FECHA _____/______/ 20081. PROPORCION GEOMETRICASi y son dos razones equivalentes, entonces:

representa una proporcin geomtrica que se lee: a es b como c es a d.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

a.d = b.c

2. DIVISION ARMONICAUn segmento esta dividido armnicamente por los puntos C y D (C sobre y D en la prolongacin de ) si es que se cumple la siguiente proporcin:

TEOREMA DE DESCARTES

A partir de la proporcin anterior se demuestra que:

3. TEOREMA DE THALESSi: L1 // L2 // L3 // L4

De este grafico se obtiene las siguientes relaciones.

CorolarioToda recta coplanar a un triangulo y paralela a uno de sus lados, divide internamente o externamente a los otros lados en segmentos proporcionales.

Divisin Interna Divisin ExternaSi: L // Si: L //

Se cumple: se cumple:

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOREn todo triangulo ABC

6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOREn todo ABC

7. TEOREMA DEL INCENTRO

8.TEOREMA DEL EXCENTRO

9.TEOREMA DE MENELAO:

10.TEOREMA DE CEVA:

SEMEJANZA DE TRIANGULOSDos triangulos son semejantes si tienen exactamente la misma forma pero diferente tamao

CASOS:1.Dos triangulos son semejantes cuando tienen dos angulos respectivamente congruentes.

2.Dos triangulos son semejantes si cuando tienen un angulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho angulo respectivamente proporcional.

3.Son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

LADOS HOMOLOGOS:

Son los lados que en triangulos semejantes se oponen a angulos congruentes, entre las longitudes de dichos lados se realiza la proporcionalidad.

Se denomina alturas homologas a las alturas trazadas de angulos congruentes.

El ( ABE ( ( PQR

Problemas PropuestosNIVEL BASICO1.Calcular , Si r1 // r2 // r3a) 26

b) 27

c) 28

d) 30

e) N.A.

2.Las rectas L1, L2 y L3 de la figura son paralelas, AC=8, AB.DF=20. Calcular: DE.

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5

e) 3

3.Las rectas L1, L2 y L3 de la figura son paralelas, AB=8, 7DF=12EF. Hallar BC.

a) 11

b) 11,2

c) 11,4

d) 11,6

e) 11,8

4.Las rectas L1, L2 y L3 de la figura son paralelas, CD//JE, AB=12, BC=3, JF=5. Calcular CJ.

a) 20

b) 18

c) 16

d) 14

e) 12

5.En la grafica mostrada calcular si en juntar a m y n.

a)

b)

c)

d)

e)

6.Si PT//BC y QR//AB. Calcular x

a) 15

b) 14

c) 13

d) 12

e) 11

7.En el triangulo ABC, y

Hallar x

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

8.Del grfico, calcular x

a) 3

b) 3,6

c) 4

d) 4,5

e) 5,4

9.En la figura BM // CE, AB=11, BC=7 y BD=6,3. Si AM=MP, calcular DP

a) 2,7

b) 3,6

c) 4,5

d) 5,4

e) 7,7

10.En la figura 1 // 2 //3 // 4. Hallar x +y +z + w.

a) 20 b) 18 c) 16 d) 21 e) 22

11.Del grfico, calcular DN, si AL = 9; LB = 4; LD = 8; // ; AM = MN.

a)8 b) 9

c) 10

d) 11 e) 12

12.Si AB//DE, AB=3 y BC=6, calcular DE

a) 2

b) 3

c) 1

d) 1,5

e) 2,5

13.En la figura mostrada, hallar AM

a) 1

b) 2

c) 1,5

d) 2,5

e) 3

14.En la figura, ABC es un tringulo rectngulo en el cual DE es mediatriz de AC. Si AC=80 y AB=64, hallar DB.

a) 12

b) 14

c) 16

d) 24

e) 36

15.En el tringulo ABC recto en B mostrado, los catetos AB y BC miden 12m y 16m respectivamente. Hallar la longitud de ME, si M es punto medio de AC.

a) 6,5

b) 4

c) 8

d) 7,5

e) 8,5

16.Calcular .

