implementación modelo de potencial de acción a tres
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II
PROFESOR PATROCINANTE
Ph. D. Sr. Alfredo Guillermo Illanes Manríquez. _______________
PROFESORES INFORMANTES
Ph. D. Srta. Agnes Madalinski. _______________
Ing. Sr. Daniel Vicente Lühr Sierra. _______________
III
Dedicada a mis Abuelos:
Ernestina, María (Q.E.P.D),
José (Q.E.P.D) y Pedro (Q.E.P.D).
“Gracias por la experiencia y cariños
entregados en mi vida
y en la de todos nosotros”.
IV
Comenzar agradeciendo a la vida que ha puesto seres especiales en mi camino, es lo
más apropiado en este minuto de mi vida, comandado por la introspección y término de una
etapa importante en mi vida como lo es la etapa universitaria.
Destacar la importancia que han tenido mis familiares cercanos dentro de este
proceso nuevo, desconocido, extenso y en momentos tedioso para todos nosotros, como lo
fue la universidad. Aún así el no sentirse solo o abandonado a su suerte, fue una de las
mayores ventajas con las que pude contar. Si bien familiares y amigos no estuvieron
siempre y en todo momento, lo estaban en los momentos más críticos y significativos.
En base a esto mismo agradecer a mi madre, Jacqueline, a mi padre, Félix, que
estuvieron en los diferentes momentos necesarios con alguna palabra de aliento para no
decaer. A mis tíos, Nazario, Arturo, Armando, por todo su apoyo brindado no solo en esta
etapa sino que a lo largo de la vida que he tenido. Mis tías, Yaneth, Matilde, cada una con
una forma diferente de entregar cariño. A todas las personas que han estado, o aun están, en
los diferentes momentos de mi vida apoyándome o simplemente intercambiando una
opinión con ellos. Agradecer eternamente a todas y cada una de las personas que he
conocido en la vida, de todos ellos he podido adquirir algo que permanezca en el tiempo y
mediante eso me he ido formando como persona.
Ser feliz es uno de los mayores beneficios que se pueden obtener en esta vida y es
nuestra mayor riqueza, disfrutar de cada momento como si fuese el último. Hacer frente a
las adversidades y problemas mediante la felicidad es algo que tengo que agradecer
eternamente a la vida. Me considero un hombre afortunado al tener mucha gente a mi lado,
familiares, amigos, una hija preciosa, Isidora, y por sobretodo, uno de los pilares más
fuertes, mi hermano Pedro, los cuales permiten que esto sea así.
Gracias a todos y cada uno de ustedes, y a los que se tomen el tiempo de leer esto.
Félix Bernardo Nahuelpán Díaz.
V
AGRADECIMIENTOS __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ IV
INDICE POR CONTENIDO__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ V
INDICE POR FIGURA __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ IX
RESUMEN __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ XIII
ABSTRACT __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ XIV
OBJETIVOS __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ XV
INTRODUCCIÓN __ __ __ __ __ ____ __ __ __ __ ____ __ __ __ __ ____ __ __ __ XVI
CAPÍTULO I.
LA CELULA Y SUS CARACTERISTICAS. 1
I.1.- La Célula como base de estudio. 2
I.1.1.- Las células y el cuerpo humano. 2
I.1.2.- Líquido extracelular y célula. 3
I.1.3.- Liquido extracelular y sus concentraciones. 4
I.2.- La Célula como Organismo. 5
I.2.1.- Composición celular. 6
I.2.2.- Partes de la célula. 7
I.2.2.1.- Membrana Celular. 7
I.2.2.2.- Retículo Endoplásmico. 8
I.2.2.3.- Aparato de Golgi. 9
I.2.2.4.- Lisosomas. 10
I.2.2.5.- Peroxisomas. 11
I.2.2.6.- Mitocondrias . 11
I.2.2.7.- Núcleo Celular. 12
I.3.- Comunicación celular interna y externa. 13
I.4.- Mecanismos de trasporte iónicos. 16
I.4.1.- Bomba de Na+ y Ka+. 16
I.4.2.- Proteínas de Canal. 17
VI
CAPITULO II.
POTENCIALES DE ACCIÓN NO CARDIACOS Y CARDIACOS 20
II.1.- Potencial de acción transmembranario. 21
II.2.- Base teórica y física del potencial de membrana no cardiaco. 23
II.3.- Fases del potencial de acción. 25
II.3.1.- Fase de reposo. 25
II.3.2.- Fase de despolarización. 25
II.3.3.- Fase de repolarización. 26
II.4.- Calcio y potencial de acción cardiaco. 27
CAPITULO III.
EL CORAZÓN, ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO. 29
III.1.- El corazón como motor de la vida. 30
III.2.- Configuración del corazón. 31
III.2.1.- Características histológicas del músculo cardiaco. 31
III.2.2.- Características eléctricas del corazón. 33
III.2.3.- Conducción eléctrica en el corazón. 34
III.3.- Interacción de los potenciales de acción con el electrocardiograma. 38
III.3.1.- El electrocardiograma. 38
III.3.2.- Relaciones entre las dinámicas intracardiacas y las dinámicas
proyectadas en la superficie del cuerpo observadas en el ECG. 39
III.3.3.- Potenciales de acción y su importancia como modelo
a implementar. 40
CAPITULO IV.
MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN A TRES VARIABLES DE ESTADO
PROPUESTO POR TOLKACHEVA - SCHAEFFER 42
IV.1.- Investigación de Tolkacheva - Schaeffer. 43
VII
IV.2.- El modelo de Fenton – Karma 44
IV.2.1.- Primera variable voltaje v. 45
IV.2.2.- Segunda variable, compuerta rápida f. 47
IV.2.3.- Tercera variable, compuerta lenta s. 47
IV.3.- Identificación de necesidades de la programación del modelo. 49
CAPITULO V.
SCILAB, CARACTERISTICAS Y PROGRAMACIÓN NÚMERICA. 50
V.1.- Descripción de Scilab. 51
V.2.- Características y requisitos de operación e instalación. 51
V.3.- Funciones básicas del programa. 56
V.3.1.- Definición de constantes. 56
V.3.2.- Funciones matemáticas presentadas por Scilab. 58
V.4.- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante Scilab
con resolución gráfica. 60
V.5.- Ejecución de un programa. 64
CAPITULO VI.
IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR
A TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB. 66
VI.1.- Simulación del Modelo de Fenton - Karma. 67
VI.2.- Resolución mediante Scilab del sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias implementadas en el modelo de potencial de acción a tres variables
de estado y su representación gráfica. 70
VI.3.- Introducción de una serie de impulsos en el sistema y su respuesta. 77
VI.3.1.- Variable v 81
VI.3.2.- Variable f 82
VI.3.3.- Variable s 83
VI.3.4.- Superposición de las tres variables de estado. 83
VIII
CAPITULO VII.
EXPERIMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULARA TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB. 85
VII.1.- Experimentación del modelo implementado en Karma y micromacro. 86
VII.2.- Algoritmo excitación, curva de restitución y representación
Gráfica en dos dimensiones, bajo el protocolo S1-S2. 89
CONCLUSIONES 99
BIBLIOGRAFIA 103
ANEXO 1
CODIGOS DE IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS TRATADOS. 105
A.1.- Código de fuente del algoritmo Karma mediante Scilab. 106
A.2.- Código de fuente del algoritmo micromacro mediante Scilab. 108
A.3.- Código de fuente del algoritmo cures mediante Scilab. 109
IX
Figura 1.a) Esquema general del sistema circulatorio en la eliminación de residuos 4
del líquido extracelular.
Figura 1.b) Difusión de líquido intersticial a través de las paredes capilares hacia el 4
torrente sanguíneo.
Figura 2.- Diagrama de una célula animal con sus elementos internos. 5
Figura 3.- Estructura de la membrana celular y configuración física. 7
Figura 4.a) Organización del retículo endoplásmico al interior de la célula. 9
Figura 4.b) diagrama de comunicación en la síntesis lipídica en retículo endoplásmico. 9
Figura 5.- Representación esquemática del aparato de Golgi y su relación con el 9
retículo endoplásmico.
Figura 6.- Esquema de representación del funcionamiento de los lisosomas al interior 10
de las célula.
Figura 7.- Estructura de la mitocondria, y sus partes características. 11
Figura 8.- Diagrama esquemático de funcionamiento de las mitocondrias desde la 12
oxidación hasta la emisión de ATP.
Figura 9.- Configuración interna del núcleo y las partes que la componen 13
Figura 10.- Seis formas de cómo se unen las proteínas a la bicapa lipídica en la 14
membrana celular.
Figura 11.- Visión esquemática de las proteínas de transporte. 15
Figura 12.- Concentraciones químicas de los líquidos intracelulares y extracelulares. 15
Figura 13.- Representación grafica de una bomba de Na+ y Ka+. 16
Figura 14.- Esquema representativo de un canal iónico. 18
Figura 15.- Esquema representativo de diferentes tipos de canales iónicos 18
Figura 16.- Representación un impulso eléctrico introducido en una célula de 22
conducción eléctrica.
Figura 17.- Representación grafica de un potencial de acción no cardiaco. 24
Figura 18.- Fase de reposo. 25
Figura 19.- Fase de despolarización. 25
Figura 20.- Fase de repolarización 26
X
Figura 21.- Representación gráfica de la curva característica de los canales de sodio 26
y potasio en el potencial de acción celular.
Figura 22.- Representación de un potencial de acción celular cardiaco. 27
Figura 23.- Esquema representativo de un corazón con sus componentes. 30
Figura 24.- Esquema de conexión establecido entre las fibras musculares cardiacas. 32
Figura 25.- Representación grafica de un potencial de acción a nivel cardiaco en el 33
músculo ventricular y en las fibras de Purkinje.
Figura 26.- Representación esquemática de cómo están distribuidos los diferentes 34
conductores eléctricos cardiacos.
Figura 27.- Representación grafica del comportamiento del potencial de acción de la 35
fibra del nódulo sinusal y su comparación con el potencial de acción de la fibra
muscular ventricular.
Figura 28.- Esquema del nódulo A-V. 36
Figura 29.- Esquema representativo de la figura cardiaca y sus tiempos de conducción 37
a lo largo de todo el corazón.
Figura 30.- Representación gráfica de un electrocardiograma y sus segmentos. 38
Figura 31.- Representación grafica de la sumatoria vectorial de los potenciales de 39
acción celulares a nivel cardiaco.
Figura 32.- Aproximación a la representación de QRS como despolarización ventricular 40
mientras que la onda T sería de repolarización.
Figura 33.- Representación grafica de la aproximación numérica de las soluciones de 48
los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios.
Figura 34.- Curva de restitución celular. 49
Figura 35.- Logo del Software Scilab versión 5.2.1. 52
Figura 36.- Licencia de distribución de software de Scilab 5.2.1. 53
Figura 37.- Selección de dirección de destino del software 53
Figura 38.- Selección de complementos de instalación de Scilab. 54
Figura 39.- Ventana de instalación de Scilab y listado de complementos a instalar. 55
Figura 40.- Consola de instrucciones de Scilab. 55
Figura 41.- Representación gráfica de ‘y = cos x’, con ‘x’ comprendido entre 0 y 10. 60
Figura 42.- Editor de textos de scilab y la declaración de la función f. 61
XI
Figura 43.- Solución gráfica de la ecuación diferencial presentada en Ec.14. 63
Figura 44.- Definición de la función Karma, definición de los parámetros de entrada y 67
salida del sistema.
Figura 45.- Definición de constantes establecidas en la Tabla 3 en nuestra función 68
Karma.
Figura 46.- Definición de ecuaciones diferenciales en la función Karma. 68
Figura 47.- Definición de las variables dependientes de voltaje y tiempo en nuestra 69
función Karma.
Figura 48.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente 72
a la duración de potencial de acción, para voltaje mayor a ‘Vcrit’.
Figura 49.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente 72
a la duración de potencial de acción, para voltaje menor a ‘Vcrit’.
Figura 50.- Representación gráfica del nemónico ‘f’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’. 74
Figura 51.- Representación gráfica del nemónico ‘s’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’. 74
Figura 52.- Representación gráfica de la función nemónica ‘f’ con ‘v’< ‘Vcrit’. 75
Figura 53.- Representación gráfica de la función nemónica ‘s’ con ‘v’<‘Vcrit’. 75
Figura 54.- Superposición de las Representaciones gráficas de las tres funciones 76
implementadas mediante nuestra función Karma para un único impulso.
Figura 55.- Definición de la función micromacro con entrada ‘Qp’ y salida ‘solf’ 77
Figura 56.- Definición de los valores iniciales que serán utilizados en la función 78
micromacro para la evaluación de Karma para más de un impulso.
Figura 57.- Programación del algoritmo micromacro, mediante la resolución de la 79
función Karma.
Figura 58.- Respuesta de micromacro para la variable ‘v’. 81
Figura 59.- Respuesta de micromacro para ‘f’. 82
Figura 60.- Respuesta de micromacro para ‘s’. 83
Figura 61.- Superposición de las variables ‘v’, ‘f’, y ‘s’. 84
Figura 62.- Interacción entre las tres variables evaluadas y presentadas en micromacro. 84
Figura 63.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en 87
cada una de sus variables, frente a una extrasístole que no permite la repolarización
celular.
XII
Figura 64.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en 88
cada una de sus variables, frente a una extrasístole que permite la repolarización celular.
Figura 65.- Definición de las entradas y salidas de la función cures. 90
Figura 66.- Introducción de los valores definidos, anteriormente, para ‘Es’ y ‘Qp’ en la 91
función cures.
Figura 67.- Confección del algoritmo cures. 92
Figura 68.- Definición del algoritmo de implementación de la función auxiliar 93
medición, complementario a cures.
Figura 69.- Multiplicación de APD por el factor de 8/7 para transformar las muestras a 96
mseg.
Figura 70.- Representación gráfica de la relación de restitución, curva de restitución, 97
implementada mediante cures y los algoritmos presentados en este trabajo.
Figura 71.- Representación grafica de la curva de restitución mediante puntos, obtenida 98
mediante cures, permitiendo una mejor aproximación a la curva de restitución teórica.
XIII
En la actualidad uno de los desafíos que se han planteado los investigadores es en
encontrar las asociaciones de los procesos microscopios de nuestro organismo y ver de qué
forma afectan a nuestro cuerpo. Frente a este mismo postulado es que se hace indispensable
el reducir los niveles de mortalidad por enfermedades cardiacas así como el de mejorar la
calidad de vida de las personas que poseen este tipo de insufiencias.
Para llevar a cabo este objetivo es importante recurrir a los conocimientos ya
existentes, acerca del comportamiento de nuestro organismo a nivel microscópico, los
cuales podemos encontrar en las ciencias biomédicas (biología, bioquímica, fisiología,
histología, etc.) así como también en el área de desarrollo de las ingenierías. Esto nos
permitirá observar cuales son los principales cambios que se generan en las dinámicas
microscópicas a nivel celular y cómo estas se pueden caracterizar para que después, en un
futuro cercano, puedan ser analizadas o contribuyan a el diagnostico diferencial de
patologías mediante el perfeccionamiento de las herramientas ya existentes como lo es el
electrocardiograma.
Estos modelos de desarrollo de características de dinámicas microscópicas a nivel
celular cardiaco ya han sido determinados. Por lo que en esta investigación se utilizó uno de
estos modelos para caracterizar las corrientes iónicas existentes en la célula a modo de
configurar un potencial de acción celular basado en ecuaciones matemáticas que nos
permitan ver las variaciones que se producen en caso de no mantener un ciclo cardiaco
constante y ver cómo se comporta esta curva de restitución, lo cual nos permite observar si
el algoritmo implementado responde de manera correcta al protocolo de excitación S1-S2
que fue el utilizado en este caso para la implementación del modelo y el diseño de la curva.
XIV
Currently one of the challenges raised by the researchers is to find the associations
of the microscope processes of our organism and analyze how they affect our body. This is
why it is essential to reduce the levels of mortality from heart disease and improve the
quality of life of people who possess this kind of pathologies.
To accomplish this goal it is important to use existing knowledge, about the
behavior of our body at the microscopic level, which is found in the biomedical sciences
(biology, biochemistry, physiology, histology, etc.) and also in the development of
engineering. This allows us to see which the major changes that are generated are in the
microscopic dynamics at the cellular level, and how these can be characterized so that later,
in the near future, they can be analyzed or they can contribute to the differential diagnosis
of pathologies by improving the existing tools such as the electrocardiogram.
These development models of the dynamic microscopic characteristics at the heart
cellular level have been determined. In this study utilizes one of these models, to
characterize the ionic currents present in the cell, for to configure a cellular action potential
based on mathematical equations. That allows us to see variations that occur in case of
failure to maintain a constant cardiac cycle and see how behaves this restitution curve,
which allows us to see if the algorithm implemented responds correctly to the excitation of
the protocol “S1-S2”, that was used in this case for the implementation of the model and the
design of the curve.
XV
• Implementar un modelo de potencial de acción celular a tres variables de estado,
obtenido en los estudios presentados en [1].La importancia de la implementación de
este modelo radica en que a partir de este se podrá a futuro relacionarlo con
dinámicas que ocurren a un nivel macroscópico en el ECG.
• Realizar una investigación que permite la interacción de disciplinas como lo son las
ciencias biomédicas con las ciencias de la ingeniería.
• Realizar un estudio bibliográfico acerca de las principales dinámicas y modelos de
la actividad eléctrica celular.
• Hacer uso del software Scilab para el modelado de sistemas dinámicos.
• Comprender la funcionalidad e importancia que posee el potencial de acción celular
para el análisis de señales eléctricas en el cuerpo humano.
• Analizar y comprender el modelo de presentado en [1] sobre todo en lo
concerniente a la relación de restitución cardiaca que puede ser obtenida de dicho
modelo.
XVI
Los tiempos contemporáneos nos invitan a encontrar las respuestas frente a cada
una de las interrogantes que se nos plantean u originan en nuestro diario vivir mediante esta
búsqueda incansable de conocimientos es como hemos podido trasladarnos de un área del
conocimiento a otra. Generando de esta forma una nueva visión más amplia de la
problemática la cual, esta vez, se centra en los diferentes puntos de vista de acuerdo a la
ciencia y es cimentada en diferentes epistemologías. Este tipo de trabajo permite la
interacción de estos mismos elementos, que son parte fundamental de problema, lo que nos
conlleva a desarrollar de una mejor manera y mucho mas acabada la respuesta en nuestro
propio trabajo al permitirnos conocer y observar realidades o visiones distintas, esta forma
de investigación se conoce como multidisciplinaria.
Debemos centrar el siguiente trabajo bajo este parámetro en el cual analizaremos el
principal problema de la investigación a desarrolla que es Implementar un Modelo de
Potencial de Acción a tres variables de estado el cual se encuentra basado en el modelado
propuesto por Tolkacheva y Schaeffer en [1], donde las características microscópicas, como
lo es la interacción iónica de la célula, se utilizan como variables.
El tema que se desea presentar en el siguiente documento es de vital importancia en
el mundo de la investigación a nivel cardiovascular debido a que las rutinas a las que esta
condicionado el potencial de acción celular, que es la columna vertebral del trabajo, nos
permiten obtener una respuesta clara de las falencias o problemas que se presentan a nivel
celular cardiaco. Con esto principalmente se busca avanzar en el tema de forma de
contribuir a la comprensión de ciertas dinámicas eléctricas cardiacas que producen
enfermedades o estados cardiacos anormales, fibrilación ventricular, arritmias. Así como a
la vez buscar algún tipo de tratamiento o terapia para cada una de estas patologías y otras
asociadas al corazón sobre todo en el ciclo cardiaco.
La caracterización de estas dinámicas cardiacas a nivel celular en forma bioquímica
y eléctrica a través de paramétrizaciones matemáticas es una forma de representar
XVII
principalmente los modelos sistémicos de membranas celulares las cuales son afectadas por
los cambios de condiciones iniciales estables o estados isoeléctricos. Las características
biológicas y fisiológicas principales que se desean analizar son las que nos permiten
comprender el comportamiento de la célula de acuerdo a los grados de excitabilidad de
estas mismas, dentro de estas rutinas eléctricas.
