im-1

Skalarna i vektorska polja.Krivuljni integral skalarnih i vektorskih polja.

S. Maćešić

Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci

Rijeka, 2011.

S. Maćešić | Skalarna i vektorska polja. Krivuljni integral skalarnih i vektorskih polja. 1/23

Ishodi učenja - predavanja (1/2)

Na kraju ovog poglavlja moći ćete:definirati i navesti svojstva vektorske funkcije ,definirati i navesti svojstva derivacije vektorske funkcije ,definirati i navesti svojstva skalarnog i vektorskog polja ,definirati i navesti svojstva gradijenta ,definirati i ispravno tumačiti usmjerenu derivaciju skalarnog i vektorskog polja ,definirati divergenciju i rotaciju vektorskog polja,navesti pravila računanja s diferencijalnim operatorima i neka svojstva skalarnih ivektorskih polja.

nastavak


Ishodi učenja - predavanja (2/2)

Na kraju ovog poglavlja moći ćete:povezati problem izračunavanja mase krivulje s

krivuljnim integralom skalarnog polja ,definirati i navesti svojstva krivuljnog integrala skalarnog polja ,objasniti postupak računanja krivuljnog integrala skalarnog polja ,povezati problem računanja rada sile s krivuljnim integralom vektorskog polja ,definirati i navesti svojstva krivuljnog integrala vektorskog polja ,objasniti postupak računanja krivuljnog integrala vektorskog polja .


Ishodi učenja - vježbe

Na kraju pripadnih vježbi moći ćete:izračunati derivacije vektorskih funkcija i parametrizirati krivulje uprostoru,izračunati gradijent i usmjerene derivacije,izračunati divergenciju i rotor vektorskog polja,računati s "nabla" operatorom,izračunati krivuljne integrale skalarnih polja,izračunati krivuljne integrale vektorskih polja.


Vektorska funkcija (1/3)

Vektorska funkcija skalarnog argumenta u prostoru R3 je funkcija oblika~r : I = [a, b]→ R3. Uobičajeno koristimo zapis

~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k = (x(t), y(t), z(t)), (1)

što znači da je vektorska funkcija definirana s tri realne funkcije, tevrijednost u svakoj točki t možemo poistovjetiti s odgovarajućimradij-vektorom u prostoru ( slika ). t nazivamo parametrom.Vektorska funkcija je neprekidna, ako su funkcije x(t), y(t) i z(t)neprekidne.Neprekidnu vektorsku funkciju možemo grafički predočiti krivuljom uprostoru. Vektorska funkcija zajedno s intervalom [a, b] na kojem ležiparametar t naziva se parametrizacija krivulje. Za jednu krivulju postojibeskonačno mnogo parametrizacija. nastavak


Vektorska funkcija

Slika: Prikaz vektorske funkcije - parametrizacija krivulje

natrag



Derivacija vektorske funkcije ~r(t) jednaka je

~r ′(t) =d~r(t)

dt= (x ′(t), y ′(t), z ′(t)). (2)

Vektorska funkcija je derivabilna u točki t0 ako su u t0 derivabilne njezinekomponente.Za derivabilne vektorske funcije ~r1 i ~r2 i skalarnu funkciju f (t) vrijedesljedeća pravila deriviranja:

(a~r1(t) + b~r2(t))′ = a~r1 ′(t) + b~r2 ′(t) za a, b ∈ R (linearnost)(f (t)~r1(t))′ = f ′(t)~r1(t) + f (t)~r1 ′(t)(~r1(t) ·~r2(t))′ =~r1 ′(t) ·~r2(t) +~r1(t) ·~r2 ′(t)(~r1(t)×~r2(t))′ =~r1 ′(t)×~r2(t) +~r1(t)×~r2 ′(t)~r1(f (t)) =~r1 ′(f (t))f ′(t)

