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IMTEKLehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen

Technische Mechanik SS 2010 - Vorlesung Biegelinie / Folie 1

Der Biegebalken

Der Biegebalken

Der Biegebalken stellt eines der grundlegenden Konstruktionselemente der Mikrotechnik dar, z.B. als:

• Gelenk und Federelement in Mikroventilen, Beschleunigungssensoren, Drehratensensoren...,

• Kontaktzunge in Mikrorelais,

• Ventilklappe in Rückschlagventilen,

• Aktorstruktur in Piezo- und Thermobimetallwandlern,

• .....

Grundlegende Fragen zur konstruktiven Auslegung sind:

• Wie ist die Verformung abhängig von der Belastung ?

• Wie ist der Einfluß innerer Spannungen ?

• Wie verhalten sich Mehrschichtstrukturen ?

© IZM München



Der Biegebalken

Die Biegelinie des geraden Balkens

Frage:

Wie ist die Verformung eines geraden Balkens bei reiner Biegebelastung ?

Wir verwenden wiederum geometrische Beziehungen...

Diese Beziehung gilt streng für beliebige Verformungen !

x

z

y

ym ax

R

d

dx

1 dx2

1 dx2

maxy

xd

R

xd max

max

xd

xd

R

y

EgiltEs max

max:

maxmax yI

M

y



xx w(x)

zdw

dw

RR

- d

d

dx

dx

dx

y

Der Biegebalken

Die Differentialgleichung für die elastische Linie

Wir haben für beliebige Verformungen bereits eine Bezie-hung zwischen Krümmungsradius und Belastung herge-stellt. Die Frage ist nun:

Wie ist für kleine Verformungen die Beziehung zwischen Durchsenkung w und Belastung ?

Dies ist die Differentialgleichung der elastischen Linie des Biegebalkens für kleine Verformungen.

tan:xd

wdgiltWinkelkleinefür

xddR

2

21

xd

wd

xd

d

R

MR

IEmit y

:



Der Biegebalken

Weitere Differentialgleichungen der Biegelinie

Mit Hilfe der bekannten Zusammenhänge zwischen Moment, Querkraft und Linienlast lassen sich wei-tere Differentialgleichungen für die Biegelinie ableiten:

Anmerkungen:

• Die letztgenannte Gleichung enthält keine Schnittgrößen, sondern nur die Flächenlast q(x). Sie erlaubt die Bestimmung der Biegelinie bei statisch unbestimmten Problemen (!).

• Bei nicht konstantem Querschnitt (d.h. Iy const.) muß streng nach der Produktregel differenziert werden !

xQxd

xMdmit :

xqxd

xMdoder

2

2

:



Der Biegebalken

Randbedingungen für die Berechnung der Biegelinie

Die Berechnung der Biegelinie erfordert Randbedingungen an den Balkenenden. Man unterscheidet:

• geometrische Randbedingungen (d.h. Art der Einspannung)

• statische Randbedingungen (d.h. Art der Belastung)

Einspannung Symbol geometrische Randbedingung statische Randbedingung

w w‘ M Q

Gelenklager = 0 0 = 0 0

Parallelführung 0 = 0 0 = 0

Einspannung = 0 = 0 0 0

freies Ende 0 0 = 0 = 0



Der Biegebalken

Die Biegelinie bei statisch bestimmter Lagerung

Wie ist die Biegelinie eines statisch bestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

q 0

l

E, Iy

x

z w(x)

y

q 0

x

x

q l 2

0 x2

R M(x)

:tQuerschnitimMoment

22 0

0 xxqx

lqxM

xlq

xq

xMxd

wdIE y

22020

2

2

213040

1224CxCx

lqx

qxwIE y

:ungenRandbeding

0:0 xwx

0: xwlx 24

03

01

2

lqC

C



Der Biegebalken

Die Biegelinie bei statisch unbestimmter Lagerung

Wie ist die Biegelinie eines statisch unbestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

q 0

l

E, Iy

x

z w(x)

y

04

4

2

2

2

2

qxqxd

wdIE

xd

wdIE

xd

dy

xfyIE

y

xMCxCxq

xwIE y 2120

2''

432

23

140

2

1

6

1

24CxCxCxCx

qxwIE y

:ungenRandbeding

0:0 xwx

0' xw0;0 43

CC

0: xwlx

0xM2

0201 8

1;

8

5lqClqC



Der Biegebalken

Die Biegelinie bei Balken mit mehreren Feldern

Häufig lassen sich

• Belastungen (q, F, M),

• Schnittgrößen (Q, M), oder

• Verformungsgrößen (w, w‘)

nicht durch eine einzige Funktion darstellen. In diesen Fällen ist abschnittsweise zu integrieren.

Vorgehensweise:

• Balken so in Felder unterteilen, daß innerhalb eines Feldes alle o.g. Größen stetig sind,

• Schnittgrößen abschnittsweise bestimmen,

• Randbedingungen aufstellen,

• Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen der Felder aufstellen,

• Differentialgleichung abschnittsweise integrieren.