Las células no solo poseen un cierto tipo de características sino que además poseen
una variada gama complementarias y propias entre las cuales se cuentan el tener memoria,
hecho fundamental para esta investigación, ya que de esta manera se puede visualizar
mediante la curva de restitución las características eléctricas de la célula a lo largo de cierto
intervalo de tiempo conocido como ciclo cardiaco básico. Para poder apreciar si esta curva
satisface realmente la que necesitamos debemos centrarnos directamente en la interacción
que se desarrolla en la membrana celular entre el interior y exterior a nivel iónico de modo
de poder representar ciertos flujos de entrada y salida de forma de establecer una
comunicación constante que permita que se generen despolarizaciones y variaciones
eléctricas que sirvan de modo de observar su comportamiento. Dentro de estas mismas
características se encuentra la capacidad de agruparse a modo de formar tejidos u órganos
en los cuales una vez compuesto le permite tener características propias dependiendo de la
estructura y composición en la que se concentre a esto se le conoce como diferenciación
celular con lo que las células responden de forma diferente dependiendo de donde estén
ubicadas en nuestro cuerpo y a que órgano correspondan.
Una vez que se obtiene todo este tipo de información y centrándose en [1] debemos
de utilizar un software que nos permita realizar este tipo de modelado y programación del
mismo de modo de obtener no solo la curva representativa de restitución sino que además
la respuesta frente a cada uno de los estímulos eléctricos de excitación que se introducirán a
nuestro modelo. Para lo cual se utilizara el software de programación numérico Scilab el
cual es un lenguaje de programación desarrollado por la INRIA, Institut National de
Recherche en Informatique et Automatique, que nos permitirá desarrollar tanto el modelado
como la implementación a nivel de programación.
XVIII
Es de vital importancia dentro de esta investigación desarrollar un algoritmo que sea
robusto y que nos permita observar la variabilidad existente en la modificación tanto de las
variables que se utilicen como la frecuencia a la cual este modelo sea excitado. Esto es
debido a que debemos siempre pensar en cual es el grado de aporte que generaría este
modelo para futuras investigaciones en el área de la cardiología y sobre todo en el uso y
perfeccionamiento de herramientas que ya se encuentran disponibles como lo es el
electrocardiograma.
1
2
I.1.- La célula como base de estudio.
Como bien es sabido la piedra angular de la base del cuerpo humano como se conoce hoy
en día es la célula, la cual es un organismo diminuto que por cada tejido u órgano en el cual este
presente tiene un tipo de diferenciación distinta y una especificidad característica de esta.
Considerando lo anterior como la base de nuestro organismo podemos apreciar que los órganos
son un conglomerado de células las cuales unidas tienen características especiales que
caracterizan a la vez a cada uno de estos órganos o tejidos. Uno de estos casos es el corazón, el
cual es el tema central de estudio del siguiente documento, donde este conglomerado celular
posee varias características propias como lo son la auto excitabilidad, refractibilidad, y
conductividad eléctrica que le da vida a nuestro cuerpo.
Para poder comenzar a hablar de las características tanto eléctricas como fisiológicas de
nuestro corazón así como de su comportamiento de acuerdo a las diferentes frecuencias y
variaciones eléctricas producidas a nivel de la membrana plasmática debemos analizar que son
las células y como se comportan de acuerdo a sus características especificas.
I.1.1 Las células y el cuerpo humano.
El cuerpo humano posee cerca de 100 billones de células las cuales se encuentran
diferenciadas en varios tipos. Sabemos a la vez que todas las células poseen principios de
funcionamiento o características básicas similares, tales como: que en todas las células del cuerpo
se agrupan los productos de degradación (hidratos de carbono en glucosa; grasas en glicerol o
ácidos grasos; proteínas en aminoácidos) los cuales por medio de la oxidación, en presencia de
oxigeno, liberan la energía necesaria para desarrollar las funciones celulares básicas. Cabe
destacar que así como todos los mecanismos para transformar los nutrientes en energía son
similares, también lo son la eliminación de residuos de sus reacciones químicas las cuales son
expulsadas hacia el líquido extracelular.
3
I.1.2 Líquido extracelular y célula.
Las células se encuentran ubicadas en el líquido extracelular y este representa el 30 %
aproximadamente del líquido corporal total. Este líquido posee una gran movilidad interna ya que
viaja por el cuerpo humano a través de la sangre donde luego es mezclado con los líquidos que
existen en los tejidos mediante el proceso de difusión (traspaso de un medio a otro no importando
la dureza del material) este proceso se conoce como pasivo ya que no gasta energía en el traslado
de un medio a otro, sangre – tejido, ya que solo permeabiliza las paredes de los capilares de estos
últimos de acuerdo al gradiente de concentración iónica (hipertónico a hipotónico) o al gradiente
de carga eléctrica.
En el líquido extracelular podemos encontrar una variada gama de componentes
microscópicos tales como iones y nutrientes, siendo estos los que permiten que las células puedan
generar ciertos procesos químicos con lo que se genera la homeostasis en célula. Las células son
capaces de vivir, crecer y desarrollarse siempre y cuando tengan las concentraciones necesarias
de oxigeno, glucosa, aminoácidos, diferentes tipos de iones, sustancias grasas y diferentes
componentes que están presentes en el interior de la célula.
Como se mencionó anteriormente este liquido extracelular posee una gran variedad de
componentes en su extensión entre los que podemos encontrar grandes cantidades de iones de
sodio, cloruro y bicarbonato, y nutrientes celulares tales como oxigeno, glucosa, ácidos grasos y
aminoácidos. Este liquido a la vez transporta cierta cantidad de residuos o desechos celulares
donde podemos encontrar partículas de dióxido de carbono, para ser expulsadas por medio de los
pulmones, así como productos celulares los cuales son derivados hacia los riñones para su
excreción, el esquema de eliminación se representa en la Figura 1. a).
Este mecanismo de transporte se separa en dos partes: la primera es el movimiento de la
sangre a través de los diferentes organismos mediante los vasos sanguíneos, y la segunda
mediante el movimiento de difusión que se realiza entre los capilares sanguíneos y las células. A
medida que este líquido entra en movimiento a lo largo del cuerpo mediante el torrente sanguíneo
4
entra en un intercambio continuo de líquido extracelular entre la porción de plasma sanguíneo y
el líquido intersticial que ocupa entre las células, ver Figura. 1. b).
a) b)
Figura 1.a) Esquema general del sistema circulatorio en la eliminación de residuos del líquido
extracelular. b) Difusión de líquido intersticial a través de las paredes capilares hacia el torrente
sanguíneo.
I.1.3 Líquido extracelular y sus concentraciones.
Como se visualizo en el tópico anterior el líquido extracelular posee una gran cantidad de
elementos en su extensión pero lo importante ahora es ver en qué proporción están distribuidos y
cuáles son las concentraciones de estos, para lo cual nos referiremos a la Tabla 1. Estos valores
nos servirán como base para establecer las relaciones de comunicación celular entre el medio
interno y externo de la célula.
Tabla 1. Valores típicos de concentraciones de cada una de las sustancias presentes en el líquido
intersticial.
5
I.2.- La célula como organismo.
Para poder comenzar a entender el mecanismo de comunicación existente entre las células
y su entorno, además de observar sus cambios eléctricos, lo primero que debemos hacer es
conocer cómo funciona la célula como un sistema, como está compuesta, cual es su organización
interna, sus partes y toda la funcionalidad que otorga especificidad a cada una de las células de
nuestro cuerpo.
Comenzaremos entonces por definir la célula como una unidad pequeña compuestas de
líquido intracelular, es decir, esta rellena de una base acuosa, algo similar al líquido extracelular,
y está rodeada por una membrana que lo que hace es separar el líquido interior del líquido
exterior. Ahora bien la célula se compone internamente de dos partes fundamentales, ver figura 2,
las cuales son el núcleo (en celeste) y el citoplasma (damasco), donde el núcleo como se puede
apreciar está separado del citoplasma por una membrana nuclear, y el citoplasma está separado
por la membrana celular que mencionábamos anteriormente, cabe destacar que en el citoplasma
celular se alojan un gran número de organelos celulares los cuales también se pueden apreciar en
la Figura 2.
Figura 2.- Diagrama de una célula animal con sus elementos internos.
6
I.2.1 Composición celular.
La mayor parte de la célula está compuesta de agua la cual representa cerca del 80 % de
esta, los principales nutrientes de la misma célula se encuentran disueltos en los líquidos
intracelulares o bien suspendidos sobre este líquido. Al igual que en el medio extracelular el
interior de la célula posee grandes cantidades de iones entre estos los principales son los de
potasio, magnesio, fosfato, sulfato, bicarbonato y pequeñas cantidades de sodio, cloruro y calcio.
Estos iones son los principales encargados de generar impulsos electroquímicos tanto en los
nervios como en las fibras musculares mediante las variaciones de polarización de acuerdo a los
cambios de concentraciones.
La célula posee un gran número de proteínas las que se pueden dividir en dos grupos: las
estructurales, que se encuentran presentes en forma de largos filamentos delgados que resultan de
la agrupación de muchas proteínas básicas, conocido como polímero, la función principal que
poseen estos filamentos proteicos es la de proporcionar el movimiento contráctil al interior de la
célula. Mientras que el otro tipo son las globulares, que son independientes unas de otras, esto
quiere decir que solo están compuestas de una molécula por lo que puede contribuir en el
metabolismo celular de diferentes maneras cada una de ellas (por ejemplo, como enzima
descomponiendo y catalizando los nutrientes principales; almacenando aminoácidos; transportar
moléculas a través de la membrana plasmática).
Existe dentro de la célula un grupo de sustancias que son solubles en disolventes grasos
estos son conocidos como lípidos, dentro de este grupo de componentes celulares los que más
destacan son los fosfolípidos y el colesterol. El primero interviene en la formación de la
membrana celular debido a que no se puede disolver en el agua, mientras que el segundo adquiere
una alta importa al formar las separaciones o barreras membranosas intracelulares que separa los
diferentes compartimientos de la célula.
Otro componente que posee la célula y el cual es de vital importancia en la vida de esta
son los hidratos de carbono los cuales si bien no se utilizan en la parte estructural de la célula si
son parte importante de la nutrición de esta, es por esta razón que la gran mayoría de las células
7
en su interior almacena glucógeno, el cual es un polímero insoluble de glucosa, el cual puede ser
catalizado de forma rápida para proporcionar la energía necesaria en la célula.
Si bien la célula posee una gran cantidad de componentes como los vimos anteriormente
también debemos apreciar en el esquema representativo (Figura 2) se nos muestra una gran
cantidad de partes pequeñas que se encuentran en su interior. Estas pequeñas partes son los
determinados organelos celulares. Ahora bien cada uno de estos organelos celulares está
recubierto por membranas compuestas de lípidos y proteínas. Estas membranas al estar
compuestas de lípidos inhiben el movimiento libre del agua y de las sustancias hidrosolubles de
un compartimiento celular a otro, sin embargo permite el paso de las moléculas proteicas para
que se realice las síntesis de estas en cada uno de los organelos correspondientes.
I.2.2 Partes de la célula.
Para comprender el funcionamiento celular analizaremos como están estructurados cada
uno de estos organelos celulares tanto en el interior de la célula (citoplasma) como en el
perímetro de esta (membrana celular) y cuál es la función de cada uno de estos.
I.2.2.1.- La membrana celular: Se llama así a la capa que reviste la célula, las
características que posee esta son: que es flexible, delgada y elástica, su grosor bordea los 8 nm.
Su composición está formada casi por completo por proteínas y lípidos, para ser exactos 55% de
proteínas, 25% de fosfolípidos, 13% de colesterol, 4% de otros lípidos y solo un 3% de hidratos
de carbono.
Figura 3.- Estructura de la membrana celular y configuración física.
8
La membrana celular es una de las partes fundamentales de la célula debido a que
interviene en la comunicación que se realiza entre el interior y el medio externo de la célula, por
lo que no se analizara en este punto sino que se realizara en conjunto con la comunicación celular
que es la base del problema al cual queremos dar solución, ya que es debido a estos cambios de
concentraciones externas e internas que se genera la variación de potencial transmembranario o
potencial de acción celular.
I.2.2.2.- Retículo Endoplásmico: Este organelo celular genera una red canales a lo largo y
extenso del interior de la célula comunicando la membrana nuclear con el citosol, medio acuoso
interno. Esta comunicación se realiza mediante vesículas, que son parte del mismo retículo
endoplásmico, por lo que se considera que este sirve para comunicaciones interna a nivel celular
así como en la síntesis de algunos componentes microscópicos.
Este comunicador celular se clasifica en dos tipos: uno correspondiente al retículo
endoplásmico liso el cual participa en la síntesis de sustancias lipídicas junto con algunos
procesos enzimáticos relacionados con estas síntesis, cabe destacar la importancia de este proceso
ya que permite la creación de nuevos lípidos para las membranas celulares. Mientras que el otro
corresponde al retículo endoplásmico rugoso que se encuentra cubierto por una capa de
ribosomas, los cuales están anclados a la superficie externa y están compuestos de ácido
ribonucleico (ARN) y proteínas, los que favorecen la síntesis de nuevas moléculas proteicas al
interior de la célula.
Estas proteínas se utilizan en el proceso vesicular o bien terminan en la configuración de
alguna membrana (celular; nuclear; organelo) si bien este proceso de síntesis de nuevas proteínas
comienza en el citosol donde son capturadas por medio de un translocador el cual está unido por
ARNm (Acido ribonucleico mensajero) el cual lleva un péptido señal el cual luego de la síntesis
se sabe que terminara en el interior del retículo endoplásmico o bien en una membrana.
Este retículo endoplásmatico es un selector de proteínas donde las de calidad llegaran a
unos los caminos antes mencionados, membrana o retículo, o bien si es defectuosa o no sirve para
9
alguna de estas funcionas caerá nuevamente en el citosol y será secretada al exterior de la célula
para su posterior eliminación, en la Figura 4 se muestra su configuración y diagrama de
comunicación.
a) b)
Figura 4.- a) Organización del retículo endoplásmico al interior de la célula, b) diagrama de
comunicación en la síntesis lipídica en retículo endoplásmico.
I.2.2.3.- Aparato de Golgi: Este organelo posee una estructura similar al retículo
endoplásmico liso está ubicado en la parte anterior del retículo endoplásmico, por lo general se
organiza entre cuatro o cinco vesículas planas y alargadas que componen este aparato, véase
figura 5.
Figura 5.- Representación esquemática del aparato de Golgi y su relación con el retículo
endoplásmico.
10
La relación que se establece entre el retículo endoplásmatico y el aparato de Golgi se basa
en la comunicación de las vesículas del retículo endoplásmico las cuales transportan las
sustancias contenidas en el retículo endoplásmico las que una vez desplazadas se fusionan con el
complejo de Golgi, siendo en este último donde serán procesadas para formar los lisosomas o
bien las vesículas secretoras que son parte de la membrana celular y que le permite aumentar el
tamaño y la superficie celular.
I.2.2.4.- Lisosomas: Son organelos vesiculares que comienzan su formación en el retículo
endoplásmico y luego son terminados en el aparato de Golgi donde son esparcidos por todo el
citosol. Estos lisosomas corresponden a un sistema digestivo intracelular el cual permite que la
misma célula por medio de ellos digiera componentes tales como: partes de la célula que están
dañadas, alimentos que han sido ingeridos por la célula, digerir materiales y componentes
indeseables (como lo serian en este caso las bacterias), expulsar desechos de la célula.
Este organelo está compuesto por un capa bilipida y un número bastante alto de
hidrolazas. Las hidrolazas son digestores que cumplen la función de separar el componentes en
dos o más partes de las cuales una es mezclada con hidrógenos del agua interior y la otra se
mezcla con la parte lipídica de esta forma se sintetiza de forma completa cada partícula. Una de
las síntesis que realiza es la hidrolización de las proteínas con las cuales forma cadenas de
aminoácidos, un ejemplo de esto es el glucógeno que una vez hidrolizado genera glucosa. Este
organelo, como se menciono anteriormente, posee una membrana lipídica la cual es
exclusivamente para que sus digestores no digieran otras partes de la célula que no deben ser
digeridas.
Figura 6.- Esquema de representación del funcionamiento de los lisosomas al interior de las
células.
11
I.2.2.5.- Peroxisomas: Este organelo se gesta por autorreplicación posee una alta
concentración de oxidasas las cuales son capaces de combinar oxigeno con los hidrogeniones, a
partir de diferentes compuestos químicos celulares, para formar peróxido de hidrógeno el cual en
conjunto con las catalasa permite oxidar una gran cantidad de sustancias que podrían envenenar a
la célula como es el caso del alcohol. En definitiva podríamos caracterizar a estos con una
función oxidativa de degradación de aminoácidos y de ácidos grasos, destacando la importancia
de este último ya que se obtiene la mayor parte de la energía metabólica por medio de su
degradación.
I.2.2.6.- Mitocondrias: Es un organelo que se encuentra en todo el citoplasma celular es la
fuente de generación máxima de energía esto quiere decir que son directamente proporcional la
cantidad de energía necesaria por la célula y la cantidad de mitocondrias que está tendrá.
Las mitocondrias poseen una dobla capa lipídica una exterior y la otra en el interior de la
mitocondria. Ahora bien esta membrana interior, como se aprecia en la Figura 7, se expande por
toda la mitocondria en forma de invaginaciones por lo que en casi toda la cavidad interna se
encuentran una gran cantidad de crestas interiores sobre las que se disponen las enzimas
oxidativas que son de vital importancia en la extracción de energía de los nutrientes.
Figura 7.- Estructura de la mitocondria, y sus partes características.
Para saber cómo actúa la mitocondria y como genera la energía suficiente debemos poner
atención a las enzimas oxidativas de la crestas, junto con las enzimas disueltas al interior, las
cuales una vez que comienzan a oxidar los nutrientes estas obtienen dióxido de carbono y agua
como residuos de la liberación de energía. Esta energía se utiliza para sintetizar una sustancia de
12
alta capacidad energética como lo es el trifosfato de adenosina (ATP). El cual es transportado
luego fuera de la mitocondria y se difunde por todo el espacio intracelular donde se utiliza para
liberar la energía contenida en el lugar específico, ver Figura 8.
Las mitocondrias como se explico anteriormente están relacionadas en número con
respecto a la cantidad de energía requerida es por eso que poseen la capacidad replicarse ellas
mismas es decir que si ven que falta energía en la célula estas se replican para aumentar dicha
cantidad. Cada mitocondria replicada será igual a la que la gesto ya que este organelo celular
posee ácido desoxirribonucleico (ADN).
Figura 8.- Diagrama esquemático de funcionamiento de las mitocondrias desde la oxidación hasta
la emisión de ATP.
I.2.2.7.- Núcleo Celular: Este corresponde al centro de control de la célula este contiene
grandes cantidades de ADN los que corresponden a los genes, ver Figura 9. Estos genes
determinan las características de las proteínas celulares como las proteínas estructurales y
enzimas citoplasmáticas. Este núcleo es el que permite la reproducción celular debido a que los
13
genes se encuentran en este se replican para luego dividirse en dos grupos los que forman dos
células hijas.
La membrana nuclear se encuentra unida al retículo endoplásmatico ya que este
contribuye de manera directa en la generación de proteínas a nivel celular.
Figura 9.- Configuración interna del núcleo y las partes que la componen.
I.3.- Comunicación celular interna y externa.
Las células son organismos que poseen una membrana que delimita el interior y exterior
celular la cual cumple la función de barrera protectora frente al paso de las moléculas en ambos
sentidos de la comunicación. Debido a las características particulares que posee la membrana,
que corresponde a una bicapa lipídica, la cual está compuesta por dos capas las que poseen
características similares compuestas por fosfolípidos.
