MATEMÁTICA

GEOMETRIA PLANAO nome Geometria em grego, significa medida da terra. (geo = terra; metria = medida)No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava na para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam  a ela para fazer edificações.  As famosas pirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo dissoO Egípcios  ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria.Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes, chamada os Elementos.Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época.

Ponto, Reta e PlanoPonto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos uma estrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc...), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc...),  de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc...).Se observarmos bem a nossa volta,  vamos nos deparar com estes a todo momento. Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino.Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula  do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta.        Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa(a), beta (b) e gama (.)gDevemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está  contido  para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que ponto é elemento, reta e plano são conjuntos.

Segmento de Reta    Dados dois pontos distintos (diferentes), a reunião do conjunto  desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta.

Semi-reta    Como vimos em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto A é chamado origem das semi-resta.

ESTUDO DOS ÂNGULOS

Ângulo reto,agudo, obtuso e raso.

Bissetriz de um ÂnguloÈ a semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. 

 

Ângulo Características Gráfico

agudo

Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.

reto

Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.

obtuso

É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.

raso

Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

MEDIDA DE UM ÂNGULO-As unidades de medida utilizadas para medição dos ângulos são:graus, grado e radiano. -A mais utilizada no estudo dos ângulos e o grau,entretanto, o radiano vem sendo casa vez mais presente no dia a dia da matemática. -O grau representado por ° vai de 0° a 360° no circulo trigonométrico.

-O radiano tem uma relação com a constante π que em graus vale 180° e em radiano π vale 3,14. Então em radiano o circulo trigonométrico vai de 0° ate 2π.

OBS: Os Ângulos quando não exatos apresentam submúltiplos do grau que são: minuto e o segundo.

-Símbolos:1 minuto=1’ ; 1 segundo=1’’

Relação 1°=60’ e 1’=60’’

ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES.

Dois ângulos são denominados: - Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90o. Neste caso, cada um é o complemento do outro. - Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, cada um é o suplemento do outro. - Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360o. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL.

Definição:-Duas retas são paralelas quando são coincidentes ou são coplanares e não tem pontos internos em comum.

Definição²:-Duas retas no plano são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum(nunca se cruzam) ou quando tem todos os seus pontos em comum.

Nomenclatura Propriedades

Correspondentes | a e e; b e f; c e g; d e h|

Congruentes

Colaterais internos | c e f; d e e| Suplementares

Colaterais externos | a e h; b e g| Suplementares

Alternos externos | a e g; b e h| Congruentes

Alternos internos | c e e; d e f| Congruentes

Soma dos ângulos internos de um polígono - A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é:

 

Soma dos ângulos externos de um polígono. Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é constante e igual a 360º.

TEOREMA DE TALLES

O teorema de tales representa um feixe de retas paralelas que determina sobre duas transversais quaisquer segmentos proporcionais.

Bateria de exercícios1)(UEPB) A projeção da sombra de um poste vertical sobre um chão plano mede 14 m. Neste mesmo instante, a sobra projetada de uma criança de 1 m de altura mede 0,7 m. Qual o comprimento do poste?a) 24 mb) 20 mc) 18 md) 15 me) 16 m

2) (UFF-RJ) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.a) 4,5 kmb) 19,5 kmc) 20,0 kmd) 22,5 kme) 24,0 km

3) (UFAC) Na figura abaixo tem-se parte da planta de um bairro, na qual as ruas são paralelas entre si. As quadras A, B, C, D e E têm as medidas de alguns de seus lados indicadas em metros.

Quantos metros percorre-se, seguindo-se em linha reta da esquina da Avenida N com a Rua U até a esquina da Avenida N com a Rua Z?

a) 570b) 580

c) 590d) 600e) 610

4) (UFAC) Tendo base da questão acima; A área da quadra B, em metros quadrados, é igual a:a) 74 500b) 73 100c) 73 000d) 72 200e) 70 800

5) (UFSC) Na figura a seguir, AC é paralelo a DE . Nessas condições, determine o valor de x+y.

6) (UCSal-BA) Na figura têm-se dois lotes de terrenos planos, com frentes para duas ruas e cujas divisas são perpendiculares à Rua Bahia.

Se as medidas indicadas são dadas em metros, a área da superfície dos dois lotes, em metros quadrados, é:

a) 350b) 380c) 420d) 450e) 480

7) (FAP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura. Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a+b+c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são, respectivamente:

a) 40, 40 e 40b) 30, 30 e 60c) 36, 64 e 20d) 30, 36 e 54e) 30, 46 e 44

EXERCÍCIO 2

1)Dois ângulos são suplementares. Um deles mede 163º. Qual é a medida do outro?

