Image Processing & Computer Visionการแปลงขอ้มูลภาพในสองมติิ

Two Dimensional Geometric Transformation

Image Transformation การแปลงขอ้มูลภาพ (Image Transformation) มี

ความจำาเป็นมากในการทำาการประมวลผลภาพ ยกตัวอยา่งเชน่ การทำา Template matching, Shape Matching, Image Search, Generalized Hough Transform

ซึ่งการใช ้Image Transformation นัน้ ใชเ้พื่อต้องการ ทำาการหมุนภาพ, ปรบัตำาแหน่งของภาพ, หรอืเล่ือนภาพ เพื่อใหอ้ยูใ่นตำาแหน่งท่ีเหมาะสม

การแปลงขอ้มูลภาพแบบพื้นฐาน การเลื่อนภาพ (Translation) ใชเ้พื่อทำาการเล่ือนภาพใหไ้ปวาง

ยงัตำาแหน่งใหม่ การหมุนภาพ (Rotation) ใชเ้พื่อทำาการหมุนภาพไปตามทิศทาง

เชน่ clockwise(ตามเขม็) หรอื counterclockwise(ทวนเขม็) โดยมกีารระบุองศาท่ีจะทำาการหมุนด้วย

การยอ่หรอืขยายภาพ (Scaling) ใชเ้พื่อทำาการยอ่ หรอื ขยายภาพโดยต้องมกีารระบุจำานวนเท่าของภาพท่ีจะทำาการยอ่หรอืขยายด้วย

การบดิภาพ (Shearing) ใชเ้พื่อทำาการบดิภาพใหม้รีูปทรงหรอืทิศทางต่างไปจากเดิม ซึ่งสามารถระบุใหบ้ดิภาพได้ทัง้ในแนวแกน x และ y

การเลื่อนภาพ (Translation) เป็นการเล่ือนตำาแหน่งของภาพตามระยะการขจดัตามแนว

แกน x(Tx) และตามแนวแกน y(Ty) เมื่อกำาหนดใหพ้กัิดเดิมคือ (x, y) และพกัิดใหมคื่อ (x’, y’)

ซึ่งจะทำาใหไ้ด้สมการของการเล่ือนภาพ ดังนี้

''

'yx

P

x’ = x + Tx

y’ = y + Ty

ซึง่สามารถเขยีนให้อยูใ่นรูปแบบของ Matrix ได้มลีักษณะดังนี้คือ P’ = P + T เมื่อ

yx

P

TyTx

Tและ

Tx = ระยะหา่งจากจุด x ทางแกนนอนTy = ระยะหา่งจากจุด y ทางแกนตัง้

การเลื่อนภาพ (Translation)

)5(' xx10' yy

การยา้ยภาพจากจุด (x, y) ไปยงัจุด (x’, y’) เชน่

y

x0

(x’,y’)

(x,y)

5 pixels

10 pixels

การหมุนภาพ (Rotation)

จากรูปเป็นการหมุนภาพในระนาบ xy เมื่อจุดศูนยก์ลางการหมุน (Pivot Point) อยูท่ี่จุด Origin (0,0)

การหมุนภาพ (Rotation)

การหมุนภาพต้องกำาหนดวา่จุดใดเป็นหมุนเสมอ และแบง่เป็น

1 .หมุนแบบทวนเขม็นาฬิกา2. หมุนแบบตามเขม็นาฬิกา3. จุดหมุนอยูท่ี่จุดกำาเนิด (origin) (0,0)4. จุดหมุนไมอ่ยูท่ี่จุดกำาเนิด (จุด x,y ใด ๆ)

การหมุนภาพ (Rotation) จุดพกัิด (x,y) ในระบบพกัิดฉาก คือกำาหนดตำาแหน่ง

จุดโดยบอกระยะทางในแนวนอนและแนวดิ่ง จุดพกัิด (x,y) ในระบบโพลาร ์คือการบอกตำาแหน่งจุด

โดยใชเ้วกเตอร์

การหมุนภาพ (Rotation)

