ﻚﺟﻮﻣ ﻢﺘﺴﻴﺳ...
TRANSCRIPT
كاربرد
موجك در
شناسايي سيستم
حامد كاشاني: ارائه ir.ac.ari@kashani
دكتر فرزاد توحيدخواه: استاد درس
۱۳۸۳پاييز
1
:چكيده ،ايجاد زمينهبراي . سازي و شناسايي سيستم است گزارش مشتمل بر كاربرد موجك در مدلاين
و بازسازي يك زيه تجاز مثالي ومقدماتي در مورد تبديل موجك در حوزه پيوسته و گسسته نيز ارائه سيستم در نمايش . در بخش مقدماتي آورده شده استكرد موجك سيگنال نمونه براي درك عمل
ي نيل به مقصود براسمتخروجي ‐ سمت و ورودي سمت، خروجي فضاي انتقال به سه شكل وروديگيرد كه مورد شناسايي قرار ميسمت نهايت سيستمي با نمايش وروديدر . اند شناسايي معرفي شده
دهد و در با وجود تغييرات شديد در سيستم الگوريتم شناسايي جوابهاي مناسبي را به دست مي .شود مياثبات مقايسه با روشهاي كالسيك ديگر تواناييش
2
مطالبفهرست هحفص ناونع ۳ مقدمه ۱ ۴ موجك آناليز۲
۴ تبديل فوريه ۲‐۱ ۵ تبديل موجك۲‐۲ ۷ تبديل موجك گسسته۲‐۳ ۸ انواع موجكهاي مادر۲‐۴ ۹ نال مثالي از اعمال موجك بر يك سيگ۲‐۵ ۱۱ كاربردهاي موجك۲‐۶
۱۳ موجك در شناسايي سيستم ۳ ۱۳ ها و عالئم به كار رفته نشانهمعرفي ۳‐۱ ۱۴ معرفي سيستمهاي سريع متغير با زمان۳‐۲ ۱۵ نمايش سيستم در حوزه انتقالي ۳‐۳ ۱۷ دامنه كاربري نمايش سيستم در حوزه انتقالي ۳‐۴ ۱۷ توابع موجك به عنوان توابع پايه ۳‐۵ ۱۸ شناسايي براساس سيستم تبديل يافته ۳‐۶ ۱۹ شناسايي براساس سيستم تبديل يافتهمثالي از ۳‐۷
۲۳ گيري بندي و نتيجه جمع ۴ ۲۴ مراجع
3
مقدمه ‐۱تجزيه و تحليل آنها مند به در محيط ما همواره سيگناهايي وجود دارند كه به داليلي عالقه
از و خروجي سيستمهاي مختلفاصوات، سيگنالهاي وروديلرزشهاي زمين، تصاوير پزشكي، . هستيمتواند به رمزكردن، مي ، تجزيه و تحليلي كه در باال از آن سخن رفت.عالئم هستند اينجمله
آناليز .اطالق شودسازي و از اين دست مدلسازي، بازسازي، سادهتوصيف، كردن، زدودن، فشرده .روشي نوين براي نيل به آنچه گفته شد، استموجك
، كاربرد گزارش به آن پرداخته خواهد شد اين كه در باال ياد شد، آنچه كه دراز كاربردهايي، ١مانند پاسخ ضربه ‐ روشهاي كالسيك شناسايي .موجك در مدلسازي براي شناسايي سيستم است
در مورد برخي ‐ ٤روشهاي گوناگون تخمين پارامتر نظير كمينه مربعات، ٣، آناليز همبستگي٢پاسخ پلهبا تغييرات شديد متغير با زمان يا حتي غيرخطي ر از نويز رنگي هستند يا خود سيستم سيستمها كه متاث دهند، بنابراين بايد روشهايي ديگر با قابليتهاي بيشتر نمي، جوابهاي قابل قبولي را ارائه و ناهمگن است هايي كه رژيم عملكردي يكنواخت ندارند، تهويه مطبوع و سردخانهسيستمهاي . جستجو شوند
سلولي هاي مخابراتي اجسام پرنده با زوايه حمله متغير و شبكهسيستمهاي قدرت تحت بار متغير، موجك به .طلبد اند كه شناسايي آنها روشهايي قدرتمند را مي هايي از سيستمهاي بسيار پيچيده نمونه
.يادشده است در حل مسائل داليلي كه در بخشهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد، ابزاري قدرتمند بخش آخر .شود آناليز موجك معرفي ميدر فصل بعد، پس از ارائه مقدماتي پيرامون آناليز فوريه
.شود كاربرد موجك در شناسايي را با ارائه مثالهايي شامل ميهم
1 Impulse response 2 Step response 3 Correlation analysis 4 Least square
4
١ آناليز موجك ۲پذير مختلف امكانمبناي ديگر به هر منظور كه باشد به روشهاي سيگنال از يك مبنا به انتقال
به تبديل فوريه معروف كه٣مبناست فركانس به ٢مبنا از اين روشها تبديل سيگنال زمان يكي .استاي سرآغاز سخن با مقدمه روش ديگر، روش موجك است كه مورد نظر اين فصل است ولي .است
