كاربردهاي انتگرال

حال موقع آن است كه از . هاي گرفتن آن آشنا شديد در دو بخش گذشته با مفهوم انتگرال و شيوه

:خواهيم جمع زير را حساب كنيم اگر يادتان باشد گفتيم فرض كنيد مي. ابزار رياضي استفاده كنيم

( )2

1

x

x x xS Lim f x x

∆∆

→ == ∑

o

)فرض كنيد بدانيم كه تابعي مانند )xF وجود دارد كه ( ) ( )xFxf آنگاه=′

( ) ( ) ( )x

f x Lim x f x dx F x dx∆

∆→

′= =o

:و از تعريف مشتق خواهيم داشت

( )x

F x dx dF Lim F∆

∆→

′ = =o

پس

)Lim2 ) . در سيگما چندان مهم نيست

1

x

xx xS Lim F

∆∆

→=⇒ = ∑

o

:كه قطعاً خواهد بود) نهايي (2xتا) اوليه( 1x است ازFعناي جمع همه تغييرات اتفاق افتاده درمه كه ب

)()( 12 xFxF FS كل =− ∆=

:پس

( ) ( ) ( )2

12 1

x

xx xS f x Lim x F x F x

∆∆

→== = −∑

o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

12 1 ;

x

x

dF xS f x dx F x F x f x

dx= = − =∫

مثال ساده آن مساحت زيـر نمـودار . لمان ما بايد بتوانيم محاسباتمان به فرم انتگرال در بياوريم در مسائ

)تابع )xfاست.

. مساحت دايره را با انتگرال بنويسيد و بدست آوريد.مثال

.حل

x

R

y

222 : دانيم معادله دايره مي. تدايره در برابر نيمدايره اسمساحت Rxy =+

22 : براي نيمه باالييxRy −=

) :امساحت برابر است ب )∑−= →∆

∆=R

Rx xxxyS

olim

2

) و ارتفاع∆xيعني جمع مساحت تمام مستطيلهايي به قاعده )xy .

:به فرم انتگرالي خواهد شد

دو نيمدايره

( ) 2 22 2R R

R RS y x dx R x dx

− −= = −∫ ∫

توانيم اين مساحت ا ببينيم ميام. براي محاسبه اين انتگرال بايد از روش جانشيني مثلثاتي استفاده كنيم

.گونه ديگري بنويسيمرا ب

.تر خواهد بود اگر بخواهيم مساحت را برحسب زاويه بنويسيم نتيجه ساده

ع كنيم آنگاهااگر دايره را قطاع قط

d

s∆:مساحت هر قطاع

∑ ∆= slim∑∆= sS

شود زيرا، مطابق شكل مساحت هر قطاع دي آن است كه محاسبات امكانپذير ميخوبي حالت ح

shbs : برابر است با∆θبه زاويه رأس ∆∆+=∆2

.احت قسمت هاشور خورده است مس∆∆sكه

b

t

R

h

:در موقع حدگيري

lim , ,h R b t d∆θ

∆θ θ→

⇒ → → →o

اامtطول كمان دايره مقابل زاويه θ∆است يعني

t R∆θ=

( )1lim lim2

s R Rd s∆ θ ∆∆⇒ = +

0ح است كه واضlim

lim=

∆∆∆

ssرود پس الف نسبت به مساحت به صفر مي يعني اخت:

2Rπ=( )22

21 2 02 2

RR dπ

θ π= = −∫o

∫∑=

==∆=⇒==∆

πθ

θθ

22 limlimo

dssSdRdss

برابر آنست و ما حاال رابطه آن را بـا مـساحت دايـره R2 همان عددي است كه محيط دايره برابر πكه

.بدست آوريم

:كرديم بخواهيم از روش قبلي استفاده مياگر

dxxRSR

R∫

−−=

222

( ) o=Rθ ( ) ,Rθ π− = [ ], ;θ π∈ o x R cosθ=

dx R sin dθ θ= −

( )sinθ ≥ o 2 2 22( ) 2S R sin sin d R sin dπ

πθ θ θ θ θ⇒ = − =∫ ∫

o

o

2 2 2 21 2 222 2

cos sinR d R R Rπ π

θ θθ θ π π

− = = − = + = ∫o

o

o

.كه همان نتيجه قبلي است

از x اگـر در فاصـله qq,12دانيم كه طبق قانون كولن در الكتريـسيته سـاكن، دو بـار مي .مثال