ดังนัน้พกัิดของจุด (x’,y’) จะเกิดจากการนำาเอา +

การหมุนภาพ (Rotation)

x = r cos ()y = r sin ()x’ = r cos ( + )y’ = r sin ( + )

Trig Identity…x’ = r cos() cos() – r sin() sin()y’ = r sin() sin() + r cos() cos()

Substitute…x’ = x cos() - y sin()y’ = y sin() + x cos()

การหมุนภาพ (Rotation)

x’ = x cos() - y sin()y’ = y sin() + x cos()

ดังนัน้จากสมการ จะสามารถเขยีนเป็น Matrix ได้ดังน้ี P’ = R.P

P’ PR

yx

yx

.cossinsincos

การหมุนภาพ (Rotation) การหมุนภาพ ณ จุดใด ๆ ท่ีไมใ่ชจุ่ดกำาเนิดสำาหรบั

กรณีน้ีต้องใช ้3 ขัน้ตอนดังนี้1. ยา้ยจุดหมุน (xp,yp) ไปท่ี (0,0) และยา้ยจุดหมุนไปท่ีจุดใหมใ่ห้

ห่างจุดหมุนเดิม

การหมุนภาพ (Rotation)2. ยา้ยจุดหมุน (xp,yp) ไปยงัจุดกำาเนิด (0,0) เมื่อยา้ยแล้วทกุๆ จุด

(x,y) ท่ีใชนิ้ยามภาพ ก็จะถกูยา้ยไปยงัจุดใหม่ (x’,y’) ด้วย

3. ทำาการหมุนรอบจุดกำาเนิด(origin) 4. ทำาการยา้ยไปจุดเดิมโดยการบวก xp และ yp

5. สมการหมุนรอบจุด Pivot ใด ๆ ท่ีไมใ่ชจุ่ด origin คือ

x’ = x - xpy’ = y - yp

x’ = [(x – xp)cos - (y - yp)sin] + xpy’ = [(y – yp)sin + (x-xp)cos] + yp

การยอ่และขยายภาพ (Scaling) การยอ่และขยายภาพสามารถทำาได้โดยใช ้

Scaling factor ได้แก่ Sx และ Sy ซึง่ใชใ้นการยอ่และขยายภาพแกน x และ y ตามลำาดับโดย

0 < Sx,Sy < 1 แสดงวา่เป็นการยอ่ภาพSx,Sy > 1 แสดงวา่เป็นการขยายภาพSx = Sy แสดงวา่การยอ่และขยายเป็นไปตามอัตราสว่นSx Sy แสดงวา่การยอ่และขยายไมเ่ป็นไปตามอัตราสว่นy

x0fix point

y

x0fix point

รูปการยอ่ขยายภาพ ทำาให้ระยะห่างระหวา่งภาพกับจุดประจำาท่ี (fix point) เปล่ียนไป

การยอ่และขยายภาพ (Scaling)

X 2,Y 0.5

แสดงการยอ่และขยายภาพกรณี Sx และ Sy ไมเ่ท่ากัน

การยอ่และขยายภาพ (Scaling) สมการของการ Scaling จะมลีักษณะ ดังน้ี

x’ = x . Sxy’ = y . Sy

ดังนัน้การยอ่และขยายภาพโดยใช ้Matrix จะมลีักษณะดังนี้ คือ P’ = S.P

PP’

สงัเกตวา่การยอ่และขยายภาพจะทำาให้เกิดการเลื่อนตำาแหน่งของภาพ

การยอ่และขยายภาพ (Scaling) การยอ่และขยายภาพเมื่อจุด Fixed ไมไ่ด้อยูท่ี่จุด

Origin1. ให้ยา้ยตำาแหน่งไปท่ีจุด origin2. ทำาการยอ่หรอืขยายรอบจุด origin3. ยา้ยไปยงัจุด Fixed point เหมอืนเดิม ซึง่จะได้สมการ ดังนี้ x’ = (x - xf).Sx + xf

y’ = (y - yf).Sy + yf

การยอ่และขยายภาพ (Scaling)