Ako je krivulja definirana vektorskom funkcijom ~r(t), tada je ~r ′(t0)vektor smjera tangente na krivulju u točki t0. Jednadžba tangente glasi

x − x(t0)

x ′(t0)=

y − y(t0)

y ′(t0)=

z − z(t0)

z ′(t0). nastavak



Integral vektorske funkcije −→r (t) na intervalu [a, b] definiran je s∫ b

a~r(t)dt =

(∫ b

ax(t)dt

)~i +

(∫ b

ay(t)dt

)~j +

(∫ b

az(t)dt

)~k. (3)

Svojstva integrala vektorske funkcije su vrlo slična svojstvima integralarealne funkcije. ishodi


Skalarna i vektorska polja

Funkciju u : Ω ⊆ R3 → R nazivamo skalarnim poljem. Funkcija u svakojtočki (x , y , z) ∈ Ω pridruži skalarnu vrijednost u(x , y , z).Tipično se skalarnim poljima izražavaju fizikalne veličine: temperaturaT = T (x , y , z), tlak p = p(x , y , z), gustoća ρ = ρ(x , y , z) i sl.

Funkciju ~a : Ω ⊆ R3 → R3 nazivamo vektorskim poljem. Vektorsko poljeoznačavamo s

~a(x , y , z) = a1(x , y , z)~i + a2(x , y , z)~j + a3(x , y , z)~k.

Ovdje su skalarna polja (skalarne funkcije) a1, a2 i a3 komponentevektorskog polja.Tipični primjeri vektorskih polja su: električno polje točkastog naboja~E(x , y , z), gravitacijsko polje ~g(x , y , z), brzina fluida ~v(x , y , z) i sl.Skalarna polja grafički obično prikazujemo pomoću nivo-ploha koje su

definirane s u(x , y , z) = konst. Vektorsko se polje prikazuje vektorima uprostoru. ( slika )

ishodi


Skalarna i vektorska polja

(a) (b)

Slika: Prikaz skalarnog i vektorskog polja (u ravnini).

natrag


Gradijent

Gradijent skalarnog polja u(x , y , z), u oznaci grad u je vektorsko poljedefinirano s

grad u = ∇u =∂u∂x~i +

∂u∂y~j +

∂u∂z~k. (4)

Ovdje smo s ∇ označili vektorsko-diferencijalni operator nabla iliHamiltonov operator. Definiran je s

∇ =∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k = (

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z).

Ako su u i v derivabilna skalarna polja, te f derivabilna funkcija vrijedi:grad(u + v) = gradu + gradv ; ∇(u + v) = ∇u +∇vgrad(uv) = (gradu)v + u(gradv); ∇(uv) = (∇u)v + u(∇v)grad(f (u)) = f ′(u)gradu

Posebno, za skalarno polje r = |~r | =√

x2 + y2 + z2, gdje je~r = x~i + y~j + z~k radij-vektor (~r je vektorsko polje), vrijedi:

gradr = ~rr

grad(~c ·~r) = ~c , za proizvoljan konstantni vektor ~c .ishodi


Usmjerena derivacija skalarnog i vektorskog polja

Usmjerena derivacija skalarnog polja u u smjeru vektora ~p ( slika )jednaka je

∂u∂~p

= gradu · ~p0 = (~p0∇)u, (5)

gdje je ~p0 = ~p|~p| jedinični vektor u smjeru vektora ~p. Usmjerena derivacija

skalarnog polja u nekoj točki T je skalarna veličina koja predstavlja brzinupromjene skalarnog polja u smjeru vektora ~p. U toj će točki usmjerenaderivacija biti najveća ako vektor ~p izaberemo u smjeru gradu|T ⇒gradijent skalarnog polja pokazuje smjer najbrže promjene skalarnogpolja. Ujedno je gradu|T okomit na nivo-plohe skalarnog polja u.Usmjerena derivacija vektorskog polja ~a u smjeru vektora ~p jednaka je

∂~a∂~p

=∂a1

∂~p~i +

∂a2

∂~p~j +

∂a3

∂~p~k = (~p0∇)~a. (6)

Usmjerena derivacija vektorskog polja u nekoj točki T je vektorskaveličina. ishodi


Usmjerena derivacija skalarnog polja.

