ĐẠi sỐ 10 - toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · cho phương trình f(x) = g(x)...

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

ĐẠI SỐ 10

Chương 3. Phương Trình &

Hệ Phương Trình

www.saosangsong.com.vn/SAVE YOUR TIME&MONEY

SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE

http://www.saosangsong.com.vn/

Chương 3.Phương trình và hệ phương trình

www.saosangsong.com.vn

2

2

§1. Đại cương về phương trình A. Tóm tắt giáo khoa 1 Phương trình một ẩn Phương trình một ẩn là phương trình có dạng :f(x) = g(x) ;f(x) và g(x) là những biểu thức của x ; x là ẩn

• 0x là một nghiệm của phương trình khi dẳng thức f( 0x ) = g( 0x ) đúng • Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó • Một phương trình không có nghiệm nào cả được gọi là phương trình vô nghiệm

2. Điều kiện của một phương trình Cho phương trình f(x) = g(x) .Điều kiện để những biểu thức f(x) ; g(x) có nghĩa được gọi là

điều kiện của phương trình . 3. Phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương khi tập nghiệm của chúng bằng nhau

4. Phép biến đổi tương đương Để giải một phương trình ta thừơng biến đổi phương trình này thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi tương đương.

Dưới đây là những biến đổi tương đương thường dùng (cần nhớ là điều kiện của phương trình không bị thay đổi )

a) Biến đổi đồng nhất ở hai vế b) Cộng hay trừ vào hai vế cho cùng một biểu thức c) Nhân hay chia hai vế với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0

Chú ý Khi giải một phương trình bằng máy tính và nghiệm viết dưới dạng thập phân ta có thể

chỉ được một nghiệm gần đúng. Khi giải phương trình f(x) = g(x) (1) mà ta không dùng biến đổi tương đương thì có thể

dẫn đến phương trình h(x) = k(x) (2) trong đó tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của ( 1 )

Khi đó (2) gọi là phương trình hệ quả của (1)

B.Giải toán Dạng toán 1:Tìm điều kiện của một phương trình Ví dụ 1:Tìm điều kiện của những phương trình sau:

2 1 11 32 22 3 0 (

1 1

x xx x

x xxx x

− + = +− −

−+ + =

+ −

(1)

2)

Giải: a) điều kiện của phương trình (1) là: 2 0 2x x− ≠ ⇔ ≠ b) điều kiện của phương trình (2) là: 1 0x + ≠ và 1 0x − ≠ ⇔ 1x ≠ − và 1x ≠

Ví dụ 2:Tìm điều kiện của những phương trình sau:

2 2 3 2 2(1)x x x x− − = − − −

13 04

x xx

+ − − =−

(2)

Giải: a) điều kiện của phương trình (1) là: 2 0 2x x− ≥ ⇔ ≥



3

3

b) điều kiện của phương trình (2) là 3 0 3

3 44 0 4x x

xx x

⎧ − ≥ ≥⎧⇔ ⇔ ≤ <⎨ ⎨− > <⎩⎩

Dạng toán 2 : Giải phương trình Để giải một phương trình ta thường : a) Tìm điều kiện cuả phương trình b) Biến đổi tương đương phương trình này thành một phương trình đơn giản hơn và tìm nghiệm

thỏa điều kiện của phương trình Ví dụ 1: Giải những phương trình sau :

) 2 1

2 2 4) 21 1

a x x xxb x

x x

+ − = + −+

+ + =+ +

2(1)

Giải : a) Điều kiện cuà phương trình (1) : 2 0 2x x− ≥ ⇔ ≥ (1) ⇔ x = 1 nghiệm này không thỏa điều kiện của phương trình . Vậy phương trình (1) vô nghiệm b) Điều kiện của phương trình (2) là : x+1≠ 0 ⇔ x≠ -1

≠ 0 ) (2) x(x+1)+2+2(x+1) = 2x+4 (nhân 2vế với x+1⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 4x x x x+ + + + = + ⇔ 2 0x x+ = x(x + 1) = 0 phương trình này có 2 nghiệm x = 0 , x = -1 Nghiệm x = -

1 bị loại vì không thỏa điều kiện của phương trình .Vậy phương trình (2) có một nghiệm là x = 0 ⇔

Ví dụ 2 : Giải những phương trình sau :

a)2 5 3 2 3

2 3x x x

x− +

= ++

(1)

b) 2 2 1 1x x x x x+ − = − + (2)

Giải :

a) điều kiện của phương trình (1) là: 2x + 3 > 0⇔ x > - 32

(1) ⇔ 2 5 3 2 3x x− + = + (nhân 2 vế với 2 3x + ) x ⇔ 2 7 0x x− =

( 7) 0x x⇔ − =⇔

x = 0 ; x = 7 Cả 2 nghiệm này đều thỏa điều kiện của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 0 ; x = 7

b)điều kiện của phương trình (2) là :1 0 1

11 0 1x x

xx x

⎧ − ≥ ≥⎧⇔ ⇔ =⎨ ⎨− ≥ ≤⎩⎩

Thế giá trị x = 1 vào phương trình (2) ta được đẳng thức đúng .Vậy phương trình (2 ) có nghiệm duy nhất là x = 1

C. Bài tập rèn luyện : 3.1. Giải những phương trình sau:



4

4

2 2

23

3 3) 1 4 1 )1 1

2 2 4) 2 2 ) )3 3 4

+ − = + − + = − ++ +

+ −+ − = + − + = = −

− − −

a x x x b x xx x

x xc x x x x d x e xx x x

4

3.2 .Giải những phương trình sau :

2) 3 3 3a x x x x− − = − + 3) 2 4 2b x x x+ − = + −

3.3. Tìm tập nghiệm của 2 phương trình sau: 9 3(x x+ = − 1) và x + 9 = (2) 2( 3)x −Hai phương trình này có tương đương không ?

3.4 Tìm tập nghiệm của 2 phương trình sau : 4 24 2x x+ = + (1) 4 2 24 ( 2) (2)x x+ = +

x

và Hai phương trình này có tương đương không ?

D. Hướng dẫn giải hay đáp số 3.1. a) x = 2 . b) x = 0 . c) vô nghiệm . d) x = 0 ; x = 4 . e) vô nghiệm

3.2 a) x = 3 b) vô nghiệm

3.3 điều kiện của phương trình (1) là : 3 0 3x − ≥ ⇔ ≥

(1)

2

2

2

9 ( 3)9 67 0

0; 7

x x9x x x

x xx x

⇔ + = −

⇔ + = − +

⇔ − =⇔ = =

x = 0 (loại) Tập nghiệm của (1) là { }7

x R∈ Điều kiện của phương trình (2) là Tập nghiệm của (2) là { }0,7 Vậy 2 phương trình này không tương đương

3.4. điều kiện của cả hai phương trình này đều là : x R∈ (1) 4 4 2(2) 4 4 4 0x x x x⇔ ⇔ + = + + ⇔ = Tập nghiệm của cả hai phương trình đều là { }0 Hai phương trình này tương đương

§2. Phương trình bậc nhất . Phương trình bậc hai . A .Tóm tắt giáo khoa 1 .Giải và biện luận phương trình dạng :ax+b=0 Cách giải và biện luận được tóm tắt trong bảng sau :