2)Se dois ângulos são complementares e um deles é o dobro do outro, quanto mede cada um?

3)Se dois ângulos são suplementares e um deles é o triplo do outro, quanto mede cada um?

4)Se dois ângulos são complementares e um deles é o quádruplo do outro, quanto mede cada ângulo?

5)Se dois ângulos são suplementares e um deles é o quíntuplo do outro, quanto mede cada um desses ângulos?

6)A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus.

7)Dois ângulos são suplementares, a medida de um deles é 24 graus menor do que o dobro da medida do outro.Calcule a medida de cada ângulo.

8) Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ângulo.

9) A soma das medidas de dois ângulos complementares é 86º maior do que a diferença de suas medidas. Calcule a medida de cada ângulo.

10)(PUC-RS)Um ângulo mede a metade de seu complemento;então esse ângulo mede:

a)30° b)60° c)45° d)90° e)180

11) A razão entre a medida de um ângulo e o seu complemento é 2/7 . Calcule a medida desse ângulo.

12) O suplemento de um ângulo excede o triplo do complemento desse ângulo em 50°. Determine a medida do ângulo.

13. (UECE)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:

a) 36° b) 80° c) 144° d) 70° e) 100°

14) (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:

a)290°/3 b)315°/4 c)192°/5 d)203°/4 e)145°/4

15) (Epcar-2000) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x é igual a:

a) 230°.b) 225°. c) 220°.d) 210°.

16)Considere as retas paralelas me n (em símbolos: m //n). Calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado.

17) Considerando r//s, determine as medidas dos ângulos representados pelas incógnitas xe y:

a)

b)

c)

d)

e)

18) Calcule o valor de x, sabendo que as retas r e s são paralelas.

POLIGONOS REGULARES

DEFINIÇÃO: E um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si.

Classificação dos polígonos

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:

NÚMERO DE LADOS(OU ÂNGULOS)

NOME DO POLÍGONO

EM FUNÇÃO DONÚMERO DE ÂNGULOS

EM FUNÇÃO DONÚMERO DE LADOS

3 Triângulo trilátero

4 Quadrângulo quadrilátero

5 Pentágono pentalátero

6 Hexágono hexalátero

7 Heptágono heptalátero

8 Octógono octolátero

9 Eneágono enealátero

10 Decágono decalátero

11 Undecágono undecalátero

12 Dodecágono dodecalátero

15Pentadecágono

pentadecalátero

20 Icoságono icosalátero

OBSERVAÇÔES:

-Diagonal: É todo segmento de reta que parte de um vértice a outro em um polígono.

*O n° de diagonais(d) de um polígono de n lados(n>3) e dada por: d= n.(n-3)/2

*A soma dos ângulos internos (Si) e dada por

Si= 180(n-2)

*Ângulo interno e dado pela expressão: Ai= 180(n-2)/ n

*Ângulos externos: Ae= 360/n

* O n° de diagonais que parte de um único vértice: d: n - 3

*A soma dos ângulos externos e dada por: Se=360°

EXERCÍCIO

1) (CEFET-2005)Sabendo-se que o numero de diagonais de um determinado polígono convexo e igual a 20 unidades. Qual o nome desse polígono:

a)Pentágono

b)Octógono c

)Eneágono

d)Decágono

e)Icoságono

2)(CEFET-2006)Considere as seguintes afirmativas:

I-A soma dos ângulos internos de um triângulo mede 180°.

II-O hexágono regular tem 9 diagonais.

III-O ângulo externo do octógono regular mede 45°.

São verdadeiras:

a) II

b) I

c) I e II

d) II e III

e) I,II e III

TRIÂNGULOS

TIPOS DE TRIÂNGULOS.

*Os triângulos podem ser classificados de acordo com os ângulos internos e os lados.

*Classificação por ângulos: Quanto aos ângulos os triângulos podem ser de três tipos; Acutângulo,obtusângulo e retângulo.

* Classificação pelos lados: Quanto aos lados os triângulos podem ser classificados também em três tipos; eqüilátero, isósceles e escalenos.

Ortocentro: Ponto de encontro das alturas do triângulo.

Incentro: Ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo.

Baricentro: E o ponto de intersecção das medianas no triângulo.

Semelhança de triângulosDois triângulos são semelhantes somente se, existe uma correspondência biunívoca que associa os três vértices de um dos triângulos aos três vértices do outro, de forma que:I) lados opostos a vértices correspondentes são proporcionais. II) Ângulos com vértices correspondentes são congruentes. 

 

Casos de semelhança de triângulosCritérios utilizados para que haja semelhança de triângulos

1) Caso AA (ângulo, ângulo)Dois triângulos são semelhantes somente se, têm dois ângulos respectivamente congruentes.