.هستند] ۲[و ] ۱[مطالب اين فصل برگرفته از يشتر ب.بر تبديل فوريه خواهد بود
تبديل فوريه ۲‐۱ .گردد مبناي فركانس منتقل ميبه وسيله انتگرال زير به f(t) در اين تبديل سيگنال پيوسته
)۱ ‐۲( ( ) ( )∫
+∞
∞−
−= dtetfF tjωω
هاي سينوسي حقيقي و تواند به مؤلفه تابع نمايي مختلط كه مي و f(t) ضرب حاصلجمع كه حاصل
ه با است ك)F(ω)( نتيجه اين تبديل ضرايب فوريه .است [∞+,∞-]∋tروي بازه موهومي تبديل شود، را در آن فركانس توليد موج سينوسي از فركانس مربوطه محتواي فركانسي سيگنال ضرب شدن در
ب ۲‐ ۱در شكل . دهد الف شمايي از تبديل سيگنال را توسط تبديل فوريه نشان مي۲‐۱شكل .كند مي .هاي فركانسي سيگنال نمايش داده شده است مؤلفههم
.]۱ [هاي فركانسي ب مؤلفه۲‐۱الف تبديل فوريه، ۲‐ ۱شكل
پذير خواهد يافته در مبناي زماني با انتگرال زير امكانبازسازي سيگنالي كه به مبناي فركانس انتقال
.بود
1 Wavelet 2 Time-Based 3 Frequency-Based
الف
ب
5
)۲ ‐۲( ( ) ( )∫+∞
∞−= ωω
πω deFtf tj
21
با توجه به آنچه كه تاكنون ذكر شد، تبديل فوريه از آنجاكه محتواي فركانسي سيگنال را تعيين
با همه توانايي كه . كند اي پيدا مي واردي كه رفتار فركانسي مهم باشد، اهميت ويژهكند، در م ميضعف اساسي است و آن اينكه در مبناي فركانس اطالعات زماني سيگنال تبديل فوريه دارد، داراي
يك اتفاق ويژه توان گفت كه با مشاهده تبديل فوريه يك سيگنال هرگز نمي. يافتني نخواهد بود دست، اين موضوع چندان اهميت باشد١ اگر سيگنال مورد نظر نامتغير بازمان. زماني بروز كرده استچه
، ابتدا و انتهاي ٤، تغيير ناگهاني٣، تمايل٢انحراف ( ولي در بسياري از موارد سيگنالها متغير با زمانندندارد ،مبود در تبديل فوريه براي جبران اين ك.كه تبديل فوريه قادر به آشكارسازي آنها نيست) وقايع
معرفي شد كه تبديل فوريه را در يك پنجره كوتاه زماني به سيگنال اعمال ٥كوتاه زمانتبديل فوريه فركانس تبديل ‐ مبناي دو بعدي زمانكند و بدين ترتيب سيگنال از مبناي يك بعدي زمان به مي . نشان داده شده است۲‐۲ شمايي از تبديل در شكل .شود مي
]۱[ كوتاه تبديل فوريه زمان۲‐ ۲ل شك
اطالعات حاصل از .توان گفت چه فركانسي در چه زماني در سيگنال حضور دارد حال ديگر مي
مشكل اين تبديل آنست كه .اين تبديل دقتي محدود دارند كه با اندازه پنجره ارتباط مستقيم داردست كه بسياري از سيگنالها به انعطافي ماند و اين در حالي طول پنجره در فركانسهاي مختلف ثابت مي
بنابراين بايستي به نوعي اندازه پنجره مزبور نيز متغير باشد و اين ايده به تبديل .بيشتر نيازمندند .شود موجك منجر مي
تبديل موجك‐۲‐۲
1 Stationary signal 2 Drift 3 Trends 4 Abrupt changes 5 Short-Time Fourier Transform (STFT)
6
حاصلضرب تابع مزبور در تابع يك تابع با جمع ١ تبديل پيوسته موجك،مشابه تبديل فوريهتوان بنابراين بطور كلي مي.شود در كل بازه زماني تعريف مييافته و شيفت٢شده موجك مقياس
:نوشت
)۳ ‐۲( ( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∫∞+
∞−
+∞
∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
dta
bta
tfbaC
dtpositionscaletfpositionscaleC
ψ
ψ
1,
,,
حاصلضرب . هستند٣مكان هستند كه تابعي از مقياس و)C(نتيجه اين تبديل ضرايب موجك آنرا در سيگنال اصلي ميزان سهم يافته مربوطه شده و شيفت هريك از اين ضرايب در موجك مقياس
. آورده شده است۲‐ ۳ شماي كلي اين فرآيند در شكل .كند تعيين مي
]۱ [ فرآيند تبديل موجك۲‐ ۳شكل
تعريف ۲‐ ۴شيفت و مقياس كه در تعريف موجك به كار رفته، به سادگي مطابق شكل
