tien yeu hoa - toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · bài 6: chứng minh rằng m < n...

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------

Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 1

Thân gửi những học trò thương!

Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong việc học chính tại trường và học thêm nâng cao nên đã không còn có thời gian đến học nhóm nữa. Thầy đã thực sự không còn có thể giúp được các bạn nhiều trong việc học tập, tuy vậy thầy vẫn muốn theo sát quá trình học tập của các bạn tại lớp, tại trường. Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một số vấn đề về khảo sát hàm số. Rất muốn chia sẻ cùng các bạn. Với mỗi chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về trước. Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có thể nắm được dạng đề toán thi TN và ĐH. Thầy rất mong ngoài kiến thức SGK; SBT và kiến thức các thầy cô giáo trên trường dạy, các bạn có thể tranh thủ làm những dạng bài của thầy để nâng cao thêm tầm kiến thức, và rất mong các bạn sẽ đón nhận chuyên đề này và những chuyên đề khác nữa. Mong các bạn góp ý và bổ sung nhưng thiếu sót về mặt kiến thức cũng như phương pháp giải. Trong quá trình học với từng chuyên đề, những phần các bạn không hiểu hay thắc mắc có thể liên hệ trực tiếp với thầy. Nếu còn ngại thì viết tên bài/số trang và chuyển tới Hưng, thầy sẽ cố gắng hướng dẫn các bạn sớm nhất. Cảm ơn các bạn rất nhiều.

Chúc các bạn sức khoẻ, thành công!

TRUNG TÂM GIA SƯ ANH TIẾN

http://violet.vn/thandieu2

Thân tặng

http://diendankienthuc.net

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. Tóm tắt lý thuyết. 1. Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị. Hàm số y = f(x) có cực trị y = f(x) có cực đại và cực tiểu f’(x) = 0 có nghiệm.

Chú ý: * Nếu f'(x0) = 0 và f"(x0) = 0 thì ta không tìm được cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết luận hàm số không có cựu trị. * Dấu hiệu II thường tìm cực trị những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác.

B. Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3. Bài 1: Tìm m để hàm số y =

31 x3 + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.

Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + 5 có cực đại và cực tiểu. Bài 3: Chứng minh rằng m, hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1; x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m. Bài 4: Tìm m để hàm số y =

31 x3 + (m - 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + 1 đạt cực trị tại x1; x2

thoả mãn điều kiện x1 < -1 < x2

Bài 5: Tìm m để hàm số y = 31 x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + (m2 -m) đạt cực trị x1; x2

thoả mãn điều kiện -1 <x1 < x2 Bài 6: Chứng minh rằng m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x1; x2 với m < x1 < n < x2 < p. Bài 7: Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 2)x2 + 6(5m + 1)z - (4m3 + 2) a, Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1. b, Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2. c, Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị (-1; 1) d, Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị lớn hơn 9. Bài 8: Tìm m để hàm số y =

31 x3 + (m2 - m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m - 5 đạt cực tiểu tại x

= -2. ( Điều kiện cần + điều kiện đủ) Bài 9: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 10: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 11: Tìm m để f(x) = x3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 không có cực trị.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số xfy ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm 0 0;M x y C . Tính đạo hàm và giá trị 0'f x . Phương trình tiếp tuyến có dạng: 0 0 0'y f x x x y . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm 0 0;M x y C có hệ số góc 0'k f x . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . Giải phương trình: 'f x k , tìm nghiệm 0 0x y . Phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0y k x x y . Chú ý: Cho đường thẳng : 0Ax By C , khi đó:

Nếu // :d d y ax b hệ số góc k = a.

Nếu :d d y ax b hệ số góc 1ka

.

