 1.5 erfüllt.

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1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften

gleiche Wirkung2} wie die beiden Kräfte F x und F2 (Axiom3} vom Kräfteparallelogramm).

Angriffspunkt, Richtung und Richtungssinn der beiden gegebenen Kräfte F\ und F2 werden im Lageplan angegeben (Abb. 1.23a), die Angabe des Betrages erfolgt durchZahl und Einheit (z. B. F { = 3 kN) oder mit Hilfe eines Kräftemaßstabes (z. B. 1cm =2kN). Bei Angabe des Betrages durch einen Kräftemaßstab müssen die Kräfte imLageplan maßstabsgetreu gezeichnet werden.

Um Fi und F2 zu einer Resultierenden R zusammenzusetzen, braucht nicht das gesamteKräfteparallelogramm, sondern nur ein Krafteck (Abb. 1.23b) gezeichnet zu werden. Zueinem Krafteck gehört immer ein Kräftemaß stab. Alle Kräfte sind maßstäblich zuzeichnen. Krafteck und Kräftemaßstab ergeben den Kräfteplan.

Praktische Durchführung:

1. Die im Lageplan gegebenen Kräfte (Abb. 1.23a) in beliebiger Reihenfolgeaneinanderreihen (Abb. 1.23b).

2. Anfangspunkt der zuerst angetragenen Kraft mit Pfeilspitze der zuletzt angetragenen Kraft verbinden: Resultierende R. Pfeilspitze von R so zeichnen, dasssie mit der Pfeilspitze der zuletzt angetragenen Kraft zusammenstößt

(Abb. 1.23b). Damit sind Betrag, Richtung und Richtungssinn von R bekannt.

3. Resultierende R in den Lageplan durch den Schnittpunkt von F\ und F2 übertragen (Abb. 1.23a). Damit ist auch die Lage von R bekannt.

2) Kraftwirkung und Momentenwirkung um eine beliebige Achse senkrecht zur Kraftebene.3) Axiom: Annahme, die durch Erfahrung bestätigt ist.

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Abb. 1.22

Abb. 1.23


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1 Grundlagen

Man beachte:

Pfeilspitze der zuletzt angetragenen Kraft und Pfeilspitze der Resultierendenmüssen immer zusammenstoßen.

Drei Kräfte, die ein geschlossenes Krafteck bilden, gehen im Lageplan durch

einen Punkt (Abb. 1.23).Sollen mehrere Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt zu einer Resultierenden R zusammengefasst werden, so geht man wie bei „zwei Kräften“ vor (Abb. 1.24).

Die Reihenfolge der Kräfte im Krafteck ist beliebig. In Abb. 1.24c ergibt sich die gleicheResultierende wie in Abb. 1.24b.

1.5.1.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt

Um die genaue Lage der Kräfte anzugeben, muss der Lageplan einen Längenmaßstaberhalten (Abb. 1.25a). Betrag, Richtung und Richtungssinn der gesuchten Resultierenden R werden wie im Abschnitt „Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt“ bestimmt.Man zeichnet also ein Krafteck und erhält durch die Verbindungslinie des Anfangs punktes der zuerst angetragenen Kraft mit dem Endpunkt der zuletzt angetragenen Kraftdie Resultierende R nach Betrag, Richtung und Richtungssinn (Abb. 1.25b).

Die Lage von R kann auf Grund folgender Überlegung bestimmt werden: Zunächst wirdF\ als Resultierende zweier beliebiger „Kräfte“ S\ und S2 aufgefasst (Abb. 1.25b). DieKräfte F 1? S\ und S2 bilden ein geschlossenes Krafteck, sie gehen daher im Lageplandurch einen Punkt. In einem beliebigen Punkt der Wirkungslinie von F x werden imLageplan S\ und S2 angetragen. Im Kräfteplan können nun S2 und F2 zu einer Teilresultierenden S3 zusammengesetzt werden. Da S2, F2 und S3 ein geschlossenes Krafteck bilden, geht im Lageplan S3 durch den Schnittpunkt von S2 und F2. S\ und S3haben diegleiche Wirkung wie F\ und F2.

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Abb. 1.24


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Man fasst nun S3 und F 3zu einer neuen Teilresultierenden S4 zusammen. Da S3, F3 und S4 wiederum ein geschlossenes Krafteck bilden, geht £4 im Lageplan durch den Schnitt punkt von S3 und F3. Die beiden „Kräfte“ £1 und S4 haben die gleiche Wirkung wie F\, F2 und F3. Die Lage der Resultierenden R ist demnach durch den Schnittpunkt von S { undS4 im Lageplan bestimmt.

Der gemeinsame Schnittpunkt von S\ bis S4 im Kräfteplan wird als Pol bezeichnet, S\ bisS4 im Kräfteplan als Polstrahlen, im Lageplan als Seilstrahlen. Die Zeichnung derSeilstrahlen ergibt das Seileck , die der Polstrahlen das Poleck.

Folgende Arbeitsgänge ergeben sich somit für die Lösung der Aufgabe von Kräften ohnegemeinsamen Angriffspunkt“ :

1. Gegebene Kräfte aneinanderrreihen; Anfangspunkt der zuerst angetragenenKraft mit Endpunkt der zuletzt angetragenen Kraft verbinden: Resultierende R.

2. Pol wählen (beliebig)1) und Poleck zeichnen.3. Polstrahlen durch Parallelverschiebung in den Lageplan übertragen (Seileck):

Seilstrahl S\ mit F\ zum Schnitt bringen. Seilstrahl S2 geht durch den Schnitt punkt von Fi und S 1, Seilstrahl S3 geht durch Schnittpunkt von F2 und S2 usw.

4. Lage der Resultierenden: Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles.

Bei entsprechender Lage der Kräfte (Abb. 1.26) lässt sich die Resultierende R auch ohnePoleck und Seileck finden, indem man immer zwei Kräfte zu sog. Zwischenresultierenden zusammenfasst.