2 .Phương trình bậc hai .

ax + b = 0 a 0 ≠ Có nghiệm x = b

a−

a = 0 • b≠ 0 :vô nghiệm • b = 0 :tập nghiệm là R

a) Định nghĩa và công thức nghiệm Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng : 2ax bx+ + c = 0



5

5

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình này được cho trong bảng sau :

2 0ax bx c+ + =

Kết luận Biệt thức 2 4b aΔ = − c • Hai nghiệm phân biệt

2

1,24

2b b acx

a− ± −

= 0Δ ≥ 0Δ =

• Nghiệm kép x = 2

ba−

0Δ < • Vô nghiệm

b) Định lý Viét và ứng dụng :

1 2,x x thì : Định lý : Nếu phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm

1 2 1 2; .b cS x x P x xa a

= + = − = =

Ưng dụng : Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình 2 0x Sx P− + = :

Chú ý : Tính nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình 2 0ax bx c+ + = có một nghiệm và nghiệm 1 1x =

kia là 2cxa

=

• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình 2 0ax bx c+ + = có một nghiệm và nghiệm 1 1x = −

kia là 2cxa

= −

c) Phương trình trùng phương : 4 2 0ax bx c+ + = Đó là những phương trình có dạng :

Cách giải : Đặt y = 2x với điều kiện y≥ ta được một phương trình bậc hai theo y , giải phươ ng 0trình này ta tìm được y , từ đó suy ra x

B. Giải toán Dạng toán 1 : Giải và biện luận phương trình ax+b = 0

Ví dụ 1 : Giải và biện luận phương trình : mx - 5m = 3x + 4 (1)

Giải : (1) ( 3) 5 4m x m⇔ − = +

m ≠ 3 : 5 43

mxm+

=−

m = 3 : 0x = 19 vô nghiệm

Vậy :

• m≠ 3 : phương trình (1) có nghiệm là x = 5 43

mm+−

• m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình : mx + 4 = 2x + (2) 2m

Giải :



6

6

2(2) ( 2) 4m x m⇔ − = −

• m 2 : x ≠2 4 ( 2)( 2) 2

2 2m m m mm m

− − += = =

− −+

• m = 2 : 0x = 0 : phương trình có nghiệm là x R∈ Ví dụ 3 : Giải và biện luận phương trình : m x2 1m x− = +

1

(3)

Giải: (3) ⇔ 2( 1)m x m− = +

• : x =2 1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ ± 2

1 11 ( 1)( 1) 1

m mm m m m

1+ += =

− + − −

• 2 1 0 1

1: 0 2− = ⇔ = ±= = <=> ∈∅

m mm x x

x 1: 0 0m x= − = ⇔ R∈

Vậy : * m phương trình (3) có nghiệm là :x≠ 1± 11m

=−

* m = 1 : phương trình (3) vô nghiệm * m = -1 : phương trình (3) có nghiệm là x R∈

Dạng toán 2 : Giài và biện luận phương trình 2 0ax bx c+ = +

2 22 2(2 1) 2 5 0x m x mVí dụ 1 : Giải và biện luận phương trình sau : − + + + =

m m m+ + − −

Giải : / 2 2(2 1) 2(2 5)m mΔ = + − + = 2 24 4 1 4 10 = 4m -9

• / 90 :4

mΔ < ⇔ < phương trình vô nghiệm

: phương trình có nghiệm kép

92 12 1 142 2

mx++ 1

4= = = • / 90

4mΔ = ⇔ =

• / 904

mΔ > ⇔ > : phương trình có hai nghiệm

12 1 4 9

2m mx + − −

= :

22 1 4 9

2m mx + + −

=

m x m

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình sau : mx2 (2 1) 3 0− + − =

m

−

Giải : m = 0 : phương trình thành 3 0 3x x− = ⇔ = 2 2 20 : (2 1) 4 ( 3) 4 4 1 4 12 8 1m m m m m m m m≠ Δ = − − − = − + − + = +

• 108

mΔ < ⇔ < − : phương trình vô nghiệm



7

7

• 108

mΔ = ⇔ = − phương trình có nghiệm kép

12( ) 12 1 8 512 2( )8

mxm

− −−= = =

−

• 108

mΔ > ⇔ > − : phương trình có hai nghiệm

1 22 1 8 1 2 1 8 1;

2 2m m m mx x

m m− − + − + +

= =

Ví dụ 3 : Cho phương trình : 2 2(2 1) 2 0x m x m m− + + + − =Chứng minh rằng phương trình này luôn có hai nghiệm 1 2,x x .Định m để hai nghiệm này thỏa điều kiện : 1 23x x< <

Giải : 2 2 2 2(2 1) 4( 2) 4 4 1 4 4 8 9 0m m m m m m mΔ = + − + − = + + − − + = >

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm : 1 22 1 3 2 1 31; 2

2 2m mx m x+ m− + +

= − = = + 1 2 ) ( x x< =

Theo đề bài ta phải có : 1 3 2 1 4m m m− < < + ⇔ < <

Dạng toán 3 :Phương trình đưa về bậc nhất ,bậc hai

*Ví dụ 1 : Giải và biện luận những phương trình sau :

a) 3 33 21 1

x xx m xx x

+ + + = ++ +

(1)

b) 2 221 1

x mx x

+ = + +− −

1 0 1x x

(2)

Giải : + a) điều kiện của phương trình (1) là : ≠ ⇔ ≠ −

3x m+3 1 4m m+ ≠ − ⇔ ≠ −3 1 4m m+ = − ⇔ = −

(1)⇔ =

• Nếu nghiệm x = m+3 nhận được • Nếu nghiệm x = m+3 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị

loại Vậy : phương trình có nghiệm là x = m+3 4m ≠ − m = - 4 phương trình vô nghiệm

b)điều kiện của phương trình (2) là : 1 0 1x x− > ⇔ > (2) 2x m⇔ = +

2 1 1m m+ > ⇔ > −2 1 1m m+ < ⇔ < −

• Nếu nghiệm x = m+2 nhận được • Nếu nghiệm x = m+2 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị loại

Vậy : m > -1 phương trình có nghiệm là x = m+2 m < -1 phương trình vô nghiệm *Ví dụ 2 : Giải và biện luận những phương trình sau :

a) 1 3 31 1

mx mx m 1x x

− ++ + =

− − (1)

b) 2 25 52 2 3 32 2

x mx x m mx x

− + + = + − −− −

(2)

Giải : Điều kiện của phương trình (1) là : 1 0 1x x− ≠ ⇔ ≠



8

8

(1) ( )⇔ ( 1) 1 3 3x m x mx m 1+ − + = − +1 2 3 3x x mx m mx m⇔ − + − = − +

2 (2 1) 2 0x m x m⇔ − + + = 1 21; 2x x⇔ = = m ( vì a + b + c = 0 ) Nghiệm (loại vì không thỏa điều kiện của phương trình (1) ) 1 1x =

Nghiệm 2 2x m= nhận được khi 2m 112

m≠ ⇔ ≠

Vậy : 12

m phương trình (1) có một nghiệm là ≠ 2 2x m=

12

m = phương trình vô nghiệm

b) Điều kiện của phương trình (2) là : 2 0 2x x− ≠ ⇔ ≠ (2)⇔ x m 2 2(2 3) 3 2 0x m m− + + + + =