Los fosfolípidos tienen un cuerpo que está compuesto por: una cabeza polar (donde esta
posee la característica de ser hidrofílica) y dos colas (donde estas poseen la característica inversa
es decir son hidrofóbicas). Como ya se mencionó, a groso modo en la definición anterior de
membrana celular, el transporte a través de esta es realizado por proteínas de transporte las cuales
poseen iguales condiciones que la bicapa lipídica, es decir el interior de la proteína es hidrofóbico
y el exterior hidrofílico.
14
Estas proteínas de transporte se agrupan en cada uno de los lados de la membrana celular ,
es decir al interior y exterior de la célula, unidas a esta por medio de una unión covalente de una
o más cadenas de ácidos grasos que se encuentran en la mitad citoplasmática de la capa lipídica.
Si bien esta no es la única forma en que la proteínas se agrupan a lo largo de la bicapa
lipídica es la de mayor representación obsérvese Figura 10.
Figura 10.- Seis formas de cómo se unen las proteínas a la bicapa lipídica en la membrana
celular. 1, 3, 4: están unidas mediante enlaces covalentes. 1, 2: son de conexión simple y múltiple
respectivamente. 5, 6: Unidas por enlaces no covalentes a otras proteínas de membrana.
La comunicación de iones inorgánicos o pequeñas partículas orgánicas entre el interior y
exterior de la célula, a través de la bicapa lipídica, está determinada por las proteínas de
transporte de la membrana donde cada una de estas tiene una función específica, la cual queda
determinada por la responsabilidad de la transferencia de: una molécula; un ion especifico; un
grupo de moléculas; un grupo de iones afines.
Dentro de esta forma de comunicación entre el exterior y el interior celular se encuentran
dos principales proteínas que permiten realizar esta movilidad las cuales son proteínas de:
transporte y canal, ver Figura 11. La primera realiza esta función por medio de la especificidad es
decir transporta cierto soluto el cual adquiere características diferentes con las cuales puede
atravesar la bicapa lipídica sin problemas. El segundo tipo de proteína lo que hace en vez de
unirse a un soluto produce poros en la bicapa lipica de forma que genera una abertura por la que
ingresan una gran cantidad de iones determinados, este tipo de transporte al no estar asociado a
una fuente de energía solo se realiza para nivelar los niveles de concentraciones iónicas tanto en
15
el interior como en el exterior de la célula, señalando a la vez que este método de transmisión es
mucho más rápido que el de proteína transportadora.
Figura 11.- Visión esquemática de las proteínas de transporte.
Cuando el transporte de iones en la membrana está influenciado por una carga eléctrica
neta se considera el gradiente eléctrico además de la condición de equilibrio eléctrico entre la
célula y el medio exterior. Este gradiente de concentración eléctrica se conoce como potencial
eléctrico transmembranario. Esta condición isoeléctrica queda determina por la concentración
eléctrica del interior de la célula la cual es negativa versus el exterior celular donde este es
positivo (ver concentraciones iónicas Figura 12) esta condición favorece el intercambio iónico a
través de la membrana celular ya que permite el paso desde el exterior al interior de la célula de
iones cargados positivamente mientras que los iones cargados negativamente sean repelidos.
Figura 12.- Concentraciones químicas de los líquidos intracelulares y extracelulares.
16
I.4.- Mecanismos de transporte iónicos.
Dentro de los mecanismos de transporte que observamos existen diferentes tipos de
proteínas que generan variaciones en el comportamiento eléctrico de la membrana celular.
I.4.1.- Bomba de Na+ y Ka+: Uno de los métodos de comunicación es el de transporte
activo en el cual podemos encontrar una de las proteínas que corresponde a la bomba de Na+
(sodio) y Ka+ (potasio), la cual contribuye en un 10% al potencial de membrana total. Esta bomba
de ATPasa de Na+ y Ka+ corresponde al tipo de transporte activo debido a que ejerce cambios de
concentraciones iónicas por medio de una fuente de energía lo que genera un cambio en sentido
contrario a los gradientes electroquímicos del potasio y del sodio, ver Figura 13.
Figura 13.- Representación grafica de una bomba de Na+ y Ka+ donde se ingresa una fuente de
energía ATP. Señalización de los gradientes electroquímicos de Na+ y Ka+.
Al observar la Figura 13 nos podemos dar cuenta que a pesar de que la concentración de
Ka+ es mucho mayor al interior de la célula esta bomba permite el ingreso de mas potasio al
interior celular, mientras que la concentración de Na+ al exterior es mucho mayor y esta bomba
le permite sacar más sodio al exterior celular.
Esta característica que presenta la célula es principalmente para mantener un estado
osmótico que permita que esta se hinche o se retraiga fácilmente. Como se indicó anteriormente
la célula posee una gran cantidad de solutos orgánicos los cuales pueden ser iones negativos
(aniones) que tienen que estar acompañados por los iones positivos (cationes) que son los que
17
equilibran la carga neta celular. La célula al poseer un gran gradiente osmótico tiende a perder
una gran cantidad de agua debido a lo cual esta se comprime (estado hipertónico) por lo que la
bomba de ATPasa Na+ y Ka+ permite ingresar un menor número de iones de Ka+ y sacar una
mayor cantidad de Na+ para llevarla a su estado normal (estado isotónico) para que de esta
manera se evite el producir un estado hipotónico dentro de la célula y de esta forma no romper el
equilibrio osmótico de esta.
Cuando de activa está la bomba de sodio y potasio, y debido a que transporta un menor
número de iones de Ka+ que de Na+, se genera un estado electrogénico lo cual produce un
potencial eléctrico a través de la membrana con el interior negativo respecto al exterior celular.
I.4.2.- Proteínas de canal: En este tipo de transporte las proteínas forman poros
hidrofílicos que generan dos formas de comunicación: la que se realiza entre dos células
adyacentes que se conoce como unión comunicante (gap junctions) o bien la comunicación con el
medio extracelular que genera porinas las cuales tienen la característica de ser especificas para
los iones inorgánicos (canales iónicos).
Entre las características que tienen los canales iónicos destacan la velocidad que poseen
para transportar iones de un lado al otro de la membrana, en el cual dejan pasar 1 millón de iones
por cada segundo. Este tipo transporte no puede estar unido a una forma de energía debido a que
su mecanismo de activación es pasivo.
Estos canales permiten la movilidad de iones inorgánicos específicos, entre los más
importantes a nivel de concentraciones son el Ka+, Na+, Ca2+, Cl-, y esta depende directamente de
la dirección del gradiente electroquímico de cada una de ellas. Las proteínas de canal forman
poros hidrofilitos los que poseen selectividad iónica lo que permite que ingresen solo los iones
determinados en el momento de la apertura del canal. Deben eliminar todos los restos de agua
que los acompañan en el desplazamiento debido a que las paredes de estos canales están
específicamente diseñadas para que ingresen solo iones de determinado tamaño y por lo que el
ion no puede superar ni ser inferior a estas dimensiones.
18
Cuando se genera movilidad iónica a través del canal se puede observar cómo se genera
un estado de saturación por la gran cantidad de iones que se desplazan en ese momento lo que
corresponde a la velocidad máxima de transmisión de iones. Los canales iónicos debido a la
movilidad que poseen no se mantienen abiertos de forma permanente sino que más bien en el
minuto que se necesita generar movilidad iónica esta abre la compuerta del canal para dejar
ingresar o salir iones, ver Figura 14.
Figura 14.- Esquema representativo de un canal iónico, se puede apreciar el filtro selectivo y la
compuerta que permite la movilidad iónica en tiempos determinados.
Para que los canales iónicos reconozcan específicamente en qué momento deben de
accionar los mecanismos de abertura dependerá de los estímulos externos que se presenten en la
misma membrana celular, ver Figura 15.
Figura 15.- Esquema representativo de diferentes tipos de canales iónicos los cuales son
activados por diferentes estímulos externos.
19
La activación de muchos canales iónicos está determinada por los procesos de
fosforilización y desfosforilización de las proteínas de canal. Existen más de 100 canales iónicos
los que se han comprobado directamente que permiten que se genere excitabilidad eléctrica en las
diferentes células de nuestro cuerpo (músculo, cerebro, corazón).
Los canales iónicos que mayormente se presentan en las células animales son los canales
de Ka+ presentándose no solo en células que poseen la característica de excitabilidad eléctrica
sino que además en la que se encuentran en reposo, a los canales iónicos que se encuentran
presente en estas últimas células se les denomina canales de fuga de Ka+. Estos canales iónicos de
potasio son los que determinan el mantenimiento del potencial de membrana a lo largo de esta.
20
CAPITULO II
POTENCIALES DE ACCIÓN NO CARDIACOS Y CARDIACOS
21
II.1.- Potenciales de Acción Transmembranario.
Cuando se genera una mayor concentración de iones positivos en alguno de los dos lados
de la membrana plasmática o bien cuando se produce un ligero desperfecto en alguno se genera
un potencial de membrana.
Tabla 2. Gradientes de concentraciones de iones de sodio, potasio y calcio para el exterior y el
interior de la célula.
El potencial de membrana celular depende directamente de las concentraciones de iones
positivos en alguno de los lados de la membrana. Como se vio anteriormente la bomba de Na+ y
Ka+, permite generar movilidad iónica debido a los cambios osmóticos que produce en la célula,
donde esta bomba saca iones de sodio del interior celular, con lo cual genera que haya una menor
cantidad de sodio en el citosol, por lo cual existen menos cationes los que deben ser remplazados
por otros para nivelar a los aniones fijos que existen en la célula. Es debido a esta situación de
déficit de cationes de sodio que los que pasan a reemplazar dentro de este equilibrio a estos
cationes son los cationes de potasio los cuales ingresan por la ATPasa Na+ y Ka+, o bien por los
canales de fuga de Ka+ tanto hacia el exterior como al interior.
Debido a estos canales de Ka+ se mantiene prácticamente en equilibrio la fuerza eléctrica
ejercida por un exceso de las cargas negativas al interior de la célula lo que permite que el Ka+
sea atraído al interior de la célula equilibrando la tendencia de este a salir de acuerdo a su
gradiente electroquímico. El potencial de membrana corresponde entonces a la manifestación de
esta fuerza eléctrica que permite calcular su valor de equilibrio a partir del gradiente de
concentración del Ka+, ver Tabla 2.
22
Cuando el Ka+ comienza a salir del interior de la célula, a través de los canales de fuga,
hasta que el gradiente de concentración y la carga de los iones de potasio sean exactamente igual
al gradiente electroquímico de este se logra un equilibrio y se genera un potencial de membrana
de reposo. De esta misma manera se realiza el intercambio de iones de Calcio (Ca+) pero de
forma inversa ya que su mayor concentración se encuentra en la parte exterior de la célula esto
quiere decir directamente que cuando la carga de los iones de calcio iguala a su gradiente
electroquímico estos iones dejan de ingresar al interior de la célula. Por lo que se puede concluir
que con cada variación de permeabilidad que se presente en la membrana, al permitir el ingreso o
salida de iones a lo largo del tiempo, se ve directamente afectado el potencial de acción
transmembranario, ver Figura 16.
Figura 16.- Representación un impulso eléctrico introducido en una célula de conducción
eléctrica y su posterior observación al ir variando la permeabilidad de los canales de Na+.
Para explicar cómo se realizan estas modificaciones de permeabilidad en la membrana
plasmática debemos fijarnos en otro tipo de canales, que también existen y que poseen una gran
implicancia en el proceso de despolarización celular, como lo son los canales de iónicos
regulados por voltaje. Estos se caracterizan ya que al momento que ocurre una pequeña diferencia
de potencial en alguna parte de la membrana este tipo de canales se activa. Por la velocidad de
activación y de traslado de iones que posee el primero en activarse es el de Na+ el cual ingresa
23
iones al interior de la célula con lo cual su potencial eléctrico cambia, por lo que se siguen
habilitando uno tras otro los canales de Na+ controlados por voltaje hasta que la célula cambia su
valor de potencial desde -90 mV hasta el valor de equilibrio del Sodio que corresponde a un valor
de +50 mV. La célula una vez que se encuentra en este nivel de despolarización eléctrica inactiva
los canales se sodio con lo cual comienzan a trabajar los canales de Ka+ activados por voltajes,
que si bien son más lentos que los de Na+, hacen que la célula vuelva lentamente a su estado de
equilibrio negativo en los -90 mV. Dentro de estos canales controlados por voltaje también
existen los de Ca2+ los cuales igual generan variaciones del potencial eléctrico en la membrana
celular.
II.2.- Base teórica y física del potencial de membrana no cardiaco.
Como se aprecia hasta el momento para que exista un potencial de acción debe existir una
variación iónica entre en el interior y el exterior celular. Esta diferencia de potencial, para un ión
especifico, se determina por medio de la ecuación de Nernst la cual se basa en la proporción de
concentraciones iónicas a ambos lados de la membrana, de la siguiente manera.
(Ec. 1).
Las consideraciones que se aplican a esta ecuación son que cuando un signo de potencial
es negativo el ion con el que se trabajo es considerado positivo y de la misma forma en la
situación inversa. En este caso como todas las membranas son permeables a varios iones
diferentes, el potencial de la membrana pasa a depender de tres factores primordiales los cuales
serian:
- La polaridad de la carga eléctrica del ion con el cual se va a trabajar.
- La permeabilidad de la membrana para cada ion. (P)
- Las concentraciones de los respectivos iones tanto en el interior (i) como en el exterior
(e) de la membrana.
24
Con lo cual podemos apreciar que podemos trabajar más de un ion a la vez según estas
características, para lo cual utilizamos la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz la cual nos entrega
el potencial de membrana interior, en una neurona, cuando están implicados dos iones positivos y
uno negativo.
(Ec. 2)
Para obtener una apreciación acerca del comportamiento físico de los potenciales de
membrana observamos esta ecuación donde simplemente existen estos tres iones [Sodio (Na+),
Potasio (Ka+) y Cloruro (Cl2-)] debido a que son los de mayor representación a nivel corporal
además que son las que generan las variaciones de concentraciones iónicas en la aparición de los
potenciales de membrana en las neuronas, caso ideal para representación de los potenciales de
acción no cardiacos, mientras que en estas últimas encontramos Sodio (Na+), Potasio (Ka+) y
Calcio (Ca2+).
Comprendido las variaciones de potenciales de membrana y como estas ocurren podemos
centrarnos en las consideraciones que se deben aplicar en el momento de hablar de potencial de
acción celular. Este se genera mediante los cambios rápidos presentados en la membrana celular
donde cada potencial de acción comienza con un rápido cambio del potencial de membrana, que
es negativo, al interior de la célula a un brusco cambio a potencial positivo y luego con la misma
rapidez al potencial negativo nuevamente.
Figura 17.- Representación grafica de un potencial de acción no cardiaco correspondiente a una
neurona.
25
II.3.- Fases del potencial de acción
Podemos apreciar que cada lado de la campana resultante, de la figura 17, como potencial
de acción conlleva un nombre, para entender de mejor manera esto es que indicaremos que
existen ciertas fases en el momento que se genera un potencial de acción celular:
II.3.1.- Fase de reposo: en la cual la célula se encuentra con un valor de polarización de -
90 mV. La ubicación y configuración de sus canales iónicos sería la siguiente:
Figura 18.- Fase de reposo. Las puertas de activación tanto del sodio como del potasio se
encuentran deshabilitadas.
II.3.2.- Fase de despolarización: En este momento es cuando la membrana se vuelve
lentamente permeable a los iones de sodio cambiando levemente la polaridad interior a un valor
menos negativo con lo cual se habilitan los canales activados por voltaje con lo que el número de
iones de sodio ingresados supera fácilmente la polarización negativa que tenia la célula al
comienzo de esta etapa, la configuración del canal es abierta véase la Figura 19.
Figura 19.- Fase de despolarización. Canal de sodio habilitado, variación de voltajes entre los
cuales los canales de activación por voltaje comienzan a permitir el acceso de iones a la célula.
26
II.3.3.- Fase de repolarización: etapa donde la célula cambia rápidamente de tener un
voltaje positivo a uno negativo esto se debe principalmente a la abertura de los canales de potasio
donde a la vez se activan los canales de potasio activados por voltaje con lo que el número de
potasio aumenta, los canales iónicos se manifiestan más o menos de la siguiente manera.
Figura 20.- Fase de repolarización. Configuración de los canales de sodio y potasio al momento de
la repolarización.
La Figura 21 muestra de forma gráfica cómo se comporta la curva característica de cada
uno de los canales iónicos de sodio y potasio al momento de generarse un potencial de acción
celular a lo largo del tiempo.
Figura 21.- Representación gráfica de la curva característica de los canales de sodio y potasio en
el potencial de acción celular.
Cabe destacar como una observación que una vez que se han realizado los procesos de
despolarización y la repolarización de los potenciales de membrana, cuando ya ha se ha vuelto al
estado de reposo, queda siempre un pequeño delta entre las concentraciones iónicas presentes en
el interior de la célula este pequeño espacio de tiempo se conoce como post-potencial positivo,
que es un valor menor a los - 90 mV del estado de reposo.
27
II.4 Calcio y potencial de acción cardiaco.
El calcio será analizado en forma separada ya que es un factor importante en la generación
de potenciales de acción celulares principalmente debido a que este se encuentra presente en las
células cardiacas, el cual es nuestro tema central al cual queremos conducir esta investigación, y
otorga características especificas en el potencial de acción y su respuesta en el tiempo, ver Figura
22.
Figura 22.- Representación de un potencial de acción celular cardiaco, donde interviene el Calcio.
La Figura 22 nos muestra un potencial de acción celular a nivel cardiaco donde podemos
observar, además de una gran diferencia en comparación al potencial entregado en la Figura 17,
que este potencial de acción requiere de un tiempo mucho mayor para realizar la repolarización
celular en comparación al anterior. Podemos apreciar a la vez que este mantiene durante un
tiempo bastante largo una continuidad en un valor positivo antes de volver a su estado de reposo
en los -90 mV aproximadamente, este tiempo en el cual el potencial de acción se mantiene en un
valor diferente a los -90 mV se conoce como APD (action potencial duration o duración del
potencial de acción) mientras que el tiempo en el que potencial de acción se mantiene en el valor
de -90 mV, antes de volver a ser excitado nuevamente, se conoce como DI (Diastolic Interval o
intervalo diastólico). Donde el APD y DI sumados producen un BCL (Basic Cycle Length o
duración del ciclo básico) que corresponde al ciclo de excitación de la célula a lo largo del
tiempo.
28
Esta curva de potencial de acción celular es característica a nivel cardiaco debido a que en
el intercambio iónico a través de esta membrana celular, una vez que esta se despolariza, se
presenta la activación de los canales de calcio (Ca+) sumado a los canales de potasio. La célula
posee canales iónicos que permiten la comunicación de estos iones, estos canales son habilitados
por voltaje los que a la vez poseen un tiempo de habilitación y de traslado de iones más lento que
los de sodio. Debido a esto la primera parte del potencial de acción representado en la curva de la
Figura 22 corresponde al intercambio de iones de sodio lo cual muestra un peak en el lado
positivo de la representación gráfica mientras que la línea continua, la cual se determina como
meseta, corresponde a la activación de los canales de calcio. La implicancia que esto posee dentro
del análisis teórico es que el potencial de acción de las células cardiacas posee un APD mayor.
Debemos señalar que los potenciales de acción que se presentan en las diferentes células,
incluyendo en esto a las células cardiacas, poseen estados cíclicos de descarga donde una vez que
se repolariza la membrana celular esta queda inmediatamente permeable a los iones de potasio, o
calcio en el caso del corazón. Los cuales al pasar en gran número hacia el exterior de la célula
crean un estado de hiperpolarización eléctrica. Para poder compensar este estado se debe
comenzar a ingresar sodio al citosol con lo que nuevamente se lleva a un estado de equilibrio
entre las partes, interior y exterior, en donde luego de un tiempo se genera un potencial de acción
nuevamente el cual viene acompañado de la repolarización celular y así sucesivamente se
mantienen estos procesos de forma cíclica.