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ;A AA x y C . Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó : A Ad y k x x y Điều kiện tiếp xúc của à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

'

A Af x k x x y

f x k

Tổng quát: Cho hai đường cong :C y f x và ' :C y g x . Điều kiện để hai đường cong

tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. ' '

f x g x

f x g x

.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN. A. Hướng dẫn cách giải 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0) (C): y = f(x) có hệ số góc là f’(x0). Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của (C) là y - y0 = f’(x0)(x- x0) y = f’(x0)(x- x0) + y0 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Phương pháp: Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ xi => f’(xi) = k => x = xi là nghiệm của phương trình f’(x) = k. Giải phương trình f’(xi) = k => nghiệm x (x0; x1;x2; …xi…xn) Phương trình tiếp tuyến tại xi là y = k(x- xi) + f(xi) Cách 2: Phương pháp điều kiện nghiệm kép Xét đường thẳng với hệ số góc k với phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với (C): y = f(x) phương trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phương trình (*) với = o => các giá trị của m => phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Vì điều kiện (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các hàm số mà phương trình tương giao kx + m = f(x) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2. 3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc. a, Dạng trực tiếp k = 1; 2, 3; … b, Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc => k = tg với 0000 165;...45;30,15 c, Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b => k = a. d, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b => k = -

a1 với a 0

e, Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc => kaak

1 = tg với

0000 75;...45;30,15

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


4. Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Phương pháp tìm tiếp điểm: Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành

độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Do A (t) nên b = f’(xi)(a- xi) + f(xi). x = xi là nghiệm của phương trình b = f’(xi)(a- xi) + f(xi). Giải phương trình tìm được nghiệm x (x0; x1;x2; …xi…xn). Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x-a) + b tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) Hệ phương trình f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b. Giải phương trình ta tìm f’(x) = k được x (x0; x1;x2; …xi…xn). Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Phương pháp điều kiện nghiệm kép: Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) + b tiếp xúc với (C) y = f(x) k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép …. … Nói chung u(k)x2 + v(k)x + w(k) = 0 có nghiệm kép u(k) 0 = g(k) = .k2 + .k + = 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a;b).

B: BÀI TẬP

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x3 - 3x + 5 khi biết a, Hoành độ của tiếp điểm là x1 = -1; x2 = 2 ; x3 = 3 b, Tung độ của các tiếp điểm là y1 = 5; y2 = 3 ; y3 = 7 Bài 2. Cho (C): y = f(x) = 2x3 - 3x2 + 9x - 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: a, Đường thẳng (d) y = 7x + 4 b, Parabol (p): y = -x2 + 8x - 3 c, Đường cng (C) y = x3 - 4x2 + 6x + 7 Bài 3: Cho hàm số (Cm) y = x3 + 1 - m(x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 4: Cho (C) y = x3 + + 3x2 + 3x + 5. a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đường thẳng y = kx + m. Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =

31 x3 - x +

32 mà tiếp tuyến đó vuông góc với

đường thẳng y = 31 x +

32 .

Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x3 + 3x2 - 9x + 5 Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 7: Cho đồ thị (C) y = x3 - 3x + 7 a, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1 b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y = 2

91

x

c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 450. Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x3 + 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1. b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x. Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 +2 biết tiếp tuyến đó 5y - 3x + 4 = o b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến đó y =

3x

Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x3 - 3x2 - 12x - 5 a, Viết phương trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4 b, Viết pt tiếp tuyến y = 2

31

x

c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y = 521

x một góc 450

Bài 11: Cho đồ thị (C) y = 31 x3 - 2x2 + x - 4.

a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 600 b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3

21

x góc 300

c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2 d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3. Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( )4;

1219( đến (C) y = 2x3 - 3x2 + 5

b, Cho (C) y = x3 - 3x2 + 2. + Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm B(

923 ; -2) đến (C)

+ Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. + Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 13: Cho (C) y = x3 - 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( 1;

32 ) đến y = x3 - 3x + 1

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x3 - x - 6. + Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x3 + 9x + Cho đồ thị (C) y = x3 + ax2 + bx + c. Tìm các điểm M (C) để có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị. + Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x3 - 9x2 + 17x + 2. Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x4 + 2x2 - 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(5,

49 ) đến đồ thị (C) y = x4 - 7x2 + 10.

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B( 1, - 4) đến đồ thị (C) y = x4 - 2x3 - 2x2 + 45

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x4 - x3 + 2x2 -1 Bài 17: Cho (C): y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ. Bài 18: Cho (C): y =

31 x3 - x +

32 . Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông

góc với đường thẳng y = 32

31

x .