 2) Caso LAL (lado, ângulo, lado)Dois triângulos são semelhantes somente se, têm dois lados, respectivamente, proporcionais; e são congruentes os ângulos formados por esses lados. 

3) Caso LLL (lado, lado, lado) Dois triângulos são semelhantes somente se, têm os três lados, respectivamente, proporcionais.  

Relações Métricas no triângulo Retângulo Caso ABC seja um triângulo retângulo em A, traçando-se a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguintes elementos.

Relação métrica do triângulo retângulo

Num triângulo ABC, retângulo em A, indicamos por: a a medida da hipotenusa BCb a medida do cateto ACc a medida do cateto ABh a medida de AH, altura relativa a BCm a medida de HC, projeção ortogonal de AC

sobre BCn a medida de BH, projeção ortogonal de AB

sobre BC

• (Teorema de Pitágoras)• • •••

Triângulo Eqüilátero Num triângulo eqüilátero ABC, cujo lado tem medida a: • AH é altura, mediana e bissetriz relativa ao lado BC; sua medida h é dada por:

Trigonometria no triangulo retângulo.

RAZÃOES TRIGONOMÉTRICASa) Seno: Em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa.

b) Cosseno: Em um triângulo retângulo o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

c) Tangente: Em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto

e o cateto adjacente. A tangente também é conhecida como a razão entre o seno pelo cosseno.

ou

*Em questões que envolvem os valores das relações trigonométricas é necessário conhecer as de três ângulos 30°, 45° e 60°. Para os demais ângulos devem vim especificado os valores na questão.

EXERCÍCIOS1) (UEPA-2000) Uma praça de formato retangular tem dimensões de 120 m por 50 m. Um rapaz que está no vértice A, enxerga sua namorada que está no vértice B (veja figura). Na ânsia de abraça-la, corre desesperadamente ao seu encontro, percorrendo a menor distancia que é de:a) 340 m.b) 290 m.c) 220 m.d) 170 m.e) 130 m.

2) (UEPA-2000) Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma arvore sob um ângulo de depressão de 30° (ver figura). Em seguida, mede a distancia do prédio à arvore e registra m. A altura do prédio é de:

a) 90 m.b) m.

c) m.d) 120 m.e) m.

3) O professor CHARLES observa um prédio de altura x a uma certa distância y, formando um ângulo de 60°. Ao afastar-se mais 20 metros, percebeu que o ângulo formado media 30°.

A

B

30°

30° 60°

20 m y

x

30°

45°a b

Qual a distância que o professor CHARLES estava do prédio quando observou com o ângulo de 30°.a) 40 m. b) 30 m. c) 20 m.d) 10 m. e) 5 m.

4) Na figura abaixo, o valor de a + b é:

5) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura abaixo.Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?

a) 160b) 180c) 270d) 300e) 310

7) Do topo de um prédio avista-se a base de uma árvore sob um ângulo de depressão igual a 30°. Determine a altura do prédio, sabendo que ele dista 903 m da árvore.

8) A figura abaixo representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60°. Sendo a largura do rio de 120 m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:

a) 2403 mb) 240 m

c) 803 md) 80 me) 403 m

9) Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares?

a) 5m.b) 8 m.c) 10 m.d) 5√3 m.e) 8√3 m.

10) Um engenheiro foi contratado para projetar um teleférico que ligará os picos A e B de dois morros de altitudes 300 m e 900 m, respectivamente. Para calcular a distância AB, o engenheiro mediu a distância entre as retas verticais que passam por A e por B, obtendo 800 m. Qual é a distância AB?

11) Cada pneu traseiro de um trator tem raio de 0,9 m e cada pneu dianteiro tem raio de 0,4 m. Sabendo que a distância entre os centros T e D dos pneus é 2,5 m, conforme figura, calcule a distância x entre os pontos A e B onde esses pneus tocam o solo plano.

12) Fazer figuras com papel dobrado é uma arte. Ricardo vai construir um barco e dobrou uma folha de papel conforme a figura. Se a folha tem 18 cm por 12 cm, qual é a medida do segmento AE?

a) 5√6 cm. b) 4√6 cm. c) √6 cm.d) 6√5 cm. e) √5 cm.

a) 20b) 103 / 3c) 10 d) 53 / 3e) 520

13) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é:a) 30√3.b) 40√3.c) 60√3.d) 80√3.e) 90√3.