)يكديگر باشد نيروي ) 1 22

q qF x kx

داريـم كـه Lاي به طول فرض كنيد ميله. كنند را بر هم وارد مي =

از سر آن قرار d را در امتداد آن به فاصلهqاي بار نقطه. بطور يكنواخت روي آن توزيع شده استQبار

كند؟ به ميله چه نيرويي وارد ميqدهيم مي

كافي است كه ميله را قطعـه قطعـه . اين يك مثال كامالً كاربردي در فيزيك از انتگرال است .حل

.اي شوند كنيم و آنقدر قطعات را كوچك كنيم كه مانند بار نقطه

q

x

dx

. خواهد بودqاي نيروي بين اين تكه و بار نقطهdFباشد آنگاه dQ داراي بارdxاگر قطعه

( )2

qdQ xdF k

x=

ست كه نيروي كل برابر جمع ار آنطم بخاي گذاشتdFعلت آنكه اين نيرو را. استq از dQ فاصلهxكه

: تمام اين نيروهاست يعني

( )2

x d L

x d

dQ xF dF kq

x

= +

== =∫ ∫

.از آنجا كه چگالي ميله يكنواخت است

( ) ( )21d L

d

dQ Q QdQ dxdx L L

d LkqQ dx kqQ kqQ L kqQF

L L x L d d L d d Lx d

+

= ⇒ =

+ ⇒ = = − = = + + ∫

.آمد بار نقطه بدست خواهد ميله به نقطه تبديل شود نيروي يك برود يعني o→Lست كه اگر اجالب آن

م انتگرال در آورديم و با استفاده در مثال گذشته براي اولين بار يك چيز نه چندان بديهي را به فر

نچه مهم است آنست كه بتوانيم جمعهاي مناسبي بنويسيم و آ. مياز قضيه اساسي انتگرال را حساب كرد

.له را به انتگرال تبديل كنيممسئ

طبيعتاً براي آنكـه بـه دمـاي قرار گيرد oT در محيطي با دماي iT اگر جسمي با دماي اوليه .مثال

)(محيط برسد سردتر oTTi )(شود يا گرمتر مي < oTTi اما . بدون آنكه دماي محيط چندان تغيير كند>

: بفرم زير است آهنگ اين تغيير دما طبق قانون تجربي

( )0k > ( )oTTkdtdT

−−=

)اي دماي آن يعني اگر در لحظه )tT باشد آهنگ تغيير دماي آن dtdT متناسب اسـت بـا منفـي

oTTاز نظر شهودي پيداست كـه . اختالف دماي آن با محيط dT آنوقـت <dt

<o يعنـي بـا زمـان دمـا

و وقتي خواهد كم شود ميoTT <o آنوقت >

dtdT پـس ايـن . واهد زيـاد شـود خ يعني با زمان دما مي

آخر ميله

اول ميله

توان مدل خوبي براي بر همكنش جسم ما با محيط از نظر تبادل گرمايي بدون عوامل خـارجي معادله مي

.ديگر باشد

) با فرض آنكه در ابتدا حسب زمان بدست آوريد را برTحال ) iTT =o.

oTTقبل از آن به معادله نگاهي ديگر بيندازيم اگر .حل =o در زماني بشود آنوقت =dtdT يعني

ه (در تعادل دمايي برسد ديگر oTپس اگر وقتي به. از آن به بعد ديگر دما تغيير نخواهد كرد ) طبق معادـل

.خواهد رسيد كه اين هم با تجارب ما همخواني دارد

ا زماني كه امoTT oTبه سـمت ) عالمت شيب(همواره با يك نوا T طبق معادله و بحثي كه شد ≠

oTTرود يعني اگر مي TTيابد يا آنكـه افزايش ميoTسمت ه همواره ب> <o همـواره بـه سـمت oT

.يابد تا در زمان تعادل اين دو برابر شوند و بمانند ميكاهش

نـدازه شـيب ست كه براي اختالف دماهاي بيشتر مقـدار ا ا از معادله چيز ديگري كه پيداست آن

.له ما بايد بفرم زير باشندپس نمودارهاي نوعي مسئ. شود ست تا آنكه در حالت تعادل صفر ميبيشتر ا

