ﻢﻴﺣﺮﻟﺍ ﻦﻤﺣﺮﻟﺍ ﷲﺍ ﻢﺴﺑ -...
TRANSCRIPT
بسم اهللا الرحمن الرحيم والصالة والسالم على أشرف المخلوقين محمد سيد المرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين
ملخصات مع تقنيات أما بعد ٬ يسرني أن أقدم لكم هذا العمل المتواضع وهو عبارة على
مجمعة في كتاب واحد ي م لجذع المشترك عل الرياضيات لمستوى ا
بوعيون وهي لألستاذ حميد
sefroumaths.site.voila.fr
تجميع وترتيب
ALMOHANNAD
تـــــــــ بــــ دئ اــــ
I( 0,1,2,3, 4,5.......IN =
* 1, 2,3, 4,5.......IN =
II( – (1 a
2a k= k IN∈. (2 a
2 1a k= + 2 1a k= − k IN∈ .
3( (a ! "# $ !%& $ . (b ! "# $ !%& $. (c (* $ !%&a b $) $a b+ . (* $ !%&a b $) $ a b+ . (* $ !%&a $ b $) a b+ . (d (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a $ b $) ab .
(e $ !%& a b *+! , $) $ $ .
III( 1(!" $- a b $ $ .
-! $& . a - /0 b $ !%& a a b k= k IN∈.
2( (* 0 /0 . (* 0 , ! /0 - 0. (* $ !%&a /0 b b /0 c $)
a - /0 b .
3( # $"% ! !" $- a b $ 1 $ $ .
$- 23! 4-! /0-!a b, /0 2 5 4 " 1 . - ( , )PPCM a b
a b∨ .
4( (* -! $ !%&a - /0 b $) ( , )PPCM a b a= (*( , )PPCM a a a=
IV( &' 1(!" $-a b $ $ .
-! $& . a 6.- # b -! $& 7 b ". a $ !%& a /0 b a
a b k= k IN∈ . /b a.
2( (* ". 6 -! !3! 0 . (* 0 , ! ". 0. (* $ !%&b ".a c ".b $)c ". a. (* -!1 6 -! !3! 8 ". . (* 9 ". . (* -1 , ! "# 1.
3( () &* + 2,3,4,5,9,11,25 a( "
$-0α7 1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα $ #
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
6-1 0...r rα α α− %-! -! -&
! "# 0α ! "# 7 1α 7 ............
b( - -! 1 0...r ra α α α−= -:
(*a 6.-! . 2 $ !%& 0 0,2,4,6,8α ∈
(*a 6.-! . 3 $ !%& 0 1 23/ rα α α α+ + + +
(*a 6.-! . 4 $ !%& 0 14 /α α
(*a 6.-! . 5 $ !%& 0 0,5α ∈
(*a 6.-! .9 $ !%& 0 1 29 / rα α α α+ + + +
(*a 6.-! . 3 $ !%&
0 2 4 1 3 5......) ( .....)11 / (α α α α α α−+ + + + + +
(*a 6.-! . 25 $ !%& 1 0 00, 25,50,75α α ∈
4( . $"% &* !" $- a b $ 1 $ $ .
3! 4-! ".-! $- a b"# , " 1 5 4 . - ( , )PGCD a b a b∧ .
5( /)'0 - . $-a b $ *IN a b≥ .
$( , )PGCD a b# ;# 6- 6: 6. a b ".-! < ". "=
$ " # !%, #-!( , )PGCD a b " 1 # *> , .
?-! @%, A* $ :
... ... ... 2r 1r b a
3q 2q 1q
0 nr ... ... 2r 1r 1r
V ( 1(!" - ! a -
. $#1 a.
2( (a -! , B. -a 8 - .
3! !3! 8 6-p B. -! 2p a≤ ". !3! @%, $ !%&a $) a - 1 .
". C !3! @%, 8 ; !%&a $) a - . (b $ 23! 6-3! !3! 100,
2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43, 47 7 53 ,59 ,61 ,67 ,71 ,73 ,79 ,83 ,89 ,97.
(c - 2p ≠ , (d -!1 - E- .
3 ( $." 2 3 (4 0 -: 2a ≥ < 6.
31 21 2 3. . ...... r
ra p p p pαα α α=
1p 7 2p 7 3p 7 ..... 7rp ! 6- .
1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα 6 1 6 ! . -! 49 6-! @%,a 6- ! F! -& .
25 49--! 54:- $%& $%&354 2 3= ×
4( +" . (a $- 23! 4-! /0-! a b F! ,
9 $ 6-! 1 6-! 6-3! !-! a b E -& 6 .
(b $- 3! 4-! ".-! a b !-! F! , 9 $ 6-! 6-3!a b E 2 -& 6 .
25 - :76 632 76 ∨و632 ∧
$-
$%&3632 2 .79= 276 2 .19= 276 632 2 4∧ = = 376 632 2 .19.79 12008∨ = =
(c $- 2a ≥
31 21 2 3. . ...... r
ra p p p pαα α α= -! 49 a ! F! -& 6-.
-! "!# a , 1 2(1 )(1 ) (1 )rα α α+ + +
2 54 3 27 3 9 3 3
1
2 632 2 76 2 316 2 38 2 158 19 19 79 79 1 1
ب اا
(A 1 vوu
) (
!" . 2 AB BA= −
3 AB BC AC+ = )$% &'((.
4 0AB =
) A B=. 5 ** $+ u v+
, u
v $-.
/0+ 1 . 6 (23 ( )ABCD/0+ 1
45* & 3% :
(a AB DC=
(b AD BC=
(c AC AB AD= +
(d 3 [ ]AC [ ]BD7- .
7 I& 7- [ ]AB
(* AI IB=
(* IA IB= −
(* 1
2AI AB=
(* 1
2BI BA=
(*0IA IB+ =
:
a ( I7- [ ]AB$ 1
2AI AB=
b (+ 2 I7- [ ]AB+ 2 +
0IA IB+ =
8 ( )ABC89 9I7- [ ]BC
* ( )1
2AI AB AC= + .
9 ( )ABC989 .
I7- [ ]AB J7- [ ]AC
* 1
2IJ BC=
10 (a vوu
.
(b vوu
v uα= + u vα=
.
(c CوBوA4 & AC ABو
AB ACα=
+ AC ABα=
(d ( )AB ( )CD 4 CDوAB
.
: a ( + 2 IKوIJ
&'(
)9IJ IKα=
+ 0IJ IKα β+ =
+ .(...
:2 !IKوIJ
3; &*2
&8-. ACوAB
9 .
9 * 2IJ AB AC= −
6 3IK AB AC= −
< =
+ 3 6 3IJ AB DC IK= − =
3IK IJ= .
b (( )ABC 989 M>2 & 3MA MB=
73 3?M8 @* & 8 :
3MA MB=
( )3MA MA AB= +
3 3MA MA AB− =
2 3MA AB− =
2 3AM AB=
3
2AM AB= .
u
u
v
v
u v+
A B
CDI
A B I
A
B C I
A
B C
I J
u
v
((((I I I I .
( )D ( )L O M ( )P
'M ( )L M ( )D .
'M M ( )L ( )D.
(a M ( )L !" #$ % #& '. (b M ( )D ' O. (c ( ( )L ( )D ) ' p ( )P* ( )P .
+ ,$ 'M ' M -( ) 'p M M=. (d ,$ ( ) ( )D L⊥ . p ! (
( )L.
(II ! .