+ − + + = Ta có : Δ = phương trình (2) luôn có hai nghiệm

2 2(2 3) 4( 3 2) 1m m m

1 2(2 3) 1 (2 3) 11; 2

2 2m mx m x+ − + +

= = + = = m +

+ ≠ ⇔ ≠ −

1 21; 2x m x m

Nghiệm nhận được khi m m 1 1x m= + 1 2 1Nghiệm nhận được khi 2 2x m= + 2 2 0m m+ ≠ ⇔ ≠Vậy và phương trình (2) có hai nghiệm 1m ≠ 0m ≠ = + = +

2 2 3x m

= + =

1 1 1x m m =1 phương trình (2) có một nghiệm

= + = m = 0 phương trình (2) có một nghiệm Ví dụ 3 :Giải những phương trình sau :

a) 2

5 22 4

xx x

=+ −

+ (1) b)2 4 2 2

2x x x

x− +

= −−

(2) c) 21 5x x x+ = + − (3)

Giải : a) Điều kiện của phương trình (1) là : 2 24 0 4 2x x x− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± (1) (nhân hai vế với (2( 2) 5 2( 4)x x x⇔ − = + − 2 4x − ) ) 2 22 5 2 8x x x⇔ − = + −

21 22 3 0 1; 3x x x x⇔ + − = ⇔ = = − Cả hai nghiệm này đều thỏa điều kiện của

phương trình (1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : 1 21; 3x x= = − b) Điều kiện của phương trình (2) là : 2 0 2x x− > ⇔ > (2) ⇔ − (nhân hai vế với 2 4 2 2x x x+ = − 2x − ) 2

1 25 4 0 1;x x x x⇔ − + = ⇔ = = 4

1 1x = Nghiệm (loại vì không thỏa điều kiện của phương trình (2) ) Vậy phương trình (2) có một nghiệm là 2 4x = c)

• Nếu 1 0 1: 1 1x x x x+ > ⇔ > − + = + phương trình (3) thành :

2 21 5 6x x x x+ = + − ⇔ = 1 26; 6x x⇔ = − = ( Nghiệm 1 6x = − loại vì không thỏa điều kiện x > - 1 )

• Nếu 1 0 1: 1 ( 1)x x x x+ ≤ ⇔ ≤ − + = − + phương trình (3) thành :

2 2( 1) 5 2 4x x x x x− + = + − ⇔ + − = 0



9

9

' 1 4 5Δ = + = . Phương trình cóhai nghiệm là:

3 41 5; 1 5x x= − − = − + (nghiệm 4 1x = − + 5 bị loại vì không thỏa điều kiện ) 1x ≤ −

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm là : 2 36; 1 5x x= = − − : Ví dụ 4 : Giải những phương trình sau : 2 2) 14 2 3 18 (1) ) 2 5 11 2 (2)a x x x b x x x+ = − + + + = − * ) 2 1 4 3 (3c x x x+ + − = − )

Giải :

a) Điều kiện cuả phương trình (1) là 2

14 2 03 18 0x

x x+ ≥⎧

⎨ − + ≥⎩

2

2

(1) 14 2 3 1817 16 0 1 ; 16( 0)

x x xx x x x do a b c

⇔ + = − +

⇔ − + = ⇔ = = + + = Các nghiệm này đều thoả điều kiện của phương trình . Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 1 ; x = 16 Chú ý : Ta chỉ cần kiểm tra các nghiệm này thỏa điều kiện 14x + 2 0 . Khi đó ≥điều kiện đương nhiên thỏa vì 2 3 18 0x x− + ≥ 2 3 18 14 2 0x x x− + = + ≥

22 5 11 0x x

b) Điều kiện của phương trình (2) là : + + ≥

x

Nếu x – 2 < 0 phương trình (2) vô nghiệm (vì vế trái là số không âm còn vế phải là số âm ) Nếu ta có : 2 0 2x − ≥ ⇔ ≥

2 2

2 2

2

(2) 2 5 11 ( 2)2 5 11 4 4

72 9 7 0 1; ( 0)2

x x xx x x x

x x x x do a b c

⇔ + + = −

⇔ + + = − +

⇔ + + = ⇔ = − = − − + =

2x ≥

Cả 2 nghiệm này đều không thỏa điều kiện Vậy phương trình (2) vô nghiệm

c) Nhận xét rằng các giá trị -2 và 1 làm các biểu thức ( x + 2 ) và ( x + 1 ) đổi dấu nên ta xét các trường hợp sau :

2: 2 0 ; 1 0 2 ( 2); 1 ( 1)x x x x x x x• ≤ − + ≤ − < ⇒ + = − + − = − − Phương trình (3) thành : - (x + 2 ) – (x – 1) = 4x – 3⇔ 6x = 2

13

x⇔ = ( loại vì 2x ≤ − )

2 1: 2 0 ; 1 0 2 2; 1 ( 1)x x x x x x x•− < ≤ + > − ≤ ⇒ + = + − = − −

Phương trình (3) thành : x + 2 – (x – 1) = 4x – 3 32

x x4 6 ⇔ = (loại vì 2 1x− < ≤ ) =

x 1 : 2 0; 1 0 2 2; 1 1x x x x x x• > + > − > ⇒ + = + − = − Phương trình (3) thành : x + 2 + x – 1 = 4x - 3⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (nhận vì thỏa x > 1 ) Vậy phương trình (3) có một nghiệm là x = 2

Ví dụ 5 : Giải những phương trình sau : a) (1) b)4 24 3x x− + = 0 02 2 2( 2 ) 5( 2 ) 4x x x x− + − + = (2) c) (3) 2 2 2( 2 ) 6 12 5x x x x+ − − + = 0 Giải :



10

10

a) Đặt t = 2x (t ) phương trình (1) thành :0≥ 21 24 3 0 1; 3t t t t− + = ⇔ = =

• Với t x 21 1 1 1x= ⇔ = ⇔ = ±

• Với 22 3 3 3x= ⇔ = ⇔ = ±t x

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : 1 ; 3x x= ± = ± b) Đặt t x phương trình (2) thành : t t2 2x= − t t2

1 25 4 0 1; 4+ + = ⇔ = − = −1x x x= − ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ =

0x x x= − ⇔ − = − ⇔ − + =

) ( 2 ) 6( 2 ) 5 0x x x x⇔ + − + + =

• Với t x 2 2

1 1 2 1 ( 1) 0• Với t x 2 2

2 4 2 4 2 4Phương trình vô nghịêm. Vậy phương trình (2) cómột nghịêm x = 1 c) (3 2 2 2

Đặt t= 2 2x x+ phương trình (3) thành : 21 25 6 0 2; 3t t t t− + = ⇔ = =

• Với 2 21 1 22 2 2 2 2 0 1 3; 1 3x x x x x= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = − − = − +

2 22 3 43 2 3 2 3 0 1; 3x x x x x= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = = −

t x • Với t x

Vậy phương trình (3) có 4 nghịêm : 1 2 3 4; ; ;x x x x

*Ví dụ 6 : Cho phương trình (1) Định m để phương trình này có 4 4 2( 5) 2 6x m x m− + + + = 0 nghiệm phân biệt

