Т. П. Гой, О. В. Махней

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ

Навчальний посiбникдля студентiв вищих навчальних закладiв

напрямiв пiдготовки«iнформатика», «прикладна математика»

Видання друге, виправлене та доповнене

ТЕРНОПIЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН

УДК 517.9ББК 22.161.6

Г 59

Рекомендовано Мiнiстерством освiти i науки, молодi та спортуУкраїни (лист № 1/11-12145 вiд 22.12.2011)

Рецензенти:Iванчов М. I., доктор фiзико-математичних наук, професор (Львiв-

ський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка),Каленюк П. I., доктор фiзико-математичних наук, професор (Нацiо-

нальний унiверситет «Львiвська полiтехнiка»),Мойсишин В. М., доктор технiчних наук, професор (Iвано-Франкiв-

ський нацiональний технiчний унiверситет нафти i газу)

Гой Т. П.Г59 Диференцiальнi рiвняння : навчальний посiбник / Т. П. Гой,

О.В. Махней. — Вид. 2-ге, випр. та доп. — Тернопiль : Навчальнакнига – Богдан, 2014. — 360 с.ISBN 978-966-10-3529-3

У посiбнику викладено основи теорiї звичайних диференцiаль-них рiвнянь, а також деякi спорiдненi питання (рiвняння з ча-стинними похiдними першого порядку, основи стiйкостi розв’яз-кiв рiвнянь). Автори намагались поєднати строгiсть викладу ма-терiалу теорiї диференцiальних рiвнянь з прикладним спряму-ванням її методiв, наводячи для цього численнi приклади з при-родничих наук. Кожна тема супроводжується питаннями та зав-даннями для самостiйного розв’язування. Наведено також при-клади застосування пакета символьних обчислень Maple для iн-тегрування диференцiальних рiвнянь.Для студентiв напрямiв пiдготовки «iнформатика», «приклад-

на математика». Може бути корисним для студентiв природни-чих та iнженерно-технiчних напрямiв пiдготовки.

УДК 517.9ББК 22.161.6

ISBN 978-966-10-3529-3 c© Т. П. Гой, О. В. Махней, 2014c© Навчальна книга – Богдан, 2014

ЗМIСТ

ПЕРЕДМОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

РОЗДIЛ 1. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ . 13

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняннята диференцiальнi моделi . . . . . . . . . . 13

1. Диференцiальнi рiвняння та математичне моделю-вання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 193. Складання диференцiальних рiвнянь виключеннямдовiльних сталих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Питання до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вправи до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Лекцiя 2. Диференцiальнi рiвняння першого по-рядку, розв’язанi вiдносно похiдної (за-гальна теорiя) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 242. Задача Кошi. Умови iснування та єдиностi розв’яз-ку задачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . 274. Геометричне та механiчне тлумачення диферен-цiального рiвняння першого порядку та йогорозв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Питання до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Вправи до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Лекцiя 3. Найпростiшi диференцiальнi рiвнянняпершого порядку, iнтегровнi у квадра-турах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1. Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними та звiднiдо них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Однорiднi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393. Рiвняння, звiднi до однорiдних . . . . . . . . . . . . 42Питання до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Вправи до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 ЗМIСТ

Лекцiя 4. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння та звi-днi до них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1. Лiнiйне диференцiальне рiвняння та методи йогорозв’язування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Властивостi розв’язкiв лiнiйних рiвнянь . . . . . . 513. Рiвняння Я. Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . 524. Рiвняння Рiккатi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Питання до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Вправи до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Лекцiя 5. Рiвняння у повних диференцiалах тазвiднi до них . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1. Рiвняння у повних диференцiалах . . . . . . . . . . 592. Iнтегрувальний множник та деякi способи його зна-ходження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Теореми про iснування, неєдинiсть та загальний ви-гляд iнтегрувального множника . . . . . . . . . . . 66Питання до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Вправи до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Лекцiя 6. Неявнi диференцiальнi рiвняння першо-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 712. Задача Кошi. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . 733. Рiвняння степеня n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Питання до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Вправи до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Лекцiя 7. Неявнi диференцiальнi рiвняння першо-го порядку (продовження) . . . . . . . . . 81

1. Метод уведення параметра . . . . . . . . . . . . . . 812. Рiвняння Лаґранжа та рiвняння Клеро . . . . . . . 833. Задача про iзогональнi траєкторiї . . . . . . . . . . 86Питання до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Вправи до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Лекцiя 8. Основнi властивостi розв’язкiв дифе-ренцiальних рiвнянь першого порядку . 91

