Il compimento della meccanica quantistica

Guicciardini, Introzzi, Fisica quantistica

W.Heisenberg, Fisica e Filosofia

W.Heisenberg, Fisica e oltre

A.I.Miller, L'equazione dell'anima

C.D. Friedrich, Der Wanderer über dem Nebelmeer, 1818

1925-1927

dalla old quantum mechanics alla meccanica quantistica

1925 Meccanica delle matrici Heisenberg, Jordan, Born

1926 Meccanica ondulatoria Schrödinger

1926 equivalenza matematica tra meccanica delle matrici e meccanica ondulatoria

Schrödinger

1928 meccanica quantistica di Dirac

Göttingen (Born, Heisenberg, Pauli)

Cambridge(Dirac)

Copenhagen(Bohr,

Heisenberg, Pauli)

Berlin(Planck,Schrödinger)

München (Sommerfeld, Heisenberg, Pauli)

Europa, 1920 -1927: Δx geografico della meccanica quantistica

Wien (Schrödinger)

Zurigo (Schrödinger, Pauli)

“Old quantum mechanics”

Principale successo: atomo di Bohr (Bohr-Sommerfeld-Wilson)

• Tale modello fa riferimento ad immagini mentali cui non corrisponde alcuna

grandezza osservabile: il raggio dell'orbita, il periodo di rivoluzione

dell'elettrone... chi li ha mai osservati?

• Si osservano - e si misurano - piuttosto: frequenze della radiazione emessa

La filosofia di Heisenberg: creare una fisica in cui non entri nulla di più di ciò che è osservabile

Meccanica delle matrici - Heisenberg

Discretizzazione delle grandezze → serie di valori numerici sistemati in matrici

A ciascuna grandezza osservabile corrisponde una matrice dei valori che se ne possono

osservare (→ anche un numero infinito di “entries” nelle matrici)

(H. prende spunto da frequenza e intensità delle righe spettrali, trova delle regole fenomenologiche

per collegarle tra loro e mima la situazione con posizione e momento)

→ algebra delle matrici; in particolare l'operazione “riga x colonna” è non commutativa:

AB-BA ≠0 → pq – qp = h/2πi

→ dalla non commutatività:

→ relazioni di indeterminazione

→ sia l'indeterminazione che la non commutatività spariscono per h → 0

Non c'è “meccanismo”, e non può esserci: siamo esseri classici, non possiamo “visualizzare” il

mondo quantistico, è fuorviante, dobbiamo evitare di introdurre “enti” arbitrari e dobbiamo

limitarci a ciò che misuriamo

Risultati: oscillatore armonico/anarmonico, e, con gran lavoro di Pauli, l'atomo di idrogeno

Werner Heisenberg (1901-1976)

• Tedesco, ricca formazione culturale

• Fisico quantistico “da subito”

• Nobel, 1932

• Allievo e collaboratore di Bohr

• Progetto dell'atomica del III Reich?

• L'incontro con Bohr a Copenhagen, 1941

“Verso la fine di maggio del 1925 presi un terribile raffreddore da fieno: così terribile, invero, che fui

costretto a chiedere a Born un congedo di due settimane. Me ne andai nell'isola di Helgoland, dove

speravo di rimettermi presto respirando l'aria di mare […] Ammirando il paesaggio riflettei su quanto

Bohr mi aveva detto una volta: guardando il mare, sentiamo di poter afferrare una parte dell'infinito.[...]

Pochi giorni ancora ed ebbi chiarissimo ciò che si doveva fare se si voleva costruire la fisica

atomica solo su grandezze osservabili: occorreva modificare a fondo il concetto di condizioni

quantiche avanzato da Bohr e Sommerfeld.[...] finalmente, una sera, mi accorsi che ero ormai pronto a

determinare i singoli elementi della tabella dell'energia, o, come diremmo oggi, della matrice

dell'energia, mediante una serie di calcoli che oggi sarebbe ritenuta estremamente goffa […]

cominciai a fare errori di aritmetica l'uno dopo l'altro, e per completare i calcoli andai avanti a lavorare

fino alle tre di mattina....

… Avevo ora i risultati finali, dai quali risultava che il principio

di conservazione era sempre rispettato: non dubitavo più,

adesso, della coerenza e della validità matematica della

meccanica quantistica di nuovo tipo che i miei calcoli

prospettavano. La mia prima di reazione fu di sgomento:

ebbi l'impressione di osservare, oltre la superficie dei

fenomeni atomici, un livello più interno di misteriosa

bellezza. Il pensiero che ora mi sarebbe toccato di indagare

a fondo questo nuovo mondo matematico mi dava le

vertigini. Ero troppo eccitato per andare a dormire e così

uscii che appena albeggiava e mi arrampicai su un picco

roccioso a strapiombo sul mare che da parecchi giorni

desideravo scalare.