(1 /0 1* ( :
,$G /0 ( , ), ( , )A Bα β
( ) 'p A A= ( ) 'p B B= ( ) 'p G G=
. G' /0 ( ', ), ( ', )A Bα β
(2 ( 3" 1* : ,$I 3" [ ]AB . I' /0 [ ]' 'A B
4* ( ) 'p A A= ( ) 'p B B=
(3 ( #0 1* :
,$AB kCD=
. ' ' ' 'A B kC D=
A' B' C' 'D " ' A B C D
.
(III
(1 1( )L 2( )L 3( )L 4( )L + 5
( )D ( ')D # 6 A B C D A' B' C' 'D . ! :
' '
' '
AB A B
CD C D=
' '
' '
CA C A
BD B D= ......
(2 1( )L 2( )L 3( )L
3+ ( )D ( ')D # 6 A B C
A' B' C' . ! :
' '
' '
AB A B
AC A C=
' '
' '
CB C B
AB A B= ......
(3 ( )ABC 77 .( )D ( )BC ( )AB M ( )AC N
! :AM AN MN
AB AC BC= =
AB AC BC
AM AN MN= =
" MA NA MN
MB NC BC= ≠
(4 ( )ABCD 3* 89 I 86 .
! :IA IB AB
IC ID CD= =
IC ID AB
IA IB CD= =
" BI AI AB
BD AC CD= ≠
5( "# "! : (a 1( )L 2( )L 3( )L 3+
( )D ( ')D # 6 A B C
A' B' C' .
,$1 2( ) //( )
' '
' '
L L
AB A B
AC A C
=
. 1 2 3( ) //( ) //( )L L L
(b ( )ABC 77 .M ( )AB N ( )AC
,$AM AN
AB AC= . ( ) //( )MN BC
" : (1 +": 1;2;3;4 < +":
0 < = 9 . ":(5) > !# .
(2 + ,$ A B C D.
AB kCD= ? AB kCD=
A
B C
M N
A B
C D
I
A
B
C
'A
'B
'C
1( )L
2( )L
3( )L
A
B
C
'A
'B
'C
1( )L
2( )L
3( )L
'A
'B
'C
'D
A
B
C
D
( )L
( )D
'M
M
با - IR ا
اب IR . 1( ا اب IR.
aو b و c و d IR .
(a a b= a یـــــــ c b c+ = +
(b a b= . یـــــــ .a c b c= ( 0)c ≠
(c نإذا آ a b
وc d
= =
ـــــن . .
a c b dو
a c b d
+ = + =
(d . 0a b = 0a یـــــــ 0b أو = =.
(e . 0a b ≠ 0a یـــــــ 0b و ≠ ≠.
(g a c
b d= . یـــــــ .a d b c= ( 0 0)a ≠bو ≠
(h a c ad bc
b d bd
++ . و =a c ac
b d bd=
(i
aa db
c b cd
= و ⋅
aab
c bc و =
1 ba ab
=
2( IR اى a( 0 ∗) "ی 1a = ( 0)a ≠ (∗ 1 1a =
(∗ . . .....n
n fois
a a a a a=
*( 1 )n IN∈ −
(∗ 1n
na
a− =
b( خ%ـــــــت (a aو b *IR و m و n Z.
(∗ .m n m na a a += (∗ 1n
na
a− =
(∗ ( )m n mna a= (∗ ( ) .n n nab a b=
(∗
nn m
m
aa
a−= (∗ ( )
nn
n
a a
b b=
(b نإذا آa b= ن 2 2a b=
(c ن2إذا آ 2a b= و aو b ن ارة a b=.
(d 2 2a b= a یـــــــ b= أو a b= −.
أن *ح)ـــــ' : a b= أن ی "! أن
2 2a b= و aو bرةا
-,ـــــت ه' )3(a 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
(b2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
(c 2 2 ( )( )a b a b a b− = − +
(d 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
(e 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b− = − + −
(f 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +
(g 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +
. ا01ور ا.,"' )4a "ی IR ا*ي b ه. ا%$د ا.ج, aا+*ر ا(ب' &%$د . ∋+
2b: ی123 a=. ,4و a b= .
. خ%ــــــت (a aو b IR + .
(∗ 0a ≥ (∗ 2 2( )a a a= =
(∗ ab a b= (∗ ( )n na a=
(∗ a a
b b=
(b x IR∈ . 2x x=.
(c ن0 إذا آab ن < :ab a b= و aa
b b=
(d a IR +∈ 2x a= x یـــــــ a= أو x a= −.
. ا4ـــــــــس2' )5(a 2.ل إن ا%$دی aو b ' ' ن674 c و d ن82 إذا آ : إذا و
a b
c d=
(b ن1: إذا آ 2
1 2
n
n
a a a
b b b= = ن = :
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
n n n
n n n
a a a k a k a k a
b b b k b k b k b
+ + += = = =+ + +
6( 5 . ا81ئ ا6a( : "ی آ; :$د ح22x %ب44 و k 3=.ر ب :$دی >1k 1k: ی7% + x k≤ < +
) وx ,4 ی>A ا+@ئ ا=3< &%$د kا%$د ا7> )E x k= أو
[ ]x k=
: *ح)' ; x &%$د ا+@ئ ا=3<∗)B ة) .x ه. ا%$د ا7> ا*ي ی.ج$
(∗ ( ) ( ) 1E x x E x≤ < + ; x IR.
(IIاــــــــ .IRـــــــ خ%ـــــــت )1(a (∗ a b≥ 0a یـــــــ b− ≥
(∗ a b≤ 0a یـــــــ b− ≤
(b (∗ a b> 0a یـــــــ b− >
(∗ a b< 0a یـــــــ b− <
(c (∗a b≤ 7%ی a b< أو a b=.
a إذا آن ∗) b< ن a b≤ >3ص )D %وا .
(d (∗ a b≥ a یـــــــ c b c+ ≥ +
(∗ a b> a یـــــــ c b c+ > +
(e(∗ نإذا آ a b
وb c
≤ ≤
ن a c≤ .
إذا آن ∗) a b
وb c
≤ <
ن a c<.
(f (∗ نإذا آ a b
وc d
≤ ≤
ن a c b d+ ≤ . < وا% D( ص3+
إذا آن ∗) a b
وc d
≤ <
ن a c b d+ < +
(g (∗ نإذا آ 0
a bو
c
≤ ≥
ن ac bc≤
إذا آن ∗) 0
a bو
c
≤ ≤
ن ac bc≥ .
(f (∗ نإذا آ 0
0
a bو
c d
≤ ≤ ≤ ≤
ن ac bd≤ >3ص )D %وا .
إذا آن ∗) 0
0
a bو
c d
≤ ≤ < <
ن ac bd<
(i 0a 0b و < > . (∗ a b≤ یـــــــ1 1
a b≥
(j 0a 0b و > < . (∗ a b≤ یـــــــ1 1
a b≥
(k 0a 0b و ≤ ≥ (∗ a b≤یـــــ 2ــ 2a b≤
(∗ a b≤ a یـــــــ b≤
(l 0a 0b و ≥ ≤ (∗ a b≤ 2 یـــــــ 2a b≥
(m aو b IR a b≤ 2 یـــــــ 2a b≤
(n ن ـإذا آ a و b رة و0 اa b+ ن = 0a 0b و = =
*ح)' ی43.ین :&A ا+*ور ا(ب%F ، 2رن b و a إذا آن ا%$دی
a و b رن"! أن 2 2 یa 2 وb رةو1234 إ a و bGث %4; اIص4 <(k و (l .
. اــــــــــ.' ا.-' )2K ه ا%$د ا*ي (@ xا2F اF2&J &%$د. x IR :"ی
: وا%(ف ب ی& xب ; 0
; 0
x xx
x x
≥= − ≤
0x إذا آن ∗): ی7% ن ا2F اF2&J &%$د ≤ x K< ه .