Im Beispiel nach Abb. 1.26 wird R { aus F\ und F2 sowie R2 aus F 3und F4 ermittelt. Dieendgültige Resultierende ergibt sich dann aus R x und R2. Man sieht, dass die Lösungdieser Aufgabe ohne Poleck und Seileck nur möglich ist, wenn die zum Schnitt ge

brachten Kräfte einwandfreie Schnittpunkte (keine schleifenden Schnitte!) ergeben.

Um schleifende Schnitte zu vermeiden, lege man den Pol so, dass der erste und der letztePolstrahl in etwa einen rechten Winkel bilden.

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Abb. 1.25


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1 Grundlagen

Abb. 1.26

1.5.2 Zerlegen von Kräften

1.5.2.1 Vorbemerkungen

Die Umkehrung der Aufgabe, zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammenzufassen,ist das Zerlegen einer Kraft in zwei Komponenten, deren Richtungen gegeben s ind1̂ Inder Praxis stellt sich meistens die Aufgabe, eine Kraft in zwei zueinander senkrechteRichtungen zu zerlegen.

Die Zerlegung einer Kraft in drei oder mehr Richtungen ist nicht möglich, wenn die zuzerlegende Kraft und die Komponenten alle durch einen Punkt gehen. Es gibt keineeindeutige, sondern unendlich viele Lösungen. Dagegen ist das Zerlegen einer Kraft indrei gegebene Richtungen, die nicht durch einen Punkt gehen, möglich. Dieser Fall ist fürdie praktische Statik kaum von Bedeutung und wird daher nicht behandelt.

1.5.2.2 Zeichnerische Methode

Der Lösungsgang für die Zerlegung einer Kraft F in zwei zueinander senkrechte Kom

ponenten F x, und F z ist aus Abb. 1.27 ersichtlich. Ebenso geht man vor, wenn es sich umzwei ganz beliebige Zerlegungsrichtungen handelt.

Ausgenommen ist die Zerlegung einer Kraft in zwei parallele Richtung. In diesem Fallverwendet man ein Poleck und ein Seileck und geht entsprechend Abb. 1.28 folgendermaßen vor:

Abb. 1.27

Die zu zerlegende Kraft und die beiden Komponenten müssen im Lageplan durch einenPunkt gehen (vgl. „Kräfteparallelogramm“).

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1. Pol wählen, Polstrahlen (Abb. 1.28b) und Seilstrahlen (Abb. 1.28a) zeichnen(Si und S 2)

2. Im Lageplan Schnittpunkte zwischen S\ und Richtung von F\ bzw. S2 undRichtung vonF2 verbinden. Die Verbindungslinie wird Schlusslinie S genannt.

3. Schlusslinie S durch den Pol gehend, in das Poleck übertragen. Aus dem

Schnittpunkt zwischen S und F ergeben sich die Größen von F\ und F2.Die Richtigkeit der Lösung folgt aus den Erläuterungen zu Abb. 1.25.

Abb. 1.28

1.5.2.3 Rechnerische Methode

Auch bei der rechnerischen Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten empfiehlt essich, ein Krafteck zu zeichnen. Eine Freihandskizze reicht in diesem Falle jedoch aus.Für den Fall der Zerlegung in zueinander rechtwinklige Komponenten ergeben sicheinfache geometrische Beziehungen.

Man erhält z. B. nach Abb. 1.29b:|FX| = \F\ • sin a (1.05)

\FZ\ = \F\ • cos a (1.06)

Diese Beziehungen sind allgemein gültig, wenn a als spitzer Winkel zwischen der KraftF und einer Parallelen zur z-Achse definiert wird. Der Richtungssinn von Fx und Fz mussaus der Skizze entnommen werden. Die Lage von Fx und Fz ist durch den Angriffspunkt

A im Lageplan festgelegt (Abb. 1.29a bzw. 1.30).

33

Abb. 1.29


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1 Grundlagen

Allgemeingültige Darstellung

Benötigt man für tabellarische oder programmierte Rechnungen allgemeingültige Beziehungen, die Betrag und Richtungssinn von Fx und Fz angeben, so gelten folgendeGleichungen:

FX=\F\ -s in ä (1.05a)Fz = \F\ • co sa (1.06a)

Hierbei ist a derjenige Winkel, der überstrichen wird, wenn man die positive Richtungder z-Achse mit positivem Drehsinn in den tatsächlichen Richtungssinn von F hineindreht (Abb. 1.30). Für tabellarische Rechnungen ist der auf Seite 39 angegebene Tabellenkopf, Spalten (1) bis (7) anzuwenden.

Abb. 1.30

Folgt aus der Rechnung für Fx oder Fz ein positives Vorzeichen, so wirkt die entsprechende Komponente im Sinne des Achsenkreuzes; bei negativem Vorzeichen hat sie denentgegengesetzten Richtungssinn wie die entsprechende Koordinatenachse. Zum Beispiel folgt aus Abb. 1.31:

F = 7 kN

ä = 360° -3 5 ° = 325°sin 325° = -s in 35° = -0,574

cos 325° = +cos 35° = +0,819

Nach Gin. (1.05a) und (1.06a) sind:

Fx = l - (-0,574) = -4,02 kN

Fz = 1 -0,819 = 5,73 kN

Fx wirkt also entgegen der positiven x-Achse und Fz im Sinne der positiven z-Achse. InAbb. 1.31 sind die Komponenten mit ihrem tatsächlichen Richtungssinn eingetragen.

Abb. 1.31

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Zerlegung von Kräften in beliebige Richtungen

Die rechnerische Zerlegung von F in zwei nicht zueinander senkrechte Komponentenkönnte man mit Hilfe des Sinussatzes lösen.