Este nivel, o valor referencial, que se encuentra entre el estado de equilibrio isoeléctrico y
la despolarización celular, o potencial de acción, se conoce como umbral de excitación celular y
nos permitirá a posterior obtener la información necesaria para poder generar un estado de
excitabilidad en la célula a modo de crear un potencial de acción.
Una vez comprendido cómo se comportan los potenciales de acción y que estos son de
mayor duración a nivel cardiaco debemos de identificar las características principales de este
órgano, corazón, de forma de entender cómo se distribuye este potencial de acción a lo largo de
este.
29
CAPITULO III.
EL CORAZÓN, ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO.
30
III.1.- El corazón como motor de la vida
El corazón es un órgano que está formado por dos bombas separadas por un tabique que
no permite la comunicación directa entre estas. Una de estas bombas corresponde a la porción
derecha del corazón la cual bombea sangre desoxigenada a los pulmones para su proceso de
oxigenación y su posterior transporte a la siguiente bomba cardiaca. La porción izquierda del
corazón recibe la sangre que proviene de los pulmones, la cual viene oxigenada, para ser
bombeada a los órganos periféricos y al cuerpo en general. Estas dos porciones están compuestas
de dos cavidades cada una, las que se conocen como aurícula (derecha e izquierda) y la otra como
ventrículo (derecho e izquierdo). Este órgano es de vital importancia en el funcionamiento de
nuestro cuerpo debido a que la transmisión eléctrica del potencial de acción de una célula a otra
por todo el espacio cardiaco produce un ligero golpe, conocido como latido, el cual da origen al
ritmo cardiaco que permite a la vez la movilidad sanguínea a través de nuestro cuerpo.
Las aurículas funcionan como impulsoras de sangre de baja potencia ya que solo
transportan la sangre una pequeña distancia hacia el ventrículo, como se muestra en la Figura 23.
Mientras que el ventrículo aplica una fuerza mayor de modo que esta sea lo suficientemente
grande para poder enviar esta sangre desde: el corazón a los pulmones en el caso del ventrículo
derecho o bien desde el corazón al torrente sanguíneo y de ahí a los órganos periféricos en el caso
del ventrículo izquierdo.
Figura 23.- Esquema representativo de un corazón con sus componentes indicados además de la
señalización de las direcciones de flujo de sus venas y arterias.
31
III.2.- Configuración del Corazón
Para entender el principio de funcionamiento eléctrico a nivel cardiaco lo primero que
debemos conocer es como está estructurado y como interviene cada una de sus partes en los
procesos normales de este.
III.2.1.-Características Histológicas del músculo cardiaco.
El corazón está compuesto por tres capas de músculo: auricular, ventricular, y las fibras
excitadoras y conductoras especializadas. Estos músculos, en especifico, poseen la característica
de generar contracciones bastante más fuertes que los otros músculos presentes en el cuerpo,
mientras que las fibras excitadoras y conductoras son poco contráctiles lo que permite que estas
posean una gran velocidad de conducción lo que propicia una buena conducción eléctrica con lo
cual se pueda originar el ritmo cardiaco.
En la Figura 24 se representa la configuración de los músculos cardiacos donde se puede
apreciar existen pequeños círculos los que corresponden a filamentos de actina y miosina, que
son componentes característicos de todos los músculos. Los pequeños discos de color negro, o de
tono más oscuro en el de la fibra muscular, son conocidos como discos intercalares la función que
poseen es la de separar una a una las células musculares cardiacas. Podemos deducir, de acuerdo
a lo anterior, que estos discos corresponden a un tipo de membrana que separa la célula de su
entorno de forma independiente.
Considerando que: las fibras musculares cardiacas se encuentran conectadas de forma
serial unas con otras; la resistencia que ejercen los discos intercalares es muy baja debido a las
uniones comunicantes que poseen entre ellos. Esto permite que el movimiento de iones sea
prácticamente libre en el fluido intercelular a lo largo de estas fibras con lo que los potenciales de
acción viajan de una célula miocárdica a otra, a través de estos discos, sin tener mayores
obstáculos. Por lo que en el momento que se genera un potencial de acción este se extiende a toda
la fibra cardiaca, que abarca todo el corazón, debido a la gran capacidad de conducción que
32
poseen estas fibras haciendo el viaje de célula a célula por medio de la interconexión del tejido
cardiaco.
Figura 24.- Esquema de conexión establecido entre las fibras musculares cardiacas.
Al observar la figura 24 podemos apreciar que se ven unos pequeños círculos, de color
claro y bien definidos, que corresponden a filamentos de actina y miosina, componentes
característicos de todos los músculos del cuerpo. Se observan además unos pequeños discos de
color negro y de tono más oscuro en el estriado de la fibra estos son los discos intercalares cuya
función es de separar las células musculares cardiacas entre sí. Las fibras musculares están
conectadas entre sí de forma serial y considerando que como la resistencia que ejerce este tipo de
membrana en especial es muy baja, debido a las uniones comunicantes que existen entre estas,
permite que el movimiento de iones en las fibras sea prácticamente libre en el fluido intercelular
a lo largo de estas fibras con lo cual los potenciales de acción viajan de una célula miocárdica a
otra a través de estos discos sin tener mayores obstáculos. En el momento que se genera un
potencial de acción este se extiende a todo el corazón, debido a la gran capacidad de conducción
que poseen, haciendo que viaje de célula en célula por medio de la interconexión del tejido
cardiaco.
Las fibras que poseen este tipo de entramado en el cual sean independientes pero que cada
cierto tiempo se entrelazan o comunican con otras son conocidas como sincitios, en el corazón
tenemos dos tipos de estos, auriculares y ventriculares (este enrejado se encuentra ubicado en las
paredes interiores de los ventrículos y aurículas).
33
Estas dos cavidades cardiacas están separadas por una abertura valvular, a la que se
denomina válvulas auriculoventriculares. Estas no dejan circular el potencial de acción desde las
aurículas a los ventrículos sino que lo derivan a un canal de conducción especializado como lo es
el haz auriculoventricular (AV). Debido a esta separación valvular la conducción eléctrica
generada en las aurículas puede realizar la contracción un poco antes que el ventrículo lo que
ayuda a la sangre a llegar a su destino.
III.2.2.- Características eléctricas del corazón
El comportamiento normal que presenta este potencial de acción en el músculo ventricular
se caracteriza por una variación de voltaje cercana a los 105 milivoltios, ver Figura 25. Mientras
que la variación en las fibras de Purkinje, presentada en la misma Figura 25, se puede observar
que supera los 110 milivoltios.
Figura 25.- Representación grafica de un potencial de acción a nivel cardiaco en el músculo
ventricular y en las fibras de Purkinje.
Los parámetros mínimos y máximos que se generan en las variaciones de potenciales a
nivel ventricular son cercanos a los -85 mV y los +20 mV respectivamente. El tiempo en que se
realiza esta despolarización y repolarización celular corresponde a un intervalo que varía entre los
0.2 s y 0.3 s.
34
La conducción eléctrica no es igual a lo largo del corazón debido a que la velocidad de
transmisión de la señal eléctrica de excitación en el músculo cardiaco varía entre 0.3 y 0.5 m/s,
mientras que en las fibras de Purkinje alcanza un valor de 4 m/s en la mayor parte del sistema.
Cuando la señal de excitación comienza a viajar a través de este sistema las células que ya
participaron en la transmisión van quedando atrás en el proceso e ingresan a un periodo
refractario del músculo, en donde es mucho más complicado poder excitar estas células por lo
que se debe esperar cierto tiempo poder comenzar con el ciclo nuevamente. Estos tiempos de
refracción se consideran cercanos a los 0.15 s para las aurículas mientras que para los ventrículos
varia de 0.25 a 0.30 s.
III.2.3.- Conducción eléctrica en el corazón
De acuerdo a lo presentado en la Figura 23 observamos al corazón como dos partes en las
que se indica la función de cada una de estas partes en la forma fisiológica, pero ahora debemos
centrarnos en la capacidad conductiva y de cómo se genera este tipo de conducción y
excitabilidad celular a lo largo del corazón, es por eso que debemos caracterizar el corazón como
un sistema eléctrico y de conducción, obsérvese figura 26.
Figura 26.- Representación esquemática de cómo están distribuidos los diferentes conductores
eléctricos cardiacos.
35
El impulso eléctrico cardiaco se origina en el nódulo sinusal el cual, de acuerdo a la
Figura 26, está ubicado en la parte superior de la aurícula derecha. Este nódulo es un músculo
especializado en la conducción eléctrica por lo que las fibras que lo componen no poseen
características de contractibilidad. Estas fibras están conectadas de forma directa con las paredes
auriculares por lo que en el minuto en que se genera un potencial de acción de acción en el
nódulo sinusal es transmitido de forma inmediata a la pared auricular (sincitios).
Las fibras cardiacas a la vez poseen la capacidad de autoexcitación lo que les permita
producir una rápida descarga eléctrica y generar una contracción rítmica automática. El grupo de
fibras que posee esta característica de autoexcitación con mayor realce es el nódulo sinusal, esto
se debe a que estas fibras poseen un voltaje de reposo o polarización bastante menor que las
demás células cardiacas llegando a un punto máximo en -60 mV, situación que se presenta en
casos normales sin enfermedades, manteniendo por lo general un potencial de -55 mV. Esta
negatividad menor se debe a que las fibras del nódulo sinusal son naturalmente permeables al
sodio por lo que este neutraliza la carga negativa en las células.
El potencial eléctrico de las células del nódulo sinusal en reposo bordea los -55 mV por lo
que a este nivel de voltaje los canales rápidos de sodio se bloquean internamente, pero debido a la
alta concentración de estos en el liquido extracelular tienden a filtrarse por osmosis al interior de
la célula variando el potencial de reposo, ver Figura 27, llevándolo a un valor cercano a los -40
mV que es donde se activan los canales de sodio y de calcio generando que ingresen a la célula
una gran cantidad de estos produciendo un potencial de acción y mintiendo de esta forma su ciclo
de autoexitabilidad.
Figura 27.- Representación grafica del comportamiento del potencial de acción de la fibra del
nódulo sinusal y su comparación con el potencial de acción de la fibra muscular ventricular.
36
Durante este potencial de acción se producen dos fenómenos bastantes característicos del
nódulo sinusal: primero la bomba de sodio y calcio se cierra al poco tiempo de estar abierta
aproximadamente a los 120 ms. Al mismo tiempo se genera el segundo fenómeno donde los
canales de potasio se abren por lo que la célula vuelve a su estado de reposo, de forma lenta pero
más rápida que si estuviera solo abierto el canal de calcio. Se destaca que este proceso dura de
forma indefinida durante toda la vida del individuo.
El potencial de acción cardiaco, como se menciono anteriormente, es generado en el nódulo
sinusal desde donde es transmitido por medio de las fibras musculares auriculares expandiéndose
a toda la aurícula para llegar finalmente al nódulo auriculoventricular (nódulo A-V). Como
sabemos el impulso eléctrico no se transmite directamente desde la aurícula al ventrículo sino que
pasa por este nódulo A-V. Además conocemos que entre el potencial de acción propagado en la
aurícula y el del ventrículo debe haber un desfase temporal, donde este desfase temporal es para
que la aurícula alcance a vaciar su contenido al ventrículo y a la vez este pueda tomarlo sin
expulsarlo cuan todavía no se hayan cerrado las válvulas. Por lo que el nódulo A-V corresponde a
un retardador eléctrico cardiaco, función que cumple en conjunto con las fibras de conducción
adyacentes, ver Figura 28.
Figura 28.- Esquema del nódulo A-V donde se muestran las partes que componen el tabique A-V
y el nódulo A-V. Se presentan los tiempos en que llega el potencial a cada una de estas zonas de
acuerdo a su conducción a través del nódulo sinusal.
37
Al sumar las diferencias de tiempo presentadas en la Figura 28 observamos que el proceso
de conducción en el nódulo A-V demora 0.13 s mas el retraso de 0.03 s desde que el potencial de
acción sale del nódulo sinusal por lo tanto al salir de estas fibras el impulso de conducción lo
hace 0.16 s más tarde que su generación en el principio de la aurícula. Este proceso de retardo en
la comunicación del potencial de acción en el nódulo A-V se explica debido a que en esta zona
cardiaca las fibras musculares no poseen uniones intercelulares comunicantes lo que genera una
mayor resistencia al paso de los iones estimulantes entre una célula y otra en esta zona en
específico.
Una vez que nuestro impulso logra atravesar el nódulo auriculoventricular nuestro
potencial de acción debe de seguir recorriendo el corazón en la zona ventricular por medio de las
fibras de alta velocidad de comunicación de Purkinje. La velocidad de conducción que poseen
estas células corresponde al rango comprendido entre 1,5 a 4,0 m/s lo cual permite que una vez
que el potencial de acción entro en contacto con la zona de las fibras de Purkinje este se expanda
de forma casi inmediata por toda la zona ventricular, ver Figura. La gran velocidad que poseen
estas fibras es debido a que estas células cardiacas poseen una gran cantidad de uniones
intercelulares comunicantes.
Figura 29.- Esquema representativo de la figura cardiaca y sus tiempos de conducción a lo largo
de todo el corazón, el tiempo está tomado en relación a su punto de partida en el nódulo sinusal.
La frecuencia cardiaca está dada por medio del nódulo sinusal debido a que este recarga
más rápido su estado de reposo después de un potencial de acción que el nódulo A-V y las fibras
de Purkinje, esto es debido a que la frecuencia con la que trabaja el nódulo sinusal es de 40-60
veces por minuto, mientras que las otras dos 15 y 40 veces respectivamente.
38
III.3.- Interacción de los potenciales de acción con el electrocardiograma.
El nódulo sinusal produce un potencial de acción el cual se desplaza por completo a lo
largo del corazón traspasándose de una célula a otra por medio de los iones estimulantes. Toda
esta actividad que realiza el corazón se conoce como dinámica eléctrica celular, la cual consiste
en la generación de electricidad por medio del voltaje existente en la célula y la resistencia que
oponen al paso del potencial de una célula a otra. Las medidas y características eléctricas que
hemos observado en esta investigación se pueden expresar mediante un trazado de la actividad
eléctrica corporal o global, que representa las características de fuentes microscópicas situadas al
interior del corazón, el cual es conocido como electrocardiograma.
III.3.1.- El electrocardiograma
Este trazado consiste en medir la actividad eléctrica corporal por medio de electrodos los
cuales hacen un muestreo de las diferencias de potencial entre un punto y otro de nuestro cuerpo.
Estas muestras se obtienen en la superficie corporal ya que la corriente generada en el corazón
forma gradientes y vectores eléctricos que se extienden difusamente hasta la superficie del
cuerpo. La función de los electrodos es captar la señal la cual luego será amplificada y filtrada de
manera de obtener la mejor imagen de la señal eléctrica cardiaca.
El electrocardiograma (Figura 30) es un registro de las dinámicas celulares a nivel
cardiovascular y representa la suma vectorial de los diferentes potenciales de acción a nivel
cardiaco, ver Figura 31.
Figura 30.- Representación gráfica de un electrocardiograma y sus segmentos.
39
Figura 31.- Representación grafica de la sumatoria vectorial de los potenciales de acción
celulares a nivel cardiaco, en cada uno de los distintos segmentos presentes y como representan
cada uno parte de los segmentos del electrocardiograma.
III.3.2.- Relaciones entre las dinámicas intracardiacas y las dinámicas proyectadas en la
superficie del cuerpo observadas en el ECG.
En la Figura 30 se mencionan diferentes segmentos caracterizados por las letras: P, Q, R,
S, T. Estos caracterizan ciertos intervalos de tiempo y ciertas condiciones presentadas por el
músculo cardiaco. Al observar la Figura 31 podemos ver que cada intervalo representa la suma de
los potenciales de acción presentes en ese tiempo: la curva P representa la sumatoria de los
potenciales de acción presentes en el nódulo sinusal (donde se origina el impulso eléctrico), las
aurículas y el nódulo A-V. Cuando el impulso llega a este ultimo el electrocardiograma queda en
un valor constante lo que se debe al intervalo de tiempo de retardo que produce este, para el
vaciado sanguíneo de las aurículas a los ventrículos. El complejo QRS se presenta una vez
llegado el impulso eléctrico a las fibras de Purkinje las cuales poseen una alta conducción
eléctrica lo que genera la despolarización de los ventrículos antes de contraerse. La onda T
comienza cuando los ventrículos comienzan nuevamente a repolarizarse.
40
De acuerdo a la descripción anterior del complejo QRS y la onda T sabemos que estos se
encuentran directamente ligados al potencial de acción ventricular ya que uno de estos comienza
con la despolarización y el otro termina con la repolarización de este, ver Figura 32.
Figura 32.- Aproximación a la representación de QRS como despolarización ventricular mientras
que la onda T sería de repolarización.
De acuerdo a lo presentado por la Figura 32 utilizaremos el intervalo QT para determinar
el potencial de acción (AP) mientras que TQ corresponderá al estado isoeléctrico o intervalo
diastólico (DI).
III.3.3.- Potencial de acción y la importancia de su implementación como modelo.
Como hemos visto en el aspecto teórico tenemos bastante claro que el potencial de acción,
y la duración de este, afectan directamente las señales intracelulares la cuales repercuten en las
dinámicas proyectas y recuperadas por mediante el electrocardiograma. Este es uno de los
desafíos que se nos presenta a posterior a la implementación del modelo de potencial de acción.
Bajo este mismo concepto es que necesitamos obtener un modelo de potencial de acción celular a
nivel ventricular que sea robusto y que nos permita acercarnos el máximo posible a las curvas
características del APD, DI y la curva de restitución celular. Este modelo además debe permitir
visualizar que sucede con los diferentes cambios de frecuencias que se generen en los estímulos
eléctricos además de visualizar cómo reacciona el potencial de acción ante estos cambios, lo cual
se conoce como relación de restitución.
41
A continuación se desarrollara el análisis de la investigación de Tolkacheva- Schaeffer
para lograr implementar el modelo de potencial de acción propuesto por ellos. Este modelo será
implementado y su experimentación frente a cambios posibles en los estímulos se realizara por
medio del software Scilab, donde ahí mismo se corroborara con una grafica de curva de
restitución celular para obtener una relación de restitución y ver si esta concuerda con la teoría
presentada anteriormente.
42
CAPITULO IVMODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN A TRES VARIABLES DE ESTADO.
43
IV.1.- Investigación de Tolkacheva – Schaeffer.
Al momento de comprender la complejidad en la que está inserto el modelo celular de
concentraciones iónicas cardiacas, podemos comprender el nivel de abstracción que representa el
analizar dichas dinámicas. Donde esta ultima situación nos permite entender el comportamiento
de determinadas enfermedades cardiacas, como lo es la fibrilación ventricular, o bien nos aporta
con alguna idea para desarrollar futuros tratamientos y/o terapias para determinadas
enfermedades cardiacas. De esta premisa comienza la búsqueda de modelos matemáticos que
nos permitan caracterizar dichos sistemas complejos mediante alguna representación lógica
matemática la cual mantenga el comportamiento celular, a nivel sistémico, de forma que permita
ingresar cierto tipo de entradas que representen los cambios de concentraciones iónicas y sus
respectivos mecanismos de regulación. De esto se desprende la caracterización de modelos de
membranas celulares cardiacas determinadas por un conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
En este trabajo lo que se desea representar es la implementación de un modelo de
potencial de acción celular a tres variables de estado, lo cual nos permite realizar una
caracterización de un modelo de membrana celular cardiaca basado en la diferencia de potencial
transmembranario, donde estas representan de manera general las corrientes iónicas de sodio,
potasio y calcio las cuales nos permiten observar el comportamiento del potencial de acción
transmembranario. Estas variables se caracterizan de acuerdo a los tiempos de duración de los
intervalos diastólicos y de potenciales de acción respetando la característica principal de este
sistema complejo que es la memoria la cual le permite a la membrana entregar una respuesta de
acuerdo a los diferentes estados en los que se encontraba anteriormente. Para visualizar estas
características sistémicas se implementara el modelo presentado en [1] que corresponde a la
evaluación del modelo de Fenton-Karma.