0xن إذا آ∗) ن ا2F اF2&J &%$د ≥ x K&ب2 ه .
خ%ـــــــــــت (a (∗ x x− = (∗ 0x ≥
(∗ xy x y= (∗nnx x= (∗
xx
y y=
(b (∗ x r=x یـــــــ r= أو x r= −.
(∗ x y= x یـــــــ y= أو x y= −.
(c (∗ x r≤ r یـــــــ x r− ≤ ≤
(∗ x r≥ x یـــــــ r≥ أو x r≤ −
ا.1ــــــــ9ت )3(a [ ] , /a b x IR a x b= ∈ ≤ ≤
(a [ [ , /a b x IR a x b= ∈ ≤ <
(a ] ] , /a b x IR a x b= ∈ < ≤
(a ] [ , /a b x IR a x b= ∈ < <
(a [ [ , /a x IR x a+∞ = ∈ ≥
(a ] [ , /a x IR x a+∞ = ∈ >
(a ] ] , /a x IR x a−∞ = ∈ ≤
(a ] [ , /a x IR x a−∞ = ∈ <
ا;:ـــــــــــ)4a: آ; 4وتF ا4وتت : "ی x b< a و > x b≤ و >
a x b< a و ≥ x b≤ x K4%6 b ت>A تPQ(ا &%$د ≥ a− .
. ,ــــــــ' ا.' ا.)5(a (i أن F 2(بF ب4(ی0x 8إذا أرد أن B د$%&x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 00 و x x r≤ − ≤
(iiأن إذا F 2(بF ب(اط0x أرد أن B د$%& x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 0 و 0r x x− ≤ − ≤ .
(iii أن F 2(بF &%$د0x إذا أرد أن B x FB$ب r 2.م ،
)PQ40بx x− $+76 0 وr x x r− ≤ − ≤
0x ی7% x r− ≤ .
(b د$%& Fب)2 FB أن 3$د إذا أرد x ا%$د )PQ42.م ب x $+76 و a x b≤ : و ه7 T474< أن ی& : ≥
(i a ی8 ه)ب4 F2(بr ب$x FB &%$دا2F ا b a= −
(ii b اط ه)r ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ب b a= −
(iii 2
a b+ ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ه
2
b ar
−=
c( 'ح)ــــــ* F 2(بF &%$د B $ت3$ی (ة إذا آV $ی7 إح$ى اPQ4(ات ا4x Fی :
(i 00 x x r≤ − F 2(بF ب0x 4 و46.ن ≥B8د(ی$%& x FB$ب r
(ii 0 0r x x− ≤ − F 2(بF ب(اط 0x و46.ن≥Bد$%& x FB$ب r
(iii 0r x x r− ≤ − 0x أو ≥ x r− ≤
F 2(بF &%$د0x و46.ن B x FB$ب r
d( ی ا"=يا . x IR .
(i ي ا%$د)W%ا(10 )
10
n
n
E x A x &%$د ا2F ا%W(یF ا2(بF ب4(ی8 ی>
FB$10ب n− .
(i ي)W%ا%$د ا (10 )
110
n
n
E x + A &%$د (اطا2F ا%W(یF ا2(بF ب ی>
x FB$10 ب n− .
I 1 ( ),i j
i
j
. 2 ( ),B i j=
. u
!"u xi y j= +
# ( ),x y # $#%
u
& B ( ),u x y
xu
y
.
!": # '$#% #(% u
& .
( ),B i j=
# ) u
* i
j
. #(%
u xi y j= +
$#% +, u
- ( ),x y ( ),u x y
. 3 ( ),B i j=
.
(a ( )1,0i
( )0,1j
b ( # /( ),u x y
( ),v x y′ ′
( ),u v x x y y′ ′+ + +
( ),u v x x y y′ ′− − −
( ),u x yα α α
c ( # /( ),u x y
( ),v x y′ ′
(* # u
v
& B . /# 1 2(#( )det ,u v
! 3/# :
( )det ,x x
u v xy yxy y
′′ ′= = −
′
(* # u
v
#(% , #(% ( )det , 0u v ≠
!": 1 ( i
j
. (* #(%0i jα β+ =
+, 0α β= = (* #(%i j i jα β α β′ ′+ = +
+, α α ′= β β ′=. 2 ( ' #(%A B C5$ # +, 6
AB
AC
. ! .
II$ 1 6!$ !/ ( ), ,o i j
6 o i
j
. 2 )!/# / ( ), ,R o i j=
M # 7# OM
!"OM xi y j= +
# ( ),x y # $#%
M )!/! R ( ),M x y xM
y
!": '$#% #(% M!/! )( ), ,o i j
)OM
* i
j
. #(%OM xi y j= +
+, ( ),M x y. 3 )!/# / ( ), ,R o i j=
.
# / ( ),A AA x y ( ),B BB x y (* ( ),B A B AAB x x y y− −
. (* #(%I 38 [ ]AB # '$#% +, I- :
,2 2
A B A BI I
y y x xy x
+ += =
!": # ' #(% A B C +, 6!$#( ), ,A AB AC
)!/ .
III
1 3/ : A u
/ # )#A 1# u
# " -M! #
AM
u
1 ( ),D A u
( )D.
!" : (a ( ),M D A u∈
/ AM
u
.
(b ( )D) . #( )∆ ( )D.
(c )# ( )AB A 1AB
. 2 % &'.
($: ( )D # )# ( )0 0,A x y 1# ( ),u a b
)! 2# $( )D - ( )t IR∈ 0
0
x x at
y y bt
= + = +
: ( )D
/ 2## $# #(-( )D # # " -
!" $## ( )1 3 , 2 4t t+ − 6 t IR∈. 9" ! /t IR# !" 8 '$#
( )D. "' 1t = 2 4y x= − = (% ( ) ( )4, 2M D− ∈.
3 ) $. (a ( )D # )# ( )0 0,A x y 1#
( ),u a b
/ !" 8! ( )D! : : ( ) ( ),M x y D∈ / ( )det , 0AM u =
/ 0
0
0x x a
y y b
−=
−
/ ( ) ( )0 0b x x a y y− − − !" / !" 8 )0Ax By C+ + = :
( ) ( ), 0,0A B ≠ / - ( )D ( ) : 0D Ax By C+ + =.
(b "# / ( ) : 0D a x b y c+ + = ( )D 1 ) ( ),u b a−
. (c (* #(%( )D#
# +, 8,;# ( )1,0i
!" 1/ 1 y c=.
(* #(% ( )D#
# +, #;# ( )0,1j
!" 1/ 1 x c=.
(* # )# - 8,;# ( )0,0o 1# ( )1,0i
1/ 0y =.
u
i A
( )D
i A B
( )D
O i
j
c ( )D
O i
j
c
( )D
(* # )# - #;# ( )0,0o 1# ( )0,1j
1/ 0x =. 4 )$ % &' *+ ) $ .
',: (a )# / ( ) : 2 1 0x y∆ + − = 2# $ !" 8! ( )∆ < ( )∆ :y t= x t=
<=#. "': :9 y t= (% 2 1 0x t+ − = / 1 2x t= − (%
( ) 1 2x t
y t
= −∆ =
.
(b )# / ( ) ( )( )
1 2 1:
3 2
x t
y t
= +∆ = + / !" 8!
( )∆ < t , ( )1 ( )27<;# , >/ . 5$ : ( )2 3t y= − − , >/ ( )1
1 2 6x y= − − (% ( ) : 2 5 0x y∆ + + =.