[…] Quella notte a Helgoland ebbi solo una

visione fugace, come quella volta che, tra la

nebbia, vidi per un attimo la parete rocciosa

illuminata dal sole; però quando riferii le

mie conclusioni a Pauli, il mio critico più

severo, egli mi incoraggiò a proseguire

lungo la strada che avevo imboccato. A

Gottinga, Max Born e Pascual Jordan

cominciarono a esaminare le nuove

possibilità...”

(W. H., Fisica e oltre)

Un dialogo tra Heisenberg e Einstein a proposito delle motivazioni alla base della meccanica delle matrici

“Non siamo in grado di osservare le orbite degli elettroni”, credo di aver risposto.

“Osserviamo invece la radiazione emessa dall'atomo, in base alla quale deduciamo le

frequenze e le ampiezze degli elettroni . […] giacché una buona teoria deve

fondarsi su grandezze direttamente osservabili, ho ritenuto più corretto limitarmi

ad esse e basarmi sull'ipotesi, poi verificata, che rappresentino le orbite degli

elettroni.” (N.B.: rappresentare e non spiegare)

“Ma dice sul serio?” ribatté Einstein incredulo. “Dunque, secondo lei, una teoria deve

basarsi esclusivamente su grandezze osservabili?”

“Ma... così ha fatto anche lei con la teoria della relatività”, dissi con una certa sorpresa. “Lei stesso ha

affermato che non ha senso parlare di tempo assoluto proprio perché il tempo assoluto non è osservabile; lei

stesso ha detto che solo il tempo indicato dall'orologio, misurato in un sistema sia in moto sia in quiete, ha

valore per la determinazione del tempo.”

“Può essere che abbia detto una cosa del genere”, ammise Einstein. “Ma, comunque sia, non ha senso. Forse

potrei esprimermi in modo meno reciso dicendo che i dati osservativi hanno un certo valore euristico; ma in

linea di principio è sbagliatissimo tentare di fondare una teoria esclusivamente su grandezze osservabili.

Anzi, in realtà avviene esattamente il contrario: è la teoria che decide cosa dobbiamo osservare. Lei si

renderà certo conto che il processo d'osservazione è cosa estremamente complessa.” (W.H., op.cit.)

N.B.: il positivismo rinnega il “beautiful Invisible” (cit. Vignale)

Mach

Popper

1926 - La meccanica ondulatoria - Schrödinger

• Parte da ipotesi di de Broglie: particella → onda: quale equazione per l'onda?

• “ingegneria genetica”: introduce l'hp di de Broglie nell'equazione delle onde classica (d'Alembert)

• Serie di articoli Quantisierung als Eigenwertproblem in cui sviluppa la teoria, culminanti nello spettro

discreto dei livelli energetici di H, in accordo con i risultati sperimentali e con il modello di Bohr.

• È meccanica quantistica non-relativistica

• risp. l' equazione d'onda classica: la soluzione ha una diversa forma e assume valori complessi.

• Uso di strumenti matematici tradizionali (equazione alle derivate parziali)

• L'onda Ψ si evolve con continuità (non ci sono i salti) e in maniera deterministica (evoluz. temporale):

I livelli energetici sono i modi di vibrazione, il passaggio da un livello all'altro avviene con continuità

“il cambiamento da un modo di vibrazione all'altro può avvenire in modo continuo nello spazio e nel tempo, e può

durare per un lasso di tempo pari alla durata empirica del processo di emissione”

• Accolta con entusiasmo da de Broglie, da Einstein: dà visualizzazione della microfisica

• S. mira ad una descrizione del reale fisico

E. Schrödinger (1887, 1961)

• Viennese, profonda cultura (sanscrito)

• Studioso del pensiero orientale (Veda – induismo)

• Nobel, 1933

• A Dublino durante negli anni del III Reich

• What is life, 1944, ispira la ricerca del DNA

...E se per Heisenberg abbiamo raccontato come sia avvenuta la scoperta della sua meccanica matriciale, per Schrödinger non lo possiamo scrivere...

Problema della meccanica di Schrödinger: interpretare Ψ; in particolare: problema della dispersione in t del pacchetto d'onde

Heisenberg vs. Schrödinger : matrici vs. onde

The more I think about the physical portion of Schrödinger's theory, the more repulsive I find it...What Schrödinger writes about the visualizability of his theory 'is probably not quite right,' in other words it's crap.