Para mayor comprensión de la base matemática del modelo observar la investigación
presentada en [1], donde se puede apreciar las características de cada una de las ecuaciones del
modelado así como las mejoras propuestas por los investigadores.
44
IV.2.- El Modelo de Fenton-Karma.
Este modelo como se mencionó anteriormente maneja o establece la relación matemática
existente entre las diferencia de potencial en la membrana celular cardiaca y tres corrientes
iónicas. Cabe destacar a la vez que este modelo se representa por ecuaciones diferenciales
ordinarias las cuales representan estas variaciones de voltaje en la membrana celular en un solo
número final.
i) Las corrientes utilizadas en este modelo son:
Jfast: Corriente interior rápida.
Jslow: Corriente interior lenta.
Jung: Corriente no sincronizada.
ii) Las variables de estado del modelo son
v: Potencial transmembranario: corresponde a la respuesta de interacción entre las
corrientes existentes en el modelo.
f: Variable de compuerta Rápida: corresponde a un mnemónico de representación de
sincronización de compuerta rápida al interior de la célula.
s: Variable de compuerta Lenta: corresponde a un mnemónico de representación de
sincronización de compuerta lenta al interior de la célula.
Debemos identificar los parámetros y sus valores típicos que son utilizados en la
evaluación de las tres corrientes iónicas del modelo de Fenton-Karma, para lo cual
representáremos estos antecedentes en el siguiente recuadro, tabla 3, obtenido de [1].
Una vez conocidos los valores típicos y determinadas las variables comenzaremos por
interrelacionar las variables a utilizar en el modelo con las tres corrientes iónicas de forma de
obtener los valores reales de estos.
45
Tabla 3.- Valores y parámetros típicos para la evaluación de las tres corrientes iónicas del modelo
de Fenton-Karma.
IV.2.1.- Variable de Voltaje (v)
Caracterizamos en una primera instancia los cambios de voltaje como respuesta a los
cambios de las corrientes iónicas de acuerdo a la siguiente relación, Ec. 3:
(Ec. 3).
Como se puede apreciar nuestra variación de voltaje está determinada por el inverso de
cuatro corrientes distintas, esto es debido a que el estado isoeléctrico o estado de reposo del
potencial acción es negativo (-90 mV), donde tres de estas son iónicas mientras que la cuarta
corriente correspondiente a Jstim el cual simplemente es el impulso externo de estimulación que se
le otorga al sistema de forma de generar la despolarización, generando de esta forma los cambios
de estados iónicos a nivel membranario.
Una vez definido el estado de reposo, o primer estado del potencial de acción, debemos
comenzar a parametrizar por medio de ecuaciones características cada una de las corrientes. La
primera corriente a analizar es Jfast, la corriente de sodio, Ec. 4.
(Ec. 4).
46
Donde τfast representa la constante de tiempo rápida con que entra la corriente Jfast y
donde para efectos de simulación se utilizará el valor mostrado en la Tabla 3, mientras que la
función de voltaje dependiente Q(v) quedara determinada por el siguiente sistema de ecuación,
Ec. 5.
(Ec. 5).
En este sistema de ecuaciones podemos observar que cada una de las dos ecuaciones
posee la característica de estar condicionada al valor de voltaje determinado en la membrana
celular.
De forma muy similar podemos obtener Jslow, la cual viene determinada por la siguiente
ecuación, Ec. 6:
(Ec. 6).
Donde, al igual que en el cálculo de la corriente anterior τslow representa la constante de
tiempo lenta con que entra la corriente Jslow y donde para efectos de simulación se utilizará el
valor mostrado en la Tabla 3, mientras que la función de voltaje dependiente S(v) quedara
determinada por la ecuación, Ec.7.
(Ec. 7).
Luego para obtener la tercera corriente de la que depende v debemos de analizar la
ecuación Ec. 8.
(Ec.8).
Donde τung corresponde a la constante de tiempo de la corriente que no es dependiente del
potencial transmembranario. Para efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor
47
mostrado en la Tabla 3, mientras la función de voltaje dependiente P (v) quedara determinada por
ecuación Ec.9.
(Ec. 9).
IV.2.2.- Variable f mnemónico de compuerta rápida.
Una vez ya caracterizada la ecuación de Voltaje de nuestro modelo, la cual es
dependiente de las ecuaciones de las corrientes iónicas, debemos de definir las ecuaciones
determinantes de cada una de las variables de compuerta. Para lo cual comenzaremos definiendo
la compuerta f, mediante Ecuación Ec. 10.
(Ec. 10).
Donde las funciones de voltaje dependientes quedarían determinadas por las siguientes
ecuaciones y condiciones, Ec. 11.
(Ec. 11).
Donde τf corresponde a la constante de tiempo con la cual se activa o desactiva la
compuerta rápida dependiendo exclusivamente del voltaje de excitación que se aplique. Para
efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor mostrado en la Tabla 3.
IV.2.3.- Variable s mnemónico de compuerta lenta.
Mientras que la segunda función de compuerta la que correspondería a s, slow, quedaría
determinada por la siguiente ecuación, Ec. 12.
48
. (Ec. 12).
Donde las funciones de voltaje dependientes quedarían determinadas por las siguientes
ecuaciones y condiciones, Ec. 13.
(Ec. 13).
Donde τs corresponde a la constante de tiempo con la cual se activa o desactiva la
compuerta lenta dependiendo exclusivamente del voltaje de excitación que se aplique. Para
efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor mostrado en la Tabla 3.
De acuerdo a lo establecido en [1] al realizar la evaluación de las variables con los
parámetros determinados en la Tabla 3 y utilizando un voltaje de entrada mayor a 0.13 mV. lo
que deberíamos de obtener de cada una de estas se muestra en la Figura 33. Cabe señalar que la
representación grafica presentada a continuación corresponde a una simulación numérica del
modelo de Fenton-Karma presentada en el trabajo de Tolkacheva - Schaeffer.
Figura 33.- Representación grafica de la aproximación numérica de las soluciones de los
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios. a) Voltaje intermembranario y su punto de
excitación en Vcrit., b) variable de compuerta rápida f, y c) Variable de compuerta lenta s.
49
Una vez se obtenga la implementación del modelo debemos comenzar con la
experimentación del modelo por lo cual se utilizara un protocolo de excitación que nos permita
observar las respuestas al introducir diferentes valores muestrales para obtener las variaciones
que se producen tanto en nuestro intervalo diastólico como en el potencial de acción, como se
indica en la Figura 33.a), el protocolo que se utilizara en este caso es el S1-S2. Para que de esta
manera se pueda obtener una curva de restitución basada en el modelo de Fenton- Karma que
permita observar las variaciones que se producen en el valor de DI y APD, para que de esta
manera se pueda realizar un muestreo dentro de cierto intervalo de tiempo el cual permita
observar la respuesta de APDn+1, ya que este depende del intervalo BCL anterior, con respecto a
DIn de manera similar a la grafica presentada en la Figura 34.
Figura 34.- Curva de restitución celular.
IV.3.-Identificación de necesidades de la programación del modelo.
Para desarrollar la implementación de este modelo basado en ecuaciones diferenciales
tendremos que centrarnos en la programación numérica de estos sistemas que caracterizan cada
una de las variables de este modelo. Debemos identificar nuestros propios impulsos eléctricos de
forma de poder generar una variación entre el potencial de acción y el intervalo diastólico para
luego obtener una curva característica de esto la cual se asemeje a la presenta en la Figura 34, ya
que de esta manera podremos observar la relación de restitución celular de acuerdo al modelo
implementado basado en las tres variables de estado. Es debido a estas necesidades que
requerimos de un software que nos permita crear un algoritmo basado en el modelo y que permita
además observar gráficamente las diferentes representaciones de nuestras variables y modelo
implementado, para lo cual utilizaremos el software Scilab.
50
CAPITULO V.
SCILAB,
CARACTERISTICAS Y PROGRAMACIÓN N MÉRICA.
51
V.1.- Descripción de Scilab:
Scilab corresponde a un software de programación numérica de alto nivel, el cual permite
generar, programar y resolver diferentes operaciones y/o funciones numéricas. Este software es
desarrollado desde los años 90 por el INRIA, Institut National de Recherche en Informatique et
Automatique, y la ENPC, École Nationale des Ponts et Chaussées. Centra su filosofía en el
software libre y está amparado bajo licencia GPL, General Public License o licencia publica
general, se comienza a distribuir desde el año 1994, año de su publicación en la red, en el sitio de
internet http://www.scilab.org.
Nace a partir de la necesidad de establecer una programación interactiva y de uso libre, en
todo tipo de sistemas operativos, en el desarrollo de diferentes cálculos numéricos y simbólicos.
Así como obtener representaciones gráficas de un gran número de sistemas dinámicos, análisis
estadísticos, procesamiento de señales, simulaciones de dinámicas de fluidos y para la
optimización numérica de diferentes sistemas y funciones a desarrollar.
Este software posee la característica principal de tener una sintaxis sencilla para el manejo
de las operaciones, el cual se realiza mediante el uso de matrices, y el desarrollo de todo tipo de
operaciones y funciones. A la vez posee un entorno de programación sencillo y agradable al
usuario en donde se pueden desarrollar algoritmos de diferentes complejidades mediante la
introducción de comandos establecidos, siempre centrados en el trabajo a nivel matricial.
V.2.- Características y requisitos de operación e instalación:
Como se ha mencionado anteriormente Scilab® posee ciertas características
fundamentales reconocidas las cuales son: proveer el manejo de datos de forma natural y sencilla;
tener un entorno de programación fácil de manejar y escalar; poseer un gran número de librerías
que permiten desarrollar cualquier tipo de sistemas y funciones que se necesite implementar.
52
El software posee plataforma para cualquier sistema operativo en el que desee trabajar, la
configuración básica viene establecida por defecto pero se pueden agregar complementos al
momento de su instalación, esta última acción se detalla a continuación.
Para realizar la instalación de nuestro programa primero debemos descargar el instalador
de este, para lo cual nos referimos a la página indicada anteriormente www.scilab.org. En donde
en la primera pantalla aparece descargar el archivo para sistema operativo Windows, clicamos
sobre este con lo cual obtenemos el programa de instalación, luego que se haya descargado
buscamos dentro de la dirección donde se haya decidido guardar este archivo. El ejecutable
descargado de Scilab debería de tener un icono como el que se indica en la Figura 35:
Figura 35.- Logo del Software Scilab versión 5.2.1
Hacemos doble clic sobre este icono, donde lo primero que se nos pregunta es el idioma
en el que queremos instalar nuestro programa. Luego comenzamos el proceso de instalación ante
lo cual se nos pregunta si aceptamos la licencia de este, donde se indica claramente que es un
software libre y que posee una licencia GPL, ver Figura 36, lo cual es una de las características
principales de este software y que ya ha sido mencionada al inicio de este capítulo. Una vez
aceptada la licencia presionamos el botón “siguiente” con lo cual nos lleva a la próxima ventana,
ver Figura 37, donde se nos pregunta por la ubicación que se le otorgara a nuestro programa en el
disco duro, que será la misma carpeta en la que se instalaran los directorios principales y las
librerías de nuestro software. De la misma manera en esta ventana nos indica el espacio de disco
duro necesario para la instalación del programa que en este caso es de 204,3 MB libre en el disco,
para su instalación básica.
.
53
Figura 36.- Licencia de distribución de software de Scilab 5.2.1.
Figura 37.- Selección de dirección de destino del software, e indicación de espacio
requerido por el software para su instalación básica.
54
Una vez determinada la dirección de la instalación se nos presenta la ventana de los
componentes que se desean instalar, ver Figura 38, de acuerdo a la cantidad de librerías y
módulos que se deseen instalar el espacio requerido va a ser cada vez mayor. En este caso se han
seleccionado todos los complementos, anexos a los que vienen por defecto del programa y son
los que se mencionaban que tienen un peso de 204,3 MB, con lo cual el espacio requerido para su
instalación es de 417,8 MB en el disco duro.
Figura 38.- Selección de complementos de instalación de Scilab.
Cuando ya tenemos seleccionados los complementos que se instalarán presionamos el
botón “siguiente”, en las próximas tres ventanas, el cual nos derivara al final a una última
pantalla antes de instalar nuestro software, en la cual nos mostrara e indicara cada uno de los
pasos que realizamos y cada uno de los componentes que hemos decidido instalar mediante una
lista, ver Figura 39. Una vez que se nos presenta esta pantalla estamos listos para instalar el
programa, para lo cual presionamos el botón “instalar”.
Después de instalado el software se nos pregunta si queremos correr el programa, a lo cual
respondemos que si y obtendremos en la pantalla la consola de instrucciones de Scilab, ver
Figura 40, en la cual podremos indicar y/o definir las distintas funciones, variables y constantes
para los distintos cálculos que se deseen realizar a posterior, o de las distintas funciones u
operaciones del software que se deseen implementar.
55
Figura 39.- Ventana de instalación de Scilab y listado de complementos a instalar.
Figura 40.- Consola de instrucciones de Scilab.
56
V.3.- Funciones básicas del programa:
Para iniciar la experimentación con nuestro modelo a tres variables de estado de un
potencial de acción, lo primero que debemos de saber es como trabajar con nuestro software
numérico de implementación, para lo cual debemos entender de qué manera se desarrollan las
funciones básicas de este así como las que poseen un grado mayor de complejidad. La idea de
este tópico es indicar y señalar como se trabajan las funciones primarias y básicas de Scilab, para
luego terminar explicando cómo se trabajan los Scripts de programación de funciones, que es en
el cual se implementara este modelo a tres variables de estado.
Cuando iniciamos Scilab se nos presenta de forma inmediata la consola de instrucciones,
mostrada en la Figura 40, en la cual nos aparece en el lado izquierdo de la pantalla el símbolo:
-->
El cual nos indica que en esa línea comenzaremos a trabajar y que es ahí donde se
introducirán las instrucciones y operaciones a utilizar, al igual que la mayoría de los lenguajes de
programación podremos colocar comentarios al lado de la definición de funciones o constantes
mediante “ // “:
--> // y el comentario que queras establecer.
V.3.1.- Definición de constantes:
Lo primero que observaremos será la definición de valores y constantes de forma de
explicar de forma sencilla las diferentes funciones matemáticas que se podrán aplicar mediante
este software, para lo cual indicaremos un determinado valor para las letras a y b, lo cual lo
designaremos en la consola de nuestro software mediante la siguiente instrucción:
57
--> a = 7 // con esto estamos indicando que a tendrá un valor de 7
Al presionar Enter, tecla que sirve para fijar la constante, observaremos que esta realiza la
siguiente acción:
--> a = 7
a =
7.
Para evitar esta situación utilizaremos el comando “ ; ” al final de cada una de las
instrucciones que escribamos a modo de evitar que esta se vuelva a repetir abajo, por lo cual solo
queda de la siguiente manera:
--> a = 7;
-->|
Para consultar el valor de la constate definida que queda establecida en la memoria del
programa mientras este se mantenga abierto, ya que una vez cerrado estas se borran, debemos
solo escribir la constante sobre nuestro indicador de la siguiente manera:
--> a
a =
7.
-->|
Se debe considerar a la vez que el software discrimina entre las mayúsculas y las
minúsculas, por lo que si consultamos el valor de A obtendremos el siguiente resultado:
-->A
!--error 4
Variable indefinida: A
58
V.3.2.- Funciones matemáticas presentadas por Scilab.
Para efectos de simplificación de cálculo definiremos una nueva variable, de modo de
explicar las diferentes funciones matemáticas a desarrollar, para lo cual utilizaremos:
-->b = 5;
-->|
Una vez definidas nuestras constantes utilizaremos los comandos asignados a las
funciones básicas y primordiales como lo son: suma, resta, división y multiplicación,
respectivamente:
-->a + b // a sumado con b.
ans =
12.
-->a-b // a menos b.
ans =
2.
-->b/a // b dividido en a.
ans =
0.7142857
-->b * a // b multiplicado por a.
ans =
35.
Las demás funciones están definidas mediante diferentes instrucciones que se detallaran a
continuación algunas, básicas e importantes, pero solo se indicaran ya que no se ejecutaran
operaciones con ellas, ver Tabla 4.
59
Función Matemática Instrucción
Número elevado a n a^n ó a**n
Raíz cuadrada( ) sqrt(N)
Exponencial ( ) exp(x)
Logaritmo natural log(x)
Logaritmo base 10 log10(x)
Logaritmo base 2 log2(x)
Función seno sin(x)
Función coseno cos(x)
Función arcoseno asin(x)
Función arcocoseno acos(x)
Función tangente tan(x)
Función arcotangente atan(x)
Función cotangente cotg(x)
Tabla 4.- Funciones matemáticas básicas y su instrucción en Scilab.
Scilab posee un número bastante grande de instrucciones y operaciones matemáticas pero
no debemos olvidarnos de las funciones graficas que este posee, en las cuales de acuerdo a ciertas
instrucciones podemos desarrollar diferentes tipos de gráficos. El más básico de estos comandos
es el plot, el cual se basa en generar un gráfico de una función determinada y representarlo en un
eje de coordenadas xy. La función a graficar será:
--> x= [0:0.01:10]; // con esta instrucción indicamos que x toma los valores de 0 hasta 10, cada
0.01 de espaciado entre cada número para lograr una imagen más pura de la grafica.
--> plot (x, cos (x)); // llamamos a la instrucción plot (x,y) y le indicamos que x son los valores
comprendidos en el tramo indicado anteriormente, mientras que y será ‘cos(x)’.
60
El software para poder generar este tipo de entrega grafica lo que hace, al introducir la
orden, es generar una nueva ventana llamada ventana de gráfico número n, en este caso 0, en la
cual nos presenta el grafico configurado, ver Figura 41. Para más detalles de la configuración de
gráficos en Scilab observar [11].
Figura 41.- Representación gráfica de ‘y = cos x’, con ‘x’ comprendido entre 0 y 10.
V.4.- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante Scilab con resolución
gráfica:
Si bien se ha explicado cómo se deben trabajar las funciones básicas de Scilab, debemos
explicar y centrar nuestro trabajo en las ecuaciones diferenciales ordinarias, ya que estas son las
que debemos resolver para obtener nuestro modelo de potencial acción a tres variables de estado,
estas ecuaciones están presentes en [1].
Para resolver una ecuación diferencial ordinaria (ode, ordinary differential equations)
debemos centrarnos primero en las condiciones iniciales de la ecuación, así de igual manera
debemos identificar nuestras variables y constantes. En Scilab debemos seguir un cierto número
de pasos e instrucciones para poder resolver una ecuación de este tipo: Primero debemos definir
61
nuestra ecuación, luego identificar las condiciones iniciales y el parámetro variable en que se
observara la respuesta de esta ecuación diferencial. Todos estos antecedentes son recopilados
para aplicarlos a la instrucción ode, la cual posee una secuencia definida de introducción de
datos que es la siguiente:
--> ode (x0, t0, t, función);
Como se puede apreciar debemos de tener definidos, en la consola o en la función, los
diferentes parámetros que utilizarán para la resolución de la ecuación (x0, t0, t, función), un
ejemplo claro de esto sería:
(Ec.14)
Para poder establecer esta ecuación definida mediante scilab debemos primero abrir un
editor de texto con el cual podamos crear y configurar la ecuación, operación fundamental de la
implementación del modelo a tres variables de estado, ver Figura 42.
Figura 42.- Editor de textos de scilab y la declaración de la función f.
Donde function corresponde a la definición de una función que se introducirá, con udot de
salida y con entradas (t,u) y el nombre de la función será f. Luego se define nuestra ecuación a
resolver y se utiliza endfunction para cerrar esta función. Una vez definida esta función la
guardamos en la carpeta de destino y guardamos la dirección para ejecutar luego el programa
donde está inserta esta función, para efectos de fácil manejo el archivo se llamara f.sce.
