identidades y ecuaciones trigonométricas -...

MB0003 _M2AA2L1_Identidades Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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Identidades y Ecuaciones Trigonométricas

por Oliverio Ramírez Juárez

En la actividad de aprendizaje anterior, se definieron las funciones trigonométricas como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y se mencionó, por ejemplo, que el seno y la cosecante son funciones recíprocas, esto es:

sen(x) =1

csc(x)o sen(x) csc(x) = 1

cos(x) =1

sec(x)o cos(x)sec(x) = 1

tan(x) =1

cot(x)o tan(x) cot(x) = 1

Tabla 1. Identidades y ecuaciones Trigonométricas En esta actividad de aprendizaje, se profundizará el estudio de dos tipos de ecuaciones que implican funciones trigonométricas: ecuaciones idénticas y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones trigonométricas son aquellas ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y se denominan, de acuerdo con Ayres y Moyer (1991, p. 181): Ecuaciones idénticas o identidades, si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidas. Ecuaciones condicionales, o ecuaciones, si se satisfacen solamente con valores particulares de los ángulos desconocidos. Las identidades son utilizadas generalmente para simplificar expresiones, o para hacer comprobaciones en expresiones más complejas, y las ecuaciones nos permiten encontrar ángulos desconocidos en diferentes aplicaciones. Existen identidades que han sido comprobadas y que son utilizadas para comprobar otras identidades más complejas. En la siguiente tabla se muestran las identidades trigonométricas más utilizadas.



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Identidades trigonométricas básicas.

Recíprocas

1cottan1seccos1csc

=

=

=

AAAAAsenA

De razón

senAAA

AsenAA

coscot

costan

=

=

Pitagóricas

1cotcsc1tansec1cos

22

22

22

=−

=−

=+

AAAAAAsen

Tabla 2. Identidades trigonométricas más usadas.

Otras identidades

Ángulo doble

AAA

AsenAAAsenAAsen

2

22

tan1tan22tan

cos2coscos22

−=

−=

=

Ángulo mitad

AAA

AA

AAsen

cos1cos1

2tan

2cos1

2cos

2cos1

2

+−

±=

+±=

−±=

Suma de dos ángulos

( )( )

( )BABABA

senAsenBBABAAsenBBsenABAsen

tantan1tantantan

coscoscoscoscos

−+

=+

−=+

+=+

Diferencia de dos ángulos

( )( )

( )BABABA

senAsenBBABAAsenBBsenABAsen

tantan1tantantan

coscoscoscoscos

+−

=−

+=−

−=−

Productos de senos y cosenos ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]BABAsenAsenB

BABABA

BAsenBAsenAsenB

BAsenBAsenBsenA

−−+−=

−++=

−−+=

−++=

coscos21

coscos21coscos

21cos

21cos

Suma y diferencia de senos y cosenos ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )BAsenBAsenBA

BABABA

BAsenBAsenBsenA

BABAsensenBsenA

−+−=−

−+=+

−+=−

−+=+

21

212coscos

21cos

21cos2coscos

21

21cos2

21cos

212

Tabla 3. Otras identidades.



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Método para comprobar Identidades de un solo ángulo Observa la siguiente expresión:

AAA cotcsccos = Es una identidad trigonométrica, debido a que es verdadera para cualquier valor de un ángulo. Para comprobar puedes sustituir el valor de un ángulo cualquiera. Por ejemplo: si °= 60A y lo sustituyes en la identidad trigonométrica AAA cotcsccos =

°=°° 60cot60csc60cos Como:

2160cos =°

, 3260csc =°

y 3160cot =°

Al sustituir valores:

°=°° 60cot60csc60cos

31

32

21

=

Simplificando el lado izquierdo de la ecuación, comprobamos que es la misma cantidad en ambos lados

de la ecuación: 31

31

=

Simplificación de Identidades Para poder simplificar una identidad trigonométrica, se hace uso de las identidades mencionadas en la tabla anterior, y en algunas ocasiones, de las operaciones algebraicas como son: suma, resta, multiplicación, división y factorización. Observa cómo se puede comprobar la identidad anterior:

AAA cotcsccos =



4

Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación, y demuestra que el producto de las dos funciones es igual a la cotangente.