Bài 19: Cho (C): y = 1

632

xxx . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến

(C); tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 20: Cho (C): y = mx3 - (m - 1)x2 - (m - 2)x + m -1. Tìm m để (C) đạt cực đại tại x = -1. Khi m = 1, tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 21: Cho (C): y = -x4 + 2x2 - 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 22: Cho (C): y = x3 - 3x2 + 2. a, Qua A(0; 1) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy. b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên. Bài 23: Cho (P) y = 2x2 + x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 450

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 24: Cho (C): y = xxx 232 . Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M

kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 25: Cho (C) y = x3 + 3x2. Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài 26: Cho (C): y = mx

xmx

434 2

, Với giá trị nào của m thì tếp tuyến vủa đồ thị tại điểm có

hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận. Bài 27: Cho (H): y =

112

xx và 1 điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.

Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. CMR: M là trung điểm của AB. CMR: Diện tích Tam giác IAB = const. c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất (gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB + 22 IBIA 2 IBIA. + IBIA.2 = 2(2+ 2 ) Dấu = sảy ra IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.) Bài 28: Cho (C): y =

11

xx . CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam

giác có diện tích không đổi. Bài 29: Cho (C): y =

123

xx . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 450.

Bài 30: Cho (C): y = 1254

xx . Viết pt tiếp tuyến vủa (C) song song với y = 3x + 2.

Bài 31: Cho (C): y = 4532

xx . Viết pt tiếp tuyến của (C) y = - 2x.

Bài 32: Cho (C): y = 52

73

xx . Viết pt tiếp tuyến của (C) biết

a, Tiếp tuyến song song với y = 21 x + 1

b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x. c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 450. Bài 32: Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C): y =

13

xx .

Bài 34: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y = 3443

xx

Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y = 22

xx

Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y = 1x

x đi qua giao điểm I của 2

đường tiệm cận.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y = 2

)1(3

xx

Bài 38: Cho (C): y = 1

332

xxx . Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với

1 tiếp tuyến bất kì là không đổi.

Bài 39: Cho (C): y = 2

332

xxx . Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0.

Bài 40: Cho (C): y = 2

772 2

xxx

. Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4.

Bài 41: Cho hàm số 4 22y x x a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

i. Tại điểm có hoành độ 2x . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 : 24 2009 0d x y . iv.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 : 24 2009 0d x y .

Bài 42: Cho hàm số 2 3

1x xy

x

có đồ thị là (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

i. Tại giao điểm của (C) với trục tung. ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.

iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1). iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13.

Bài 43 :Cho hàm số 2 1

1x xy

x

có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).

Bài 44: Cho hàm số 2 3 3

1x xy

x


a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b. Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 45: Cho hàm số: 2

1xy

x


a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm M (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm đối xứng của (C).

Bài 46: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.


2x xy

x

. (ĐH KhốiB 2006)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận

xiên. ĐS: b. 2 2 5y x .

Bài 48: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: 3 21 13 2 3

my x x (*) (m là tham số).

(ĐH KhốiD 2005) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2. b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5 0x y ĐS: m=4.

Bài 49: Cho hàm số 3 23 3 my x mx x m C . Định m để mC tiếp xúc với trục hoành. Bài 50: Cho hàm số 4 3 21 my x x m x x m C . Định m để mC tiếp xúc với trục hoành.

Bài 51: Cho đồ thị hàm số 2 4:

1xC yx

. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ

đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C). Bài 52: Cho đồ thị hàm số 4 2: 2 1C y x x . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). Bài 53: Cho đồ thị hàm số 3: 3 2C y x x . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Bài 54: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH KhốiB 2008)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

điểm M(–1;–9).

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô’ xfy ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: Nghiệm của phương trình ' 0f x là hoành độ của điểm cực trị.

Nếu

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

thì hàm số đạt cực đại tại 0x x .

Nếu

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x .

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

Để hàm số y f x có 2 cực trị '

00y

a .

Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . 0CĐ CTy y . Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0CĐ CTx x .

Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

. 0CĐ CT

CĐ CT

y yy y

.

Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0

. 0CĐ CT

CĐ CT

y yy y

.

Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành . 0CĐ CTy y . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số 3 2y ax bx cx d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

Dạng 2: Hàm số 2ax bx cydx e

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng

2 ' 2'

ax bx c a by xdx e d d

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


MỘT SỐ BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng hàm số y = 2 2 41 1x m m x m

x m

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm

m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.