T0

Ti

t

T0<Ti

T0

Ti

t

T0>Ti

)( iTT <o )( iTT >o

:ادله را چگونه حل كنيمحال مع

( ) ( )dtTTkdTTTkdtdT

oo −−=⇒−−=

i

T t

T

dT kdtT T

dT kdtT T

⇒ = −−

⇒ = −−∫ ∫

o

o o

. خواهد بودlnدانيم انتگرال سمت چپ مي

i

TT

ln T T kt⇒ − = −o

i

i

ln T T ln T T kt

T Tln ktT T

⇒ − − − = −

−⇒ = −

−

o o

o

o

كه شد پيداست كه از بحثهايي

i

ii

T T T TT TT TT T T T

> ⇒ > − ⇒ >−< ⇒ <

o oo

oo o

o

, پس از آنجا كه تابع معكوس e lnاست :

( ) ( )

kt

i

kti

T T eT T

T t T T T e

−

−

−= −

⇒ = + −

o

o

o o

:بينيد كه براي لحظه صفر اگر به جواب دقت كنيد مي

( ) ( ) ki i iT T T T e T T T T−= + − = + − =o

o o o oo

ا زمان تعادل چه وقتي است؟ام

oTTت وقتي اس k<0از آنجا كه يعنـي زمانهـاي . t→∞ صفر شود يعني −kteشود كه مي =

)در اصل هيچ وقت. (خيلي دور

بهT بطور نسبي چقدرtاگر بخواهيم بدانيم در زمانoTنزديك شده رابطه زير مناسب است :

kt

ie

TTTT −

=−

−

o

o

:را اينگونه تعريف كنيمτحال اگر زمانk1

=τ

t

i

T T eT T

τ−−⇒ =

−o

o

τ زماني است كه اگر سپري شود مقدار نسبت فوق

1 0 / 368e eτ τ− −= ≈

دمـاي است كه فاصـله دمـا تـا يعني مدت زماني τگيري ، اندازه kگيري پس يك راه اندازه . خواهد شد

−1 اش، تعادل نسبت به فاصله اوليهeباشد .

طبق رابطه نيوتن .مثالmF

dtdv

فرض كنيد جسمي . نيروي وارد بر جسم است F جرم و m كه =

2F در محيطي وارد شود كه به آن مقاومت اصطكاكي voبا سرعت اوليه kv= سـرعت و . وارد شـود −

). مكان آن را برحسب زمان بدست آوريد )oo =)(x

.حل

( ) 2dv t F ka vdt m m

= = = −

.كند يبود يعني اصطكاك جسم را متوقف م خواهد v=0بديهي است كه حالت نهايي

2 2

v t

v

dv k dv kdt dtm mv v

⇒ = − ⇒ = −∫ ∫o o

1

1 1

v

v

k tv m

k tv m v

− = −

⇒ + =

o

o

( ) 11 1

vv tk kt v t

v m m

⇒ = =+ +

o

oo

)اين بار همان زمان رسيدن به سرعتي ثابت )o=v ـ . نهايت است يعني حالت تعادل بي راي مكـان ام ا ـب

:خواهيم داشت

( )

( )0

1

tx t t t

dx v tdt

v m dt m mdx v t dt dt ln tk mk k kvv t tm kv

=

⇒ = = = = +

+ +∫ ∫ ∫ ∫o

oo o o oo

o

1m kln v tk m

= +

o

.نهايت دور استكه در موقع تعادل مكان جسم هم بيبينيد مي

.يكي از كاربردهاي انتگرال در تعريفي مناسب براي ميانگين كميات است

)(فرض كنيد تعدادي ميله به طولهاي مختلف il و جرمهاي مختلف )( im اي داريم كـه هـر ميلـه

iداراي چگالي جرمي طولي i

i

ml

λ حال فـرض كنيـد . است و اين چگالي در تمام ميله يكنواخت است =

=∑بخواهيم ميله به طول ilL) و جرم ) ها مجموع طول ميله∑= imM ) بسازيم ) ها مجموع جرم ميله

مقدار اين چگالي طولي چه خواهد بود؟. با چگالي يكنواخت باشدبطوريكه از جنسي

∑∑ واضح است كه === ii lLmM λλ

l1 l2

m2m1

...