62
Cuando ya tenemos guardada la función nos tenemos que dirigir a la consola y definir
nuestros parámetros, los cuales serán utilizados para implementar la solución de nuestra Ec.14 de
la siguiente forma:
--> k=0.2; // determinamos un valor de constante, cumpliendo con las condiciones de
la ecuación.
--> t=0:100; //definimos un tiempo de análisis entre 0 a 100 mseg.
-->t0=0.0; // tiempo inicial cero.
-->x0=1/10000; // definición de la condición inicial de nuestra ode.
Una vez definido estos valores llamamos y cargamos nuestra función f con la siguiente
instrucción exec, que corresponde a ejecutar, y dando la dirección donde se encuentra
almacenado nuestro programa que contiene la función, en el disco duro:
-->exec ('C:\Users\Felix\Documents\tesis\partes tesis\f.sce');
Luego llamamos a nuestra instrucción de resolución de nuestra ecuación diferencial
ordinaria ode, mediante la siguiente instrucción:
-->ode(x0,t0,t,f) //parámetros definidos anteriormente y función en la cual se encuentra
nuestra ecuación diferencial ordinaria.
Y nos entrega el siguiente resultado:
u =
column 1 to 5
0.0001 0.0001221 0.0001492 0.0001822 0.0002225
column 6 to 10
0.0002718 0.0003319 0.0004054 0.0004951 0.0006047
column 11 to 15
0.0007384 0.0009018 0.0011012 0.0013447 0.0016420
63
column 16 to 20
0.0020048 0.0024475 0.0029878 0.0036469 0.0044507
column 21 to 25
0.0054308 0.0066252 0.0080802 0.0098516 0.0120065
column 26 to 30
0.0146259 0.0178065 0.0216635 0.0263335 0.0319774
column 31 to 35
0.0387827 0.0469660 0.0567741 0.0684832 0.0823962
column 36 to 40
0.0988359 0.1181334 0.1406108 0.1665572 0.1961984
Y asi sucesivamente hasta llegar a la columna 101 con resultado de:
column 101
0.9999794
Para entender mejor la interpretación del resultado obtenemos la gráfica de la función
mediante la instrucción plot2d, ver Figura 43, para lo cual en nuestra consola ingresamos las
siguientes instrucciones:
-->plot2d(t,u);
Figura 43.- Solución gráfica de la ecuación diferencial presentada en Ec.14.
64
V.5.- Ejecución de un programa.
Mediante el mismo editor de texto, utilizado para configurar la ecuación diferencial
ordinaria en el ejemplo anterior, es posible configurar o programar determinados algoritmos que
nos permitan implementar cierto tipo de sistemas entre los que podemos considerar, para efectos
de solución del problema de la investigación, la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
de manera más fácil y sencilla de resolver mediante una solución numérica y a la vez gráfica.
Para realizar la programación de determinados algoritmos utilizamos ciertos comandos o
instrucciones que son similares a los empleados en otros lenguajes de programación, no debemos
olvidar que Scilab posee compatibilidad con FORTRAN, Java, C y C++, donde estos son
señalados de acuerdo a las condiciones que se establezcan en el algoritmo a implementar. A
continuación se detallan algunas de las instrucciones establecidas en el algoritmo desarrollado
para la implementación de nuestro modelo de potencial de acción celular a tres variables de
estado, ver Tabla 5.1 y Tabla 5.2:
Instrucción Función
function Define el inicio de una ‘función’ en la cual se introducen las variables de
entrada y sus salidas que se deseen monitorear.
if Indica la condición ‘si’ de cualquier tipo de programación la cual va
acompañada de then si la condición es satisfecha de lo contrario se
aplica la instrucción else.
then Corresponde a la función ‘entonces’ con la cual se inicia la función
establecida si se satisface la condición indicada en if’.
else Corresponde a ‘de otro modo’ con el cual se introduce una nueva
condición dentro del algoritmo, se establece después de esta instrucción.
end Es para ‘terminar’ el bucle de repetición de las diferentes funciones
como if’, for, etc. Para los diferentes valores de evaluación.
endfunction Indica el término de la función implementada.
Tabla 5.1.- Instrucciones utilizadas en la programación y su respectiva función.
65
Instrucción Función
for Se utiliza en forma de indicar la función ‘para’ la cual indica, para una
variable establecida, cierta condición que esta debe satisfacer o
realizar, esta instrucción debe ser cerrada mediante un end.
while Corresponde a la instrucción ‘mientras que’ esta comprueba siempre
la condición establecida antes de iniciar un bucle, el bucle continua
mientras el resultado no satisfaga la condición establecida, esto se
hace hasta que el valor cambie. Esta función se cierra con un end.
getf(‘’);exec(‘’) Corresponden a la misma instrucción, la primera indica cargar la
función ubicada en la dirección indica entre paréntesis, y la segunda
implica ejecutar la función establecida en la dirección. La segunda
función se utiliza en la v5.2 de Scilab, mientras que la primera está
obsoleta para esta versión pero es utilizada en versiones anteriores.
plot() Es la instrucción que indica que se debe dibujar la respuesta en forma
gráfica, sus dimensiones serán establecidas de acuerdo al comando
que se utilice para graficar. Se deben señalar a la vez las variables que
representarán los ejes que se utilizaran en el grafico.
Tabla 5.2.- Instrucciones utilizadas en la programación y su respectiva función.
Una vez realizado un algoritmo en el editor de texto se almacena en el disco duro, en una
dirección determinada, la cual debe ser utilizada a posterior del comando exec (‘’) o de getf (‘’)
de modo de ejecutar la ecuación y/o el algoritmo desarrollado.
En el capítulo siguiente se detallara la implementación del modelo de potencial de acción
celular a tres variables de estado mediante Scilab, además se presentarán los códigos de fuente de
los algoritmos para posibles modificaciones o variaciones que se requieran realizar en estudios
posteriores. En esta implementación se observara de forma explícita como se trabajan cada una
de las instrucciones mencionadas y explicada anteriormente. Una vez presentado esto debemos
centrarnos en el algoritmo que se implementara para la experimentación del modelo.
66
CAPITULO VI
IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR A
TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB.
67
VI.1.- Simulación e Implementación del Modelo de Fenton - Karma.
Antes de comenzar a realizar la experimentación debemos implementar un algoritmo el
cual nos permita obtener, en una primera instancia, las respuestas presentadas en [1], por lo que
debemos definir en nuestro algoritmo una primera función a la cual designaremos por nombre
Karma. Esta función, como se observo en el capitulo anterior, debe estar definida mediante un
algoritmo, en un editor de texto, el cual nos permitirá obtener las ecuaciones diferenciales
necesarias. De la misma manera este editor nos permite introducir las constantes requeridas para
obtener las respuestas presentadas en el análisis teórico de nuestro modelo, el cual ha sido
presentado en el capítulo 4.
Por lo que comenzamos definiendo nuestra ecuación, que en este caso será una ecuación
diferencial ordinaria de voltaje ‘v’, representado por x, sobre tiempo ‘t’. Utilizamos el comando
function acompañado de ‘xdot’ el que será utilizado como salida. Luego introducimos las
entradas de nuestro sistema que en este caso serán ‘(t,x)’, en representación de nuestras entradas
originales del sistema (t,v), y como se mencionó anteriormente nuestra función tendrá el nombre
de ‘Karma’, ver Figura 44 y/o Anexo 1, A.1, para mayor claridad del algoritmo o utilización.
Figura 44.- Definición de la función Karma, definición de los parámetros de entrada y
salida del sistema.
Una vez establecido el nombre, las entradas y las salidas de nuestra función principal, en
este caso Karma, debemos de establecer cuáles serán los parámetros constantes que tendremos
dentro de las ecuaciones. Para tal efecto nos referiremos a la Tabla 3 la cual establece los
68
parámetros típicos de las diferentes variables, con las cuales serán probadas estas ecuaciones a
modo de satisfacer de buena forma las condiciones iniciales. Una vez identificados cada uno de
los parámetros estos se definen a posterior de la función declarada en la línea 1 de nuestro editor
de texto, ver Figura 45.
Figura 45.- Definición de constantes establecidas en la Tabla 3 en nuestra función Karma,
desarrollada en el editor de textos de Scilab.
Una vez definidas nuestras constantes y establecido nuestro sistema de entrada y salida de
la función, debemos de establecer nuestras ecuaciones diferenciales tal cual como fueron
presentadas en el capítulo 4. Para lo cual a posterior de nuestra definición de constantes
establecemos nuestro sistema de ecuaciones diferenciales, ver Figura 46.
Figura 46.- Definición de ecuaciones diferenciales en la función Karma.
69
Como se puede apreciar, a simple vista, se introducen nuevas variables dentro de este
algoritmo como lo son: ‘Q(x(1))’; ‘P(x(1))’; ‘fastgate(x(1),x(2))’; slowgate(x(1),x(2)); ‘x(3)’.
Donde ‘x(1)’, ‘x(2)’ y ‘x(3)’ son las variables integradas de nuestras ecuaciones diferenciales
donde cada una corresponde a ‘v’, ‘f’ y ‘s’, respectivamente. Mientras que las otras funciones
establecidas son funciones dependientes de voltaje las cuales están definidas en el capítulo 4
como ‘Q(v)’ y ‘P(v)’. Debemos considerar que ‘S(v)’ fue definida directamente en la ecuación
‘xdot(1)’ ya que no posee variantes dependiendo del valor de ‘v’. Las otras dos son las
condiciones establecidas de apertura y de cierre de las compuertas ‘f’ y ‘s’, las cuales también
dependen del voltaje de entrada, en este caso se encuentran definidas, en el capítulo 4, como
‘ ’ y ‘ ’. Estas funciones dependientes de voltaje deben de ser definidas dentro de
nuestra función Karma, por lo cual debemos configurar nuevas funciones al interior de esta
última, por lo que implementamos las instrucciones establecidas en la Figura 47.
Figura 47.- Definición de las variables dependientes de voltaje y tiempo en nuestra función
Karma.
70
En la implementación anterior se puede observar que cada una de las funciones
dependientes fue establecida y definida mediante la instrucción function, y a la vez, cada vez que
se termina de usar alguno de los bucles de repetición, o la misma función definida, utilizamos el
comando end y endfunction respectivamente. Además debemos señalar que las indicaciones
presentadas mediante ///// corresponden a la separación de una función con otra, esto es a modo
de llevar un orden establecido en la programación.
Una vez implementadas las ecuaciones debemos comenzar a probar nuestro algoritmo,
mediante el ingreso de un solo impulso. Con lo anterior observaremos el comportamiento del
algoritmo para un solo pulso de respuesta con valor de voltaje, ‘v’, y los valores de los nemónicos
representados por ‘f’ y ‘s’, definidos con anterioridad en el capítulo IV. Para comenzar a resolver
nuestra ecuación, a modo de obtener la representación grafica de esta, debemos centrarnos en los
valores que se les deben asignar a nuestras variables mediante las condiciones iniciales.
VI.2.- Resolución mediante Scilab del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
implementadas en el modelo de potencial de acción a tres variables de estado y su
representación gráfica.
Sabemos que para que nuestro modelo de potencial de acción comience a entregar una
respuesta en el tiempo nuestro voltaje debe ser mayor a ‘Vcrit’, mientras que si observamos los
valores en los que se encuentran las variables ‘f’ y ‘s’, respectivamente en [1], nos podremos dar
cuenta que son definidas en un valor inicial 1. Para comprobar esto primero asignaremos un valor
constante de 0.2 al voltaje, ‘v’, mientras que las otras dos variables las dejaremos en 1, ya que
estas últimas no serán observadas gráficamente en este paso aún, para lo cual introducimos las
siguientes instrucciones en nuestra consola:
-->getf('j:\modelos tesis\Karma.sci'); //dirección donde se encuentra el archivo Karma
-->x0= [0.2 1 1];
-->t0=1;
-->t=1:1000/875:1000;
-->solf=[];
71
Esto nos indica que cargamos nuestra función Karma mediante getf, luego indicamos las
condiciones iniciales las que son representadas mediante x0, mientras que el tiempo inicial, t0, en
el que comenzara a funcionar nuestro sistema de ecuaciones para la evaluación de la ecuación,
será 0. El tiempo de muestreo de la función será el definido en t, con el cual se observara el
comportamiento de está en pequeños lapsus de tiempo a modo de obtener una representación
gráfica más detallada de la función, recordando siempre que mientras mayor sea el muestreo
mejor es la recuperación de la información o su interpretación. Mientras que la instrucción
solf=[]; indica que vamos a almacenar algo en la memoria bajo ese nombre.
Una vez indicados los parámetros que se necesitan para resolver nuestras ecuaciones
diferenciales ordinarias nos centramos simplemente en la resolución de estas, pero a diferencia
del ejemplo presentado en el capítulo 5 esta vez utilizaremos una variable auxiliar que nos
permita trabajar la respuesta obtenida de la resolución de nuestra función. Nuestra variable
auxiliar que utilizaremos será solf=[]; para lo cual declaramos la siguiente instrucción:
-->solf = ode (x0’,t0,t,Karma) ; // donde x0’ corresponde a x0 transpuesto.
Una vez definida nuestra nueva variable auxiliar, como la resolución de las ode’s de
nuestro sistema, comenzaremos a trabajar con el resultado obtenido. Este resultado queda
almacenado bajo el nombre de solf, por lo cual lo primero que debemos visualizar es el
comportamiento grafico de ‘v’, con los valores mayores a ‘Vcrit’, para lo cual utilizaremos el
comando ‘plot’, de la siguiente manera.
-->plot (solf(1,:));
Lo cual nos permitirá obtener de forma individual cada una de las respuestas a nuestras
variables, en este caso se utiliza el número 1 debido a que ‘v’ es la ecuación ‘xdot(1)’, donde el
número entre paréntesis indica su ubicación dentro de la matriz solución.
72
Una vez introducido el comando aparece en nuestra pantalla la ventana de gráficos con la
siguiente representación correspondiente a ‘v’, ver Figura 48, pero mantiene las otras variables
utilizadas en la misma memoria, que fue establecida anteriormente como ‘solf’’. A la vez
debemos observar cómo se comporta el modelo implementado cuando le insertamos un valor de
voltaje menor a nuestro ‘Vcrit’ establecido en la Tabla 3. Para observar estas variaciones
insertaremos los mismos valores del ‘x0’, definidos anteriormente, para ‘f’ y ‘s’ mientras que
para ‘v’ será de 0.1, ver respuesta en la Figura 49. Una vez obtenida la grafica de la función
Karma, establecida mediante nuestro algoritmo en Scilab, debemos contrastar estos resultados
junto a la representación gráfica presentada en la investigación de Tolkacheva- Schaeffer,
presentada en el capítulo 4 para la variable ‘v’, ver Figura 33. a).
Figura 48.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente a la
duración de potencial de acción, para voltaje mayor a ‘Vcrit’.
Figura 49.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente a la
duración de potencial de acción, para voltaje menor a ‘Vcrit’.
73
En la Figura 48 obtenemos la misma curva características del primer AP representado en
la curva ‘v’ en la Figura 33. En la segunda gráfica, Figura 49, obtenemos la curva de respuesta
ante un impulso menor a ‘Vcrit’ en el cual observamos que nuestra gráfica toma como valor
mayor la asignación de 0.1 V, el cual fue introducido en la condición inicial de nuestro sistema.
Una vez obtenida la representación de un AP bajo la representación de la curva ‘v’,
mediante nuestro algoritmo definido en Karma, debemos visualizar que es lo que sucede con las
funciones ‘f’ y ‘s’, respectivamente, cuando tenemos los valores de voltaje introducidos para los
casos anteriores, es decir cuando se presenta un voltaje mayor a ‘Vcrit’ y para un voltaje menor a
este. Para lo cual, en una primera instancia, introduciremos los mismos valores iniciales
presentados para un voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’ donde observaremos gráficamente las variables ‘f’
y ‘s’ por separado, ver Figuras 50 y 51, respectivamente.
Como se observó anteriormente para obtener la representación gráfica de una variable de
forma individual debemos utilizar el número de su posición en el que se ubica dentro de la matriz
donde se almacenó, en el caso anterior se utilizo ‘plot (solf (1,:))’, debido a que la variable a
observar era ‘v’ y esta se ubica en la posición x(1) de la matriz ‘solf’, esto está definido en la
ecuación ‘xdot(1)…’, mostrada en la Figura 46 línea 17. Como en este caso las funciones a
visualizar son ‘f’ y ‘s’, debemos utilizar la posición 2 y 3 respectivamente de la matriz ‘solf’. A
continuación se indica como representar de manera individual la función ‘f’, debemos considerar
los mismos parámetros iniciales para v>Vcrit. Se debe contrastar esta gráfica con la presentada en
la Figura 33. b).
-->plot (solf(2,:));
Mientras que para observar la función ‘s’ introducimos la siguiente instrucción, donde al
igual que en la función anterior debemos considerar los mismos valores iniciales con ‘v’>‘Vcrit’.
Esta representación también debe ser contrastada con la Figura 33.c).
-->plot (solf(3,:));
74
Figura 50.- Representación gráfica del nemónico ‘f’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’.
Figura 51.- Representación gráfica del nemónico ‘s’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’.
Mientras que si aplicamos la misma función gráfica a nuestro modelo implementado pero
esta vez utilizamos una variable ‘v’<‘Vcrit’. Obtendremos las siguientes curvas en cada una de
nuestras funciones ‘f’ y ‘s’, ver Figura 52 y Figura 53, respectivamente.
75
Como se puede apreciar la representación gráfica presenta un valor igualitario de ‘f=1’, lo
cual nos demuestra que nuestra función ‘f’ no sufre variaciones cuando el valor de voltaje, que se
está ingresando, es menor a ‘Vcrit’. Ante lo cual al momento de ingresar un valor para ‘v’ que no
satisfaga la condición de superar dicho voltaje, nuestra función nemónica ‘f’, que permite
observar una representación de la compuerta rápida a nivel celular cardiaco, mantendrá sus
parámetros iniciales de manera constante. Mientras que para nuestra función ‘s’ sucede la misma
situación, en la cual mantendrá nuestro valor inicial el cual fue definido en x0 en la consola de
Scilab, se mantiene constante a lo largo del tiempo.
Figura 52.- Representación gráfica de la función nemónica ‘f’ con ‘v’< ‘Vcrit’.
Figura 53.- Representación gráfica de la función nemónica ‘s’ con ‘v’<‘Vcrit’.
76
Una vez que hemos comprobado que nuestra función implementada mediante el editor de
texto de Scilab, denominada Karma, nos permite obtener las mismas respuestas presentadas en el
Capítulo 4 en la Figura 33, para el primer potencial de acción de esa secuencia, debemos
visualizar como se relacionan entre ellas en un impulso normal, ver Figura 54. Esto nos permite
tener una referencia de cómo deben interactuar las tres funciones en el momento en que se
introduzca una serie de impulsos cíclicos, o bien cuando la frecuencia varíe generando una
extrasístole, la cual corresponde a una situación de excitación no cíclica y de diferente duración
temporal a un impulso normal. Gracias a las extrasístoles podremos observar el comportamiento
del modelo de potencial de acción, ya que analizaremos las variaciones que se producen entre un
potencial de acción normal y otro posterior generado por medio de una extrasístole.
Figura 54.- Superposición de las Representaciones gráficas de las tres funciones implementadas
mediante nuestra función Karma para un único impulso. Las curvas se representan de acuerdo a
colores que son asignados a cada función en este caso ‘v’ es azul, ‘f’ es verde mientras que ‘s’ es
de color rojo.
77
VI.3.- Introducción de una serie de impulsos en el sistema y su respuesta.
Una de las principales funciones que debemos desarrollar para visualizar lo que sucede
con dos AP generados de forma diferente, uno por repetición cíclica mientras que el otro por una
extrasístole, es la introducción de una serie de impulsos dentro de nuestro sistema a modo de
representar las condiciones normales de los impulsos cardiacos. Este tipo de representación se
observa en la Figura 33, donde cada una de las variables a implementar ‘v’, ‘f’ y ‘s’, son
presentadas mediante una serie de impulsos con lo que se genera una cadena cíclica de cada una
de las curvas características, en el caso de cada variable.