2. Cho hàm số 3 21 2 13

y x mx m x . Định m để:

a. Hàm số luôn có cực trị. b. Có cực trị trong khoảng 0; . c. Có hai cực trị trong khoảng 0; .

3. Định m để hàm số 3 2 2 23 1 2 4y x mx m x b ac đạt cực đại tại x = 2. 4. Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.

a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.

5. Cho hàm số 3 23 9 3 5y x mx x m . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

6. Cho hàm số 2 1 1x m x m

yx m

. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,

cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 7. Cho hàm số 3 21 2 2 2y x m x m x m . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

8. Cho hàm số 2 22 1 3x mx my

x m

. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai

phía đối với trục tung.

9. Cho hàm số 3 21 2 1 23 my x mx m x m C . Định m để hàm số có hai điểm

cực trị cùng dương.

10. Cho hàm số 2 22 1 42

x m x m my

x

(1). (ĐH KhốiA / 2007)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.

ĐS: 4 2 6m .

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


11. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m (1), m là tham số. (ĐH KhoiB/2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. ĐS : b 1

2m .

12. Cho hàm số 4 2 29 10y mx m x (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐHKhốiB/2002)

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN

Cho hàm sô xfy có tập xác định là miền D. f(x) đồng biến trên D Dxxf ,0' . f(x) nghịch biến trên D Dxxf ,0' . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: 2f x ax bx c . 1. Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. 2. Nếu 0 thì f(x) có nghiệm

2bxa

và f(x) luôn cùng dấu với a khi 2bxa

.

3. Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số 0

* 1 2

00 0

0x x P

S

* 1 2

00 0

0x x P

S

* 1 20 0x x P

1. Cho hàm số 3 23 1 3 1 1y x m x m x . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; .

2. Xác định m để hàm số 3 2

2 13 2x mxy x .

a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên 1; .

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


3. Cho hàm số 3 23 2 1 12 5 2y x m x m x . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 .

4. Cho hàm số 2 6 2

2mx xy

x

. Định m để hàm số nghịch biến trên ;1 .

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các công thức về khoảng cách:

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): 2 2B A B AAB x x y y .

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng : 0Ax By C và

điểm M(x0;y0) khi đó 0 0

2 2,.

Ax By Cd M

A B

.

1. Cho hàm số 3 23 3 3 2 my x mx x m C . Định m để mC có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.

2. Cho hàm số 2 2:1

xC yx

. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách

đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

3. Cho hàm số 2 1:

1x xC y

x

. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2

tiệm cận là nhỏ nhất.

4. Cho hàm số 2 2:1

xC yx

. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao

cho đoạn MN nhỏ nhất.


1x xC y

x

. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao

cho đoạn MN nhỏ nhất.

6. Cho hàm số 2 2 1:

1x xC y

x

.

a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


7. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:1y mxx

(*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1

4.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng 1

2. ĐS: m=1.

Dạng 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Từ hàm số ,y f x m ta đưa về dạng , ,F x y mG x y . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu

có là nghiệm của hệ phương trình

, 0

, 0

F x y

G x y

.

1. Cho hàm số 3 23 1 3 2 my x m x mx C . Chứng minh rằng mC luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

2. Cho hàm số 22 6 4:

2mx m x

C ymx

. Chứng minh rằng đồ thị mC luôn đi qua một

điểm cố định khi m thay đổi. 3. Cho hàm số 4 2: 1 2 3 1mC y m x mx m . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số 3 23 3 3 6 1 1 my m x m x m x m C luôn đi qua ba điểm cố định.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “) 0,y f x x D . Do đó ta

phải giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần

phía dưới trục Ox lên trên.

y f x có f x f x , x D nên đây là hàm số

chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.

x

y

(C)

x

y

(C')

x

y

(C '')

MỘT SỐ BÀI TẬP

1. Cho hàm số 2

:2 2x xC y

x

.

a. Khảo sát hàm số.

b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt. 2

2 2x x

kx

.

2. Cho hàm số 2 3 3:

1x xC y

x

.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:2 3 3

1x x m

x

.

3. Cho hàm số 24:

1x xC yx

.

a. Khảo sát hàm số. b. Định m để phương trình 2 4 0x m x m có bốn nghiệm phân biệt.


2x xC y

x

.

a) Khảo sát hàm số. b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 1 2 1 0x m x m .