ترش شيفت به معني حركت موجك در طول محور زمان و مقياس به معني ميزان گس.شود ميبراي ثابت ۲‐۴ افت دامنه موجك با گسترش مقياس در شكل .طول محور زمان استك در جمو
.ماندن انرژي آنست
سمت راست شيفت و سمت چپ مقياس يك موجك ۲‐ ۴شكل
1 Continuous Wavelet Transform (CWT) 2 Scaled 3 Position
7
و مقياس كوچك پاييننكته قابل توجه آنست كه مقياس بزرگ موجك معادل فركانسهاي ، داراي ميانگين صفر و شود بعي كه به عنوان موجك به كار گرفته مي هر تا. باالستهايمعادل فركانس
عالوه بر اين براي آنكه سيگنال . اند بيان شده ۲‐ ۵ و ۲‐۴ اين مفاهيم در روابط .انرژي واحد استانتخاب شده بايد شرط يافته به مبناي موجك قابل بازسازي در مبناي زمان باشد، موجك انتقال
. است۲‐ ۶ده سازد كه همان رابطه را نيز برآور١پذيرش
)۴ ‐۲( ( ) 0=∫+∞
∞−duuψ
)۵ ‐۲( ( ) 12 =∫+∞
∞−duuψ
)۶ ‐۲( ( )∞<
Ψ< ∫
∞
dfff
0
2
0
:كه در اين رابطه داريم
( ) ( )∫+∞
∞−
−=Ψ dueuf fuπψ 2
فته به يا انتقال سيگنال اصلي از تبديل يافته فوريه آن انجام شد، در مورد سيگنال بازسازيهمانگونه كه . سيگنال را مبناي زمان برگرداند۲‐۷توان با رابطه مبناي موجك هم مي
)۷ ‐۲( ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
R R adbda
abt
abaC
Ktf
2
1,1 ψψ
باشند، ، معموالٌ به صورت گسسته ميبه آناليز آنها هستيم مند سيگنالهايي كه ما اغلب عالقه
به طور بديل گسسته موجك در ادامه بحث ت. ناپذير است تبديل موجك اجتنابسازي در نتيجه گسسته .شود اجمالي معرفي مي
٢ تبديل موجك گسسته‐۲‐۳
انجام ٣سازي آن به صورت دودويي براي آسانتر شدن كار با تبديل موجك معموالٌ گسسته .باشد مي۲به صورت توانهايي صحيح از و مكان بدين ترتيب كه مقياس . گيرد مي
1 Admissibility condition 2 Discrete Wavelet Transform (DWT) 3 Dyadic
8
)۸ ‐۲( ZkkabZja j
∈=∈=
,,2
.شود سسته به صورت زير نوشته ميموجك گاين تعاريف و با
)۹ ‐۲( ( ) ( )ktt j
j
kj −= −−22 2
, ψψ
مطابق f(n)ماني ز تبديل گسسته موجك سري ، و تعريف تبديل پيوسته موجك۲‐۹با توجه به رابطه .شود نوشته مي ۲‐۱۰رابطه
)۱۰‐۲( ( ) ( ) ( )∑
∈
=Zn
kj nnfkjC ,, ψ
هم با استناد به مطالب بازسازي سيگنال . است۲‐۳ در رابطه tل معاد) گسسته( در اين رابطه nكه
. قابل محاسبه است۲‐۱۱يادشده به سادگي از رابطه )۱۱‐۲( ( ) ( ) ( )∑∑
∈ ∈
=Zj Zk
kj tkjCtf ,, ψ
شايان ذكر است كه در فرآيند بازسازي سيگنال اين امكان وجود دارد كه برحسب نياز تنها
اين . توان به دلخواه بخشي از سيگنال را حذف كرد ابراين مي بن،قسمتهايي معين از آن بازسازي شودآنچه كه گفته شد، در فرآيند . رود سيگنال به كار مي ١قابليت در كاربردهايي نظير نويزكاهي
. قابل اجراست۲‐۱۲مطابق رابطه بازسازي
)۱۲‐۲( ( ) ( ) ( )∑∈
=Zk
kjj nkjCnf ,, ψ
در ادامه پس از .بط با هر مقياس تجزيه نمودمرتهايي توان سيگنال را به مؤلفه بنابراين مي
هايش تجزيه و تعدادي از انواع موجك مادر، توسط يك نوع از آنها سيگنالي فرضي به مؤلفهمعرفي .شود مزبور مرحله به مرحله بازسازي ميسپس سيگنال
انواع موجكهاي مادر۲‐۴
1 Noise reduction
9
ني از موجكهاي مادر قابل توليد رود، انواع گوناگو بر اساس كاربردي كه از موجك انتظار مي .اند معرفي شده ۲‐۵تعدادي از اين موجكهاي مادر در شكل . هستند
توان از آنها استفاده كرد اي هستند كه بسته به كاربرد مي مادر خانوادهموجكهااين هر يك از براي . ز شدترين شكل آن يعني موجك هآر آغا ايده موجك از ساده. يا انواعي ديگر را تعريف كرد
.تر شدن عملكرد و قابليت موجك در قسمت بعد مثالي آورده شده است روشن