Si

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

17.En un romboide ABCD por el vrtice C se traza una recta que corta a las prolongaciones de y AB en F y E respectivamente. Calcular:

a) 1

b) 2c) 3d) 4 e) 5

18Se tiene un cuadrado ABCD siendo M punto medio de AB y E punto de interseccin de AC y DM. Si BC=18 hallar la distancia del punto E al lado AD.

a) 6

b) 4c) 8d) 3e) 9

19.En un trapecio ABCD, la base mayor AD es el triple de la base BC y la diagonal AC mide 6m. Calcular la distancia del vrtice A a la interseccin de las diagonales.

a) 4,8mb) 3,5m

c) 5m

d) 4me) 4,5m

20.Dos tringulos son semejantes, la razn de semejanza es 5/12, el permetro del tringulo menor es 12 cm. calcular el permetro del tringulo mayor.

a) 18,6

b) 24,4

c) 28,8

d) 32,2

e) 36,8

21.Los lados de un tringulo acutngulo ABC miden AB=15, AC=12, se trazan las alturas BD y CE tal que AE=4. Calcular AD.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

22.Los lados de un tringulo miden 3; 4 y 5. Calcular la porcin de mediatriz del lado que mide 5 y que se encuentra limitado por el lado que mide 4.

a) 5/4

b) 11/8

c) 3/2

d) 7/4

e) 15/8

23.Dos lados de un paralelogramo miden 12 y 8, la distancia entre dos lados opuestos es 9. Calcular la distancia entre los otros dos lados opuestos.

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

24.En un tringulo issceles ABC, AB=BC=a, AC=b, se trazan las cevianas interiores AE y BD de modo que m(ABD=m(EAC. Calcular EC/AD.

a) a/b

b) ab

c) b/a

d) 2a/b

e) 2b/a

25.Los lados AB y BC de un tringulo ABC miden 8 y 12 cm, la distancia del vrtice A a la bisectriz interior del ngulo B es 3 cm, calcular la distancia del vrtice C a dicha bisectriz.

a) 3

b) 3,5

c) 4

d) 4,5

e) 5

FECHA _____/______/ 20081.PROYECCIONES

PROYECCIN ORTOGONAL:1.1 De un Punto:

Se llama proyeccin ortogonal de un punto sobre una lnea recta, al pie de la perpendicular que se traza por el punto a la lnea recta.

Donde:

A es la proyeccin ortogonal del punto A sobre la recta L.

1.2 De un segmento:

Se llama proyeccin ortogonal de un segmento sobre una recta, al segmento que une los pies de las perpendiculares de los extremos del segmento sobre la lnea recta.

2.RELACIONES MTRICAS EN ( RECTNGULOS:

Sea el tringulo Rectngulo ABC.

1. h2 = m.n2.

a2 = c.m

b2 = c.n

3.c2 = a2 + b24.a.b = c. h5.

PROPIEDADES:

1.Si: P y N ( Puntos de tangencia.

x=2

2.Si: C y M ( Puntos de Tangencia.

X = 2R

3. RELACIONES MTRICAS EN EL TRIANGULO OBLIANGULO

1.TEOREMA DE EUCLIDES 1:

c2 = a2 + b2 - 2bm

c2 = a2 + b2 - 2ba.Cos(

2.TEOREMA DE EUCLIDES 2:

c2 = a2 + b2 + 2bm

c2 = a2 + b2 - 2b.a.Cos(

Como reconoceras la naturaleza de un triangulo conociendo sus tres lados?

Veamos :

Sea el ( ABC: a > b > c

* Si: a2 < b2 + c2 ( ( Acutngulo

* Si: a2 = b2 + c2 ( ( Rectngulo

* Si: a2 > b2 + c2 ( ( Obtusngulo

3. TEOREMA DE STEWART:

x2.b = a2n + c2m - m.n.b

4.TEOREMA DE HERON:

H =

EMBED Equation.DSMT4

5.TEOREMA DE LA MEDIANA:

a2 + c2 = 2x2 +

6.TEOREMA DE LA PROYECCION DE LA MEDIANA:

c2 - a2 = 2bx

4. RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA1.TEOREMA DE LAS CUERDAS

x.y = a.b

2.TEOREMA DE LA TANGENTE

x2 = a.b3.TEOREMA DE LAS SECANTES:

x.y= a.bPROBLEMAS DE R. M. EN LOS TRIANGULOS RECTNGULOS01.Sobre el cateto de un tringulo rectngulo ABC recto en B se toma un punto F tal que . Calcular BF.

a) 2

b) 4

c) 3

d) 5

e) 1

02.Los lados de un tringulo rectngulo ABC recto son a, b, c, se basa la altura . Hallar b, si BH = h, adems

a) 2hb)

c) h

d)

e)

03.Encontrar BC, si FCDE es un cuadrado, AF =4, FF =16.

a)

b) 5

c)

d)

e)