M

L

iiiاگر بنويسيم lm λ=آنگاه

∑∑

∑∑

===i

ii

i

ill

lm

LM λ

λ

تعريف كرد يعني iλتوان ميانگين كميت مياين را ∑

∑=

i

iillλ

λ آن چگالي اسـت كـه اگـر كـل

lM. دهد ه ما مي با آن ساخته شود جرم كل را بطولها λ=.

. دحال فرض كنيد جاي چند ميله، يك ميله داريم منتها چگالي نقاط مختلف آن با هـم فـرق دار

)يعني )xλλ :خواهد بودxبر روي ميله در مكان dxي به طول ا هبا اين حساب جرم قطع. =

dxxxdm )()( λ=

dx

(x)

را چگونه تعريف كنيم؟λبنظرتان در اينجا ميانگين

lim limlim lim

L

i i i

i i

dxm ll l L

λλ

λ = = =∫∑ ∑

∑ ∑o

dxliدر اينجا =lim پس تعريف مناسب براي مـثالً ميـانگين تـابع . است( )xf در بـازه( )ba ,

:تواند باشد مي

( )b

af x dx

fb a

=−

∫

.كه پشت آن آب جمع شده است داريم H و ارتفاعW سدي به عرض.مثال

h

)حسب عمق از سطح بفرم دانيم كه فشار آب بر مي ) ghPhP ρ+= oاز تعريف فـشار . خواهد بود

دانيم كه هم مي dAdFP وي كوچكي كـه بـر سـطح يعني فشار هر نقطه برابر است با حاصل تقسيم نير =

. شود كوچكي حول و حوش آن نقطه وارد مي

dFdA

كند؟ سد چه مقدار نيرو به سد وارد ميآب در پشت

. مناسبي روي سد پياده كردdAابتدا بايد .حل

whdh

) و عرض سدdhنواري به ضخامت h مطابق شكل اگر در عمق )Wگاه در نظر بگيريم آن

( )dA h Wdh=

اين از تعريف فشار، مقدار نيرويي كه بر . اين المان سطح مناسبي است زيرا صرفاً تابع عمق است

: شود خواهد بود المان وارد مي

( ) ( ) ( ) ( )dF h P h dA h P gh Wdhρ= = +o

:وها از باال تا پايين سد استنيروي كل طبعاً جمع تمام اين نير

2( )

2

h H H

totalh

HF dF P gh Wdh PWH gWρ ρ=

== = + = +∫ ∫ o o

o o

:توان به اين گونه تعريف كرد فشار ميانگين را مي

totaltotal

totalA

PdAAF

P ∫==

كه در اينجا

روي سطح

22

HPWH g WH HP P gWH

ρρ

+= = +

o

o

(بينيد همان فشار در مركز سد كه همانطور كه مي 2

( H است .ه ا آيا هميشه اينگونه ميام شـود؟ قطعـاً ـن

.افتد كند اين اتفاق مي كه تابع با متغيرش خطي تغيير ميتنها در حالتهايي

( )

( ) ( )

2

2 2

( ),

22

2 2

b

aAx B dx

f x Ax B fb a

bAx Bx A b a B b a b a b aaf A B f

b a b a

+= + =

−

+

− + − + + = = = + = − −

∫

3ا مثالً اگر امxf : خواهد بودf ميانگين)2,0( آنگاه مثالً در بازه=

( )

2423

0164 0 24 2 1 1

2 0 2 2 2

xx dx

f f f+ = = = = ≠ = = −

∫o

.در حالتيكه تابع خطي است ميانگين با ميانگين عددي مقدار تابع در ابتدا و انتها نيز برابر است

222222BAbBAaBbABaA +

++

=+++=BbaAf +

+=

22 ;f Ax B= +

( ) ( )( )bfaf +=21

3له براي حالت كلي صادق نيست مثالً همان مثالئا باز اين مسامxf ) در بازه = )2,0

( ) ( ) 42

22

223

=+

=+

≠=oofff

)حال در بازه . را در نظر بگيريد fتابع )ba, خط گذرنده از دو نقطه ( ) ( )),(,),( afabfb در نظر را

.داشته باشيد

a x b

fh

. را به فرم زير نوشتfشود مي

( ) ( ) BAxxhxf ++=

( )xhاندهمقدار باقيمf مذكور استنسبت به خط .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( );

h a f a Aa Bf b f a bf a af b

A Bb a b a

h b f b Ab B

= ⇒ = +− − ⇒ = =− −= ⇒ = +

o

o

:كنيم را حساب مي fحال ميانگين

( ) ( )2

afbfh ++=

[ ]( ) ( )