Der Sonderfall der Zerlegung in parallele Komponenten entsprechend Abb. 1.28a lässt

sich rechnerisch wie folgt lösen:Soll F in F\ und F2 zerlegt werden, so bedeutet das, dass F\ und F2 die gleicheKraftwirkung und die gleiche Momentenwirkung (Moment um eine beliebige Achsesenkrecht zur Kraftebene) wie F haben müssen. Aus diesen beiden Forderungen ergebensich zwei Gleichungen mit den Unbekannten F\ und F2. Als Momentendrehachse wirdz. B. eine Achse gewählt, die durch einen beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie von F\ geht (Abb. 1.28a). Damit ergeben sich folgende zwei Gleichungen1}:

1.5.3 Zusammensetzen von Kräften auf rechnerischem Wege

1.5.3.1 Kräfte mit gemeinsamem Schn ittpunkt

Nach Wahl eines Achsenkreuzes x, z werden die gegebenen Kräfte (Abb. 1.32a) inKomponenten in x- und z-Richtung zerlegt (Abb. 1.32b). Die Teilresultierenden Rx und

Rz ergeben sich durch Addition der Kräfte F xi bzw. Fzi. Für die Kräfte in Abb. 1.32 ergibtsich demnach

F \ + F 2 = F

F x • 0 + F2 •2,4 = F • 1

(1.07)

(1.08)

Abb. 1.32

11Hebelarme werden aus der Zeichnung abgegriffen.

35

FürF = 1,6 kN folgt aus Gl. (1.08):F2 = F - 1/2,4 =1,6/2 ,4 = 0,67 kN

und aus Gl. (1.07): F x = F - F 2 = 1 ,6 - 0,67 = 0,93 kN


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1 Grundlagen

Für beliebig viele Kräfte gilt:

Äx= i Fxi (1.09) Äz= £ ^ (1.10)i = l i = l

Kräfte, die im Sinne der Koordinatenachse x bzw. z wirken, sind in die Gin. (1.09) und

(1.10) positiv einzusetzen, Kräfte, die entgegen den Koordinatenachsen wirken, dementsprechend negativ.

Positive Werte Rx bzw. Rz wirken in Richtung, negative Werte entgegen der Richtungder zugehörigen positiven Koordinatenachse.

Der Betrag der Resultierenden ergibt sich gemäß Abb. 1.32c stets zu:

\ r \ = V r 2 x+ r 2 z ( l . i i )

Richtung und Richtungssinn von R können mit Hilfe einer Skizze ermittelt werden. ZumBeispiel folgt aus Abb. 1.33a für den spitzen Winkel q

Allgemeingültige Darstellung

Werden für tabellarische oder programmierte Rechnungen allgemeingültige Beziehungen benötigt, so kann aus folgenden Gleichungen ermittelt werden (Abb. 1.33b):

t a n e = y (1.12a); s ing = (1.12b)

Dabei ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn man die positive Richtung der z-Achsemit positivem Drehsinn in den Richtungssinn von R hineindreht.

Man beachte:Da der Winkel g zwischen 0° und 360° liegen kann, ergeben sich aus den Gin. (1 .12a)und (1.12b) jeweils zwei Lösungen für g. Gültig ist der Winkel g, der aus beidenGleichungen übereinstimmend gefunden wird.

Beispiel 1-1

Die Resultierende der in Abb. 1.34a gezeigten Kräfte ist zu ermitteln. Die KomponentenFxl undFzl (Abb. 1.34b) betragen:

36

Abb. 1.33


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1 Grundlagen

1.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt

Die Ermittlung von Betrag, Richtung und Richtungssinn der Resultierenden R erfolgt wie bei „Kräften mit gemeinsamem Schnittpunkt“. Nach Zerlegung der gegebenen Kräfte inx und z-Komponenten werden die Gin. (1.09) bis (1.12b) angewendet.

Die Lage von R ergibt sich aus der Überlegung, dass R die gleiche Momentenwirkung haben muss wie die gegebenen KräfteF\. Zerlegt manR am Schnittpunkt mit der x-Achse in die Komponenten Rx undRz Abb. 1.35a) und errechnet für den Koordinatenanfangspunkt die Momente, so erhält man auf Grund der vorgenannten Überlegung:

Rz - x r + R x 0 = Fz] X i +Fz2 ■x 2+ Fz3 x 3 (Fxl •z, +F x3 *z3+F4 z4)

Bei beliebig vielen Kräften Fx ergibt sich somit die Ordinate des Schnittpunktes von R mit der x-Achse zu:

38

(1.13)


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Entsprechend erhält man nach Abb. 1.35b für den Schnittpunkt von R mit der z-Achse:

R x - z r + R z - 0 = F x \ • z \ + F x 2 •z2 + Fx3 •z3- ( F zi -xi + F z 2 - x 2 )

Daraus folgt für beliebig viele Kräfte F2\

(1.14)

Vorzeichenregelung:

I Kräfte Fxi bzw. Fzl sind in den Gin. (1.13) und (1.14) mit negativem Vorzeichen

einzusetzen, wenn sie entgegen der positiven x- bzw. z-Achse wirken.

Die Wirkungslinie der Resultierenden R ist durch die Richtung von R (Richtungswinkelq oder q , s. S. 36) und durch einen Achsenabschnitt (xR bzw. zR) oder durch die beiden

Achsenabschnitte xR und zR festgelegt.Für tabellarische Rechnungen wird mit a nach Abb. 1.30 folgende Tabelle empfohlen:

i l * i l sin ocj cos(Xi

F*i= _^ •sin ai

F « = _ Fi • cos ocj

Z{ Xj Fxi *z\ F Z1 * X j

- kN o - - kN kN m m kNm kNm

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)1 2

Z - - - - ^ x = Rz = - -

Beispiel 1-2 (Abb. 1.36)

Man ermittle für die Kräfte F x bis F4 (Abb. 1.36a) die Resultierende R. Es ist nur eineZerlegung von F2 (Abb. 1.36b) erforderlich:

Fx2 = Fz2 = F2 • sin 45° = 3,0 • 0,7071 = 2,12 kN

Bei der Ermittlung von xR und zR spart man Rechenarbeit, wenn man z. B. den Koordinatenanfangspunkt in den Angriffspunkt der Kraft F xlegt (Abb. 1.36c). Die Koordinatender Kraftangriffspunkte betragen dann:

x j = 0; Z| = 0 x2 = 2,0 m; z2 = 0x3= 4,5 m; z3= 0 x4 = 5,3m; z4 = 2,0 m

Aus Gin. (1.09) bis (1.11) folgt:

Rx = 2,12 + 1,5 = 3,62 kN; Rz = 1,2 + 2,12 - 2,0 = 1,32 kN

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1 Grundlagen

Abb. 1.36

|/?| = V3,62 2+ l,3 2 2 = 3,85 kN

Entsprechend Abb. 1.36d ist

tan q = 3,62/1,32 = 2,74; g = 70°Aus Gl. (1. 13) folgt:

XR= 1 32 •[2>12 - 2’0 + (- 2’0) - 4-5 - 1>5 -( -2’° )] = - 1>33m

Mit q un dxR ist die Wirkungslinie vonT̂ festgelegt (Abb. 1.36c). Ergänzend folgt aus Gl.(1.14):

1.6 Gleichgewicht1.6.1 Allgemeines

Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte und Momente.