5 - .: (a # : # ( )∆ ( )′∆ ?# !:
(i #(% ( ) 0
0
:x x at
y y bt
= +∆ = +
@( ) 1
1
:x x a t
y y b t
′ ′= +′∆ ′ ′= +
A# )( ) 0 1
0 1
x at x a tS
y bt y b t
′ ′+ = + ′ ′+ = +
(* #(%( )S # 5 .t = .t′ = +, ( )∆ ( )′∆ >/ $#% !" 8 , /t $ ,
( )∆. (* A! #(%( )S +, !# 1 * ( ) ( )′∆ = ∆.
(ii #(% ( ) 1:
1 2
x t
y t
= +∆ = − +
( ) : 2 3 1 0x y′∆ − + =
A# )( )( )( )( )
1 1
1 2 2
2 3 1 0 3
x t
S y t
x y
= + = − + − + =
>/x y, ( )3# / !" 8 (*, /# B( #(%( )∆ ( )′∆ , / .
>/t , ( )1 ( )2!" 8 . (* +, * /# ' #(%( )∆ ( )′∆/C . (* +, !# 1 * /# ' #(%
( ) ( )′∆ = ∆. (iii #(% ( ) : 2 1 0x y∆ + − = ( ) : 2 1 0x y′∆ − + = A# )
( ) 2 1 0
2 1 0
x yS
x y
− + = + − =
'* D (i.
(b # / ( )( )
: 0
: 0
ax by c
a x b y c
∆ + + = ′ ′ ′ ′∆ + + =
(i #(% 0a b
a b≠
′ ′ +, ( )∆ ( )′∆ A# /
:# !" 8!.
(ii #(% 0a b
a b=
′ ′ +, ( ) ( )//′∆ ∆
(* #(%0a c
a c≠
′ ′ 0
b c
b c≠
′ ′ +, ( ) ( )// ′∆ ∆C /.
(* #(%0a c
a c=
′ ′ 0
b c
b c=
′ ′ +, ( ) ( )′∆ = ∆.
(c #(% ( )∆ ( )′∆ # <u
( )∆ v
( )′∆
( )det ,u v
(i #(% ( )det , 0u v =
+, ( ) ( )// ′∆ ∆
(ii #(% ( )det , 0u v ≠
+, ( )∆ ( )′∆ / .
(d #(% ( ) ( )// ′∆ ∆ -; 2 +, <E.
6 /0 $ (a #(% ( )∆ 1/ +, #=# 2# !" y mx p= + /# /# B(-
8<#. )# 1# /# /#( )∆.
(b ( )∆ 1 ) ( ),u a b
: 0a ≠ ) /
( )y yο′//( )∆ ( 1# /#( )∆ - bm
a.
(c # / ( ) : y mx p∆ = + ( ) : y m x p′ ′ ′∆ = + ( ) ( )// ′∆ ∆
, #(%m m′=
ات-اودت ادت واات م ار ان
(I ودت ا 1 تx ا ( ) 1
1 1 0....n nn nP x a x a x a x a−
−= + + + +
1 0,...., ,na a a 0 أاد وna ≠ (*( )P xأو Pودی ار deg و n ت P n=.
1ا!اد*) 0,...., ,na a a ت ا"ودی$% .P ت(b& %'ت$% ( . ت0ن ودی & إذا و.- إذا آ%( (cدر %' ) & . ا"ودی ا(d ت ا"ود$% )%%ن إذا و.- إذا آوی% ت0ن ودی%ن
.ر %وی 12 ا(e 1 آ3 ودی ار :( )P x ax b= ا+ . ت
(f 2 آ3 ودی ار :( ) 2P x ax bx c= + + 7$7 ت
.ا"ود 2 (a ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q+ ≤
(b ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q− ≤
(c ( )deg deg degP Q P Q⋅ = +
xا$# "! 3 α− (a ( )P x0ل إن اد. ودیαر 9"ودی: P 2; أو
)%ن إذا و.- إذا آ9P"ودی ) 0P α =
(b ( )P xودی .
( )P x9 x ت3 ا α−إذا و.- إذا آ%ن ( ) 0P α =.
:م&ح(a3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 ت3 ا x α− 0م
)ب"%ب )P α.
)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن= )P x9 x ت3 ا α−.
)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن≠ )P x9 B x ت3 ا α−.
(b3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 x ت3 ا α+ 0م
)ب"%ب )P α−.
II ( ر .IIادت واات م ا
ح* اد 12 0ax bx c+ + =
) ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + = 0a ≠
) أ3 3 ا%د )Eب اد%2 0م ب" 4b ac∆ = −
Cا %د∆اد*) ) ی )E.
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه
2 12 2
b bx x
a a
− + ∆ − − ∆= =
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا 2
bx
a
−=
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .
:م&ح(aد%) ا ) 2: 2 0E ax b x c′+ + = ) G&2یb b′=(
HDC ا3 ا′∆C2bوی&% . ∆ 0ض ا ac′ ′∆ = − ∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه
2 1
b bx x
a a
′ ′ ′ ′− + ∆ − − ∆= =
∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا bx
a
′−=
∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .
(b 2 إذا آ%نα∆ .Aن ا%د ت3 9 =
2 12 2
b bx x
a a
α α− + − −= =
اودت* ث&ث 2
) 7$7 ا"ود ) 2P x ax bx c= + + ( 0a ≠
3) أ3 ت )P xد%) 0م ب"3 ا ) 2 0E ax bx c+ + =
∆0إذا آ%ن*) وی0ن ت2x 3 و1xتA. E9 3ن ا%د⟨
( )P x 0ه ( ) ( )( )1 2P x a x x x x= − −
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واx وی0ن
3)ت )P x 0ه ( ) ( )2
0P x a x x= −
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E1 '% 3 وا"ودی ( )P x
3 .1 '% ت :م&ح∆0 إذا آ%ن )ودی .Aن ا"= )P x%ب ه%J رة% .
.إ-رة ث&ث اود 3 ) ا"ودة ) ( ) 20a P x ax bx c≠ = + +
) أ3 دراس إL%رة )P x 3"0م ب
)ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + =
∆0إذا آ%ن*) ).Aن ا%د ⟨ )E29D 9 32 ت 1x xو
)وت0ن إL%رة )P x Gه
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واxت0ن و
)إL%رة )P xGه :
∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )Eرة%L1 '% 3 وت0ن إ ( )P x
Gه:
2x
2ax bx c+ + a a a
0 0
1x 2x x
2ax bx c+ + a a
0x x
0
2ax bx c+ + a
x −∞ +∞
.IIم12ع واء ري مد م ار 4 (aد%) ا ) 2: 0E ax bx c+ + =
)إذا أرد% أن أن ا%د*) )Eب% ∆ ت3 9 0م ب"
N0و∆ ≥. 0ع واء ه%ذی ا"9 بون 3 ا%د *) N ب% ی
ب%س%ل اQH ا% 1 2
1 2
bx x
ac
x xa
− + = ⋅ =
(b إذا أرد% ت"ی %د ار IIو ی0نβ α%' 9 . α0م ب"%ب β+ و αβ N Sα β+ Pα و = β⋅ =
Gد ه%2وت0ن ه:R ا 0x Sx P− + =
(cS&إذا أرد% 3 ا x y S
x y P
+ = ⋅ =
0م ب"3
2ا%د 0t St P− + =
1 ه% ا"A. 9ن2x و1xإذا آ%ن
2
x x
y x
≡ =
2 أو
1
x x
y x
= =
( ) ( ) 1 2 2 1, , ,S x x x x=
: م&حβو 1) αد%G9 2 ا 0ax bx c+ + = .
