تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور...

48
ﻣﮑﺎﻧﯿﮏ ﺳﯿﺎﻻت ﻣﺴﺎﯾﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪ در ﮐﺎرﺑﺮد ﺻﻮرت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻠﯽ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﻘﺎي ﺟﺮم و اﻧﺪازه ﺣﺮﮐﺖ1

Upload: others

Post on 14-Sep-2019

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مکانیک سیاالت

دیفرانسیلیمسایل نمونه در کاربرد صورت معادالت بقاي جرم و اندازه حرکت

1

Page 2: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

فهرستجریان هاي لزج سیاالت تراکم ناپذیر

موارد استفاده از جواب ها

شکل برداري معادالت حاکم

آزمایش جواب ها از دیدگاه توزیع گردش

تفکیک حل هاي دقیق

ایجاد جریان بین دو صفحه موازي

جریان کوئت

کوئت صفحه اي

جریان کوئت کلی

جریان پوازیل

جریان پوازیل براي مقطع دایره اي

جریان پوازیل براي مقطع بیضوي

جریان بین استوانه هاي چرخان

مسئله اول استوکس

مسئله دوم استوکس

جریان ضربانی بین صفحات موازي

جریان نقطه سکون

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

جریان روي یک دیواره متخلخل

جریان کوئت بین دو استوانه هم محور

ذره گرد در یک جریان پوازیل از سیال نیوتنی 300شبیه سازي 2

Page 3: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان هاي لزج سیاالت تراکم ناپذیر

حل مسائلی که در آنها لزجت سیال به طور ذاتی مهم

.می باشد

3

�. � = 0

��

��+ �. � � = −

1

��� + ���� + �

Page 4: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان کوئت

یکی از ساده ترین میدان هاي جریان لزج، جریان بین صفحات موازي

.نداردوجود جریانی y راستاي در

.است xاز فقط تابعی فشار

4

Page 5: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان کوئت

5

-a جریان بین صفحات موازي

-bجریان کوئت صفحه اي

-c کلیکوئت جریان

� = �(�) � = � = 0 � = �(�)

� = −��

��+ �

���

���

� � =1

��

��

��

2�� + �

Page 6: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

پروفیل سرعت

6

U(0)=0→ � = 0

� = −ℎ

2→ � ℎ = 0

� � = −1

2�

��

���(ℎ − �)

� = −ℎ�

2��

��

��:پارامتر فشار

:پروفیل سرعت

:ثابت ھای انتگرال گیری

Page 7: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

پروفیل سرعت

7

�(�)

�= �

ℎ1 −

پروفیل سرعت بر حسب پارامتر فشار

اتفاق می ) y=h/2 (حداکثر سرعت روي خط مرکزي بین صفحات موازي

.می باشد pu/4افتد، و اندازه حداکثر سرعت

Page 8: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

کوئت صفحه اي

8

0 = ����

���

ه ثابت نگه داشته می شود در حالی ک y=0صفحه

حرکت Uبا سرعت ثابت xدر راستاي y=hصفحه

.داده می شود

:شرط مرزي

: پروفیل سرعت

� � = �� + �

� 0 = 0 → � = 0

� ℎ = � → � = �/ℎ

�(�)

�=�

Page 9: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان کوئت کلی

9

هر یک از دو صفحه با یک سرعت ثابت در حرکت باشند و یک گرادیان فشار خارجی

�(�)

�=�

ℎ+ �

ℎ1 −

Page 10: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان کوئت کلی

0 =P :ا گرادیان فشار یا به عنوان محرك ی

به عنوان مقاوم در مقابل حرکت جریان

. برشی لزج عمل خواهد کرد

P>0 ) :dp / dx <0 ( گرادیان فشار به

در حرکت لزجی براي غلبه بر تنش برشی

. صفحه پایینی کمک خواهد کرد

P<0 ) :dp/dx>0 ( گرادیان فشار در

الیی مقابل حرکت القا شده توسط صفحه با

. مقاومت خواهد کرد

10

Page 11: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

پوازيجریان

11

ضی جریان پایدار یک سیال لزج در یک کانال با مقطع دلخواه اما با سطح مقطع عر

U(y,z) ،P(x)ثابت

:یک معادله از نوع پواسون

0 = −��

��+ �(

���

���+���

���)