1. Принцип стискаючих вiдображень . . . . . . . . . . 91

ЗМIСТ 5

2. Теорема iснування та єдиностi розв’язку задачiКошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. Продовження розв’язку задачi Кошi . . . . . . . . . 994. Коректнiсть задачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . 101Питання до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Вправи до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Лекцiя 9. Диференцiальнi моделi . . . . . . . . . . . 1041. Побудова диференцiальних моделей природничихнаук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Розв’язування геометричних задач з допомогою ди-ференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3. Розв’язування задач з допомогою iнтегральних рiв-нянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Питання до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Вправи до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Додаток 1. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування звичайних диферен-цiальних рiвнянь першого порядку . . . . . . 114

РОЗДIЛ 2. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . 124

Лекцiя 10. Диференцiальнi рiвняння вищих по-рядкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1. Основнi поняття й означення. Задача Кошi . . . . 1242. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . 1273. Рiвняння, яке мiстить тiльки незалежну змiнну iпохiдну порядку n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Питання до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Вправи до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Лекцiя 11. Диференцiальнi рiвняння вищих по-рядкiв, якi допускають зниження по-рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1. Рiвняння, яке не мiстить шуканої функцiї та кiль-кох послiдовних похiдних . . . . . . . . . . . . . . . 136

2. Рiвняння, яке не мiстить незалежної змiнної . . . . 139

6 ЗМIСТ

3. Рiвняння, однорiдне вiдносно шуканої функцiї та їїпохiдних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Рiвняння з точними похiдними . . . . . . . . . . . . 142Питання до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Вправи до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Лекцiя 12. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiв-няння n-го порядку . . . . . . . . . . . . . 147

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 1472. Властивостi розв’язкiв лiнiйного однорiдного рiв-няння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3. Лiнiйно залежнi та лiнiйно незалежнi функцiї . . . 1504. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535. Формула Остроградського–Лiувiлля . . . . . . . . . 154Питання до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Вправи до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекцiя 13. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiв-няння n-го порядку зi сталими коефi-цiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 1592. Метод Ейлера. Випадок простих характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3. Метод Ейлера. Випадок кратних характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4. Диференцiальнi рiвняння, звiднi до рiвнянь зi ста-лими коефiцiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Питання до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Вправи до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Лекцiя 14. Лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнiрiвняння n-го порядку . . . . . . . . . . . 171

1. Структура загального розв’язку лiнiйного неодно-рiдного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . 1733. Метод Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . 178Питання до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

ЗМIСТ 7

Вправи до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Лекцiя 15. Лiнiйнi однорiднi рiвняння другого по-

рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841. Канонiчна форма лiнiйного однорiдного рiвняннядругого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2. Побудова загального розв’язку у випадку, якщо вi-домий один частинний розв’язок . . . . . . . . . . . 186

3. Iнтегрування лiнiйних рiвнянь з допомогою степе-невих рядiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Питання до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Вправи до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Лекцiя 16. Диференцiальнi моделi коливальнихпроцесiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

1. Застосування лiнiйних однорiдних диференцiаль-них рiвнянь другого порядку до коливальних рухiв 196

2. Застосування лiнiйних неоднорiдних диференцiаль-них рiвнянь другого порядку до коливальних рухiв 200

3. Диференцiальна модель математичного маятника . 204Питання до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Вправи до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Лекцiя 17. Крайовi задачi для диференцiальнихрiвнянь другого порядку . . . . . . . . . 208

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 2082. Iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi . . 2093. Функцiя Ґрiна крайової задачi . . . . . . . . . . . . 2114. Крайовi задачi на власнi значення . . . . . . . . . . 215Питання до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Вправи до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Додаток 2. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування звичайних диферен-цiальних рiвнянь вищих порядкiв . . . . . . . 219

8 ЗМIСТ

РОЗДIЛ 3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕ-РЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . 228

Лекцiя 18. Системи звичайних диференцiальнихрiвнянь (загальна теорiя) . . . . . . . . . 228

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 2282. Механiчне тлумачення нормальної системи та їїрозв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3. Зведення диференцiального рiвняння n-го порядкудо нормальної системи й обернена задача . . . . . . 235

4. Лiнiйнi однорiднi системи . . . . . . . . . . . . . . . 238Питання до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Вправи до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Лекцiя 19. Лiнiйнi однорiднi системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . 242

1. Лiнiйно залежнi та лiнiйно незалежнi сукупностiфункцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2. Формула Остроградського–Якобi . . . . . . . . . . . 2453. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464. Лiнiйнi однорiднi системи зi сталими коефiцiєнта-ми. Метод Ейлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Питання до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Вправи до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Лекцiя 20. Лiнiйнi неоднорiднi системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . 257

