i) soluciones de ecuaciones diferenciales solución

Practica n.-1

I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que

cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.

a) 1 2y C senx C x es solución de (1 ) 0xctgx y xy y

Solución:

xCSenxCy 21

1 2y C cosx C

1y C Senx

1 1 2(1 c ) (1 )( ) cosx tgx y xctgx C Senx C senx C x x ……….. (1)

1 2 1 2( )xy x C cosx C xC cosx C x …………………. (2)

xCSenxCy 21 …………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

1 1 1 2 1 2(1 c ) cos cosx tgx y xy y C senx C x x C x x C x C senx C x

(1 c ) 0x tgx y xy y

b) xxxx

exeCxeCeCy2

321 2

es solución de 8x

y y y y e

Solución: xxxx

exeCxeCeCy2

321 2

2

1 2 2 3 4 2x x x x x x

y C e C e C xe C e xe x e

2

1 2 2 2 3 4 4 4 2x x x x x x x x x

y C e C e C e C xe C e e xe xe x e

1 2 2 2 2 3 4

x x x x x x xy C e C e C e C e C xe C e e

2

4 4 4 4 4 2x x x x x x

e xe e xe xe x e .......… .. (1)

1 2 2 2 3 4

x x x x x xy C e C e C e C xe C e e

2

4 4 2x x x

xe xe x e ……………………..… … (2)

2

1 2 2 3 4 2x x x x x x

y C e C e C xe C e xe x e … ….. (3)

xxxx

exeCxeCeCy2

321 2

………………….. (4)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

y y y y 1 2 2 2 2 3

x x x x x xC e C e C e C e C xe C e

4 4 4x x x

e e xe 2

4 4 4 2x x x x

e xe xe x e

1 2 2 2 3

x x x x xC e C e C e C xe C e

4 4

x xe xe

2

4 2x x

xe x e 1 2 2 3

x x x xC e C e C xe C e

2

4 2x x

xe x e 2

1 2 3 2x x x x

C e C xe C e x e

8x

y y y y e

2) Demostrar que x

Cexy 2 es la solución de la ecuación diferencial, y 2 2y y x hallar la

solución particular para 3,0 yx ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))

Solución:

x

Cexy 2

2x

y Ce …………………….. (1)

2x

y x Ce ……………………..(2)

Luego sumamos (1) y (2)

2 2x x

y y Ce x Ce

2 2y y x

( , ) (0,3)x y 0

3 2(0) Ce 3C

La ecuación de la curva integral es: 2 3xy x e

3) Demostrar que xeCeCyxx

2

21 es solución de 3 2 2 3y y y x y hallar la ecuación

de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)

Solución:

xeCeCyxx

2

21

2

1 22 1x x

y C e C e

2

1 24x x

y C e C e ………………….…… (1)

2

1 23 3 6 3x x

y C e C e …….………..… (2)

2

1 22 2 2 2x x

y C e C e x ….…………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

3 2y y y 2

1 24x x

C e C e2

1 23 6 3x x

C e C e 2

1 22 2 2x x

C e C e x

3 2 2 3y y y x

( , ) (0,0)x y 0 2(0)

1 20 0C e C e

1 20 C C 2 1C C

( , ) (1,0)x y 1 2(1)

1 20 1C e C e

2

1 10 1C e C e 1 ( 1) 1C e e

1

1

( 1)C

e e

2

1

( 1)C

e e

La ecuación de la curva integral es:

2

( 1) ( 1)

x xe e

y xe e e e

4) Demostrar que CxCy 2

)( es la primitiva de la ecuación diferencial 4 2 0xy xy y y

hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)

5) La primitiva de la ecuación diferencial xy y es Cxy . Hallar la ecuación de la curva integral

que pasa por el punto (1,2)

Solución:

Cxy

y C xy xC

xy y

( , ) (1, 2)x y 2 (1)C 2C

La ecuación de la curva integral es: 2y x

6) Comprobar que 1 2y C cosx C senx y, ( )y Acos x B son primitivas de 0y y

demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.

Solución:

. 1 2y C cosx C senx

1 2 cosy C senx C x

1 2y C Cosx C Senx …………………….. (1)

1 2y C cosx C senx ………………………(2)


y y 1 2C Cosx C Senx 1 2C cosx C senx

0y y

. ( )y Acos x B

( )y Asen x B

( )y Acos x B ………………. (3)

( )y Acos x B …………………(4)


y y ( ) ( )Acos x B Acos x B

0y y

. Ahora demostraremos que 1 2y C cosx C senx y ( )y Acos x B son, en realidad, una sola.

( )y Acos x B

cos cosy A x B AsenxsenB

Como AcosB y AsenB son constantes, pueden asumir el valor de

1C AcosB 2C AsenB

1 2y C cosx C senx ( )Acos x B

7) Demostrar que xAx

yx )ln()ln(

2

22

se puede escribir así x

Bey 2

Solución:

xAx

yx )ln()ln(

2

22

xAx

yx ).ln(

2

22

xAy )ln(2

2ye xA

2

. yeexA

Como A

e es una constante BeA

Reemplazamos en 2

. yeexA

2

yBex

8) Demostrar que AarcSenyarcSenx se puede escribir así Bxyyx 22

11

Solución:

AarcSenyarcSenx

Derivamos:

2 20

1 1

dx dy

x y

2 2

2 2

1 10

1 1

dx y dy x

x y

2 21 1 0dx y dy x

Integramos:

2 21 1 0y dx x dy

2 21 1x y y x B

9) Demostrar que Axy )1ln()1ln( se puede escribir como C yxxy

Solución:

Axy )1ln()1ln(

Axy )]1)(1ln[(

Axyyx )1ln(

xyyxeA

1

xyyxeA

1

Como 1A

e es constante, entonces puede tomar el valor

CeA

1

Cxyyx

10) Demostrar que CxCoshySenhy se puede escribir como Axy )ln(

Solución:

CxCoshySenhy

2 2

y y y ye e e e

Cx

ye Cx

ln Cx y

ln lnC x y

Como lnC es constante entonces le damos el valor de lnA C

Axy )ln(

II) Origen de las ecuaciones diferenciales

1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos ( , )x y su pendiente es igual al

doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.

Solución:

La pendiente es y

mx

2( )y

x yx

2 2y

x yx

2

2 2y x yx

2

2

1 2

xy

x

2

2

4 (1 2 ) 2 ( 2)

(1 2 )

dy x x x

dx x

2

4 (1 )

(1 2 )

dy x x

dx x

2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y

interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por

medio de una ecuación diferencial.

3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es

proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la

velocidad de conversión después de “t” minutos.

Solución

Sea “ q ” la cantidad de gramos convertidos en “ t ” minutos, el numero de gramos aun no

convertidos será “ )100( q ” y la velocidad de conversión vendrá dada por )100( qKdt

dq , donde

K es la constante de proporcionalidad.

4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a :

i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y

dirigida hacia “0”.

ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial

5) Demostrar que en cada una de las ecuaciones

a) 𝑦 = 𝑥2 + 𝐴 + 𝐵

Solución

Debido a que la suma 𝐴 + 𝐵 son constantes la suma será igual a una constante k

⇒ 𝑦 = 𝑥2 + 𝑘

b)𝑦 = 𝐴𝑒𝑥+𝐵

Solución

𝑦 = 𝐴𝑒𝐵𝑒𝑥

Debido a que 𝐴𝑒𝐵 es una constante la reemplazamos por k

⇒𝑦 = 𝑘𝑒𝑥

c) 𝑦 = 𝐴 + 𝑙𝑛𝐵𝑥

Solución

𝑦 = 𝐴 + 𝑙𝑛𝐵 + 𝑙𝑛𝑥

Debido a que 𝐴 + 𝑙𝑛𝐵 es una constante la reemplazamos por k

𝑦 = 𝑘 + 𝑙𝑛𝑥

Solamente es usual una de las dos constantes arbitrarias

6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

Solucion

𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

𝑦′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑦′′ = 2𝐴

𝑦′′′ = 0

⇒ la ecuación diferencial asociada es:

𝑦′′′ = 0


𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦5 = 𝑐

Solución

2𝑥𝑑𝑥𝑦3 + 3𝑦2𝑑𝑦𝑥2 + 3𝑥2𝑑𝑥𝑦5 + 5𝑦4𝑑𝑦𝑥3 = 0

2𝑥𝑦3 + 3𝑦2𝑦′𝑥2 + 3𝑥2𝑦5 + 5𝑦4𝑦′𝑥3 = 0

2𝑦2 + 3𝑦𝑥𝑦′ + 3𝑥𝑦4 + 5𝑦3𝑦′𝑥2 = 0


𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)

Solución

𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑦′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑎 + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑎

𝑦′′ = −𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑎2 − 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑎2

𝑦′′ = −𝑎2(𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥))

𝑦′′ =-𝑎2𝑦


𝑦 = 𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥 + 𝐶

Solución

𝑦 = 𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥 + 𝐶

𝑦′ = 2𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥

𝑦′ − 𝐵𝑒𝑥

𝑒2𝑥= 2𝐴

Derivando

(y′′ − 𝐵𝑒𝑥)𝑒2𝑥 − 2(𝑦′ − 𝐵𝑒𝑥)𝑒2𝑥

𝑒4𝑥= 0

y′′ − 𝐵𝑒𝑥 − 2𝑦′ + 2𝐵𝑒𝑥 = 0

y′′ − 2𝑦′ = −𝐵𝑒𝑥

y′′ − 2𝑦′

𝑒𝑥= −B

Derivando y acomodándolo:

𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 2𝑦′ = 0


𝑦 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑒𝑥

Solución:

|

𝑒3𝑥 𝑒2𝑥

3𝑒3𝑥 2𝑒2𝑥𝑒𝑥 𝑦

𝑒𝑥 𝑦′

9𝑒3𝑥 4𝑒2𝑥

27𝑒3𝑥 8𝑒2𝑥𝑒𝑥 𝑦′′

𝑒𝑥 𝑦′′′

| = 𝑒6𝑥 |

1 13 2

1 𝑦1 𝑦′

9 427 8

1 𝑦′′

1 𝑦′′′

|

=𝑒6𝑥(−2𝑦′′′ + 12𝑦′′ − 22𝑦′ + 12𝑦) = 0

=−2𝑦′′′ + 12𝑦′′ − 22𝑦′ + 12𝑦 = 0

=𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 11𝑦′ − 6𝑦 = 0


𝑦 = 𝑐𝑥2 + 𝑐2

Solución

𝑦 = 𝑐𝑥2 + 𝑐2

𝑦′ = 2𝑐𝑥

𝑦′′ = 2𝑐

𝑦′′′ = 0

12) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en

el eje x

La ecuación de una circunferencia es:

(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝑝 = 𝑥 − √𝑟2 − 𝑦2

Derivando

0 = 1 −1

2√𝑟2 − 𝑦2

−12 2𝑦′

13) Hallar la ecuación diferencia de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes

están sobre el eje x

Solución:

La ecuación de la familia de la parábola es:

𝑥2 = 4𝑝𝑦 Donde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p)

x2

y= 4p

Derivamos

2xy − x2y′

y2= 0

2𝑥𝑦 = 𝑥2𝑦′

2𝑦 = 𝑥𝑦′

PRACTICA n.-2

I) SEPARACIÓN DE VARIABLES

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) X3dx + (y+1)2dy = 0

Sol:

∫ X3dx + ∫ (y+1)2dy = c

X4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c

(y+1)3/3 = k - X4/4

(y+1) = √3(k −X4

4)

3

y = √𝟑(𝒌 −𝑿𝟒

𝟒)

𝟑 -1

2) x2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0

Sol:

x2(y+1)

(x−1) (y+1)dx +

y2(x−1)

(x−1) (y+1) dy = 0

x2

(x−1) dx +

y2

(y+1) dy = 0

∫x2

(x−1) dx + ∫

y2

(y+1) dy = c

Sea µ = x-1 Sea: v = y+1

x = µ+1 y=v-1

dµ=dx dv=dy

∫ (µ+1)2

µ dµ =

µ2

2 +2 µ+ln µ+c1 ∫

(v−1)2

𝑣 =

v2

2 - 2v + lnv + c2

(x−1)2

2 +2(x-1)+ln(x-1)+c1

(y+1)2

2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2

(x−1)2

2 +2(x-1)+ln(x-1)+c1 +

(y+1)2

2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 = c

(𝒙−𝟏)𝟐

𝟐 +2(x-1)+ln(x-1) +

(𝒚+𝟏)𝟐

𝟐 - 2(y+1) +ln (y-1) = k

3) 4xdy – ydx = x2dy

Sol:

(4x-x2)dy – ydx=0 (4x−x2)

(4x−x2)ydy -

y

(4x−x2)ydx =0

𝑑𝑦

𝑦 -

𝑑𝑥

(4x−x2) = 0

∫𝑑𝑦

𝑦 - ∫

𝑑𝑥

(4x−x2) = c

Lny + c1 - 1

4ln (

𝑥

4−𝑥) +c2 = c

Lny = 1

4ln (

𝑥

4−𝑥) + k

y = 𝒆𝟏

𝟒𝒍𝒏 (

𝒙

𝟒−𝒙) + 𝒌

4) x(y-3)dy = 4ydx

Sol: x(y−3)

𝑥𝑦dy =

4𝑦

𝑥𝑦dx

∫(𝑦−3)

𝑦 dy - ∫

4

𝑥 = c

y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c

lny = y + k –lnx4

3

y = 𝑒y + k –lnx4

3

y = 𝒆(𝒚+𝒌)𝟑

𝒙𝟒

5) (y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0

Sol: y2(x+1)

(1−𝑦)(𝑥+1) dy +

x2(1−y)

(1−𝑦)(𝑥+1) dx= 0

∫y2

(1−𝑦)dy + ∫

x2

(𝑥+1)dx = c

-(ln(1-y) – 2(1-y) + (1−y)2

2) + c1 +

(x+1)2

2 - 2(x+1) + lnx + c2 = c

-ln (1-y) + 2(1-y) - (𝟏−𝒚)𝟐

𝟐 +

(𝒙+𝟏)𝟐

𝟐 - 2(x+1) + lnx = k

6) x√1 + y2 + y√1 + x2 y’ = 0

Sol:

x√1+y2

√1+y2 √1+x2 dx +

y√1+x2

√1+y2 √1+x2 dy = 0

∫x

√1+x2 dx +∫

y

√1+y2 dy = c

√1 + x2 + c1 + √1 + y2 + c2 = c

√1 + y2 = k - √1 + x2

1+y2 = (k - √1 + x2)2

y = ± √(𝒌 − √𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐 − 𝟏

7) Hallar la solución particular de: (1+x3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las condiciones iníciales

x=1, y=2.

Sol: (1+x3)

𝑦(1+x3) dy -

x2y

𝑦(1+x3) dx = 0

∫dy

𝑦 - ∫

x2

(1+x3) dx = c

Lny +c1 - 1

3ln(1+x3) + c2 = c

Lny = k + 1

3ln(1+x3)

Para x=1,y=2:

Ln(2) = k +1

3ln(1+13)

K = 0.46

8) Hallar la solución particular de: 𝑒𝑥secydx + (1+ 𝑒𝑥) secytgydy = 0, cuando x=3, y=60°.

Sol: 𝑒𝑥secy

secy(1+ 𝑒𝑥) dx +

(1+ 𝑒𝑥) secytgy

secy(1+ 𝑒𝑥) dy = 0

∫ 𝑒𝑥

(1+ 𝑒𝑥) dx +∫ tgydy = c

Ln (1+ex) + c1 + ln (secy) + c2 = c

Ln (secy) = k – Ln (1+ex)

Para x=3, y=60°.

K=ln (2)+ln (1+e3)

9) Hallar la solución particular de: dp =ptan 𝛼d 𝛼, cuando 𝛼 =0, p=1.

Sol:

dp =ptan 𝛼d 𝛼

∫𝑑𝑝

𝑝=∫tan 𝛼 d 𝛼

Lnp+c=ln(sec 𝛼)+c1

Lnp- ln(sec 𝛼)=k

Para 𝛼=0,p=1.

Ln1-ln1=0

K=0

II) REDUCCIÓN A VARIABLE SEPARADA

1) Resolver : (x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0

Sol: (x+y) dx + (3x+3y-4) dy = 0………. (I)

Sea: z = x+y dz=dx+dy

𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 1+

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑧

𝑑𝑥 – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

Z + (3z-4) ( 𝑑𝑧

𝑑𝑥 – 1) = 0

-2zdx + 3zdz – 4dz + 4dx = 0

∫-2zdx + ∫3zdz – ∫4dz + ∫4dx = ∫0

-2zx +c1+ 3z2

2+c2 -4z + c3 +4x + c4 = c

-2(x+y) x + 𝟑(𝒙+𝒚)𝟐

𝟐 – 4(x+y) + 4x = k

2) Resolver : (x+y)2y’ = a2

Sol:

(x+y)2y’ = a2...................(I)

Sea: z = x+y dz = dx+dy

𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 1+

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑧

𝑑𝑥 – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

(x+y)2 (𝑑𝑧

𝑑𝑥 – 1) = a2

Z2 (𝑑𝑧

𝑑𝑥 – 1) = a2

∫z2

a2+z2 dz = ∫dx

Z – a.arctg (𝑧

𝑎) = x + k

X + y – a.arctg (𝑥+𝑦

𝑎) = x + k

y – a.arctg (𝒙+𝒚

𝒂) = k

3) Resolver: y’ = cos2 (ax+by+c) / a ≠ b, a y b son constantes positivas.

Sol:

Sea: z = ax+by+c , y’= cos (ax + by + c)…….. (I) 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = a + b

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑥 - a = b

𝑑𝑦

𝑑𝑥

(𝑑𝑧

𝑑𝑥 – a)

1

𝑏 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥……………. (II)

Remplazando (II) en (I)

(𝑑𝑧

𝑑𝑥 – a)

1

𝑏 = Cos2 (z)

𝑑𝑧

𝑑𝑥

1

𝑏 -

𝑎

𝑏 = Cos2z

𝑑𝑧

𝑑𝑥 - a = b Cos2z

𝑑𝑧

𝑑𝑥 = bCos2z + a

∫𝑑𝑧

𝑏𝐶𝑜𝑠2 𝑧 + 𝑎= ∫𝑑𝑥

∫𝑑𝑧

(√𝑏 𝐶𝑜𝑠𝑧)2 + (√𝑎)2 = ∫dx

1

√𝑎 arctg (

√𝑏 𝐶𝑜𝑠𝑧

√𝑎)+ C1 = C2

𝟏

√𝒂 × arctg (

√𝒃

√𝒂 Cos (ax + by + c)) = x + k

4) Resolver : y’+1= (x+y)m

(x+y)n+ (x+y)p

Sol:

y’ + 1 = (𝑥+𝑦)𝑚

(𝑥+ 𝑦)𝑛+ (𝑥+ 𝑦)𝑝 ………….. (I)

Sea: z = x+y dz = dx+dy

dz

dx = 1+

dy

dx

dy

dx =

dz

dx – 1……………… (II)

Reemplazando en (I)

(dz

dx – 1) + 1=

𝑧𝑚

𝑧𝑛+ 𝑧𝑝

dz

dx =

𝑧𝑚

𝑧𝑛+ 𝑧𝑝

∫ (𝑧𝑛+ 𝑧𝑝

𝑧𝑚) dz = ∫ dx

∫ (zn-m + zp-m) = ∫ dx (z)n−m+1

𝑛−𝑚+1 +

(z)p−m+1

p−m+1 = x+k

(p-m+1)(x+y)(n-m+1) + (n-m+1) (x+y)(p-m+1) = (x+k) (p-m+1)(n-m+1)

5) Resolver : xy2(xy’+y) = a2

Sol:

xy2 (xy’+y) = a2…………….. (I)

xy2y’ + xy3 = a2

Sea: z=xy y = z

x y’ =

x𝑑𝑧

𝑑𝑥 − z

x2 …………. (II)

Reemplazando (II) en (I):

z2

𝑥(x

x𝑑𝑧

𝑑𝑥 − z

x2 +

𝑧

𝑥) = a2, simplificando

z2dz = a2xdx, integrando z3

3 + c = a2

x2

2 + c1

2x3y3 = 3a2x2 + k

6) Resolver : (lnx+y3)dx - 3xy2dy = 0

Sol:

Sea: z = lnx +y3 dz

dx =

1

x + 3y2y’, de donde 3xy2y’ = x

dz

dx – 1

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: z – (xdz

dx – 1) = 0

(z+1) - xdz

dx = 0, separando las variables:

dx

x -

𝑑𝑧

𝑧+1 = 0, integrando se tiene: lnx – ln (z+1) = lnc x = c (z+1)

z+1 = kx lnx + y3 + 1 = kx , donde k= 1

c

y3 = kx – lnx - 1

7) Resolver : y’ = tan(x+y) – 1

Sol:

Sea: z = x+y 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Reemplazando en la ecuación diferencial: 𝑑𝑧

𝑑𝑥 - 1 = tanz - 1

𝑑𝑧

𝑑𝑥 = tanz ,

dz

tanz = dx, ctgzdz = dx

Integrando:

Ln (senz) + c1 = x + c2

Ln(sen(x+y)) = x + k

𝒆𝒙+𝒌 = sen(x+y)

8) Resolver : (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0

Sol:

Sea: z = 3x+2y 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 3 + 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥 dy =

𝑑𝑧−3𝑑𝑥

2

Reemplazando en la ecuación diferencial:

(2z+3) dx + (z+2) ( 𝑑𝑧−3𝑑𝑥

2 ) = 0

Simplificando y separando las variables:

Dx + z+2

z dz = 0

Integrando ambos miembros:

z + 2lnz + x = c

4x + 2y + 2ln (3x+2y) = c

9) Resolver : cos(x+y)dx – xsen(x+y)dx +xsen(x+y)dy

Sol:

Sea: z = x+y 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥 dy = dz – dx


Coszdx = xsenzdx + xsenz (dz-dx)

Simplificando y separando las variables: dx

x = tanzdz

Integrando miembro a miembro:

xcos(x+y) = c

10) Resolver : y(xy+1)dx + x(1+xy+x2y2)dy=0

Sol:

Sea: z = xy 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = y + x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 dz =

z

x dx + xdy

z

x (z+1)dx +

x(z+1+z2)(xdz – zdx)

x2 = 0


(z2+z)

z3 dz +

𝑑𝑧

z3 =

𝑑𝑥

𝑥

Integrando miembro a miembro:

Lnz +c1+ lnz2 + c2+ lnz3+ c3 = lnx + c

Ln(xy) + ln(xy)2 + ln(xy)3 = lnx +k

11) Resolver : (y-xy2)dx – (x+x2y)dy=0

Sol:


𝑑𝑥 = y + x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 dz =

z

x dx + xdy


(z

x - z2

𝑥) dx – (x+zx) (

𝑥𝑑𝑧−𝑧𝑑𝑥

x2) = 0


2dx

x =

(𝑧+1)

𝑧 dz

Integrando:

2lnx + c1 = z + lnz + c2

2lnx – ln (xy) –xy = k

12) Resolver : (1-xy+x2y2)dx + (x3y-x2)dy=0

Sol:


𝑑𝑥 = y + x

𝑑𝑦

𝑑𝑥


(1+z2-z) dx + (zx2 – x2)(xdz –zdx)

x2 = 0

Simplificando y separando las variables: dx

x +

zx

x dz -

xdx

x = 0

Integrando:

Ln x + 𝒙𝟐𝒚𝟐

𝟐– xy = k

13) Resolver : cosy’=0

Sol :

Como : cosy’=0 y’ = arccosα = π

2 (2n+1)

dy

dx =

π

2 (2n+1) dy =

π

2 (2n+1) dx

Integrando:

y = 𝝅

𝟐 (2n+1) x + k

14) Resolver : ey’=1

Sol:

Como: ey’=1 y’ = 0

Integrando:

y =

15) Resolver : lny’=x

Sol:

ex = y’ dy = 𝑒𝑥dx

Integrando:

y = 𝒆𝒙 + c

16) Resolver : x2y’cosy+1=0/ y=16π

3; x ∞

Sol:

y’Cosy + 1

x2 = 0 , de donde : cosydy +

𝑑𝑥

x2 = 0

integrando:

seny - 1

x = c , como y=16

π

3 cuando x ∞

c = sen (16π

3)

Seny - 𝟏

𝒙 = sen (16

𝝅

𝟑)

17) Resolver : tgy’=x

Sol:

Como tgy’ = x y’ = arctgx + nπ, n ∈ N

dy = (arctgx + nπ)dx

Integrando:

2y = 2xarctgx – ln(x2+1) + 2nπx + c

Practica n.-3

I) FUNCIONES HOMOGENEAS

Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas

1)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 − 4𝑦3

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)2(𝜆𝑦) − 4(𝜆𝑦)3

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆3(𝑥2𝑦 − 4𝑦3) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆3 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ La 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 3

2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2tan (𝑥 𝑦⁄ )

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑦)2 tan (𝜆𝑥 𝜆𝑦⁄ ) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2(𝑦2tan (𝑥 𝑦⁄ )) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ La 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 2

3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥3 − 𝑦33

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = √(𝜆𝑥)3 − (𝜆𝑦)33

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆 (√𝑥3 − 𝑦33

)

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ La 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 1

4) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−𝑦2

𝑥𝑦

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) =(𝜆𝑥)2 − (𝜆𝑦)2

(𝜆𝑥)(𝜆𝑦)

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆0 (𝑥2 − 𝑦2

𝑥𝑦)

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆0𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ La 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 0

5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)2 + 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑦) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) ≠ 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒La 𝑓(𝑥, 𝑦) no es homogénea

6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝑒𝜆𝑥

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) ≠ 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒La 𝑓(𝑥, 𝑦) no es homogénea

7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦⁄

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝑒𝜆𝑥

𝜆𝑦⁄

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆0(𝑒𝑥𝑦⁄ )


8) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑦2)3 2⁄

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = ((𝜆𝑥)2 − (𝜆𝑦)2)3 2⁄

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆3(𝑒𝑥𝑦⁄ )


9) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 5𝑦 − 6

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑥 − 5(𝜆𝑦) − 6

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) ≠ 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒La 𝑓(𝑥, 𝑦) no es homogénea

10) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑦⁄ ) − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑦⁄ )

Solución:

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝜆 𝑥 𝜆𝑦⁄ ) − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥 𝜆𝑦⁄ ) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆(𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑦⁄ ) − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑦⁄ )) 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ La 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado 1

II) Si 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es homogénea, demostrar que 𝑦 = 𝑣𝑥 se separan las variables

Solución:

Debido a que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 ………………… (#)

Es homogénea se cumple que:

𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑘𝑀(𝑥, 𝑦) Y 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑘𝑁(𝑥, 𝑦)…………………………………… (1)

