(付録) 「ヤコビアン・直交座標・座標変換(1)」...ヤコビアン(2)...
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(付録) 「ヤコビアン・直交座標・座標変換(1)」 1. ヤコビアン 2. 直交座標 3. 円柱座標 4. 球座標
暫定版 修正・加筆の可能性あり
座標変換:transformations between coordinate systems • 直交座標:orthogonal coordinate system • デカルト座標:Cartesian coordinate system • 円柱座標:cylindrical polar coordinate system • 球座標: spherical polar coordinate system • ヤコビアン: Jacobian • 参考文献:藤本「現代数学レクチャーズC-1 ベクトル解析」第5章、培風館 • 後編:7011「ヤコビアン・直交座標・座標変換(2)」
701-1
ヤコビアン(1) ヤコビアン 1. ヤコビアン: Jacobian 2. ヤコビの行列式: Jacobian determinant
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, , , ,
, , , ,
, , , ,
u v w
u
v
w
V
u u v w u v w
u v v w u v w
u v w w u v w
∆ = ∆ ∆ ×∆
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
r r r
r r r
r r r
r r r
位置ベクトル:変数u、v、w
変数u、v、wを関数ベクトルr(位置ベクトル)の単なる変数として扱う。 変数uの微小増加Δuに伴う位置ベクトルの移動 変数vの微小増加Δvに伴う位置ベクトルの移動 変数wの微小増加Δwに伴う位置ベクトルの移動
微小体積要素
( )
( ) ( ) ( )
, ,
, , , , , , , ,x y z
u v w
x y z
x x u v w y y u v w z z u v w
=
= + +
= = =
r r
r e e e
各成分:変数u、v、wの関数
u∆r
w∆r
v∆r
微小体積要素
( )u v wV∆ = ∆ ∆ ×∆r r r
701-2
ヤコビアン(2)
微小体積要素
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
u v wV
u u v w u v w
u v v w u v w u v w w u v w
u u v w u v w u v v w r v w wu v w
u v w
u v wu v w
∆ = ∆ ∆ ×∆
= + ∆ −
+ ∆ − × + ∆ −
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ = × ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂
r r r
r r
r r r r
r r r r r r
r r r
( ) , , ,
, , , , , , , ,
u v w u v w
u v w
dV dudvdwu v w
x y z x y z x y zu u u u v v v v w w w w
∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ×∂ ∂ ≡ ∂ ≡ ∂ ≡
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ = = ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r r rr r r r r r
r r rr r r
関係式:微小体積要素
701-3
ヤコビアン(3)
微小体積要素:積分
( )u v w
x y zu u ux y zdV dudvdw dV dudvdwv v vx y zw w w
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ×∂ → =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
r r r
ヤコビアン: Jacobian
( )( )
, ,, ,
x x x x y zu v w u u u
x y z y y y x y zu v w u v w v v v
z z z x y zu v w w w w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂≡ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
注意:ある行列式と「その転置行列」の行列式は等しい 701-4
701-5
直交座標:デカルト座標系(1)
x軸
y軸
z軸
( ), ,x y zr
デカルト座標系 Cartesian coordinate system
( ), , x y zu x v y w z x y z= = = = + +r e e e
位置ベクトル:position vector
正規直交基底ベクトル:basis a set of linearly independent vectors
( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y zx y z∂ ∂ ∂
= = = = = =∂ ∂ ∂r r re e e
線要素ベクトル:デカルト座標系
( ), ,
x y z
d u x v y w z
du dv dwu v w
dx dy dzx y zdx dy dz
= = =
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
= + +
rr r r
r r r
e e e
直交座標:デカルト座標系(3)
体積:スカラー三重積
( )
,
x y z
x y z
x y z
x x y y z z
x x y y z z x x y y z z
a a aV b b b
c c c
a a ab b b c c c
= × =
= + +
= + + = + +
a b c