1. Структура загального розв’язку лiнiйної неоднорiд-ної системи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . 2593. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . 2624. Метод Д’Аламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Питання до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Вправи до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Додаток 3. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування систем звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . 269

ЗМIСТ 9

РОЗДIЛ 4. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯЗ ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИПЕРШОГО ПОРЯДКУ . . . . . . . . . 273

Лекцiя 21. Лiнiйнi однорiднi рiвняння з частинни-ми похiдними першого порядку . . . . . 273

1. Зв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння з частинни-ми похiдними першого порядку з вiдповiдною си-стемою характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

2. Побудова загального розв’язку лiнiйного однорiд-ного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

3. Задача Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння . 280Питання до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Вправи до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Лекцiя 22. Квазiлiнiйнi та нелiнiйнi рiвняння з ча-стинними похiдними першого порядку 284

1. Побудова загального розв’язку квазiлiнiйного рiв-няння першого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . 284

2. Задачi Кошi для квазiлiнiйного рiвняння першогопорядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

3. Нелiнiйнi рiвняння з частинними похiдними першо-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

4. Рiвняння Пфаффа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Питання до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Вправи до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Додаток 4. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування рiвнянь з частинни-ми похiдними першого порядку . . . . . . . . . 297

РОЗДIЛ 5. СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕ-РЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . 302

Лекцiя 23. Основи теорiї стiйкостi за Ляпуновим . 3021. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 3022. Дослiдження на стiйкiсть точок спокою . . . . . . . 3063. Стiйкiсть за першим наближенням . . . . . . . . . 3084. Критерiї Рауса–Гурвiца, Л’єнара–Шипара . . . . . 312Питання до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10 ЗМIСТ

Вправи до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Лекцiя 24. Теорема Ляпунова. Фазова площина . . 315

1. Дослiдження на стiйкiсть з використанням функцiйЛяпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

2. Класифiкацiя точок спокою автономної системи . . 318Питання до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Вправи до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Додаток 5. Застосування математичного пакетаMaple для дослiдження на стiйкiсть розв’яз-кiв звичайних диференцiальних рiвнянь таїхнiх систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Додаток 6. Основи роботи з математичним паке-том Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

КОРОТКI ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКIЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ . . . . . . . . 347

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ . 352

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК . . . . . . . . . . . . 355

11

ПЕРЕДМОВА

Диференцiальнi рiвняння й методи дослiдження їхнiх роз-в’язкiв широко використовують у рiзноманiтних галузях i роз-дiлах сучасної науки й технiки. Саме тому навчальна дисциплi-на «Диференцiальнi рiвняння» займає чiльне мiсце у пiдготовцiфахiвцiв з iнформатики, математики, прикладної математикитощо.

Пропонований посiбник охоплює основну частину унiвер-ситетської програми з диференцiальних рiвнянь для студентiвнапрямiв пiдготовки «iнформатика», «прикладна математика»,але може бути використаний також студентами iнженерно-технiчних вищих навчальних закладiв.

Метою посiбника є ознайомлення студентiв з основними по-няттями, твердженнями, методами та застосуваннями теорiїдиференцiальних рiвнянь, сприяння глибокому засвоєнню тео-ретичного матерiалу з допомогою розв’язаних прикладiв i за-дач рiзного рiвня складностi, пiдготовка їх до самостiйної ро-боти з науковою лiтературою.

Посiбник має вигляд курсу з 24 лекцiй, якi умовно мо-жна подiлити на 5 роздiлiв: «Звичайнi диференцiальнi рiв-няння першого порядку», «Звичайнi диференцiальнi рiвнян-ня вищих порядкiв», «Системи звичайних диференцiальнихрiвнянь», «Диференцiальнi рiвняння з частинними похiднимипершого порядку», «Стiйкiсть розв’язкiв диференцiальних рiв-нянь».

Те, що авторами названо «лекцiями», можна вважати нимиумовно — передовсiм через обсяг, який не завжди вiдповiдаєдвом академiчним годинам, а також через нерiвномiрно розпо-дiлений матерiал. Насправдi, термiн «лекцiя» — це радше пев-ний тематично об’єднаний матерiал, який може бути основоюдля справжньої лекцiї та вiдповiдного практичного заняття.

Важливi поняття, теореми, методи iлюструються приклада-ми та задачами. Кiнець розв’язаних прикладiв i задач позна-чається символом �, але у тих випадках, де було ймовiрним«загубити» вiдповiдь серед тексту, її написано в кiнцi прикла-

12 ПЕРЕДМОВА

ду чи задачi.Знак � означає завершення доведення теореми.Кожна лекцiя супроводжується питаннями для контролю

та самоконтролю засвоєння матерiалу та вправами, якi у поєд-наннi з iншими збiрниками можуть бути основою для проведе-ння практичних занять з певної теми. Посiбник може викори-стовуватись i як довiдник, чому сприяє детальний предметнийпокажчик.