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x . b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 3 22 9 12x x x m . (ĐH KA2006

Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm 0 0;I x y là tâm đối xứng của đồ thị :C y f x Tồn tại hai điểm M(x;y) và

M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: 0

0

' 2' 2

x x xf x f x y

0

0 0

' 22 2

x x xf x f x x y

Vậy 0 0;I x y là tâm đối xứng của (C) 0 02 2f x y f x x .

1. Cho hàm số 22 2 2

2 3x x my

x

có đồ thị mC .

Tìm giá trị của m để mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

2. Cho hàm số 2 2 22:

1mx m x mC y

x

.

Định m để mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 3. Cho hàm số 3 23 1y x x m (m là tham số).

a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B2003)

ĐS: a. 0 0 0, 0f x f x x … m>0.

4. Cho hàm số 3

2 1133 3xy x x có đồ thị C . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng

nhau qua trục tung. 5. Cho hàm số 3 2 1y x ax bx c . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1). 6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1. Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C)

0lim

CM

MMH

2. Cách xác định tiệm cận a. Tiệm cận đứng: 0:lim

0

xxdxfxx

.

b. Tiệm cận ngang: 00 :lim yydyxfx

.

c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong đó:

xxfxxf

xx

lim;lim .

Các trường hợp đặc biệt: *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm

nhất biến) nmxbaxy

+TXĐ: D= R\

mn

+TCĐ: mnxdy

mnx

:lim

+TCN: mayd

may

x

:lim

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

x

y

may

mnx

I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu

tỷ) nmx

Axnmx

cbxaxy

2

+TXĐ: D= R\

mn

+TCĐ: mnxdy

mnx

:lim

+TCX: 0lim nmx

Ax

TCX: y=x+

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

x

y

xy

mnx

I

1. Cho hàm số

2 23 2 2

13

mx m xy

x m

, với m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1. b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450.

(ĐH Khối A2008)

6

4

2

y

x

(d)

(C)

HM

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


2. Cho hàm số 2 2 1 1mx m x m

y f xx

. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f(x) có tiệm

cận xiên đi qua gốc tọa độ. 3. Cho hàm số

2 (2 1). 3 1, 02

ax a x ay a ax

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của

hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định. 4. Cho hàm số

22 3 2( )1

x xy f xx


a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một số không đổi.

b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất. 5. Cho hàm số

22 2( )1

x mxy f xx

có đồ thị (Cm). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị

hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. 6. Tìm m để đồ thị hamd số 2

11

xyx mx

có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn

1 23 31 2

5

35

x xx x

.

7. Cho hàm số 11

xyx


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

8. Cho hàm số 2 12xy

x

có đồ thị (H).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm với trục tung. c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ngắn nhất.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐỒ THỊ CÓ 3 ĐIỂM UẤN THẲNG HÀNG. VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG.

Hướng dẫn: Tìm 3 điểm uấn . f’’(x) = 0 => x = x0 là hoành độ điểm uấn => y0 => U(x0; y0) Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm uấn (dựa vào VTCP); thay điểm còn lại vào pt đường thẳng vừa tìm được => đpcm Một số bài toán mở đầu. Bài 1: Tìm các khoảng lồi; lõm và điểm Uấn của a, (C): y = 2x3 - 5x2 + 7x - 1. b; (C): y = - 2x3 + 6x2 + 1. c: (C): y = - x5 + 10x3 - 20x2 + 6x + 7.

d: (C): y = 22

3

3axx

với a > 0.

e; (C): y = x3 - 6x2 + 12x + 1 g: (C): y = 3x5 - 5x4 + 7x - 2. h: (C): y =

4532

xx

Tìm điều kiện tham số để (C): y = f(x) nhận U(x0; y0)làm điểm uấn

Bài 2: Tìm m để (C): y = 23 23

m

mx nhận U(1; 0) làm điểm uấn

+ Tìm a; b; c; d để (C): y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm uấn là U1(1;1); U2(3; -7). + Tìm m để (C): y = mx3 + 3mx2 + 4 có điểm uấn U(-1; 2). + Tìm a; b để (C): y = ax3 + bx2 + x + 2 có điểm uấn U(1; -1)

+ Tìm m để (C): y = x3 + mx 23 + 1 có điểm uấn U(-1; 3)

+ Tìm a, b để (C): x2y + ax + by = o có điểm uấn U(2; 25 )

Chứng minh đồ thị có 3 điểm uấn thẳng hàng, viết pt đường thẳng. Bài 1: CMR (C): y =

112

2 xx

x có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết ptđt đi qua 3 điểm uấn.