Haciendo que 𝜆 =1

𝑥…………………………………………………………………………………….. (2)

Reemplazando (2) en (1)

𝑀(1,𝑦

𝑥) =

1

𝑥𝑘𝑀(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑘𝑀(1,

𝑦

𝑥)

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑘𝑀(1,𝑦

𝑥) = 𝑥𝑘𝑀(1, 𝑣) = 𝑥𝑘𝐺(𝑣) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 =

𝑦

𝑥 ……………………. (3)

𝑁 (1,𝑦

𝑥) =

1

𝑥𝑘𝑀(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑘𝑁 (1,

𝑦

𝑥)

𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑘𝑁 (1,𝑦

𝑥) = 𝑥𝑘(1, 𝑣) = 𝑥𝑘𝑇(𝑣) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 =

𝑦

𝑥 ……………………….. (4)

Ahora como 𝑦 = 𝑥𝑣 ⇒𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣………………………………………………..(5)

Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos:

𝑥𝑘𝐺(𝑣)𝑑𝑥 + 𝑥𝑘𝑇(𝑣)(𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) = 0

Simplificando y agrupando obtenemos: 𝑑𝑥

𝑥+

𝑇(𝑣)

𝐺(𝑣) + 𝑣𝑇(𝑣)𝑑𝑢 = 0

III) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas

1)(𝑥3 + 𝑦3)𝑑𝑥 − 3𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 0

Solución:

La ecuación diferencial es homogénea de grado 3:

𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢………………………………(α)

Reemplazando (α) en la ecuación original

(𝑥3 + (𝑢𝑥)3)𝑑𝑥 − 3𝑥(𝑢𝑥)2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑥3(1 + 𝑢3 − 3𝑢3)𝑑𝑥 − 3𝑥4𝑢2𝑑𝑢 = 0

𝑑𝑥

𝑥−3𝑢2𝑑𝑢

1 − 2𝑢3= 0

∫𝑑𝑥

𝑥− ∫

3𝑢2𝑑𝑢

1 − 2𝑢3= 𝑘

𝑙𝑛𝑥 + 2𝑙𝑛(1 − 2𝑢3) = 𝑘………………………………………………..(𝝫)

Reemplazando (α) en (𝝫)

𝑙𝑛𝑥 + 2𝑙𝑛 (1 − 2 (𝑦

𝑥)3

) = 𝑘

Levantando el logaritmo obtenemos:

(1 − 2 (𝑦

𝑥)3

)2

𝑥 = 𝑐

2)𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 − √𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) − 𝑢𝑥𝑑𝑥 − √𝑥2 − (𝑢𝑥)2𝑑𝑥 = 0

𝑥 (𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 − 𝑢𝑑𝑥 − √1 − 𝑢2𝑑𝑥) = 0

𝑥𝑑𝑢 − √1 − 𝑢2𝑑𝑥 = 0

∫𝑑𝑢

√1 − 𝑢2−∫

𝑑𝑥

𝑥= 𝑘

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑢 − 𝑙𝑛𝑥 = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑥− 𝑙𝑛𝑥 = 𝑘

3)(2𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑦

𝑥) + 3𝑦𝑐𝑜𝑠ℎ (

𝑦

𝑥)) 𝑑𝑥 − 3𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ (

𝑦

𝑥) 𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(2𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢) + 3𝑢𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢))𝑑𝑥 − 3𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑢)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑥(2𝑠𝑒𝑛ℎ𝑢𝑑𝑥 + 3𝑢𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢𝑑𝑥 − 3𝑢𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢𝑑𝑥 − 3𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢𝑑𝑢) = 0

∫2𝑑𝑥

𝑥− ∫

3𝑐𝑜𝑠ℎ𝑢𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑢= 𝑘

2𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑢) = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


2𝑙𝑛𝑥 − 3𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑦

𝑥)) = 𝑘

4)(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(2𝑥 + 3𝑢𝑥)𝑑𝑥 + (𝑢𝑥 − 𝑥)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑥(2𝑑𝑥 + 3𝑢𝑑𝑥 + 𝑢2𝑑𝑥 − 𝑢𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝑢) = 0

(2 + 2𝑢 + 𝑢2)𝑑𝑥 + 𝑥(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫

(𝑢 − 1)𝑑𝑢

(2 + 2𝑢 + 𝑢2)= 𝑘

𝑙𝑛𝑥 +


5)(1 + 2𝑒𝑥

𝑦) 𝑑𝑥+2𝑒𝑥

𝑦 (1 −𝑥

𝑦) 𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑥 = 𝑢𝑦 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(1 + 2𝑒𝑢)(𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢)+2𝑒𝑢(1 − 𝑢)𝑑𝑦 = 0

𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢 + 2𝑒𝑢𝑢𝑑𝑦 + 2𝑒𝑢𝑦𝑑𝑢 + 2𝑒𝑢𝑑𝑦 − 2𝑒𝑢𝑢𝑑𝑦 = 0

(𝑢 + 2𝑒𝑢)𝑑𝑦 + (𝑦 + 2𝑒𝑢𝑦)𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑦

𝑦 + 1+ ∫

(1 + 2𝑒𝑢)𝑑𝑢

𝑢 + 2𝑒𝑢= 𝑘

𝑙𝑛(𝑦 + 1) + 𝑙𝑛(𝑢 + 2𝑒𝑢) = 𝑘 (𝑦 + 1)(𝑢 + 2𝑒𝑢) = 𝑐………………………………………………..(𝝫)


(𝑦 + 1) (𝑥

𝑦+ 2𝑒

𝑥𝑦) = 𝑐

6)(𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(𝑥2 + 3𝑥(𝑥𝑢) + (𝑥𝑢)2)𝑑𝑥 − 𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑥2(𝑢2 + 2𝑢 + 1)𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑥

𝑥− ∫

𝑑𝑢

(𝑢 + 1)2= 𝑐

𝑙𝑛𝑥 +1

𝑢+1= 𝑐………………………………………………..(𝝫)


𝑙𝑛𝑥 +𝑥

𝑦 + 𝑥= 𝑐

7)(𝑦 + √𝑦2 − 𝑥2)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(𝑥𝑢 + √(𝑥𝑢)2 − 𝑥2) 𝑑𝑥 − 𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑥√𝑢2 − 1𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑥

𝑥− ∫

𝑑𝑢

√𝑢2 − 1= 𝑘

𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑢 + √𝑢2 − 1) = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


2𝑐𝑦 = 𝑐2𝑥2 + 1

8)(𝑥 − 𝑦𝑙𝑛𝑦 + 𝑦𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥(𝑙𝑛𝑦 − 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑦 = 0

Solución:

Transformamos la ecuación diferencial:

(𝑥 − 𝑦𝑙𝑛 (𝑦

𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑙𝑛 (

𝑦

𝑥))𝑑𝑦 = 0


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(𝑥 − 𝑥𝑢𝑙𝑛(𝑢))𝑑𝑥 + 𝑥(𝑙𝑛(𝑢))(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

𝑑𝑥 + 𝑥𝑙𝑛𝑢𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫ 𝑙𝑛𝑢𝑑𝑢 = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


(𝑥 − 𝑦)𝑙𝑛𝑥 + 𝑦𝑙𝑛𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑦

9)(𝑥 − 𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑦

𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑦

𝑥) 𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(𝑥 − 𝑥𝑢𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢))𝑑𝑥 + 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 𝑑𝑥

𝑥+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢 = 𝑘

𝑙𝑛𝑥 + 𝑢𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 −1

2𝑙𝑛(1 + 𝑢2) = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


𝑙𝑛𝑥 +𝑦

𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑦

𝑥) −

1

2𝑙𝑛 (1 + (

𝑦

𝑥)2

) = 𝑘

2𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑦

𝑥) = 𝑥𝑙𝑛 (

𝑥2 + 𝑦2

𝑥4) 𝑐

10)𝑥𝑒𝑥𝑦⁄ 𝑑𝑥 + 𝑦𝑒

𝑦𝑥⁄ 𝑑𝑦 = 0

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


𝑥𝑒1𝑢⁄ 𝑑𝑥 + 𝑥𝑢𝑒𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

(𝑒1𝑢⁄ + 𝑢2𝑒𝑢)𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑒𝑢𝑑𝑢 = 0

𝑑𝑥

𝑥+

𝑒𝑢𝑢𝑑𝑢

𝑒1𝑢⁄ + 𝑢2𝑒𝑢

= 0

∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫

𝑒𝑢𝑢𝑑𝑢


= 0

𝑙𝑛𝑥 = −∫𝑒𝑢𝑢𝑑𝑢


𝑦𝑥

𝑎

11)(𝑦𝑐𝑜𝑠 (𝑦

𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑛 (

𝑦

𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑦

𝑥) 𝑑𝑦

Solución:


𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢…………………………..……… (α)


(𝑥𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑢) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑢))𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢

∫𝑑𝑥

𝑥− ∫𝑐𝑡𝑔𝑢𝑑𝑢 = 𝑘

𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑢) = 𝑘………………………………………………..(𝝫)


𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑛 (𝑦

𝑥)) = 𝑘

𝑥 = 𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑦

𝑥)

IV) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas

1)(2𝑥 − 5𝑦 + 3)𝑑𝑥 − (2𝑥 + 4𝑦 − 6)𝑑𝑦

Solución:

La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:

𝑥 = 𝑧 + ℎ , 𝑦 = 𝑤 + 𝑘

{2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 02𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

Resolviendo 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 ⇒ ℎ = 1 , 𝑘 = 1

𝑥 = 𝑧 + 1 , 𝑦 = 𝑤 + 1 Además 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 , 𝑑𝑦 = 𝑑𝑤 ………………………… (α)

Reemplazando (α) en la ecuación diferencial

(2(𝑧 + 1) − 5(𝑤 + 1) + 3)𝑑𝑧 − (2(𝑧 + 1) + 4(𝑤 + 1) − 6)𝑑𝑤 (2𝑧 − 5𝑤)𝑑𝑧 − (2𝑧 + 4𝑤)𝑑𝑤………………………………………………………………(𝛌)

Es una ecuación homogénea de grado 1:

𝑧 = 𝑢𝑤 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤………………………………………………………………..(𝝫)

Reemplazando (𝝫) en (𝛌)

(2𝑢𝑤 − 5𝑤)(𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤) + (2𝑢𝑤 + 4𝑤)𝑑𝑤 = 0

(2𝑢2 − 3𝑢 + 4)𝑑𝑤 + (2𝑢 − 5)𝑤𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑤

𝑤+∫

(2𝑢 − 5)𝑑𝑢

(2𝑢2 − 3𝑢 + 4)= 𝑘

𝑙𝑛𝑤 +1

2𝑙𝑛(2𝑢2 − 3𝑢 + 4) −

7

2(2

√23𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

4𝑢−3

√23)) =

𝑘………………………………………………………………. (θ)

Como 𝑧 = 𝑢𝑤 ⇒ 𝑢 =𝑧

𝑤=

𝑥−1

𝑦−1

Reemplazando en (θ)

𝑙𝑛(𝑦 − 1) +1

2𝑙𝑛 (2 (

𝑥 − 1

𝑦 − 1)2

− 3(𝑥 − 1

𝑦 − 1) + 4) −

7

2

(

2

√23𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

4 (𝑥 − 1𝑦 − 1

) − 3

√23)

)

= 𝑐

2)(𝑥 − 𝑦 − 1)𝑑𝑥 + (4𝑦 + 𝑥 − 1)𝑑𝑦

Solución:


𝑥 = 𝑧 + ℎ , 𝑦 = 𝑤 + 𝑘

{𝑥 − 𝑦 − 1 = 04𝑦 + 𝑥 − 1 = 0


𝑥 = 𝑧 + 1 , 𝑦 = 𝑤 Además 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 , 𝑑𝑦 = 𝑑𝑤 ………………………… (α)


(𝑧 − 𝑤)𝑑𝑧 + (𝑧 + 4𝑤)𝑑𝑤 = 0………………………………………………………………(𝛌)


𝑧 = 𝑢𝑤 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤………………………………………………………………..(𝝫)


(𝑢𝑤 − 𝑤)(𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤) + (𝑢𝑤 + 4𝑤)𝑑𝑤 = 0

(𝑢2 + 4)𝑑𝑤 + (𝑢 − 1)𝑤𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑤

𝑤+∫

(𝑢 − 1)𝑑𝑢

((𝑢2 + 4))= 𝑘

𝑙𝑛𝑤 +1

2𝑙𝑛(𝑢2 + 4) +

1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑢

2) = 𝑘………………………………………………………………. (θ)


𝑤=

𝑥−1

𝑦


𝑙𝑛𝑦 + +1

2𝑙𝑛 ((

𝑥 − 1

𝑦)2

+ 4) +1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑥 − 1

2𝑦) = 𝑘

3)(𝑥 − 4𝑦 − 9)𝑑𝑥 + (4𝑥 + 7 − 2)𝑑𝑦

Solución:


𝑥 = 𝑧 + ℎ , 𝑦 = 𝑤 + 𝑘

{𝑥 − 4𝑦 − 9 = 04𝑥 + 7 − 2 = 0

Resolviendo 𝑥 = 1 , 𝑦 = −2 ⇒ ℎ = 1 , 𝑘 = −2

𝑥 = 𝑧 + 1 , 𝑦 = 𝑤 − 2 Además 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 , 𝑑𝑦 = 𝑑𝑤 ………………………… (α)


(𝑧 − 4𝑤)𝑑𝑧 + (4𝑧 + 𝑤)𝑑𝑤 = 0………………………………………………………………(𝛌)


𝑧 = 𝑢𝑤 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤………………………………………………………………..(𝝫)


(𝑢𝑤 − 4𝑤)(𝑤𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑤) + (4𝑢𝑤 + 𝑤)𝑑𝑤 = 0

(𝑢2 + 1)𝑑𝑤 + (𝑢 − 4)𝑤𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑤

𝑤+∫

(𝑢 − 4)𝑑𝑢

((𝑢2 + 1))= 𝑘

𝑙𝑛𝑤2(𝑢2 + 1) − 8𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 = 𝑘………………………………………………………………. (θ)


𝑤=

𝑥−1

𝑦+2


𝑙𝑛[(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2] − 8𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥 − 1

𝑦 + 2) = 𝑘

4)(𝑥 − 𝑦 − 1)𝑑𝑦 − (𝑥 + 3𝑦 − 5)𝑑𝑥

Solución:


𝑥 = 𝑧 + ℎ , 𝑦 = 𝑤 + 𝑘

{𝑥 − 𝑦 − 1 = 0𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0


𝑥 = 𝑧 + 2 , 𝑦 = 𝑤 + 1 Además 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 , 𝑑𝑦 = 𝑑𝑤 ………………………… (α)


(𝑧 + 3𝑤)𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 = 0………………………………………………………………(𝛌)


𝑤 = 𝑢𝑧 ⇒ 𝑑𝑤 = 𝑧𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑧………………………………………………………………..(𝝫)


(𝑧 + 3𝑢𝑧)𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑢𝑧)(𝑧𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑧) = 0

(𝑢2 + 2𝑢 + 1)𝑑𝑧 + 𝑧(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑧

𝑧+∫

(𝑢 − 1)𝑑𝑢

(𝑢2 + 2𝑢 + 1)= 𝑘

𝑙𝑛𝑧 + 𝑙𝑛(𝑢 + 1) +2

𝑢+1= 𝑘………………………………………………………………. (θ)

Como 𝑤 = 𝑢𝑧 ⇒ 𝑢 =𝑤

𝑧=

𝑦−1

𝑥−2


𝑙𝑛𝑐(𝑥 + 𝑦 − 3) = −2 (𝑥 − 2

𝑥 + 𝑦 − 3)

5)4𝑥𝑦2𝑑𝑥 + (3𝑥2𝑦 − 1)𝑑𝑦

Solución:

Sea 𝑦 = 𝑧𝛼 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝛼𝑧𝛼−1𝑑𝑧………………………………. (θ)

Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial

4𝑥𝑧2𝛼𝑑𝑥 + (3𝑥2𝑧2𝛼−1 − 𝑧𝛼−1)𝛼𝑑𝑧 = 0…………………………………….. (1)

Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:

2𝛼 + 1 = 𝛼 − 1 ⇒ 𝛼 = −2 ⇒ 𝑦 = 𝑧−2 ⇒ 𝑑𝑦 = −2𝑧−3𝑑𝑧 Reemplazando en la ecuación diferencial

4𝑥𝑧−4𝑑𝑥 + (3𝑥2𝑧−5 − 𝑧−3) − 2𝑑𝑧 = 0

4𝑥𝑧𝑑𝑥 − 2(3𝑥2 − 𝑧2)𝑑𝑧 = 0 Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2

𝑧 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥……………………………………………………………….. (𝝫)

Reemplazando (𝝫) En la ecuación diferencial

4𝑥2𝑢𝑑𝑥 − 2(3𝑥2 − (𝑢𝑥)2)(𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥) = 0 De donde simplificando y separando la variable se tiene 𝑑𝑥

𝑥+

𝑢2−3

𝑢3−𝑢𝑑𝑢 = 0, integrando se tiene

∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫

𝑢2 − 3

𝑢3 − 𝑢𝑑𝑢 = 𝑐

𝑙𝑛𝑥 + 3𝑙𝑛𝑢 − 𝑙𝑛(𝑢2 − 1) = 𝑐

Como 𝑢 =𝑧

𝑥, 𝑦 = 𝑧−2 se tiene:𝑦(1 − 𝑥2𝑦)2 = 𝑘

6)(𝑦4 − 3𝑥2)𝑑𝑦 = −𝑥𝑦𝑑𝑥

Solución:

Sea 𝑦 = 𝑧𝛼 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝛼𝑧𝛼−1𝑑𝑧………………………………. (θ)


(𝑧4𝛼 − 3𝑥2)𝛼𝑧𝛼−1𝑑𝑧 = −𝑥𝑧𝛼𝑑𝑥 Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:

𝛼 + 1 = 5𝛼 − 1 = 𝛼 + 1 ⇒ 𝛼 =1

2

(𝑧2 − 3𝑥2)1

2𝑧−1

2 𝑑𝑧 = −𝑥𝑧1

2𝑑𝑥 Simplificando

2𝑥𝑧𝑑𝑥 + (𝑧2 − 3𝑥2)𝑑𝑧 = 0……(3) es una ecuación diferencial homogénea de grado 2

𝑧 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥……………………………………………………………….. (𝝫)


∫𝑑𝑥

𝑥+ ∫

𝑢2 − 3

𝑢3 − 𝑢𝑑𝑢 = 𝑐

⇒ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑢3

𝑢2 − 1) = 𝑐

Como 𝑢 =𝑦2

𝑥 se tiene 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛 (

(𝑦2

𝑥)3

(𝑦2

𝑥)2

−1

) = 𝑐

7)𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + (2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑦 = 0

Solución:

𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥, Reemplazo en la ecuación diferencia dad se tiene:

𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦 = 0 ……(1) es una ecuación diferencial homogéneas de grado 1

𝑦 = 𝑢𝑧 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑢………. (2)

Reemplazando y simplificando (2) en (1) 𝑑𝑧

𝑧+2𝑢 − 1

2𝑢2𝑑𝑢 = 0

∫𝑑𝑧

𝑧+ ∫

2𝑢−1

2𝑢2𝑑𝑢 = 0 Integramos

2𝑦𝑙𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑦

8)(2𝑥2 + 3𝑦2 − 7)𝑥𝑑𝑥 − (3𝑥2 − 2𝑦2 − 8)𝑦𝑑𝑦 = 0

Solución:

Sea 𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑦2 ⇒ 𝑑𝑣 = 2𝑦𝑑𝑦………………………………. (θ)


(2𝑢 + 3𝑣 − 7)𝑑𝑢

2− (3𝑢 + 2𝑣 − 8)

𝑑𝑣

2= 0

{2𝑢 + 3𝑣 − 7 = 03𝑢 + 2𝑣 − 8 = 0

⇒ 𝑝(2,1)

Sean 𝑢 = 𝑧 + 2, 𝑣 = 𝑤 + 1 reemplazando

(2𝑧 + 3𝑤)𝑑𝑧 − (3𝑧 + 2𝑤)𝑑𝑤 = 0

Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:

𝑤 = 𝑧𝑛 ⇒ 𝑑𝑤 = 𝑧𝑑𝑛 + 𝑛𝑑𝑧……………………………………………………………….. (𝝫)


∫2𝑑𝑧

𝑧+ ∫

2𝑛 + 3

𝑛2 − 1𝑑𝑛 = 𝑘

⇒ 𝑙𝑛𝑧2(𝑛2 − 1) +3

2𝑙𝑛 |

𝑛 − 1

𝑛 + 1| = 𝑘

Como 𝑛 =𝑤

𝑧, 𝑤 = 𝑣 − 1 = 𝑦2 − 1, 𝑧 = 𝑢 − 2 = 𝑥2 − 2 se tiene

𝑙𝑛|𝑦4 − 𝑥4 + 4𝑥2 − 2𝑦2 − 3| +3

2𝑙𝑛 |

𝑦2 − 𝑥2 + 1

𝑦2 + 𝑥2 + 3|

9)𝑑𝑦 = (𝑦 − 4𝑥)2𝑑𝑥

Solución:

𝑧 = 𝑦 − 4𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦 − 4𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 − 4𝑑𝑥………………………. (1)

Reemplazando (1) en la ecuación diferencial

𝑑𝑧 − 4𝑑𝑥 = 𝑧2𝑑𝑥

𝑑𝑧 = (𝑧2 − 4)𝑑𝑥

∫𝑑𝑧

𝑧2 − 4−∫𝑑𝑥 = 𝑘

1

4𝑙𝑛 |

𝑧 − 2

𝑧 + 2| − 𝑥 = 𝑘

Asiendo en cambio de variable respectivo la solución será: 1

4𝑙𝑛 |

𝑦 − 4𝑥 − 2

𝑦 − 4𝑥 + 2| − 𝑥 = 𝑘

10)𝑡𝑎𝑛2(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

Solución:

𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 − 𝑑𝑥……………………………………(1)

Reemplazando (1) en la ecuación diferencial

𝑠𝑒𝑛2(𝑧)𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑧)(𝑑𝑧 − 𝑑𝑥) = 0

𝑠𝑒𝑛2(𝑧)𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑧)𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑧)𝑑𝑧 = 0

𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑧)𝑑𝑧 = 0

∫𝑑𝑥 − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝑧)𝑑𝑧 = 𝑘

𝑥 − 𝑧 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑧) = 𝑘

𝑥 − (𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝑦) = 𝑘

−𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝑦) = 𝑘

11)(2 + 2𝑥2𝑦12⁄ ) 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦

12⁄ + 2) 𝑥𝑑𝑦 = 0

Solución:

Sea 𝑦 = 𝑧𝛼 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝛼𝑧𝛼−1𝑑𝑧………………………………. (θ)


(2 + 2𝑥2𝑧𝛼2⁄ )𝑧𝛼𝑑𝑥 + (𝑥2𝑧

𝛼2⁄ + 2)𝑥𝛼𝑧𝛼−1𝑑𝑧 = 0

(2𝑧𝛼 + 2𝑥2𝑧3𝛼

2⁄ ) 𝑑𝑥 + (𝛼𝑥3𝑧3𝛼

2⁄ −1 + 2𝑥𝛼𝑧𝛼−1) 𝑑𝑧 = 0

𝛼 = 2 + 3𝛼 2⁄ ⇒ 𝛼 = −4 ⇒ 𝑦 = 𝑧−4 ⇒ 𝑑𝑦 = −4𝑧−5𝑑𝑧

(2𝑧−4 + 2𝑥2𝑧−6)𝑑𝑥 + (−4𝑥3𝑧−7 − 8𝑥𝑧−5)𝑑𝑧 = 0

(1 + (𝑥

𝑦)2

) 𝑑𝑥 + (−2 (𝑥

𝑦)3

− 4𝑥

𝑦) 𝑑𝑧 = 0………………………………………………………………(𝛌)

𝑥 = 𝑢𝑧 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑧𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑧………………………………………………………………..(𝝫)


(1 + (𝑢)2)(𝑧𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑧) + (−2(𝑢)3 − 4𝑢)𝑑𝑧 = 0

(1 + 𝑢2)𝑧𝑑𝑢 + (−3𝑢 − 𝑢3)𝑑𝑧 = 0 (1 + 𝑢2)𝑑𝑢

(−3𝑢 − 𝑢3)+𝑑𝑧

𝑧= 0

∫(1 + 𝑢2)𝑑𝑢

(−3𝑢 − 𝑢3)+ ∫

𝑑𝑧

𝑧= 𝑘

−1

3𝑙𝑛(−3𝑢 − 𝑢3) + 𝑙𝑛𝑧 = 𝑘

Reemplazando

𝑢 = 𝑥𝑦1 4⁄

−1

3𝑙𝑛 (−3𝑥𝑦1 4⁄ − (𝑥𝑦1 4⁄ )

3) + 𝑙𝑛𝑧 = 𝑘

PRACTICA # 4.

I) Ecuaciones diferenciales exactas:

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) (4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0

Sol:

(4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0

M(x, y) N(x, y) ∂M(x,y)

∂y = 12x3y2 – 2x =

∂N(x,y)

∂x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.

Entonces ∃ f(x, y) / ∂f(x,y)

∂x = M(x, y), de donde:

∂f(x,y)

∂x = 4x3y3 – 2xy

f(x, y) = ∫ (4x3y3 – 2xy)dx + g(y)

f(x,y) = x4y3 – x2y + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 3x4y2 - x2 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x4y2 – x2

3x4y2 - x2 + g’(y) = 3x4y2 – x2 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = x4y3 – x2y + c

x4y3 – x2y = k

2) (3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0

Sol:

(3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0

M(x, y) N(x, y)

∂M(x,y)

∂y = 3𝑒3𝑥 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 3e3xy – 2x

f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)

f(x,y) = y𝑒3𝑥 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 𝑒3𝑥 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = e3x

𝑒3𝑥 + g’(y) = 𝑒3𝑥 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = y𝑒3𝑥 – x2 + c

y𝒆𝟑𝒙 – x2 = k

3) (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0

Sol:

(cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0

M(x,y) N(x,y) ∂M(x,y)

∂y = -seny + cosx =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 3e3xy – 2x

f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)

f(x,y) = y𝑒3𝑥 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 𝑒3𝑥 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = e3x

𝑒3𝑥 + g’(y) = 𝑒3𝑥 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = y𝑒3𝑥 – x2 + c

y𝒆𝟑𝒙 – x2 = k

4) 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0

Sol:

2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 2x ex2 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 2x(yex2 – 1)

f(x, y) = ∫ (2x(yex2 – 1))dx + g(y)

f(x,y) = y ex2 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.