T9 أن
b
ac
a
α β
αβ
+ = − =
βوإذا أرد% %ب ی"0ي 9 α Uα'%رإ "%ول β+ و αβ.
9Vأ (* :( )22 2 2α β α β αβ+ = + −
(*
( )( )( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
2
2
2
α β α β α β αβ
α β α β αβ αβ
α β α β αβ
+ = + + +
= + + − +
= + + −
(*( )
( )
22 2
2 2 2 2 2
21 1 α β αβα βα β α β αβ
+ −++ = =.
2 (1x2 وx%Vد ار ا% G9 . أ3 دراس 1 0م ب"%ب 2x و1xإL%رة 2x x+ 1 و 2x x⋅.
1إذا آ%ن*) 2 0x x . 0 واXخ س%2x وA. 1xن أ اد⟩1إذا آ%ن*) 2 0x x % 12 اLY%رة وه2x G وA. 1xن⟨' 1إL%رة 2x x+.
III (ت ا45ــــا :I1627 ادت م ار 1
) ا%د )1 0ax by c+ + Z b أوaدی أ ا=
) أ3 3 ا%د. &م )1" xBب y0 إذا آ%نa أو ≠
"yب Bx0 إذا آ%نb V0a$ إذا آ%ن. ≠ ≠
Nby cx
a
− , إذن =− /by c
S y ya
− − = ∈
.ن مد م ار ا8و 1627 2
S&ا ( ) ax by cS
a x b y c
+ = ′ ′ ′+ =
ا!اد aو bو a′و b′
( آ9'% &. S&أ3 3 ا ( )S%دات ا" . 0م ب"%ب ا
a b
ab a ba b
′ ′∆ = = −′ ′
x
y
c bcb c b
c b
a cac a c
a c
′ ′∆ = = −′ ′
′ ′∆ = = −′ ′
(a0 إذا آ%ن∆ ت3 $ وا: ≠S&ن اA..
( ) , y xS x y y x∆ ∆
= = =∆ ∆
b (0إذا آ%ن∆ =: ∆0xإذا آ%ن*) ∆0y أو ≠ ≠S&ن اA. ( )S3 %' 1 s = ∅
0إذا آ%ن*) 0y xو∆ = ∆ =S&ن اA. ( )S ت%.\ إى
.ا%دaxرة ـــــــــ إ- 3 by c+ +
ax أ3 دراس إL%رة by c+ م بA[%ء 0+T)ا ) : 0D ax by c+ + =
T)ا )D0ى) یT ا )P0ى G2H إ ( ) ( )2 1P .Pو
yإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )1P %&A. 9 3H"
.إL%رة 7%بyوإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )2P 9 3H" %&A.
yو. ه:R اLY%رة 0ض. إL%رة 1 اLY%رة ا%ب xو J ا7%تAب( )1Pأو ( )2Pخ: %دة إا7%ت_ θ
G0ه 0y =xو =.
ا ب ا
(I 1(
( ), ,o i j
U
o 1.
( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , 1,0A B C − a ( M U . α ! " AM
(* $ !"% AOM
rad α) α (
(* $ '( !α )* + "% ,( "% .
b (: "% +AOB AOC
( - +2 2 .1 2Rπ π π= =
+ *$22π π=
" ! *$AC
π "% . AOC
π
" !AB
2π*$ "%AOC
radπ " ! AB
2
π "% *$ AOB
2π.
c ( / 0(u , , , , ,S R Q P N M1+ :
6AOM
π= 3
4AON
π= 3
3AOP
π= 3 23
AOQπ=
3
4AOR
π= 3 5
6AOS
π=.
2( . %4 5 " 6( + 7
:180 200x y z
π= =
1+x " 5 . y " . z " .
:
8 "% 200 ,180 ,gra radο
π.
3( . ( )C o R
,B A )* . (* % /8 9 6 :5. (* α "% AOB
l " ! AB
S, ; +8
l Rα= 212
S Rα=
II ! " #$$ % & ' ( 0 π 1()% :
x 1+ + 0 x π≤ ≤ M
U 1+ " ! AM
x
AOM xrad=. a !<( M b( .
cosx a= sinx b= sin
tancos
xx
x=
2x
π ≠
2( "*: (a 2 2cos sin 1 (*x x+ =
22
11 tan (*
cosx
x+ = !
2x
π≠
sin
tan (*cos
xx
x= !
2x
π≠
(b 1 cos 1x− ≤ ≤ 0 sin 1x≤ ≤
(c (∗ sin 0x ≥ ! 0 x π≤ ≤
(∗ *$02
xπ≤ ≤ =< cos 0x ≥
(∗ *$2x
π π≤ ≤ =< cos 0x ≥
(∗ tanx cosx
(d
A
B
C
M
O1
1
-1
A
M
1
1
-10
xa
b
2
π
π
x
− + cosx
0
0 2
π π
x
− +
+
tanx 0 2
π π
x
+ +
sinx 0
π
0
0
A
B
O
l
Rα
0
6
π 4
π
2
π
3
π
π
2
3
π
5
6
π
3
4
π
1
2 1
2−
1
2
3( %& & ' ( ! %x xπ −
( )cos cos (x x aπ − = −
( )sin sin (x x bπ − =
( )tan tan (x x cπ − = −
4( %& & ' ( ! %x 2x
π −
cos sin (2
x x aπ − =
sin cos (2
x x bπ − =
1tan (
2 tanx c
x
π − =
5( +, ' (
6( - .& #/ %
(a ( )ABC < -% >> B
ABCosA
ACBC
SinAAC
=
= BC
TanAAB
=
b( +Sinus.& #/
( )ABC >> R. + ;
2
AB AC BCR
SinC SinB SinA= = =
0
x
2
π
xπ −
π
00
x 2
xπ − 2
π
π
A B
C
A
A
B C
10-1
1
0 π 1
2
2
2
2
π
1
2
4
π
2
3
π
2
2
1
2
3
2
6
π
2
2
3
2
3
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π 5
6
π
3
4
π
2
3
π
2
π
3
π
4
π
6
π 0 x
3
2
−
22
−
1
2
− 0
1
2
2
2
3
2 1 cosx
0 1
2
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0 sinx
0 1
3− 1− 3− 3 1
1
3 0 tanx
1−
×
اوال اد
(I ا
1( f
fD
2( : ( )
( )( )
p xf x
Q x=
( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0Q x ≠ . ( )* +%
( ) 0Q x = , ( -./fD = −R
3( :( ) ( )f x P x=
( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0P x ≥ 0# 1 +%
( )P x, ) 23& 456 7(( ) 0P x ≥ fD =
(II دا زوج دا د .
1( f 89 +% fD ) : ;%89
x <fD , fx D− ∈ =>* +% ? ( )f x− .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = A&f 3@B .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = − A& f & .
C/D (a & 5 3@B 5 5 : < E .
(b ( )n
n
n
x nزوجx
x nدي
− =
− x x− =
2( f F8,( ! "# $%& "# fC G H>, )I 9
J3.
(3 f F8,( ! "# $%& "# fC ) H>, )I 9
K.(.
(III دا . ت!ات دا أو رت
1(! f - L. I M9 x y <I N3*
x y< % ( )f x ( )f y.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≤ A& f L. I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y< A& f L. OP I .
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≥ A& f L. 3QP, I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y> A& f L. OP 3QP, I.
(∗ @ "# ( ) ( )f x f y= A& f L. 9I I.
2( ! f - L. I M9 x y <I
N3*x y≠ RS9 - =>* +% ( ) ( )
( , )f x f y
T x yx y
−=−
T0# U.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≥ A& f L. I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y > A& f L. OP I .