Áreas e perímetros das figuras planas

Retângulo S = a . b

Quadrado

S = a²

Paralelogramo S = a . h

Losango

Trapézio

Circunferência

S=p.R²

C=2.p.R

D=2.R

Triângulo

Se conhecermos as medidas a e b de dois lados de um triângulo e a sua medida α, podemos calcular sua área:

OBS: Podemos também calcular a área de um triângulo utilizando o semi-perímetro:

Bateria de exercícios.

1- Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros.

A área do triângulo ABD, em centímetros quadrados, é igual a:a) 480

b) 576c) 640d) 768e) 824

2- Um fazendeiro, percorrendo com um carro todo o contorno de sua fazenda, de forma retangular, perfaz exatamente 26 km. A Área ocupada pela fazenda é de 40 km2. Quais são as dimensões da fazenda?

a) 2 km e 4 km

b) 3 km e 4 km

c) 5 km e 7 km

d) 4 km e 8 km

e) 5 km e 8 km

3- (UCSal - BA) No centro de uma praça circular, de 90m de raio, foi montado um tablado, também circular e com 12m de raio, no qual realizou-se o espetáculo musical. Considerando que todas as pessoas que foram ao espetáculo restringiram-se á faixa da praça exterior ao tablado, que teve uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, quantas pessoas estiveram presentes a esse espetáculo? (Use = 3,14) A)90.576b)92.462c)93.128d)95.472e)98.576

4-  (Puc-mg) A medida da área da sala representada

na figura, em m2 é:

a) 28

b) 32

c) 42

d) 48

 

 

 

DADOS sen 53° = 0,8

cos 53° = 0,6

5- (Ufmg) Observe estas figuras:

 

 Nessas figuras, estão representadas as vistas

frontais e laterais de uma casa de madeira para um

cachorrinho, com todas as medidas indicadas em

centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na

parte da frente da casa.

Considerando-se os dados dessas figuras, a área

total do telhado dessa casa é de

a) 1,44 m2

b) 0,72 m2

c) 0,96 m2

d) 1,22 m2

e) nenhuma

6- (Ufrn) Um terreno de 72m2 de área é formado por 8 quadrados congruentes (veja figura a seguir).

 

A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede:a) 51mb) 36mc) 48md) 27me) nenhuma

7-  (Ufrrj) Na figura adiante, sabendo-se que os ângulos  e Ê são ângulos retos, a área do quadrilátero ACDE vale

a) 25,2 cm2.

b) 30,5 cm2.

c) 40,5 cm2.

d) 52,5 cm2.

e) 65,5 cm2.

 8- (Unesp) Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura.

A área (em m2) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, éa) 72.b) 80.c) 88.d) 120.e) 152.

 9- (Unifesp) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2.

 

A área da região hachurada é:

a) 9

b) 12

c) 15

d) 18

e) 21

10- A medida do ângulo x, na figura abaixo, sendo C o centro do círculo, é:

11-Na figura

. Então, BC é

igual a:

a) m.

b) 5 m.

c) 12 m.

d) 11 m.

e) cm.

12- (PUC-MG) Em um mapa, o parque turístico P e as cidades A, B, C e D estão dispostos conforme a figura a seguir, sendo AB paralelo a CD. Sabendo-se que, na realidade, AB = 40 km, AD = 30 km e DC = 25 km, a distância da cidade A até o parque P, em quilômetros, é

a) 65 b) 70 c) 75 d) 80

13- (UEL) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo:a) 4,5 m. b) 10,0 m. c) 18,0 m.d) 36,0 m. e) 45,0 m.

14- (PUC-SP) Dois mastros verticais, com alturas de 2 m e 8 m, têm suas bases fixadas em um terreno plano, distantes 10 m uma da outra. Se duas cordas fossem esticadas, unindo o topo de cada mastro com a base do outro, a quantos metros da superfície do terreno ficaria a intersecção das cordas?

a) 2,4 b) 2,2 c) 2 d) 1,8 e) 1,6

AD

D B

E C

(A) 130º

(B) 140º

(C) 120º

(D) 110º

(E) 100º

15- (Cesgranrio) No futebol de salão, a área de meta

é delimitada por dois segmentos de reta (de

comprimento de 11m e 3m) e dois quadrantes de

círculos (de raio 4m), conforme a figura. A superfície

da área de meta mede, aproximadamente,

 

a) 25 m2

b) 34 m2

c) 37 m2

d) 41 m2

e) 61 m2

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é(Use: π=3,1).

a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4

De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa?

a) 40 - 20 π b) 400 - 20 π c) 100 - 100 π d) 20 - 20 e) 400 - 100 π

(EEAR/2007) Os ângulos de um triângulo medem 7cm, 8cm e 9cm, a área desse triângulo em cm2 é?

a)12

b)12

c)8

d)8