مثالي از اعمال موجك بر يك سيگنال۲‐۵اين . سيگنال تصادفي سوار بر موجي سينوسي به عنوان سيگنال آزمايش انتخاب شده است
. نشان داده شده است۲‐ ۶سيگنال در شكل
]۱ [ برخي از انواع موجكهاي مادر۲‐ ۵شكل
سيگنال تست موجك هآر ۲‐ ۶شكل
به فرم ماتريسي نوشته شود يعني، تبديل موجك با دتوان در حالت گسسته ميتبديل موجك
به صورت گرافيكي در تبديل ماتريس . حاصل آيد نمايش برداري سيگنالضرب ماتريس تبديل در .شود مشاهده مي۲‐۷شكل
Haar Mexican hat PDF’s Derivative Morlet
Mayer Symlet Coiflet Diubechies
10
ماتريس تبديل موجك هآر ۲‐ ۶شكل
به ترتيب سيگنال آزمايش پس از اعمال تبديل موجك، در هر مقياس بازسازي شده است كه
. نشان داده شده است۲‐۸در شكل ) فركانس پايين(به مقياس بزرگ ) فركانس باال(از مقياس كوچك
هاي سيگنال آزمايش برحسب مقياس مؤلفه ۲‐ ۷شكل
11
اي كه در اينجا قابل توجه نكته. پذير است ها انجام بازسازي سيگنال نيز با جمع كردن مؤلفه قابليت اين . ها را در بازسازي سهيم نكرد توان براساس نياز بخشي از مؤلفه است، آنست كه مي
ترين فركانس به اي با پايين سازي سيگنال از مؤلفهباز .تواند براي نويزكاهي سيگنال به كار رود مي . نمايش داده شده است۲‐۸هاي فركانس باال مرحله به مرحله در شكل سوي مؤلفه
سيگنال آزمايش برحسب مقياسبازسازي ۲‐ ۸شكل
كاربردهاي موجك۲‐۶
هاي مختلف مهندسي كاربردهاي متفاوتي تبديل موجك به عنوان يك ابزار رياضي در شاخه كه توانايي تعقيب تغييرات يك سيگنال را ه فرد اين ابزار است منحصر بدارد و اين به دليل قابليتهاي
12
برخي كاربردهاي آن در . به طور همزمان داردوسيع) سينفركا‐زماني(مقياسي ‐ طيف زمانيدر :زير فهرست شده است
يافتن نقاط ناپيوسته در سيگنال •
نويزبرداري از سيگنال •
سازي سيگنال فشرده •
شناسايي سيستم •
13
موجك در شناسايي سيستم ۳گيري تغييرات شديد در پيهمانگونه كه گفته شد، موجك به دليل ماهيت متغيرش توانايي
كه در مقدمه نامي از برخي از برخي سيستمها داراي ماهيتي متغير و سريع هستند. هر زماني را داردپس توصيف كاملتري از سيستمهاي مزبور، روشي براي مدل در اين فصل . داين سيستمها برده ش
.شود مدل ساختار يافته بر پايه موجك ارائه ميكردن آنها و در نهايت شناسايي . در فضاي موجك مدل شده است١متغير پاسخ ضربه يك سيستم خطي زمان] ۳[در مرجع
ضرايبي است كه LTV پاسخ ضربه سيستم τ و tع بر روي آرگمانهاي نتيجه كاربرد موجك در اين مرجفركانس اساس ‐مقياس، زمان‐ بدين ترتيب كه بجاي زمان.نمايشي از سيستم در مبناي موجك است
ورودي ‐ شامل بررسي ويژگيهاي سيستمهاي محدود] ۴[كار انجام گرفته در . نمايش قرار گرفته است كه در اينجا پيرامون آن بحث خواهد شد، مدلسازي ي كار .ست ا٣ در حوزه گابر٢و محدود خروجي
براي مثال با فرض . متغير بر پايه تخمين فضاي تابع عمومي است و شناسايي سيستمهاي سريع زمانتوان ثابت كرد كه پاسخ ضربه متعلق به فضاي مي) p=۲ يا p=∞كه (lpتعلق ورودي و خروجي به فضاي
خطاي تخمين به دليل ويژگيهاي . )آورده شده است] ۵[ين ادعا در مرجع اثبات ا ( خواهد بود٤باناچ .كند فضاي باناچ، با افزايش تعداد ترمهاي موجود در تخمين به صفر ميل مي
ها و عالئم به كار رفته نشانه معرفي ۳‐۱
صحيح و به ترتيب نمايانگر مجموعه اعداد طبيعي، R و N ،Zاز اين به بعد در اين گزارش به mbk كه ) sm, sm+1, . . . ,sk( براي راحتي نمايش رشته . استA ترانهاده ماتريس AT .قيقي هستندح
)صورت )k
mnns RZZhبه صورت پاسخ ضربه .شود نوشته مي= و t∈Z مقدار آن در hاست كه :×→τ∈Z برابر h(t,τ) است كه باt ۳‐۱( ثبات با سري ( و باτ ثابت با سري )شود مشخص مي) ۳‐ ۲.