Giải : 2 ( 5) 2 6 0t m t m Đặt t = 2x phương trìmh thành : + + + = (2) −

2 2( 5) 4(2 6) ( 1)m m mΔ = + − + = +

(2) có hai nghiệm : 1 2( 5) ( 1) ( 5) 1)2; 3

2 2m m m mt t m+ − + + + +

= = = = +

xVới mỗi nghiệm t > 0 ta có hai nghiệm x : t Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi = ±

2

2

0 3 0 32 3 2 1

t m mt m m⎧ > ⎧ + > > −⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ + ≠ ≠ −⎩⎪ ⎩⎩

Bốn nghiệm này là : 2 ; 3x x m= ± = ± + Dạng toán 4 : Định lý Viét và ứng dụng

Ví dụ 1 : a) Tìm hai cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 36m,diện tích bằng 800m b) Tính giá trị cuả những biểu thức sau : E = 2 2

1 2 1 2 2 1; (3 2 )(3 2 )x x F x x x x+ = − − với 1 2;x x là nghiệm của phương trình 23 5 6x x 0+ − = Giải :

18. 80

x yx y 0+ =⎧

⎨ =⎩ a) Goị x,y là hai cạnh của hình chữ nhật (x > 0;y > 0 ) ta có:

Vậy x , y là nghiệm của phương trình 2 18 800 0 8; 10t t t t− + = ⇔ = = Hai cạnh của hình chữ nhật là 8m và 10m

b) Phương trình cho luôn có nghiệm 1 2;x x thoả 1 2

1 2

53

. 2

x x

x x

⎧ + = −⎪⎨⎪ = −⎩

Mà E = 21 2 1( ) 2 2x x x+ − x nên E = 25 6( ) 2( 2)

3 9− − − =

1



11

11

F = 2 21 2 1 2 1 29 . 6 6 4x x x x x x− − + = 2

1 2 1 2 1 213 . 6( ) 12 .x x x x x− + + x

= 2 21 2 1 2

5 6006( ) 25( 2) 6( )3 9

x x x x− + = − − − =

( 2) 3 0x m x m− + + − =

25

*Ví dụ 2 : Cho phương trình 8 2 Định m để phương trình có hai nghiệm 2

1 2;x x thoả hệ thức 1 2(4 1)(4 1) 18x x+ + = (1)

Giải : Điều kiện để phương trình có nghiệm là : 2 2 2' ( 2) 8( 3) 4 28 ( 2) 24 0,m m m m mΔ = + − − = − + = − + > ∀mVậy phương trình luôn có nghiệm . (1) ⇔ 1 2 1 216 . 4( ) 1 18x x x x+ + + =

Mà 1 2 1 22( 2) 2 3; .

8 4m m mx x x x+ +

+ = = =8−

Nên 3 2(1) 16( ) 4( ) 1 188 4

m m− +⇔ + + =

7

2 6 2 1 18m m m⇔ − + + + = ⇔ = Vậy khi m = 7 thì bài toán thoả Dạng toán 5 : Giải một bài toán bằng cách lập phương trình Ta thường phải thực hiện các bước sau : 1 . Chọn ẩn số . Điều kiện của ẩn . 2 . Lập phương trình 3 . Gỉai phương trình 4 . Chọn nghiệm thỏa điều kiện

Ví dụ 1 : Một nông dân có một mảnh ruộng hình vuông . Ông ta khai hoang mở rộng thêm thành một mảnh ruộng hình chữ nhật , một bề thêm 8m , một bề thêm 12m . Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật hơn diện tích mảnh ruộng hình vuông 3136 m . Hỏi độ dài cạnh của mảnh ruộng hình vuông ban đầu bằng bao nhiêu ?

2

Giải : Gọi x (đơn vị đo là mét) là độ dài cạnh của mảnh ruộng hình vuông . Điều kiện là x > 0 . Hai cạnh của mảnh ruộng hình chữ nhật là (x + 8 ) ; ( x + 12 ) .Diện tích của hình chữ nhật này bằng ( x +8 ).( x+12 ) . Diện tích của mảnh ruộng hình vuông là : 2x . Theo giả thiết , tacó :

2 2 2( 8).( 12) 3136 8 12 96 3136

20 3040 157x x x x x x x

x x+ + − = ⇔ + + + − =

⇔ = ⇔ =Giá trị này thoả điều kiện x > 0 nên nhận được . Vậy cạnh của mảnh ruộng hình vuông ban đầu bằng 157m Ví dụ 2 : Một xe hơi khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B cách nhau 150km .Khi về xe tăng vận tốc hơn vận tốc lúc đi là 25km .Tính vận tốc lúc đi biết rằng thời gian dùng để đi và về là 5 giờ

Giải : Gọi v là vận tốc lúc đi ( đơn vị là km/giờ ) . Điều kiện là v > 0 . Vận tốc lúc về là v + 25 .

Thời gian đi từ A đến B là : 150 . v

Thời gian về từ B về A là : 15025v +



12

12

Thời gian đi và về là 5 giờ nên ta có phương trình

2

150 150 5 30( 25) 30 ( 25)25

35 750 050 ; 15

v v v vv v

v vv v

+ = ⇔ + + = ++

⇔ − − =⇔ = = −

So với điều kiện , ta có : v = 50km . Vậy vận tốc lúc đi là 50km/giờ

C . Bài tập rèn luyện : 3.5 .Giải và biện luận những phương trình sau : a) m(x -1) = x + 3 b) m(mx-2) = 4x+4 c) d)2 2 3x mx m− + − = 0 2( 1) (2 2) 3 0m x m x m− + − + + =

3 .6 Cho phương trình : Chứng minh rằng phương trình 2 2(2 1) 3 5 0mx m x m+ + + + =này luôn có nghiệm

3 .7 Giải những phương trình:

a) 3 6

2 1x x

x x+

+ =− −

b) x 2 3 x− = −

c) 2 2x x− 22 3 5 1x x x− = d) + − = +

4 2) 12 2e x x+ = + ) 1 2 2f x x 3− + − = 2 2) 2 3g x x x x− − − + = 0

3.8 Giải và biện luận những phương trình sau :

2 2) ) 2

1 1 1x m xa m b −

x x x−

= + =− − +

2 22( 2) 4 3 0x m x m m− + + + + =

3.9 Cho phương trình : Chứng minh rằng phương trình

này luôn có nghiệm Định m để phương trình có hai nghiệm 1 2;x x thoả :

1 20 1x x< < <

3.10 Cho .phương trình : Tính gíá trị của những biểu thức sau : 2 2 2006 0x x− − =2 2

1 2 1 2 2 1; (2 )(2 )x x F x x x x= + = + + với 1 2;x x là nghiệm của phương trình cho E

3.11 Cho phương trình 2 2 2 4x x mx m+ = + − Định m để phương trình này có hai nghiệm

1 2;x x

2 2 0x qx+ + =

thỏa điều kiện 2 21 2 12x x+ =

3.12 Cho biết phương trình có hai nghiệm là a , b ; phương trình 2 1 0x px+ + = có hai nghiệm là b và c . Chứng minh rằng :

( b – a ) ( b – c ) = pq - 6

3.13 .Một công ty dự định điều động một số xe cùng loại để chuyển 22,4 tấn hàng .Nếu mỗi xe chở thêm một tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc .Hỏi số xe công ty dự định điều động để chở hết số hàng trên là bao nhiêu chiếc ?