(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≤ A& f L. 3QP, I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y < A& f L. OP 3QP, I.
(∗ @ "# ( , ) 0T x y = A& f L. 9I I.
3( " #$% f& -V L. I L. 3QP, : W! "# I .
'()
(a f L. I X fC Y ZQ I < [89 ,
\ 3 ] >3
(b f L. 3QP, I X fC -V Y ^B, I [89 ,
\ 3 ] >3 <
(c f L. 9II X fC G ZB K3%9> < H
-V Y )3&I.
#!* , f < )! L. [ ]1,3 [ ]5,9 L. 3QP,
[ ]3,5 4RS9 -@ L > -@ Y _ `a. .
4( ! ( )f x ax b= +
(a! "# 0a >A& fL. R
(b! "# 0a > A&fL. R
(c! "# 0a =A& fL. 9I R
(d F8, f 3%9> .
5 ( !
(a < 9f 3@B .
(∗ W! "# f L. I A& f L. 3QP, –I.
(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. –I.
(b < 9f & .
(∗ W! "# f L. I A& f L. –I.
(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. 3QP, –I.
(c ! "# [ ],I a b= A& [ ],I b a− = − − .
(IV رف دا# . (1 : \H : : "# f Y QP 3P )H% 0x : \H b
0( ) ( )f x f x≤ - Y I L. Z9c 0x 3% d_ Q%
0( )f x .
(2 : \H : : "# f Y 3P )H% 0x : \H b
0( ) ( )f x f x≥ - Y I L. Z9c 0x 3% d_
0( )f x .
(3 (a : \H α . QP 3P f : \H b ( )f x α≤ Y
-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .
(b : \H α . 3P f : \H b ( )f x α≥ Y
-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .
(4 4RS -@ ! "# f ) 0 L.
A&α . QP 3P f Y 0x
β 3P . f Y 1x .
(5 F8, ! "# f ) 0 L.
A&α . QP 3P f Y 0x
β . 3P f Y 1x .
(V اوال اج .
1( 2( 0) ( )a f x ax≠ =
a(! "# 0a > 4RS -@ A& f
fC de K.( ): T1: f.0
L. ] T@ d% J3 e.
b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f
fC0 de K.( ): T1: f.
)g1 ] T@ d% J3 e .
2( ( 0) ( )a
a f xx
≠ = *fD = R
a(! "# 0a > 4RS -@ A& f
fC K.( ): d! 5_
K.( Ze d%.
b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f
fC K.( ): d! 5_
K.( Ze d%.
3( 2( 0) ( )a f x ax bx c≠ = + +
hi# )@: <fC - Q9j ] fC. J9 _( )f x
) 0L.2( ) ( )f x a x α β= − + < %.O, ? ( )y f x= X
2( )y a x α β= − + X 2( )y a xβ α− = − kl ? X x
Y y
αβ
= − = −
mHQ ( "#2Y aX= K. Y ( , , )i jΩ
k ( , )α βΩ
4( ( )ax b
f xcx d
+=+
)@: < hi#fC Q9j ] fC. J9 _( )f x
) 0 L.( )f xx
γβα
= +−
< ;.O, ? ( )y f x= X
yx
γβα
− =−
kl ? X x
Y y
αβ
= − = −
mHQ ( "# YX
γ=
K. Y( , , )i jΩ
k ( , )α βΩ.
5( +,- . / 0 123 04!$ .
(a kn% fC O%, J3 e k (0, (0))A f.
(b (∗ F8,( kn% ] fC ( )* +% )3& e k
( ) 0f x = -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&
1( ,0)A x b2( ,0)B x ….
(∗ ( -./ ( ) 0f x = kn% $% )3&: fC e k
)3&.
6( 5323 04!$ .
(∗ F8,( kn% ]fC
gC ( )* +%
( ) ( )f x g x= -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&
1 1( , ( ))A x f x b 2 2( , ( ))B x f x ….
(∗ ( -./ ( ) ( )f x g x= kn% $% )3&: fC k gC
7( 5323- 673 08 .
(a \3,8, . p>, kq U fC
gC 0# 1 +%
( ) ( )f x g x−
(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≥ A& fC r& @
gC.
(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≤ A& fC W7 @
gC.
(b 8@9( -./ ( ) ( )f x g x≤ 45V 7
23&fCW7 gC
8( !- (( ) : ( )E f x m=
( -./( )E kn% $% )3&: fC K3%9>( ( ) : y m∆ =
9( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.
! "#( ) 0f x ≥ X fC A& )3& e r& ( ) ( )g x f x=
"#gC k ;HO,
fC.
! "#( ) 0f x ≤ X fC A& )3& e W7
( ) ( )g x f x= − "# gC )Is
fC)3& G H> .
^9gC h@ < fC& e r& @( h@ )Is )3
fC )3& G H>, )3& e W7 @( .
10( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.
,( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x g x− = − = = "# g 3@B
J3 G H>, )I 9 ,8, ^9 . ) ,[ [0,x ∈ +∞ :
x x=
"# ( ) ( )g x f x= T,gC k ;HO,
fC.
^9gC h@ < fC Y @( [ [0,+∞ G H>, T.Is
J3.
0
0 f x
ــت ا ــدـــــا
(Iـــــــ اـــ ــــــآ ـــA(!"#ت
Ω و k م M' . د ه$ ا!#k و"! Ωاآ اي آ
) اي بـ , )h kΩ(ي یب وا
) M آ* )P M ب+M' ب
" 'M k MΩ = Ω
. Ω B( &ةا'' ( ا
12 ا$ا N و 0M$رت ا N' و M'ت$ن ان
1k إذا و6) إذا و3 د hبآ ب+ ≠
' 'M N k MN=
.
C( ت خ)ــــ h آ آ .k و"! Ω ت
(1 ( ) 'h M M= 76M' ت k MΩ = Ω
) إذا آن 2) ) 'h M M= و ( ) 'h N N= 86ن
' 'M N k MN=
(3 (a ( )h Ω = Ω ) ل إن$Ω آ0ة ب h (
(b ( )h M M= 76M ت = Ω
آ Ω ی أن ها( ) h ه ا ا$ة ا<ة ب
) إذا آن 4) ) 'h M M= 86ن Ω و M و 'M ?" .
(5 (a ا آ یA6 12 ا?3@ ی :
G @3إذا آن ( , ), ( , )A Bα β 86ن G' @3
( ', ), ( ', )A Bα β
(b : اآ یA6 12 ا?<C ی
] <I Cإذا آن ]AB 86ن I' @3 [ ]' 'A B
(c * اس DE ی 12 A6 : اآ ی
ABإذا آن CDα=
' 86ن ' ' 'A B C Dα=
(d ) ی 3اآ یA6 12 اس : H ا) . "? 'C و 'B و '8Aن 0$ره "? C6 و B و Aإذا آ
(6 .اآ I یA6 12 ا?"6 ی
)إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B k AB=
(7 س اوای اDس یK * A6'اآ ی ' 'BAC B A C∧ ∧
= (a (8 ]0$رة ا ]AB آ] ه ا h ب ]' 'A B
(b L"?0$رة ا( )AB آ) ه ا?"h L ب ' ')A B.
(c L" 0$رة( )D L" $ه ( ')D ی$ازي ( )D.
(d یأ3* ت L" 0$رة( )D بـ h یN تی 0$رة
A و B ( )D وس$ن ( ) ( ' ')h D A B= أو تی 0$رة
) وس$ن Aواة )h D رL وا?$ازي A"?2' ه$ ا?"L ا?
( )D ) . ( ) 'h A A=(
(e ن)إذا آ )D را ?" Ω 86ن ( ) ( )h D D=.