Slika: Usmjerena derivacija skalarnog polja.

natrag


Divergencija i rotacija vektorskog polja

Divergencija vektorskog polja ~a(x , y , z), u oznaci div ~a, je skalarno poljedefinirano s

div ~a = ∇~a =∂a1

∂x+∂a2

∂y+∂a3

∂z. (7)

Rotacija (rotor) vektorskog polja ~a(x , y , z), u oznaci rot ~a, je vektorskopolje definirano s

rot ~a = ∇× ~a =

~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

a1 a2 a3

. (8)

Posebno, za vektorsko polje ~r = x~i + y~j + z~k vrijedi: div~r = 3 i rot~r = ~0.Laplaceov operator (skraćeno: Laplace) na skalarnom polju u, u oznaci4u, je diferencijalni operator na skalarnom polju definiran s

4u = ∇2u = div(gradu) =∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 .

ishodi


Pravila računanja s diferencijalnim operatorima

Ako su ~a i ~b derivabilna vektorska polja i u derivabilno skalarno poljevrijedi:

div(~a + ~b) = div~a + div~b; ∇(~a + ~b) = ∇~a +∇~bdiv(u~a) = gradu · ~a + u · div~a; ∇(u~a) = (∇u)~a + u(∇~a)

rot(~a + ~b) = rot~a + rot~b; ∇× (~a + ~b) = ∇× ~a +∇× ~brot(u~a) = gradu × ~a + u · rot~a; ∇× (u~a) = (∇u)× ~a + u(∇× ~a)

div(~a× ~b) = ~b · rot~a− ~a · rot~b; ∇(~a× ~b) = ~b(∇× ~a)− ~a(∇× ~b)

rot(~a× ~b) = |~b| ∂~a∂~b− ~b · div~a + ~a · div~b− |~a|∂~b∂~a ;

grad(~a · ~b) = ~a× rot~b + ~b× rot~a + |~a|∂~b∂~a + |~b| ∂~a~∂b.

Za vektorsko polje kažemo da je:solenoidalno ako je div~a = 0.bezvrtložno ako je rot~a = ~0.potencijalno (konzervativno) ako je ~a = gradϕ za neko skalarnopolje ϕ. ishodi


Krivuljni integral skalarnog polja (1/4)

Neka je K glatka krivulja (koja predstavlja model žice) u prostoru srubnim točkama A i B i linijskom gustoćom ρ(x , y , z). Tražimo masukrivulje (žice).

Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama na krivulji

A = P0,P1,P2, . . . ,Pn = B. Na svakom od lukova_

Pi−1Pi odaberimo

točku Ti , i = 1, 2, . . . , n. slika Masa luka krivulje_

Pi−1Pi približno je

jednaka mi ≈ ρ(Ti )d(_

Pi−1Pi ). Ukupna masa je približno jednaka

m =n∑

i=1

mi ≈n∑

i=1

ρ(Ti )d(_

Pi−1Pi ).

Uzimajući sve finije podjele krivulje na manje dijelove, očekujemo svebolje aproksimacije ukupne mase krivulje. Ako postoji granična vrijednost

sume na desnoj strani, kada n→∞ i d(_

Pi−1Pi )→ 0 dobivena jevrijednost jednaka masi krivulje. nastavak


Krivuljni integral skalarnog polja

Slika: Računanje mase krivulje - krivuljni integral skalarnog vrste.

natrag



Tu vrijednost zovemo krivuljni integral skalarnog polja ρ i označavamo s∫K ρ(x , y , z)ds, pa je

m = limn→∞

n∑i=1

ρ(Ti )d(_

Pi−1Pi ) =

∫Kρ(x , y , z)ds.