У додатках до роздiлiв для майже всiх розв’язаних у вiдпо-вiдних темах прикладiв наводяться їх розв’язання з допомогоюпакета символьних обчислень Maple. З основами роботи з нимчитач може ознайомитись у додатку 6.

У списку лiтератури читач знайде перелiк лiтературнихджерел, у яких питання, висвiтленi у цьому посiбнику, викла-денi по-iншому або бiльш повно.

Сподiваємось, що цей посiбник допоможе студентам в ово-лодiннi важливими роздiлами сучасної математики, а такожбуде корисним для викладачiв пiд час роботи зi студентами.

У другому виданнi виправлено помiченi недолiки i помилкита оновлено рекомендовану лiтературу.

Автори висловлюють щиру вдячнiсть рецензентам профе-сорам М. I. Iванчову, П. I. Каленюку, В. М. Мойсишину за ко-риснi критичнi зауваження й методичнi поради, якi безумовносприяли покращенню якостi рукопису.

Усi критичнi зауваження, рекомендацiї й побажання звдячнiстю будуть сприйнятi авторами та врахованi для по-кращення змiсту наступних видань посiбника. Усю iнфор-мацiю просимо надсилати на e-mail: tarasgoy@yahoo.com,makhney1@yahoo.com.

171

Лекцiя 14. Лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнiрiвняння n-го порядку

План

1. Структура загального розв’язку лiнiйного неоднорiдногорiвняння.

2. Метод варiацiї довiльних сталих.3. Метод Кошi.4. Метод невизначених коефiцiєнтiв.

1. Структура загального розв’язку лiнiйного неод-норiдного рiвняння. Розглянемо лiнiйне неоднорiдне дифе-ренцiальне рiвняння

L[ y ] ≡ y(n) + p1(x)y(n−1) + p2(x)y

(n−2) + . . .

. . .+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = f(x) (14.1)

i вiдповiдне однорiдне рiвняння

L[ y ] = 0. (14.2)

Виявляється, що загальний розв’язок лiнiйного неоднорiд-ного рiвняння (14.1) завжди можна знайти, якщо вiдомi загаль-ний розв’язок рiвняння (14.2) i будь-який частинний розв’язокрiвняння (14.1). Це випливає з такого твердження.

Теорема 1. Загальний розв’язок лiнiйного неоднорiдногорiвняння (14.1) дорiвнює сумi будь-якого його частинного роз-в’язку та загального розв’язку однорiдного рiвняння (14.2).Доведення. Нехай Y = Y (x) — вiдомий частинний розв’язокрiвняння (14.1), тобто L[Y ] ≡ f(x). Виконаємо замiну y = z+Y,де z = z(x) — нова шукана функцiя. Пiдставляючи її у (14.1)та враховуючи лiнiйнiсть оператора L, одержуємо, що L[ y ] == L[ z + Y ]=L[ z ] + L[Y ]=f(x). Оскiльки L[Y ] = f(x), то

L[ z ] = 0, (14.3)

тобто z — розв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння (14.2). Тодiзгiдно з Основною теоремою (лекцiя 12) загальним розв’язком

172 Роздiл 2. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ

рiвняння (14.3) є z = C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn, де y1, y2, . . . ,yn — деяка фундаментальна система розв’язкiв цього рiвняння,а C1, C2, . . . , Cn — довiльнi сталi. Таким чином,

y = C1y1 +C2y2 + . . .+ Cnyn + Y. (14.4)

Покажемо, що формула (14.4) визначає загальний розв’язокрiвняння (14.1). Згiдно з означенням загального розв’язку ди-ференцiального рiвняння n-го порядку для цього потрiбно по-казати, що з (14.4) при належному виборi сталих C1, C2, . . . , Cnможна одержати розв’язок, який задовольняє довiльнi поча-тковi умови

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y(n−1)(x0) = y

(n−1)0 .

Послiдовно диференцiюючи (14.4), знаходимо:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩y = C1y1 + C2y2 + . . .+ Cnyn + Y,

y′ = C1y′1 + C2y

′2 + . . .+ Cny

′n + Y ′,

· · · · · · · · ·y(n−1) = C1y

(n−1)1 + C2y

(n−1)2 + . . . + Cny

(n−1)n + Y (n−1).