)۱ ‐۳( ( ) ( )[ ]KK 1,, −ττ thth
)۲ ‐۳( ( ) ( )[ ]KK ττ ,,1 thth − ) سري زمانيp ٥رمنُ )k
mnns .شود بيان مي) ۳‐۳( با رابطه =
)۳ ‐۳( p
Zn
p
npn ss1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∈
1 Time-varying 2 Bounded Input-Bounded Out put systems (BIBO) 3 Gobar 4 Banch 5 Norm
14
:داريم lpو در تعريف
)۴ ‐۳( ( ) ( ){ }∞<= ∈ pnZnn
p ssZl ,
.يافت] ۵[توان در مطالبي بيشتر در اين خصوص را مي
معرفي سيستمهاي سريع متغير با زمان۳‐۲
در اين . شوند سيستمهاي سريع متغير با زمان، امروزه در دنياي مهندسي به وفور يافت مي يك . شود، بنياد ساختاردهي مدل به منظور شناسايي آن توسط موجك ايجاد شود قسمت سعي مي
. مدل شودt,τ∈ كه در آن h(t,τ)تواند با يك تابع وزني دومتغيره مي متغير زمانگسسته سيستم زمانتابع وزني مزبور در واقع همان پاسخ ضربه سيستم است و بر اين اساس رابطه ورودي و خروجي
.شود سيستم به صورت زير نوشته مي )۵ ‐۳( ( ) ( ) ( )∑
∈
−=Z
tuthtyτ
ττ,
در اينجا هدف آنست كه نمايشي از تابع باال در مبناي . ورودي سيستم استu خروجي و y كه در آن
انتقال ايجاد شود، سه نمايش مختلف اما مرتبط ارايه خواهد شد كه براساس فركانس ‐ زمانتر شدن كار، بهتر براي آسان .باشند مي٣سمت خروجي‐ و ورودي٢سمت ، خروجي١سمت ورودي
.شوند در اين راستا تعاريف زير مطرح مي.الت در قالب ماتريسي طرح شونداست روابط و معاد )۶ ‐۳( ( ) ( )[ ]TtutuU LK 1−= )۷ ‐۳( ( ) ( )[ ]TtutuU LK 1−=
)۸ ‐۳( ( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
OMMN
LL
LL
NMMO
1,10,11,0,
thththth
H
1 Input-side 2 Output-side 3 Input-Output side
15
)۹ ‐۳( ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −
OMMN
LL
LL
NMMO
1
0
00
Q
۳‐ ۱۰ و خروجي را با نمايش توان رابطه ورودي حال ديگر مي. شيفت زماني استn نمايانگر qnكه
.نوشت )۱۰‐۳( QHUY =
نمايش سيستم در حوزه انتقالي ۳‐۳
: و شرط زير هم برقرار باشد باشد١ّي ِعل)۳‐ ۵ (اگر سيستم
( ) )(0, torktifth >−<= τττ
ي نمايش سيستم ساز براي ساده. مقدار الزم استk+1 تعداد tآنگاه براي نمايش سيستم در هر لحظه ) مجموعه بردارهاي t در هر لحظه ،توان فرض كرد مي ){ }n
iti 1=τα كهnbkبه نوعي قابل انتخابند كه
. نوشت۳‐ ۱۱بتوان پاسخ ضربه را به صورت )۱۱‐۳( ( ) ( )∑
=
=n
i
ti
tiath
1
, τατ
)يعني ( ضريب nبنابراين فقط ){ }n
iti 1=τα ،nbk ( به كار ] ۴[در اين مدل . براي شناسايي الزمنددر هر پله
) و در نتيجه ثابت نوشته شده استt در ۳‐ ۱۱ واضح است كه رابطه . است رفته ) ( )ττ tutu به . −=به نمايشي از سمت به عبارت ديگر انتقال ورودي.شود سمت گفته مي اين شكل نمايش سيستم ورودي
اي با پاسخ ضربه سيستم برحسب توابع پايهtدر هر زمان معين گردد كه اطالق مي τسيستم وابسته به ) ،۳‐ ۱۱ در .پارامتريزه شده باشد τآرگمان )τα t
iو همان توابع پايه tia ضرايب حقيقي مربوطه
. باشد۳‐ ۱۲ به شكل معادله ،تواند مي۳‐ ۱۱نمايش ماتريسي معادله .هستند
)۱۲‐۳( ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=−−−
−
OMMN
LL
LL
NMMO
LLLL1
11,,
111 tt
ttaatthtth t
ntn
tn
tnt
ntn αα
αα
1 Causal
16
بنابراين )۱۳‐۳( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑
∈ ∈ =
−=−=Z Z
k
n
tn
tn
t
tuatuyhtyτ τ
τταττ1
,
>>∞كه k1 .تركيبي خطي از صورت هديده شد كه پاسخ ضربه سيستم ب( ){ }n
iti 1=ταنوشته شد .