2afbf

ab

hdx

ab

dxBAxh

ab

fdxf

b

a

b

a

b

a ++

−=

−

++

=−

=∫∫∫

)د توابع خطي آنگاه مانن o=hپيداست اگر ) ( )2

afbff += .ا در حالتهاي ديگـر بـسته بـه آنكـه ام

∫b

ahdxتواند چه شود ميfبزرگتر يا كوچكتر از مقدار ميانگين ابتدا و انتهاي بازه شود .

)(مركز جرم تعدادي جرم نقطه im مكانهاي كه روي خطي در)( ixقرار دارند طبق تعريف

∑∑

=i

iiCM m

xmx

ديل به المانهـاي كـوچكي روي جـسم اي داشته باشيم آنوقت نقاط ما تب حال اگر ما جسم پيوسته . است

. دارندdmشود كه هر كدام جرم مي

)اطشاي داريم كه چگالي طولي نق فرض كنيد ميله )xλباشد .

a b

dm

dx

) . روي ميلـه خواهـد بـود dx جرم معادل با طول dm مقدار xآنگاه در مكان )dxxdm λ= در

: اينجا مركز جرم طبعاً خواهد شد

( ) ( )

( )∫

∫

∫

∫== b

a

b

ab

a

b

aCM

dxx

dxxx

dm

xxdmx

λ

λ

) اين با ميانگين عادي در آنست كه تابع ديگري فرق )xλ تـوان پس مـي . به انتگرال اضافه شده

. تعريف كردfميانگين جديدي براي تابع

( ) ( )

( )∫

∫= b

a

b

a

dxxw

dxxwxff

),( در بازه fكه ميانگين تابع baزن با و( )xwمانـد يعنـي ع وزن مانند فراواني در آماري مـي تاب. است

) چه مقدارxدر نقطه fآنكه مثالً از تابع )w حالت گسسته آن طبعاً . گيري شركت كند يانگينبايد در م

:اين گونه بود

∑∑

=i

iiwwf

f

)داريم و همچنين fفرض كنيد تابع )xuu =.

( ) ( )( )xufxg =:

: خواهد داشت چه رابطهx با ميانگين آن نسبت بهu نسبت بهfخواهيم ببينيم ميانگين مي

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

u b b bu a a a

u ba

f u du f u x u dx g x u dxf

u b u a u b u a u dx

′ ′= = =

− − ′

∫ ∫ ∫∫

) مانند ميانگين u نسبت بهfبينيد كه ميانگين مي )( )xufg . استx نسبت به′u با وزن=

)ابطه ميانگين زماني و مكاني يك نيرو با ض.مثال )xFF . را با هم مقايسه كنيد =

)از قانون دوم داريم كه )mx F x=&&

.حل

12

21

12

)()(21

xxxxW

xx

dxxFF

xx

x −

→=

−=

∫

∫كه انتگرال 21

)(xx dxxFكار نيروي ،F در بازه ),( 21 xxگويند مي.

1ست كه متحركي را با سرعت اوليه ا ي آن منظور از ميانگين زمان 1x v=&1 در نقطهx بينـيم بگـذاريم و ب

راي متحـرك تـابع زمـان xحسب زمان مكانش چگونه خواهد بود در اين صـورت بر Fتحت نيرو و (ـب

.ي نوعي تغيير متغير رخ خواهد داديعن. خواهد شد) سرعت اوليه

2

1

2 1

( ( ))tt

t

F x t dtF

t t=

−

∫

ا از قانون دوم داريم ام .. .. FF m x x

m= ⇐ =

( )

22

1 1

...

2 1

2 1 2 1 2 1

( )( )tt

t tt

m x tm x t dtm v v

Ft t t t t t

−

⇒ = = =− − −

∫

:در مورد ميانگين مكاني چنانچه از قانون دوم استفاده كنيم

( )2 2

1 1

..