3.14 Chia 840 trái banh cho một số trẻ em . Nếu bớt đi 5 em thì số em còn lại sẽ nhận được nhiều hơn 14 banh so với trước . Tính số trẻ em . D. Hướng dẫn hay đáp số :



13

13

3.5. a) m = 1 :vô nghiệm ; nghiệm duy nhất 1m ≠ 31

mxm+

=−

b) nghiệm duy nhất 2m ≠ ± 22

xm

=−

; m = 2 :vô nghiệm ; m = - 2 : x R∈

c) luôn có hai nghiệm 2 21 23; 3x m m m x m m m= − − + = + − +

d) * m = 1 phương trình thành :0x + 4 = 0 , vô nghiệm

* m < 1 : 2nghiệm 1 21 2 1 1 2 1;

1 1m m mx x

m m− − − − + −

= =− −

m

* m > 1 : vô nghiệm

3 .6 .m = 0 : nghiệm là 52

x = ; luôn có nghiệm 20 : ' 1 0,m m m≠ Δ = − + > ∀m

3 .7 .a) 2 nghiệm x = 3 ; x = 32

. b) x = 52

. c) 2x ≤ . d) x = 2

e) 2x = ± 2( 2 1) 3 2 1 3 6x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = f) Viết phương trình thành dạng :

g) Đặt 2 3 0t x x= − + ≥ phương trình thành : t t2 2 3 0 1( ) ; 3t l t− − = ⇔ = − = . Suy ra , phương trình cho có 2 nghiệm là : x = 3 ; x = -2

3 .8 . a) m = 0 : vô nghiệm ; m 0 : nghiệm là ≠ 21xm

= +

b) m = -2 hay m = 1 : vô nghiệm ; 2 4

1 2m mxm m≠ −⎧ −

=⎨ ≠ +⎩

0 1 1 3 1 0m m m

3 .9 . Ta phải có :1 2' 1; 1; 3x m x mΔ = = + = + < + < < + ⇔ − < <

3.10. E = 4016 ; F = - 18.062

3.11 .m = 0 ; m52

=

3 .12 . Ta có : ( b – a ) ( b – c ) = ( b + a – 2a ) ( b + c – 2c) = ( b + a ) ( b + c ) – 2ab – 2ac - 2bc – 2ac + 4ac = ( - p ) (- q ) – 2ab – 2bc = pq – 6

3.13 . 32 xe

3.14 . Số trẻ em là 20

§3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất chứa nhiều ẩn A .Tóm tắt giáo khoa 1.Phương trình bậc nhất hai ẩn: Đó là những phương trình có dạng : ax + by = c (x,y là ẩn ; a,b,c là số thực )

• Nếu hai số 0 0;x y sao cho đẳng thức ax0 0by c+ = đúng thì cặp 0 0( , )x y là một nghiệm của phương trình

• Một phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số cặp nghiệm 0 0( , )x y

2.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :

a) Định nghĩa :Đó là những hệ có dạng : 1 1

2 2

a x b y ca x b y c

1

2

+ =⎧⎨ + =⎩



14

14

Nếu cặp 0 0( , )x y đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì cặp 0 0( , )x y là một nghiệm của hệ b) Cách giải : Ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế để giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Chú ý : Ta có thể dùng những định thức sau để gỉải hệ

• 1 1

2 2

a bD

a b= 1 1 1 1

2 2 2 2x y

c b a cD D

c b a c= =

• :hệ có nghiệm duy nhất : x = 0D ≠ xDD

; y= yDD

• D = 0 : hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

3. Hệ phương trình bậc nhất ba a) Định nghĩa : Đó là những hệ phương trình có dạng

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

x , y , z là ẩn ; các số còn lại là hằng số Bộ ba số 0 0 0( , , )x y z đồng thời là nghiệm của ba phương trình thì bộ ba số này là nghiệm của hệ b) Cách giải :Ta thường dùng phương pháp khử bớt một ẩn để đưa về hệ hai ẩn Chú ý : Ta đều có thể dùng máy tính để giải hệ phương trình hai hoặc ba ẩn

B . Giải toán Dạng toán 1 : Giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1 : Giải các phương trình bậc nhất hai ẩn sau : a) 2x - 3y = 9 b) 2y = 5

c) 3x = - 4

Giải :

a) Ta có : 2 9 2 33 3

xy x−= = −

Phương trình có vô số nghiệm là : 2( ;3

x R y x 3)∈ = −

Chú ý : Biểu diễn tập nghiệm của phương trình này trong mặt phẳng toạ độ chính là đường

thẳng y = 2 33

x −

b) Ta có : y = 52

. Phương trình có vô số nghiệm là : 5;2

x R y∈ =

c) Ta có : 43

x −= . Phương trình có vô số nghiệm là : 4;

3y R x −∈ =

*Ví dụ 2 : Giải các phương trình bậc nhất hai ẩn sau : ) 2 7 , * )6 3 5 , )26 25 1000 , *a x y x y N b x y x y Z c x y x y N+ = ∈ − = ∈ + = ∈

Giải : a) Ta có : y = - 2x +7



15

15

7* 0 2 7 02

7*; 1; 2; 32

y N y x x

x N x x x x

∈ ⇒ > ⇔ − + > ⇔ <

∈ < ⇒ = = =

Suy ra : y = 5 ; y = 3 ; y = 1 . Vậy phương trình cho có ba nghiệm là : ( 1 , 5 ) ; ( 2 , 3 ) ; ( 3 , 1 )

b) Ta có : y = 2x - 53

Nếu x Z y Z∈ ⇒ ∉ . Vậy phương trình cho vô nghiệm

c) Ta có : 264025

xy = − .Để y là số nguyên thì 26x phải chia hết chọ 25 mà 25 và 26

nguyên tố cùng nhau nên x phải chia hết cho 25 : x = 25 , x = 50 , x = 75 . . . Ta lại có y > 0 nên x = 25 .Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất là ( 25 , 14 ) Dạng toán 2 : Giải hệ phương trình hai ẩn

Ví dụ 1 : Giải những hệ phương trình sau :

a) ⎧⎨ b) 3 45 2 14x yx y− = −2+ =⎩

2 13 21 33 4

x y

x y

⎧ 2312

+ =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

c)

3 2 41 4

2 5 91 4

xx y

xx y

⎧ − =⎪ + +⎪⎨⎪ + =⎪ + +⎩

2

4 3 44 9 6

x yx y+ =⎧

⇔ ⎨ − =⎩ 4 9 6x yx y

Giải :

a) Hệ cho (nhân 2 vế cuả phương trình sau với 2) 3 4 2

10 4 28x yx y− = −⎧

⇔ ⎨ + =⎩

(cộng hai phương trình trên vế với vế ) 3 4

13 26x y

x− = −⎧

⇔ ⎨ =⎩

22

xy=⎧

⇔ ⎨ =⎩

b) Hệ cho 4 3 4− − = −⎧

⇔ ⎨ − =⎩

4 3 412 2x y

y

− − = −⎧⎨⇔

− = −⎩

9816

x

y

⎧ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩

c) điều kiện là : 1 0 14 0 4

x xy y

⎧ + ≠ ≠ −⎧⇔⎨ ⎨+ ≠ ≠ −⎩⎩

Đặt 1;1 4

xu vx y

= =+ +

Hệ thành :