a e e eb e e e c e e e
x軸
y軸
z軸
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x y z
x
y
z
V
x x y z x y z
x y y z x y z
x y z z x y z
∆ = ∆ ∆ ×∆
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
r r r
r r r
r r r
r r r
微小体積要素:積分
注意:現時点ではx、y、zを関数ベクトルr(位置ベクトル)の単なる変数として扱う。 変数xの微小増加Δxに伴う位置ベクトルの移動 変数yの微小増加Δyに伴う位置ベクトルの移動 変数zの微小増加Δzに伴う位置ベクトルの移動
701-6
直交座標:デカルト座標系(3)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
( )
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
1 0 00 1 00 0 1
x y z
x y z
V
x x y z x y z
x y y z x y z x y z z x y z
x x y z x y z x y y z x y z zx y z
x y z
dV dxdydz dxdydz dxdydzx y z
∆ = ∆ ∆ ×∆
= + ∆ −
+ ∆ − × + ∆ −
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ →
∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ = ∂ ∂ ∂
r r r
r r
r r r r
r r r r r r
r r r r r r
dxdydz=
微小体積要素:積分
結論:デカルト座標 • 微小量dx、dy、dzを同一量とすれば、微小体積要素は立方体 • 変数x、y、zは距離(長さ)を次元に持つ。
dV dxdydz=
701-7
円柱座標(1)
x軸
y軸
z軸
( ), , zρ φr$$$
φ
x軸
y軸
イメージ:真上から
φ
ρ:半径
( ), , x y zu v w z x y zρ φ= = = = + +r e e e
位置ベクトル:position vector
要素:component
cos , sin ,x y z zρ φ ρ φ= = =
要素:component
2 2 1, tan ,yx y z zx
ρ φ −= + = =
cos sin
sin cosx y
x y
z z
ρ
φ
φ φ
φ φ
= +
= − +
=
e e ee e ee e
正規直交基底ベクトル:円柱座標(次頁)
ρe
φe
701-8
円柱座標(2)
x軸
y軸
z軸
( ), , zρ φr$$$
φ
( ), , x y zu v w z x y zρ φ= = = = + +r e e e
位置ベクトル:position vector
701-9
線要素ベクトル:デカルト座標系
( ), ,
z z
z
d u v w z
d d dzz
h d h d h dzd d dz
ρ ρ φ φ
ρ φ
ρ φ
ρ φρ φ
ρ φ
ρ ρ φ
= = =
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
= + +
= + +
rr r r
e e ee e e
, ,
1, , 1
r r rr r rr e r e r err r
r r r
zz z
z
z z
z
h h h
ρ φρ ρ φ φ
ρ φ
ρ ρ φ φ
ρ φ
ρ
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
= ∂ = = ∂ = = ∂ =
正規直交基底ベクトル:円柱座標系(次頁)
円柱座標(3)
正規直交基底ベクトル:円柱座標
, , zz z
zzρ φ
ρ ρ φ φρ φρ φ
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
r r rr r rr e r e r err r
cos , sin ,
cos sin 1
sin cos
1
rr e e e e e r
rr e e e e e r
rr e e e e r
x y z x y
x y z x y
z x y z z z
x y z zx y z
x y z
x y zz z z z
ρ ρ
φ φ
ρ φ ρ φ
φ φρ ρ ρ ρ
ρ φ ρ φ ρφ φ φ φ
= = =∂ ∂ ∂ ∂
∂ = = + + = + → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ = = + + = − + → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ = = + + = → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂
正規直交基底ベクトル:円柱座標
cos sin ,
sin cos ,x y
x y z z
ρ
φ
φ φ
φ φ
= +
= − + =
e e ee e e e e
ze
ρe
φe
zρ φ× =e e e
注意:右ねじの方向 円柱座標ではφを第二番目に扱うと便利
一番目、二番目、三番目
701-10
円柱座標(4)
正規直交基底ベクトル:円柱座標
cos sin
1 sin cos
r re e er
r re e er
r re er
x y
x y
zz z
z z
ρρ
ρ
φφ
φ
φ φρ
φ φρ φ
∂ ∂= = = +
∂∂
∂ ∂= = = − +
∂∂
∂ ∂= = =∂ ∂
ベクトル成分:円柱座標
( )( )
, ,
, ,
,
,
xyz x y z x x y y z z
z z z z
xyz z xyz z
x y
A A A A A A
A A A A A A
A A A A
ρφ ρ φ ρ ρ φ φ
ρφ ρφ
ρ φ
= = + +
= = + +
= =
≠ ≠
A e e e
A e e e
A A A A
当たり前ですが
xyz xyz z z
xyz xyz z z
xyz xyz z z
ρφ ρφ
ρφ ρφ