$ل إن ( ( )D 0 إ3? . (
)0$رة ااOة 9) , )C O r آ)'ه ااOة hب ', )C O k r .
P' ( )O h O= .
(10 (a E و F ا?"$ى O3 .
( ) ( ) ( )h E F h E h F=∩ ∩ (b HM إذا آ E F∈ ) 86ن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩
(11 وا$ازي ی :اآ یA6 12 اان ن ?" ی ه? 0$رة "?
ن $ازین ?" .و 0$رة "? $ازی ه?آ ا+* ا)12 .
L2 Nض أن ا?"$ى "$ب إ1 ( , , )O i j
.
a(ل- 1 : h آ آ2k و"! Ω(1,2) ت = .
یh 2 أ3* تی ا<T ا22 2 P! : ( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M= م$ و
. y و x بy I' و x'ب"ب
)ی ) 'h M M= ' ی 2M MΩ = Ω
)'وی ' 1, ' 2)M x yΩ − −
2 و (2 2,2 4)M x yΩ − −
إذن ' 1 2 2
' 2 2 4
x x
y y
− = − − = −
ی' 2 1
' 2 2
x x
y y
= − = −
: ه hإذن ا<T ا22 ـ ' 2 1
:' 2 2
x xh
y y
= − = −
تی 0$رة : ح/ $ض h بـ Aإذا أرد x و y تVب8ا
A12 إ *>ت وVا( )h A .
b( ل- 2 .
! ا!# f 22 ها T0 ي: ا' 3 2
:' 3 4
x xf
y y
= + = −
!W یأ3* ت f ?X* اة ب!+ ا) ا< '
'
x x
y y
= =
ی3 2
3 4
x x
y y
+ = − =
ی1
2
x
y
= − =
0ة وة f إذن ت!*
)ه 1,2)Ω − .
YZ LV( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M=
إذن ی' 3 2
' 3 4
x x
y y
= + = −
. )'وی 1, ' 2)M x yΩ + −
ی
'(3 2 1,3 4 2)M x yΩ + + − −
3)' ی 3,3 6)M x yΩ + −
3وی (3 3,3 6)M x yΩ + −
' إذن 3M MΩ = Ω
) تآ آ fوب 1,2)Ω − !"3k و = .
#4 ا23ت )13 . (a آد آ ت h . ?"Ω +!A و B
)ی . 'B و 'Aو0$رته? ) 'h A A= إذن Ω و Aو A' ?"
)و ')AAΩ∈ . )وی ) 'h B B= إذن Ω و B و B'
)"? و ')BBΩ∈) ه تΩ PW وب ')AA و
( ')BB
(b آ"? h أ3* تی " تk ن و : هك إ
!+ ا?آ *)Ω A وDو0$رت A' .
)ی ) 'h A A= إذن 'A k AΩ = Ω
AΩ' ، و$م ب"ب
Iب
AΩ
]^ E 'A AαΩ = Ω
k و"_ أن α= سأو ? إ1 ا
A'اE!ي k MΩ = Ω ی'A
kM
Ω=Ω
.
(* +! A و B ی .'B و 'A و0$رته?
' 'A B k AB=
N` ای ا"ب P! . و
(c أن ! أن ] <I C'إذا أرد ]' 'A B +! I و A و B
)ب+ ) 'h A A= و( ) 'h B B= و ( ) 'h I I= 0aا *? " و
(5b . ] <I Cی ]AB إذن 'I C> [ ]' 'A B .
(d أن ! Ω وI و J أن ! "? یN أن
( , ) ( )kh I JΩ =.
(e د 0$رة M Dق بW ك ة : ه
(* Cی ?* ا" 'M k MΩ = Ω
<M C إذا آن *)K[ ]AB *? " (5b).
H إذا*)AM آ ABα=
*? " (5c) .
(* H ?* M إذا آ" O3 PW .(10) ت
) Mی E F∈ ) إذن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩ (
(* H إذا آD2? " .ی ا<T ا22
(II ث6 ا'"آـــ&ي ا'ـــــــA( !"#ت . 'M
Ω Ω ا?V* ا?آي اي آ
Sي بـ ه$ ا!# ا Ω(ي یب Ω وا
) M آ* )P ب+M' ب
" 'M MΩ = −Ω
] <Ω C ی ]'MM . M
B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و Mت ا 0$رN' و M'ت$ن ان
Sب?V* آي Ω ) إذان إذا و6'آ 'M N MN= −
.
C( ت خ)ــــV* ا?آي ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3 P
cب$ . + ت<!@ (9) و (6) ، ا -1 بـ kت
(6 .ا?V* ا?آي یA6 12 ا?"6 ی
) إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B AB=
)0$رة ااOة 9) , )C O r ا?آي *V?S ب Ω ةOه اا
'( ', )C O r . P' ( )O S OΩ=. ح/
(a ( ) 'S M MΩ = 76] <Ω C ت ]'MM.
(b ن إذا آ( ) 'S M MΩ ) و = ) 'S N NΩ 86ن =
' 'M N MN= −
.
(IIIـــــــــــــــ ازاحـــ A(!"#ت .
u
DE . DDE زا اfاu
u ه
ut ا!# اي بـ M' واي یب)
) M آ* )P M' ب
MM'"ب+ u=
M
B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و M 0$رت ا N' و M'ت$ن ان
utبfزا ' إذا و6) إذا آن 'M N MN=
.
C( ت خ)ــــآ ت!1 0 ب"! gزا ، 0ت ا? 2 بaا P?3 ا (1)
: وی (13abd)و (12)و (9) و (8cde) و (6) و (4) و(3) و (2)و
A6 12 ا?"6 اfزا ت 6). (8eإذا آ )ن )D *u ی$ازي
) uی
) D3$ ـ )D ( 86ن
( ) ( )ut D D=.
)0$رة ااOة 9) , )C O r زاfutب )'ه ااOة ', )C O r .
P' ( )uO t O= .
ح/
(a ( ) 'ut M M= 76MM' ت u=
.
(b ن) إذا آ ) 'ut M M= و ( ) 'ut N N= 86ن
' 'M N MN=
.
(III'ث6 ا ري ـــــ ا'ــــ
A( !"#ت . ( ا?V* ا?$ري اي $ر ∆(?" ( )∆ ( )∆
) ه$ ا!# اي بـ )S واي یب)∆
) M آ* )P M 'M ب+M' ب
) ی$ن )∆ ]واس) ا ]'MM .
B( ت خ)ــــV* ا?$ري ، ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3
: وی (13abd)و (9) و (8e) و (6) 5) و (4) و(3) و (2) و (1)ا
(6 6 .ا?V* ا?$ري یA6 12 ا?"(8e (* ن) إذا آ ) ( )D ⊥ ) 86ن ∆ ) ( ) ( )t D D∆ =.
)إذا آن *) ) //( )D ) 86ن ∆ ) ( ) //( )t D D∆.
)0$رة ااOة 9) , )C O r $ريا? *V?) ب )S ه ااOة ∆
'( ', )C O r . P( )' ( )O S O∆=.
ح/ (a ( ) ( ) 'S M M∆ = 76) ت )∆ ]واس) ا ]'MM .
(b ن) إذا آ ) ( )S M M∆ = 76) ت )M ∈ ∆
L"?ا( ب ∆( 0 .
ا اء ا
I (
(1 AB
AC
. C
H C ( )AB
K B ( )AC K
! "AB
AC
# $ %&" ' () .AB AC
* +, -& :B H A
. .
.