Bài 2: CMR (C): y = 22 x

x có 3 điểm uấn thẳng hàng.. Viết ptđt qua 3 điểm uấn của (C).

Bài 3: CMR (C): y = 1

12

xx có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết PT đường thẳng qua 3 điểm

uấn. Bài 4: CMR (C): y =

112

2 xx

x có 3 điểm uấn thẳng hàng, Viết PTđt qua 3 điểm uấn.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ TUYỂN TẬP CÁC BÀI KHẢO SÁT THI ĐẠI HỌC QUA CÁC NĂM 2005 - 2009

Bài 1: ĐH Khối A/ 2009. Cho hàm số y =

322

xx . a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O. (y = -x - 2) Bài 2: ĐH khối B/2009. Cho hàm số y = 2x4 - 4x2. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị b, Với giá trị nào của m thì phương trình x2 |x2 - 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. Bài 3: ĐH khối D/2009 Cho hàm số y = x4 - 3(m+2)x2 + 3m. có đồ thị là (Cm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 0. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2 Bài 4: ĐH khối A/2008

Cho hàm số (C): y = mx

xmmx3

2)23( 22

với m là tham số thực.

a, Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 1. b, Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đường tiệm cận của hàm số (C) bằng 450. Bài 5: ĐH khối B/2008 Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 (1) a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; - 9) Bài 6: ĐH khối D/2008. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1)

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b, Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k>3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I;A; B đồng thời I là trung điểm của AB.

Bài 7: ĐH khối A/2007

Cho hàm số y = 2

4)1(2 22

xmmmx (1), m là tham số

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1. b, Tìm m để hàm số (10 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 8: ĐH khối B/2007 Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1. (1) m là tham số a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1. b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O. Bài 9: ĐH khối D năm 2007. Cho hàm số (C):y =

12xx . a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b, Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A; B và tam giác OAB có diện tích bằng

41 .

Bài 10: ĐH khối A/2006. a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4. b, Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2| x3 |- 9x2 + 12|x| = m. Bài 11: ĐH khối B/2006.

Cho hàm số (C): y = 2

12

xxx . a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đt hàm số.

Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) Bài 12: ĐH khối D/2006 Cho hàm số (C): y = x3 - 3x + 2. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b, Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Bài 13: ĐH khối A/2005. Cho (Cm) y = mx +

x1 (m là tham số)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 41

b, Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm) là

21

Bài 14: ĐH khối B/2005

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 1

1)1(2

xmxmx (*) m là tham số

a, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1. b, Chứng minh rằng với mọi m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 .

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ BỔ XUNG

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0M (x ;y ) (C)

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0) Áp dụng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 333 xxy tại điểm uốn của nó

`b. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi 0 0( ; ) ( )M x y C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : '

0( )f x k , từ đó suy ra 0 0( )y f x =? Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của ( ) là: k a Định lý 2: Nếu đường thẳng ( ) đi qua hai điểm B A B( ; ) vaø B(x ; ) vôùi x xA A BA x y y thì hệ số góc của ( ) là : B A

B A

y ykx x

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


\ Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 2( ) vaø ( ) . Khi đó:

1 2

1 2

1 2

1 2

// k k

k .k 1

Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): 3 21 1 42

3 2 3y x x x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2.

Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 132

x

xy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng xy 3:)(

c. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ) qua A và có hệ số

góc là k bởi công thức: ( ) ( )A A A Ay y k x x y k x x y (*) Bước 2: Định k để ( ) tiếp xúc với (C). Ta có:

A'

f(x)=k(x-x ) tieáp xuùc (C) heä coù nghieäm (1)

f ( )Ay

x k

Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): 43 23 xxy Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 2 5

2xy

x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).

x

y

AAAA yxxkyxxkyy )()(:

O

);( AA yxA

)(:)( xfyC

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số xxxy 32

31 23 tại điểm

uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 2: Cho đường cong (C): 2

12

x

xxy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2:)( xy

Bài 3: Cho hàm số 1

632

x

xxy (C)

Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng xyd

31:)(

Bài 4: Cho đường cong (C): 2 1

1x x

yx

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).