)توان نشان داد كه با انتخاب صحيح مي ){ }n
iti 1=τα با رفتار سيستم باشد دقت مدلسازي با كه سازگار
.يابد اي افزايش مي مجموع به طور قابل مالحظهافزايش حدود t (ضرايب بسط پاسخ ضربه
na( برحسب ( ){ }n
iti 1=ταاين توان با استفاده از ويژگي تعامد را مي
. خواهد بود۳‐۱۴ رابطهبدست آورد كه مطابق توابع پايه
)۱۴‐۳( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑= ∈ = ∈ ==
===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=k
Z
k
n Z
tpnp
k
n
tnpn
tnp
k
nn
tnp aaaath
1 1 11
~~~,τ τ τ
δτατατατατατ
.شوند ابتدا ماتريسهاي زير تعريف مي۳‐۱۳براي نمايش ماتريسي معادله
)۱۵‐۳( ( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Λ−
−
OMMN
LL
LL
NMMO
1100
1
1
nn
nn
αααα
)۱۶‐۳( ( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Λ−
−
OMMN
LL
LL
NMMO
1~1~0~0~~
1
1
nn
nn
αααα
)۱۷‐۳( ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −−
−−
OMMN
LL
LL
NMMO
11
11
tn
tn
tn
tn
aaaa
A
كند كه ويژگي تعامد ايجاب مي
)۱۸‐۳(
kkTT I ×=ΛΛ=ΛΛ ~~
.توان به صورت زير نوشت را هم مي۳‐۱۱نمايش ماتريسي رابطه
17
)۱۹‐۳( TAH Λ=
.آيد ماتريس ضرايب بدست مي در طرفين معادله باال ~Λبا ضرب )۲۰‐۳( AAH T =ΛΛ=Λ ~~
.آيد به صورت زير بدست مي ۳‐ ۱۳در نهايت نمايش ماتريسي رابطه )۲۱‐۳( UQAUQHY TT Λ=ΛΛ= ~
‐ سمت و ورودي سمت سيستم طي شد، براي نمايش خروجي روندي كه در ارتباط با نمايش وروديشود و براي كسب در اين گزارش جزئيات دو نمايش آخر ارائه نمي.سمت قابل اجراست خروجي
.رجوع كند] ۵[تواند به اطالعات بيشتر خواننده مي دامنه كاربري نمايش سيستم در حوزه انتقالي ۳‐۴
بستگي به ديناميك سيستم و ميزان دانش اوليه دامنه كاربري نمايش در حوزه انتقالي هاي ورودي و خروجي داراي طول وزه انتقالي آنست كه دادهح فرض در .پيرامون رفتار آن دارد
تواند تغييرات سريع پاسخ ضربه را همين دليل مي به .محدود در مدت زماني كوتاه هستندكند و سبب به انتخاب توابع پايه كمك مي دانش اوليه پيرامون ديناميك سيستم .رامتريزه نمايداپ
.ترين زمان انجام گيرد شود شناسايي با كمترين تعداد پارامتر مجهول در كوتاه ميي نامتغير بازمان يا سيستمهاي متغير سمت به آساني قابل اعمال به سيستمها نمايش ورودي .متغير قابل اجراست سمت به آساني براي سيستمهاي سريع زمان نمايش خروجي .ند استبازمان كُ .متغير دارد مطالعه هر سيستم زماننمايش يادشده انعطاف بسيار خوبي براي دو تركيب
توابع موجك به عنوان توابع پايه ۳‐۵
. پاسخ ضربه بر اساس يك سري از توابع پايه بسط داده شد،انتقالدر بحثهاي مربوط حوزه :بسط مزبور هستند كانديدهاي مناسبي براي ،توابع موجك به داليلي كه در زير آمده
شود، از آنجاكه پاسخ سيستم در زمان اش مدل مي زماني كه يك سيستم واقعي با پاسخ ضربه • نمايش چنين .گيرد محدود مدنظر قرار مي محاسبه نيست، عمالٌ پاسخي با دوره قابل ∞±
برابر با كوتاهتر از سيگنال (اي با طول محدود با طول محدود بر اساس توابع پايهسيگنالي اي آنست كه تعداد ضرايب مربوط به مزيت استفاده از چنين توابع پايه.مناسبتر است) اصلي
18
بنابراين .استدر همان لحظه خ ضربه سيستم تقريباٌ برابر با طول پاس tدر لحظه حوزه انتقال حتي كمتر يتوان تعداد ضرايب بر اساس دانش اوليه از سيستم با انتخاب توابع پايه مناسب مي
.داشتاز طول پاسخ ضربه
توان براي شناسايي الگوريتمي ساده و حتي مي ١استفاده از توابع پايه موجك و تابع مقياس •مربوط به بازه نيازمندي تنها اطالعات ٣محدود ابع پايه طول استفاده از تو. داشت٢برخط
شود زيرا، با و سبب درك مستقيم فرآيند ميزماني محدودي را در پي خواهد داشت .يابد بين ورودي و حروجي سيستم كاهش مي٤كوواريانس τ−tافزايش
اين حوزه را در پي خواهد اد ضرايب در حوزه انتقال كاهش تعدتوابع پايه موجك كاربرد • براي مثال، اگر .ايها هستند هتوابع قادر به تضعيع چندجملاين بدان دليل است كه اين . داشت
)خطي و به صورت tپاسخ ضربه سيستمي در لحظه ) bath += ττ, باشد با استفاده از بانكهايصفر خواهند شد زيرا، حوزه موجك تمامي ضرايب ۴٦ توليدشده با موجك ديوبچيز٥فيلتر
)داراي فاكتور ۴همه توابع ديوبچيز )21−zهستند .