ρφ ρφ
+ = +
=
× = ×
A B A BA B A BA B A B
701-11
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, , , ,
, , , ,
, , , ,
r r r
r r r
r r r
r r r
z
z
V
r z z
z z
z z z
ρ φ
ρ
φ
ρ φ ρ φ
ρ φ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
∆ = ∆ ∆ ×∆
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
微小体積要素:積分
注意:現時点ではρ、φ、zを関数ベクトルr(位置ベクトル)の単なる変数として扱う。 変数ρの微小増加Δρに伴う位置ベクトルの移動 変数φの微小増加Δφに伴う位置ベクトルの移動 変数zの微小増加Δzに伴う位置ベクトルの移動
円柱座標(5)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
r r r
r r
r r r r
r r r r r r
zV
z z
z z z z z
z z z z zz
z
ρ φ
ρ ρ φ ρ φ
ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ φ
ρ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φρ φ
ρ φ
∆ = ∆ ∆ ×∆
= + ∆ −
+ ∆ − × + ∆ −
+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
701-12
円柱座標(6)
( )
cos sin 0sin cos 00 0 1
r r r r r rzdV d d dz d d dzz
x y z
x y z d d dz d d dz d d dz
x y zz z z
ρ φφ φφ
φ φφ φ φ
ρ ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ φ φφ
ρφ
ρφ
ρ
∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= = − =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
微小体積要素:積分
結論:円柱座標 • 積分:円柱座標の微小体積要素とデカルト座標の微小体積要素 • 変数ρ、zは距離(長さ)の次元を持つが、変数φの単位はradianである。
( )( )
, ,, ,
x y zdV d d dz dxdydz d d dz d d dz
zρ ρ ρ ρ ρ
ρφ φ φ
φ∂
= → = =∂
701-13
701-14
円柱座標(7)
計量テンソル:metric tensor 直交基底:規格化しない場合
省略:正規直交基底の場合
( )2
22 2 2
2
0 0 1 0 00 0 0 0 det0 0 0 0 1
r r r r r rr r r r r rr r r r r r
z
ij z
z z z z
ij z
z
g
hh g g h h h
h
ρ ρ ρ φ ρ
φ ρ φ φ φ
ρ φ
ρ
φ ρ φρ ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = → ≡ = =
ヤコビアン: Jacobian
( )( )
, ,, ,
r r rz
x y zJ h h h J g
z z ρ φφ φρ
ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂
≡ = × = = → = ∂ ∂ ∂ ∂
球座標(1)
( ), , x y zu r v w x y zθ φ= = = = + +r e e e
位置ベクトル:position vector
要素:component
sin cos , sin sincos
x r y rz r
θ φ θ φθ
= ==
要素:component
2 2 2
1
1
,
cos ,
tan
r x y zzryx
θ
φ
−
−
= + +
=
=
極座標系 1. 円座標: circular polar coordinates 2. 円柱座標: cylindrical polar coordinates 3. 球座標: spherical polar coordinates
x軸
y軸
z軸
$$$
φ
球のつもり
θ( ), ,r θ φr
x軸
y軸 イメージ:真上から 注目:太線の円
φ
半径
φe sinz r θ=
sinr θ
注意:円柱座標ではφを第二番目、球座標ではφを第三番目に扱うと便利(次頁)
701-15
701-16
球座標(2)
( ), , x y zu r v w x y zθ φ= = = = + +r e e e
位置ベクトル:position vector
x軸
y軸
z軸
$$$
φ
球のつもり
θ( ), ,r θ φr線要素ベクトル:デカルト座標系
( ), ,
sinr r
r
d u r v w
dr d drh dr h d h ddr rd r d
θ θ φ φ
θ φ
θ φ
θ φθ φ
θ φ
θ θ φ
= = =
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
= + +
= + +
rr r r
e e ee e e
正規直交基底ベクトル:球座標系(次頁)
, ,
1, , sin
rr r
r
r r
r
h h r h r
φθθ θ φ φ
θ φ
θ θ φ φ
θ φ
θ
∂∂∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∂ = = ∂ = = ∂ =
rrrr r rr e r e r er r r
r r r
$$$
球座標(3)
x軸
y軸
z軸
φ
θ
x軸
y軸 イメージ:真上から 注目:太線の円
φ
半径
φe sinz r θ=
sinr θ
re
( ), ,r θ φr
z軸 re
θe
θ
イメージ:z軸と位置ベクトルrを含む平面
cos sin sin sin cos
cos cos sin cos sin
sin cos