Sie untersucht die Bedingungen, unter denen sich eine Konstruktion, die durch Kräfteund Momente belastet ist, im Gleichgewicht befindet: Gleichgewichtsbedingungen.

Für ein ebenes Stab werk wird Gleichgewicht erreicht, d. h., es findet keine beschleunigteBewegung statt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

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1.6 Gleichgewicht

a) Die Resultierende aller am Stabwerk wirkenden Kräfte muss gleich null sein.

Das ist der Fall, wenn die Summe der Komponenten aller am Stabwerk wirkenden Kräfte in zwei beliebigen, jedoch nicht parallelen Richtungen in derStabwerksebene gleich null ist.

b) Die Summe aller Momente der am Stabwerk wirkenden Kraftgrößen um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerksebene muss gleich null sein.

Aus a) und b) ergeben sich also entsprechend den drei Freiheitsgraden eines ebenenSystems drei voneinander unabhängige Gleichgewichtsbedingungen. Für die Zerlegungder Kräfte in Komponenten ist es zweckmäßig, zwei zueinander senkrechte Richtungenzu wählen.

1.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen

Fällt eine Stabwerksebene mit der x, z-Ebene eines Achsenkreuzes nach Abb. 1.11bzusammen, so ergeben sich die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene in folgenderForm:

1. Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich nullZFX= 0 (1.15)

2 . Summe aller Kräfte in z-Richtung gleich null ZFz = 0 (1.16)

3. Summe aller Momente um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerksebene gleich null^£ M = 0 (1.17)

An Stelle der beiden Gleichgewichtsbedingungen EFX= 0 und ZFz = 0 können zusätz

liche Momentengleichgewichtsbedingungen EM = 0 verwendet werden. Den Beweisliefert folgende Überlegung:

Man geht von einer durch beliebige Kräfte und Momente belasteten Konstruktion aus(Abb. 1.37). Ist zunächst nur EMj = 0 erfüllt, so könnte noch eine durch den Punkt i gehende, beliebig gerichtete Resultierende R wirken.

Ist auch eine zweite Momentengleichgewichtsbedingung, z.B. EMk = 0, erfüllt, sokönnte nur noch eine Resultierende wirken, deren Wirkungslinie durch die Punkte i und k geht. Ist die dritte Gleichung ZFX= 0 oder XFZ= 0 ebenfalls erfüllt, so besagt das, dassauch diese Resultierende gleich null ist. Liegen allerdings die Punkte i und k auf einerParallelen zur z-Achse, dann ist nur die Erfüllung der Gleichung E FZ= 0 eine Bedingungdafür, dass R = 0 ist, da R keine Komponente in x-Richtung hat. Entsprechendes gilt,wenn die Punkte i und k parallel zur x-Achse liegen. In diesen beiden Fällen hätte manalso keine Auswahlmöglichkeit unter den beiden Gleichungen ZFX= 0 und ZFz = 0.Wird statt der zuvor verwendeten einen Kraftgleichgewichtsbedingung noch eine dritteMomentengleichgewichtsbedingung gewählt, deren Bezugspunkt n jedoch nicht auf

Die Achse stellt sich in der x, z-Ebene als Punkt dar (vgl. 1.2.2), der im Folgenden als Bezugspunkt bezeichnet wird.

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1 Grundlagen

einer Geraden durch die Punkte i und k liegen darf, und ist diese Gleichung erfüllt, so istdamit ebenfalls gegeben, dass die Resultierende gleich Null ist.

Für ein ebenes System lassen sich somit grundsätzlich nur drei voneinander unabhängige Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Alle weiteren Gleichgewichtsbedingungen,z.B. Momentengleichgewichtsbedingungen um neue Bezugspunkte, ergeben nichts

Neues; sie sind von den bereits vorhandenen drei Gleichgewichtsbedingungen linearabhängig.

Vorzeichenregelung

Beim Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen ist auf Folgendes zu achten:

Erhalten Kräfte, die den gleichen Richtungssinn haben, ein positives Vorzeichen, sosind die Kräfte, die den umgekehrten Richtungssinn haben, mit einem negativenVorzeichen zu versehen. Entsprechendes gilt für rechts- und linksdrehende Momente.

Um Fehlerquellen beim praktischen Rechnen auf ein Minimum herabzusetzen und imHinblick auf eine tabellarische und programmierte Lösung von statischen Aufgaben istes zweckmäßig, beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen nach einem be

stimmten Prinzip zu arbeiten.Im Rahmen dieses Buches wird daher folgendermaßen vorgegangen:

Kräfte und Momente erhalten in den Gleichgewichtsbedingungen ein positives Vorzeichen, wenn sie im Sinne des Achsenkreuzes^ wirkend dargestellt sind; andernfallserhalten sie ein negatives Vorzeichen.

Anhand der beiden folgenden Beispiele wird die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen gezeigt.

Beispiel 1-3

Man stelle fest, ob die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion im Gleichgewicht ist. ZurLösung der Aufgabe müssen die Gleichgewichtsbedingungen aufgeschrieben werden,um feststellen zu können, ob sie erfüllt sind.

Im Sinne des Achsenkreuzes bedeutet bei Kräften: in Richtung der positiven Koordinatenachsen, bei Momenten: in Richtung des positiven Drehsinns (vgl. 1.3.2).