شناسايي براساس سيستم تبديل يافته ۳‐۶ :فرض شود به صورت زير tسمت در لحظه سيستمي در قالب ورودي
)۲۲‐۳( ( ) ( ) ( )∑ ∑−
= =
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=1
0 1
n m
l
tl
tl tuaty
τ
ττα
)كه ){ }m
ltl 1=τα پايه، توابع{ }m
ltla اين تخمين بر اساس . كه بايد تخمين زده شوند، هستندرامترهايي ا پ=1
)(رشته ورودي ){ }tnktsu )2( )(و رشته خروجي ) −+− ){ }t
nktsy )2( در حالت كلي توابع پايه و .شود زده مي) −+−كه در واقع همان يافتن t سيستم در لحظه شناساييبراي . تغيير كنندtتوانند با ضرايب مربوطه مي
}تخميني از ضرايب }m
ltla maa به صورت=1 ˆ,,ˆ1 Kبايد مراحل زير به ترتيب اجراشود، است :
) در بازه تشكيل بردار خروجي .۱ )[ ]tkt : به صورت زير−−1,
)۲۳‐۳( ( ) ( ) ( ) ( )[ ]TktytytytY 11 +−−= K
. استt خروجي سيستم در زمان y(t)كه در آن
1 Scaling function 2 Online 3 Finite length 4 Covariance 5 Filter bank 6 Daubechies length four
19
) ورودي در بازه ماتريستشكيل .۲ )[ ]tnkt : به صورت زير−+−2,
)۲۴‐۳( ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−+−
−−−+−−
=
21
2111
nktuktuktu
ntututuntututu
tU
M
MOMM
L
L
)انتخاب بردار هاي تخمين متعامد .۳ ) ( )[ ]1,,0 −nll αα L كه ml و سپس تعريف ماتريس 1≥≥
Λ:
)۲۵‐۳( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=Λ
111
111000
21
21
21
nnn m
m
m
ααα
αααααα
L
MOMM
L
L
)محاسبه .۴ ) ( )Λ= tUtN
:و در نهايت تخمين ضرايب از رابطه زير .۵
)۲۶‐۳( [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tYtNtNtNtNaaa TTT
tm
1121 ˆˆˆ −−=L
.شود اين روند مجدداٌ تكرار ميt+1براي لحظه .۶
نمايشهاي كاري مشابه آنچه انجام شد، براي .آمده است] ۶[اثبات اين روند تخمين به تفصيل در اجراي روند در مورد نمايش البته . انجام شود،تواند سمت هم مي خروجي‐ روديسمت و و خروجي براي روشنتر شدن موضوع .تر است سمت به مراتب از دو نمايش ديگر پيچيده خروجي‐ ورودي
.شود مثالي در قسمت بعد بررسي مي شناسايي براساس سيستم تبديل يافتهمثالي از ۳‐۷
هاي توليدشده با سمت روي داده ايش وروديبراي نمدر اين بخش الگوريتم شناسايي براي اثبات .متغير فرض شده است سيستم خطي زمان.شود اجرا ميسيستمي تحت اثر اغتشاش
ورودي به سيستم يك رشته .اي در پاسخ ضربه در نظر گرفته شده است توانايي روش تغييراتي پله
20
با ٢ و ناهمبسته١اي تصادفي رشته هم فرض شده است، خروجي سيستم.تصادفي با توزيع نرمال است .ورودي مغشوش شده است
سيستم نامغشوشي كه بايد شناسايي شود در حوزه زمان به صورت خطي از
[ ]T468.0811.0836.3343.0713.4937.3738.1851.4333.1770.0 −−− تا
[ ]T453.0784.0710.3331.0502.4868.3754.1084.5358.1784.0 −−−
تغييرات ناگهاني از افتد كه حاكي اي اتفاق مي تغييراتي پله۱۱ در مرحله .كند مرحله تغيير مي۱۰در :استپاسخ ضربه به صورت زير در اين مرحله مدل است و
[ ]T451.0781.0696.3330.0502.4860.3307.0620.7689.0398.0 −−−
:رسد به صورت زير مي۱۹و سرانجام سيستم مجدد به صورت خطي به مرحله
[ ]T418.0725.0430.3306.0102.4715.3342.0113.8742.0428.0 −−−
.سيستم در حوزه زمان نشان داده شده است نمايش تصويري از ۳‐۱در شكل
]۶ [متغيري كه بايد شناسايي شود مبناي سيستم زمان نمايش زمان۳‐ ۱شكل
:اند در زير آورده شده به صورت گسسته انتخاب شده به عنوان گام نخست توابع پايه
1 Random sequence 2 Uncorrelated
21
[ ]T000000482963.0836516.0224144.0129409.01 −−−=α [
]T06250.0108253.0512260.0045753.0728766.0