r x y z
x y z
x y
θ
φ
φ θ φ θ θ
φ θ φ θ θ
φ φ
= + +
= + −
= − +
e e e ee e e ee e e
正規直交基底ベクトル:球座標(次頁)
φe
reθe
r θ φ× =e e e
注意:右ねじの方向 球座標ではφを第三番目に扱うと便利
一番目、二番目、三番目
701-17
球座標(4)
正規直交基底ベクトル:球座標
, ,rr r
rrφθ
θ θ φ φθ φθ φ
∂∂∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
rrrr r rr e r e r er r r
cos sin , sin sin , cos
cos sin sin sin cos
1
cos cos sin cos sin
sin si
r x y z x y z
r
x y z x y z
x y z
x r y r z r
x y zr r r r
x y z r r r
rx y z r
θ
θ
φ
φ θ φ θ θ
φ θ φ θ θ
φ θ φ θ θθ θ θ θ
φφ φ φ φ
= = =
∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = + +
∂ ∂ ∂ ∂→ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = + −
∂ ∂ ∂ ∂→ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = −
∂ ∂ ∂ ∂
rr e e e e e e
rrr e e e e e e
rrr e e e n cos sin
sin
x yr
rφ
θ φ θ
θ
+
→ ∂ =
e e
r701-18
球座標(5)
正規直交基底ベクトル:球座標
cos sin sin sin cos
1 cos cos sin cos sin
1 sin cossin
r re e e err re e e err re e er
rr x y z
r
x y z
x y
r
r
r
θθ
θ
φφ
φ
φ θ φ θ θ
φ θ φ θ θθ
φ φθ φ
∂ ∂= = = + +∂ ∂
∂ ∂= = = + −∂ ∂
∂ ∂= = = − +
∂∂
ベクトル成分:球座標
( )( )
, ,
, ,
,
, ,
xyz x y z x x y y z z
r r r r
xyz r xyz r
x r y z
A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
θφ θ φ θ θ φ φ
θφ θφ
θ φ
= = + +
= = + +
= =
≠ ≠ ≠
A e e e
A e e e
A A A A
701-19
微小体積要素:積分
球座標(6)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
rV
r r r
r r r r
r r r r rr
r
θ φ
θ φ θ φ
θ θ φ θ φ θ φ φ θ φ
θ φ θ φ θ θ φ θ φ φθ φ
θ θ
∆ = ∆ ∆ ×∆
= + ∆ −
+ ∆ − × + ∆ −
+ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
r r r
r r
r r r r
r r r r r r
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, , , ,
, , , ,
, , , ,
r
r
V
r r r
r r
r r
θ φ
θ
φ
φ φ θ φ
θ θ φ θ φ
θ φ φ θ φ
∆ = ∆ ∆ ×∆
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
∆ = + ∆ −
r r r
r r r
r r r
r r r
注意:現時点ではr、θ、 φを関数ベクトルr(位置ベクトル)の単なる変数として扱う。 変数rの微小増加Δrに伴う位置ベクトルの移動 変数θの微小増加Δθに伴う位置ベクトルの移動 変数φの微小増加Δφに伴う位置ベクトルの移動
701-20
結論:球座標 • 球座標の微小体積要素とデカルト座標の微小体積要素 • 変数rは距離(長さ)の次元を持つが、変数φ、θの単位はradianである。
微小体積要素:積分
球座標(7)
( )
2
sin cos sin sin coscos cos cos sin sinsin sin sin cos 0
sin
rdV drd d drd dr
x y zr r rx y z drd dz r r r drd dz
r rx y z
r drd d
θ φθ φ θ φφ θ
θ φ θ φ θφ θ φ θ φ θ φ
θ θ θθ φ θ φ
φ φ φ
θ θ φ
∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= = −∂ ∂ ∂
−∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
=
r r r r r r
( )( )
2 2, ,sin sin
, ,x y z
dV r drd d dxdydz drd d r drd dr
θ θ φ θ φ θ θ φθ φ
∂= → = =
∂
701-21
701-22
球座標(8)
計量テンソル:metric tensor 直交基底:規格化しない場合
省略:正規直交基底の場合
( )2
22 2 4 2
2 2 2
0 0 1 0 00 0 0 0 det sin0 0 0 0 sin
r r r r
ij r
r
r
ij r
g
hh r g g h h h r
h r
θ φ
θ θ θ θ φ
φ φ θ φ φ
θ θ φ
φ
θθ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = → ≡ = =
r r r r r rr r r r r rr r r r r r
ヤコビアン: Jacobian
( )( )
2, ,sin
, , r
x y zJ h h h r J g
r r θ φ θθ φ θ φ
∂ ∂ ∂ ∂≡ = × = = → = ∂ ∂ ∂ ∂
r r r