Para poder generar esta introducción de impulsos dentro del sistema, configurado
mediante ecuaciones diferenciales, debemos desarrollar otro algoritmo que nos permita realizar y
obtener una repetición cíclica, en una primera instancia, de las respuestas observadas
anteriormente. Para lo cual nuevamente utilizamos nuestro editor de texto de Scilab en el cual
introducimos nuestra nueva función la cual llamaremos micromacro, ver Anexo 1, A.2. En
definitiva esta nueva función nos permitirá ingresar una determinada cantidad de impulsos,
definidos por el usuario del algoritmo, dentro del modelo los cuales deben responder a las
ecuaciones vistas anteriormente además de ser capaz de visualizar las respuestas a estos
impulsos.
Para comenzar a definir la función utilizaremos la variable de entrada ‘Qp’, la cual
representara nuestra serie de impulsos, que se definirá en la consola de Scilab. Mientras que la
salida del sistema quedara definida como ‘solf’, ver Figura 55.
Figura 55.- Definición de la función micromacro con entrada ‘Qp’ y salida ‘solf’. Carga de la
función Karma ubicada en la dirección indicada entre el paréntesis.
78
A la vez para utilizar nuestro modelo anteriormente implementado como Karma debemos
cargar esta función al inicio de este nuevo algoritmo, de modo de obtener una respuesta de
acuerdo al modelo que se ha implementado.
Una vez introducido nuestro parámetro de entrada al sistema que, en este caso,
corresponde a ‘Qp’ debemos definir nuestro nuevo algoritmo y sus parámetros iniciales que
utilizaremos en la evaluación de este. Para este propósito definimos las condiciones iniciales x0,
que le asignaremos, a la función micromacro para evaluar la función Karma, definida
anteriormente. A diferencia del modelo anterior esta vez las condiciones iniciales, para la
evaluación, de nuestras ecuaciones se establecerán en el editor de texto de Scilab donde se
configurará el algoritmo, ver Figura 56.
Figura 56.- Definición de los valores iniciales que serán utilizados en la función
micromacro para la evaluación de Karma para más de un impulso.
Como se puede apreciar se utilizan exactamente los mismos valores iniciales de nuestra
función Karma, pero se puede observar que en la línea 9 existe un nuevo parámetro definido
como ‘fe’ el cual corresponde a la frecuencia de muestreo. Este parámetro ayudara a reemplazar
al valor numérico definido como un periodo de tiempo de evaluación de la ecuación, en la
solución de la función Karma, ya que nos permitirá obtener este tiempo en función de la
frecuencia de muestreo, a modo de simplificar modificaciones posteriores que se deseen hacer en
la experimentación del modelo, ver Capítulo VII.
79
Cuando ya se han ingresado los valores iniciales, con los que responde nuestra función
Karma, debemos de comenzar la implementación de nuestro algoritmo, el cual nos permitirá
obtener las secuencias de impulsos necesarios para realizar la experimentación del modelo, ver
programación del algoritmo en la Figura 57. Este algoritmo debe permitirnos observar, mediante
una función lógica, la respuesta para cada uno de los impulsos que nosotros le ingresemos como
variable en ‘Qp’. A la vez debe permitir visualizar las modificaciones, si están existen o no, en la
respuesta obtenida cuando se ingresen valores que generen variaciones en la frecuencia cíclica de
entrada, esto se observara en la experimentación del capítulo VII.
Figura 57.- Programación del algoritmo micromacro, mediante la resolución de la función
Karma.
En este algoritmo podemos observar que utilizamos un bucle de repetición ‘for’ el cual
dependerá única y exclusivamente de la extensión que posea nuestra entrada ‘Qp’. Además se
define que la frecuencia de muestreo que utilizaremos, en este modelado, será variada de manera
independiente de nuestra entrada al sistema. De modo que la frecuencia de muestreo ‘fe’, definida
anteriormente, será el parámetro de variación de nuestro muestreo en la respuesta ‘solf’. Esto
queda bastante claro al observar que nuestro tiempo de muestro, para la solución de nuestra
ecuación diferencial definida en Karma, se basa directamente en la frecuencia dependiente de
nuestros impulsos de entrada ‘fin’, y de nuestro parámetro de frecuencia de muestreo ‘fe’.
80
Al mismo tiempo dentro de este algoritmo se deben definir los parámetros de evaluación
de nuestra ecuación diferencial ordinaria, con lo cual obtendremos la solución de esta para todos
los impulsos ingresados a nuestro sistema. Para tal motivo es que ingresamos a nuestro algoritmo
una variable ‘sol’ la cual será nuestra matriz solución de nuestra función Karma. Una vez
obtenido nuestro resultado, este debe ser almacenado en su completa extensión para lo cual se
designa una nueva matriz, de igual tamaño que la solución de nuestra ecuación, esto queda
establecido en la línea 17 de nuestro algoritmo.
Mediante los parámetros de almacenamiento de la respuesta, es decir ‘n’ y ‘m’,
redefiniremos nuestra extensión de las funciones ‘f’ y ‘s’, lo cual queda estipulado en las líneas
18 y 19 de nuestro algoritmo, con lo cual obtendremos la respuesta para cada una de las
funciones en relación a la extensión de la entrada al sistema, es decir para cada impulso de
entrada obtendremos una respuesta en cada una de las variables. Una vez obtenida esta respuesta
la debemos almacenar en nuestra salida del sistema la cual, como se indico anteriormente, está
determinada como ‘solf’.
Para visualizar el comportamiento de nuestro algoritmo debemos de cargar nuestra
función mediante la consola de Scilab, además debemos de introducir una serie de impulsos
separados cada cierto tiempo, el espacio muestral en este caso será de 700 muestras. Debemos de
saber que este valor que se utilizara de 700 muestras corresponde al valor de un ciclo normal,
muestreado, de funcionamiento cardiaco BCL.
Entonces una vez determinadas las condiciones que debemos establecer en nuestra nueva
función nos centramos en la consola de Scilab e introducimos los siguientes comandos:
-->getf('j:\modelos tesis\micromacro.sci');
-->Qp= 1:9;
-->Qp= Qp*700;
-->solf=micromacro(Qp)
81
Al igual que en la ejecución del programa Karma lo primero que se debe realizar es cargar
el programa micromacro desde la dirección en la que está almacenado. Luego se define Qp, que
como se indico anteriormente son la cantidad de excitaciones que se le desea introducir al modelo
para su evaluación, en este caso se ingresan 9 valores que van desde el valor 1 al 9, que además
son ubicados en ese orden en la matriz Qp. En la tercera instrucción lo que se realiza es ubicar
cada 700 muestras de separación entre si los impulsos de excitación establecidos anteriormente
desde el 1 al 9. Finalmente al definir solf lo que hacemos es que se ejecute la resolución del
algoritmo micromacro y que se almacene en la memoria solf.
Lo primero que debemos observar, al ejecutar la resolución de este algoritmo, es que
sucede con cada una de las tres variables dentro del modelo. Para tal efecto debemos de analizar
cada una de estas variables por separado, es decir ‘v’, ver Figura 58, ‘f’, ver Figura 59 y ‘s’, ver
Figura 60. Para luego analizar las tres variables juntas y observar su interacción entre sí, ver
Figura 61, estableciendo si responde de igual manera que la presentada en la Figura 54.
VI.3.1.- Variable v.
Para poder observar la curva de la variable ‘v’, debemos recurrir a la función plot y
utilizar el comando necesario para visualizar solo una de las variables a la vez, el cual fue visto
anteriormente en la evaluación de la función Karma.
-->plot (solf(1,:));
Figura 58.- Respuesta de micromacro para la variable ‘v’.
82
Como se puede observar la curva obtenida del algoritmo configurado, micromacro,
responde de manera precisa a 700 muestras del impulso anterior, para cada uno de los diferentes
impulsos establecidos, generando la misma respuesta obtenida a partir de nuestro modelo Karma
para el primer impulso establecido de acuerdo a las condiciones iniciales del sistema, ver Figura
48.
VI.3.2.- Variable f.
Para visualizar la variable ‘f’ de manera independiente debemos recurrir a la misma
instrucción con la que se visualizó en la evaluación de la función Karma, instrucción que
corresponde a la siguiente.
-->plot (solf(2,:));
Figura 59.- Respuesta de micromacro para ‘f’.
Se observa que la curva obtenida del algoritmo configurado, micromacro, responde de la
misma manera, para cada uno de los impulsos separados, unos de otros, a 700 muestras, que para
el primer impulso generando a partir de la respuesta de la evaluación de Karma frente a las
condiciones iniciales de nuestro sistema, ver Figura 50.
83
VI.3.3.- Variable s.
Para visualizar esta función ‘s’ de la misma manera que las anteriores, es decir de forma
independiente, debemos de realizar la misma instrucción para la función plot que la realizada
para la visualización de esta variable en la evaluación de Karma.
-->plot (solf(3,:));
Figura 60.- Respuesta de micromacro para ‘s’.
Se puede apreciar, al igual que en las dos variables anteriores, que la curva obtenida del
algoritmo configurado, micromacro, responde de la misma manera para cada uno de los impulsos
ubicados a 700 muestras de distancia entre ellos, que para el primer impulso generando a partir de
la respuesta de la evaluación de Karma frente a las condiciones iniciales de nuestro sistema, ver
Figura 51.
VI.3.4.- Superposición de las tres variables de estado.
Una vez observada las tres variables de forma independiente, en donde observamos que
responden de la misma manera que en la evaluación de la función Karma, para los parámetros
iniciales. Debemos visualizar que sucede con la relación de las tres variables, ver Figura 61, y
cómo interactúan entre ellas, ver Figura 62, y si se mantiene exactamente la misma interacción
que la presentada en la Figura 54.
84
Figura 61.- Superposición de las variables ‘v’, de color azul, ‘f’, de color verde, y ‘s’, de color
rojo. Se aprecia la continuidad entre los impulsos, de forma, que se mantienen separados cada
700 muestras entre ellos.
Figura 62.- Interacción entre las tres variables evaluadas y presentadas en micromacro.
Se aprecia que la relación presentada en la Figura 54 se mantiene exactamente igual en
cada uno de los impulsos presentados en el algoritmo micromacro, por que debemos observar que
es lo que sucede cuando se inserte una extrasístole al sistema, tema que se observara en la
experimentación del modelo presentado en este Capítulo VII.
85
CAPITULO VII
EXPERIMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR ATRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB.
86
VII.1.- Experimentación del modelo implementado en Karma y Micromacro.
Como se observó, en el capitulo anterior, mediante la implementación del algoritmo
micromacro podemos apreciar que es lo que sucede, explícitamente, para cada uno de los
estímulos introducidos en el modelo implementado y en sus variables de estado. De esta forma
podemos determinar su normal funcionamiento, pero ahora debemos visualizar que es lo que
sucede cuando se introducen impulsos no cíclicos que generan una respuesta en un tiempo
diferente a los otros impulsos, este tipo de impulsos no cíclicos fueron definidos como
extrasístoles.
Para poder visualizar este tipo de respuesta, frente a los impulsos no cíclicos, utilizaremos
el mismo número de impulsos de entrada, utilizado anteriormente, pero a la vez introduciremos,
en el último de estos, una extrasístole con un BCL menor que los demás y menor a 250 muestras,
aprox., de forma que produzca el efecto de no alcanzar a repolarizar nuestro modelo. De esta
manera generaremos una variación en la respuesta de cada una de las variables la cual debe ser
contrastada con las curvas características observadas en la implementación de este modelo, ver
Capítulo VI.
Comenzaremos trabajando en la consola de Scilab, de la misma manera en que se realizo
anteriormente, cargando la función micromacro e introduciendo los impulsos del 1 al 9, dentro de
la variable Qp, separándolos uno de otro por 700 muestras para lo cual introducimos las
siguientes instrucciones
-->getf('j:\modelos tesis\micromacro.sci');
-->Qp= 1:9;
-->Qp= Qp*700;
Como micromacro solicita que se introduzca a la entrada una variable ‘Qp’, la cual es
definida en la consola como un impulso constante separado por 700 muestras entre cada uno de
ellos, debemos de introducir una extrasístole redefiniendo la entrada al sistema, pero
87
manteniendo los mismos parámetros del algoritmo como si fuera solo introducida la variable
‘Qp’, es decir crear una variable compuesta que contenga los elementos determinados en ‘Qp’
además de la extrasístole introducida, al final de los impulsos. Para lo cual debemos escribir los
siguientes comandos en la consola de Scilab.
-->solf= micromacro ([Qp 6350]);
Una vez introducida la extrasístole debemos centrarnos en el análisis gráfico de la
respuesta que se le entrega a cada una de nuestras funciones, es decir, ‘v’, ‘f’ y ‘s’, ver Figura 63.
Para lo cual generamos la respuesta gráfica para todo el intervalo superponiendo los resultados,
de modo de obtener la relación entre las variables, por lo cual utilizamos la siguiente instrucción
-->plot(solf’);
Figura 63.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en cada una de
sus variables, frente a una extrasístole que no permite la repolarización celular. Funciones
definidas de acuerdo al color ‘v’ = azul, ‘f’ = verde y ‘s’ = rojo.
Se puede apreciar, claramente, una variación en los valores del último pulso presentado en la
curva de la Figura 63, donde cada una de las funciones establecidas no alcanza a cumplir con su
88
ciclo normal, o repolarización en el caso celular, como el presentado en la Figura 62.
Debemos observar que dicho efecto se produce única y exclusivamente por que se introduce un
pulso diferente a los vistos anteriormente, el cual no corresponde a una manifestación normal
cíclica de excitación, sino más bien a una anomalía en el sistema que es representada en conjunto
con las respuestas correctas.
Así mismo como se introducen extrasístoles a niveles menores que los de muestreo entre
un impulso y el otro, a la vez debemos, representar una respuesta grafica para las extrasístoles
mayores a las 250 muestras definidas anteriormente, ver Figura 64. Para tal motivo debemos de
introducir, en la consola de Scilab, un nuevo valor de extrasístole en nuestra entrada ‘Qp’ de la
función micromacro, pero manteniendo constantes los valores ingresados anteriormente, entonces
escribimos las siguientes instrucciones para su resolución numérica y su visualización gráfica.
-->solf=micromacro([Qp 6500]);
-->plot(solf’)
Figura 64.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en cada una de
sus variables, frente a una extrasístole que permite la repolarización celular. Funciones definidas
de acuerdo al color ‘v’ = azul, ‘f’ = verde y ‘s’ = rojo.
89
Se observa claramente que nuestro sistema vuelve a la normalidad y que nuestras
funciones realizan su recorrido de forma completa frente a este tipo de entrada. Por lo tanto
podemos ratificar que nuestro modelo micromacro funciona de forma correcta, tanto para la
implementación de un modelo de varios impulsos normales o bien con variaciones que se
producen al momento de introducir la extrasístole en el sistema.
De esta forma ya hemos podido generar un algoritmo que nos responde de manera
correcta frente a cada tipo de impulso con extrasístoles, mayores y menores que el espacio
muestral mínimo necesario para su normal desarrollo. Ahora debemos observar de qué manera
interactúan los intervalos diastólicos, en conjunto, con los potenciales de acción establecidos
mediante la extrasístole introducida en el último espacio de la secuencia de impulsos presentados.
Para tal motivo debemos configurar un sistema que nos permita ingresar una secuencia de
extrasístoles, las que se anexen en la última posición de cada una de las secuencias introducidas.
Esto nos permitirá observar los cambios realizados en los valores establecidos, lo cual lo
interpretaremos como la relación existente entre el intervalo diastólico y el potencial de acción
precedente, con lo cual deberíamos acercarnos a la curva de restitución planteada en la Figura 34.
De esta manera podríamos determinar si nuestro algoritmo basado en [1] satisface las condiciones
necesarias y se puede establecer como un modelo de potencial de acción celular basado en tres
variables de estado.
VII.2.- Algoritmo excitación, curva de restitución y representación gráfica en dos
dimensiones, bajo el protocolo S1-S2.
Para poder desarrollar una solución concreta a la restitución celular, centrada en nuestro
modelo, debemos de entender el protocolo de análisis que se utilizará para obtener los datos de
comparación entre una secuencia introducida y otra, en este caso se utilizara el protocolo S1- S2.
El protocolo de análisis de señales S1-S2 nos permite observar las variaciones que se
producen en una de las señales visualizadas y como, esta misma señal, repercute en el valor de la
90
otra [2]. Este análisis se utiliza principalmente en las señales de tipo cardiacas esto se debe a que
en el ritmo cardiaco, una vez terminado un potencial de acción y después de que se establece la
repolarización completa a nivel celular, se observa que el potencial de acción que viene a
continuación de anterior, posee cierto grado de memoria con respecto al estimulo anterior. De
este mismo punto surge la necesidad de establecer, mediante el algoritmo anterior, una función
que nos permita implementar de forma gráfica los intervalos diastólicos (DIn) presentados por la
secuencia de impulsos introducidos versus la duración del potencial de acción precedente a este
(APDn-1), pero siempre centrándonos en el análisis de lo sucedido en la extrasístole introducida al
final de la secuencia de impulsos de excitación.
Para establecer el algoritmo que permita observar los parámetros anteriormente definidos,
debemos de centrarnos en la cantidad de secuencias e impulsos a introducir. Por lo tanto primero
determinaremos un nombre para esta nueva función a la cual llamaremos cures, por curva de
restitución, donde lo primero que debemos definir, nuevamente, son las entradas y salidas de
nuestro sistema, ver Figura 65 y/o Anexo 1, A.3. En este caso nuestras entradas al sistema son
representadas por dos constantes ‘Qp’ y ‘Es’, las que corresponden a los impulsos de excitación
del modelo y a las extrasístoles introducidas al sistema, respectivamente. Mientras que las salidas
APD y DI, indicadas en la misma Figura 65, corresponden a las siglas entregadas a la duración
del potencial de acción y al intervalo diastólico respectivamente.
Figura 65.- Definición de las entradas y salidas de la función cures, con la cual se desea encontrar
la relación de restitución celular.
Se puede observar, a la vez, que para comenzar a trabajar el nuevo algoritmo cures
debemos cargar la función micromacro, ya que es esta última la que cumple la función de aplicar
91
una secuencia de impulsos y extrasístoles al modelo implementado en Karma. Por lo tanto si
definimos que se introducirá una serie de impulsos acompañando de una extrasístole, lo primero
que debemos hacer es definir nuestros valores de ‘Qp’ y ‘Es’, esto lo hacemos en el mismo editor
de texto en el que se realizara el algoritmo, ver Figura 66, o bien dejarlos determinados en la
consola de Scilab. Los valores que se asignaran para el desarrollo del algoritmo son los
siguientes.
Qp= 1:9;
Qp= Qp*700;
Es= [120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100
99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77]*7/2 + Qp
(length(Qp));
Estos valores se utilizaran para efectos de cálculo, ya que la idea central del modelo es
que se pueda utilizar introduciendo las secuencias de excitación y las extrasístoles mediante la
consola de Scilab por el usuario final.
En el valor observado de la variable ‘Es’ podemos darnos cuenta que existe un factor de
multiplicación de ‘7/2’, el cual permite obtener un valor de impulso ubicado en el espacio
muestral de respuesta de nuestro modelo ‘420’ y ‘270’ muestras, respectivamente entre el valor
mayor y el menor. Mientras que el término ‘+ Qp (length(Qp))’ es para indicar que cada una de
las posiciones que se están definiendo, además de estar en el espacio muestral que corresponda,
están ubicadas a continuación del último impulso establecido en ‘Qp’.
Figura 66.- Introducción de los valores definidos, anteriormente, para ‘Es’ y ‘Qp’ en la función
cures.