3 2 4 3 2 4 2

⎨2 5 9 19 19 1u v u v uu v v v

⎧ − = ⎧ − = =⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨+ = − = − =⎩⎪ ⎩⎩

221

1 414

xxxy

y

⎧ =⎪ = −⎧+⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = −⎩⎪ =+⎪⎩

* Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình sau :

2( 1) (5 2) 2( 3)

( 1) 3( 1) 3m x m y mm x m y m+ − − = −⎧

⎨ + − − = −⎩



16

16

Giải :

Ta có : 2( 1) (5 2)

1 3( 1m m

Dm m

+ − −=

+ − − ) = -6(m+1)(m-1) +(m+1)(5m-2) = (m+1)(-m+4)

2( 3) (5 2)

3 3( 1x

m mD

m m− − −

=− − − )

=(m-3)(-6m+6+5m-2) =(m-3)(-m+4)

2( 1) 2( 3)

1 3y

m mD

m m+ −

=+ −

=2(m+1)(m-3) -2(m+1)(m-3) =0

• D 0 ≠1

( 1)( 4) 04

mm m

m≠ −⎧

⇔ + − + ≠ ⇔ ⎨ ≠⎩ hệ có nghiệm là :

( 3)( 4)( 1)( 4)

xD m m mxD m m m

− − + −= = =

+ − + +31

0yDy

D= =

• D = 0 1 ; 4m m⇔ = − =

* m = -1 hệ thành : hệ vô nghiệm 7 86 4

yy= −⎧

⎨ = −⎩

* m = 4 hệ thành : hệ có vô số nghiệm 10 8 25 4 1

x yx y− =⎧

⎨ − =⎩

*Ví dụ 3 : Cho hệ phương trình ( 2) 2( 1) 1m x y mm x y m+ + = −⎧

⎨ − − = +⎩

35

; ;

Định m để hệ có nghiệm duy nhất . Cho biết thêm m là một số nguyên , định m để hệ có nghiệm duy nhất là số nguyên.

Giải : Ta sẽ tính các biểu thức : x yD D D

2 2

2 22 2 2 3

1 1

3 23 2 30 3 27

15 1

2 3( 17 30) ( 4 3) 21 27

1 15

x

y

mD m m m

m

mD m m m

m

m mD m m m m m

m m

+= = − − − + = −

− −

−= = − + − − = − −

+ −

+ −= = + + − − + = +

− +0 0 :D m≠ ⇔ ≠

Hệ có nghiệm duy nhất : 3 27 91

321 27 97

3

x

y

D mxD m m

D myD m m

− −⎧ = = = +⎪⎪ −⎨

+ +⎪ = = = − −⎪ −⎩

Nghiệm này là số nguyên khi phân số 9m

là số nguyên . Do đó m là ước số của 9 . Vậy các

giá trị của m là : ± ± 1 ; 3 ; 9± Dạng toán 3 :Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn



17

17

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :

3 2

2 53 7 4 8

x y zx y z

x y z

− + = −⎧⎪− + + =⎨⎪ − + =⎩

25

2+ =⎨

⎪ − =⎩2

Giải :

Hệ cho ⇔ − (khử x để được hai phương trình dưới) 3 2

5 12 2 14

x y zy z

y z

− + = −⎧⎪

3 2

5 14 8

x y zy z

z

− + = −⎧⎪⇔ − + =⎨⎪ =⎩

2192

xyz

=⎧⎪⇔ =⎨⎪ =⎩

Dạng toán 4 : Giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1 : Cho một tam giác vuông : nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng lên 50c ; nếu giảm cả hai cạnh đi 2cm thì diện tích giảm đi 32 .Tính hai cạnh góc 2m 2cmvuông

Giải :

Goị x và y là chiều dàì hai cạnh góc vuông (đơn vị chiều dài là cm ; x , y > 0)

Diện tích tam giác vuông là : 12

xy

Nếu tăng hai cạnh lên 2cm và 3cm thì diện tích là 1 ( 2)( 3)2

x y + +

Nếu giảm mỗi cạnh 2cm thì diện tích là 1 ( 2)( 2)2

x y − −

Theo giả thiết ta có hệ

1 1( 2)( 3) 502 21 1( 2)( 2) 322 2

x y xy

x y xy

⎧ + + = +⎪⎪⎨⎪ − − = −⎪⎩3 2 94 30

32 2x y xx y y+ = =⎧ ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩

Ví dụ 2 :Một ca nô chạy trên sông 21km rồi trở về mất tổng cộng 6giờ 30 phút .Biết rằng ca nô chạy xuôi dòng 7km tốn thời gian bằng với chạy ngược dòng 6km .Tính vận tốc của ca nô và vận tốc dòng nước của sông

Giải :

Gọi x , y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước (đơn vị là km/giờ)

Khi xuôi dòng vận tốc ca nô là :x + y và thời gian để đi 21km là 21x y+

Khi ngược dòng vận tốc ca nô là :x - y và thời gian để đi 21km là : 21x y−

Thời gian ca nô xuôi dòng 7km là : 7x y+

và thời gian ca nô ngược dòng 6km là 6x y−



18

18

Theo đề bài .ta có hệ :21 21 13

27 6

x y x y

x y x y

⎧ + =⎪ + −⎪⎨⎪ =⎪ + −⎩

(với 42 42 137 6

u vu v+ =⎧

⇔ ⎨ =⎩

1 1; )u vx y x y

= =+ −

1 13

77 21 66 2

u xx yx yv y

⎧ ⎧ ⎧=

1

=⎪ ⎪ ⎪+ =⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− =⎪ ⎪ ⎪= =⎪⎪ ⎪ ⎩⎩⎩

Vậy vận tốc ca nô là 13 km/giờ vàvận tốc dòng nước là 2

12

km/giờ

*Dạng toán 5 : Giải hệ phương trình bậc hai

Ta thường chỉ gặp các dạng giải được bằng phép thế hoặc bằng phép đặt ẩn số phụ, thường là đặt S = x + y và P = xy.:

*Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

2 2 2 2

2 1 3 6) )

19 2 3 18 0x y x y

a bx xy y x xy y

− = + =⎧ ⎧⎨ ⎨− + = + − + =⎩ ⎩

(Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai )

Giải : a) Hệ phương trình cho tương đương hệ

2 2 2

2 1 2 1(2 1) (2 1) 19 6 0 (*)

y x y xx x x x x x

⎧ = − = −⎧⇔⎨ ⎨− − + − = − − =⎩⎩

2 2 2

6 3 6 32(6 3 ) 3(6 3 ) 18 0 4 27 45 0(**)

x y x yy y y y y y

⎧ = − = −⎧⇔⎨ ⎨− + − − + = − + =⎩⎩

Phương trình (*) cho : x = - 2 ; x = 3 . Với x = - 2 , ta có : y = 2(-2)-1 = -5 ; với x = 3 ; y = 2(3) - 1 = 5 Vậy hệ phương trình này có hai nghiệm là : ( - 2 , - 5 ) ; ( 3 , 5 ) b) Hệ phương trình cho tương đương hệ :