���

���+���

���=1

��

��

Page 12: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان پوازیل براي مقطع دایره اي

12

Rگرادیان فشار مستقل از

: پروفیل سرعت

1

�����

��=1

��

��

� � =1

��

��

��

4+ ����� + �

� 0 = متناھیمقدار → � = �

� = −��

����/(��) → � � = 0

:شرایط مرزي

� � = −1

4�

��

��(�� − ��)

Page 13: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان پوازیل براي مقطع بیضوي

13

مقدار مقابل در روي مرز برابر

صفر است.

:پروفیل سرعت

� �, � = �(��

��+��

��− 1)

� =1

2�

��

��

����

�� + ��

� �, � =1

2�

��

��

����

�� + ��(��

��+��

��− 1)

Page 14: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان بین استوانه هاي چرخان

14

−��

�= −

1

��

��

0 =�������

+�

��(���)

�� � = ��

2+�

�� �� = ����, �� �� + ����:شرایط مرزي

� =2(����

� − �����)

��� − ���

� = −�������� − ����� − ���

Page 15: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان بین استوانه هاي چرخان

15

:توزیع سرعت

�� � =1

��� − ���[ ����

� − ����� � − �� − ��

������

�]

Page 16: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان بین استوانه هاي چرخان

16

:باید در رابطه زیر صدق کند p فشار

��

��

=�

(��� − ���)�[ ����

� − ����� �� − 2 �� − �� ����

� − �����������

+ (�� − ��)�������

��

� �

=�

(��� − ���)�� ����

� − ����� �

��

2

− 2 �� − �� ����� − ����

� ���������� − �� − ���������

2��� + �

Page 17: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله اول استوکس

17

در ابتدا هر دو صفحه و سیال در .هستندحالت سکون

در ناگهان صفحه با یک سرعت ثابت.صفحه خودش حرکت داده می شود

Page 18: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله اول استوکس

18

��

��= �

���

���

� 0, � = �0� ≤ 0

�� > 0

� �, � = متناھی

�(�, �)

�= �(�)

� = ��

��

:شرایط مرزي

��

��= −��

��

������ = −��

���

��

��= �

����

���

���= �

��

����"

Page 19: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله اول استوکس

19

متغیر تشابهی

معادله دیفرانسیلی

−���

��� = ��

��

����"

�" +�

2����� = 0

� = ��

��/�

� =�

2 ��

�" + 2��� = 0

������� = −2� ����� = −�� + ����

�� = �����

∴ � �

= �� ����

�� + �

Page 20: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله اول استوکس

20

0 = � �� ����

�� + 1 = �(��

2+ 1

�(�, �)

�= 1 −

2

�� ��

� ��

��

�(�, �)

�= 1 − erf(

2 ��)

u

U= 0.04

� =3

2=

2 ��

∴ � = 3 ��

Page 21: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئلھ دوم استوکس

. در مرز نوسان میکند y=0 به جاي شروع ناگهانی حرکت، مرز با زمان

21

Page 22: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله دوم استوکس

22

��

��= �

���

���� 0, � = ������ � �, � متناهی=

� �, � = ��[� � ����]

�� ��� � ���� = ���[���

�������]

∴���

���− �

�� = 0

Page 23: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله دوم استوکس

23

� = ±(1 + �)

2

� � = ���� − 1 + ��

2�� + ���� − 1 + �

2��

� � = ���� −�

2�� exp −�

2��

� �, � = ��[���� −�

2�� ���� �� −

2��

= ���� −�

2�� cos(�� −

2��)

Page 24: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

مسئله دوم استوکس

24

� 0, � = ������ → � = �

�(�, �)

�= exp −

2�� cos �� −

2��

1

��= exp −

2��

� = 22�

Page 25: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان ضربانی بین صفحات موازي