353766.0170753.0137260.0108253.0062500.02
−−−
−−−−=α [
]T016747.0029006.0137260.0012260.0079247.0
295753.0637260.0512260.0404006.0233253.03
−−−
=α
گذر باالگذر و پايين۴ديوبچيز نتيجه كانولوشن 2αبردار . است۴ فيلتر باالگذر ديوبچيز1αبردار گذر ديوبچيز دو فيلتر پايين حاصل كانولوشن 3α بردار .) شده است١ نمونه افزون۲كه با رتبه (است
۳‐۲ اندازه اين سه بردار در فضاي فركانسي در شكل ).ونه افزون شده است نم۲كه با رتبه ( است ۴ به ترتيب فيلترهاي 3α و 1α ،2αشود، همانطور كه از شكل نيز برداشت مي. آورده شده است
.گذر هستند گذر و پايين باالگذر، ميان
]۶ [اندازه بردارهاي پايه بر حسب فركانس ۳‐ ۲ شكل
مبنا نمايش زمان نشان داده شده است كه قسمت باالي شكل۳‐۳نتيجه شناسايي سيستم در شكل
اي كه تغييرات شديد ميزان خطا در ناحيه.كنند بيان مينتيجه شناسايي و پايين آن خطاي شناسايي را سمت و توان در مورد خروجي مشابه اين كار را مي. تدر سيستم داريم بيشتر از نواحي ديگر اس
آورده شده ] ۶[خروجي در ‐ نيز انجام داد كه نتايج مربوط به نمايش وروديسمت خروجي‐ ورودي .است
1 Up sampled
22
]۶ [خطاي شناسايي: پايين. مبنا سيستم شناسايي شده زمان: باال. شناسايي بر پايه ورودي سمت ۳‐ ۳شكل
وش كمينه مربعات مؤكد آنست كه در روش كمينه مربعات براي مثال اي بين اين روش و ر مقايسه است ۴۳/۳۱ گزارش و در روش به كار برده شده در اين ۸۰/۶۹ها مانده مجموع مربع باقيمزبور
.كند كه توانايي اين روش را تأييد مي
23
گيري بندي و نتيجه جمع ۴دا مقدماتي بود بر تبديل موجك، تعريف آن، ذكر آنچه كه در اين گزارش مطرح شد، ابت
متغير و در نهايت شناسايي سيستمهاي زماناي روابط مفيد در معرفي موجك، كاربردهاي آن پاره بوسيله تبديل موجك، كه در قسمت اخير سه نمايش ويژه براي سيستم جهت شناسايي آن ارائه سريعسمت عناوين نمايشهاي مزبور از سيستم روجيخ‐ سمت و ورودي سمت، خروجي نمايش ورودي. شد
نتيجه آنكه توابع موجك به .بودند كه نوع اول آن مورد توجه قرار گرفت و مثالي نيز از آن ارائه شدتوابع پايه بسط پاسخ ضربه اي كه در متن به آنها اشاره شد، توابعي مناسب براي دليل شرايط ويژه
. و توابع موجك را به خوبي نشان دادتوانايي روشسازي نيز هستند و شبيه
24
مراجع1. M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J. M. Poggi, “Wavelet Toolbox for use with matlab”
Mathworks Inc., 1996. 2. D. B. Percival, A. T. Walden, “Wavelet Mathematics for Time Series Analysis”,
Cambridge University Press, 2000. 3. H. Zaho, J. Bentsman, “Block Diagram Reduction of the Interconnected Linear Time-
Varying Systems in the Time-Frequency Domain” Accepted for publication by multidimensional systems and signal processing,
4. H. Rotstein, S. Raz, “Gobar Transformation of Time-Varying systems: exact representation and approximation”, IEEE Trans. Autom. Control, 44 No.4, Apr. pp.729-741, 1999.
5. H. Zaho, J. Bentsman, “Bi-orthogonal Wavelet Based Identification of Fast Linear Time-Varying Systems part I: system representations”, Journal of Dynamic systems, Measurement and control, Vol.123, pp 585-592, 2001.
6. H. Zaho, J. Bentsman, “Bi-orthogonal Wavelet Based Identification of Fast Linear Time-Varying Systems part II: algorithms and performance analysis”, Journal of Dynamic systems, Measurement and control, Vol.123, pp 593-600, 2001.