Općenito, za zadano skalarno polje f (x , y , z) i jednostavno glatkukrivulju K je krivuljni integral skalarnog polja (krivuljni integral prvevrste), u oznaci ∫

Kfds (9)

jednak graničnoj vrijednosti sume∑n

i=1 f (Ti )d(_

Pi−1Pi ) kada n→∞.Za krivuljni integral skalarnog polja vrijede sljedeća svojstva∫

K(af + bg)ds = a∫K fds + b

∫K gds, za a, b ∈ R i skalarna polja

f , g ,ako je K = K1 ∪ K2, tada je

∫K fds =

∫K1

fds +∫K2

fdsnastavak



Da bi vrijednost integrala (9) mogli izračunati, krivulju K moramo"matematički" opisati, tj. parametrizirati je. Ako je parametrizacijakrivulje K dana s ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t1 ≤ t ≤ t2, tada jediferencijal luka krivulje ds jednak

ds = |~r(t)|dt =√

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2dt.

Koristeći danu parametrizaciju, krivuljni integral prevodimo u jednostrukiodređeni integral po parametru t∫

Kfds =

∫ t2

t1f (x(t), y(t), z(t))

√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2dt. (10)

nastavak



Pomoću krivuljnog integrala skalarnog polja možemo računati:masu luka krivulje,duljinu luka krivulje:

l =

∫K

ds,

koordinate težišta luka krivulje K s linijskom gustoćom ρ:

xT =

∫K xρds

m, yT =

∫K yρds

m, zT =

∫K zρds

m,

oplošje cilindrične plohe koja se nalazi ispod plohe definiranejednadžbom z = f (x , y) i omeđene prostornom krivuljom K:

O =

∫K

f (x , y)ds.

ishodi


Krivuljni integral vektorskog polja (1/3)

Neka se materijalna točka giba pod utjecajem polja sila ~F (x , y , z) po lukukrivulje K od točke A do točke B. Izračunajmo rad koji je pritom izvršen.Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama na krivulji

A = P0,P1,P2, . . . ,Pn = B, te na svakom od lukova_

Pi−1Pi odaberimo

točku Ti , i = 1, 2, . . . , n. Rad koji treba izvršiti za pomak po luku_

Pi−1Pi

približno je jednak ∆Ai = ~F (Ti )∆~ri gdje je ~ri = (∆xi ,∆yi ,∆zi ) =−−−−→Pi−1Pi . Ukupan rad po luku između točaka A i B približno je jednak

A ≈n∑

i=1

~F (Ti )∆~ri .

Granična vrijednost sume na desnoj strani kada n→∞ i ∆~ri → 0 (akopostoji) jednaka je radu polja sila. Tu vrijednost nazivamo krivuljniintegral vektorskog polja ~F (x , y , z) i označavamo s∫

K~Fd~r .

nastavak



Općenito, za zadano vektorsko polje~a(x , y , z) = (P(x , y , z),Q(x , y , z),R(x , y , z)) i glatku orijentiranukrivulju K je krivuljni integral vektorskog polja (krivuljni integral drugevrste), u oznaci ∫

K~ad~r =

∫K

Pdx + Qdy + Rdz (11)

jednak graničnoj vrijednosti sume∑n

i=1~a(Ti )−−−−→Pi−1Pi kada n→∞.

Za krivuljni integral vektorskog polja vrijedi∫K~ad~r = −

∫−K

~ad~r ,

gdje smo s −K označili krivulju suprotne orijentacije od krivulje K.nastavak



Da bi integral (11) mogli izračunati, potrebno je krivulju Kparametrizirati. Parametrizaciju odaberemo da bude u skladu sorijentacijom krivulje. Ako je ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t1 ≤ t ≤ t2 takvaparametrizacija krivulje, tada je

d~r = ~r(t)dt = (x(t), y(t), z(t))dt,

te je integral (11) jednak∫K~ad~r =

∫ t2

t1~a · ~r(t)dt =

=

∫ t2

t1(P(~r(t))x(t) + Q(~r(t))y(t) + R(~r(t))z(t)) dt.

Ako je krivulja K zatvorena, tada integral vektorskog polja po zatvorenoj

krivulji nazivamo cirkulacijom vektorskog polja i označavamo s∮K~ad~r .

Krivulja K je pozitivno orijentirana ako je smjer obilaska obrnut odsmjera kazalje na satu, a u protivnom je negativno orijentirana. ishodi


im-1

Documents