Пiдставляючи в цю систему x = x0, матимемо неоднорiдну си-стему n лiнiйних рiвнянь з n невiдомими C1, C2, . . . , Cn, ви-значником якої є W (x0). Оскiльки y1, y2, . . . , yn — фундамен-тальна система розв’язкiв, то W (x0) = 0. Таким чином, сталiC1, C2, . . . , Cn з отриманої системи визначаються однозначно,а тому розв’язок (14.4) справдi є загальним. �

Теорема 2. Нехай права частина лiнiйного неоднорiдногорiвняння (14.1) є сумою двох доданкiв, тобто

L[ y ] = f1(x) + f2(x). (14.5)

Якщо y1 — частинний розв’язок рiвняння L[ y ] = f1(x), а y2 —частинний розв’язок рiвняння L[ y ] = f2(x), то y1 + y2 є ча-стинним розв’язком рiвняння (14.5).Доведення теореми випливає з того, що

L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] ≡ f1(x) + f2(x). �

350 ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКI ЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ

нянь (умова Лiпшiца), теоретичної механiки.ЛIУВIЛЛЬ Жозеф (Liouville Joseph; 1809–1882) — французь-

кий математик. Автор важливих праць з комплексного аналiзу, тео-рiї чисел, диференцiальних рiвнянь (формула Остроградського–Лiу-вiлля). Першим строго довiв неiнтегровнiсть у квадратурах деякихкласiв диференцiальних рiвнянь. Разом зi Ж. Штурмом розробивтеорiю крайових задач на власнi значення для лiнiйних диференцi-альних рiвнянь другого порядку (задача Штурма–Лiувiлля).ЛЯПУНОВ Олександр Михайлович (1857–1918) — росiй-

ський математик i механiк. Засновник математичної теорiї стiйкостiруху, автор важливих дослiджень про фiгури рiвноваги рiдини, щорiвномiрно обертається.НЬЮТОН Iсаак (Newton Isaac; 1643–1727) — англiйський фi-

зик, математик, механiк, астроном. Заклав теоретичнi основи меха-нiки i астрономiї, вiдкрив закон всесвiтнього тяжiння, разом iз Лей-бнiцем уважається творцем диференцiального та iнтегрального чи-слень. Винайшов метод iнтегрування диференцiальних рiвнянь роз-виненням їхнiх розв’язкiв у степеневi ряди.ОСТРОГРАДСЬКИЙМихайло Васильович (1801–1862) —

український i росiйський математик (родом з Полтавщини), член Пе-тербурзької Академiї наук та багатьох закордонних академiй наук.Розв’язав низку важливих задач математичної фiзики, теорiї звичай-них диференцiальних рiвнянь (формула Остроградського–Лiувiлля),варiацiйного числення, теоретичної механiки. Запропонував спосiбзведення неоднорiдної крайової задачi до однорiдної.ПЕАНО Джузеппе (Peano Giuse; 1858–1932) — iталiйський ма-

тематик. Запропонував систему аксiом арифметики, довiв теоремуiснування розв’язку задачi Кошi для диференцiального рiвняння знеперервною правою частиною.ПУАНКАРЕ Анрi Жюль (Poincare Henri Jules; 1854–1912) —

французький математик, фiзик, астроном i фiлософ. Автор понад1000 праць з диференцiальних рiвнянь, теорiї потенцiалiв, матема-тичної фiзики, небесної механiки. Один iз засновникiв якiсної теорiїдиференцiальних рiвнянь.ПФАФФ Йоганн Фрiдрiх (Pfaff Johann Friedrich; 1765–

1825) — нiмецький математик i астроном. Вiдомий дослiдженнямиз теорiї диференцiальних рiвнянь (рiвняння Пфаффа).РАУС Едвард Джон (Routh Edward John; 1831–1907) — ан-

глiйський механiк i математик. Вiдомий працями з теоретичної ме-ханiки. Займався проблемами стiйкостi рiвноваги i руху (критерiйРауса–Гурвiца). Встановив спецiальний алгоритм для визначення

ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКI ЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ 351

кiлькостi коренiв алгебричного рiвняння, якi мають додатнi дiйснiчастини (теорема Рауса).РIККАТI Джакопо Франческо (Riccati Jacopo Francesco;

1676–1754) — iталiйський математик та iнженер. Основнi працi сто-суються iнтегрального числення й диференцiальних рiвнянь, зокре-ма iнтегровностi у квадратурах одного класу диференцiальних рiв-нянь першого порядку (спецiальне рiвняння Рiккатi).СИЛЬВЕСТР Джеймс Джозеф (Sylvester James Joseph;

1814–1897) — англiйський математик. Основнi працi з алгебри (кри-терiй Сильвестра), теорiї чисел, теорiї ймовiрностей, механiки i ма-тематичної фiзики.ТЕЙЛОР Брук (Taylor Brook; 1685–1731) — англiйський ма-