92
La cantidad de extrasístoles introducidas en estas variables es bastante alta, debido a que
para obtener una relación de restitución celular debemos de observar mucho más que un punto
para visualizar la curva de forma refinada. Es por esto que a diferencia del modelo micromacro,
donde se utilizo solo una extrasístole, usamos un número total de 44 de extrasístoles, el cual es un
número considerablemente mayor.
Una vez determinadas nuestras condiciones de entrada al sistema debemos de
confeccionar el algoritmo basándonos directamente en lo que necesitamos, que en este caso es,
obtener las duraciones de cada una de nuestras variables de potencial de acción e intervalo
diastólico, para cada una de las extrasístoles introducidas al sistema.
Para la confección del algoritmo, ver Figura 67, se utiliza un pulso extra, en la
introducción del BCL, ya que por efecto de cálculo de micromacro se necesita restar un impulso a
la secuencia introducida. Por lo tanto este se definirá directamente en el algoritmo siendo el
último impulso introducido después de la extrasístole, como consideración, ya que solo se usa
para efecto de cálculo y no afecta las mediciones, se le otorgara una posición distante mayor a
450 muestras y se representara por ‘Pf’, esta se define en la línea 12 de la Figura 67.
Figura 67.- Confección del algoritmo cures, descripción de solución e introducción de función
auxiliar medición.
93
Como se puede observar en la Figura 67 el bucle de repetición for se crea para toda la
extensión de ‘Es’, donde se define un BCL que contiene la secuencias de impulsos establecida en
‘Qp’ además de cada una de las ‘Es’ introducidas, pero una por cada secuencia introducida,
además de contener el ‘Pf’. Como se puede apreciar lo primero que realiza este nuevo algoritmo
es el desarrollo de la solución de micromacro para cada una de las cadenas de impulsos
introducidos anexado a una extrasístole.
Una vez almacenada la respuesta para la variable ‘v’, línea 17 de la Figura 67, debemos
concentrarnos en el análisis de la comparación y medición de nuestras variables a encontrar, que
en este caso son APD y DI. Para tal motivo definimos una nueva función la cual posee como
entrada al sistema una nueva extensión la cual es definida por ‘BCL2’, en la cual ocupamos el
mismo ‘BCL’ anterior solo que restamos las últimas dos posiciones y nuevamente volvemos a
introducir la extrasístole. Además la otra entrada al sistema, que posee, es la solución ‘S’ del
algoritmo micromacro, definido en el encabezado del bucle de repetición for. Mientras que las
salidas observadas en esta función son ‘A’, ‘fin’, ‘prueba’, ‘D’. Los cuales corresponden al valor
del APD, repolarización del potencial de acción, inicio del potencial de acción, y el valor de DI,
respectivamente. Una vez identificadas las entradas y las salidas de la función medición debemos
de determinar el algoritmo de implementación de la función, ver Figura 68.
Figura 68.- Definición del algoritmo de implementación de la función auxiliar medición,
complementario a cures.
94
En el algoritmo se define un nuevo bucle de repetición for, para cada uno de los términos
resultantes de la diferencia existente entre el ‘BCL2’ y el primer impulso ‘Qp(1)’, impulso de
referencia, y dentro del mismo un ciclo while. A la vez definimos una condición if en la cual
establecemos que cuando la solución ‘S’, obtenida anteriormente en la muestra indicada como la
suma entre el valor de prueba mas el contador, posea un valor en la curva ‘v’ el cual sea menor o
igual al valor determinado como 0.0015, ya que el modelo no llega a cero como en la forma ideal,
cambie las condiciones iniciales establecidas. Con lo cual se cierre el bucle while y se le asigna
un valor de indicador ‘ind’ a ‘fin’ con lo cual tenemos el valor de la muestra en la que se cumple
la condición de repolarización.
Una vez creado el algoritmo de obtención del instante en que se cumple la condición de
repolarización, o en forma teórica nuestro valor de ‘v’ es menor o igual al valor de comparación,
podemos obtener la medida de nuestros espacios muestrales en los que se encuentran APD y DI.
Esto lo realizaremos generando una diferencia entre los valores que ya manejamos, como lo es la
variable ‘prueba’ con la variable ‘fin’, ver en la líneas 40 y 41 de la Figura 68.
Una vez obtenida la función auxiliar y definidas nuestras variables ‘A’ y ‘D’, debemos
centrarnos en los valores que nos interesan para obtener la curva de restitución ,que en este caso
corresponden a la última posición de cada uno de estas variables, ver línea 20 y 21 de la Figura
67. Con todas las salidas definidas, mediante funciones, y con las entradas ya introducidas solo
nos queda simular el modelo, de forma de observar si responde de la manera indicada frente a las
extrasístoles y si nos permite observar la relación de restitución celular.
Para realizar dicha simulación comenzaremos por cargar la función la función
implementada como cures y luego aplicaremos la resolución de esta función, esto lo realizaremos
mediante las siguientes instrucciones insertadas en la consola de Scilab.
--> getf ('j:\modelos tesis\cures.sci');
--> [APD,DI]= RC (Qp,Es);
95
La última instrucción nos entrega los siguientes valores para las salidas ‘APD’ y ‘DI’,
estos valores se muestran a continuación en la Tabla 6.
Tabla 6.- Valores obtenido de la simulación de cures para visualizar la relación de restitución
celular entre APD y DI.
Extrasístole N° APD DI
23 82 257
24 78.5 257
25 75 257
26 71.5 257
27 68 257
28 64.5 256
29 61 256
30 57.5 256
31 54 256
32 50.5 255
33 47 255
34 43.5 255
35 40 254
36 36.5 254
37 33 254
38 29.5 253
39 26 253
40 22.5 253
41 19 252
42 15.5 252
43 12 251
44 8.5 251
Extrasístole N° APD DI
1 159 257
2 155.5 257
3 152 257
4 148.5 257
5 145 257
6 141.5 256
7 138 256
8 134.5 256
9 131 256
10 127.5 255
11 124 255
12 120.5 255
13 117 254
14 113.5 254
15 110 254
16 106.5 253
17 103 253
18 99.5 253
19 96 252
20 92.5 252
21 89 251
22 85.5 251
96
Los valores presentados en la Tabla 6, para APD y DI, son valores numéricos muéstrales,
esto quiere decir que están en cantidades de muestras, por lo que debemos trasladarlos a
milisegundos. Para realizar dicha conversión debemos de multiplicar por el numero inverso al
muestreo que realizamos en el algoritmo micromacro, como este fue de 875 debemos de
multiplicar cada una de las variables, APD y DI, por el valor de 8/7, de esta forma nuestros
valores se quedaran expresados en mseg.
Si multiplicamos de forma directa podemos apreciar que el valor más alto de APD, es
decir, donde el espacio muestral que se insertó permite que se realice la repolarización, se acerca
bastante a los 300 mseg., ver Figura 69, lo cual nos entrega un parámetro correcto. Debemos
recordar siempre que debemos realizar lo mismo para DI. Debemos de recordar que un potencial
de acción teóricamente debería de durar 300 mseg. desde su despolarización hasta la
repolarización, y eso es lo que se nos indica en la Tabla 6, pero en muestras.
Figura 69.- Multiplicación de APD por el factor de 8/7 para transformar las muestras a mseg.
97
Una vez realizada esta conversión podremos realizar la gráfica de nuestra relación de
restitución, teniendo los ejes coordenados en mseg., como se explico anteriormente, la
representación de esta relación de restitución se conoce como curva de restitución celular, la cual
fue presentada en la Figura 34. Esta, además, corresponde a la grafica de DIn v/s APDn-1, para
poder observar el comportamiento de esta relación de restitución graficaremos la curva obtenida
mediante nuestro algoritmo cures, ver Figura 70.
Figura 70.- Representación gráfica de la relación de restitución, curva de restitución,
implementada mediante cures y los algoritmos presentados en este trabajo.
Podemos apreciar que la curva toma cierta forma con la cual no se logra determinar de
buena manera, por la continuidad de la línea entre un punto y otro, la curvatura que se obtiene de
la gráfica. Para evitar esto visualizaremos la misma curva pero con una representación diferente,
para lo cual utilizaremos el siguiente comando que nos permite obtener la curva en forma de
puntos cuadrados, con lo cual obtenemos la curva presentada en la Figura 71.
98
-->plot2d(x,y,-4).
Esta última instrucción lo que indica es que se represente en la ventana grafica los ejes x e
y de la función, pero que cada uno de los puntos de la curva sean representados mediante un
cuadrado, esta instrucción se le asigna en la tercera posición con el -4. Cabe señalar que además
de este tipo de representación existen varias más para la comodidad en la representación de
curvas.
Figura 71.- Representación grafica de la curva de restitución mediante puntos, obtenida mediante
cures, permitiendo una mejor aproximación a la curva de restitución teórica.
Como se puede apreciar, incluso a simple vista, el modelo implementado en conjunto con
el algoritmo configurado nos permite obtener una curva de restitución bastante cercana y
aproximada a la teórica, contrastar con la Figura 34. Por lo que podemos decir que el modelo de
potencial de acción a tres variables de estado, que se deseaba desarrollar, ha sido realizado con
éxito, ya que satisface de buena manera dicha relación, con lo cual podemos obtener una
visualización de las variaciones que se producen en el sistema, con la introducción de impulsos
eléctricos ubicados en diferentes frecuencias tanto cíclicas como no cíclicas.
99
CONCLUSIONES
100
Se ha podido realizar una investigación basada en la interacción de las ciencias
biomédicas en conjunto con las ciencias de la ingeniería demostrando que, con la interacción que
se plantea, entre la teoría establecida en la biología y la confección de algoritmos desarrollados
mediante el trabajo de ingeniería nos permite obtener mejores resultados, en el análisis de ciertos
campos, relacionados con las dinámicas eléctricas a nivel corporal, o como en este caso
cardiacas, que solo abarcando un área del conocimiento. Esto a la vez nos permite obtener una
nueva perspectiva a cerca del problema acercándonos siempre mas y mas a una respuesta exacta a
las interrogantes planteadas en las diferentes áreas desarrollo.
Las células son un objeto de estudio muy importante debido a que dependerá
exclusivamente de las diferentes condiciones en las que estas se encuentren el cómo repercutirán
a un nivel mayor, como es el caso de un organismo viviente. Se ha podido visualizar la
interacción de las concentraciones iónicas determinan el comportamiento eléctrico de nuestras
células cardiacas, lo que a la vez nos ha permitido caracterizarlas de forma matemática para
poder obtener un modelo del potencial acción a tres variables de estado aproximando, estas
últimas, a la interacción entre las compuertas iónicas, rápida y lenta, y los gradientes eléctricos
que estos iones poseen.
El modelo de potencial de acción celular nos ha permitido observar cómo se comportan
las diferentes dinámicas celulares y como estas inciden en el normal funcionamiento de nuestro
cuerpo, las diferencias existentes en estas y que nos permiten distinguir diferentes respuestas en
nuestro organismo son las variaciones temporales en los ciclos cardiacos. Donde estos últimos
deben estar de presentes de forma cíclica y de manera constante ya que ante cualquier variación
que se les presente, adelanto, atraso o variación en la duración de un impulso, genera
modificaciones a niveles microscópicos y que repercuten a niveles macroscópicos o corporales y
se manifiestan mediante estados anormales en las dinámicas cardiacas, como es el caso de las
arritmias.
Para la realización de la implementación del modelo se ha utilizado el software de
programación numérica Scilab debido a que es de distribución gratuita, free software foundation,
además de que permite trabajar los algoritmo sin mayores inconvenientes ya que este software es
101
de fácil manejo, posee una interface de usuario bastante agradable la cual no presenta
complejidades en el manejo de variables o funciones del programa. A diferencia de otros
software de simulación numérica que requieren de un mayor grado de manejo en sistemas de
programación para su utilización.
Para configurar el algoritmo y obtener una curva refinada en la grafica, tanto en la
relación de restitución como en las variables individuales visualizadas, debemos de contar con
una frecuencia de muestreo bastante alta, o lo que tolere el software, ya que como es sabido a
mayor cantidad de muestras obtenemos un mayor número de puntos para la representación
grafica. En este caso el algoritmo responde de manera correcta para cada una de las frecuencias
de muestreo menores a 875, pero no así para las mayores donde no obtenemos respuesta y se nos
indican errores. Por lo que podemos indicar que nuestro algoritmo posee su mayor grado de
fidelidad, con respecto a las curvas teóricas presentadas en la investigación de Tolkacheva-
Schaeffer, en el valor de 875.
La curva obtenida del modelo implementado micromacro nos permite obtener una
respuesta similar y muy próxima a la presentada en la investigación teórica de Tolkacheva-
Schaeffer, no obstante al ser una respuesta concreta y real, desarrollada mediante una
programación numérica, no cumple los mismos parámetros teóricos que debería representar. La
curva observada, v, que se utiliza para obtener los instantes de inicio y término de los potenciales
de acción y los intervalos diastólicos, lo cual se representa en el trabajo mediante el algoritmo
cures, no retorna al cero teórico que debería de tener presente el potencial de acción al finalizar
para indicar que comienza el intervalo diastólico. Para dar solución a este problema se utiliza una
función que nos permita observar un valor menor o igual a 0.0015, indicado en el algoritmo antes
mencionado, con lo cual presentamos un valor bastante cercano y próximo al valor de cero. Con
lo cual se puedo desarrollar sin problemas el algoritmo el cual entrega una respuesta muy
próxima a la analizada en forma teórica, para la relación de restitución celular.
El algoritmo desarrollado al momento de ingresar las variables de impulsos de excitación
e indicar un determinado número de extrasístoles para visualizar su relación de restitución
celular, debemos de ejecutar la función cures mediante la consola de Scilab. El tiempo en el que
102
se obtendrá la respuesta a las variables medidas en el algoritmo dependerá del número de
extrasístoles introducidas y del procesador del equipo en el que se esté ejecutando el programa. A
mayor número de extrasístoles mayor será el tiempo de espera y de ejecución del programa, esto
es debido a la gran cantidad de bucles de lazo cerrado que debe de hacer en el barrido de inicio y
termino de los potenciales de acción y de los intervalos diastólicos. Mientras que si ejecutamos el
programa con un número reducido de extrasístoles el programa responde de forma rápida. El
problema se crea en el momento de observar la relación de restitución donde una curva con 10
puntos a visualizar es mucho más inexacta que una curva con un número mayor a 30 puntos de
visualización. Por lo que se recomienda que para la utilización del algoritmo se utilice un número
bastante alto de extrasístoles de modo de obtener una curva bastante definida y refinada al
momento de graficar la relación de restitución celular.
Debemos rescatar la importancia de este modelo implementado para una posterior
utilización en investigaciones relacionadas con el mejoramiento de algoritmos ya establecidos u
otros que deseen observar el comportamiento cardiaco de los diferentes individuos en la
prevención y tratamiento de enfermedades cardiovasculares como las mencionadas anteriormente
arritmias, fibrilación ventricular, entre otras. La importancia que posee el tratamiento, terapia o
prevención de estas enfermedades o estados cardiacos es principalmente para reducir la tasa de
mortalidad establecida por este tipo de enfermedades, así como también mejorar la calidad de
vida de los individuos que las poseen.
103
BIBLIOGRAFIA
104
[1] Analysis of the Fenton – Karma model through an approximation by a one-dimensional map.
E. G. Tolkacheva, et al. 2002.
[2] A two – current model for the dynamics of cardiac membrane. C. C. Mitchell and D. G.
Schaeffer. 2003.
[3] Condition for alternans and stability of the 1:1 response pattern in a ‘‘memory’’ model
of paced cardiac dynamics. E.G. Tolkacheva, et al. 2003
[4] Electrocardiogram-based restitution curve. Computers in Cardiology. Vol. 33. Pág. 493-496,
Valencia, Spain, A. Illanes, et al. 2006.
[5] Determining the effects of memory and action potential duration alternans on cardiac
restitution using a constant-memory restitution protocol. P. Jordan and D. Christini, 2004.
[6] Dynamic restitution of action potential duration during electrical alternans and ventricular
fibrillation, M. Koller, et al. 1998.
[7] Biología molecular de la célula. Tercera edición, Bruce Alberts, et al. Omega S.A 2003.
[8] Minimanual I CTO cardiología, Mcgraw-Hill. Sexta ed. 2005
[9] Tratado de Fisiología Medica, A. Guyton, J. Hall. Décima edición, Mcgraw-Hill, 2001
[10] Introducción a Scilab, H. M. Mora. Univ. Nac. de Colombia, Bogota, 2002.
[11] Fundamentos de Scilab y Aplicaciones v 0.1, Andres A. Caro & Cesar V. Sepulveda.
Licencia de Documentación libre GNU, Free Software Foundation.
105
ANEXO 1
CODIGOS DE IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS TRATADOS.
106
A.1.- Código de fuente del algoritmo Karma mediante Scilab.
function xdot=Karma(t,x)
// valores constantes
tfast= 0.25;
tslow=127;
tung=130;
tfclose=10;
tfopen=18;
tsclose=1000;
tsopen=80;
Vcrit=0.13;
Vsig=0.85;
k=10;
Vout=0.1;
Vfgate=0.13;
Vsgate=0.13;
xdot(1)= -(-(x(2)*Q(x(1))/tfast)-x(3)*((1+tanh(k*(x(1)-0.85)))/2)/tslow + P(x(1))/tung)
xdot(2)= fastgate(x(1),x(2));
xdot(3)= slowgate(x(1),x(3));
////////////////////////////////////////////////////////
function qv= Q(v)
if v > 0.13 then
qv=(v-0.13)*(1-v);
else qv=0;
end
////////////////////////////////////////////////////////
107
////////////////////////////////////////////////////////
function pv= P(v)
if v < 0.1 then
pv=v/0.1;
else pv= 1;
end
////////////////////////////////////////////////////////
function fast=fastgate(v,f)
if v < Vfgate then
fast=(1-f)/tfopen;
else fast=-f/tfclose;
end
endfunction
////////////////////////////////////////////////////////
function slow=slowgate(v,s)
if v < Vsgate then
slow=(1-s)/tsopen;
else slow=-s/tsclose;
end
endfunction
108
A.2.- Código de fuente del algoritmo micromacro mediante Scilab.
function solf=micromacro(Qp)
getf('C:\Users\Felix\Documents\tesis\modelos tesis\Karma.sci')
//valores iniciales
v=0.2;
f=1;
g=1;
solf=[];
fe=875;
for i=1:(length(Qp)-1)
fin=(Qp(i+1)-Qp(i))*(1000/fe);
t=1:1000/fe:fin;
x0=[v,f,g];
t0=1;
sol=ode(x0',t0,t,Karma);
[n,m]=size(sol);
f=sol(2,m);
g=sol(n,m);
solf=[solf sol];
end
endfunction
109
A.3.- Código de fuente del algoritmo cures mediante Scilab.
function [APD,DI,solf,fin,BCL,BCL2]= RC(Qp,Es)
getf('C:\Users\Felix\Documents\tesis\modelos tesis\micromacro.sci')
// valores de evaluación para curva refinada, no implícita que sean valores únicos de solución.
Qp= 1:9;
Qp= Qp*700;
Es=[120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100
99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77]*7/2 + Qp(length(Qp));
Pf= 8400;
for i=1:length(Es)
BCL=[Qp Es(i) Pf];
solf=micromacro(BCL);
S=solf(1,:);
BCL2=[BCL(1:length(BCL)-2) Es(i)];
[A,fin,prueba,D]= medicion(BCL2,S);
// [D]= tramo(BCL2,S);
APD(i)= A(length(A));
DI(i)= D(length(D));
end
endfunction
//////////////////////////////////////
110
////////////////////////////////////////
function [A,fin,prueba,D]= medicion(BCL2, S,Qp)
prueba=BCL2-Qp(1);
for k=1:(length(prueba))
control= 0;
contador= 0;
while control==0
contador=contador +1;
if S(prueba(k)+contador)<=0.0015 then
ind=contador + prueba(k);
control= 1;
end
end
fin(k)=ind;
end
A=fin-prueba';
D=prueba(2:length(prueba))-fin(1:length(fin)-1)'
endfunction