25

دو صفحه موازي در

براي یک الیه سیال محصور بین دو صفحه با فشار نوسانی

xنوسان گرادیان فشاربا زمان در جهت

� = ±�

��

��= −

1

��

��+ �

���

���

� �, � = � −�, � = 0

��

��= �� cos ��

Page 26: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان ضربانی بین صفحات موازی

26

��

��= ��(���

���)

� �, � = ��[� � ����]

�� ������� = −1

���(���

��� + ���(���

�������)

���

���−��

�� =

����

Page 27: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان ضربانی بین صفحات موازي

27

� � = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� + ����ℎ[ 1 + �

2��]

0 = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� + ����ℎ[ 1 + �

2��]

0 = �����

+ ����ℎ 1 + ��

2�� − ����ℎ[ 1 + �

2��]

Page 28: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان ضربانی بین صفحات موازي

28

: به صورت W(Y)بنابراین جواب

: بنابراین عبارت براي سرعت سیال به صورت زیر خواهد شد

� =���

��cosh[(1 + ��2�

�]

� = 0

� � = �����

1 −

cosh 1 + ��2�

cosh[(1 + �)�2� �]

� �, � = �� �����

1 −cosh[ 1 + �

�2� �]

cosh[ 1 + ��2� �]

����

Page 29: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

29

: پتانسیلجریان هاي

یع از رابطه برنولی، توز:فشار

� = 2��

� = −2��

� = �� − 2���(�� + ��)

��� = �� �� = � ��� = 0

Page 30: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

:سرعت xمولفه

: معادله پیوستگی

:مولفه عمودي سرعت

30

� = 2���′(�)

��

��= −

��

��= −2��′(�)

� = −2��(�)

Page 31: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

31

���

��+ �

��

��= −

1

��

��+ �

���

���+���

���

���

��+ �

��

��= −

1

��

��+ �

���

���+���

���

4���(��)�−4�����" = −1

��

��+ 2����"

4����� = −1

��

��− 2���"

Page 32: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

32

:عبارت فشار ، yانتگرال گیري از معادله آخر نسبت به

g(x)در مقایسه با جریان پتانسیل ، براي

:توزیع فشار در سیال لزج

� �, � = −2���(�)�−2����� + �(�)

� �, � → −2���(�)�−2��� + �(�)

� � = �� − 2����� + 2���

� �, � = �� − 2��� � � + 2��� 1 − �� − 2�����

Page 33: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

33

: x معادله ممنتوم در راستاي

:بزرگترین درجه هاي مشتق در سمت چپ

4���(��)�−4�����" = 4��� + ���"

2��+ff" − (��)�+1 = 0

Page 34: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

34

باید ,0v(x=(0در حالی که براي شرط f/)0=(0می طلبد که ,x)0u=(0شرط مرزي f(0)=0 باشد.

.ي کردبا تغییر متغیرهاي زیر می توان مسئله پیش رو را از پارامترهاي مذکور پاکساز

� 0 = �� 0 = 0

� → ∞���′(�)→ 1

� � =2�

��′(�) � =

2�

��

Page 35: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

35

:بنابراین

:میدان سرعت و فشار

���� + ���� − (��)�+1 = 0

� 0 = �� 0 = 0

� → ∞ ∶ �′(�)→ 1

� �, � = 2���′

� �, � = − 2���

� �, � = �� − ����� + 2��� 1 − �� − 2�����

Page 36: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان نقطه سکون

.میباشد 2/4تقریباً = 0/99مقدار براي

36

'

2�

�� = 2.4 � = 2.4

2�

Page 37: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا گی،پیوست معادله آن در که دیگري جریان میدان

تومممن غیرخطی هاي ترم و باشد نمی برقرار ذاتاً

کانال یک در جریان باشند، نمی صفر آن در

.باشد می واگرا یا و همگرا

37

Page 38: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

لذا توزیع سرعت به

:بودشکل زیر خواهد

ر بنابراین یک جواب براي سرعت به شکل زی:جستجو می شود

1:استوکس –معادله پیوستگی و معادالت ناویر

����� = 0

�������

= −1

��

��+ �

1

��+ �

����

−����

+1

���������

0 = −1

��

��

��+ �

2

�������

�� �, � = � � �(�)