тематик. Вивiв загальну формулу (формула Тейлора) розвиненняфункцiй у степеневi ряди (ряди Тейлора), започаткував математич-ну теорiю коливання струни.ФРЕДГОЛЬМ Ерiк Iвар (Fredholm Erik Ivar; 1866–1927) —

шведський математик. Засновник загальної теорiї лiнiйних iнте-гральних рiвнянь (рiвняння Фредгольма, теореми Фредгольма).ФУР’Є Жан Батист Жозеф (Fourier Jean Baptiste Joseph;

1768–1830) — французький математик. Найвагомiшi результатиотримав у математичнiй фiзицi. Зокрема, вивiв диференцiальне рiв-няння теплопровiдностi, розробив метод розв’язування цього рiвнян-ня при певних крайових умовах (метод Фур’є). Його iдеї стали по-тужним iнструментом математичного дослiдження найрiзноманiтнi-ших задач, пов’язаних з хвилями i коливаннями.ХОПФ Еберхард (Hopf Eberhard; 1902–1983) — нiмецький i

американський математик. Основнi роботи стосуються теорiї дина-мiчних систем i диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.ШТУРМ Жак Шарль Франсуа (Sturm Jacques Charles

Francois; 1803–1855) — швейцарський математик. Основнi працi при-свяченi задачам математичної фiзики та пов’язаним з ними крайо-вим задачам на власнi значення для звичайних диференцiальних рiв-нянь (задача Штурма–Лiувiлля). Заклав основи теорiї коливностiрозв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь.ЯКОБI Карл Густав Якоб (Jacobi Carl Gustav Jacob; 1804–

1851) — нiмецький математик. Йому належать вiдкриття в теорiї чи-сел, алгебрi, варiацiйному численнi, iнтегральному численнi та тео-рiї диференцiальних рiвнянь. Дослiджував диференцiальнi рiвняннядинамiки, розробив новi методи їх розв’язування.

352

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ

ОСНОВНА ЛIТЕРАТУРА

1. Агафонов С. А. Дифференциальные уравнения /С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова. — М. :Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 352 с.

2. Боярчук А. К. Справочное пособие по высшей матема-тике. Т. 5: Дифференциальные уравнения в примерах изадачах / А.К. Боярчук, Г. П. Головач. — М. : ЕдиториалУРСС, 2001. — 384 с.

3. Головатий Ю. Д. Диференцiальнi рiвняння / Ю. Д. Голо-ватий, В. М. Кирилич, С. П. Лавренюк. — Львiв : ЛНУiм. Iвана Франка, 2011. — 470 с.

4. Диференцiальнi рiвняння: методи та застосування/ С. Д. Iвасишен, В. П. Лавренчук, П. П. Настасiєв,I. I. Дрiнь. — Чернiвцi : Чернiвецький нац. ун-т, 2010. —288 с.

5. Кривошея С.А. Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння /С. А. Кривошея, М. О. Перестюк, В. М. Бурим. — К. :Либiдь, 2004. — 408 с.

6. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенныхдифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. — М. :Высшая школа, 1967. — 564 с.

7. Самойленко А. М. Диференцiальнi рiвняння у задачах /А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, М. О. Перестюк. —К. : Либiдь, 2003. — 504 с.

8. Самойленко А. М. Диференцiальнi рiвняння / А. М. Са-мойленко, М. О. Перестюк, I. О. Парасюк. — К. : Либiдь,2003. — 600 с.

9. Шкiль М. I. Диференцiальнi рiвняння / М. I. Шкiль,В. М. Лейфура, П. Ф. Самусенко. — К. : Технiка, 2003. —368 с.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ 353

ДОДАТКОВА ЛIТЕРАТУРА

10. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в при-ложениях / В. В. Амелькин. — М. : Едиториал УРСС,2003. — 208 с.

11. Бiлоусова Л. I. Курс вищої математики у середовищiMaple / Л. I. Бiлоусова, М.М. Горонескуль. — Х. : УЦЗУ,КП «Мiська друкарня», 2009. — 412 с.

12. Боднар Д. I. Диференцiальнi рiвняння: методи розв’язу-вання / Д. I. Боднар, Л. М. Буяк, О. Г. Возняк. — Терно-пiль : Навчальна книга – Богдан, 2010. — 112 с.

13. Босс В. Лекции по математике: дифференциальные урав-нения / В. Босс. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 208 с.

14. Гой Т. П. Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння /Гой Т. П., Махней О. В. — Iвано-Франкiвськ : Сiмик,2012. — 356 с.

15. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и обра-зовании / В. П. Дьяконов — М. : СОЛОН-Пресс, 2006. —720 c.