4. จะแปลงได้เป็นดังนี้ คือ

5. ดังนัน้การยอ่และขยายภาพ จะอยูใ่นรูป Matrix ดังนี้

x’ = xSx + xf(1 - Sx)y’ = ySy + yf(1 - Sy)

การบดิภาพ (Shearing) คือการปรบัทิศทางของภาพให้เพีย้นไปจากเดิมมี

สองแบบ คือ1. การบดิภาพทางแกน x2. การบดิภาพทางแกน y- การบดิภาพทางแกน y ทำาให้เกิดการยา้ยจุด (x,y) ไป (x’,y’) โดยท่ี

x’ = xy’ = Shy.x + y

การบดิภาพ (Shearing)- การบดิภาพทางแกน x ทำาให้เกิดการยา้ยจุด (x,y) ไป (x’,y’) โดยท่ี

x’ = Shx.y + x y’ = y

Homogeneous Coordinate การอ้างอิงโคออดิเนตท่ีผ่านมาจะมสีองตำาแหน่งคือ x และ y

ซึง่เรยีกวา่ Cartesian coordinate ขอ้เสยีของ cartesian คือเมื่อมกีารแปลงภาพหลาย ๆ อยา่งเขา้ด้วยกันจะทำาให้ผลลัพธข์อง Matrix การแปลงภาพอยูใ่นรูปของการบวกและการคณูกันของ Matrix ดังนัน้เพื่อให้ผลลัพธข์องการแปลงภาพอยูใ่นรูปของการคณูกันของ Matrix ท้ังหมด จะทำาให้ง่ายต่อการคำานวณ จงึกำาหนดให้ม ีHomogeneous coordinate ขึน้ ซึง่มลีักษณะ ดังน้ี

Homogeneous Coordinate ดังนัน้ Matrix ของการแปลงแบบต่าง ๆ จะมลัีกษณะ ดังน้ี

การเลื่อนภาพ การหมุนภาพ

การยอ่ขยายภาพ การบดิภาพ

Combining Transformation ตัวอยา่งของการเลื่อนภาพ ถ้ามกีารแปลงภาพ 2 ครัง้

1. ยา้ยโดยใช ้(Tx1,Ty1)2. ยา้ยโดยใช ้(Tx2,Ty2)สมการของการเลื่อนภาพจะมลีักษณะ ดังนี้

Combining Transformation ตัวอยา่งของการหมุนภาพ ถ้ามกีารหมุนภาพสอง

ครัง้1. หมุนภาพโดยใช ้R(1)2. หมุนภาพโดยใช ้R(2)สมการของการหมุนภาพจะมลีักษณะดังนี้

Combining Transformation ตัวอยา่งการยอ่ขยายภาพ ถ้ามกีารยอ่ขยายภาพ 2

ครัง้1. ยอ่ภาพโดยใช ้S(Sx1,Sy1)2. ยอ่ภาพโดยใช ้S(Sx2,Sy2)สมการของการยอ่ขยายภาพจะมลีักษณะดังนี้

Example of Composition ตัวอยา่งแสดงการ Rotation รว่มกัน

Translationทำาการหมุนเสน้ตรงเป็นเป็นมุม 45 องศา โดยใช้จุด a เป็นจุดหมุน

aa

Example of Composition จากตัวอยา่งถ้าทำาการหมุนตามปกติ จะทำาให้เสน้

ตรงมกีารเลื่อนผิดไปจากตำาแหน่งเดิม ดังนัน้การหมุนจะต้องมกีาร เลื่อนเขา้มาเก่ียวขอ้ง

ด้วย

Wrong CorrectT(-3) R(45) T(3)R(45)

aa

a

Example of Composition การหมุนเสน้ตรงบนจุดใด ๆ ที่ไมใ่ช ่origin ทำาได้ดังน้ี

1. ทำาการเลื่อนจุด a ไปยงัจุด origin : T(-3)

2. Rotate เสน้ตรง 45 องศา : R(45)

3. เลื่อนเสน้ไปยงัตำาแหน่งเดิม : T(3)

a

a

a

a

Example of Composition ดังนัน้จะสามารถเขยีน Matrix ต่าง ๆ ได้ดังนี้