Heisenberg, lettera a Pauli, 1926

I knew of [Heisenberg's] theory, of course, but I felt discouraged, not to say repelled, by

the methods of transcendental algebra, which appeared difficult to me, and by the lack of

visualizability.

Schrödinger, 1926

“It is hard to find in the history of physics two theories designed to cover the same range of experience, which differ more radically than these two”

M. Jammer, Conceptual Development of Quantum Mechanics

Continuità dei processi fisici, elettrone wave-like,

visualizzabile

Discontinuità dei processi fisici, elettrone particle-like, ma senza

proprietà spazio-temporali definite

H S

1926, la mediazione di Born – l'interpretazione statistica di |Ψ|²

“La forma matriciale della meccanica quantistica, fondata da Heisenberg e sviluppata da lui insieme con Jordan e

l'autore di questa comunicazione, parte dall'idea che un'esatta rappresentazione dei processi nello spazio e nel

tempo non sia affatto possibile e si accontenta di stabilire relazioni fra grandezze osservabili che solo al limite

classico possono essere interpretate come proprietà di moti. Schrödinger, d'altra parte, sembra ascrivere alle onde,

che secondo l'analogia di de Broglie egli considera come portatrici dei processi atomici, una realtà della stessa

specie posseduta dalle onde di luce*; egli cerca di “costruire pacchetti di onde che hanno dimensioni relativamente

piccole in tutte le direzioni” e che ovviamente devono rappresentare direttamente il corpuscolo in moto. Nessuna di

queste due concezioni mi sembra soddisfacente. Vorrei cercare qui di dare una terza interpretazione e dimostrarne

l'utilità nei processi d'urto.” (M. Born)

Born è un corpuscolarista. Einstein è corpuscolarista: luce è “fotoni guidati da onda elettromagnetica”

→ Born: particelle sono guidate da |Ψ(x)|²

→ successivamente l'interpretazione diventa: |Ψ(x)|² dà la probabilità di trovare la particella in x in una misura.

→ Ψ evolve deterministicamente, ma non è un oggetto reale (ontologia), è solo strumento (epistemologia)

|Ψ(x)|² non è densità di carica, ma densità di probabilità.

→ risolve il problema di Schroedinger: dissoluzione del pacchetto d'onde: è deterioramento nel tempo

dell'informazione sulla particella, e non della particella stessa!

“il moto delle particelle segue leggi di probabilità, ma la probabilità stessa evolve in accordo con la legge causale”

*Oss.: esistono realtà di “diversa specie”?

Max Born (1882 - 1970)

• Tedesco

• Amico di Einstein (lettere)

• Nobel 1954

(per l'interpretazione statistica della |Ψ|² – trent'anni prima)

• Approssimazione di Born-Oppenheimer

(nuclei fermi risp. elettroni, ovvero: risolvere l'atomo =

risolvere gli elettroni)

• (Gossip) È il nonno di Olivia Newton-John

→ Atomo: da orbita a orbitale: da traiettoria a densità di probabilità

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)

• Inglese, di origine svizzera, di poche parole

• Nobel, 1933

• Dimostra l'equivalenza delle due meccaniche, 1928

• Inoltre: nuova equazione (equazione di Dirac)

→ equazione relativisticamente invariante

→ spin (1925 Uhlenbeck e Goudsmit)

→ 1930 predizione del positrone (autovalori, energie, negative): lacune nel mare di

Fermi (→ “congettura” → 1932: Anderson scopre i positroni nei raggi cosmici)

( bra <Ψ|, ket |Ψ>; δ di Dirac,...)

Il principio di indeterminazione

1927 W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik

• E' in parte risposta alla meccanica ondulatoria di Schrödinger.

• H. è positivista → se si parla di posizione e momento di un elettrone bisogna saper

definire le operazioni di misura per queste grandezze

→ esperimento mentale dell'osservazione al microscopio:

raggio γ con piccola λ (fotone con grande p) → accuratezza in x elettrone (piccola Δx), ma grande momento trasferito all'elettrone (Δp grande)

raggio γ con grande λ (fotone con piccolo p) → scarsa accuratezza in x (grande Δx), ma poco disturbo del momento elettronico,(Δp piccolo)

“Si noti che l'esperienza del microscopio viene proposta da Heisenberg come un'esperienza mentale rivolta contro i suoi critici. A chi lamentava la perdita di visualizzabilità e di possibilità di rappresentazione del mondo microfisico che Heisenberg prospettava, viene proposta un'esperienza immaginaria di microscopia il cui risultato è proprio quello di mettere in evidenza i limiti intrinseci di tale processo di visualizzazione, limiti che oltretutto confermano un aspetto centrale del formalismo matriciale: le relazioni di indeterminazione”

(Guicciardini, Introzzi)

L'osservazione implica sempre lo scambio di almeno un quanto di azione tra osservatore e osservato – nel mondo macroscopico il quanto è praticamente nullo rispetto all'osservato (→ fisica classica); non altrettanto nel mondo microscopico.