16. Эдвардс Ч. Г. Дифференциальные уравнения и кра-евые задачи: моделирование и вычисление с помо-щью Mathematica, Maple и MATLAB / Ч. Г. Эдвардс,Д.Э. Пенни. — М. : ООО «И.Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.

17. Эрроусмит Д. Обыкновенные дифференциальные урав-нения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрро-усмит, К. Плейс. — М. : Мир, 1986. — 243 с.

18. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные урав-нения с приложениями / А. И. Егоров. — М. :ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с.

19. Журавлев С. Г. Дифференциальные уравнения: примерыи задачи экономики, экологии и других социальных на-ук / С. Г. Журавлев, В. В. Аниковский. — М. : Экзамен,2005. — 128 с.

354 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ

20. Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциаль-ных уравнений и математического моделирования. Клас-сические и новые методы. Нелинейные математичес-кие модели. Симметрия и принципы инвариантности /Н.Х. Ибрагимов. — Н. Новгород : Изд-во Нижегород. гос.ун-та, 2007. — 421 с.

21. Махней О. В. Математичне забезпечення автоматизацiїприкладних дослiджень / О. В. Махней, Т. П. Гой. —Iвано-Франкiвськ : Сiмик, 2013. — 304 с.

22. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциаль-ных уравнений / К. К. Пономарев. — Минск : Выш. шко-ла, 1973. — 560 с.

355

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

Багаточлен характеристичний160

– Чебишова 168

Визначник Вронського (вронскi-ан) 151, 243

– характеристичний 248Вронскiан (визначник Вронсько-го) 151, 243

Вузол нестiйкий 321, 326– стiйкий 320, 326

Графiк руху 33

Данi початковi 25, 125, 229, 234

Задача Кошi 25, 73, 124, 229, 233,280, 287

– крайова 208– – на власнi значення 215– – неоднорiдна 209– – однорiдна 209– – Штурма–Лiувiлля 217– початкова (задача Кошi) 25Залежнiсть лiнiйна 150, 242Збурення 306Значення власне 216

Iзоклiна 31Iнварiант 186Iнтеграл диференцiального рiв-няння 28

– загальний 28, 75, 127, 231– незалежний 231– перший 143, 231– – незалежний 231– системи 230

Коефiцiєнт рiвняння 24, 147– стиснення 92Коливання вiльне 200

– власне 200– гармонiчне 198– – згасаюче 199– гармонiчне накладене 202Команда Maple 341Комбiнацiя iнтегровна 231Коректнiсть задачi Кошi 101Крива iнтегральна 20, 229– логiстична 16Критерiй Л’єнара–Шипара 312– Рауса–Гурвiца 312– Сильвестра 316

Лiнеаризацiя 105

Маятник математичний 204Метод варiацiї довiльних сталих49, 173, 259

– виключення 236– вiдокремлення змiнних 37– Д’Аламбера 266– Ейлера 70, 247– iзоклiн 31– iтерацiй (послiдовних набли-жень) 92

– Й. Бернуллi 50– Кошi 175– Лаґранжа 49, 173, 259– невизначених коефiцiєнтiв 178,262

– пiдстановки 50– послiдовних наближень (iтера-цiй) 92

– степеневих рядiв 188– уведення параметра 81, 82, 132Метрика (вiдстань) простору 91Множина Maple 341Множник iнтегрувальний 62, 144

356 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

Наближення послiдовнi 94

Обвiдна 30, 75Оператор 92– iнтегральний Фредгольма 97– лiнiйний диференцiальний 148– стискаючий 92Опцiя Maple 341

Площина фазова 232Поверхня iнтегральна 274Поле напрямiв 30Положення рiвноваги 306Портрет фазовий 318Порядок рiвняння 19– з частинними похiдними 274– звичайного диференцiального19, 147

Принцип стискаючих вiдобра-жень 92

Простiр метричний 91– n-вимiрний евклiдовий 91– повний 92– фазовий 232Пряма фазова 232

Ранг крайової задачi 210Резонанс 202Рiвняння автономне 34– Бесселя 168– гармонiчного осцилятора 197– диференцiальне 13– – з частинними похiдними 20,273

– – звичайне 19– – сiм’ї кривих 21– з точними похiдними 142– Ейлера 166– з вiдокремленими змiнними 37– з вiдокремлюваними змiнними36

– iнтегральне 111

– квазiлiнiйне 284– Клеро 84– коливань 197– – вимушених 197, 200– – вiльних 197– Лаґранжа 83, 167– лiнiйне другого порядку 184– – з частинними похiдними пер-шого порядку 275

– – зi сталими коефiцiєнтами 159,178

– – неоднорiдне n-го порядку 147– – – з частинними похiднимипершого порядку 284

– – – першого порядку 48– – однорiдне n-го порядку 147– – – з частинними похiднимипершого порядку 276