Phương trình (**) cho :y = 3 ; y = 15 4

Với y = 3 , ta có x = 6 – 3(3) = -3 ; với y = 15 15 21; 6 3( )4 4 4

x −= − =

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là : ( -3 , 3 ) ; 21 15( , )4 4−

*Ví dụ 2 : Giải các hệ phương trình sau :

2 2

417

) )1 1 1665

7

x yxy x y

a bx y

x y

+ =⎧= + +⎧⎪

⎨ ⎨+ = + =⎩⎪⎩

(các hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình đối xứng )

Giải : a) Đặt S = x + y ; P = xy . hệ phương trình thành :



19

19

4 416 77 4

S SS PP

=⎧ =⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨

= =⎪ ⎪⎩⎩

Vậy x , y là nghiệm của phương trình : 2 7 14 0 ;4 2

X X X X 72

− + = ⇔ = =

Do đó hệ có hai nghiệm là : 1 7 7 1( , ) ; ( , )2 2 2 2

b) Tương tự như trên , hệ phương trình thành :

2 2

17 7 9 112 65 2 99 0 8 28

P S P S S Shay

S P S S P P

⎧ ⎧= + = + ⎧ = − =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − − = = =⎩⎪ ⎩⎪ ⎩⎩ Với S = - 9 ; P = 8 . x , y là nghiệm của phương trình : • 2 9 8 0 1 ;X X X X+ + = ⇔ = − = −8 Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( -1 , - 8 ) ; ( - 8 , - 1 ) Với S = 11 ; P = 28 : x , y là nghiệm của phương trình : • 2 11 28 0 7 ; 4X X X X− + = ⇔ = = Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 ) Tóm lại hệ có bốn nghiệm là : ( -1 , -8 ) ; ( -8 , -1 ) ; ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 ) Chú ý : Với hệ phương trình đối xứng (là hệ mà các phương trình đều không đổi khi ta hoán vị

hai ẩn x và y) , ta thường biến đổi thành hệ chứa S và P ( S = x + y ; P = xy ) . Biết S và P ta sẽ tìm được x , y C . Bài tập rèn luyện 3.15 . Giải những phương trình sau a) 2x – y = 6 ; ,x y R∈ * b) 3x – 2y = 6 ; ,x y Z∈

3.16 .Giải những hệ phương trình sau :

a) 5 7 22 3 4 2

)5 2 4 5 2 12x y x y

bx y x y

⎧ + = − = −⎧⎨ ⎨− = + = −⎩⎩

3 .17 .Giải những hệ phương trình sau : 2 1 2 53 32 2 1

) )4 3 3 21 52 2 1

x y x y x ya b

x y x y x y

⎧ ⎧+ = − = −⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪− = + =⎪ ⎪+ + −⎩⎩

2 2 5 5 3 30) 3 5 4 ) 3 3 16

7 4 16 4 2 3 23

x y z x y za x y z b x y z

x y z x y z

⎧ + + = − + =⎧⎪ ⎪− + = − + + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ − = − + =⎩⎩

3 18 .Giải những hệ phương trình sau :

3 .19 .Một dung dịch 90% axít pha với nước tạo thành dung dịch 60 % axít Khi đổ thêm 2 lít nước để pha loãng hơn nữa thì dung dịch thành 40 % axít Hỏi lượng nước đổ vào để dung dịch 90% axít xuống còn 60% axít là bao nhiêu ?

3 .20 .Nếu tử số cùa một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 14

Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 524

Tìm phân số đó

D . Hướng dẫn hay đáp số



20

20

3 .15 . a) , 2 6 ; ) 2 ; 3 3 ,x R y x b x n y n n Z∈ = − = = − ∈

3.16 a) 8 ;5

x y= = 2 b) x = - 2; y = - 1

3 .17 a) 13

x y= = b) x = 1 ; y = 2

3 .18 .a) Hệ cho tương đương hệ

34 3 9 2 3 22 4 2 4

7 4 16 7 4 16 32

xx y xx y x y y

x y z x y z z

⎧ ⎧ ⎧

1

=⎪ ⎪ ⎪+ = =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = ⇔ + = ⇔ =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪+ − = + − =⎪ ⎪ ⎪ = −

⎪ ⎩⎪ ⎩⎩

b) Hệ có vô số nghiệm

3 .19 . Gọi x (lít) là lượng nước có trong dung dịch 90 % axít và y (lít) là lượng nước đổ thêm Lượng axít có trong dung dịch là không đổi nên ta có phương trình

0,9x = 0,6(x+y) = 0,4(x+y+2) giải ra ta có :8 4;3 3

x y= =

3 .20 .Phân số phải tìm là 3

16

§4. Trắc nghiệm cuối chương

A. Câu hỏi . 1 .Cho phương trình

1 2x xx

x x+ =

− − Điều kiện của phương trình này là

a . b . 0x ≠ 1x ≠ c . 2x ≠ d . 1x ≠ và 2x ≠

2 .Cho phương trình 2 9

2 2x

x x=

−) Nếu a là nghiệm của phương trình thì bằng : 2( 2a a+

− a .15 b .10 c. 3 d . Một đáp số khác

3 .Cho 3 phương trình : 2 4 2x x x+ − = + − (1)

2 22 1 5 1x x x+ + = + + (2) 2 23 1 4 1x x x− − = − − −

2

(3)

Trong 3 phương trình này có bao nhiêu phương trình vô nghiệm a .O b .1 c .2 d .3

4 .Cho phương trình 2 4m x m x+ = + Phương trình này vô nghiệm khi m bằng : a .2 b .0 c .4 d .Một đáp số khác

5 .Cho phương trình Để phương trình này có hai nghiệm đều lớn hơn 2 (3 1) 3 0x m x m− + + =12

thì

m phải thỏa điều kiện nào dưới đây

a . 16

m > b . 16

m < c . 16

m > − d . 2m < −

6 .Cho phương trình bậc nhất 2 ẩn : 2x + y = 3 và những cặp số (2,-2) ;(5.-7) ; (1,1) ; (1,4 ) ; (3,-3) . Trong những cặp số này có bao nhiêu cặp là nghiệm của phương trình trên ? a .1 b .2 c.3 d .Một đáp số khác



21

21

7 .Cho phương trình Nếu phương trình này có hai nghiệm đều lớn hơn -3 thì m phải thỏa điều kiện nào dưới đây :

2 (2 1) 2 0x m x m+ + + =

a .m < 32

b .m > 32

− c . m < 3 d .m > - 3

8 .Cho phương trình : 2 2 2006 0x x− − = có 2 nghiệm là 1 2;x x thì 2 21 2( )x x+ bằng

a .-4008 b .2008 c .4008 d.Một đáp số khác

9 .Cho phương trình mx + 2 = 3x - 2m . Để phương trình này có nghiệm duy nhất thì ( ) phải

2 2m m+khác số nào dưới đây :

a .15 b .3 c .14 d .16

10 .Cho phương trình 2m(x+1) = x + m . Nếu phương trình này có nghiệm duy nhất thì nghiệm này là :

a .2 1

mm−−

b . 12

mm+ c .

2 1m

m − d.