42

Abb. 1.37


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1.6 Gleichgewicht

L F X = 0 : -2 + 2 = 0 (?); 0 = 0LFZ =0: - 4 + 5-1 = 0(?); 0 = 0£Ma = 0: 2 -0 + 4- 0 - 5- 2+1 • 10 + 2- 0 = 0 (?)

0 = 0

Die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion ist also im Gleichgewicht, da alle Gleichge

wichtsbedingungen erfüllt sind.

"wz 15kN

2kN l*kN 1 kN

-2 - i - -------------8 m ---------

2kN

'M Fx1=3kN

£ioö

So

1.2 m

Abb. 1.38 Abb. 1.39


Gegeben sind in diesem Beispiel Betrag, Richtungssinn und Lage vo nF xl sowie die Lagevon F xa F za, Fzb. Der Betrag und der Richtungssinn von Fxa, F za und Fzb sollen so

bestimmt werden, dass alle vier Kräfte im Gleichgewicht sind. Dienoch unbekanntenPfeilrichtungen (Richtungssinn) von Fxa, Fza und Fzb werden zunächst beliebig angenommen. Ergibt sich für eine Kraft nach Ausrechnung der Gleichgewichtsbedingungenein positives Vorzeichen, so stimmt der wirkliche Richtungssinn mit der angenommenenPfeilrichtung überein; ergibt sich ein negatives Vorzeichen, so ist der wirkliche Rich

tungssinn der Kraft entgegengesetzt der im Bild eingetragenen Pfeilrichtung.Die Gleichgewichtsbedingungen lauten für die in Abb. 1.39 gewählten Pfeilrichtungender Kräfte:

EF x = 0: F xa- F xl = 0; F xa = F x l= 3k N

ZMa = 0: F xl -0,5 +Fzb- 1,2 = 0

Fzb = Y i • ° ’5) = Y i 3 ' 0 ,5 )= ' 1,25 kN

EFZ= 0: -F za - Fzb = 0

Fza = - F zb = -(- l ,2 5 )= l ,2 5 k N

Zur Ermittlung vonFza könnte z. B. auch die Gleichgewichtsbedingung EMb = 0 genutztwerden:

- F z a • 1,2 + F xl • 0,5 = 0

Fza = Fxi •0,5/1,2 = 3 -0,5/1,2=1,25 kN

Werden, wie in diesem Beispiel, mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Betrag undRichtungssinn von unbekannten Kräften ermittelt, so ist der Rechenaufwand am geringsten, wenn jede Gleichung nur eine Unbekannte enthält. Um in der Gleichung

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1 Grundlagen

ZM = 0 nur eine Unbekannte zu erhalten, muss der Bezugspunkt entsprechend gewähltwerden. Das wird z. B. erreicht und gleichzeitig eine Fehlerfortpflanzung vermieden,wenn als Bezugspunkt der Schnittpunkt zweier der anfangs unbekannten Kräfte gewähltwird. Im Beispiel 1-4 wurden daher als Momenten-Bezugspunkte die Punkte a oder b gewählt.

Die Beispiele 1-3 und 1-4 zeigen, dass man mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungeneinerseits feststellen kann, ob ein Gleichgewichtszustand vorliegt und andererseits Un

bekannte so ermittelt werden können, dass Gleichgewicht herrscht.

Wird eine Konstruktion durch äußere Kräfte oder Momente belastet und damit auchverformt, so treten im Innern der Konstruktion sog. SchnittgrößenX) (innere Kräfte undinnere Momente) auf. Man verwende folgendes Gedankenmodell: Die einzelnen Querschnitte einer Konstruktion werden durch „innere Fesseln“ zusammengehalten. Sie sind

aneinander „gefesselt“. In den „inneren Fesseln“ wirken innere Kräfte und Momente.Sie sorgen dafür, dass jedes einzelne Stabelement einer Konstruktion im Gleichgewichtsteht.

In jedem Schnitt einer ebenen Konstruktion können drei Schnittgrößen auftreten:

Biegemoment M3Querkraft V (Kraft quer zur Stabachse)Längskraft N (Kraft in Richtung der Stabachse)

In Abb. 1.40 ist ein in zwei Teile geschnittener Träger dargestellt. An den freigelegtenSchnittufern sind die Schnittgrößen eingetragen. Sie treten aus Gleichgewichtsgründenimmer paarweise auf und sind entgegengesetzt gleich. Weitere Einzelheiten siehe Abschnitt 2.3.

1.8 NebenbedingungenEs gibt Baukonstruktionen, die an bestimmten Stellen so konstruiert sind, dass eine oderzwei Schnittgrößen an diesen Stellen nicht übertragen werden können, d. h. gleich nullsind. Man spricht in diesem Zusammenhang von Nebenbedingungen.

Diese Schnittgrößen sind Resultierende der in einem Querschnitt infolge äußerer Belastung auftretenden Spannungen (siehe [2]).

1.7 Schnittgrößen

Abb. 1.40

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1.9 Statische Bestimmtheit

Bezugnehmend auf das Gedankenmodell (vgl. 1.7) könnte man sagen, dass die entsprechenden „inneren Fesseln“ an diesen Stellen „zerschnitten“ sind und damit keine Kräfte

bzw. Momente übertragen können. Zum Beispiel sind bei sog. Gelenkträgern (vgl. 4.2)an bestimmten Stellen Gelenke konstruiert, so dass hier das Biegemoment M6 = 0 ist.Diese Tatsache ist für die Berechnung solcher Konstruktionen von großer Wichtigkeit,

da man durch die Ausnutzung der Nebenbedingungen zusätzliche Gleichungen zurBerechnung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen erhält (vgl. 4.1).

In Abb. 1.41a wird gezeigt, wie bei Stahlträgern solche Gelenkstellen aussehen können1 \ Es ist ersichtlich, dass zwar eine Querkraft und eine Längskraft, jedoch keinBiegemoment übertragen werden kann.