Il principio di complementarità• Bohr, 1927*

• Il suo credo: centralità del principio di indeterminazione, preferenza per la

meccanica ondulatoria, interpretazione statistica di Born.

• *È concetto che elabora per anni, non c'è formulazione precisa, se non

“Scuola di Copenhagen”; oscuro, fascinoso.

→ → onde/corpuscolionde/corpuscoli: non in contraddizione, ma complementari,

entrambi necessari per descrizione completa, ma si escludono a vicenda.

→ Qualunque sistema quantistico possiede almeno una coppia di proprietà

necessarie a descrivere il sistema, che non possono essere conosciute

simultaneamente. Sono mutuamente esclusive, nel senso che

l'osservazione di una proprietà preclude l'osservazione dell'altra (idea di

Bohr del 1927)

→ “Il quanto d'azione ci costringe ad adottare un nuovo modo di descrizione

designato come complementare, nel senso che ogni applicazione di

concetti classici preclude l'uso simultaneo di altri concetti classici che in

una diversa connessione sono ugualmente necessari per la spiegazione

del fenomeno” (Bohr, in G.-I.)

→ “Nur di Fülle führt zur Klarheit - Und im Abgrund liegt die Wahrheit” (B.)

(solo la completezza porta alla chiarezza e la verità abita nell'abisso)...di più la prossima volta

Il principio di esclusione, 1925

Bohr-Sommerfeld: caratterizzazione degli elettroni con:

n = livello energetico (Bohr)

l = forma dell'orbita (eccentricità) (Sommerfeld)

m = orientazione dell'orbita (Sommerfeld)

W. Pauli → s = “grado di libertà quantico a due valori”, qualcosa di non visualizzabile, che va oltre alla tri-

dimensionalità

Segré: “[Pauli] trovò che non possono esistere due elettroni con tutti i numeri quantici identici. Ogni orbita

[elettronica] può essere caratterizzata con certi numeri quantici (nel caso specifico dell'atomo ce ne

vogliono quattro [n,l,m,s]) e in ogni orbita ci può essere o nessun elettrone o uno solo. Questo principio,

detto principio di esclusione o di Pauli, fu trovato empiricamente studiando il materiale spettroscopico.

La scoperta di Pauli precede quella dello spin che permise di interpretare i numeri quantici in modo assai

più naturale. Il principio di Pauli dà una chiave potente per la spiegazione di un numero grandissimo di

fenomeni che vanno dalla struttura del sistema periodico di Mendeleev alle proprietà dei metalli, dalle

proprietà termodinamiche di certe sostanze a bassissime temperature alla struttura dei nuclei.”

Pochi mesi dopo, interpretazione di Uhlenbeck e Goudsmit: s si riferisce a momento angolare intrinseco

dell'elettrone (oraria/antioraria)

da analisi (induttiva?) di dati spettroscopici

P. ha metafisica influente...

→ 1926 Fermi lo incorpora nella meccanica statistica...

conprincipio di Pauli (1925), regola di Hund (1925), spin (1925)

regole per il riempimento di orbitali:

principio di esclusione

principio dei "passeggeri sul bus"

Wolfgang Pauli (1900-1958)

• Austriaco (cognome orginario Pascheles), padrino è E. Mach

• Principio di esclusione, 1925

• Neutrino, 1931 per il decadimento β (Fermi 1934); trovato 25

anni più tardi

• Simmetria CPT

• Nobel, 1945

• 1/137 costante di struttura fine 2πe²/hc

• Tiratardi, cinico razionalista, “Mefistofele” (parodia, 1932)

• Psicologia, Jung, simbolismo, sincronicità; 3 o 4

• “Effetto Pauli”

Congressi, 1927

→ 1927 Conferenza Solvay, Bruxelles (poco prima: conferenza a Como, ma senza Einstein (obiettore politico)

→ 1927 Conferenza Solvay, Bruxelles (poco prima: conferenza a Como, ma senza Einstein (obiettore politico)

Si sfidano sull'interpretazione

della MQ