2 1m

m−+

11 .Chohệ phương trình : . Nếu 100 2 393 10

x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩0 0( , )x y là nghiệm của hệ th ( 7 0 0x y+ ) bằng :

a .7 b .-7 c .11 d .Một đáp số khác

12 .Cho hệ phương trình Nếu 2 4

5x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩0 0( , )x y là nghiệm của hệ thì 2

0 0( )x y+

2

bằng :

a .8 b .9 c .10 d .Một đáp số khác

13 ,Cho phương trình Nếu phương trình này có 2 nghiệm là2(2 1) ( 3)x x+ = + 1 2 1 2; ( )x x x x< thì 2

1(9 3 )1x x+ bằng : a .6 b .- 6 c.12 d .Một đáp số khác

14 .Cho phương trình : x 1 2 3x− = + Nếu a là nghiệm của phương trình thì a thỏa điều kiện nào dưới đây :

a) .- 5 < a < - 3 b).- 1 < a <0 c ).- 1 < a < 23

− d.) 0 < a < 1

15 Cho phương trình m x Biết rằng phương trình này có nghiệm là2 6 4 3x m+ = + x R∈ Thế thì m thỏa điều kiện nào dưới đây ?

a).1< m < 3 b) .-3< m < - 1 c ).3 < m < 5 d ) -5 < m < - 3

16 . Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 22m và có diện tích bằng 24 Cạnh lớn của hình chữ nhật có độ dài là b (đơn vị dùng là mét).b thỏa điều kiện nào dưới đây ?

2m

a) .4 < b < 6 b) .5 < b < 7 c ).7 < b < 9 d ).8 < b < 9

17 .Một phân số có tử số bằng 5 Nếu cộng thêm 8 vào mẫu số ta được một phân số nhỏ hơn phân số cũ là 2 .Mẫu số của phân số này bằng : a).3 b ).6 c ).9 d ).Một đáp số khác

18 .Cho phương trình .Số nghiệm của phương trình này là : 2 2 2( 1) 3( 1) 2x x+ + + + = 0 a) . 0 b) .1 c) . 2 d) . 4

19 . Cho phương trình 4 2(2 1) 2 0x m x m− + + = . Nếu phương trình này có 4 nghiệm phân biệt thì m phải thỏa điều kiện nào dưới đây



22

22

0

1). ). 0 ). ). 122

ma m R b m c m d

m

>⎧⎪∈ > ≠ ⎨

≠⎪⎩

20 . Cho phương trình Nếu a , b là hai nghiệm phân biệt của phương trình này thì (a+b) sẽ bằng :

4( 2) (2 1)x x+ = + 4

a) . 3 b) . 2 c) . 0 d). 1 B. Bảng trả lời 1 .d 2c 3b 4d 5a 6 c 7a 8 d 9 a 10a 11 .b 12d 13c 14b 15a 16c 17d 18a 19d 20c

C. Hướng dẫn giải 1(d) Điều kiện của phương trình là : 1x ≠ và 2x ≠

2(c ) .Điều kiện của phương trình (1) là 2 0 2x x− > ⇔ < phương trình thành a= -3 2 9 3(x x x= ⇔ = − < 2) 32 2 9 6a a+ = − =

3(b) .Điều kiện của phương trình (1) là : 2x ≤ phương trình (1) thành x = 4 (loại) phương trình (1) vô nghiệm

Điều kiện của phương trình (2) là : x R∈ phương trình (2) thàn 52 52

x x= ⇔ = phương

trình (2) có nghiệm.

Điều kiện của phương trình (3) là : phương trình (3) thành 2 1x ≥ 24 16( )3 9

x x x−= − ⇔ = =

2 ) 2m x m− = −

3 4 thỏa

điều kiện ; phương trình (3) có nghiệm Vậy chỉ có một phương trình vô nghiệm

4(d) .Viết phương trình thành ( 4 phương trình vô nghiệm khi

2 4 0

22 0m

mm

⎧ − =⇔ = −⎨

− ≠⎩

5(a).Phương trình này có hai nghiệm là :1 và 3m. Do đó ta phải có 3m >1 12 6

m⇔ >

6(c) .Ta viết y = 3 - 2x Do đó các cặp số (1,1) ;(3,-3) ;(5 ,-7) thỏa đẳng thức này nên là nghiệm . Vậy trong những cặp số này có 3 nghiệm

7(a) .Phương trình này có hai nghiệm là - 1 và - 2m Ta phải có ;- 2m > - 332

m⇔ >

8(d).Tacó mà 1 2

1 2

2. 2006x x

x x+ =⎧

⎨ = −⎩

23 ( 2 ) 15m m m≠ ⇒ + ≠

2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 4 4012 4016x x x x x x+ = + − = + =

9(a) .Viết phương trình này thành (m-3)x = - 2m - 2 ; phương trình này có nghiệm duy nhất nên

10(a) .Viết phương trình thành (2m-1)x = -m nghiệm là 2 1

mxm−

=−

11(b) .Ta có (Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ) 0 00 0

0 0

100 2 37

93 10x y

x yx y

+ =⎧⇒ + = −⎨ + =⎩

7

12(d) .Hệ này có nghiệm là 20 0 0 01; 6 7x y x y= − = ⇒ + =



23

23

13(c) .Viết phương trình thành dạng: 2 2

1 24(2 1) ( 3) 0 (3 4)( 2) 0 ;

3x x x x x x 2−+ − + = ⇔ + − = ⇔ = =

Suy ra 21 1(9 3 ) 16 4 12x x+ = − =

14(b) .Nếu x>1 phương trình thành x -1 = 2x + 3 nghiệm là x = - 4 (loại vì x >1)

Nếu 1x ≤ phương trình thành 1-x =2x+3 nghiệm là 2

3x −= (nhận) a =

23−

x15(a) .Viết phương trình thành Phương trình này có nghiệm là 2( 4) 3m x m− = − 6 R∈ khi :

2 4 0

23 6 0m

mm

⎧ − =⇔ =⎨

− =⎩

16(c) .Ta có 11

3; 8. 24

a ba b

a b+ =⎧

⇔ = =⎨ =⎩

17(d) .Đặt x là mẫu số ,ta có phương trình

25 52 8 20 0 2;8

x x x x 10x x− = ⇔ + − = ⇔ = = −

+

Vậy mẫu số có thể bằng 2 hoặc bằng -10

18(a). phương trình này vô nghiệm vì 2 1 0x + >

19(d) . Đặt t = 2x phương trình thành

21 2(2 1) 2 0 1; 2 ( 0)t m t m t t m do a b c− + + = ⇔ = = + + =

Phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt khi

2

2

00 2 011 2 12

mt mt m m

⎧ ⎧ >⎧> >⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ ≠ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩

[ ][ ]

4 4 2 2 2 2

2 2

1 2

( 2) (2 1) ( 2) (2 1) (2 1) ( 2) 0

(2 1) ( 2) (2 1) ( 2) 0

( ( 2) (2 1) 0)3( 1)( 1) 0 1; 1

x x x x x x

x x x x

do x xx x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇔ + + + + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇔ + + + + − + =

+ + + ≠⇔ + − = ⇔ = − =

20(c)

Vậy a+b = 0

ĐẠi sỐ 10 - toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · cho phương trình f(x) = g(x)...

Documents