Der Biegebalken

Übergangsbedingungen der Biegelinie

Bei den gezeigten Lastwechseln gilt für die Biegelinie w(x) und ihre Ableitung w‘(x) an der Feldgrenze...

q(x)F oder oderM

w

rechtslinks ww

erbardifferenzistetigxw

)(

rechtslinks ww

stetigxw

''

)('

rechtslinks ww

stetigxw

)(

rechtslinks ww

leSprungstelzeigtxw

''

)('

rechtslinks www

leSprungstelzeigtxw

)(

rechtslinks ww

erbardifferenzistetigxw

''

)('



Der Biegebalken

Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie

Wir kennen bereits den Momentenverlauf am Balken mit Einzellast:

Abschnittsweises Integrieren liefert für...

Bereich I Bereich II

F

a b


w(x)

l

A B

xz

y

lxaxll

aF

axxl

bF

xMxwIE0

''

1

2

2' C

x

l

bFxwIE I

21

3

6CxC

x

l

bFxwIE I

3

2

2' C

xl

l

aFxwIE II

43

3

6CxlC

xl

l

aFxwIE II



Der Biegebalken

Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie

Randbedingungen in...


Übergangsbedingungen:

F

a b


w(x)

l

A B

xz

y

00 xwI 0lxwII

axwaxw III axwaxw III ''

l

babaFC

6

21

02 C l

abbaFC

6

23

04 C



Der Biegebalken

Föppl-Symbole bei Mehrfeldproblemen

Die abschnittsweise Definition von Belastungsgrößen bedingt einen hohen numerischen Aufwand bei der Integration der Biegelinie (Übergangsbedingungen etc.).

Die sog. Föppl-Symbole ermöglichen, abschnittsweise definierte Größen in geschlossener Form darzustellen:

Caxn

xdax

axnaxxd

d

chenregeln

nn

nn

1

1

1

1

:Re



Der Biegebalken

Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen

Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?

Am dargestellten, „relativ simplen“ Balken benötigt man bereits...

• 2 Biegelinien, abschnittsweise zu integrieren,

• 2 Randbedingungen für x = 0,

• 2 Übergangsbedingungen für x = a,

d.h. die Rechnung wird zwar nicht kompliziert, aber unübersichtlich und aufwendig !

xz

y

ba

q 0



Der Biegebalken

Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen

Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?

xz

y

ba

q 0

432

23

1

4

0

322

1

3

0

21

2

0

1

1

0

0

0

2

1

6

1

24

12

1

6

1'

2

1''

'''

''''

CxCxCxCaxqwIE

CxCxCaxqwIE

xMCxCaxqwIE

xQCaxqwIE

axqwIE

00'''

00''

000'

000

:

1

2

3

4

QCQxwIE

MCMxwIE

CxwIE

CxwIE

ungenRandbeding



Der Biegebalken

Das Superpositionsprinzip

Die Differentialgleichung der Biegelinie ist linear, d.h. Lastfälle und deren Lösungen können generell überlagert werden. Dieser Umstand hilft bei der Lösung statisch unbestimmter Probleme.

Vorgehensweise bei unbestimmten Systemen:

• Das unbestimmte System in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegen,

• die allgemeinen Lösungen der Biegelinie für die Teilsysteme berechnen,

• Kompatibilitätsbedingungen für die Teilsysteme aufstellen und

• das Gesamtsystem lösen.

Was sind Kompatibilitätsbedingungen ? Kompatibilitätsbedingungen sind wahlweise Bedingungen für...

• Belastungen (F, Me, q),

• Schnittgrößen (Mb, Q) und

• Durchsenkungen (w und w‘),

die lokal, d.h. an bestimmten Stellen Beziehungen zwischen den einzelnen Teilsystemen herstellen.



Der Biegebalken

Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips

Frage: Wie groß ist das Einspannmoment MA für den gezeigten Balken ?

Das System ist einfach statisch überbestimmt, d.h. wir können das Moment bei A nicht ohne weiteres berechnen.

Lösung durch Superposition: Wir zerlegen das System in zwei statisch bestimmte Teilsysteme:

System 0: Kragbalken mit Linienlast System 1: Kragbalken mit Einzellast X als Ersatz für Lager B

q 0

l

E, I

x

z

A B

w(x)

q 0

l

E, I

x

z

A

w (x)0 l

E, I

x

z

A

X

w (x)1

+



Der Biegebalken

Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips

Die Berechnung der Biegelinien ergibt für...

• System 0:

• System 1:

Kompatibilitätsbedingung:

Am Lager B muß die Auslenkung des Gesamtsystems Null sein:

23440

0 6424 l

x

l

x

l

x

IE

lqxw

323

1 36 l

x

l

x

IE

lXxw

038

340

IE

lX

IE

lqnBiegelinieundgungitätsbedinKompatibil lqX 08

3

2000 2

1''

:

xlqxwIExM

folgtnBiegeliniedenAus

xllqxwIExM 011 8

3''



Der Biegebalken

Eine Alternativlösung für unser Problem

In der Wahl der Teilsysteme ist man bei überbestimmten Systemen prinzipiell frei, solange die Teilsysteme für sich statisch bestimmt sind.

Eine Alternative wäre hier...

System 0: Gelenkbalken mit Linienlast System 1: Gelenkbalken mit eingeprägtem Moment Me als Ersatz für Lager A

q 0

l

E, I

x

z

A B

w(x)

q 0

l

E, I

x

z

A B

w (x)0

M e

l

E, I

x

z

A B

w (x)1+

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