04.Encontrar la longitud del radio de la circunferencia de centro O, si AOBC es un romboide, y

a)

b)

c) 4

d)

e) 6

05.En la semicircunferencia de centro O, encontrar el lado del cuadrado ABCD, si B, N y M son puntos de tangencia, adems DN = a y CM = b.

a)

b)

c)

d)

e)

06.En la semicircunferencia de centro O, CFGD es un rectngulo, AB = 3 y DE = 2. Calcular FC.

a)

b)

c) 5

d)

e)

07.Encontrar AD, si , BC = B, BC es dimetro de la semicircunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

08.Calcular AB en:

a)

b)

c)

d)

e)

09.Los lados de dos circunferencias tangentes exteriores miden 4 y 9, Encontrar la longitud de la tangente comn exterior de las dos circunferencias.

a) 10

b) 12

c) 16

d) 14

e) 20

10.Calcular el valor de x en:

a)

b)

c)

d)

e)

11.En una semicircunferencia de radio igual a 5, encontrar el lado del cuadrado inscrito, si uno de sus lados se encuentra sobre del dimetro de la semicircunferencia.

a) 3

b)

c) 4

d)

e)

12.En una circunferencia se trazan los dimetros y perpendiculares. Calcular la distancia de A al punto medio de la cuerda si AB = 8

a)

b)

c)

d)

e)

13.Calcular el radio de la semicircunferencia menor:

a) 2

b) 3

c) 1

d)

e)

14.En una circunferencia se trazan las cuerdas y perpendiculares en el punto F. Encontrar la longitud del radio de la circunferencia, si:

a) 4

b) 3

c) 5

d) 10

e) 2

15.El radio de una circunferencia mide 20. A qu distancia del centro se debe trazar una cuerda de longitud igual a 32?

a) 8

b) 10

c) 12

d) 15

e) 20

16.En un tringulo rectngulo ABC recto en B se traza su altura . Hallar BC, si AB = 30 y AH = 18.

a) 50

b) 60

c) 80

d) 40

e) 90

17.La suma de los catetos de un tringulo rectngulo es 17, el producto de la hipotenusa por la altura es 17, el producto de la hipotenusa por la altura relativa a la hipotenusa es 60. Calcular la hipotenusa.

a) 12

b) 20

c) 13

d) 15

e) 18

18.La diagonal de un rectngulo mide 15, uno de sus lados es el duplo del otro lado. Hallar la longitud del menor lado.

a)

b)

c)

d)

e)

19.Calcular x en:

a)

b)

c)

d)

e)

20.Encontrar x en:

a)

b)

c)

d)

e)

21.Calcular AD en:

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

22.Calcular el radio R, si OM = 4 y ON = 3

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

23.Hallar el radio del arco MNQ de centro B.

a)

b)

c)

d)

e)

24.Calcular AB en:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 625.Hallar el radio de la semicircunferencia.

a)

b)

c)

d)

e)

26.Calcular BC.

a)

b)

c)

d)

e)

27.En el cuadrado ABCD, Hallar FE, si AE=8 y ED=2.

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

28.Se tiene un rectngulo ABCD. Sobre el lado CD se toma el punto P, tal que PA = 15 cm, PB = 13 cm, PC = 5 cm. Hallar PD.a) 8cm

b) 9cm

c) 10cm

d) 11cm

e) 12cm

29.En un tringulo rectngulo ABC recto en B, el cateto mide 4cm ms que su proyeccin del otro cateto sobre la hipotenusa mide 9cm Cunto mide la altura relativa a la hipotenusa?a) 10cm

b) 11cm

c) 12cm d) 13cm

e) 14cm

30.La hipotenusa de un tringulo excede en 1cm al cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar la longitud de la hipotenusa.a) 37cm

b) 38cm

c) 39cm

d) 40cm

e) 41cm31.Las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo estn en progresin aritmtica de razn 3cm. Cunto mide la proyeccin del cateto menor sobre la hipotenusa?a) 5,40cm

b) 5,30cmc) 5,20cm

d) 5,10cm

e) 5,9cm32.En el interior de un cuadrado ABCD se toma un punto P tal que el ngulo APD es recto. La distancia del punto P a los lados y son de 8cm y 6cm respectivamente. Hallar la distancia del punto P al lado .a) 3

b) 1

c) 1d) 2

e) 233.Calcular AE.

a)

b)

c)

d)

e)

34.El permetro de un rectngulo es 40, uno de sus lados es el triple del otro lado. Hallar la diagonal del rectngulo.a)

b)

c)

d)

e)

35.Sobre el lado de un tringulo equiltero ABC se toma el punto P, luego se trazan

a)

b)

c)

d)

e)

APUNTES

34 33

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