12

x

xxy (C)

Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). Bài 6: Cho hàm số

31

231 23 xmxy (Cm)

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): 23 23 xxy Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x) Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh ( ) : : ( ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox

vaø caét Oy taïi M(0;m)

C y f xy m

Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của ( ) và (C) Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa:

y

x

)(:)( xfyC

);0( m

1m

2m

my

O

y

x0x

)( 1C

)( 2C

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *)

Phương pháp: Đặt k=g(m) Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh ( ) : : ( ) laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox

vaø caét Oy taïi M(0;k)

C y f xy k

Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của ( ) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**).

Minh họa:

Áp dụng: Ví dụ: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 41292 23 xxxy 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 041292 23 mxxx 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx 1292 23

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình :

a.2

1x

mx

b. 2

1x

mx

Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2 3 23 3 0x x k k Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 3 2 0x mx Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 22 4 3 2 1 0x x m x

x

y

ky );0( k

K1M

O

2K

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 2

23 2 log 0x x m

Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :3

22 33

xx xe

e e m

Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 2 21 1 1 19 ( 2).3 2 1 0t ta a

HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm ( m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ )( mC đi qua điểm );( 000 yxM cho trước. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có : Họ đường cong )( mC đi qua điểm );( 000 yxM ),( 00 mxfy (1)

Xem (1) là phương trình theo ẩn m. Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0

Cụ thể: Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua

M0 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua

M0 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi

qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC

Áp dụng:

Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số mx

mmxy

2

1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi

qua điểm A(2;0) Ví dụ: Cho hàm số 193 23 xmxxy (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1)

thuộc đường thẳng y=x+1

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ),(:)( mxfyCm ( m là tham số ) Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi );( 000 yxM là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình: ),( 00 mxfy nghiệm đúng m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: 0 BAm m Dạng 2: 02 CBmAm m

Áp dụng định lý: 0 BAm

00

BA

m (2)

000

02

CBA

mCBmAm (3)

Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được );( 00 yx

TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ


2x x

yx

Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên .


1x x

yx

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung . Bài 3: Cho hàm số 2 1

1xy

x

Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất


1x x

yx

Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------



2x x

yx

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là nhỏ nhất. Bài 6: Cho hàm số 4 22 3 2 1y x x x Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ nhất. Bài 7: Cho hàm số 1

1y x

x

(C)

Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất


1x x

yx

Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm 5(0; )2

I


1x

yx

Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG


12

x

xxy (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận

đứng và xiên làm tâm đối xứng.


1x m x m

yx

(Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ Bài 3: Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 1y x mx m x m (Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ


2x mx m

yx

(Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 - x2

Giả sử y = a cắt (C) tại x1; x2, x3 tính S = x21+ x2

2+ x23

Bài 2: Cho (Cm) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5. Khảo sát hàm số khi m = 0. b, Tìm m để hàm số có CĐ; CT Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hs (C): y = x3 - 6x2 + 9x. Tìm m để (d) y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O,A,B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên 1đường thẳng song song với Oy.

Bài 4: Khảo sát và vẽ (C): y = xx 43

3

b, Tìm k để xx 43

3

+

)2(3)1(4 2

kk = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 5: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + 4. a, Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 4. b, Tìm m để (Cm) có 1 cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 6: a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y = x3 - 12x + 12. b, Tìm các điểm M thuộc đường thẳng y = -4 kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 7: Cho (Cm) y = x3 - ax2 - (2a2 -7a + 7)x + 2(a - 1)(2a - 3) a, Khảo sát khi a = -1. b, Tìm a để hàm số đồng biến /[2, + ) c, Tìm a để đồ thị tiếp xúc với trục hoành. Bài 8: Cho (Cm) y =

31 x3 - mx2 + (2m - 1)x + m + 2.

a, Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2. (C2) b, Từ A( )

34;