– – – першого порядку 48– – першого порядку 48– неявне 71– –, яке мiстить тiльки похiдну 79–, не розв’язане вiдносно похiдної71

– однорiдне 39, 141– першого порядку степеня n 78– Пфаффа 293– Рiккатi 56– стацiонарне 34– у повних диференцiалах 59– узагальнено-однорiдне 45– характеристичне 160, 248– Чебишова 167– Я. Бернуллi 52Розв’язок звичайного диференцi-ального рiвняння 20, 25, 71,124

– – загальний 27, 127– – – у параметричнiй формi 28,127

– – комплексний 162

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК 357

– – особливий 29, 75, 128– – тривiальний 149– – у квадратурах 21– – частинний 29, 75, 128– рiвняння з частинними похi-дними 274

– – загальний 278, 286– крайової задачi 209– системи звичайних диференцi-альних рiвнянь 229

Розв’язок системи асимптотичностiйкий 304, 307

– – загальний 230– – збурений 304– – незбурений 304– – нестiйкий 304– – особливий 230– – стiйкий 303, 306– – тривiальний 239, 306– – частинний 230Рух 33, 126, 233, 303– аперiодичний згасаючий 200– усталений 233Ряд степеневий 188– узагальнений 192

Система автономна 233– звичайних диференцiальнихрiвнянь першого порядку 228

– лiнiйна 238– – неоднорiдна 239– – однорiдна 239– нормальна 229– першого наближення 308– розв’язкiв фундаментальна153, 246

– стацiонарна 233– характеристик 276, 285, 286– характеристична 276Сiдло 322Сiм’я iнтегральних кривих 20

Список Maple 341Стан спокою 34, 233

Теорема Кошi 27, 95, 127, 229– Ляпунова 310, 315– Пеано 25, 127, 229– про неперервну залежнiсть роз-в’язкiв вiд параметру 101

– про неперервну залежнiсть роз-в’язкiв вiд початкових умов102

Точка аналiтичностi рiвняння189

– нерухома 92– особлива 28, 191– – регулярна 192– простору 91– рiвноваги 34– руху початкова 234– спокою 34, 233, 306Траєкторiя iзогональна 86– ортогональна 86– руху 233– фазова 233

Умова Лiпшiца 98– необхiдна i достатня лiнiй-ної незалежностi функцiй 153,245

– – лiнiйної залежностi функцiй151, 243

– – – незалежностi розв’язкiв 152,244

– – сумiсностi системи нелiнiй-них рiвнянь з частинними по-хiдними першого порядку 291

– повної iнтегровностi рiвнянняПфаффа 294

Умови крайовi 208– – однорiднi 209– початковi 25, 125, 229, 280, 287

358 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

Фокус нестiйкий 325– стiйкий 324Формула Абеля 187– Ейлера 162– Кошi 131, 177– Остроградського–Лiувiлля 156– Остроградського–Якобi 245Функцiя аналiтична 189– власна 216– Ґрiна 212– Кошi 175– Ляпунова 316– однорiдна 39

Центр 324Цикл граничний 318

Число характеристичне 160, 248

color 343complex 343D 114DEplot 344DEtools 344

diff 342dsolve 114, 269fsolve 343implicit 118intfactor 118linecolor 345numchar 346numpoints 343odeplot 344Order 341PDEplot 345PDEtools 344plot 343plot3d 343plots 344scaling 343scene 345simplify 342solve 343stepsize 345type 344with 344

Навчальне видання

ГОЙ Тарас ПетровичМАХНЕЙ Олександр Володимирович

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ

Навчальний посiбникВидання друге, виправлене та доповнене

Головний редактор Богдан БуднийРедактор Володимир Дячун

Художник обкладинки Андрiй КравчукДизайн та комп’ютерна верстка Тараса Гоя,

Олександра Махнея

Пiдписано до друку 12.01.2014. Формат 60×84/16. Папiр офсетний.Гарнiтура Computer Modern Roman. Умовн. друк. арк. 20,93.

Умовн. фарбо-вiдб. 20,93.

Видавництво «Навчальна книга – Богдан»Свiдоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи

до Державного реєстру видавцiв,виготiвникiв i розповсюджувачiв видавничої продукцiї

ДК № 4221 вiд 07.12.2011 р.

Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопiль, 46002Навчальна книга – Богдан, а/с 529, м. Тернопiль, 46008

тел./факс (0352)52-06-07; 52-19-66; 52-05-48office@bohdan-books.comwww.bogdan-books.com

9 789661 035293

ISBN 978-966-10-3529-3