∂f(x,y)

∂y = ex2 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = ex2

ex2+ g’(y) = ex2 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = y ex2 – x2 + c

yex2 - x2 = k

5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

Sol:

(6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 18x5y2 + 20x3y4 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 6x5y3 + 4x3y5

f(x, y) = ∫ (6x5y3 + 4x3y5)dx + g(y)

f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x6y2 + 5x4y4

3x6y2 + 5x4y4 + g’(y) = 3x6y2 + 5x4y4 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = x6y3 + x4y5 + c

x6y3 + x4y5 = k

6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0

Sol:

(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 3 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 2x3 + 3y

f(x, y) = ∫ (2x3 + 3y)dx + g(y)

f(x,y) = x4

2 + 3xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.

∂f(x,y)

∂y = 3x + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x + y – 1

3x + y – 1 + g’(y) = 3x + y – 1 g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = x4

2 + 3xy + c

x4 + 6xy + y2 = k

7) (y2 𝑒xy2 + 4x3)dx + ( 2xy𝑒xy2 - 3y2)dy = 0

Sol:

(y2 𝑒xy2 + 4x3)dx + ( 2xy𝑒xy2 - 3y2)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 2y𝑒xy2 + 2xy3𝑒xy2 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = y2 𝑒xy2 + 4x3

f(x, y) = ∫ (y2 𝑒xy2 + 4x3)dx + g(y)

f(x,y) = 𝑒xy2 + x4 + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 𝑒xy22xy + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 2xy𝑒xy2 - 3y2

𝑒xy22xy + g’(y) = 2xy𝑒xy2 - 3y2 g’(y) = - 3y2 g(y) = - y3

f(x,y) = 𝒆𝒙𝒚𝟐 + x4 - y3

8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0

Sol:

(2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 4xy + 2 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 2xy2 + 2y

f(x, y) = ∫ (2xy2 + 2y)dx + g(y)

f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 2x2y + 2x + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 2x2y + 2x

2x2y + 2x + g’(y) = 2x2y + 2x g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = x2y2+ 2xy + c

x2y2+ 2xy = k

9) (exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0

Sol:

(exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = excosy – 2senx =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = exseny – 2ysenx

f(x, y) = ∫ (exseny – 2ysenx)dx + g(y)

f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = excosy +2cosx + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = excosy + 2cosx

excosy +2cosx + g’(y)= excosy + 2cosx g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = exseny + 2ycosx + c

exseny + 2ycosx = k

10) (2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0

Sol:

(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = 6xy2 + cosx =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = 2xy3 + ycosx

f(x, y) = ∫ (2xy3 + ycosx)dx + g(y)

f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = 3x2y2 + senx + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 3x2y2 + senx

3x2y2 + senx + g’(y) = 3x2y2 + senx g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = x2y3 + ysenx + c

x2y3 + ysenx = k

11) (Seny + ysenx + 1

x )dx + (xcosy – cosx +

1

y)dy = 0

Sol:

(Seny + ysenx + 1

x )dx + (xcosy – cosx +

1

y)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y = senx + cosy =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x = Seny + ysenx +

1

x

f(x, y) = ∫ (Seny + ysenx + 1

x)dx + g(y)

f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a “y”.

∂f(x,y)

∂y = xcosy – cosx + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = xcosy – cosx + 1

y

xseny – ycosx + lnx + g’(y) = xcosy – cosx + 1

y g’(y) =

1

y g(y) = lny

f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + lny

12) (𝑦

1 + x2 + arctgy)dx + (

𝑥

1 + y2 + arctgx) dy= 0

Sol:

(𝑦

1 + x2 + arctgy)dx + (

𝑥

1 + y2 + arctgx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

∂M(x,y)

∂y =

𝑦

1 + x2 +

𝑥

1 + y2 =

∂N(x,y)




∂f(x,y)

∂x =

𝑦

1 + x2 + arctgy

f(x, y) = ∫ (𝑦

1 + x2 + arctgy dx + g(y)

f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a “y”. ∂f(x,y)

∂y = arctgx +

𝑥

1 + y2 + g’(y), pero como:

∂f(x,y)

∂y = N(x,y)

Se tiene: N(x, y) = 𝑥

1 + y2 + arctgx

arctgx + 𝑥

1 + y2 + g’(y) =

𝑥

1 + y2 + arctgx g’(y) = 0 g(y) = c

f(x,y) = yarctgx + xarctgy + c

yarctgx + xarctgy = k

II) Factores Integrantes


1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

Sol:

(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

M N ∂M(x,y)

∂y = 2y ;

∂N(x,y)

∂x = y

∂M(x,y)

∂y− ∂N(x,y)

∂x

𝑁(𝑥,𝑦) = f(x)

e∫f(x)dx es un fi 2y−y

xy =

1

𝑥

e∫1

xdx es fi = elnx = x

x(x2 + y2 + x)dx + x2ydy

M N ∂M(x,y)

∂y = 2xy =

∂N(x,y)

∂x la ecuación diferencial es exacta.

Entonces : ∂f(x,y)

∂x = M(x,y)

f(x,y) = x4

4 +

x2y2

2 +

𝑥3

3 + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas

anteriores de ecuaciones diferenciales exactas. ∂f(x,y)

∂y = x2y + g’(y)

3x4 + 6x2y2 + 4x3 = k

2) (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0

Sol:

(1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0

M N ∂M(x,y)

∂y = - x2 ;

∂N(x,y)

∂x = - 3x2 + 2xy

∂M(x,y)

∂y− ∂N(x,y)

∂x

𝑁(𝑥,𝑦) = f(x)

e∫f(x)dx es un fi − x2 +3x2− 2xy

x2(y – x) = -

2

𝑥

e∫- 2

𝑥dx es fi =

1

x2

(1

x2) (1 – x2y)dx +

1

x2x2(y – x)dy = 0

M N ∂M(x,y)

∂y = -1 =

∂N(x,y)

∂x la ecuación diferencial es exacta.

Entonces : ∂f(x,y)

∂x = M(x,y)

f(x,y) = - 1

x - xy + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas anteriores de

ecuaciones diferenciales exactas. ∂f(x,y)

∂y = -x + g’(y)

xy2 - 2x2y - 2= kx

3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0

M N

)y(344

2x42443

2x4

24443

gy

4

)yxy2exy2(

)3xy2exy21y6eyxy2xey8(

3xy2exy2y

M

1y6exy2xey8y

M

4

y

dy4

)x(g

y

1ee

Luego: 0dy)y3yxeyx(y

1dx)yxy2eyxy2(

y

1 22442

4

3444

4

M N

My

)y,x(f

y3xy2xe2x

Ny3xy2xe2

y

M 42y42y

)y(3

2y2

)y(3

y

gy

x

y

xex

gdx)y

1

y

x2xe2()y,x(f

42

2y2

)y(4

y2

y

x3

y

xex'g

y

x3ex

y

)y,x(fN

Cy

x

y

xex)y,x(f

Cg0'g

3

2y2

)y()y(

4) 0dy)Lnxy(dxx

y 3

M N

2

dyy

2

)y(g

)y(

y

1ee

gy

2

x

1

y

M

x

1

y

N

x

1

y

M

Luego: 0dy)Lnxy(y

1dx

x

y.

y

1 3

22

M N

Mx

)y,x(f

xy

1

x

N

xy

1

y

M22

)y(

)y(

gy

Lnx

gyx

dx()y,x(f

2)y(2y

Lnxy'g

y

Lnx

y

)y,x(fN

C2

y

y

Lnx)y,x(f

C2

ygy'g

2

2

)y()y(

5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0

M N

)x(fx)xyxy(2

)yxy(x4

)xyxxxy2(

2xy42xy4xy4x4y4(

2xy4y

M2xy4xy4x4yx4

y

M

23

32

223

323

323

2xxdx2)x(geee

Luego: 0dy)xyxy(e2dx)y2xxydxy2yx4yxy2(e23x422232x 2

M

N

2x32x2x22x32x

2x332x2x32x

e2xye4xye4xe4yxe4y

N

e2yxe4xye4yxe4y

M

)x(hyxe2yxex2

ye

)x(hdy)e2yxe2ye2()y,x(f

Mdx

)y,x(f

2x22242x

2x322x32x

ye2xyexye2yxe4yex2)x('hyxe2yxe2

yex

x

)y,x(fM

2x42x22x22x22x32e222x42

ye2xyeyxe2yxe4yxe2yxe2yxe2

yex)x('h

2x42x232x22x232x2e222x42

x

ye

2

ye

yex

e2xye2

4

e3

2

yxeye

x2

ye

2

ye

2

yex)x(h

2x42x

2x2x

2x2x222x

2x22x22x42

)x(hyxe2ye2

ye)y,x(f

2x242x

2x

6) (xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0

M N

)x(f1ySenyxCosy

CosyySenyCosyxCosy

Cosyx

NySenyCosyxCosy

y

M

xdx)x(feee

Luego: 0dx)yCosyxSeny(edy)ySenyxCosy(ex2x

M N

Mx

)y,x(f

ySenyeCosyexCosyex

NySenyeCosyexCosye

y

M xxxxxx

)y(gyCosye)1x(Senye

)y(gdy)yCosyexSenye()y,x(f

xx

xx

ySenyexCosye'gehySeny.Cosye)1x(Cosyey

)y,x(fN

xx

)y(

yx

g’(y) = 0 g(y) = C

CCosye)1x(eSeny)y,x(f4x

7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0

M N

M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas

Luego:

r344x

1

y)xy(x)yx(

1

NyMx

1

Entonces:

0dy)xy(x

1dx)yx(

x

1 3

5

44

5

dy

df

dx

df

Integrando respecto a “x”:

)y(4

4

gx4

yLnx)y,x(f

4

3

)y(4

3

x

y'g

x

y

y

)y,x(fN

g’(y) = 0 g(y) = C

Cx4

yLnx)y,x(f

4

4

8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.

Luego: )yx(y

1

y)yxyx(xy

122222

Entonces:

Mdx

)y,x(f

)yx(

yx

dx

N

)yx(

yx

dy

M

0dy)yx(y

)yxyx(

)yx(y

dxy

222

22

222

22

22

22

22

2

)y(

)y(22

gy´x

yxLn

2

1)y,x(f

gdxyx

y)y,x(f

)yx(y

)yxyx('g

)yx(2

1

)yx(2

1

y

)y,x(fN

22

22

)y(

g’(y) = y

1 g(y) = Lny + C

CLnyyx

yxLn

2

1)y,x(f

10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0

(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0

x

N

y

M

yx4xy41dx

N1xy4

dy

M 33

Usamos:

)y(g

)y('g)yxy2(

)x(f

)'x(f)yxyx2x(yx4

)y(g

)y('gM

)x(f

)x('fN

x

N

y

M

234233

4

4

y)x(gLnx4)y(Lngx

4

)x(f

)'y(g

x)x(fLnx4)x(Lnfx

4

)x(f

)'x(f

4433

342

4.4

4433

2

4.4

44

yx

3

yx

2

x

N)yxyx2x(

yx

1M

yx

3

yx

2

y

M)yxy2(

yx

1M

y.x

1)y(g).x(f)y,x(

Ahora:

x

N

y

M

)y(gy3

x

y

xd)y(gdx

yx

)yxy2()y,x(f

)yxy2(yx

1

x

)y,x(

3

3

2

2

44

2

2

44

)y('gyx

x

yx

yx2

y

)y,x(f

)y(gxy3

1

yx

1)y(g

y3

x

y

x)y,x(f

4444

2

33223

3

2

2

Pero: Ny

)y,x(f

CyLn)y(gy

1)y('g

yx

yx

yx

yx2

yx

x)y('g

yx

x

yx

yx244

34

44

2

444444

2

Reemplazamos:

C)y(Lnxy3

1

yx

1)y,x(f

3322

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0

ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:3

2

0dyyx2)ydxxdy(3

2 23 … en:

33yx

1

CLny2)xy(

1.

3

1

C)Lny2(d)3

1.2

)xy(

1(d

0y

dy2

yx

)ydxxdy(

3

2

0yx

dyyx2

yx

)ydxxdy(

3

2

0dyyx2yx

)ydxxdy(

3

2

2

33

33

23

33

23

33

2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0

CyyxLn2

1

0)y(d)yx(

)yx(d

2

1

0)y(d)yx(

)yx(d

2

1

0dyy4)yx(

ydxxdx

0)yx(

dy)yx(3y4

)yx(

ydxxdx

422

4

22

22

4

22

22

3

22

22

22

22

3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0

Cx

1x

x

y

C)x

1x(d)

y

x(d

0dx)1x

1(

x

ydxxdy

0dxx

)x1(

x

ydxxdy

22

2

2

2

4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0

Sabemos que: xdx + ydx = )yx(d2

1 22

Cx)yx(

1

2

1

Cdx)yx(

)yx(d

2

1

0dx)yx(

)yx(

)yx(

ydxxdy

22

22

22

222

22

222

5) x(xdy+ydx) + 0dxyx122

0yx1x

dxyx1

yx1x

)ydxxdy(x

22

22

22

0x

dxx

2

1

yx1

)ydxxdy(x

2

1

22

Cx

dx)yx1(d

2/122

C2

xLn)yx1(

2/122

6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0

(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

C)x

y(Tgarc)yx(

2

1

C))x

y(Tgarc(d)yx(d

2

1

0)yx(

)ydxxdy()ydyxdx(

0)ydxxdy()ydyxdx()yx(

0x

)ydyxdx(

x

)ydyxdx()yx(

0dydy)yx(x

ydx

x

ydx)yx(

0dy1)yx(x

ydx

x

y)yx(

22

22

22

22

22

2222

2222

10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)

C)x

y(Tgarc)xy(Ln

0))x

y(Tgarc(d))xy(Ln(d

0)yx(

)ydxxdy(

xy

)ydxxdy(

0)yx(xy

)ydxxdy(xy

xy

)ydxxdy(

0)yx(

)ydxxdy(xy)ydxxdy(

)yx(

)yx(

22

22

2222

22

11) xdy – ydx = x2 dxyx22

C2

x)

x

y(SenArc

C)2

x(d))

x

y(Senarc(d

0xdxyx

ydxxdy

dxyx

yxx

yx

ydxxdy

2

2

22

22

22

2

22

12) x3dy – x2ydx = x5y dx

xdy – ydx = x3y dx , para: x 0

C3

x)

x

y(Ln

C)3

x(d)

x

y(dLn

)3

x()

x

y(dLn

dxxxy

ydxxdy

3

3

3

2

13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0

Multiplicamos por x2y

3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0

d(x3y3) + d(x4y3) = 0

Cyxyx

C)yx(d)yx(d

3433

3433

14) 0dx)1yx1(1xdx)1xy1(1y2222

1x1y

1:entreTodo

0)xdyydx(1x1y1x1y

0dy1y.1xx1xdx1x1yy1y

22

2222

222222

Cxy1yyLn1xxLn

C)xy(d1y

dy

1x

dx

0)xy(d1y

dy

1x

dx

0)xdyydx(1y

dy1

1x

dx1

22

22

22

22

15) 2y,1x:Para2)x1(y

)1xy(y

dx

dy2

y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx

ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx

ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy

ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy

)xy(d2

yxdydy

22

ydy – C)xy(d2

)yx(d

22

Cxy2

xy

2

y222

y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4

Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4

16) arseny dx + 0y1

dyCosyy12x

2

2

0Cosydy2y1

xdydxarseny

2

d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0

d(x . arcseny) + 2Cosydy = C

x . Arcseny + 2Seny = C

Ecuaciones Lineales:

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 4𝑥

𝑦 = 𝑒−∫2𝑥 𝑑𝑥 [∫ 𝑒∫2𝑥𝑑𝑥 (4𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−𝑥2[∫ 𝑒𝑥

2(4𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−𝑥2[2𝑒𝑥

2+ 𝑐 ]

𝑦 = 2 [1 + 𝑐

𝑒𝑥2 ]

2. 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑦

𝑥= 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥

𝑦 = 𝑒−∫−𝑥−1𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−𝑥

−1𝑑𝑥 (𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑥[∫1

𝑥(𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑥[∫(𝑥2 + 3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑥[𝑥3

3+ 3𝑥2

2− 2𝑥 + 𝑐 ]

3- (𝑥 − 2)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 2(𝑥 − 2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦(𝑥 − 2)−1 = 2 (𝑥 − 2)2

𝑦 = 𝑒−∫− (𝑥−2)−1 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫− (𝑥−2)

−1 𝑑𝑥 (2 (𝑥 − 2)2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = (𝑥 − 2)[∫(𝑥 − 2)−1 (2 (𝑥 − 2)2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = (𝑥 − 2)[∫(2 (𝑥 − 2)1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = (𝑥 − 2)[𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐 ] 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑐𝑥 + 4𝑥 − 2𝑐

4- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 5𝑒cos (𝑥) para: x=π/2 & y= -4

𝑦 = 𝑒−∫𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑒∫ 𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 (5𝑒cos (𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥))[∫ 𝑒ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥) (5𝑒cos (𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1[∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (5𝑒cos (𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1[−5𝑒cos (𝑥) + 𝑐 ] 𝑦 = −5𝑒cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1 + 𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1

−4 = −5𝑒cos (π/2)𝑠𝑒𝑛(π/2)−1 + 𝑐𝑠𝑒𝑛(π/2)−1 Despejando C:

−4 = −5 + 𝑐

𝑐 = 1 La ecuación es: 𝑦 = −5𝑒cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)−1

5- 𝑥3𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (2 − 3𝑥2)𝑦 = 𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (

2

𝑥3−

3

𝑥1 )𝑦 = 1

𝑦 = 𝑒−∫ (

2𝑥3−3𝑥1 )𝑑𝑥

[∫ 𝑒∫(2𝑥3−3𝑥1 ) 𝑑𝑥

(1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥−2𝑥3[∫ 𝑒−𝑥

−2𝑥−3 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥−2𝑥3[

1

2𝑒−𝑥

−2+ 𝑐 ]

𝑦 = 𝑥31

2+ 𝑐𝑒𝑥

−2𝑥3

6- (𝑥 − ln(𝑦))𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑦𝑙𝑛(𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥(𝑦𝑙𝑛(𝑦))−1 = 𝑦−1

𝑥 = 𝑒−∫ (𝑦𝑙𝑛(𝑦))−1𝑑𝑦[∫ 𝑒∫(𝑦𝑙𝑛(𝑦))

−1 𝑑𝑦 (𝑦−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−ln (𝑙𝑛𝑦)[∫ 𝑒ln (𝑙𝑛𝑦) (𝑦−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 =1

𝑙𝑛𝑦[∫ 𝑙𝑛𝑦 (𝑦−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 =1

𝑙𝑛𝑦[(𝑙𝑛𝑦)2

2+ 𝑐 ]

𝑥 =(𝑙𝑛𝑦)1

2+

1

𝑙𝑛𝑦𝑐

7- 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦𝑐𝑡𝑔(2𝑥) = 1 − 2𝑥𝑐𝑡𝑔(2𝑥) − 2csc (2𝑥)

𝑦 = 𝑒−∫−2𝑐𝑡𝑔(2𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−2𝑐𝑡𝑔(2𝑥)𝑑𝑥 (1 − 2𝑥𝑐𝑡𝑔(2𝑥) − 2csc (2𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒ln (𝑠𝑒𝑛(2𝑥))[∫ 𝑒−ln (𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) (1 − 2𝑥𝑐𝑡𝑔(2𝑥) − 2csc (2𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)[∫( csc(2𝑥) − 2𝑥𝑐𝑡𝑔(2𝑥)csc(2x) − 2(csc(2𝑥))2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)[ln|csc(2𝑥) − 𝑐𝑡𝑔(2𝑥)|

2+ 𝑥𝑐𝑠𝑐(2𝑥) −

ln|csc(2𝑥) − 𝑐𝑡𝑔(2𝑥)|

2+ 𝑐𝑡𝑔(2𝑥) + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)[𝑥𝑐𝑠𝑐(2𝑥) + 𝑐𝑡𝑔(2𝑥) + 𝑐 ] 𝑦 = 𝑥 + cos (2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐

8- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥

𝑦 = 𝑒−∫2𝑑𝑥[∫ 𝑒∫2𝑑𝑥 (𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−2𝑥[∫ 𝑒2𝑥 (𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−2𝑥[𝑒2𝑥(𝑥2 + 2𝑥)

2−1

2∫𝑒2𝑥 (2𝑥 + 2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−2𝑥[𝑒2𝑥(𝑥2 + 2𝑥)

2−1

2( (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 −∫𝑒2𝑥 𝑑𝑥) + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−2𝑥[𝑒2𝑥(𝑥2 + 2𝑥)

2−1

2( (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 −∫𝑒2𝑥 𝑑𝑥) + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−2𝑥[𝑒2𝑥(𝑥2 + 2𝑥)

2−1

2( (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 −

1

2𝑒2𝑥) + 𝑐 ]

𝑦 =𝑥2

2+𝑥

2−1

2+ 𝑐𝑒−2𝑥

9- 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥3(3ln(𝑥) − 1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥− (𝑥𝑙𝑛(𝑥)) −1𝑦 = (𝑥𝑙𝑛(𝑥))

−1(𝑥3(3 ln(𝑥) − 1) )

𝑦 = 𝑒−∫−(𝑥𝑙𝑛(𝑥)) −1𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−(𝑥𝑙𝑛(𝑥))

−1 𝑑𝑥 ((𝑥𝑙𝑛(𝑥))−1(𝑥3(3 ln(𝑥) − 1) )) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒ln (ln(𝑥))[∫ 𝑒∫−ln (ln(𝑥)) 𝑑𝑥 ((𝑥𝑙𝑛(𝑥))−1(𝑥3(3 ln(𝑥) − 1) )) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (𝑥)[∫(𝑥𝑙𝑛(𝑥))−1((𝑥𝑙𝑛(𝑥))

−1(𝑥3(3 ln(𝑥) − 1) )) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (𝑥)[∫(𝑥𝑙𝑛(𝑥))−2(𝑥3(3 ln(𝑥) − 1) ) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (𝑥)[𝑥3

ln (𝑥)+ 𝑐 ]

𝑦 = 𝑥3 + 𝑐. ln(𝑥)

10- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑄(𝑥)´𝑦 − 𝑄(𝑥)𝑄(𝑥)´ = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑄(𝑥)´𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑄(𝑥)´

𝑦 = 𝑒−∫𝑄(𝑥)´ 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫𝑄(𝑥)´𝑑𝑥 (𝑄(𝑥)𝑄(𝑥)´) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−𝑄(𝑥)[∫ 𝑒𝑄(𝑥) (𝑄(𝑥)𝑄(𝑥)´) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒−𝑄(𝑥)[𝑒𝑄(𝑥)𝑄(𝑥) − 𝑒𝑄(𝑥) + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑄(𝑥) − 1 + 𝑐𝑒−𝑄(𝑥)

11- 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)+ 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)

𝑑𝑥

𝑑𝑦− 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)

𝑥 = 𝑒−∫−𝑠𝑒𝑛(𝑦) 𝑑𝑦[∫ 𝑒∫−𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 (2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−cos (𝑦)[∫ 𝑒cos (𝑦) (2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−cos (𝑦)[𝑒cos(𝑦) − 𝑒cos (𝑦)cos (𝑦) + 𝑐 ] 𝑥 = 1 − cos (𝑦) + 𝑒−cos (𝑦)𝑐

12- 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2𝑐𝑡𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑒−∫−𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (2𝑥 − 𝑥2𝑐𝑡𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒ln |𝑠𝑒𝑛(𝑥)|[∫ 𝑒−ln |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| (2𝑥 − 𝑥2𝑐𝑡𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)[∫ csc(𝑥) (2𝑥 − 𝑥2𝑐𝑡𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)[∫ csc(𝑥) 2𝑥 − 𝑥2𝑐𝑡𝑔(𝑥)csc(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)[𝑥2csc(𝑥) + 𝑐 ] 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Dato: 𝑦(𝜋

2) =

𝜋

4

2+ 1

𝑥 =𝜋

2 , 𝑐 = 1

Entonces la ecuación es : 𝑦 = 𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

13- (1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 = ln(1 + 𝑥2) − 2𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2𝑥𝑦

(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)=

1

(1 + 𝑥2)−

2𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)

𝑦 = 𝑒−∫−

2𝑥(1+𝑥2) ln(1+𝑥2)

𝑑𝑥[∫ 𝑒

∫−2𝑥

(1+𝑥2) ln(1+𝑥2)𝑑𝑥(

1

(1 + 𝑥2)−


(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒ln |ln (1+𝑥2)|[∫ 𝑒−ln |ln (1+𝑥

2)| (1

(1 + 𝑥2)−


(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (1 + 𝑥2)[∫1

ln (1 + 𝑥2)(

1

(1 + 𝑥2)−


(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (1 + 𝑥2)[∫(1

ln(1 + 𝑥2)(1 + 𝑥2)−


(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (1 + 𝑥2)[∫𝑑𝑥

ln(1 + 𝑥2)(1 + 𝑥2)− ∫


(1 + 𝑥2) ln(1 + 𝑥2)2𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = ln (1 + 𝑥2)[∫𝑑𝑥

ln(1 + 𝑥2)(1 + 𝑥2)+

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

ln(1 + 𝑥2)1−∫

𝑑𝑥

ln(1 + 𝑥2)(1 + 𝑥2)+ 𝑐 ]

𝑦 = ln (1 + 𝑥2)[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

ln(1 + 𝑥2)1+ 𝑐 ]

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) + ln (1 + 𝑥2)𝑐

14- 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑦 = 𝑒−∫−2𝑥 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−2𝑥𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥2[∫ 𝑒𝑥

−2(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥2[∫ 𝑒𝑥

−2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − ∫𝑒𝑥

−22𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥2[𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑒𝑥

−2+∫𝑒𝑥

−22𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 − ∫𝑒𝑥

−22𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑦 = 𝑒𝑥2[𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑒𝑥

−2+ 𝑐 ]

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥2𝑐

15- 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑒𝑦−𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦+ 𝑥 = 𝑒𝑦

𝑥 = 𝑒−∫𝑑𝑦[∫ 𝑒∫𝑑𝑦 (𝑒𝑦) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−𝑦[∫ 𝑒𝑦 (𝑒𝑦) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−𝑦[∫ 𝑒2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑥 = 𝑒−𝑦[𝑒2𝑦

2+ 𝑐 ]

𝑥 =𝑒𝑦

2+ 𝑒−𝑦𝑐

II.Ecuaciones de bernoulli:

1- 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥𝑦5 multiplicando por 𝑦−5 𝑦−5

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦−4 = 𝑥

multiplicando por -4 -4𝑦−5𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦−4 = 𝑥

tomando 𝑦−4 = 𝑧 −4𝑦−5𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma : 𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 4𝑧 = −4𝑥

𝑧 = 𝑒−∫4𝑑𝑥[∫ 𝑒∫4𝑑𝑥 (−4𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−4𝑥[∫ 𝑒4𝑥 (−4𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−4𝑥[𝑒4𝑥