94 kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C2)

c, Tìm m để hàm số nghịc biến trên (-2; 0) Bài 9: Viết pt đường thẳng đi qua CĐ, CT của (Cm): y = x3 + mx2 + 7x + 3 b, Khảo sát và vẽ với m = 5. c, Tìm m để (Cm) có cặp điểm đối xứng qua O(0;0) Bài 10: Cho (Cm) y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1. a, Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 0. b, Tìm điểm cố định. c, Tìm m để (Cm) có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ. Bài 11: Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y = x3 - 3x2 + 2 b, Viết PT tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến 5y - 3x + 4 = 0. Bài 12: Cho (Ca) y = 2x3 + ax2 -12x - 13. a, K/s và vẽ ĐT với a = 3. b, Tìm a để CĐ, CT cách đều trục Oy.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 13: Khảo sát và vẽ (C): y = x3 + 2x2 -1. b, Tìm m để x3 + 2(m - 1)x2 - 1 = 0 có nghiệm duy nhất. Bài 14: Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y =

32

31 3 xx

b, Tìm M (C) sao cho tiếp tuyến tại M y = 32

31

x

Bài 15: Cho (Cm) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5. Khảo sát và vẽ ĐT với m = 1. b, Tìm m để HS có CĐ, CT. Bài 16: Cho (Cm) y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 Khảo sát và vẽ ĐT với m = 1. b, CMT xCĐ

- xCT không phụ thuộc vào m.

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

Bài 1: Khảo sát và vẽ (C) y = 253

22

4

xx

b, Lấy M (C) với xM = a. CMR hoành độ giao điểm của tiếp tuyến (d) tại M với (C) là nghiệm (x-a)2.(x2 + 2ax + 3a2 -6) =0. Bài 2: Cho (Ck) y = kx4 + (k -1)x2 + (1-2k). a. Tìm k để hàm số có 1 điểm cực trị. b, Khảo sát và vẽ đồ thị với k =

21 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hs biết tiếp tuyến

này đi qua 0(0;0) Bài 3: Cho (Cm) y = x4 + mx2 - m - 5. a, Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm) với mọi m. b, Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1. Tìm m để hàm số có các cực trị lập thành tam giác đều. Bài 4: Cho (Cm) y = x4 - 2(1 - m)x2 + m2 -3. a, Tìm m để (Cm) không cắt trục hoành. b, Tìm m để hàm số đạt cực trị, khảo sát và vẽ đồ thị hsố với m vừa tìm được. c, Biện luận số nghiệm của phương trình theo k: x2(x2 - 2) = k Bài 5: Cho (C): y = (x + 1)2.(x - 1)2 a, Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. b, Biện luận số nghiệm của phương trình x4 - 2x2 - 2b + 2 =0 c, Tìm a để (P) y = ax2 - 3 tiếp xúc với (C). Viết phương trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Bài 6: (Cm) y = (1 - m)x4 - mx2 + 2m -1. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. b, Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị c, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 7: Cho (Cm) y = x4 + mx2 - (m + 1) a,1 Tìm m để (Cm) tiếp xúc với y = 2(x -1) tại điểm có hoành độ x = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m vừa tìm được. a.2 Sử dụng đồ thị trên. Biện luận số nghiệm của PT 4x2.(1 - x2) = 1-k b, CMR (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định m.

Bài 8: (Cm) y = 23

21 24 mxx a, Với m = 3.

Khảo sát và vẽ đồ thị hs. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;

23 ) đến (C)

b, Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Bài 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2(4 - x2) b, Tìm m để phương trình x2(4 - x2) = m2 - m có 4 nghiệm.

Bài 10: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 492

42

4

xx

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các giao điểm của nó với Ox.

KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC Bài 1: Cho y =

142

xx

a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b, Biện luận số giao điểm của (d): 2x - y +m = 0 với (C) khi (d) cắt (C) tại m; n phân biệt, tìm quỹ tích trung điểm của MN. Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

312

xx .

Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số

2x 3x 6y2 x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm cận là nhỏ nhất. c) tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ nhất. d) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (mỗi điểm thuộc một nhánh) sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

---------------- My Life ----------------


Bài 4: Cho hàm số 2 2m 1 x my x m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mọi m tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabôn cố định. Xác định parabôn đó. c) Tìm tất cả các điểm mà tiệm cận xiên không đi qua Bài 5: Cho hàm số

mx 1y x m

(1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định. d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị.

Các nguồn: Tổng hợp – Sưu tầm. Chúc các em học tốt !

tien yeu hoa - toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · bài 6: chứng minh rằng m < n...

Documents