2 1 2 1

x x

x xx

F x dx m x dx

Fx x x x

= =− −

∫ ∫

:اي داريم با استفاده از قاعده زنجيره

. . .2.. . 1

2d x d x dx d x dxx xdt dx dt dx dx

= = = =&

و با جايگذاري در رابطه

( )2 2

1 1

22

2 22 1

2 1 2 1 2 1

12 2 2

x v

x vx

m dx mdx dx m v vdxF

x x x x x x

−= = =

− − −

∫ ∫&

&

2 : گويند يعني يبطه فوق قضيه كار و انرژي نيز مبه را1

22 2

121 mvmvW −=

ست كه مقدار تغييرات سرعت صرفاً به كار نيرو بستگي دارد كه اين كـار اجالبي اين رابطه در آن

. بستگي ندارد2x تا1xتابع زمان نيست و به شيوه طي كردن فاصله

بستگي ندارنـد 2x تا1xاگر به هر دو ميانگين دقت كنيد هيچكدام به نحوه طي كردن فاصله بين

ها نتيجه قانون دوم اين. ابتدا و انتها بستگي دارندبلكه صرفاً كل جابجايي، كل زمان پيمايش و سرعتها در

.نيوتن هستند

: بياييد اين دو ميانگين را با هم ادغام كنيمحال

vvv

txvv

FF

tvmF

xvvv

mx

vvvvmF

t

x

t

x

2/)(/

2/)(

2))((

21

2121

121212

+=

∆∆

+=⇒

∆∆

=

∆∆+

=∆

−+=

انتها به سرعت جالب است كه نسبت اين دو ميانگين برابر با نسبت ميانگين عددي سرعت ابتدا و

.است ∆tميانگين در مدت

) طول منحني .مثال )xfy .حسب انتگرال بنويسيد برb تا a را در فاصله=

) نقطه اگر دو .حل , ) , ( , )x dx y dy x y+ را در نظر بگيريم مقدار طول بين ايـن دو نقطـه +

:يكي است يعنيبا مقدار فاصله اين دو نقطه ) بطور حدي(

22 dxdydl +=

y

dy

dxa b x

. فاكتور بگيريمdxاگر از

22

2

1 1

1x b b

x a a

dydl dx f dxdx

l dl f dx=

=

′= + = +

′⇒ = = +∫ ∫

توان حساب كرد مثالً اگر جسمي داشته باشـيم كـه در امتـداد با انتگرال حجم اجسام را نيز مي

) ،x كشيده شده باشد و سطح مقطع آن در xمحور )xA باشد آنگاه المان كوچك حجم كـه حاصـل از

)كشيده شدن )xA به اندازه dxاست برابر است با ( )dxxAdv : و حجم كل خواهد بود =

( )x b b

x a av dv A x dx

=

== =∫ ∫

.ريزد ن تانكر مخروطي شكل مطابق شكل مي پمپي آب را درو.ثالم

H

h

R

OµQ

. شـود انتهاي مخـروط اسـت وارد مخـروط مـي آب از منبعي بسيار بزرگ كه سطحش هم سطح

h ،mghW جرم از آب تا ارتفاع mدانيم كه كار الزم براي باال بردن مي پمپ چقدر بايـد كـار . است =

انجام دهد تا مخروط پر شود؟

يـاد ارتفـاع آب را ز dh خواهد به انـدازه را پر كرده و حاال مي hفرض كنيد پمپ تا ارتفاع .حل

) مقدار حجم افزايش يافته . كند )dhhAdv ) خواهد بود كه = )hA سطح مقطع مخـروط در ارتفـاع h

): مقدار جرم معادل با آن حجم. است )dhhAdvdm ρρ . است==

): مقدار كار الزم براي اين جابجايي )dhhghAghdmdW ρ==.

دانيم كه مي

dhhH

RgdhRH

hghdW3

2

22

2

2πρ

πρ =

=⇒

( )( ) ( ) 222

RHhhA

Hh

HAhA

π×

=⇒

=

: كارمقدار كل

22

0

32

2

0 4HRgdhh

H

RgdWWHHh

h

πρπρ=== ∫∫

=

=

==

=⇒ HMgvHgHHRgW

43

43

343

2ρ

πρ

HHCM جرم كل آب داخل مخروط استMكه 43

.ارتفاع مركز جرم مخروط است =

. سطح يك كره را بدست آوريد.مثال

ناسب است و ا چه المانهايي مام. ال بگيريمپيدا كنيم و سپس انتگررا dA بايد المانهاي سطح.حل

حسب چه متغيري بيان شوند؟اين المانها بايد بر

O

Z

rds

d

]طبعاً براي كره . كنيم تعريف ميoz را نسبت به محور θ زاويه مطابق شكل ]πθ . خواهد بود∋0,

dsعـرض نـوار . باشد θd گيريم كه مقابل به زاويه ظر ميكره در نحال نوارهايي را روي سطح Rdθ= .

oz (rنسبت به (شعاع نوارها Rsinθ= باشد مي.