4− 𝑥𝑒4𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 =1

4− 𝑥 + 𝑐𝑒−4𝑥

𝑦−4 =1

4− 𝑥 + 𝑐𝑒−4𝑥

2- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦4 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = −𝑥𝑦4 multiplicando por 𝑦−4

𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦−3 = −𝑥 multiplicando por -3 −3

𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥− 6𝑥𝑦−3 = −3𝑥

Tomando 𝑦−3 = 𝑧 −3𝑦−4𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑥− 6𝑥𝑧 = −3𝑥

𝑧 = 𝑒−∫−6𝑥 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−6𝑥𝑑𝑥 (−3𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒3𝑥[∫ 𝑒−3𝑥 (−3𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒3𝑥[𝑒−3𝑥 +𝑒−3𝑥

3+ 𝑐 ]

𝑧 = 1 +1

3+ 𝑒3𝑥𝑐

𝑦−3 = 1 +1

3+ 𝑒3𝑥𝑐

3- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

3𝑦 =

1

3(1 − 2𝑥)𝑦4 multiplicando por 𝑦−4

𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

3𝑦−3 =

1

3(1 − 2𝑥) multiplicando

por -3 −3𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦−3 = (2𝑥 − 1)

Tomando 𝑦−3 = 𝑧 −3𝑦−4𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑥− 𝑧 = 2𝑥 − 1

𝑧 = 𝑒−∫−1𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−1𝑑𝑥 (2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑥[∫ 𝑒−𝑥 (2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑥[2𝑒−𝑥𝑥 − 𝑒−𝑥 + 𝑐 ] 𝑧 = 2𝑥 − 1 + 𝑒𝑥𝑐 𝑦−3 = 2𝑥 − 1 + 𝑒𝑥𝑐

4- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑦2(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) multiplicando por 𝑦−2

𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦−1 = (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)

multiplicando por -1 −𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦−1 = (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)

tomando 𝑦−1 = 𝑧 −𝑦−2𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑥− 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑧 = 𝑒−∫−1𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−1𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑥[∫ 𝑒−𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑥[−𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 ] 𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐 𝑦−1 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐

5- 𝑥𝑑𝑦 − [𝑦 + 𝑥𝑦3(1 + 𝑙𝑛𝑥)]𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦𝑥−1 = 𝑦3(1 + 𝑙𝑛𝑥) multiplicando por 𝑦−3

𝑦−3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦−2𝑥−1 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 multiplicando por −2

−2𝑦−3𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦−2𝑥−1 = −2 − 2𝑙𝑛𝑥

tomando 𝑦−2 = 𝑧 −2𝑦−3𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 2𝑧𝑥−1 = −2 − 2𝑙𝑛𝑥

𝑧 = 𝑒−∫2𝑥−1 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫2𝑥

−1 𝑑𝑥 (−2 − 2𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−2𝑙𝑛𝑥[∫ 𝑒2𝑙𝑛𝑥 (−2 − 2𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥−2[∫ 𝑥2 (−2 − 2𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥−2[−2(𝑥3

3(1 + 𝑙𝑛𝑥) −

𝑥3

9) + 𝑐 ]

𝑧 = −2𝑥(1 + 𝑙𝑛𝑥)

3+2𝑥

9+ 𝑐𝑥−2

𝑦−2 = −2𝑥(1 + 𝑙𝑛𝑥)

3+2𝑥

9+ 𝑐𝑥−2

6- 2𝑥𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑦3𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦𝑥−1 =

𝑦3

2 multiplicando por 𝑦−3

𝑦−3𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦−2𝑥−1 =

1

2 multiplicando por −2


𝑑𝑥− 2𝑦−2𝑥−1 = −1


𝑑𝑥− 2𝑧𝑥−1 = −1

𝑧 = 𝑒−∫−2𝑥−1𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−2𝑥

−1𝑑𝑥 (−1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒2𝑙𝑛𝑥[∫ 𝑒−2𝑙𝑛𝑥 (−1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥2[∫ 𝑥−2 (−1) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥2[𝑥−1 + 𝑐 ] 𝑦−2 = 𝑥 + 𝑥2𝑐

7- 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥

𝑦𝑥2 + 𝑦3

𝑑𝑥

𝑑𝑦− 𝑥𝑦 = 𝑦3𝑥−1 multiplicando por 𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦− 𝑥2𝑦 = 𝑦3

multiplicando por 2 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦− 2𝑥2𝑦 = 2𝑦3 tomando 𝑥2 = 𝑧 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑧

entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑦− 2𝑧𝑦 = 2𝑦3

𝑧 = 𝑒−∫−2𝑦𝑑𝑦[∫ 𝑒∫−2𝑦𝑑𝑦 (2𝑦3) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑦2[∫ 𝑒−𝑦

2(2𝑦3) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑦2[−𝑦2𝑒−𝑦

2− 𝑒−𝑦

2+ 𝑐 ]

𝑥2 = −𝑦2 − 1 + 𝑒𝑦2𝑐

8- 𝑦2(𝑦6 − 𝑥2)𝑦` = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦+

𝑦2

2𝑥 =

𝑦8

2𝑥−1 multiplicando por 𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦+

𝑦2

2𝑥2 =

𝑦8

2

multiplicando por 2 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦+ 𝑦2𝑥2 = 𝑦8 tomando 𝑥2 = 𝑧 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑧


𝑑𝑦+ 𝑦2𝑧 = 𝑦8

𝑧 = 𝑒−∫𝑦2 𝑑𝑦[∫ 𝑒∫𝑦

2𝑑𝑦 (𝑦8) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−𝑦3

3 [∫ 𝑒𝑦3

3 (𝑦8) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−𝑦3

3 [9 (𝑦6

9− 2

𝑦3

3+ 2) 𝑒

𝑦3

3 + 𝑐 ]

𝑥2 = 𝑦6 − 6𝑦3 + 18 + +18 𝑒−𝑦3

3 𝑐

9- 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 −𝑥3𝑦

2) 𝑑𝑦 = 0

𝑑𝑥

𝑑𝑦+

1

𝑦𝑥 =

𝑥3

2 multiplicando por 𝑥−3

𝑥−3𝑑𝑥

𝑑𝑦+

1

𝑦𝑥−2 =

1

2

multiplicando por -2 2𝑥−3𝑑𝑥

𝑑𝑦+

2

𝑦𝑥−2 = 1 tomando 𝑥−2 = 𝑧 −2𝑥−3𝑑𝑥 = 𝑑𝑧


𝑑𝑦−

2

𝑦𝑧 = −1

𝑧 = 𝑒−∫−

2𝑦𝑑𝑦[∫ 𝑒

∫−2𝑦𝑑𝑦(−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒2𝑙𝑛𝑦[∫ 𝑒−2𝑙𝑛𝑦 (−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑦2[∫𝑦−2 (−1) 𝑑𝑦 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑦2[𝑦−1 + 𝑐 ] 𝑥−2 = 𝑦1 + 𝑦2𝑐

10- 3𝑥𝑑𝑦 = 𝑦(1 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑦3𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥−

1+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

3𝑥𝑦 = −

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥𝑦4 multiplicando por 𝑦−4

𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥−


3𝑥𝑦−3 = −

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥 multiplicando por -3


𝑑𝑥+


𝑥𝑦−3 = 3

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥


𝑑𝑥+1 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥𝑧 = 3

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥

𝑧 = 𝑒−∫1+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥𝑑𝑥[∫ 𝑒∫

1+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑥

𝑑𝑥 (3𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒𝑙𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥[∫ 𝑒𝑙𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥 (3𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 =𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥[3∫𝑒−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 =𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥[3𝑒−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ]

𝑦−3 =3

𝑥+

𝑐𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥

11- 3𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦 =

𝑥3

𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2𝑦

3𝑥=

𝑥2

3𝑦2 multiplicando por 𝑦2

𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2 𝑦3

3𝑥=

𝑥2

3

multiplicando por 3 3 𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2 𝑦3

𝑥= 𝑥2 tomando 𝑦3 = 𝑧 3𝑦2𝑑𝑦 = 𝑑𝑧


𝑑𝑥−

2

𝑥𝑧 = 3𝑥2

𝑧 = 𝑒−∫−2𝑥𝑑𝑥[∫ 𝑒∫−

2𝑥𝑑𝑥 (3𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒2𝑙𝑛𝑥[∫ 𝑒−2𝑙𝑛𝑥 (3𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥2[∫ 𝑥−2 (3𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑥2[𝑥 + 𝑐 ] 𝑦3 = 𝑥3 + 𝑐𝑥2

12- (2𝑥𝑦3 − 𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦

𝑑𝑥−

1

2𝑥𝑦 = −𝑦3 multiplicando por 𝑦−3 𝑦−3

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

1

2𝑥𝑦−2 = −1 multiplicando por -2 −2𝑦−3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

𝑥𝑦−2 = 2


𝑑𝑥+1

𝑥𝑧 = 2

𝑧 = 𝑒−∫1𝑥𝑑𝑥[∫ 𝑒∫

1𝑥𝑑𝑥 (2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−𝑙𝑛𝑥[∫ 𝑒𝑙𝑛𝑥 (2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 =1

𝑥[∫𝑥 (2) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 =1

𝑥[𝑥2 + 𝑐 ]

𝑦−2 = 𝑥 + 1

𝑥𝑐

13- 2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑐𝑡𝑔𝑥

2𝑦 =

𝑐𝑠𝑐𝑥

2𝑦−1 multiplicando por 𝑦

𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑐𝑡𝑔𝑥

2𝑦2 =

𝑐𝑠𝑐𝑥

2 multiplicando por 2

2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑦2 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

tomando 𝑦2 = 𝑧 2𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: 𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑧 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

𝑧 = 𝑒−∫𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥[∫ 𝑒∫𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒−ln (𝑠𝑒𝑛𝑥)[∫ 𝑒ln (𝑠𝑒𝑛𝑥) (𝑐𝑠𝑐𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑐𝑠𝑐𝑥[∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑐𝑠𝑐𝑥[𝑥 + 𝑐 ] 𝑦2 = 𝑥. 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐. 𝑐𝑠𝑐𝑥

14- 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

𝑥+1= −

1

2(𝑥 + 1)3𝑦2 multiplicando por 𝑦−2

𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦−1

𝑥+1= −

1

2(𝑥 + 1)3

multiplicando por -1 −𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑦−1

𝑥+1=

1

2(𝑥 + 1)3 tomando 𝑦−1 = 𝑧 −𝑦−2𝑑𝑦 = 𝑑𝑧


𝑑𝑥−

𝑧

𝑥+1=

1

2(𝑥 + 1)3

𝑧 = 𝑒−∫− 1𝑥+1

𝑑𝑥[∫ 𝑒∫− 1𝑥+1

𝑑𝑥 (1

2(𝑥 + 1)3) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = 𝑒ln (𝑥+1)[∫ 𝑒−ln (𝑥+1) (1

2(𝑥 + 1)3) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = (𝑥 + 1)[∫1

(𝑥 + 1)(1

2(𝑥 + 1)3) 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = (𝑥 + 1)[1

2∫(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 + 𝑐 ]

𝑧 = (𝑥 + 1)[1

6(𝑥 + 1)3 + 𝑐 ]

𝑦−1 =1

6(𝑥 + 1)4 + (𝑥 + 1)𝑐

I.Indendencia lineal de funciones:

En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no, linealmente independiente.( por

definición algebraica ).

1- 𝑓1(𝑥)= 𝑒𝑥 , 𝑓2(𝑥)= 𝑒

−𝑥 de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) = 0

∝1 𝑒𝑥 + ∝2 𝑒

−𝑥 = 0 …(1) Derivando ∝1 𝑒𝑥 − ∝2 𝑒

−𝑥 = 0 …(2)

Sumando (1)+(2) : 2 ∝1 𝑒𝑥 = 0 ∝1 = 0 y ∝2 = 0 ; entonces son linealmente independiente

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) .

2- 𝑓1(𝑥)= 𝑒𝑥 , 𝑓2(𝑥)= 2𝑒

𝑥 , 𝑓3(𝑥)= 𝑒−𝑥 de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) + ∝3 𝑓3(𝑥) = 0

∝1 𝑒𝑥 + 2 ∝2 𝑒

𝑥 + ∝3 𝑒−𝑥 = 0… (1) Derivando ∝1 𝑒

𝑥 + 2 ∝2 𝑒𝑥 − ∝3 𝑒

−𝑥 = 0 …(2)

Sumando (1)-(2) : 2 ∝3 𝑒−𝑥 = 0 ∝3 = 0 y ∝1= −2 ∝2 ; entonces no son linealmente

independiente 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) 3- 𝑓1(𝑥) = 𝑥 , 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥

2 de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) + ∝3 𝑓3(𝑥) = 0

∝1 𝑥 + 2 ∝2 𝑥 +∝3 𝑥2 = 0 Derivando ∝1+ 2 ∝2+ 2 ∝3 𝑥 = 0 Derivando

2 ∝3= 0 ∝3= 0 y ∝1= −2 ∝2 ; entonces no son linealmente independiente 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) .

4- 𝑓1(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥), 𝑓2(𝑥) = cos (𝑎𝑥) de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) = 0

∝1 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) + ∝2 cos (𝑎𝑥) = 0 Derivando 𝑎 ∝1 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) − 𝑎 ∝2 sen (𝑎𝑥) = 0

∝12= −∝2

2 ; entonces no son linealmente independiente 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) .

5- 𝑓1(𝑥) = 1 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥2 de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) + ∝3 𝑓3(𝑥) = 0

∝1+ ∝2 𝑥 +∝3 𝑥2 = 0 Derivando ∝2+ 2 ∝3 𝑥 = 0 Derivando 2 ∝3= 0

∝3= 0 , ∝2= 0 𝑦 ∝1= 0 ; entonces son linealmente independiente 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) .

6- 𝑓1(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥), 𝑓2(𝑥) = 𝑒

𝑎𝑥 cos (𝑏𝑥) de la forma ∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) = 0

∝1 𝑒𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) + ∝2 𝑒

𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) = 0 Derivando

(𝑎 ∝1− 𝑏 ∝2)𝑒𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) + (𝑏 ∝1+ 𝑎 ∝2)𝑒

𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) = 0 2𝑏 ∝1 ∝2= 𝑎(∝12− ∝2

2) Como ∝1

2= −∝22 entonces : 𝑏 ∝2= 𝑎 ∝1 ; entonces no son linealmente independiente

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥)..

7- 𝑓1(𝑥)= 𝑒𝑎𝑥 , 𝑓2(𝑥)= 𝑒

𝑏𝑥 , 𝑓3(𝑥)= 𝑒𝑐𝑥 , 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 de la forma

∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) + ∝3 𝑓3(𝑥) = 0 𝑒𝑎𝑥 ∝1+ 𝑒𝑏𝑥 ∝2+ 𝑒

𝑐𝑥 ∝3= 0

𝑒(𝑎−𝑐)𝑥 ∝1+ 𝑒(𝑏−𝑐)𝑥 ∝2+ ∝3= 0 derivando (𝑎 − 𝑐)𝑒(𝑎−𝑐)𝑥 ∝1+ (𝑏 − 𝑐)𝑒

(𝑏−𝑐)𝑥 ∝2= 0

∝3= 0 , (𝑎 − 𝑐)𝑒(𝑎−𝑏)𝑥 ∝1+ (𝑏 − 𝑐) ∝2= 0 , ∝2= 0 ; derivando

(𝑎 − 𝑏) (𝑎 − 𝑐)𝑒(𝑎−𝑏)𝑥 ∝1= 0, ∝1= 0 ; entonces son linealmente independiente

𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥).

8- 𝑓1(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑓2(𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥2. 𝑙𝑛𝑥 de la forma

∝1 𝑓1(𝑥) + ∝2 𝑓2(𝑥) + ∝3 𝑓3(𝑥) = 0 𝑙𝑛𝑥 ∝1+ 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 ∝2+ 𝑥2. 𝑙𝑛𝑥 ∝3= 0

Derivando 1

𝑥∝1+ 𝑙𝑛𝑥 ∝2+ ∝2+ 2𝑥. 𝑙𝑛𝑥 ∝3+ 𝑥 ∝3= 0 , ∝2= 0

Derivando −1

𝑥2∝1+ 2𝑙𝑛𝑥 ∝3+ 2 ∝3+ ∝3= 0 , ∝3= 0 y ∝1= 0

entonces son linealmente independiente 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥).

II. Wronskiano; hallar el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones:

1- 1, 𝑥, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1 𝑛 > 1

Generalizando :

para 1, 𝑥 ∶ para 1, 𝑥, 𝑥2 : para 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 ∶

|1 𝑥0 1

| = 1 (1 𝑥 𝑥2

0 1 2𝑥0 0 2

) = 2 (

1 x 𝑥2 𝑥3

0 1 2x 3 𝑥2

0 0 2 6x0 0 0 6

) = 12

Entonces :

(1 ⋯ 𝑥𝑛−1

⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ (n − 1)!

)= 0! 1! …(n-1)! = W

2- 𝑒𝑚𝑥 , 𝑒𝑛𝑥 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 ⋀ 𝑚 ≠ 𝑛

|𝑒𝑚𝑥 𝑒𝑛𝑥

𝑚𝑒𝑚𝑥 𝑛𝑒𝑛𝑥 | = (𝑛 − 𝑚)𝑒(𝑚+𝑛)𝑥 = 𝑊

3- 𝑠𝑒𝑛(ℎ𝑥), cos (ℎ𝑥)

|𝑠𝑒𝑛(ℎ𝑥) cos (ℎ𝑥)

cos (ℎ𝑥) 𝑠𝑒𝑛(ℎ𝑥)| = 𝑠𝑒𝑛(ℎ𝑥)2 − cos (ℎ𝑥)2 = −1 = W

4- 𝑥 , 𝑥𝑒𝑥

|𝑥 𝑥𝑒𝑥

1 𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 | = 𝑥2𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 = 𝑊

5- 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

|𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥|

= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥) − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) = −𝑒2𝑥 = 𝑊

6- 1 + cos(2𝑥) , (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

|1 + cos(2𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −cos (2𝑥)| = − cos(2𝑥) − cos(2𝑥)2 + (𝑐𝑜𝑠𝑥)22𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 0 = 𝑊

7- 𝑒−𝑥 , 𝑥𝑒−𝑥

|𝑒−𝑥 𝑥𝑒−𝑥

−𝑒−𝑥 𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥| = 𝑒−𝑥(𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥) + 𝑥𝑒−2𝑥 = 𝑒−2𝑥 = 𝑊

8- 1, 𝑒−𝑥 , 2𝑒2𝑥

(1 𝑒−𝑥 2𝑒2𝑥

0 −𝑒−𝑥 4𝑒2𝑥

0 𝑒−𝑥 8𝑒2𝑥) = −8𝑒𝑥 − 4𝑒𝑥 = −12𝑒𝑥 = 𝑊

9- 2, cos(𝑥) , cos(2𝑥)

(

2 cos(𝑥) cos(2𝑥)

0 −sen(x) −2 sen(2𝑥)

0 −cos (x) −4cos(2𝑥)) = 2sen(x) 4cos(2𝑥) + 2 cos(x) cos(2𝑥) = −8(𝑠𝑒𝑛𝑥)3 = 𝑊

10- - 𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑒−3𝑥 cos(2𝑥)

|𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑒−3𝑥 cos(2𝑥)

−3𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 2cos (2𝑥)𝑒−3𝑥 −3𝑒−3𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒−3𝑥|

= 𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)(−3𝑒−3𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒−3𝑥)− 𝑒−3𝑥 cos(2𝑥) (−3𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 2 cos(2𝑥) 𝑒−3𝑥) = −2𝑒−6𝑥 = 𝑊

III.Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son

linealmente independientes:

1- 𝑙𝑛𝑥, 𝑥𝑙𝑛𝑥

|𝑙𝑛𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥1

x1 + lnx| = lnx + lnx2 − lnx = lnx2 ≠ 0 entonces las funciones : 𝑙𝑛𝑥, 𝑥𝑙𝑛𝑥 son

linealmente independientes.

2- 1, 𝑒−𝑥 , 2𝑒2𝑥

(1 𝑒−𝑥 2𝑒2𝑥

0 −𝑒−𝑥 4𝑒2𝑥

0 𝑒−𝑥 8𝑒2𝑥) = −8𝑒𝑥 − 4𝑒𝑥 = −12𝑒𝑥 ≠ 0 entonces las funciones : 1, 𝑒−𝑥 , 2𝑒2𝑥 son

linealmente independientes.

3- 𝑥1/2, 𝑥1/3

|𝑥1/2 𝑥1/3

𝑥−1/2

2

𝑥−2/3

3

| =𝑥−

23

3(𝑥

12) − (

𝑥−12

2)(𝑥

13) = −

𝑥−16

6≠ 0 para x ≠ 0

entonces las funciones : 𝑥1/2, 𝑥1/3 son linealmente independientes.

4- 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥), 𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) 𝑏 ≠ 0

|𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) 𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥)

a𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) + 𝑏𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) 𝑎𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) − 𝑏𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥)| =

𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥)(𝑎𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) − 𝑏𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥)) − 𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) (a𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) + 𝑏𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥)) =−𝑏𝑒2𝑎𝑥 ≠ 0 entonces las funciones :

𝑒𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥), 𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) son linealmente independientes.

5- 1 , (𝑠𝑒𝑛𝑥)2, 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

(1 (𝑠𝑒𝑛𝑥)2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

0 sen(2x) senx0 2cos (2x) cosx

) = sen(2x)cosx − 2 cos(2x) senx = 2(senx)3 ≠ 0 ,para 𝑥 ≠ 0

entonces las funciones : 1 , (𝑠𝑒𝑛𝑥)2, 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 son linealmente independientes.

6- ln(𝑥 − 1) − ln(𝑥 + 1) , 1

|ln(𝑥 − 1) − ln(𝑥 + 1) 1

1

𝑥 − 1−

1

𝑥 + 10| = 0 −

1

𝑥 − 1+

1

𝑥 + 1=

−2

𝑥2 − 1 ≠ 0 , para x ≠ 1

entonces las funciones : ln(𝑥 − 1) − ln(𝑥 + 1) , 1 son linealmente independientes.

7- √1 − 𝑥2 2

, 𝑥

|√1 − 𝑥2 2

𝑥

−𝑥(1 − 𝑥2 )−1/2 1| = √1 − 𝑥2

2+ 𝑥2(1 − 𝑥2 )−1/2 = (1 − 𝑥2 )−1/2 ≠ 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 1

entonces las funciones : √1 − 𝑥2 2

, 𝑥 son linealmente independientes.

8- 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2) , (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

|𝑠𝑒𝑛 (

𝑥

2) (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

1

2cos (

x

2) −sen(2x)

| = −sen(2x)𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2) − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

1

2cos (

x

2) ≠ 0

entonces las funciones : 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2) , (𝑐𝑜𝑠𝑥)2 son linealmente independientes.

9- 𝑥2 , 𝑥4 , 𝑥8

(𝑥2 𝑥4 𝑥8

2x 4x3 8x7

2 12x2 56x6) = 224x11 + 24x11 + 16x11 − 8x11 − 96x11 − 112x11 = 48x11 ≠ 0

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0 entonces las funciones : 𝑠𝑥2 , 𝑥4 , 𝑥8 son linealmente independientes.

10- 𝑒𝑥 , 𝑥𝑒𝑥 , 𝑥2𝑒𝑥

(𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑥

𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥

𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑥 + 4𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥) =

𝑒𝑥(𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥)(𝑥2𝑒𝑥 + 4𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥) + 𝑒𝑥(𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥)𝑥2𝑒𝑥 + 𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥(𝑥2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥) −𝑒𝑥(𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥)𝑥2𝑒𝑥−𝑒𝑥(𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥)(𝑥2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥) − 𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥(𝑥2𝑒𝑥 + 4𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥) = 2𝑒3𝑥

entonces las funciones : 𝑒𝑥 , 𝑥𝑒𝑥 , 𝑥2𝑒𝑥 son linealmente independientes.

IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO

(GRAFICARLOS)

1) SI XE [ -1,0] 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0

1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0

SI XE [0, 1] → 1 f, (X) + 2 f2 (X) = 0

→ 0 + 2 X2 = 0 2 = 0

UROSKIANO EN [-1,0]

X2 0

2X 0

UROSKIANO EN [0,1]

= 0 =

f1 y P2 Son

L.I.

0 X2

0 2X

2) SI XE [0, 2] → 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0

1 0 + 2 (X-2)2 = 0 ∝2 = 0

Si XE [2, 4] → 1 f1 (0) + 2 f2 (X) = 0

1 (X-2)2 + 0 = 0 ∝1 = 0

WROSKIANO EN [-0,2]

0 (X-2)2

0 2(X-2)

WROSKIANO EN [2,4]

(X-2)2 0

2(X-2) 0

3) SI XE [-2, 0] → 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0

1 X3 + 2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0

0 + 2 X2 = 0 2 = 0

WROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0

X2 0 < x < 1 X2 𝑿𝟐 0 < x < 1

= 0 =

= 0

= 0

W=

W=

4

-

0 2 4

= 0 W=

= 0 W=

f2 (X)

=

4)

f1=

f1 y P2

Son

L.I.

P1 y P2 son L.I.

-2 0 1

-8

1 0 -3

2

SI XE [-1,0] 1 X2 - 2 X2 = 0 (X) = 0

1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0

SI XE [0, 1] → 1 f, (X) + 2 f2 (X) = 0 f1 y P2

→ 0 + 2 X2 = 0 2 = 0 son L.I.

UROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

V) DEMOSTRACIONES

1)

2

2 2

1 2

2 0

22 1

1

x x

r r

rr r

r

yg C e C e

3) 4 3 2

3 5 2 0r r r r

3

1 2 3

2

1 2 3

2

4 2

1 3 2 0

1 2 1 0

1, 2, 1

x x x

x x

r r r

r r r

r r r

yg C e C e C e

yg C e C e

PRACTICA # 7

1 0

-3 2 0

1 -1 -3

5

-2

r=1

=

0

W=

=

0 W=

-1

-1

-1 -1

I) Ecuaciones diferenciales Lineales Homogeneas


A) Raíces reales distintas:

1) y’’ + 2y’ – 15y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + 2r – 15 = 0 r1= 3, r2= -5

Solución general:

y = c1e3x + c2e-5x

2) y’’’ + y’’ – 2y’ = 0

Sol:

Sea: P(r) = r3 + r2 – 2r = 0 r1= 0, r2= -2, r3=1

Solución general:

y = c1 + c2e-2x + c3ex

3) y’’ – y =0

Sol:

Sea: P(r) = r2 - 1 = 0 r1= 1, r2= -1

Solución general:

y = c1ex + c2e-x

4) y’’ + y’ – 6y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + r - 6 = 0 r1= 2, r2= -3

Solución general:

y = c1e2x + c2e-3x

5) y’’ – 3y’ + 2y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 - 3r + 2 = 0 r1= - 2, r2= -1

Solución general:

y = c1e-2x + c2e-x

6) y’’’ – 2y’’ – y’ + 2y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r3 - 2r2 – r + 2 = 0 r1= 2, r2= -1,r3= 1

Solución general:

y = c1e2x + c2e-x + c3ex

7) y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0 r1= 6, r2= -1, r3= 1

Solución general:

y = c1e6x + c2e-x + c3ex

8) y’’’ – y’’ – 12y’ = 0

Sol:

Sea: P(r) = r3 - r2 - 12r = 0 r1= 0, r2= -3, r3= 4

Solución general:

y = c1 + c2e-3x + c3e4x

9) y’’ – 4y’ + y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 - 4r + 1 = 0 r1= 2 + √3i

2, r2= 2 -

√3i

2

Solución general:

y = c1e2xcos√3i

2 + c2e2xsen(-

√3i

2)

10) 2y’’’ – 7y’ – 2y = 0

Sol:

Sea: P(r) = 2r3 - 7r - 2 = 0 r1= -1 + √2

2 r2= -1 -

√2

2,r3= 2

Solución general:

y = c1e-1 - √2

2x + c2e-1 +

√2

2 x + c3e2x

A) Raíces múltiples

1. 0´3"3´´´ yyyy

Ecuación característica

3

1

0)1(0133323

dadmúltiplicideecuaciónladeRaíces

La solución general es:

xxxexCexCeCy

2

321

3. 04119 yyyyIyIIIIIIV

Ecuación característica:

3

4

1

0)4()1(0411933234

dadmultipliciladeRaíz

1 -1 -9 -11 -4

-1 -1 2 7 4

-1

1

-2

-1

-7

3

-4

4 0

-1

1

-3

-1

-4

4

0

1 -4 0

La solución general es: xxxx

eCexCexCeCy4

4

2

321

5. 08126 IIIIIIV

yyyy


32

0

0)1(0)8126(323

dadmultiplicideRaíz

1 -6 +12 -8

1 2 -8 8

2

1

-4

2

4

-4

0

1 -2 0

La solución general es: xxx

exCexCeCCy22

4

2

3

2

21

7. 033 yyyyIIIIII


3

1

0)1(0133323


La solución general es: xxx

exCexCeCy

2

321

9. 0168 yyyIIIV


2

22

0)2()2(4

0)2)(2)(2)(2(4

0)4()4(0168

222

2

2224



La solución general es: xxxx

xeCxCexCeCy2

4

2

3

2

2

2

1

B) Raíces complejas :

1) y’’ + y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + 1 = 0 r1= i , r2 = -i

Solución general

y = c1cosx + c2senx

2) y’’ – 2y’ + 10y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 – 2r + 10 = 0 r1= −1 + √39 i

2, r2 =

−1− √39 i

2

Solución general

y = c1 e-x/2cos √39

2x + c2 e-x/2 sen

√39

2x

3) y’’ + 4y’ = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 0, r2 = - 4

Solución general

y = c1 + c2 e-4x

4) y’’ + 25y’ = 0

sol:

Sea: P(r) = r2 + 25r = 0 r1= −1 + √3 i

2, r2 =

−1− √39 i

2Solución general y = c1 + c2 e-25x

5) y’’ – 4y’ + 13y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 2 + 3i, r2 = 2 – 3i

Solución general

y = c1e2xcos3x + c2 e2xsen3x

6) y’’ + y’ + y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + r + 1 = 0 r1= −1 + √3 i

2, r2 =

−1− √3 i

2

Solución general

y = c1e-x/2cos √3

2, x + c2 e-x/2sen

√3

2, x

7) y’’ + 2y’ + 2y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 + 2r + 2 = 0 r1= - 1 + i, r2 = - 1 - i

Solución general

y = c1e-xcosx + c2 e-xsenx

8) y’’ – 2y’ + 4y = 0

Sol:

Sea: P(r) = r2 - 2r + 4 = 0 r1= 1 + √3i, r2 = 1 - √3i

Solución general

y = c1excos√3x + c2 exsen√3x

9. 04´2

" yyy


2

122

)1(2

)4)(1(4)2()2(

042

2

2

ecuaciónladeRaícesi

ii

31

31

2

322

2

1


)3()3cos( 21 xseneCxeCyxx

10. 025´6

" yyy


2

100366

)1(2

)25)(1(4)6()6(

0256

2

2

ecuaciónladeRaícesi

i

43

43

2

646

2

1


)4()4cos(3

2

3

1 xseneCxeCyxx

B) Raíces de cualquier índole

1. 04

Iyy

III


.

2200)4(

04

2

3

ecuaciónladeRaíces

ii


)2()2cos( 321 xsenCxCCy

2. 0 yyyy

IIIIII


.

1

0)1()1(0)1()1(

01

22

23


ii


xsenCxCeCyx

321 cos

3. 0 yy

IV


.11

0)1()1(

01

22

4

ecuaciónladeRaícesii


xsenCxCeCeCyxx

4321 cos

4. 02 yyy

IIIV


2

0)1(0122224


ii


xsenxCxxCxSenCxCosCy 4321 cos

5. 0916

IIIVyyy

IV


0)4()1(

0)4()1()1()45()1(

0)361()1(

0)1()12(3)1()1(

0)132(3)1()1(

0496

222

222242

2242

22242

24242

246

i

i

dadmultiplicideRaízi

dadmultiplicideRaízi

2

2

2

2


)2()2( 65

4321

xCosCxsenC

xCosxCxsenxCxCosCxSenCy

6. 033 yyyy

IIIIII


31

0)1(0133323



xxxexCexCeCy

2

321

7. 0 yyyy

IIIIII



i

i

1

0)1()1(

0)1()1(

01

2

2

23


senxCxCeCyx

321 cos

8. 0 yy

III


)1(2

)1)(1(9)1(101

0)1()1(

01

2

2

2

3

2

3

2

1

2

3

2

1

2

31

i

i

i

Las raíces de la ecuación son:

2

3

2

1

2

3

2

1

i

i


xseneCx

eCeCy

xx

x

2

3

2

3cos 2

32

21

10. 0 yy

IV


ecuaciónladeraícesi 111

0)1()1(

01

22

4


xsenCxCeCeCyxx

4321 cos

11. 03 yyyy

IIIIII


0)12()1(

013

2

23

2

222

2

442

)1(2

)1)(1(4)2()2(2


12121

2121


)21(

3

)21(

21

xxxeCeCeCy

12. 044

IIIyyy

III


220

0)2(0)44(

044

22

23



xxexCeCCy

2

3

2

21

13. 0214 yyy

IIIIV


1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

2

10814

2

10814

2

10814

2

819614

)1(2

)2)(1(4)14()14(

0241

2

22

2

2

2

24


x

xxx

eC

eCeCeCy

2

10814

4

2

10814

32

10814

22

10814

1

14. 002´22 yyyyy

IIIIIIV


0222234

Las raices son:

i

i

1

1

11

i

1

2

42

2

)1)(2(4)2()2(

0)22()1()1(

2

2

1 -2 1 2 -2

1 1 -1 0 2

-1

1 1

-1 -1

0 2

2 -2

0

1 -2 2 0

La solución es

senxeCxeCeCeCyxxxx

4321 cos

15. 095 yyy

IIIV


1

94

0954

2

2

24


i

i

12

3

14

9

010940)1()94(

2

2222


xsenCxCeCeCy

xx

2

3

2

34321

I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1) 𝑦′′ + 3𝑦′ = 3

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 3𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = −3 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥 ⇒ 𝑌′𝑝 = 𝐴 ⇒ 𝑌′′𝑝 = 0 Reemplazando en la ecuación

0 + 3𝐴 = 3 ⇒ 𝐴 = 1, Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥

La solución estará dada por 𝑌 = 𝑌𝑔 + 𝑌𝑝 Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥 + 𝑥

2) 𝑦′′ − 2𝑦′ − 15𝑦 = −15𝑥2 − 4𝑥 − 13

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 − 15 = 0 ⇒ 𝑟1 = −3, 𝑟2 = 5 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒−3𝑥 + 𝑐2𝑒

5𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 ⇒ 𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 𝑌′′𝑝 = 2𝐴 Reemplazando en la ecuación

2𝐴 − 4𝐴𝑥 − 2𝐵 − 15𝐴𝑥2 − 15𝐵𝑥 − 15𝐶 = −15𝑥2 − 4𝑥 − 13

−15𝐴𝑥2 − (4𝐴 + 15𝐵)𝑥 + 2𝐴 − 2𝐵 − 15𝐶 = −15𝑥2 − 4𝑥 − 13

{−15𝐴 = 15 −(4𝐴 + 15𝐵) = −4 2𝐴 − 2𝐵 − 15𝐶 = −13

⇒ {𝐴 = 1𝐵 = 0𝐶 = 1

, Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2 + 1

La solución estará dada por 𝑌 = 𝑌𝑔 + 𝑌𝑝 Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒−3𝑥 + 𝑐2𝑒

5𝑥 + 𝑥2 + 1

3) 𝑦𝐼𝑉 − 3𝑦′′ − 4𝑦 = −4𝑥5 + 390𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 3𝑟2 − 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = −2, 𝑟2 = 2 , 𝑟3 = 𝑖, 𝑟4 = −𝑖 la ecuación general de la ecuación

diferencial homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒−2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐4𝑠𝑒𝑛𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥5 + 𝐵𝑥4 + 𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥2 + 𝐸𝑥 + 𝐹

⇒ 𝑌′𝑝 = 5𝐴𝑥4 + 4𝐵𝑥3 + 3𝐶𝑥2 + 2𝐷𝑥 + 𝐸

𝑌′′𝑝 = 20𝐴𝑥3 + 12𝐵𝑥2 + 6𝐶𝑥 + 2𝐷

𝑌′′′𝑝 = 60𝐴𝑥2 + 24𝐵𝑥 + 6𝐶

𝑌𝐼𝑉𝑝 = 120𝐴𝑥 + 24𝐵

Reemplazando en la ecuación

120𝐴𝑥 + 24𝐵 − 3(20𝐴𝑥3 + 12𝐵𝑥2 + 6𝐶𝑥 + 2𝐷) − 4(𝐴𝑥5 + 𝐵𝑥4 + 𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥2 + 𝐸𝑥 + 𝐹)= −4𝑥5 + 390𝑥

{

−4𝐴 = −4

−4𝐵 = 0−60𝐴 − 4𝐶 = 0−36𝐵 − 4𝐶 = 0

120𝐴 − 18𝐶 − 4𝐸 = 39024𝐵 − 12𝐷 − 4𝐹 = 0

⇒ {𝐴 = 1𝐵 = −15

𝐵 = 𝐷 = 𝐸 = 𝐹 = 0

, Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥5 − 15𝑥3

La solución estará dada por 𝑌 = 𝑌𝑔 + 𝑌𝑝

Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒−2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐4𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥5 − 15𝑥3

4) 𝑦′′ + 3𝑦 = 𝑒𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 3𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = −3 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 ⇒ 𝑌′𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 ⇒ 𝑌′′𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 Reemplazando en la ecuación

𝐴𝑒𝑥 + 3𝐴𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝐴 =1

4, Por lo tanto 𝑌𝑝 =

𝑒𝑥

4


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥 +

𝑒𝑥

4

5) 𝑦′′ − 4𝑦′ = 𝑥𝑒4𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 4 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒4𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥

𝑌′𝑝 = (2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥 + 4 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥

𝑌′′𝑝 = 2𝐴𝑒4𝑥 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥 + 16 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥

𝑌′′′𝑝 = 2𝐴𝑒4𝑥 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥 + 16 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒4𝑥


(2𝐴 + 4𝐵)𝑒4𝑥 + 8𝐴𝑥𝑒4𝑥 = 𝑥𝑒4𝑥 ⇒ 𝐴 =1

8, 𝐵 =

1

−16 Por lo tanto 𝑌𝑝 = (

1

8𝑥2 −

1

16𝑥) 𝑒4𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒4𝑥+(

1

8𝑥2 −

1

16𝑥) 𝑒4𝑥

6) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 𝑖, 𝑟2 = −𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑌′𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥(−𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑌′′𝑝 = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥(−𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥)

Reemplazando y reduciendo en la ecuación

2𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝐴 = 𝐾, 𝐵 =−1

2 Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥 𝐾𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥

1

2𝑠𝑒𝑛𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥 𝐾𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥1

2𝑠𝑒𝑛𝑥

7) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 8𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 8 = 0 ⇒ 𝑟1 = 2 + 2𝑖, 𝑟2 = 2 − 2𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑌𝑝 = 𝑥𝑒𝑥2(𝐴𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛2𝑥)


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥+ 𝑥𝑒𝑥2(𝐴𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛2𝑥) 8) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇒ 𝑟1 = −1, 𝑟2 = 2 ,la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑒−2𝑥

𝑌′𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 − 2𝐵𝑒−2𝑥

𝑌′′𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 + 4𝐵𝑒−2𝑥 Reemplazando y reduciendo en la ecuación

𝐴𝑒𝑥 + 4𝐵𝑒−2𝑥 − 𝐴𝑒𝑥 + 2𝐵𝑒−2𝑥 − 𝐴𝑒𝑥 − 𝐵𝑒−2𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

−𝐴𝑒𝑥 + 5𝐵𝑒−2𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

⇒ 𝐴 = −1 , 𝐵 =1

5

Por lo tanto 𝑌𝑝 = −𝑒𝑥 +

1

5𝑒−2𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 − 𝑒𝑥 +1

5𝑒−2𝑥

9) 𝑦′′′ − 4𝑦′ = 𝑥𝑒2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 4𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 2 , 𝑟3 = −2, la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒2𝑥 + 𝑐3𝑒

−2𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒2𝑥 + 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐷𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥(𝐸𝑥2 + 𝐹𝑥 + 𝐺)

⇒ 𝑌′𝑝 = 2𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒2𝑥 + (2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒2𝑥 − 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐸𝑥2 + 2𝐹𝑥 + 𝐺

𝑌′′′𝑝 = 8𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒2𝑥 + 12(2𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒2𝑥 + 12𝐴𝑒2𝑥 + 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑥 + 6𝐸

Reemplazando en la ecuación e igualando los coeficientes se tiene:

{

12𝐴 + 8𝐵 = 0

16𝐴 = 15𝐶 = 1−5𝐷 = 0−12𝐸 = 1−8𝐹 = 0

6𝐸 − 4𝐺 = 0

⇒

{

𝐴 = 1 16⁄

𝐵 = 3 32⁄

𝐶 = 1 5⁄𝐷 = 𝐹 = 0𝐸 = −1 12⁄

𝐺 = −1 8⁄

, Por lo tanto 𝑌𝑝 =𝑒2𝑥

32(2𝑥2 − 3𝑥) +

𝑐𝑜𝑠𝑥

5−

𝑥3

12−

𝑥

8


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒2𝑥 + 𝑐3𝑒

−2𝑥 +𝑒2𝑥

32(2𝑥2 − 3𝑥) +

𝑐𝑜𝑠𝑥

5−

𝑥3

12−

𝑥

8

10) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 2𝑟 + 2 = 0 ⇒ 𝑟1 = −1 + 𝑖, 𝑟2 = −1 − 𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑒−𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥)

Como 𝑌𝑝 = 𝑥𝑒−𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒−𝑥

Reemplazando y reduciendo en la ecuación

⇒ 𝐴 = 0, 𝐵 =1

2 , 𝐶 = 1, 𝐷 = 0 Por lo tanto 𝑌𝑝 =

𝑥

2 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑒−𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥) +𝑥

2 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥

11) 𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑥2

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 1 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)=𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥

𝑌′𝑝 = 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶

𝑌′′𝑝 = 6𝐴𝑥 + 2𝐵


6𝐴𝑥 + 2𝐵 − 3𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 𝐶 = 𝑥2

−3𝐴𝑥2 + (6𝐴 − 2𝐵)𝑥 + 2𝐵 − 𝐶 = 𝑥2

⇒ 𝐴 =−1

3, 𝐵 = −1 , 𝐶 = −2 Por lo tanto 𝑌𝑝 = −

𝑥3

3− 𝑥2 − 2𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒𝑥 −

𝑥3

3− 𝑥2 − 2𝑥

12) 𝑦′′ − 4𝑦′ − 5𝑦 = 5𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 − 5 = 0 ⇒ 𝑟1 = 5, 𝑟2 = −1 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒5𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′𝑝 = 𝐴

𝑌′′𝑝 = 0


0 − 4𝐴 − 5(𝐴𝑥 + 𝐵) = 5𝑥

−5𝐴𝑥 − 4𝐴 − 5𝐵 = 5𝑥

⇒ 𝐴 = −1, 𝐵 =4

5 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = −𝑥 +

4

5


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒5𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑥 +4

5

13) 𝑦′′′ − 𝑦′ = 𝑥 + 1

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 𝑟 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = 1 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−𝑥 + 𝑐3𝑒

𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥

𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴

𝑌′′′𝑝 = 0


0 − 2𝐴𝑥 − 𝐵 = 𝑥 + 1

⇒ 𝐴 =−1

2, 𝐵 = −1 , Por lo tanto 𝑌𝑝 =

−1

2𝑥2 − 𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−𝑥 + 𝑐3𝑒

𝑥 −1

2𝑥2 − 𝑥

14) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 4𝑥 − 4

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = 2, 𝑟2 = 2 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑥𝑐2𝑒

2𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′𝑝 = 𝐴

𝑌′′𝑝 = 0


0 − 4𝐴 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 = 4𝑥 − 4

4𝐴𝑥+4𝐵 − 4𝐴 = 4𝑥 − 4

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑥𝑐2𝑒

2𝑥 + 𝑥

15) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 2(𝑥 + 1)2

Solución


homogénea es:


Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴


2𝐴 + 4𝐴𝑥 + 2𝐵 + 2𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 2(𝑥 + 1)2

𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 𝐶 = 0 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2


Es decir 𝑦 = 𝑒−𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑥2

16) 𝑦′′′ + 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟3 + 𝑟2 + 𝑟 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = −1, 𝑟2 = 𝑖, 𝑟3 = −𝑖 la ecuación general de la ecuación


𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛𝑥


𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴

𝑌′′′𝑝 = 0


0 + 2𝐴 + 2𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

𝐴𝑥2 + (2𝐴 + 𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 0, 𝐶 = −4 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2 − 4


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥

2 − 4

17) 𝑦𝐼𝑉 + 4𝑦′′ = 8(6𝑥2 + 5) Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟4 + 4𝑟2 = 0 ⇒ 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 0, 𝑟3 = 2𝑖 , 𝑟4 = −2𝑖 la ecuación general de la ecuación


𝑌𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐4𝑐𝑜𝑠2𝑥

Como 𝑌𝑝 = 𝑥2(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 𝐴𝑥4 + 𝐵𝑥3 + 𝐶𝑥2

𝑌′𝑝 = 4𝐴𝑥3 + 3𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥

𝑌′′𝑝 = 12𝐴𝑥2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶

𝑌′′′𝑝 = 24𝐴𝑥 + 6𝐵

𝑌𝐼𝑉 = 24𝐴 Reemplazando en la ecuación

4(6𝐴 + 12𝐴𝑥2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶) = 8(6𝑥2 + 5) 6𝐴 + 12𝐴𝑥2 + 6𝐵𝑥 + 𝐶 = 12𝑥2 + 10

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 0, 𝐶 = 4 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2(𝑥2 + 4)


Es decir 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥2(𝑥2 + 4)

18) 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = (2 + 𝑥)(2 − 𝑥) Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 3𝑟2 + 3𝑟 − 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = 1 la ecuación general de la ecuación


𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒𝑥


𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴

𝑌′′′𝑝 = 0

Reemplazando en la ecuación y comparando

0 − 6𝐴 + 6𝐴𝑥 + 3𝐵 − 𝐴𝑥2 − 𝐵𝑥 − 𝐶 = 4 − 𝑥2

−𝐴𝑥2 + (6𝐴 − 𝐵)𝑥 − 6𝐴 + 3𝐵 − 𝐶 = 4 − 𝑥2

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 6, 𝐶 = 8 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2 + 6𝑥 + 8


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒𝑥 + 𝑥2 + 6𝑥 + 8

19) 2𝑦′′ − 9𝑦′ + 4𝑦 = 18𝑥 − 4𝑥2

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 2𝑟2 − 9𝑟 + 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = 4, 𝑟2 =1

2 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒

12𝑥


𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴


4𝐴 − 18𝐴𝑥 − 9𝐵 + 4𝐴𝑥2 + 4𝐵𝑥 + 4𝐶 = 18𝑥 − 4𝑥2

4𝐴𝑥2 + (−18𝐴 + 4𝐵)𝑥 + 4𝐴 − 9𝐵 + 4𝐶=18𝑥 − 4𝑥2

⇒ 𝐴 = −1, 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, Por lo tanto 𝑌𝑝 = −𝑥2 + 1


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒

1

2𝑥 − 𝑥2 + 1

20) 𝑦𝐼𝑉 − 2𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 − 5

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 2𝑟2 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = −1, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = −1 , 𝑟4 = 1 la ecuación general de la ecuación



𝑥 + 𝑐3𝑒−𝑥 + 𝑐4𝑥𝑒

−𝑥


𝑌′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑌′′𝑝 = 2𝐴

𝑌′′′𝑝 = 0

𝑌𝐼𝑉 = 0 Reemplazando en la ecuación

0 − 4𝐴 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 − 5

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 4𝐴 = 𝑥2 − 5

⇒ 𝐴 = 1, 𝐵 = 0, 𝐶 = −1 , Por lo tanto 𝑌𝑝 = 𝑥2 − 1



𝑥 + 𝑐3𝑒−𝑥 + 𝑐4𝑥𝑒

−𝑥 + 𝑥2 − 1

II) VARIACION DE PARAMETROS


1) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución



La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑢2𝑠𝑒𝑛𝑥, tal que

{𝑢1′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑢2

′ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢2

′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|

|𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −1 ⇒ 𝑢1

′ = −1 ⇒ 𝑢1 = −𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

|


|=

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑡𝑔𝑥 ⇒ 𝑢2

′ = 𝑐𝑡𝑔𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)

Entonces la solución particular será:

𝑦𝑝 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥) 2)𝑦′′ + 4𝑦 = 4𝑠𝑒𝑐2𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = 2𝑖, 𝑟2 = −2𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑢2𝑠𝑒𝑛2𝑥, tal que

{𝑢1′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑢2

′ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0

−2𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑢2

′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐2𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛2𝑥

4𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥|

|𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥

−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=0 − 4𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥

2= −2𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ⇒ 𝑢1 = 4𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠2𝑥 0

−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 4𝑠𝑒𝑐2𝑥|


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=𝑐𝑜𝑠2𝑥. 4𝑠𝑒𝑐2𝑥

2= 2𝑠𝑒𝑐2𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 2 − 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 ⇒ 𝑢2

= 4𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥


𝑦𝑝 = 4𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (4𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥)𝑠𝑒𝑛2𝑥, Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥+4𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (4𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥)𝑠𝑒𝑛2𝑥

3)𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥

|


|=

𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑐𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)


𝑦𝑝 = −𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) 4)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑐𝑡𝑔𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

|


|=

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑡𝑔2𝑥 ⇒ 𝑢2 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥


𝑦𝑝 = −𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. (−𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. (−𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥) 5)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑡𝑔

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥

|


|=

𝑐𝑡𝑔𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑡𝑔𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥)


𝑦𝑝 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥) 6)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑡𝑎𝑛𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥

|


|=

𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 ⇒ 𝑢2 = 𝑥


𝑦𝑝 = −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥, Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

7)𝑦′′ + 4𝑦′ = 4𝑐𝑡𝑔2𝑥

Solución


es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑢2𝑠𝑒𝑛2𝑥, tal que

{𝑢1′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑢2

′ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0

−2𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑢2

′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑐𝑡𝑔2𝑥 De donde

𝑢1′ =


4𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥|


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=0 − 4𝑐𝑡𝑔2𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥

2= −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑢2′ =


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 4𝑐𝑡𝑔2𝑥|


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=𝑐𝑜𝑠2𝑥. 4𝑐𝑡𝑔2𝑥

2= 2𝑐𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥)


𝑦𝑝 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥) 8)𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución


homogénea es:


La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑢2𝑒

−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥, tal que

{𝑢′1𝑒

−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑢′2𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

−2𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑢2

′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑐𝑡𝑔2𝑥 De donde

𝑢1′ =


4𝑐𝑡𝑔2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥|


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=0 − 4𝑐𝑡𝑔2𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥

2= −2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑢2′ =


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 4𝑐𝑡𝑔2𝑥|


−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥|=𝑐𝑜𝑠2𝑥. 4𝑐𝑡𝑔2𝑥

2= 2𝑐𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥)


𝑦𝑝 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2𝑥) 9)𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 𝑒−2𝑒−2𝑥

Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4𝑟 + 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = −2, 𝑟2 = −2 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒−2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

−2𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑒−2𝑥 + 𝑢2𝑥𝑒

−2𝑥 , tal que

{𝑢′1𝑒

−2𝑥 + 𝑢′2𝑥𝑒−2𝑥 = 0

−2𝑢1′ 𝑒−2𝑥 + 𝑢2

′ (−𝑒−2𝑥𝑥

2− 𝑒−2𝑥) = 𝑒−2𝑒−2𝑥

De donde

𝑢1′ =

|0 𝑥𝑒−2𝑥

𝑒−2𝑒−2𝑥 −𝑒−2𝑥𝑥2

− 𝑒−2𝑥|

|𝑒−2𝑥 𝑥𝑒−2𝑥

−2𝑒−2𝑥 −𝑒−2𝑥𝑥2

− 𝑒−2𝑥|

=0 − 𝑥𝑒−2𝑥𝑒−2𝑒−2𝑥

𝑒−2𝑥 (−𝑒−2𝑥𝑥2

− 𝑒−2𝑥) + 2𝑒−2𝑥𝑥𝑒−2𝑥

𝑢2′ =

| 𝑒−2𝑥 0

−2𝑒−2𝑥 𝑒−2𝑒−2𝑥|

|𝑒−2𝑥 𝑥𝑒−2𝑥

−2𝑒−2𝑥 −𝑒−2𝑥𝑥2

− 𝑒−2𝑥|

=𝑒−2𝑥𝑒−2𝑒−2𝑥

𝑒−2𝑥 (−𝑒−2𝑥𝑥2

− 𝑒−2𝑥) + 2𝑒−2𝑥𝑥𝑒−2𝑥


𝑦𝑝 = 𝑒−2𝑥 − 𝑙𝑛𝑥𝑒−2𝑥, Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒−2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

−2𝑥+𝑒−2𝑥 − 𝑙𝑛𝑥𝑒−2𝑥

10)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑡𝑎𝑛2𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛2𝑥

|


|=

𝑡𝑎𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑡𝑎𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝑥


𝑦𝑝 = −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥, Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

11)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

|


|=

𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥


𝑦𝑝 = −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) 12)𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2

Solución


es:


𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑒𝑥 + 𝑢2𝑥𝑒

𝑥 , tal que

{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒𝑥𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ (𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥) = 𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒𝑥𝑥

𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2 𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥

|=0 − 𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2𝑒𝑥𝑥

(𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥=−(𝑒𝑥 + 1)2𝑒𝑥𝑥

𝑥 − 2

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2

|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥

|=

𝑒2𝑥(𝑒𝑥 + 1)2𝑒𝑥

(𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥=(𝑒𝑥 + 1)2𝑒𝑥

𝑥 − 2


𝑦𝑝 = 𝑒𝑥𝑙𝑛(1 + 𝑒𝑥)Tal que



𝑥 + 𝑒𝑥𝑙𝑛(1 + 𝑒𝑥) 13)𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1

Solución


es:

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑒𝑥 + 𝑢2𝑒

2𝑥 , tal que

{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒2𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 2𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒𝑥

𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1 2𝑒𝑥|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2𝑒𝑥|

=0 − 𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1𝑒𝑥

(2𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥= −(𝑒2𝑥 + 1)−1𝑒𝑥

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1

|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2𝑒𝑥|

=𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 1)−1𝑒𝑥

(𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥= (𝑒2𝑥 + 1)−1𝑒𝑥


𝑦𝑝 = 𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒−𝑥) −𝑒2𝑥

2𝑙𝑛(1 + 𝑒−2𝑥)Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥+𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒−𝑥) −𝑒2𝑥

2𝑙𝑛(1 + 𝑒−2𝑥)

14)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐3𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐3𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐3𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐3𝑥

|


|=

𝑠𝑒𝑐3𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑠𝑒𝑐3𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥


𝑦𝑝 =𝑠𝑒𝑐𝑥

2 Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 +𝑠𝑒𝑐𝑥

2

15)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑡𝑎𝑛𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥 ⇒ 𝑢1 = −𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥

|


|=

𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑢2 = −𝑐𝑜𝑠𝑥


𝑦𝑝 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥), Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥) 16)𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥) Solución

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:


−𝑥


−𝑥, tal que

{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑒𝑥 − 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥) De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒−𝑥

𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥) −𝑒−𝑥|

|𝑒𝑥 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥|

=𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥). 𝑒−𝑥

−2= −

𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥). 𝑒−3𝑥

2

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥)

|



=𝑒−2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥)𝑒𝑥

−2= −

𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒−𝑥)

2⇒ 𝑢1 = −

𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)

2

Integrando y reemplazando en 𝑦𝑝 se obtiene:


𝑦𝑝 = −𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥 Tal que



−𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥

17)𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥) Solución


es:


2𝑥


2𝑥 , tal que

{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒2𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 2𝑒2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥) De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒𝑥

𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥) 2𝑒𝑥|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2𝑒𝑥|

=0 − 𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)𝑒𝑥

(2𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥= −𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)𝑒−𝑥 ⇒ 𝑢1 = 𝑠𝑒𝑛(𝑒

−𝑥)

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)

|

|𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥 2𝑒𝑥|

=𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)𝑒𝑥

(𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥)𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥= 𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)𝑒−𝑥 ⇒ 𝑢2 = −𝑠𝑒𝑛(𝑒

−𝑥)


𝑦𝑝 = −𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥)Tal que



2𝑥−𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑒−𝑥) 18)𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛2𝑥

Solución



−𝑥


{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 0

𝑢1′ 𝑒𝑥 − 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒−𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 −𝑒−𝑥|



=𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑒−𝑥

−2= −

𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑒−𝑥

2

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥

|


𝑒𝑥 −𝑒−𝑥|=𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒𝑥

−2= −

𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒𝑥

2



𝑦𝑝 = −2

5−

𝑠𝑒𝑛2𝑥

5, Tal que



−𝑥 −2

5−

𝑠𝑒𝑛2𝑥

5

19)𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑥2𝑒𝑥2

2

Solución



−𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑒−𝑥 + 𝑢2𝑒

𝑥, tal que

{𝑢1′ 𝑒𝑥 + 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 0

𝑢1′𝑒𝑥 − 𝑢2

′ 𝑒−𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥2

2

De donde

𝑢1′ =

|0 𝑒−𝑥

𝑥2𝑒𝑥2

2 −𝑒−𝑥|


𝑒𝑥 −𝑒−𝑥|=𝑥2𝑒

𝑥2

2 . 𝑒−𝑥

−2= −

𝑥2𝑒𝑥2

2−𝑥

2

𝑢2′ =

|𝑒𝑥 0

𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑥2

2|


𝑒𝑥 −𝑒−𝑥|=𝑥2𝑒

𝑥2

2 𝑒𝑥

−2= −

𝑥2𝑒𝑥2

2+𝑥

2



𝑦𝑝 = 𝑒𝑥2

2 , Tal que



−𝑥+𝑒𝑥2

2

20)𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

Solución







′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 De donde

𝑢1′ =

|0 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥|


|=

0 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑢2′ =

|𝑐𝑜𝑠𝑥 0−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

|


|=

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥)2


𝑦𝑝 =𝑥2

4𝑠𝑒𝑛𝑥 +

𝑥

4𝑐𝑜𝑠𝑥Tal que


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 +𝑥2

4𝑠𝑒𝑛𝑥 +

𝑥

4𝑐𝑜𝑠𝑥

III) ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER


1)𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 0

Solución

Sea 𝑥 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥, además 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando en la ecuación diferencial

𝑒2𝑡𝑒−2𝑡 (𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−𝑑𝑦

𝑑𝑡) + 𝑒𝑡𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 𝑦 = 0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea: 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑡 + 𝑐2𝑒

−𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑙𝑛𝑥 = 𝑐1𝑥 + 𝑐21

𝑥

2) 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0

Solución

Sea: 𝑥 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥, además 𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)




𝑑𝑡) + 2𝑒𝑡𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 2𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 2𝑦 = 0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 𝑟 − 2 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −2 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

−2𝑙𝑛𝑥 = 𝑐1𝑥 + 𝑐21

𝑥2

3) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 9𝑦 = 0

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 9𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 9 = 0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:


es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛3𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(3𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥) 4) 4𝑥2𝑦′′ − 8𝑥𝑦′ + 9𝑦 = 0

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)


4𝑒2𝑡𝑒−2𝑡 (𝑑2𝑦


𝑑𝑡) − 8𝑒𝑡𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 9𝑦 = 0

4𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 12

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 9𝑦 = 0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 4𝑟2 − 12𝑟 + 9 = 0 ⇒ 𝑟1 =3

2, 𝑟2 = 4 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒3

2𝑡 + 𝑐2𝑒

4𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒32𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

4𝑙𝑛𝑥 = 𝑐1𝑥32 + 𝑐2𝑥

4

5) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 7𝑦 = 0

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡− 7𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑𝑦


Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 7 = 0 ⇒ 𝑟1 =3

2, 𝑟2 = 4 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒3

2𝑡 + 𝑐2𝑒

4𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥


4𝑙𝑛𝑥 = 𝑐1𝑥32 + 𝑐2𝑥

4

6) 𝑥3𝑦′′′− 2𝑥2𝑦′′ − 17𝑥𝑦′ − 7𝑦 = 0

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡) ;

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3= 𝑒−3𝑡 (

𝑑3𝑦

𝑑𝑡3−

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+

𝑑𝑦

𝑑𝑡)



𝑑𝑡3−𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+𝑑𝑦

𝑑𝑡) − 2𝑒2𝑡𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦



𝑑𝑦

𝑑𝑡− 7𝑦 = 0

𝑑3𝑦

𝑑𝑡3− 3

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 18

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 7𝑦 = 0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 3𝑟2 − 18𝑟 − 7 = 0 ⇒ 𝑟1 = 6.125, 𝑟2 = −0.42289, 𝑟3 = −2.7023 la ecuación general

de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒6.125𝑡 + 𝑐2𝑒

−0.4228𝑡 + 𝑐3𝑒−2.7023𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒6.125𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

−0.4228𝑙𝑛𝑥 + 𝑐3𝑒−2.7023𝑙𝑛𝑥

𝑦 = 𝑐1𝑥6.125 + 𝑐2𝑥

−0.42289 + 𝑐3𝑥−2.7023

7)(𝑥 + 2)2𝑦′′ + 3(𝑥 + 2)𝑦′ − 3𝑦 = 0

Solución

Sea 𝑥 + 2 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2), además 𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡− 3𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 2

𝑑𝑦


Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 2𝑟 + 3 = 0 ⇒ 𝑟1 = −3, 𝑟2 = 1 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−3𝑡 + 𝑐2𝑒

𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 + 2)

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−3𝑙𝑛(𝑥+2)𝑡 + 𝑐2𝑒

𝑙𝑛(𝑥+2)

𝑦 =𝑐1

(𝑥 + 2)3+ 𝑐2(𝑥 + 2)

8) (2𝑥 + 1)2𝑦′′ − 2(2𝑥 + 1)𝑦′ + 4𝑦 = 0

Solución

Sea 2𝑥 + 1 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛(2𝑥 + 1), además 2𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)


2𝑒2𝑡𝑒−2𝑡 (𝑑2𝑦



𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 0

2𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑𝑦


Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 + 2 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1 + 𝑖, 𝑟2 = 1 − 𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐2𝑒

𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0Pero 𝑡 = 𝑙𝑛(2𝑥 + 1)

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑙𝑛(2𝑥+1)𝑠𝑒𝑛𝑙𝑛(2𝑥 + 1) + 𝑐2𝑒

𝑙𝑛(2𝑥+1)𝑐𝑜𝑠𝑙𝑛(2𝑥 + 1) = 0

𝑦 = 𝑐1(2𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑛𝑙𝑛(2𝑥 + 1) + 𝑐2(2𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠𝑙𝑛(2𝑥 + 1) 9) (𝑥 − 1)2𝑦′′ + 8(𝑥 − 1)𝑦′ + 12𝑦 = 0

Solución

Sea 𝑥 − 1 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 − 1), además 𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 12𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 4

𝑑𝑦


Es decir:


homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−3𝑡 + 𝑐2𝑒

−4𝑡 = 0Pero 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 − 1)

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−3𝑙𝑛(𝑥−1) + 𝑐2𝑒

−4𝑙𝑛(𝑥−1)

𝑦 = 𝑐1(𝑥 − 1)−3 + 𝑐2(𝑥 − 1)

−4

10) (𝑥 − 2)2𝑦′′ + 5(𝑥 − 2)𝑦′ + 8𝑦 = 0

Solución

Sea 𝑥 − 2 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 − 2), además 𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 8𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 4

𝑑𝑦


Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4𝑟 + 8 = 0 ⇒ 𝑟1 = −2 + 2𝑖, 𝑟2 = −2 + 2𝑖 la ecuación general de la ecuación


𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0Pero 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 − 2)

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑙𝑛(𝑥−2)𝑠𝑒𝑛(2𝑙𝑛(𝑥 − 2)) + 𝑐2𝑒

−2𝑙𝑛(𝑥−2)𝑐𝑜𝑠2(𝑙𝑛(𝑥 − 2))

𝑦 = 𝑐1(𝑥 − 2)−2 𝑠𝑒𝑛(2𝑙𝑛(𝑥 − 2)) + 𝑐2(𝑥 − 2)

−2 𝑐𝑜𝑠2(𝑙𝑛(𝑥 − 2))

11) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥(6 − 𝑙𝑛𝑥) Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 = 𝑒𝑡(6 − 𝑡)

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑦 = 𝑒𝑡(6 − 𝑡) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 𝑖, 𝑟2 = −𝑖 𝑌𝑔 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑡

Como 𝑌𝑝 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒𝑡

𝑌′𝑝 = 𝐴𝑒𝑡 + 2(𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒𝑡

𝑌′′𝑝 = 2𝐴𝑒𝑡 + 2(𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒𝑡


2𝐴𝑒𝑡 + 2(𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒𝑡+(𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒𝑡 = 𝑒𝑡(6 − 𝑡) 2𝐴𝑡 + 2𝐴 + 2𝐵 = 6 − 𝑡

⇒ 𝐴 =−1

2, 𝐵 =

7

2, Por lo tanto 𝑌𝑝 = −

𝑡

2+

7

2


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑡

2+

7

2

la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑡

2+7

2

𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) −𝑙𝑛𝑥

2+7

2

12) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 9𝑦 = 𝑥3 + 1

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡− 9𝑦 = 𝑒3𝑡 + 1

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 9𝑦 = 𝑒3𝑡 + 1 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 9 = 0 ⇒ 𝑟1 = 3, 𝑟2 = −3

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒3𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑒3𝑡 + 𝐵

𝑌′𝑝 = 3𝐴𝑒3𝑡

𝑌′′𝑝 = 9𝐴𝑒3𝑡


9𝐴𝑒3𝑡 − 𝐴𝑒3𝑡 + 𝐵 = 𝑒3𝑡 + 1

8𝐴𝑒3𝑡 + 𝐵 = 𝑒3𝑡 + 1

⇒ 𝐴 =1

8, 𝐵 = 1, Por lo tanto 𝑌𝑝 =

1

8𝑒3𝑡 + 1


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒3𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡+1

8𝑒3𝑡 + 1


𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒3𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡+1

8𝑒3𝑡 + 1


−3𝑙𝑛𝑥+1

8𝑒3𝑙𝑛𝑥 + 1

𝑦 = 𝑐1𝑥3+𝑐2𝑥

−3+1

8𝑥3 + 1

13) 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 2𝑥

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)




𝑑𝑡) − 𝑒𝑡𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 = 2𝑒𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 2𝑦′ + 𝑦 = 2𝑒𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 1

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒

𝑡

Como 𝑌𝑝 = 𝑒𝑡𝐴𝑡

𝑌′𝑝 = 𝐴𝑒𝑡𝑡 − 𝐴𝑒𝑡

𝑌′′𝑝 = 𝐴𝑒𝑡𝑡 − 2𝐴𝑒𝑡


𝐴𝑒𝑡𝑡 − 2𝐴𝑒𝑡 − 2(𝐴𝑒𝑡𝑡 − 𝐴𝑒𝑡) + 𝑒𝑡𝐴𝑡 = 2𝑒𝑡

𝐴𝑒𝑡 = 2𝑒𝑡 ⇒ 𝐴 = 2, Por lo tanto 𝑌𝑝 = 2𝑒𝑡𝑡


Es decir 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒

𝑡 + 2𝑒𝑡𝑡 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑙𝑛𝑥𝑒

𝑙𝑛𝑥+2𝑒𝑙𝑛𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑙𝑛𝑥 + 2𝑥𝑙𝑛𝑥

14) 𝑥2𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑙𝑛𝑥

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑦 = 2𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑦 = 2𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:


homogénea es:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡

La solución particular será

𝑦𝑝 = 𝐴𝑡 + 𝐵

𝑦′𝑝 = 𝐴

𝑦′′𝑝 = 0


0 + 3𝐴 + 2 𝐴𝑡 + 2𝐵 = 2𝑡

⇒ 𝑦𝑝= 𝑡 −3

2

𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡 + 𝑡 −3

2

Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑙𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

−2𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 −3

2

𝑦 = 𝑐11

𝑥+ 𝑐2

1

𝑥2+ 𝑙𝑛𝑥 −

3

2

15) 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ − 3𝑦 = −(16𝑙𝑛𝑥)𝑥−1

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)




𝑑𝑡) − 𝑒𝑡𝑒−𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 3𝑦 = −(16𝑡)𝑒−𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 3𝑦 = −(16𝑡)𝑒−𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 + 3 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1 − √8𝑖, 𝑟2 = 1 + √8𝑖 la ecuación general de la ecuación


𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛√8𝑥 + 𝑐2𝑒

𝑡𝑐𝑜𝑠√8


𝑦𝑝 = 𝑒−𝑡(𝐴𝑡 + 𝐵)

𝑦′𝑝 = 𝐴𝑒−𝑡𝑡 + 𝐴𝑒−𝑡 + 𝐵𝑒−𝑡

𝑦′′𝑝 = 𝐴𝑒−𝑡𝑡 + 2𝐴𝑒−𝑡 + 𝐵𝑒−𝑡


𝐴𝑒−𝑡𝑡 + 2𝐴𝑒−𝑡 + 𝐵𝑒−𝑡 ⇒ 𝑦𝑝= 𝑡 −3

2


−2𝑡 + 𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥



2

𝑦 = 𝑐11

𝑥+ 𝑐2

1

𝑥2+𝑙𝑛𝑥

𝑥+2𝑙𝑛2𝑥

2

16) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 9𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥3) Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 9𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 9𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 9 = 0 ⇒ 𝑟1 = −3𝑖, 𝑟2 = 3𝑖 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea

es:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠3𝑡


𝑦𝑝 = 𝐴𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡

𝑦′𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 3𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑡

𝑦′′𝑝 = 3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑡 + 3𝐴𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 9𝐴𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡


3𝐴𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 3𝐴𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 9𝐴𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 9𝐴𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 = 𝑠𝑒𝑛3𝑡

⇒ 𝑦𝑝=𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡

𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(3𝑙𝑛𝑥) + 𝑙𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥))

17) 𝑥2𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑙𝑛2𝑥 + 12𝑥

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑦 = 2𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑦 = 2𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:


homogénea es:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡


𝑦𝑝 = 𝐴𝑡 + 𝐵

𝑦′𝑝 = 𝐴

𝑦′′𝑝 = 0


0 + 3𝐴 + 2 𝐴𝑡 + 2𝐵 = 2𝑡

⇒ 𝑦𝑝= 𝑡 −3

2


−2𝑡 + 𝑡 −3

2

Pero 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥



2

𝑦 = 𝑐11

𝑥+ 𝑐2

1

𝑥2+ 𝑙𝑛𝑥 −

3

2

18) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4𝑦′ + 4𝑦 = 𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 4 = 0 ⇒ 𝑟1 = 2, 𝑟2 = 2

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒2𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒

2𝑡

Como 𝑌𝑝 = 𝐴𝑙𝑛𝑥 + 𝐵

𝑌′𝑝 = 𝐴1

𝑥

𝑌′′𝑝 = 𝐴−1

𝑥2


𝐴−1

𝑥2∓4𝐴

1

𝑥

2𝐴𝑡 + 2𝐴 + 2𝐵 = 6 − 𝑡

⇒ 𝐴 =−1

2, 𝐵 =

7


𝑡

2+

7

2



2+

7

2



2+7

2


2+7

2

19) (𝑥 + 1)2𝑦′′ − 3(𝑥 + 1)𝑦′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)3

Solución

Sea 𝑥 + 1 = 𝑒𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1), además 𝑑𝑦


𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 𝑒3𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 𝑒3𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:


es:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒2𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒

2𝑡

𝑦𝑝 = 𝐴𝑒3𝑡

𝑦′𝑝= 3𝐴𝑒3𝑡

𝑦′′𝑝= 9𝐴𝑒3𝑡


9𝐴𝑒3𝑡 − 12𝐴𝑒3𝑡 + 𝐴𝑒3𝑡 = 𝑒3𝑡

−2𝐴𝑒3𝑡 = 𝑒3𝑡 ⇒ 𝐴 =1

2

Por la tanto 𝑦𝑝 =1

2𝑒3𝑡

Pero 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒2𝑙𝑛(𝑥+1), + 𝑐2𝑙𝑛(𝑥 + 1)𝑒

2𝑙𝑛(𝑥+1), +1

2𝑒3𝑙𝑛(𝑥+1),

𝑦 = 𝑐1(𝑥 + 1)2 + 𝑐2𝑙𝑛(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

2 +1

2(𝑥 + 1)3

20) 𝑥2𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑙𝑛𝑥

Solución



𝑑𝑦

𝑑𝑡;𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑒−2𝑡 (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2−

𝑑𝑦

𝑑𝑡)





𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑦 = 3𝑒𝑡 + 2𝑡

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 3𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑒𝑡 + 2𝑡 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes

Es decir:

Sea 𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 3𝑟 + 2 = 0 ⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2

𝑌𝑔 = 𝑐1𝑒𝑡 + 𝑐2𝑒

2𝑡

Como 𝑌𝑝 = 3𝐴𝑡𝑒𝑡 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝑌′𝑝 = 3𝐴 𝑡𝑒𝑡

𝑌′′𝑝 = 𝐴−1

𝑥2


𝐴−1

𝑥2∓4𝐴

1

𝑥

2𝐴𝑡 + 2𝐴 + 2𝐵 = 6 − 𝑡

⇒ 𝐴 =−1

2, 𝐵 =

7


𝑡

2+

7

2



2+

7

2



2+7

2


2+7

2

OPERADORES DIFERENCIALES

I) ECUACION LINEAL HOMOGENEA

RESOLVER

1)𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 6𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 𝑟 − 6 = 0 (𝑟 − 2)(𝑟 + 3) = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = −3


−3𝑥

2) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3−

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 12

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Solución:

𝑦′′′ − 𝑦′′ − 12𝑦′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 𝑟2 − 12𝑟 = 0 (𝑟 − 4)(𝑟 + 3)(𝑟) = 0

𝑟1 = 4, 𝑟2 = −3, 𝑟3 = 0

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒−3𝑥 + 𝑐3𝑒

4𝑥

3) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 6𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 5𝑦′ − 6 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 𝑟2 − 12𝑟 = 0 (𝑟 − 2)(𝑟 + 1)(𝑟 + 3) = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = −3


−1𝑥 + 𝑐3𝑒−3𝑥

4)(𝐷3 − 3𝐷2 + 3𝐷 − 1)𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 3𝑟2 + 3𝑟 − 1 = 0 (𝑟 − 1)(𝑟 − 1)(𝑟 − 1) = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = 1

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒𝑥

5)(𝐷4 − 6𝐷3 + 5𝐷2 − 24𝐷 − 36)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝐼𝑉 − 6𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 24𝑦′ − 36𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 6𝑟3 + 5𝑟2 − 24𝑟 − 36 = 0

(𝑟 + 1)(𝑟 − 6)(𝑟2 − 13 + 6) = 0

𝑟1 = −1, 𝑟2 = 6, 𝑟3 =1

2+√23

2𝑖, 𝑟4 =

1

2−√23

2𝑖

𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒

6𝑥 + 𝑐3𝑒12𝑥𝑠𝑒𝑛 (

√23

2𝑥) + 𝑐4𝑒

12𝑥𝑐𝑜𝑠 (

√23

2𝑥)

6) (𝐷4 − 𝐷3 − 9𝐷2 − 11𝐷 − 4)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝐼𝑉 − 𝑦′′′ − 9𝑦′′ − 11𝑦′ − 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 𝑟3 − 9𝑟2 − 11𝑟 − 4 = 0 (𝑟 + 1)(𝑟 − 4)(𝑟 + 1)(𝑟 + 1) = 0

𝑟1 = −1, 𝑟2 = 4, 𝑟3 = −1, 𝑟4 = −1

𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒−𝑥 + 𝑐4𝑒

4𝑥

7)(𝐷2 − 2𝐷 + 10)𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′ − 2𝑦′ + 10𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 + 10 = 0

𝑟1 = 1 + 3𝑖, 𝑟2 = 1 − 3𝑖 𝑦 = 𝑐1𝑒

𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐2𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

8)(𝐷3 + 4𝐷)𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′′ + 4𝑦′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 + 4𝑟 = 0

(𝑟)(𝑟2 + 4) = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 2𝑖, 𝑟3 = −2𝑖 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐3𝑐𝑜𝑠2𝑥

9) (𝐷4 + 𝐷3 − 2𝐷2 + 𝐷 + 3)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝐼𝑉 − 𝑦′′′ − 9𝑦′′ − 11𝑦′ − 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 𝑟3 − 9𝑟2 − 11𝑟 − 4 = 0 (𝑟 + 1)(𝑟 − 4)(𝑟 + 1)(𝑟 + 1) = 0

𝑟1 = −1, 𝑟2 = 4, 𝑟3 = −1, 𝑟4 = −1

𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒−𝑥 + 𝑐4𝑒

4𝑥

10) (𝐷4 + 5𝐷2 − 36)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝐼𝑉 + 5𝑦′′− 36 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟4 + 5𝑟2 − 36 = 0

(𝑟2 + 9)(𝑟2 − 4) = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = −2, 𝑟3 = −3𝑖, 𝑟4 = 3𝑖 𝑦 = 𝑐1𝑒

2𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐4𝑐𝑜𝑠3𝑥

11)(𝐷2 − 2𝐷 + 5)2 𝑦 = 0

12) (𝐷2 + 2𝐷 − 15)𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′ + 2𝑦′ − 15𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 2𝑟 − 15 = 0

𝑟1 = 3, 𝑟2 = −5


−5𝑥

13) (𝐷3 + 𝐷2 − 2𝐷)𝑦 = 0

Solución:

𝑦′′′ + 𝑦′′ − 2𝑦′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 + 𝑟2 − 2𝑟 = 0

(𝑟)(𝑟 − 1)(𝑟 + 2) = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = −2

𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒𝑥 + 𝑐3𝑒

−2𝑥

14) (𝐷4 − 6𝐷3 + 13𝐷2 − 12𝐷 + 4)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝐼𝑉 − 6𝑦′′′ + 13𝑦′′ − 12𝑦′ + 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟4 − 6𝑟3 + 13𝑟2 − 12𝑟 + 4 = 0 (𝑟 − 1)(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)(𝑟 − 2) = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = 2, 𝑟4 = 2

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑥𝑒

2𝑥

15)(𝐷6 + 9𝐷4 + 24𝐷2 + 16)𝑦 = 0

Solución:

𝑦𝑉𝐼 + 9𝑦𝐼𝑉 + 24𝑦′′ + 16𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟6 + 9𝑟4 + 24𝑟2 + 16 = 0

(𝑟2 + 1)(𝑟2 + 4)(𝑟2 + 4) = 0

𝑟1 = 𝑖, 𝑟2 = −𝑖, 𝑟3 = 2𝑖,𝑟4 = −2𝑖, 𝑟5 = 2𝑖, 𝑟6 =–2𝑖 𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐5𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐6𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 II) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

RESOLVER

1)(𝐷2 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 𝑒𝑥

Solución:

𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 3𝑟 + 2 = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = 1

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 Calculando la solución particular

𝑦𝑝 =1

𝐹(𝐷)𝑒𝛼𝑥 =

1

𝐹(𝛼)𝑒𝑥 =

𝑒𝑥

(𝐷 − 2)(𝐷 − 1)=

1

(𝐷 − 2)[

𝑒𝑥

(𝐷 − 1)]

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥∫𝑒𝑥∫𝑒−𝑥𝑒𝑥 (𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥∫𝑒𝑥𝑥𝑑𝑥

𝑦𝑝 = −𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥

2) (𝐷3 + 3𝐷2 − 4)𝑦 = 𝑥𝑒−2𝑥

Solución:

𝑦′′′ + 3𝑦′′ − 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 + 3𝑟2 − 4 = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = −2, 𝑟3 = −2


−2𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒−2𝑥

Calculando la solución particular

𝑦𝑝 ==𝑥𝑒−2𝑥

(𝐷 − 1)(𝐷 + 2)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒−3𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒2𝑥𝑥𝑒−2𝑥 (𝑑𝑥)3

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒−3𝑥∫𝑥2

2(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒−3𝑥𝑥

6

3

𝑑𝑥

𝑦𝑝 = −1

18(𝑥3 + 𝑥2)𝑒−2𝑥



−2𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒−2𝑥 −

1

18(𝑥3 + 𝑥2)𝑒−2𝑥

3) (𝐷2 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 𝑒5𝑥

Solución:

𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 3𝑟 + 2 = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = 1


2𝑥


𝑦𝑝 =𝑒5𝑥

(𝐷 − 2)(𝐷 − 1)=

𝑒5𝑥

(5 − 2)(5 − 1)=𝑒5𝑥

12



2𝑥 +𝑒5𝑥

12

4) (𝐷2 + 5𝐷 + 4)𝑦 = 3 − 2𝑥

Solución:

𝑦′′ + 5𝑦′ + 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 5𝑟 + 4 = 0

𝑟1 = −4, 𝑟2 = −1

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒−4𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥


𝑦𝑝 =3 − 2𝑥

(𝐷 + 4)(𝐷 + 1)

𝑦𝑝 = 𝑒−4𝑥∫𝑒−3𝑥∫𝑒𝑥(3 − 2𝑥) (𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 =2𝑒𝑥

5−9𝑒4𝑥

16


𝑦 = 𝑐1𝑒−4𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥+2𝑒𝑥

5−

9𝑒4𝑥

16

5) (𝐷3 − 5𝐷2 + 8𝐷 − 4)𝑦 = 𝑒2𝑥

Solución:

𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 8𝑦′ − 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 5𝑟2 + 8𝑟 − 4 = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2, 𝑟3 = 2


2𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒2𝑥


𝑦𝑝 ==𝑒2𝑥

(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)(𝐷 − 2)

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒2𝑥𝑒−2𝑥 (𝑑𝑥)3

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒𝑥∫𝑥2

2(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒𝑥𝑥

6

3

𝑑𝑥

𝑦𝑝 = (𝑥2

2− 𝑥 −

1

2) 𝑒−2𝑥



2𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒2𝑥 + (

𝑥2

2− 𝑥 −

1

2) 𝑒−2𝑥

6) (𝐷2 + 9)𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

Solución:

𝑦′′ + 9𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 5𝑟 + 4 = 0

𝑟1 = −3𝑖, 𝑟2 = 3𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠3𝑥


𝑦𝑝 =𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐷2 + 9

𝑦𝑝 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐷2 + 9−

2𝐷

𝐷4 + 18𝐷2 + 81𝑐𝑜𝑠𝑥


8−

2𝐷

1 − 18 + 81


8−𝑠𝑒𝑛𝑥

64


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠3𝑥 +𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

8−𝑠𝑒𝑛𝑥

64

7) (𝐷2 + 4)𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

Solución:

𝑦′′ + 4𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4 = 0

𝑟1 = −2𝑖, 𝑟2 = 2𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥


𝑦𝑝 =𝑥

4𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −

𝜋

2) =

𝑥

4𝑠𝑒𝑛𝑥


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +𝑥

4𝑠𝑒𝑛𝑥

8) (𝐷2 − 9𝐷 + 18)𝑦 = 𝑒𝑒−3𝑥

Solución:

𝑦′′ − 9𝑦′ + 18𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 9𝑟 + 18 = 0

𝑟1 = 3, 𝑟2 = 6

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑒

6𝑥


𝑦𝑝 =𝑒𝑒

−3𝑥

(𝐷 − 3)(𝐷 − 6)

𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥∫𝑒3𝑥∫𝑒−6𝑥𝑒𝑒−3𝑥

(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 =𝑒𝑒

−3𝑥

9𝑒6𝑥



6𝑥 +𝑒𝑒

−3𝑥

9𝑒6𝑥

9) (𝐷2 − 4𝐷 + 3)𝑦 = 1

Solución:

𝑦′′ − 4𝑦′ + 3𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 3 = 0

𝑟1 = 3, 𝑟2 = 1


𝑥 Calculando la solución particular

𝑦𝑝 =1

3



𝑥 +1

3

10)(𝐷2 − 4𝐷)y = 5

Solución:

𝑦′′ − 4𝑦′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 4

𝑦𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒4𝑥


𝑦𝑝 =𝑅°𝑥

𝑘

𝑎𝑥=5𝑥

−4= −

5𝑥

4


𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒4𝑥 −

5𝑥

4

11) (𝐷3 − 4𝐷2)y = 5

Solución:

𝑦′′′ − 4𝑦′′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 4𝑟2 = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 𝑟3 = 4

𝑦𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑒4𝑥



𝑘

𝑎𝑥=5𝑥

−4= −

5𝑥

4


𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑒4𝑥 −

5𝑥

4

12) (𝐷5 − 4𝐷3)y = 5

Solución:

𝑦𝑉𝐼 − 4𝑦′′′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟5 − 4𝑟3 = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 0 , 𝑟3 = 0, 𝑟4 = −2, 𝑟5 = 2

𝑦𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥2+𝑐4𝑒

2𝑥+𝑐5𝑒−2𝑥



𝑘

𝑎𝑥=5𝑥2

−4= −

5𝑥2

4


𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥2+𝑐4𝑒

2𝑥+𝑐5𝑒−2𝑥 −

5𝑥2

4

13) (𝐷2 − 1)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥

Solución:

𝑦′′ − 𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 1 = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1


−𝑥 Calculando la solución particular

𝑦𝑝 =𝑠𝑒𝑛2𝑥

(𝐷 + 4)(𝐷 + 1)

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒−2𝑥∫𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 (𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = −1

2+𝑐𝑜𝑠2𝑥

10



−𝑥 −1

2+𝑐𝑜𝑠2𝑥

10

14) (𝐷2 + 1)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0

𝑟1 = 𝑖, 𝑟2 = −𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥


𝑦𝑝 =𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

𝐷2 + 1=𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

1 + 1=𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

2


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

2

15) (𝐷2 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥

Solución:

𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 3𝑟 + 2 = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = 1



𝑦𝑝 =𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥

(𝐷 − 2)(𝐷 − 1)

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥∫𝑒−𝑥∫𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 (𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥∫𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥 𝑑𝑥

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥



𝑥+𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥

III) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION DE

PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS)

RESOLVER

1) (𝐷2 − 2𝐷)𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

Solución:

𝑦′′ − 2𝑦′ = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 = 0

𝑟1 = 0, 𝑟2 = 2

𝑦𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒2𝑥


𝑦𝑝 =𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝐷(𝐷 − 2)=1

𝐷[𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝐷 − 2]

𝑦𝑝 = 𝑒0𝑥∫𝑒2𝑥∫𝑒2𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = ∫𝑒2𝑥∫𝑒3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

3


𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒2𝑥 −

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

3

2) (𝐷2 + 𝐷)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0






2



2

3) (𝐷2 − 6𝐷 + 9)𝑦 = 𝑥−2𝑒3𝑥

Solución:

𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 6𝑟 + 9 = 0

𝑟1 = 3, 𝑟2 = 3

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒


𝑦𝑝 =𝑥−2𝑒3𝑥

(𝐷 − 3)(𝐷 − 3)=

1

(𝐷 − 3)[𝑥−2𝑒3𝑥

(𝐷 − 3)]

𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒−3𝑥 𝑥−2𝑒3𝑥(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥∫∫𝑥−2 (𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = −𝑒3𝑥𝑙𝑛𝑥


𝑦 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

3𝑥−𝑒3𝑥𝑙𝑛𝑥

4) (𝐷2 − 2𝐷 + 3)𝑦 = 𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

Solución:

𝑦′′ − 2𝑦′ + 3𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 2𝑟 + 3 = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2



𝑦𝑝 =𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)=

1

(𝐷 − 1)[𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

(𝐷 − 2)]

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒𝑥∫𝑒−2𝑥 (𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒𝑥∫𝑒−2𝑥 (𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑑𝑥)2



2𝑥 + 𝑦𝑝

5) (𝐷3 + 2𝐷2 − 𝐷 − 2)𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑥2

Solución:

𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟3 + 2𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0

𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = −2


−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥


𝑦𝑝 =𝑒𝑥 + 𝑥2

(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)(𝐷 + 2)=

1

(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)[𝑒𝑥 + 𝑥2

(𝐷 + 2)]

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒−𝑥∫(𝑒𝑥 + 𝑥2) (𝑑𝑥)3

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫∫𝑒−𝑥∫(𝑒𝑥 + 𝑥2) (𝑑𝑥)3



−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥 + 𝑦𝑝

6) (𝐷2 − 4𝐷 + 4)𝑦 = 𝑥3𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥

Solución:

𝑦′′ − 4𝑦′ + 4 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 4 = 0

𝑟1 = 2, 𝑟2 = 2

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒


𝑦𝑝 =𝑥3𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥

(𝐷 − 2)(𝐷 − 2)=

1

(𝐷 − 2)[𝑥3𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥

(𝐷 − 2)]

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒−2𝑥 (𝑥3𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥)(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫∫𝑒−2𝑥 (𝑥3𝑒2𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥)(𝑑𝑥)2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥 (𝑥5

20+𝑥3

6)


𝑦 = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 𝑒𝑥 (𝑥5

20+𝑥3

6)

7) (𝐷2 + 4)𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑥

Solución:

𝑦′′ + 4 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4 = 0

𝑟1 = 2𝑖, 𝑟2 = −2𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 Calculando la solución particular

𝑦𝑝 =𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝐷2 + 4=𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑥

8


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑥

8

8) (𝐷2 + 1)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

Solución:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0






2



2

9) (𝐷2 + 4)𝑦 = 4𝑠𝑒𝑐22𝑥

Solución:

𝑦′′ + 4 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 4 = 0

𝑟1 = 2𝑖, 𝑟2 = −2𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥


𝑦𝑝 =4𝑠𝑒𝑐22𝑥

𝐷2 + 4=𝑠𝑒𝑐22𝑥

2


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +𝑠𝑒𝑐22𝑥

2

10) (𝐷2 − 4𝐷 + 3)𝑦 = (1 + 𝑒−𝑥)−1

Solución:

𝑦′′ − 4𝑦′ + 3 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 4𝑟 + 3 = 0

𝑟1 = 3, 𝑟2 = 1



𝑦𝑝 =(1 + 𝑒−𝑥)−1

(𝐷 − 3)(𝐷 − 1)=

1

(𝐷 − 3)[(1 + 𝑒−𝑥)−1

(𝐷 − 1)]

𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥∫𝑒−2𝑥∫𝑒−𝑥 (1 + 𝑒−𝑥)−1(𝑑𝑥)2



3𝑥 + 𝑦𝑝

11) (𝐷2 − 1)𝑦 = 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥

Solución:

𝑦′′ − 1 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 1 = 0

𝑟1 = −1, 𝑟2 = 1

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒


𝑦𝑝 =𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥

(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)=

1

(𝐷 + 1)[𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥

(𝐷 − 1)]

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥∫𝑒0𝑥∫𝑒𝑥 (𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑒−𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒−𝑥)(𝑑𝑥)2



𝑥 + 𝑦𝑝

12) (𝐷2 + 2)𝑦 = 2 + 𝑒𝑥

Solución:

𝑦′′ + 2 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 2 = 0

𝑟1 = −√2𝑖, 𝑟2 = √2𝑖

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛√2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠√2𝑥


𝑦𝑝 =2 + 𝑒𝑥

𝐷2 + 2=2 + 𝑒𝑥

√2 + 2


𝑦 = 𝑐1𝑠𝑒𝑛√2𝑥 + 𝑐2𝑐𝑜𝑠√2𝑥 +2 + 𝑒𝑥

√2 + 2

13) (𝐷2 − 1)𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

Solución:

𝑦′′ − 1 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 − 1 = 0

𝑟1 = −1, 𝑟2 = 1

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒−𝑥 + 𝑐2𝑒

𝑥


𝑦𝑝 =𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)=

1

(𝐷 + 1)[𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

(𝐷 − 1)]

𝑦𝑝 = 𝑒−𝑥∫𝑒2𝑥∫𝑒−𝑥 (𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥)(𝑑𝑥)2



𝑥 + 𝑦𝑝

14) (𝐷2 + 2𝐷 + 2)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2

Solución:

𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 0

𝑃(𝑟) = 𝑟2 + 2𝑟 + 2 = 0

𝑟1 = −1 + 𝑖, 𝑟2 = −1 − 𝑖 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒

−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥


𝑦𝑝 =𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2

𝐷2 − 2𝐷 − 2=𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2

−2𝐷 − 3

𝑦𝑝 = 𝑒32𝑥∫𝑒

32𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2)(𝑑𝑥)2


𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦𝑝

INTEGRACION POR SERIES

1).-Resolver 𝒚′ − 𝒚 − 𝒙𝟐 = 𝟎 mediante una serie de potencia de 𝒙 que satisfaga la condición 𝒚 =𝒚𝟎 para 𝒙 = 𝒐.

Solución

Sea:

𝑦0 = 𝑦 = 3 ; 𝑥0 = 𝑥 = 2

𝒊).−𝐻𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 = 𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 = 𝑣 + 2 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑣= 𝑣2 + 𝑦 − 3 = 𝐹(𝑣, 𝑦)

𝒊𝒊). −Suponiendo que:

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑣 + 𝐴2𝑣2 + 𝐴3𝑣

3 + 𝐴4𝑣4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯---( )

Luego:𝑦′ − 𝑣2 − 𝑦 + 3 = 0 será de la forma:

𝑦′ = 𝐴1 + 2𝐴2𝑣 + 3𝐴3𝑣2 + 4𝐴4𝑣

3 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑣𝑛−1 +⋯

−𝑣2 = −𝑣2

−𝑦 = −𝐴0 − 𝐴1𝑣 − 𝐴2𝑣2 − 𝐴3𝑣

3 − 𝐴4𝑣4 −⋯− 𝐴𝑛𝑣

𝑛 −⋯

3 = 3

𝑦′ − 𝑣2 − 𝑦 + 3 = (𝐴1 − 𝐴0 + 3) + (2𝐴2 − 𝐴1)𝑣 + (3𝐴3 − 𝐴2 − 1)𝑣2 + (4𝐴4 − 𝐴3)𝑣

3 +⋯+ (𝑛𝐴𝑛 − 𝐴𝑛−1)𝑣

𝑛−1 + ((𝑛 + 1)𝐴𝑛+1 − 𝐴𝑛)𝑣𝑛 +⋯

Como 𝑦′ − 𝑣2 − 𝑦 + 3 = 0 se dirá lo siguiente:

2𝐴0 − 𝐴1 = 0 ⇒ 𝐴1 = 𝐴0 − 3 = 𝑦0 − 3 ⇒𝐴𝟏 = 𝑂

2𝐴0 − 𝐴1 = 0 ⇒ 𝐴2 = 0

3𝐴3 − 𝐴2 − 1 = 0 ⇒ 𝐴3 =1

3

4𝐴4 − 𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴4 =1

4∗3

5𝐴5 − 𝐴4 = 0 ⇒ 𝐴5 =1

5∗4∗3

⇒ 𝑨𝒏 =𝟐

𝒏! ∀n≥ 𝟑

Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:

𝑦 = 3 +1

3𝑣3 ∗ (

2

2) + ⋯+

2

𝑛!𝑣𝑛 +⋯

𝒊𝒊𝒊). −𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣 = 𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

∴ 𝒚 = 𝟑 +𝟐

𝟑!(𝒙 − 𝟐)𝟑 +

𝟐

𝟒!(𝒙 − 𝟐)𝟒…+

𝟐

𝒏!(𝒙 − 𝟐)𝒏 +⋯

Solución

La ecuación diferencial será:

(𝟏 − 𝒙)𝒚′ + 𝒚 − 𝟐𝒙 = 𝟎 Suponiendo que la solución es de la forma:

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Donde 𝑨𝟎 = 𝒚𝟎 y las restantes 𝐴𝑖 ∀𝑖 = 1,2, … son constantes para determinar.

Sea:

(1 − 𝑥)𝑦′ = 𝐴1(1 − 𝑥) + 2𝐴2(𝑥 − 𝑥2) + 3𝐴3(𝑥

2 − 𝑥3) + ⋯+ 𝑛𝐴𝑛(𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛) + (𝑛 + 1)𝐴𝑛+1(𝑥

𝑛

− 𝑥𝑛+1) + ⋯

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 + 𝐴𝑛+1𝑥𝑛+1 +⋯

−2𝑥 = −2𝑥

(1 − 𝑥)𝑦′ + 𝑦 − 2𝑥= (𝐴1 + 𝐴0) + (2𝐴2 − 2)𝑥 + (−𝐴2 + 3𝐴3)𝑥

2 + (−2𝐴3 + 4𝐴4)𝑥3 +⋯

+ (−(n − 1)𝐴𝑛 − (𝑛 + 1)𝐴𝑛+1)𝑥𝑛 +⋯

0 = (𝐴1 + 𝐴0) + (2𝐴2 − 2)𝑥 + (−𝐴2 + 3𝐴3)𝑥2 + (−2𝐴3 + 4𝐴4)𝑥

3 +⋯+ (−(n − 1)𝐴𝑛 − (𝑛 + 1)𝐴𝑛+1)𝑥

𝑛 +⋯

3)Resolver (𝟏 − 𝒙)𝒚′ = 𝟐𝒙 − 𝒚 mediante una serie que satisfaga la condición 𝒚 = 𝒚𝟎 cuando 𝒙 =𝒐.

Por lo tanto:

𝐴1 + 𝐴0 = 0 ⇒ 𝐴1 = −𝐴0 = −𝑦0 ⇒ 𝐴1 = −𝑦0

2𝐴2 − 2 = 0 ⇒ 𝐴2 = 1

−𝐴2 + 3𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴3 =1

3

−2𝐴3 + 4𝐴4 = 0 ⇒𝐴𝟒 =1

2∗3

.

−(n − 1)𝐴𝑛 − (𝑛 + 1)𝐴𝑛+1 = 0 ⇒

𝟐

(𝒏−𝟏)∗𝒏∀𝒏 ≥ 𝟐

.

Reemplazando los valores de los 𝐴𝑖 en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:

∴ 𝒚 = 𝒚𝟎 − 𝒚𝟎𝒙 +𝟐

𝟐𝒙𝟐 +

𝟐 ∗ 𝟏

𝟐 ∗ 𝟑𝒙𝟑 +

𝟐

𝟒 ∗ 𝟑𝒙𝟒 +⋯+

𝟐

(𝒏 − 𝟏) ∗ 𝒏𝒙𝒏 +⋯

5).- Resolver 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 mediante potencias de (𝒙 − 𝟏).

Solución


𝒙𝒚′ − 𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎

Además:

𝑣 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 = 𝑣 + 1 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣


𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑣=𝑦 + 𝑣 + 2

(𝑣 + 1)= 𝐹(𝑣, 𝑦)

Suponiendo que la solución es de la forma:

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑣 + 𝐴2𝑣2 + 𝐴3𝑣

3 + 𝐴4𝑣4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯---( )

Luego:(𝑣 + 1)𝑦′ − 𝑦 − 𝑣 − 2 = 0 será de la forma:

(𝑣 + 1)𝑦′ = 𝐴1𝑣 + 𝐴1 + 2𝐴2𝑣 + 2𝐴2𝑣2 + 3𝐴3𝑣

2 + 4𝐴4𝑣3 + 4𝐴4𝑣

4 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑣𝑛−1 + 𝑛𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯

−𝑦 = 𝐴0 − 𝐴1𝑣 − 𝐴2𝑣2 − 𝐴3𝑣

3 − 𝐴4𝑣4 −⋯− 𝐴𝑛𝑣

𝑛 −⋯

−𝑣 = −𝑣

−2 = −2

Como:

(𝑣 + 1)𝑦′ − 𝑦 − 𝑣 − 2 = 0

Se dirá lo siguiente:

−𝐴0 − 2 + 𝐴1 = 0 ⇒ 𝐴1 = 3

2𝐴2 − 1 = 0 ⇒ 𝐴2 =1

2

3𝐴3 + 𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴3 =−1

2∗3

4𝐴4 + 2𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴4 =2

2∗3∗4

3𝐴4 + 5𝐴5 = 0 ⇒ 𝐴5 =6

2∗3∗4∗5

.

⇒ 𝐴𝑛+1 =−(𝑛−1)𝐴𝑛

(𝑛+1) ∀n≥ 𝟐


𝑦 = 1 + 3𝑣 +𝑣2

2−

𝑣3

2 ∗ 3+

2𝑣4

2 ∗ 3 ∗ 4−

6𝑣5

2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5+ ⋯

𝑦 = 1 + 3𝑣 +𝑣2

2!−𝑣3

3!+2𝑣4

4!−6𝑣5

5!+ ⋯

𝑦 = 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣 = 𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

∴ 𝒚 = 𝟏 + 𝟑(𝒙 − 𝟏) +(𝒙 − 𝟏)𝟐

𝟐!−(𝒙 − 𝟏)𝟑

𝟑!+𝟐(𝒙 − 𝟏)𝟒

𝟒!−𝟔(𝒙 − 𝟏)𝟓

𝟓!+ ⋯

7).- Resolver (𝟏 + 𝒙𝟐)𝒚′′ + 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝟎 mediante potencias de 𝒙.

Solución


(𝟏 + 𝒙𝟐)𝒚′′ + 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝟎


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

(1 + 𝑥2)𝑦′′ = 2𝐴2 + 2𝐴2𝑥2 + 6𝐴3𝑥 + 6𝐴3𝑥

3 + 12𝐴4𝑥2 + 12𝐴4𝑥

4 + 20𝐴5𝑥3 + 20𝐴5𝑥

5 + 30𝐴6𝑥4

+ 30𝐴6𝑥6 +⋯+ (𝑛 ∗ (𝑛 − 1))𝐴𝑛𝑥

𝑛−2 + (𝑛 ∗ (𝑛 − 1))𝐴𝑛𝑥𝑛 +⋯

𝑥𝑦′ = 𝐴1𝑥 + 2𝐴2𝑥2 + 3𝐴3𝑥

3+4𝐴4𝑥4 + 5𝐴5𝑥

5 + 6𝐴6𝑥6 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯

−𝑦 = 𝐴0 − 𝐴1𝑥 − 𝐴2𝑥2 − 𝐴3𝑥

3 − 𝐴4𝑥4 −⋯− 𝐴𝑛𝑥

𝑛 −⋯

(𝟏 + 𝒙𝟐)𝒚′′ + 𝒙𝒚′ − 𝒚= (𝟐𝐴2 − 𝐴0) + (6𝐴3)𝑥 + (3𝐴2 + 12𝐴4)𝑥

2 + (8𝐴3 + 20𝐴5)𝑥3 + (15𝐴4 + 30𝐴6)𝑥

4

+⋯+ ((𝑛2 − 1)𝐴𝑛 + (𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2)𝑥𝑛 +⋯

0 = (𝟐𝐴2 − 𝐴0) + (6𝐴3)𝑥 + (3𝐴2 + 12𝐴4)𝑥2 + (8𝐴3 + 20𝐴5)𝑥

3 + (15𝐴4 + 30𝐴6)𝑥4 +⋯

+ ((𝑛2 − 1)𝐴𝑛 + (𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2)𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

𝟐𝐴2 − 𝐴0 = 0 ⇒ 𝐴2 =𝐴0

𝟐

6𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴3 = 0

3𝐴2 + 12𝐴4 = 0 ⇒ 𝐴4 = −𝐴0

𝟖

8𝐴3 + 20𝐴5 = 0 ⇒𝐴𝟓 = 0

2𝐴6 + 𝐴4 = 0 ⇒ 𝐴6 =𝐴0

16

.


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 +𝐴0𝟐𝑥2 + (0)𝑥3 −

𝐴0𝟖𝑥4 + (0)𝑥5 +

𝐴016𝑥6 +⋯

∴ 𝒚 = 𝑨𝟎 (𝟏 +𝒙𝟐

𝟐−𝒙𝟒

𝟖+𝒙𝟔

𝟏𝟔…) + 𝑨𝟏𝒙

9).- Resolver 𝒚′′ − 𝟐𝒙𝟐𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 mediante potencias de 𝒙.

Solución


𝒚′′ − 𝟐𝒙𝟐𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

𝑦′′ = 2𝐴2 + 6𝐴3𝑥 + 12𝐴4𝑥2 + 20𝐴5𝑥

3 + 30𝐴6𝑥4 +⋯+

(𝑛 ∗ (𝑛 − 1))𝐴𝑛𝑥𝑛−2 +⋯

−2𝑥2𝑦′ = −2𝐴1𝑥2 − 4𝐴2𝑥

3 − 6𝐴3𝑥4−8𝐴4𝑥

5 − 10𝐴5𝑥6 −⋯− 2𝑛𝐴𝑛𝑥

𝑛+1 −⋯

4𝑥𝑦 = 4𝐴0𝑥 + 4𝐴1𝑥2 + 4𝐴2𝑥

3 + 4𝐴3𝑥4 + 4𝐴4𝑥

5 +⋯+ 4𝐴𝑛𝑥𝑛+1 +⋯

−𝑥2 = −𝑥2

−2𝑥 = −2𝑥

−2 = −2

𝒚′′ − 𝟐𝒙𝟐𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐= (𝟐𝐴2 − 2𝐴1 − 2) + (6𝐴3 + 4𝐴0 − 2)𝑥 + (12𝐴4 − 2𝐴1 + 4𝐴1 − 1)𝑥

2 + (20𝐴5− 4𝐴2+4𝐴2)𝑥

3 + (30𝐴6 − 6𝐴3 + 4𝐴3)𝑥4 +⋯

+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − (2𝑛 − 2)𝐴𝑛−1 + 4𝐴𝑛−1)𝑥𝑛 +⋯

0 = (𝟐𝐴2 − 2𝐴1 − 2) + (6𝐴3 + 4𝐴0 − 2)𝑥 + (12𝐴4 − 2𝐴1 + 4𝐴1 − 1)𝑥2 + (20𝐴5 − 4𝐴2+4𝐴2)𝑥

3

+ (30𝐴6 − 6𝐴3 + 4𝐴3)𝑥4 +⋯

+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − (2𝑛 − 2)𝐴𝑛−1 + 4𝐴𝑛−1)𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

𝟐𝐴2 − 2𝐴1 − 2 = 0 ⇒ 𝐴2 = 𝐴1 + 1

6𝐴3 + 4𝐴0 − 2 = 0 ⇒ 𝐴3 =1−2𝐴0

3

12𝐴4 − 2𝐴1 + 4𝐴1 − 1 = 0 ⇒ 𝐴4 =1−2𝐴1

12

20𝐴5 − 4𝐴2 + 4𝐴2 = 0 ⇒𝐴𝟓 = 0

30𝐴6 − 6𝐴3 + 4𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴6 =1−2𝐴0

45

.

(𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − (2𝑛 − 2)𝐴𝑛−1 + 4𝐴𝑛−1 = 0

.

.

Reemplazando los valores de los 𝐴𝑖 en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + (𝐴1 +

1)𝑥2 + (1−2𝐴0

3) 𝑥3 + (

1−2𝐴1

12) 𝑥4 + (0)𝑥5 + (

1−2𝐴0

45)𝑥6 +⋯

∴ 𝒚 = 𝑨𝟎 (𝟏 −𝟐

𝟑𝒙𝟑 −

𝟐

𝟒𝟓𝒙𝟔 +⋯) + 𝑨𝟏 (𝒙 + 𝒙

𝟐 −𝟏

𝟔𝒙𝟒 +⋯) + 𝒙𝟐 +

𝟏

𝟑𝒙𝟑+

𝟏

𝟏𝟐𝒙𝟒 +

𝟏

𝟒𝟓𝒙𝟔

10).- Resolver 𝒚′′ + (𝒙 − 𝟏)𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 mediante potencias de (𝒙 − 𝟐). Solución


𝒚′′ + (𝒙 − 𝟏)𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

Además:

𝑣 = 𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 = 𝑣 + 2 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣


𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑣=−(𝑦′′ + 𝑦)

(𝑣 + 1)= 𝐹(𝑣, 𝑦)


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑣 + 𝐴2𝑣2 + 𝐴3𝑣

3 + 𝐴4𝑣4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯---( )

Luego:𝑦′′ + (𝑣 + 1)𝑦′ + 𝑦 = 0 será de la forma:

𝑦′′ = 2𝐴2 + 6𝐴3𝑣 + 12𝐴4𝑣2 + 12𝐴5𝑣

3 + 30𝐴6𝑣4 +⋯+ 𝑛 ∗ (𝑛 − 1)𝐴𝑛𝑣

𝑛−2 +⋯

(𝑣 + 1)𝑦′ = 𝐴1𝑣 + 𝐴1 + 2𝐴2𝑣 + 2𝐴2𝑣2 + 3𝐴3𝑣

2 + 4𝐴4𝑣3 + 4𝐴4𝑣

4 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑣𝑛−1 + 𝑛𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑣 + 𝐴2𝑣2 + 𝐴3𝑣

3 + 𝐴4𝑣4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑣

𝑛 +⋯

𝒚′′ + (𝒗 + 𝟏)𝒚′ + 𝒚= (𝐴1 + 2 + 2𝐴2) + (2𝐴2 + 2𝐴1 + 6𝐴3)𝑣 + (3𝐴3 + 3𝐴2 + 12𝐴4)𝑣

2

+ (4𝐴4 + 4𝐴3 + 20𝐴5)𝑣3 +⋯+ ((𝑛+1)𝐴𝑛+1 + (𝑛 + 1)𝐴𝑛)𝑣

𝑛−1

+ (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝐴𝑛+2)𝑣𝑛 +⋯

Como:

𝑦′′ + (𝑣 + 1)𝑦′ + 𝑦 = 0

Se dirá lo siguiente:

𝐴1 + 2 + 2𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴2 =−2−𝐴1

2

2𝐴2 + 2𝐴1 + 6𝐴3 = 0 ⇒ 𝐴3 =2−𝐴1

6

3𝐴3 + 3𝐴2 + 12𝐴4 = 0 ⇒ 𝐴4 =4𝐴1+4

48

4𝐴4 + 4𝐴3 + 20𝐴5 = 0 ⇒ 𝐴5 =4𝐴1−20

240

⇒ 𝐴𝑛+2 =𝐴𝑛+𝐴𝑛+1

(𝑛+2)∀n≥ 𝟏


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑣 + (−2 − 𝐴1

2) 𝑣2 + (

2 − 𝐴16

) 𝑣3 + (4𝐴1 + 4

48)𝑣4 + (

4𝐴1 − 20

240) 𝑣5 +⋯

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1 (𝑣 −𝑣2

2−𝑣3

6+𝑣4

12+𝑣5

60+ ⋯) +

𝑣2

2+𝑣3

3+𝑣4

12−𝑣5

12+ ⋯

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣 = 𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

∴ 𝒚 = 𝑨𝟎 + 𝑨𝟏 ((𝒙 − 𝟐) −(𝒙 − 𝟐)𝟐

𝟐−(𝒙 − 𝟐)𝟑

𝟔+(𝒙 − 𝟐)𝟒

𝟏𝟐+(𝒙 − 𝟐)𝟓

𝟔𝟎+⋯) +

(𝒙 − 𝟐)𝟐

𝟐+(𝒙 − 𝟐)𝟑

𝟑

+(𝒙 − 𝟐)𝟒

𝟏𝟐−(𝒙 − 𝟐)𝟓

𝟏𝟐+⋯

11).- Resolver (𝟏 − 𝒙)𝒚′ = 𝒙𝟐 − 𝒚 según potencias de 𝒙.

Solución


(𝟏 − 𝒙)𝒚′−𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝟎 Suponiendo que la solución es de la forma:

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

(1 − 𝑥)𝑦′ = 𝐴1 − 𝐴1𝑥 + 2𝐴2𝑥 − 2𝐴2𝑥2 + 3𝐴3𝑥

2 − 3𝐴3𝑥3 + 4𝐴4𝑥

3 − 4𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑥

𝑛−1

− 𝑛𝐴𝑛𝑥𝑛 +⋯

−𝑥2 = −𝑥2

𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯

(𝟏 − 𝒙)𝒚′−𝒙𝟐 + 𝒚= (𝐴1 + 𝐴0) + (2𝐴2)𝑥 + (3𝐴3 − 𝐴2)𝑥

2 + (4𝐴4 − 2𝐴3)𝑥3 +⋯

+ ((n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛)𝑥𝑛 +⋯

0 = (𝐴1 + 𝐴0) + (2𝐴2)𝑥 + (3𝐴3 − 𝐴2)𝑥2 + (4𝐴4 − 2𝐴3)𝑥

3 +⋯+ ((n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛)𝑥𝑛

+⋯𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

𝐴1 + 𝐴0 = 0 ⇒ 𝐴1 = −𝐴0 = −𝑦0

2𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴2 = 0

3𝐴3 − 𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴3 = 0

4𝐴4 − 2𝐴3 = 0 ⇒𝐴𝟒 = 0 .

.

(n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛 = 0 ..


𝑦 = 𝑦0 − 𝑦0𝑥

∴ 𝒚 = 𝒚𝟎(𝟏 − 𝒙)

13).- Resolver 𝒚′ = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚 mediante potencias de 𝒙.

Solución


𝒚′ − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

𝑦′ = 𝐴1 + 2𝐴2𝑥 + 3𝐴3𝑥2 + 4𝐴4𝑥

3 + 5𝐴5𝑥4 +⋯+ 𝑛𝐴𝑛𝑥

𝑛−1 +⋯

−3𝑦 = −3𝐴0 − 3𝐴1𝑥 − 3𝐴2𝑥2 − 3𝐴3𝑥

3 − 3𝐴4𝑥4 −⋯− 3𝐴𝑛𝑥

𝑛 −⋯

−2𝑥2 = −2𝑥2

𝒚′ − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 = (𝐴1 − 3𝐴0) + (𝟐𝐴2 − 3𝐴1)𝑥 + (3𝐴3 − 3𝐴2 − 2)𝑥2 + (4𝐴4 − 3𝐴3)𝑥

3

+ (5𝐴5 − 3𝐴4)𝑥4 +⋯+ ((n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛)𝑥

𝑛 +⋯

0 = (𝐴1 − 3𝐴0) + (𝟐𝐴2 − 3𝐴1)𝑥 + (3𝐴3 − 3𝐴2 − 2)𝑥2 + (4𝐴4 − 3𝐴3)𝑥

3 + (5𝐴5 − 3𝐴4)𝑥4 +⋯

+ ((n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛)𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

𝐴1 − 3𝐴0 = 0 ⇒ 𝐴1 = 3𝑦0

𝟐𝐴2 − 3𝐴1 = 0 ⇒ 𝐴2 =3𝑦0

2

3𝐴3 − 3𝐴2 − 2 = 0 ⇒ 𝐴3 =9𝑦0+4

2∗3

4𝐴4 − 3𝐴3 = 0 ⇒𝐴𝟒 =3(9𝑦0+4)

2∗3∗4

5𝐴5 − 3𝐴4 = 0 ⇒ 𝐴5 =9(9𝑦0+4)

2∗3∗4∗5

.

(n + 1)𝐴𝑛+1 − (𝑛 − 1)𝐴𝑛 = 0 .


𝑦 = 𝑦0 + 3𝑦0𝑥 +3𝑦02𝑥2 +

(9𝑦0 + 4)

2 ∗ 3𝑥3 + (

3(9𝑦0 + 4)

2 ∗ 3 ∗ 4) 𝑥4 + (

9(9𝑦0 + 4)

2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5) 𝑥5 +⋯

∴ 𝑦 = 𝑦0 + 3𝑦0𝑥 +3𝑦02𝑥2 + (9𝑦0 + 4) [

𝑥3

3!+3𝑥4

4!+9𝑥5

5!+ ⋯ ]

17).- Resolver 𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐𝒚 = 𝟎 mediante potencias de 𝒙.

Solución


𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝒙𝟐𝒚 = 𝟎


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

𝑦′′ = 2𝐴2 + 6𝐴3𝑥 + 12𝐴4𝑥2 + 20𝐴5𝑥

3 + 30𝐴6𝑥4 +⋯+

(𝑛 ∗ (𝑛 − 1))𝐴𝑛𝑥𝑛−2 +⋯

−𝑥𝑦′ = −𝐴1𝑥 − 2𝐴2𝑥2 − 3𝐴3𝑥

3−4𝐴4𝑥4 − 5𝐴5𝑥

5 − 6𝐴6𝑥6 −⋯− 𝑛𝐴𝑛𝑥

𝑛 −⋯

𝑥2𝑦′ = 𝐴0𝑥2 + 𝐴1𝑥

3 + 𝐴2𝑥4 + 𝐴3𝑥

5 + 𝐴4𝑥6 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛+2 +⋯

𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐

= (2𝐴2) + (6𝐴3 − 𝐴1)𝑥 + (12𝐴4 − 2𝐴2 + 𝐴0)𝑥2 + (20𝐴5−3𝐴3 + 𝐴1)𝑥

3 + (30𝐴6− 4𝐴4 + 𝐴2)𝑥

4 +⋯+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − 𝑛𝐴𝑛 + 𝐴𝑛−2)𝑥𝑛 +⋯

0 = (2𝐴2) + (6𝐴3 − 𝐴1)𝑥 + (12𝐴4 − 2𝐴2 + 𝐴0)𝑥2 + (20𝐴5−3𝐴3 + 𝐴1)𝑥

3 + (30𝐴6 − 4𝐴4 + 𝐴2)𝑥4

+⋯+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − 𝑛𝐴𝑛 + 𝐴𝑛−2)𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

2𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴2 = 0

6𝐴3 − 𝐴1 = 0 ⇒ 𝐴3 =𝐴1

6

12𝐴4 − 2𝐴2 + 𝐴0 = 0 ⇒ 𝐴4 = −𝐴0

12

20𝐴5 − 3𝐴3 + 𝐴1 = 0 ⇒𝐴𝟓 =3𝐴1

40

30𝐴6 − 4𝐴4 + 𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴6 = −𝐴0

90

.

(𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 − 𝑛𝐴𝑛 + 𝐴𝑛−2 = 0 .

.


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 +𝐴06𝑥3 + (−

𝐴012) 𝑥4 + (

3𝐴140) 𝑥5 + (−

𝐴090)𝑥6 +⋯

∴ 𝒚 = 𝑨𝟎 (𝟏 −𝒙𝟒

𝟏𝟐−𝒙𝟔

𝟗𝟎+⋯) + 𝑨𝟏 (𝒙 +

𝒙𝟑

𝟔+𝟑𝒙𝟓

𝟒𝟎+⋯)

19).- Resolver 𝒚′′ + 𝒙𝟐𝒚 = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐según potencias de 𝒙.

Solución


𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥

3 + 𝐴4𝑥4 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 +⋯---( )

Sea:

𝑦′′ = 2𝐴2 + 6𝐴3𝑥 + 12𝐴4𝑥2 + 20𝐴5𝑥

3 + 30𝐴6𝑥4 +⋯+

(𝑛 ∗ (𝑛 − 1))𝐴𝑛𝑥𝑛−2 +⋯

𝑥2𝑦′ = 𝐴0𝑥2 + 𝐴1𝑥

3 + 𝐴2𝑥4 + 𝐴3𝑥

5 + 𝐴4𝑥6 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛+2 +⋯

−1 = −1

−𝑥 = −𝑥

−𝑥2 = −𝑥2

𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐

= (2𝐴2 − 1) + (6𝐴3 − 1)𝑥 + (12𝐴4 + 𝐴0 − 1)𝑥2 + (20𝐴5+𝐴1)𝑥

3 + (30𝐴6 + 𝐴2)𝑥4

+⋯+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 + 𝐴𝑛−2)𝑥𝑛 +⋯

0 = (2𝐴2 − 1) + (6𝐴3 − 1)𝑥 + (12𝐴4 + 𝐴0 − 1)𝑥2 + (20𝐴5+𝐴1)𝑥

3 + (30𝐴6 + 𝐴2)𝑥4 +⋯

+ ((𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 + 𝐴𝑛−2)𝑥𝑛 +⋯

Por lo tanto:

2𝐴2 − 1 = 0 ⇒ 𝐴2 =1

2

6𝐴3 − 1 = 0 ⇒ 𝐴3 =1

6

12𝐴4 + 𝐴0 − 1 = 0 ⇒ 𝐴4 =1−𝐴0

12

20𝐴5 + 𝐴1 = 0 ⇒𝐴𝟓 = −𝐴1

20

30𝐴6 + 𝐴2 = 0 ⇒ 𝐴6 = −1

60

.

(𝑛 + 1) ∗ (𝑛 + 2)𝐴𝑛+2 + 𝐴𝑛−2 = 0 .


𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 +𝑥2

2+𝑥3

6+ (

1 − 𝐴012

) 𝑥4 + (−𝐴120) 𝑥5 + (−

1

60)𝑥6 +⋯

∴ 𝒚 = 𝑨𝟎 (𝟏 −𝒙𝟒

𝟏𝟐+⋯) + 𝑨𝟏 (𝒙 −

𝒙𝟓

𝟐𝟎+⋯) +

𝒙𝟐

𝟐+

𝒙𝟑

𝟔+

𝒙𝟒

𝟏𝟐+

𝒙𝟔

𝟔𝟎+…

ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS

1) Comprobar que :

d J0(X)

dx= −J1(X)

J0(X) = ∑(−1)n1

(n!)2

∞

n=0

(x

2 )2n

J0(X) = 1 − (x

2 )2 +

1

(2!)2(𝑋

2)4 −

1

(3!)2(𝑋

2)6 + … .+(−1)n

1

(n!)2(x

2 )2n

d J0(X)

dx= − (

x

2 ) +

1

1! 2!

(x

2 )3

− 1

2! 3!(x

2 )5

+ + … (−1)n+1 1

(n!) (n+1)! (x

2 )2n+1

d J0(X)

dx= −[ (

x

2 ) −

1

1! 2!

(x

2 )3

+1

2! 3!(x

2 )5

− …+ (−1)n+1 1

(n!) (n+1)! (x

2 )2n+1]

d J0(X)

dx= − ∑(−1)n

1

(n!) (n + 1)!

∞

n=0

(x

2 )2n+1

d J0(X)

dx= −J1(X)

2) Comprobar que :

a) d

dx(xK Jk(X)) = x

K Jk−1(X)

𝐱𝐊 𝐉𝐤(𝐗) = (x2

2 )k {

1

k!−

1

1! (k+1)!(x

2)2

+

+1

2! (k+2)!(x

2)4

− …+ 1

n! (k+1)!(x

2)2n

}

d

dx(xK Jk(X)) =

(2𝑘)x2K−1

2𝑘 {

1

k!−

1

1! (k+1)!(x

2)2

+1

2! (k+2)!(x

2)4

− …+ (−1) n

n! (k+n)!(x

2)2n

}

+x2K

2𝑘 { −

1

0! (k+1)!(x

2)

+ 1

1! (k+2)!(x

2)3

− − 1

2! (k+3)!(x

2)5

+ … + (−1)n+1

n! (k+n+1)!(x

2)(2n+1)

}

d

dx(xK Jk(X))=

x2K−1

2𝑘−1{ k

k!−

k

1! (k+1)!(x

2)2

+

k

2! (k+2)!(x

2)4

− …+ (−1 )n k

n! (k+n)!(x

2)2n

}

+ x2K−1

2𝑘−1{ −

1

0! (k+1)!(x

2)2

+ 1

1! (k+2)!(x

2)4

− − 1

2! (k+3)!(x

2)6

+ … + (−1)n+1

n! (k+n+1)!(x

2)2(n+1)

}

d

dx(xK Jk(X))=

x2K−1

2𝑘−1{

1

(k−1)!−

k+1

1! (k+1)!(x

2)2

+

k + 2

2! (k + 2)!(x

2)4

− …+ k + n

n! (k + n)!

d

dx(xK Jk(X))=

x2K−1

2𝑘−1{

1

(k−1)!−

1

1! (k)!(x

2)2

+

1

2! (k+1)!(x

2)4

− …+ (−1)n

n! (k+n−1)!(x

2)2n

}

Por lo tanto :

d

dx(xK Jk(X)) = x

K Jk−1(X)

b) d

dx(x−K Jk(X)) = −x

−K Jk+1(X)

Debemos llegar a :

−x−K Jk+1(X) = −x−K(

x2

2 )k+1 {

1

(k+1)!−

1

1! (k+2)!(x

2)2

+

+1

2! (k+3)!(x

2)4

− …+ 1

1! (k+n+1)!(x

2)2n

}

−x−K Jk+1(X) = −X

2k+1{

1

(k+1)!−

1

1! (K+2)!(x

2)2

+

+1

2! (K+3)!(x

2)4

− …+ 1

1! (K+n+1)!(x

2)2n

}

Partimos de :

x−K Jk(X) =1

2K{ 1

k!−

1

1! (k+1)!(x

2)2

+

+1

2! (k+2)!(x

2)4

− …+ 1

n! (k+1)!(x

2)2n

}

𝐝

𝐝𝐱(𝐱−𝐊 𝐉𝐤(𝐗)) =

1

2K { −

1

0! (k+1)!(x

2)

+ 1

1! (k+2)!(x

2)3

− − 1

2! (k+3)!(x

2)5

+ … + (−1)n+1

n! (k+n+1)!(x

2)(2n+1)

}

𝐝

𝐝𝐱(𝐱−𝐊 𝐉𝐤(𝐗)) =

−X

2K+1 {

1

0! (k+1)! −

1

1! (k+2)!(x

2)2

+ 1

2! (k+3)!(x

2)4

𝐝

𝐝𝐱(𝐱−𝐊 𝐉𝐤(𝐗)) = −x−K Jk+1(X)

4)probar que:

𝑒𝑥2(𝑡−

1𝑡) = 𝐽0(𝑥) + 𝑡𝐽1(𝑥) + ⋯+ 𝑡

𝑘𝐽𝑘(𝑥) + ⋯+1

𝑡𝐽−1(𝑥) + ⋯+

1

𝑡𝑘𝐽−𝑘(𝑥) + ⋯⋯ = ∑ 𝑡𝑛𝐽𝑛(𝑥)

∞

𝑛=−∞

Partimos de la igualdad:

𝑒𝑥

2(𝑡−

1

𝑡) = 𝐽0(𝑥) + 𝑡𝐽1(𝑥) + ⋯+ 𝑡𝑘𝐽𝑘(𝑥) + ⋯+

1

𝑡𝐽−1(𝑥) + ⋯+

1

𝑡𝑘𝐽−𝑘(𝑥) + ⋯

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) = ln(1 × 𝐽0(𝑥)) + ln(𝑡 × 𝐽1(𝑥)) +⋯+ ln(𝑡𝑘 × 𝐽𝑘(𝑥)) + ⋯+ ln(

1

𝑡× 𝐽−1(𝑥)) + ⋯

+ ln (1

𝑡𝑘× 𝐽−𝑘(𝑥)) +⋯

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) = ln(1) + ln(𝐽0(𝑥)) + ln(𝑡) + ln(𝐽1(𝑥)) +⋯+ ln(𝑡𝑘) + ln(𝐽𝑘(𝑥)) + ⋯+ ln (

1

𝑡)

+ ln(𝐽−1(𝑥)) + ⋯+ ln (1

𝑡𝑘) + ln(𝐽−𝑘(𝑥)) + ⋯⋯

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) = ln(𝐽0(𝑥) × 𝐽1(𝑥) × ⋯× 𝐽𝑘(𝑥) × ⋯ ) + ln(𝐽−1(𝑥) × ⋯× 𝐽−𝑘(𝑥) × ⋯)

+ ln(1 × 𝑡 × 𝑡2 ×⋯× 𝑡𝑘 ×⋯ ) + ln (1

𝑡×1

𝑡2×⋯×

1

𝑡𝑘×⋯)

Hallando el equivalente en sumatorias:

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) = ∑ ln(𝐽𝑛(𝑥))

∞

𝑛=0

+ ∑ ln(𝐽𝑛(𝑥))

−1

𝑛=−∞

+∑ ln(𝑡𝑛)

∞

𝑛=0

+ ∑ ln(𝑡𝑛)

−1

𝑛=−∞

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) =∑ln(𝐽𝑛(𝑥))

∞

−∞

+∑ln(𝑡𝑛)

∞

−∞

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) =∑[ln(𝐽𝑛(𝑥)) + ln(𝑡

𝑛)]

∞

−∞

𝑥

2(𝑡 −

1

𝑡) =∑ln(𝑡𝑛 × 𝐽𝑛(𝑥))

∞

−∞

𝑒𝑥2(𝑡−

1𝑡) =∑𝑡𝑛 × 𝐽𝑛(𝑥)

∞

−∞

∴ 𝑒𝑥2(𝑡−

1𝑡) = 𝐽0(𝑥) + 𝑡𝐽1(𝑥) + ⋯+ 𝑡

𝑘𝐽𝑘(𝑥) +⋯+1

𝑡𝐽−1(𝑥) +⋯+

1

𝑡𝑘𝐽−𝑘(𝑥) + ⋯⋯ = ∑ 𝑡𝑛𝐽𝑛(𝑥)

∞

𝑛=−∞

5) 2 3 1" 2 ' 0

2 4X X Y X Y Y

SOLUCION:

+ + 1 = 2 ; = 3/2

1

1 1 3; ; ;

2 2 2Y F X

= 1 - = 1/4

(1 - ) = 1/4

2 3

1

3 51 ..........

6 40 112

x x xy - 2 - ¼ = 0

2 - + ¼ = 0

= ½ ; = ½ ; = 3/2

ANALOGAMENTE:

1

2 ( 1; 1; 2 ; )y x F x

1/2

2

1(0; 0; ; )

2

xy x F x

x

y = Ay1 + By2

2 23 5

1 ..........6 40 112

x x x B xy A

x

6.- resolver mediante serie:

(𝑥 − 𝑥2)𝑦´´ + 4(1 − 𝑥)𝑦´ − 2𝑦 = 0 Solución:

(𝑥 − 𝑥2)𝑦´´ + 4(1 − 𝑥)𝑦´ − 2𝑦 = 0,𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠

𝛾 = 4 , 𝛼𝛽 = 2 , 𝛼 + 𝛽 + 1 = 4 , 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝛼 = 1 , 𝛽 = 2 , 𝛾 = 4 , 𝑥 = 𝑥

𝑦1 = 𝐹(𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝑥) , 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑦1 = (1 +𝑥

2+3

10𝑥2 +

1

5𝑥3……)

Análogamente:

𝑦2 = 𝑥1−𝛾𝐹(𝛼 − 𝛾 + 1, 𝛽 − 𝛾 + 1,2 − 𝛾, 𝑥) , 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑦2 = 𝑥1−𝛾𝐹(−2,−1,−2, 𝑥) 𝑦2 = 𝑥−3(1 + 2𝑥. . )

La solución completa será:

𝑦 = 𝐴 (1 +𝑥

2+3

10𝑥2 +

1

5𝑥3……) + 𝐵𝑥−3(1 + 2𝑥. . )

7.- probar que:

a)

)1(),,,( xxF

b) )1ln(),2,1,1( xxxF

a)

)1(),,,( xxF

Como:xxtenemos

xFxFy

,,,:

),,,(),,,(

Como:

....)2)(1(21

)2)(1()2)(1(

)1(21

)1()1(

11

3

2

xxx

xxx

xy

Reemplazando obtenemos:

xy

entonces

xnnnn

xnnn

xnn

xx

Como

xxxx

xxx

xx

xy

n

1

:

........!4

)3)(2)(1(

!3

)2)(1(

!2

)1(11

:

........4321

)3)(2)(1(

321

)2)(1(

21

)1(1

4

3

2

4

3

2

Entonces queda probado que:

)1(),,,( xxF

b) )1ln(),2,1,1( xxxF

Como:xxtenemos

xFxFy

,2,1,1:

),2,1,1(),,,(

Como:

....

)2)(1(21

)2)(1()2)(1(

)1(21

)1()1(

11

3

2

xxx

xxx

x

xy

Reemplazando obtenemos:

)1ln(

:

........5432

)1ln(

:

........5432

....

43232

3232

322

22

21

5432

5432

32

xy

entonces

xxxxxx

Como

xxxxxy

xxxxx

xxxx

xx

xx

xy

Entonces queda probado que:

)1ln(),2,1,1( xxxF

8.- probar que el cambio de variable dependiente xzy transforma la ecuación 0 yy en una

ecuación de Bessel.

Hacemos el cambio de variable xzy

23

23

4

422

2

x

z

x

zxzy

x

z

x

z

x

zxzy

x

zxzy

xzy

Reemplazando en la ecuación obtenemos:

04

0,04

0

4

22

23

22

23

zxz

zxzx

xparax

zxz

zxzx

xzx

z

x

zxzyy

0)4

(22

zz

xzxzx

Vemos que con el cambio de variable de xzy a la ecuación 0 yy se transforma en una

ecuación de Bessel.

i) soluciones de ecuaciones diferenciales solución

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