AAA cotcsccos =

De la identidad reciproca: 1csc =AsenA

Despeja la cosecante: senAA 1csc =

Y la sustituyes en el lado izquierdo de la ecuación:

=senA

AAA 1coscsccos

Efectuando la multiplicación:

senAAAA coscsccos =

Si observas la identidad de razón: senAAA coscot =

Puedes comprobar que:

AsenAAAA cotcoscsccos ==

Como puedes darte cuenta, utilizando las identidades trigonométricas básicas, puedes comprobar que al multiplicar el coseno de un ángulo por la cosecante del mismo ángulo, es lo mismo calcular solamente el ángulo de la cotangente.

Ecuaciones utilizando Identidades Trigonométricas Ahora observa la siguiente expresión:

3csccos =AA



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En este caso se trata de una ecuación trigonométrica, ya que debes encontrar un valor para el ángulo A que cumpla con la igualdad anterior. Observa cómo encontrar este valor: Comienza por simplificar la expresión, recuerda que acabas de comprobar en el ejercicio anterior que:

AAA cotcsccos =

Por lo tanto, se puede decir que:

3csccos =AA es lo mismo que 3cot =A Como la calculadora no solamente puede calcular los valores de asen A, acos A y atan A, es necesario sustituir la función cotangente con otra identidad, para ello, utilizamos:

1cottan =AA

Despejando: AA

tan1cot =

Sustituyendo en: 3cot =A

3

tan1

=A

Despejando nuevamente:

Atan31

=

Reacomodando: 31tan =A



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Para calcular el valor del ángulo A , utiliza la calculadora y la función atan:

°=

= 30

31tanaA

, Recuerda que el valor obtenido en la calculadora es el valor del ángulo que se encuentra en el primer cuadrante, ya que el valor de la tangente es positiva, sin embargo, también es positiva en el tercer cuadrante, por lo que el ángulo A también puede ser °=°+°= 21030180A Por lo tanto, los ángulos para los cuales la ecuación 3csccos =AA es verdadera, son:

°°= 21030 yA

Comprobación de Identidades Trigonométricas Anteriormente mencionamos que para comprobar una identidad trigonométrica, además de utilizar las identidades trigonométricas, es necesario utilizar algunos procedimientos algebraicos. A continuación se muestran algunos ejemplos:

1. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:

AAAsen

senAA csc

cos22cos

=+



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Solución Sustituyendo el seno y el coseno, del ángulo doble, en el lado izquierdo de la identidad:

AsenAA

AsenAAsen22cos2cos

cos22

−=

=

AAAsenA

senAAsenA csc

coscos2cos 22

=+−

Sustituyendo A2cos por la identidad pitagórica despejada AsenA 22 1cos −=

AAsenA

senAAsenAsen

AAsenA

senAAsenA

coscos21

coscos2cos 2222

+−−

=+−

Simplificando:

AAsenA

senAAsen

AAsenA

senAAsenA

coscos221

coscos2cos 222

+−

=+−

Separando términos:

AAsenA

senAAsen

senAAAsenA

senAAsenA

coscos221

coscos2cos 222

+−=+−

Simplificando:

SenAsenA

senAAAsenA

senAAsenA 221

coscos2cos 22

+−=+−

Sumando términos semejantes, se simplifica como:



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senAAAsenA

senAAsenA 1

coscos2cos 22

=+−

Sustituyendo la identidad recíproca senAA 1csc =

queda comprobada la identidad:

A

AAsenA

senAAsenA csc

coscos2cos 22

=+−

2. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:

BsenABABA 22cos)cos()cos( −=−+ Solución: Sustituyendo las identidades ( ) senAsenBBABA −=+ coscoscos ( ) senAsenBBABA +=− coscoscos

( )( ) BsenAsenAsenBBAsenAsenBBA 22coscoscoscoscos −=+− Resolviendo por binomios conjugados:

( )( ) BAsensenBAsenAsenBBAsenAsenBBA 2222 coscoscoscoscoscos −=+−

Sustituyendo de la identidad pitagórica:

BsenB 22 1cos −= AAsen 22 cos1−=

( ) ( )ABsenBsenABAsensenBA 22222222 cos11coscoscos −−−=−

Multiplicando:

( ) ( ) ABsenBsenABsenAABsenBsenA 2222222222 coscoscoscos11cos +−−=−−−

Simplificando:



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( ) ( ) BsenAABsenBsenA 222222 coscos11cos −=−−− Queda comprobado que:

( )( ) BsenAsenAsenBBAsenAsenBBA 22coscoscoscoscos −=+−

Aplicaciones de las Identidades Trigonométricas Las identidades trigonométricas pueden ayudar a hacer transformaciones de fórmulas ya establecidas, a partir de otras. Por ejemplo: La fórmula para encontrar el área de cualquier triángulo establecida por Harón de Alejandría, se puede obtener con la fórmula de área establecida, a partir de la ley de cosenos. ¿Quieres ver cómo? La fórmula para obtener el área de cualquier triángulo, a partir de la ley de cosenos, es la siguiente:

αbcsenA21

=

Si esta ecuación la elevas en ambos lados al cuadrado, quedaría de la siguiente forma:

α2222

41 sencbA =

Si sustituyes la identidad pitagórica AAsen 22 cos1−=

( )α2222 cos141

−= cbA

Observa que la identidad es una diferencia de cuadrados que se puede separar:

( ) ( ) ( )ααα cos121cos1

21cos1

41 2222 −⋅+=−= bcbccbA

Si de la ley de cosenos:

αcos2222 bccba −+=



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Sustituyes: bcacb

2cos

222 −+=α

( ) ( )

−+−⋅

−++=−⋅+

bcacbbc

bcacbbcbcbc

21

21

21

21cos1

21cos1

21 222222

αα

Realizando operaciones:

+−−⋅

−++=

−+−⋅

−++

bcacbbcbc

bcacbbcbc

bcacbbc

bcacbbc

22

21

22

21

21

21

21

21 222222222222

Simplificando:

Reacomodando:

+−−⋅

−++4

24

2 222222 acbbcacbbc

−+−⋅

−++=

42

42 222222 cbcbaacbcb

Factorizando:

( ) ( )

−−⋅

−+=

−+−⋅

−++444

24

2 2222222222 cbaacbcbcbaacbcb

Separando por diferencia de cuadrados:

( ) ( )

−+

+−

−+

++=

+−⋅

−+222244

2222 cbacbaacbacbcbaacb

Si se dice que el semiperímetro es la suma de todos los lados del triángulo entre dos, es decir:



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2cbas ++

=

Entonces puedes establecer las siguientes expresiones:

222cbacsycbabsacbas −+

=−+−

=−−+

=−

Si regresas a la expresión inicial y sustituyes las expresiones anteriores, tienes:

( )( )( )csbsasssencbA −−−== α2222

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Es decir, el área de cualquier triángulo puede ser expresada como sigue:

( )( )( )csbsassA −−−=

Donde el semiperímetro está representado por: 2cbas ++

=

A la expresión anterior se le denomina Fórmula de Harón y permite conocer el área de cualquier triángulo, si conoces la longitud de sus lados. Como puedes darte cuenta, las identidades trigonométricas, así como las operaciones algebraicas, son herramientas que nos permiten hacer expresiones equivalentes, las cuales pueden ser de gran ayuda cuando sólo tenemos ciertos datos. Las ecuaciones trigonométricas permiten encontrar los valores de los ángulos, que hacen verdadera una expresión. Observa algunos ejemplos, donde además se hace el uso de las identidades trigonométricas.

3. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen:

12cos3 =− AsenA



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Solución: En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:

AsenAA 22cos2cos −=

( ) 1cos3 22 =−− AsenAsenA Quitando paréntesis:

1cos3 22 =+− AsenAsenA Ahora tienes una expresión con senos y cosenos, por lo que es conveniente dejarla en función de una, sólo una de ellas, en este caso la dejaremos en función del seno sustituyendo la identidad pitagórica:

AsenA 22 1cos −= Sustituyendo:

( ) 113 22 =+−− AsenAsensenA

113 22 =++− AsenAsensenA Reacomodando:

0232 2 =−+ senAAsen Observa que en este caso se forma una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver utilizando la ecuación para resolver ecuaciones cuadráticas:

aacbbsenA

242 −±−

= donde: 23,2 −=== cyba

Sustituyendo:

453

41693

)2(2)2)(2(493 ±−

=+±−

=−−±−

=senA

21

453=

+−=senA



13

248

453

−=−

=−−

=senA *El seno de un ángulo no puede ser mayor a 1, por lo tanto, este valor no

está permitido. Por lo tanto, los valores de los ángulos en los que:

21

=senA

Por lo tanto:

°=

= 3021asenA

Como el seno es positivo únicamente en el primer y segundo cuadrante, los valores de los ángulos son:

°=°= 15030 AyA

4. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen:

0tan2tan =+ AA

Solución: En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:

AAA 2tan1

tan22tan−

=



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Queda como:

0tantan1tan2

2 =+−

AAA

En este caso se puede factorizar: Atan

01tan12tan 2 =

+− A

A

Igualando a cero los dos factores, tienes:

0tan =A

01tan12

2 =

+− A

Para el primer factor:

°== 0)0tan(aA , la tangente es cero en °=°= 1800 AyA



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Para el segundo factor:

01tan12

2 =+− A

Se realiza la operación:

0tan1tan122

2

=−−+

AA

( )AA 22 tan10tan12 −=−+

3tan2 =A

3tan ±=A

Para 3tan =A

°== 603tanaA la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante por lo tanto:

°=°= 24060 AyA

Para 3tan −=A



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la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto:

°=°= 300120 AyA Por lo tanto, las soluciones a la ecuación 0tan2tan =+ AA son:

°===°=°=°= 300,240,180,120,60,0 AyAAAAA Problemas de aplicación En algunas ocasiones es necesario resolver una ecuación trigonométrica para resolver algún problema en específico, y a pesar de que la ecuación pueda tener varias soluciones, se debe escoger la que sea más congruente con el problema. Analiza el siguiente problema: Se ha demostrado que la altura de una montaña se puede calcular mediante la siguiente ecuación:

BsenAsensenBsenAdh

22 −

⋅⋅=

donde ByA son los ángulos de elevación de dos observadores separados a una distancia d



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Figura 1 Si se quiere iluminar la parte más alta de una montaña de 4.688 millas y se colocan dos reflectores, uno con un ángulo de elevación de 20° ¿Qué ángulo de elevación debe tener el otro reflector, si se encuentran separados a una distancia de 10 millas? Solución:

De la ecuación: BsenAsensenBsenAdh

22 −

⋅⋅=

Conoces:

a. La distancia de separación millasd 10=

b. La altura de la montaña millash 688.4=

c. El ángulo de elevación del reflector 2 °= 20B Sustituyendo los valores en la ecuación:

=−

⋅⋅=

BsenAsensenBsenAdh

22

A

h=4.688 mi

d=10 mi B=20º



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)20(

)20()10(688.4

22 °−

⋅°⋅=

senAsen

senAsen

Haciendo operaciones:

1169.042.3688.42 −

⋅=

AsensenA

Despejando:

688.442.31169.02 senAAsen ⋅

=−

( )22 7295.01169.0 senAAsen =−

1169.05322.0 22 =− AsenAsen

1169.04677.0 2 =Asen

sen A =0.1169

0.4677=0.4999

Despejando el ángulo:

°≈°== 3099.29)2499.0(asenA A pesar de que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, para este problema el ángulo que tiene sentido es el de 30°, ya que el de 150° no apuntaría a la cima de la montaña. Como pudiste darte cuenta en esta lectura, el uso de las identidades trigonométricas generalmente se utiliza para hacer simplificaciones o transformaciones, y son muy utilizadas como estrategia para resolver, ya sea ecuaciones trigonométricas, o simplemente para encontrar una expresión equivalente, que nos permita hacer una operación más fácilmente. En cambio, las ecuaciones permiten encontrar los valores de los ángulos para los cuales se hace verdadera la ecuación.



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Referencias

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Pérez, M.A. (2007). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. [Versión electrónica]. Recuperado el 7 de marzo de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=4YOfMzU5bCUC&pg=PA209&dq=f%C3%B3rmula+de+her%C3%B3n+de+alejandr%C3%ADa&cd=3#v=onepage&q=f%C3%B3rmula%20de%20her%C3%B3n%20de%20alejandr%C3%ADa&f=false

Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false

Swokowski, E.; Swokowski, E. W.; Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 25 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=Eql‐YeKsO8EC&printsec=frontcover&dq=%C3%A1lgebra+con+trigonometr%C3%ADa+swokowski&cd=1#v=onepage&q=%C3%A1lgebra%20con%20trigonometr%C3%ADa%20swokowski&f=false

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