.گيريم حت را همان مساحت نوار در نظر ميحال المان مسا

)pطول نوار است .( pdsdA=

pاي به شعاع در اصل محيط دايرهrاست پس :

22 2 2dA rds Rsin Rd R sin dπ π θ θ π θ θ= = =

. بيان شدهθحسب ح ماست كه براين المان سط

2 2 2

0 0 02 2 4A dA R sin d R sin d R

θ π π π

θπ θ θ π θ θ π

=

== = = =∫ ∫ ∫

. حجم يك كره را بدست آوريد.مثال

.ر بگيريم در اينجا بايد المانهاي حجم مناسبي در نظ.حل

r

اسـت و drضخامت هـر كـدام . گيريم هايي كروي حول مركز در نظر مي المانهاي حجم را پوسته

)) طبق مثال قبل(سطحشان ) 24 rrA π=0كافي است از . خواهد بود=rتا Rr . انتگرال بگيريم=

( ) 2

32

0 0

4

443

r R R

r

dV A r dr r dr

RV dV r dr

π

ππ

=

=

= =

= = =∫ ∫

ا شـعاع از يـك مركـز تغييـر مـي اي در فضا داريم كه چگالي فرض كنيد ماده .مثال كنـد آن ـب

)يعني )rρ ρ= اي به شعاع دانيم كه اگر كره ميr در نظـر ) هم مركز بـا مركـز چگـالي ( را از اين ماده

)بگيريم اندازه شتاب گرانشي در سطح كره متناسب با جرم داخل كره )rM و متناسب با معكوس شعاع

.است

21

r :يعني

( ) ( )2r

rMGrg =

حال بگوييد چگالي در هر شعاع بايد در چه شرطي صدق كند تا با افزايش شعاع، ميدان گرانشي كاهش

. يابد

. بنويسيمρ,...,rحسب را بر gابتدا بايد .حل

r

24dV حجم در هر شعاع حول مركزالمان r dr= π است.

)پس جرم اين المان )24dm dV r r dr= ρ = π ρمقدار جرم كل داخل شعاع r خواهد بود:

( ) ( )∫∫ ===

=

rrr

rdrrrdmrM

0

2

04 ρπ

:پس شتاب گرانشي خواهد بود

( )( )

20

24

r

drrrGrg

r∫

=

ρπ

: باشد يعنيrبايد تابعي نزولي از gكاهش يابد پس gشعاعخواهيم با افزايش ما مي

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

0 0dg r M rd

dr dr r

M r M r M rddr rr r

< ⇒ <

′ = − +

از آنجا كه

( ) ( )2

04

rM r r r drπ ρ= ∫

)قطعاً )rMتابع اوليه انتگرالده است پس :

( ) ( )24M r r rπ ρ′ =

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

2

3 3

/0

40

1 1 143 3 343

3

d M r r

dr

M r r rr r

M r M r M rr

V rr r

r

π ρ

ρ ρπ π

ρ ρ

<

⇒ − + <

⇒ < = = =

⇒ <

. استr چگالي ميانگين تا شعاعρكه

ρρدر مورد حالتيكه بخاطر همين است كه هر چه . يابد ست شتاب قطعاً با شعاع افزايش مي ا =

.شود ب گرانش كمتر ميل زمين برويم شتاداخ

)در تعريف ميانگين چگالي اگر دقت كرده باشيد چگالي )rρ24 را با وزن rπميانگين گرفتيم .

( ) ( )2 2

0 03 2

0

4 4

443

R R

R

r r dr r r drMV R r dr

ρ π ρ πρ

π π= = =

∫ ∫

∫

:در اينجا در اصل داشتيم. ايم شود كه تغيير متغيري داده ابع وزن در حالتهايي پيدا مي ت معموالً

dVdVρ

ρ = ∫∫

34كه تغيير متغيرمان 3

V rπ=بود .

كره

كره