. .cos( )
AB AC AB AH
AC AK
AB AC BAC∧
=
=
=
(2 /01 2"+3 41 AB
5 AC
678 . 0AB AC =
(II
(1 AB
CD
. D
'C C ( )AB
'D D ( )AB C
+*. . ' 'AB CD AB C D=
B A
:
9+0 :; .AB CD
<1 =+ &> /&?@ /01 "
+AB+, +C+AD5 E F" G + +AD5 E +# H+(0I JG K! L+.
(2 (a&" %.AB AB
%&+# 2
AB
J#& * .
(b +* 2 2AB AB=
(3 (a 6+ 2"+3 41AB
CD
678 M N(" +O :
. .AB CD AB CD=
(b 6+ 2"+3 41 AB
CD
678 6+3+ 6+M +O :
. .AB CD AB CD= −
(4 (a 61 P" AB
CD
6+ 3 6+3 41 8 41 6+Q+
( )AB ( )CD *+ . R"AB CD⊥
(b +* AB CD⊥
S8+Q . 0AB CD =
(5 2"+3 41 A B C D 678 T
. .AB CD AB CD=
D C B A
(6 (a u
v
A B C 3 UV "
AB u=
AC v=
+* :. .u v AB AC=
C v
(b u
v
: v
+*. . cos( , )u v u v u v∧
=
B u
A
(c 22u u=
u
(d 2"+3 41 u
v
678 M N(" +O :. .u v u v=
(e 6+ 2"+3 41u
v
678 6+3+ 6+M +O :
. .u v u v= −
(f u v⊥
S8+Q . 0u v =
(g. . (u v v u= ∗
.( ) . . (u v w u v u w+ = + ∗
.( ) . . (u v w u v u w− = − ∗
( ). .( ) ( . ) (u v u v u vα α α= = ∗
2 2 2( ) 2 . (u v u v u v+ = + + ∗
2 2 2( ) 2 . (u v u v u v− = + − ∗
2 2( ).( ) (u v u v u v+ − = − ∗
(III !"#
1($% & . A
( )ABC +* +WW :
2 2 2 ˆ2 . .cosBC AB AC AB AC A= + − 2 2 2 ˆ2 . .cosAC BA BC BA BC B= + − C B 2 2 2 ˆ2 . .cosAB CA CB CA CB C= + −
2('()* +,-
( )ABC +WW I TA XY [ ]AB A
+* :
22 2 22
2
BCAB AC AI+ = +
5
22 2 21
( )2 2
BCAI AB AC= + − C I B
3( ./ 01& 23 4 )* & .
(a ( )ABC Z T*% [\+B +WW A 'A XY [ ]BC H
A ( )BC . +*: 2 2 2 (AB AC BC+ = ∗ ) L^ +8 TB_ (
2 . . (BA BH BC BH BC= = ∗ A
2 . . (CA CH CB CH CB= = ∗
2 . . (AH HB HC HB HC= − = ∗ C I H B
1' (
2AA BC= ∗
(b ( )ABC*% [\+B +WW Z TA . +*: C
ˆcosBA
BBC
= ˆcosAC
BBC
=
ˆtanAC
BAB
= A B
(c ( )ABC +WW . +* : A
ˆ ˆˆsin sin sinA B C
BC AC AB= = C B
(I ! I ( #$ %.
( )D ( )D′ . . (*( )D ( )D′
(*( )D ( )D′ ! .
(*( )D ( )D′" .
(*( )D ( )D′# ! #
$ # % # &' " ()* .
II (& %$ #
( )D ( )P + . ,-. (* /( )D +( )P
(* /( )D ( )P " θ
(* /( )D +( )P01 $
" ()* ' ( )D ( )P ! .
III ( %$ #. ( )P ( )Q .. ,- (*( )P ( )Q .
(*( )P ( )Q &' $ -1
!.
(*( )P ( )Q 2 /( )D.
IV ( ' 1 / ( )D + 3! ( )P
( )D 3! ( )D′ ( )P. 2 + ( )P + 3! ( )Q
(* ( )P ! Q (* ( )P !
( )Q. 3 & 2 45 6* ! :
a (%$( )*+# ) 9-: 3!– –< => (...
b (,'$ %'. ( )ABC I <1 [ ]AB
J <1 [ ]AC
( ) ( )IJ BC.
c (, %$- * :
(* )' :
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
P Q
P
Q
= ∆
′∆ ⊂ ′′∆ ⊂ ′ ′′∆ ∆
∩
? ( ) ( ) ( )′ ′′∆ ∆ ∆
(* )' :( ) ( ) ( )
( ') ( )
( ') //( )
P Q
P
Q
= ∆ ∆ ⊂ ∆
∩
? ( ) ( )′∆ ∆
(* )' :( ) ( ) ( )
( ') //( )
( ') //( )
P Q
P
Q
= ∆ ∆ ∆
∩
? ( ) ( )′∆ ∆
(d .
)'( ) //( ')
( ') //( '')
∆ ∆ ∆ ∆
? ( ) ( )// ′∆ ∆
e ( )'( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
//P Q
H P
H Q
= ∆ ′= ∆
∩
∩
? ( ) ( )// ′∆ ∆
4 ( )D + @ ( )P
: (* A B ( )D A' ( )P.
(* ( ) ( )//D P"> " & . 5 ( )D + ( )P
( )D ( )P "> " & A ( )D P⊄. "> " 5 ,0( )D ( )P5 , /
( )D′ ( )P ( )D. 6 ( )P ( )Q
( )P ( )Q "> " & ( ) ( )P Q≠ . A05 $10 /:
(* > 5 ,A B ( )P ( )Q ( )P ( )Q / * ( )AB.
(* "> " 5 ,A ( )′∆ ( )′′∆ ,( ) ( )P′∆ ⊂ ( ) Q′′∆ ⊂ ( ) ( )//′ ′′∆ ∆.
( )P ( )Q / * ( )∆ A $ 3!( )′∆ ( )′′∆.
7 ,-. I J K "
0B "> & ( )P ( )Q " & = & / A' .
(D)(D')
(D)
(D')
(D)(D')
P (D)
P
(D)
O
P
(D)
p q
q
p (D)
A
B C
I J
(II .
1 (a )' ( )∆ + A05 35 ( )P ( )∆ A05 35
( )P. (b / )' ( )∆ + A05 5 ( )P ?
( )∆ / 3 A05 5 ( )P. 2 + ( )P + A05 35 ( )Q
( )∆ @ ( )P A05 35 ( )Q. 3 6* & 2 45:
(a "& $>: ) – $ – – – /% ,0.
"!(...
(b ( ) * 4% [ ]AB ( )M ∈
( ) ( )AM BM⊥
(c ( )ABC3 ,0. AI <1 [ ]BC
( ) ( )AI BC⊥.
(d )' ( ) ( )( ) ( )
′∆ ⊥ ∆ ′ ′′∆ ⊥ ∆
? ( ) ( )′∆ ⊥ ∆
(e )' ( ) ( )( ) ( )
P
P
∆ ⊥ ′∆ ⊂
? ( ) ( )′∆ ⊥ ∆
%/01: / )'( )∆ / A05 35 ( )′∆
5 , +( )P ( )′∆ ( )∆=05 35 . 4 A B .
5 " " "5@A B + "0 + A[ ]AB + *
<1 [ ]AB A05 3 [ )AB. 5 ( )∆ / ( )P ( )Q
)'( ) ( )( ) ( )//
P
P Q
∆ ⊥
? ( ) ( )Q∆ ⊥
6 ( )∆ ( )′∆ ( )P+
)' ( ) ( )( ) ( )
//
P
′∆ ∆ ∆ ⊥
? ( ) ( )P′∆ ⊥
A
CB I
A A B
M