Mb=0 — o—

Symbolische

Darstellung

Mb=0 ; N = 0 !-----------------m —

Abb. 1.41

In Abb. 1.41b wird gezeigt, wie z. B. eine Konstruktionsstelle mit den beiden Nebenbedingungen M B = 0 und N= 0 aussehen kann. Das Langloch im Trägersteg verhindert dieÜbertragung der Längskraft.

1.9 Statische BestimmtheitEine Konstruktion ist statisch bestimmt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen und die

Nebenbedingungsgleichungen ausreichen, um die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen eindeutig zu ermitteln.

Zur besseren Übersicht sind die Schweißnahtzeichen weggelassen.

o)

Lang loch im Trägersteg

bj - — r i t̂II VAiA tr11

'!er \r


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1 Grundlagen

Sind zur Berechnung der Auflager- und Schnittgrößen außer den Gleichgewichts- und Nebenbedingungen noch Formänderungsbedingungen erforderlich, so spricht man voneiner statisch unbestimmten Konstruktion (siehe Kapitel 9).

Lassen sich nur die Auflagerreaktionen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen undmit eventuellen Nebenbedingungsgleichungen ermitteln, während zur Bestimmung der

Schnittgrößen zusätzliche Formänderungsbedingungen erforderlich sind, so ist dasSystem zwar statisch bestimmt gelagert, insgesamt jedoch statisch unbestimmt.

1.10 ÜberlagerungsprinzipDa alle Kraftgrößen in die Gleichgewichtsbedingungen linear eingehen, ist es grundsätzlich möglich, eine aus verschiedenen Lasten und Lastmomenten bestehende Gesamtbelastung einer Konstruktion in Teilbelastungen aufzuteilen, um statische Größen(z. B. Auflagerkräfte, Schnittgrößen) für diese Teilbelastungen zu ermitteln. Die Teilresultate ergeben sich durch Addition der endgültigen Resultate der Gesamtbelastung.

Dieses Überlagerungsprinzip ist für die Statik von großer Bedeutung. Es lassen sich aufdiese Weise unübersichtliche, komplizierte Belastungen in einzelne übersichtliche, einfache Belastungen aufteilen, die alle in getrennten Rechengängen behandelt werdenkönnen. Die Anwendung des Überlagerungsprinzips bietet sich auch an, wenn veränderliche Lasten, wie z. B. Wind und Schnee, wirken, deren Einfluss zunächst getrenntermittelt werden muss, vgl. auch Abb. 1.42.

Die Gültigkeit des Überlagerungsprinzips ist allerdings auf solche Fälle beschränkt, in

denen die Verformungen keinen oder nur einen vemachlässigbar geringen Einfluss aufdie Schnittgrößen haben. Diese Voraussetzung ist für die in diesem Buch beschriebenenFälle gewährleistet.

Teilbelastung I Teilbelastung E

z.B..Gesamtbelastung = Teilbelastungen I + E

Abb. 1.42

AZ-&Z,I +&ZE; BZ *BZ I +BZ 11

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2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen

2.1 VorbemerkungenStatisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen müssen folgende Forderungenerfüllen:

Alle Auflager- und Schnittgrößen müssen sich allein mit Hilfe der drei Gleichgewichts bedingungen berechnen lassen.

Die Auswirkungen in diesem Abschnitt beziehen sich also auf gerade, geknickte undgekrümmte Träger mit oder ohne Kragarmen sowie auf Kragträger, wenn diese Systemedie obige Voraussetzung erfüllen.

Bei einer statischen Berechnung sind im Allgemeinen folgende Punkte zu behandeln:

1. Ermittlung der Auflagerreaktionen2. Ermittlung der Schnittgrößen3. Standsicherheitsnachweise4. Tragsicherheitsnachweise5. Nachweis der Gebrauchstauglichkeit

Das vorliegende Kapitel befasst sich mit den Punkten 1und 2. Die Punkte 3 bis 5 werdenz. B. in [2] und [3] behandelt.

2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen

2.2.1 AllgemeinesDie Ermittlung der Auflagerreaktionen erfolgt, da sich jede Konstruktion im Gleichgewicht befinden muss, durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen. Ist ein statisches System durch Streckenlasten belastet, so können diese für die Berechnung derAuflagerreaktionen durch resultierende Einzellasten ersetzt werden (vgl. 1.4.1, S. 25).Greifen Streckenlastmomente an, so kann ebenfalls mit resultierenden Einzellastmomenten gearbeitet werden.

2.2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen auf rechnerischem

WegeDie Auflagerkräfte ergeben sich aus der Bedingung, dass das gesamte System imGleichgewicht sein muss. Für die nach Betrag und Richtungssinn unbekannten Auflagerreaktionen muss zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen eine Pfeilrichtungangenommen werden. Im Rahmen dieses Buches wird dabei wie folgt vorgegangen:

IDie Pfeilrichtungen der Auflagerreaktionen werden grundsätzlich entgegen dem positiven Sinn des Achsenkreuzes eingetragen.

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Abb. 2.01

Für den in Abb. 2.01 dargestellten Träger auf zwei Stützen ergeben dann unter Beachtungder Vorzeichenregel (s. Seite 42) die Gleichgewichtsbedingungen:

ZM2 = 0: - Az - l + Fz -b = 0 Az = Fz -b/l (2.01)

ZFz = 0: - Az- B z + Fz = 0

Bz = Fz - A z = Fz - F z >b/l = Fz ( \ - b / l ) Bz = Fz -a/l (2.02)

EFX= 0: — Ax + Fx = 0= (2.03)

Die Gleichgewichtsbedingungen ZFz = 0 und EF X= 0 können durch Gleichgewichtsbedingungen ZM = 0 ersetzt werden (vgl. 1.6.2). Zur Kontrolle wird Bz mit folgenderGleichgewichtsbedingung ermittelt:

EMj =0: Bz • l - Fz •a = 0; BZ= FZ- a/l

Allgemein ist eine knappere Schreibweise zu erreichen, wenn die aus den Gl. B. folgen

den Gleichungen direkt nach der gesuchten Größe aufgelöst werden. Bei den Kraft-Gl. B. lässt sich dann zu Abb. 2.01 unmittelbar schreiben:

aus ZFz = 0 folgt: ] B z = l F z - A z (2.02a)

aus LFX= 0 folgt: AX=FX (2.03 a)

Dabei geben die Vektoren als Hilfe zur Festlegung der Vorzeichen die für jede Gleichungsseite maßgebende positive Vektorrichtung an. Zu Gl. (2.02a) ist Az aus einerMomenten-Gl. B. zu errechnen, bei der entsprechend vorgegangen werden kann, also:

r>f aus ZM2 = 0 folgt: Az -1 = Fz • b,

wobei der Krummpfeil den jeweils positiven Drehsinn bzgl. des gewählten Bezugs punktes angibt.