−��

��(�)�= −

1

��

��+��

���"

Page 39: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

39

:باید زوج معادالت زیر ارضا شوند

: معادله دیفرانسیل چند جمله اي حاصله

: این معادله را می توان با یکبار انتگرال گیري به صورت زیر نوشت

−��

��(�)�= −

1

��

��+��

���"

0 = −1

��

��

��+ 2

��

���′

���� + 4�� + 2��� = 0

��� + 4� + (�)�= �

Page 40: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

40

. یک متغیر مستقل جدید باشد Fیک متغیر وابسته جدید و لذا فرض می کنیم:بنابراین

ورت زیر با استفاده از این نتیجه براي حذف معادله دیفرانسیلی که باید حل شود به ص : در می آید

G(F)=F'

��

��=

���� =

��

��

���� =

�"

�′=�"

���

��+ 4� + (�)�= �

��

1

2�� = � − 4� − ��

Page 41: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

41

: Fانتگرال گیري نسبت به

: عبارت به صورت انتگرال بیضوي زیر می باشد

1

2�� = � + �� − 2�� −

1

3��

� � =��

��= 2 � + �� − 2�� −

1

3��

� = ���

2(� + �� − 2�� −13��)

+ �

Page 42: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

42

: شرایط مرزي فیزیکی که باید برقرار شوند عبارتند از

واگرا

همگرا

:پروفیل هاي سرعت حول محور مرجع، متقارن اند

واگرا

همگرا

�� � = �� −� = 0

�� � + � = �� � − � = 0

�����

�, 0 = 0

�����

�, � = 0

Page 43: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان در کانال هاي همگرا و واگرا

43

واگرا

همگرا

عدد رینولدز

� � = � −� = �� 0 = 0

� � + � = � � − � = �� � = 0

�� =���

Page 44: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان روي یک دیواره متخلخل

جمالت اینرسی غیر خطی، خطی سازي می شوند و یک شکل کلی براي جواب آنها .وجود دارد

44

Page 45: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان روي یک دیواره متخلخل

45

. استوکس به صورت زیر خواهند شد–معادالت پیوستگی و ناویر

:شرایط مرزي

��

��= 0

���

��= �

���

���

���

��+ �

��

��= �

���

���+���

���

� 0 = 0

� �, 0 = −�

� → ∞ ∶ �(�)→ �

Page 46: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان روي یک دیواره متخلخل

46

v(x,y)ه هم اکنون از معادله پیوستگی می توان انتگرال گیري کرد تا نشان داده شود ک

. می باشد V–نشان می دهد که این ثابت y=0واقعاً ثابت است و شرط مرزي در

: بنابراین

. معادله ممنتم به شکل تک معادله زیر کاهش می یابد

.انتگرال گرفت yاز معادله دیفرانسیل چند جمله اي مذکور میتوان یکبار نسبت به

� = −�

−���

��= �

���

���

��

��+�

�� = �

Page 47: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان روي یک دیواره متخلخل

47

:جواب کلی

� � = � + ������

� � = �(1 − ���� �

)

� = 2�

Page 48: تﻻﺎﯿﺳ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ - iust.ac.ir · ﻞﺨﻠﺨﺘﻣ هراﻮﯾد ﮏﯾ يور نﺎﯾﺮﺟ 46 v(x,y) ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺎﺗ دﺮﮐ يﺮﯿﮔ

جریان روي یک دیواره متخلخل

48

:معادله گردش به صورت

: y انتگرال گیري نسبت به

اگر به جاي مکش وزش وجود داشته باشد، جابجایی و نفوذ هر دو در یک جهت اتفاق خواهند

. افتاد، بنابراین جوابی دیگر وجود نخواهد داشت

−���

��= �

���

���

−�� = ���

��