Soll wie im vorstehenden Fall mit Hilfe der Momenten-Gl. B. eine Kraft errechnetwerden, so können gleich beim ersten Aufschreiben beide Gleichungsseiten durch denHebelarm, den die gesuchte Kraft zum gewählten Bezugspunkt hat, dividiert werden; esergibt sich dann unmittelbar:

1aus ZM2 = 0 folgt: Az = - (Fz • b) (2 .01a)

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■ (+) R - q l

Abb. 2.02

A x

A,

>111111111111111 rfn i ip

- ^ 4

Für einen mit einer gleichmäßig verteilten Streckenlast belasteten Träger (Abb. 2.02)ergeben sich folgende Gleichungen:

£M2 = 0 : - Az -l + q l -1/2 = 0 Az = q-l /2 (2.04)

£ F Z= 0: q l - A z - B z = 0 Bz = q l - A z = q l - q • 1/2 Bz = q • 1/2 (2.05)

I F x = 0: Ax = 0 (2.06)

Zu diesen Ergebnissen kommt man auch aus der Anschauung. Es ist einleuchtend, dassdie Auflager bei symmetrischer Belastung je die Hälfte der Gesamtbelastung aufnehmen.

In Abb. 2.03a ist ein Träger dargestellt, bei dem die Bewegungsrichtung des beweglichenLagers nicht parallel zur Stabachse verläuft. Die Auflagerkräfte lassen sich wie folgtermitteln:

1. Möglichkeit (Abb. 2.03a)

ZM2 = 0: - A z -l + F - b = 0 Az = F-b/ l (2.07)

ZMi =0: B • / cos ol- F • a = 0

Fa B = -------- (2.08)

/ cos aEF X= 0: - Ax - B sin a = 0

™ • Fa Ax = - B sma = - ------- sin a

/ cos a

Ax = - - F •ö ta na (2.09)

^ x lässt sich auch relativ schnellermitteln, wenn man die GleichgewichtsbedingungUM = 0 um den Schnittpunkt von^4z und B aufstellt.

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v-


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EM ,= 0: Bz ■ 5, 0- F z ■ 6, 5- q ■ 1,8-2,1 - F x - 1,6 = 0

ß z = ^ (Fz • 6,5 + # • 1,8 • 2,1 +FX • 1,6)

ß z = (2,7 •6,5 + 0,5 • 1,8 -2,1 +0 ,8- l,6) = 4,14kN

£FZ= 0: — —2?z + q • 1,8 + Fz = 0 Az = - B z + q ■ 1,8 + Fz = - 4,14 + 0,5 • 1,8+ 2,7 = -0 ,5 4 kN °

EFx = 0: - A k + F x = 0; ^ x = F x = 0,8kN

Zur Kontrolle wird EM3 = 0 aufgestellt.

ZM3= 0: - ^ z -5 ,0 -^x- 1,6 + 9- 1,8-2,9- F z- 1,5 = 0 (?)- (-0,54)2) •5 ,0 -0 ,8 - 1,6+ 0,5- 1 ,8 -2 ,9 -2 ,7 - 1,5 = 0 (?)+ 2,7 - 1,28 + 2,61 - 4,05 = 0 (?)

5,31-5,33 « 0


Die Auflagerreaktionen des mit einer Dreieckslast belasteten Kragträgers sind zu ermitteln. Die maximale Ordinate der Last beträgt 2 kN/m. Die Resultierende der Belastung ist gleich der Fläche des Dreiecks, also R = q •3,9/2. R greift im Schwerpunkt desDreiecks an (Abb. 2.05).

\ j +) * \JL lR -q -3 ß /2

r q =2 kN/ m

$---- -fTTTTT-r-r- —

4 \ 1,5 | 3,9m | Abb. 2.05 z r H

Z M , = 0 : - h f - q - -2,8 = 0

NF = - q - 1,95 -2,8 = -2,0- 1,95-2,8= -10,9 kNm

S F Z= 0: - Az + q - 1,912 = 0

Az = q •3,9/2 = 2 •3,9/2 = 3,9 kNI F x = 0: A x = 0

^ Das negative Vorzeichen besagt, dass Az entgegengesetzt wirkt, wie im Bild eingetragen.2) Man beachte: Az ist mit dem zuvor ermittelten Vorzeichen einzusetzen.

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Beispiel 2-3 (Abb. 2.06a)

Für die Ermittlung der Auflagerkräfte werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt.

Abb. 2.06

X

'(+)

a)

b) Ax

UOm

Fx=2kN

£ 2

~LM2 = 0: - A z - 6,0 + F ■1,2 = 0

A z = 7 •F • 1,2= 7 - 2 - 1,2 = 0,4 kN6 6

~LFZ = 0: - A z - B z = 0B z = - A z = - 0,4kN'>

ZFX= 0: - A x - F = 0 A « = - F = ~ 2 k N °

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Für die Ermittlung der Auflagerkräfte könnte man auch vondem Lastbild in Abb. 2.06bausgehen, indem man die Last F in denPunkt3versetztund zusätzlich dasVersetzungsmoment M = F • 1,2 = 2 • 1,2 = 2,4 kNm anbringt (vgl. 1.2.5). Bei Aufstellung vonMomentengleichgewichtsbedingungen ist darauf zu achten, dass ein Einzelmoment M um alle Drehachsen senkrecht zur Zeichenebene ein Moment von der Größe Mausübt.Entsprechend Abb. 2.06b lauten die Gleichgewichtsbedingungen:

£M2 = 0: - A z - 6,0 + A/-=0 (2.13) Az = A/l/6 = 2,4/6 = 0,4 kN

Fz = 0: wie Gl. (2.11)

Fx = 0: wie Gl. (2.12)Für einen mit einem Einzelmoment M[ belasteten Träger au f zwei Stützen nachAbb. 2.06b mit der Stützweite / ergeben sich somit entsprechend Gin. (2.13) und (2.11):

AZ= N&!1 (2.14)

Bz = - h f / l (2.15)

11 Siehe Fußnote 1 Seite 51

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2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen

2.2.3 Reaktionen und Aktionen an Lagerstellen

Wie im Abschnitt 2.2.2 gezeigt wurde, treten durch äußere Belastung (Aktion) an denStellen einer Konstruktion, an denen sie an eine andere Konstruktion oder über Fundamente an den Erdboden gefesselt ist, Auflagerreaktionen auf. Diese Auflagerreaktionenerzeugen wiederum auf die angeschlossene Konstruktion bzw. über die Fundamente aufden Erdboden wirkende gleich große und entgegengesetzt gerichtete Aktionskräfte bzw.Aktionsmomente.

Um die Aktions- und Reaktionskräfte an den Lagerstellen einer Konstruktion anschaulich darzustellen, werden in Abb. 2.07a für einen Träger auf zwei Stützen die Lagersymbolisch mit Hilfe von Pendelstäben dargestellt (vgl. 1.3.3 bzw. Abb. 1.17c und1.18b). Werden nach Abb. 2.07b die Pendelstäbe zerschnitten und geht man davon aus,dass der Träger an den Erdboden gefesselt ist, so wirken die Lagerkräfte an den konstruktionsseitigen Schnittufern als Reaktionskräfte und an den bodenseitigen Schnittufern als gleich große, entgegengesetzt gerichtete Aktionskräfte.

Ergeben sich infolge einer entsprechenden Belastung die in Abb. 2.07c dargestelltenReaktions- und Aktionskräfte, so muss die Konstruktion an dieser Stelle gegen Abhebenverankert werden.

2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen2.3.1 Allgemeines

Im Abschnitt 1.7 wurde erläutert, dass man unter Schnittgrößen innere Kräfte undMomente versteht, nämlich

Biegemomente M6, Querkräfte V, Längskräfte N l)

Häufig auch als Normalkräfte bezeichnet.

b)

f — R eaktionskraft

Abb. 2.07

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2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen

■ Mi positives Schnittufer

negatives Schnittufer Abb. 2.09

Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass die einzelnen Schnittgrößen an einerSchnittstelle immer als Gruppe auftreten und entgegengesetzt wirken, andernfalls würden sich die einzelnen Querschnittsteilchen gegeneinander verschieben oder drehen.Obwohl die Schnittgrößen jeweils an einer Schnittstelle entgegengesetzt wirken, sind siebeide positiv bzw., wenn die Rechnung ein negatives Vorzeichen ergibt, beide negativ.

2.3.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ohne AchsenkreuzPositive Biegemomente lassen sich sehr anschaulich mit Hilfe einer sog. Zugfaser definieren. Man legt die Ober- oder Unterseite eines Stabes als Zugfaser fest unddefiniert:

IEin Biegemoment ist positiv; wenn es an der Stabseite, an der die Zugfaser eingetragenist, Zug erzeugt.

Entsprechend Abb. 2.10 zeichnet man auf einer Trägerseite eine gestrichelte Linie(Zugfaser) und trägt dann aus der Anschauung heraus die positiven Biegemomente aneiner Schnittstelle so ein, dass sie auf der Seite der Zugfaser Zug erzeugen.

Für die Festlegung der positiven Querkräfte und Längskräfte kann folgende Regelaufgestellt werden:

An den beiden Schnittufern einer Schnittstelle sind die Querkräfte positiv; wenn diePfeilspitze am Schnittufer links vom Betrachter nach unten und rechts vom Betrachter

nach oben zeigt. Längskräfte sind positiv, wenn sie als Zugkräf te wirken.In Abb. 2.11a und 2.11b sind die positiven Schnittgrößen eingetragen für die beidenMöglichkeiten „Zugfaser unten“ und „Zugfaser oben“ .

Aus Vergleich der Abb. 2.08 und 2.1 la sowie Abb. 2.09 und 2.1 lb ergibt sich, dass man bei der Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes bzw. mit Hilfe einer Zugfaser zu den gleichen Ergebnissen kommt. Man kann sich also für eine der beidenMöglichkeiten entscheiden. Es wird bei den folgenden Beispielen im Allgemeinensowohl ein Achsenkreuz als auch eine Zugfaser angeben.

Abb. 2.10 Zugfaser

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M 8

^ a>

Schnittstelle

Abb. 2.11c bis e

Die Abb. 2.1 lc bis e zeigen einige Zuordnungen von Zugfaser und Achsenkreuz sowiedie als positiv definierten Schnittgrößen. Die Schnittufer sind als positive (p) odernegative (n) Schnittufer gekennzeichnet.

2.4 Ermittlung der Schnittgrößen2.4.1 Allgemeines

Schnittgrößen können grundsätzlich sowohl auf rechnerischem als auch auf zeichnerischem Wege ermittelt werden. In den meisten Fällen, jedoch immer bei der Berechnungvon Biegemomenten, ist es zweckmäßiger bzw. in der Praxis gebräuchlicher, rechnerischvorzugehen.

In den folgenden Abschnitten werden die Schnittgrößen überwiegend auf rechnerischemWege ermittelt. In den Fällen jedoch, in denen die zeichnerische Methode besondersschnell zum Ziel führt, werden für die Ermittlung der Schnittgrößen sowohl rechnerischeals auch zeichnerische Lösungen angegeben.

2.4.2 Allgemeine Anwendung des SchnittprinzipsSollen für eine bestimmte Stelle i einer Konstruktion die Schnittgrößen ermittelt werden,so wird ein Teilsystem durch einen Rundschnitt derart herausgeschnitten, dass eineSchnittstelle identisch m

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