I modelli matematici

Il rapporto tra la realtà concreta e la realtà astratta

Itinerario

• Origine e storia dell’idea di modello matematico(dagli Antichi al XVI secolo)

• Il passaggio cruciale

• Il determinismo

• Il XX secolo

• La definizione di modello

• Modelli matematici in ambiti diversi

• Efficacia e inefficacia dell’idea di modello

• Conclusioni

Slide

Letture

Video

Esigenze pratiche

Nessuno può mettere in dubbio che la matematica sia nata per risolvere problemi legati ad attività pratiche.

Geometria significa “misurazione della terra”

Calcoli e sistemi di numerazione si sviluppano in Mesopotamia, in Egitto e in molte altre parti del mondo.

Furono usati per l’astronomia, per i calendari, per l’amministrazione, per i censimenti….

Nessuna legge matematica

È importante tuttavia osservare

che si trattava di un uso pratico

in cui non era mai presente

l’idea di legge matematica

che governa il funzionamento

della natura.

Il contributo greco (300 a.C.)

• Platone: i concetti matematici come prototipo del mondo ideale

• Aristotele: la matematica è un sistema di ragionamento logico, rigoroso, riferito ad enti astratti, ma senza legame di necessità con la natura.

• Euclide: gli «Elementi» sono la prima sintesi strutturata di queste concezioni.

Mondo concreto

Geometria, forme ideali

Sapere oggettivo, indiscutibile,

certo

Archimede

• La sua opera è la prima che «osa» un collegamento tra matematica e applicazioni.

• E’ basata su assiomi, teoremi e struttura deduttiva (come la geometria euclidea, a

partire da assiomi di statica, idrodinamica…)

• Considera però nobili le speculazioni teoriche; volgari le applicazioni pratiche.

«Archimede ha avuto il cuore così alto e l’intelletto così profondo (e vi teneva nascosto un tesoro di invenzioni geometriche) da non degnarsi di lasciare scritta qualche opera sul modo di costruire queste macchine da guerra e considerando tutta questa scienza di inventare e comporre macchine, e generalmente ogni arte che apporti qualche utilità da mettere in uso, come cosa vile, bassa, mercenaria, egli impiegò il suo spirito e il suo studio a scrivere solamente cose la cui bellezza e sottigliezza non fosse in alcun modo mescolata alla necessità.»

(Plutarco, Pelopida e Marcello)

Tolomeo

Stesso discorso per l’Almagesto di Claudio Tolomeo (150 d.C.)

• Ci sono molti calcoli• Ci sono molte figure geometriche• Ci sono preziose tavole di dati

• Non c’è alcuna legge (nemmeno il tentativo di ricavarla)

Medioevo

“Nella maggior parte delle discipline, una generazione

distrugge ciò che era stato costruito dalla precedente

e ciò che l’una aveva stabilito l’altra lo disfa.

Soltanto in matematica ciascuna generazione

aggiunge una nuova storia alla vecchia struttura”

(Hermann Hankel – matematico tedesco sec XIX)

Medioevo

• Il Cristianesimo dominante impose in primo piano gli interessi spirituali riducendo a frivolezze inutili le ricerche sulla natura e il mondo fisico.

• La geometria euclidea venne dimenticata

• La matematica fu ridotta ai soli fini di utilità pratica, insegnata nelle scuole di abaco.

(Letture pg. 2)

Il 1500

Il Cinquecento, è il secolo in cui vengono poste le basi per lo sviluppo della matematica moderna.

• Nell’algebra è introdotto l’uso dei simboli e vengono risolti numerosi tipi di equazioni algebriche.

• Nella geometria si riscoprono le opere dei classici.

• Cresce l’esigenza di rompere la concezione medioevale di natura che poneva una rigida divisione tra il mondo celeste (perfetto e immutabile) e il mondo terrestre (imperfetto e corruttibile)

• Cominciano a intrecciarsi attività pratiche e attività intellettuali: si costruiscono i primi orologi, si inventano i logaritmi…

Il matematico del cinquecento non è esclusivamente un teorico, ma è spesso un artigiano, un costruttore, un commerciante.

Rinascimento• Prosegue la riscoperta delle grandi opere degli autori classici

• Si studiano problematiche nuove, grazie all’algebra conosciuta dagli Arabi

• Cresce la volontà di capire «come funziona» la complessa macchina della natura *approfondimento

• Cresce l’esigenza di un nuovo concetto di natura, che unifichi il regno celeste e quello terrestre

Scrive Galileo Galilei nel suo Dialogo dei Massimi Sistemi:

Quanto alla Terra, noi cerchiamo di nobilitarla e perfezionarla, mentre procuriamo di farla simile ai corpi celesti e in certo modo metterla quasi in cielo, di dove i vostri filosofi l’hanno bandita.

Cresce la volontà di capire «come funziona» la complessa macchina della natura – (approfondimento)

La scienza aristotelica è qualitativa e finalistica, cioè descrive le qualità dei fenomeni e i principi che li determinano, come quello dei luoghi naturali: ogni corpo «terroso» tende al suo luogo naturale: la terra. Finalità del corpo è ricongiungersi con il suo luogo di appartenenza: la terra.

Invece in Galileo il moto perde ogni carattere qualitativo e diviene un fatto puramente quantitativo, non finalistico e meramente dovuto a cause materiali. Galileo spiega qual è la causa che fa cadere i corpi a terra e precisa con quale moto avviene tale caduta.

Mathesis universalis

Renè Descartes riportò al centro la matematica

affermando che la «matematica universale»

è l’essenza del mondo e che la fisica

poteva essere interamente ricondotta alla geometria

e all’algebra.

(Letture pg. 3)

Galileo Galilei

Nell’opera di Galileo Galilei è contenuta una definizione organica del rapporto fra lo studio dei fenomeni naturali e la loro rappresentazione matematica. Galileo presenta la matematica in duplice veste: - è scienza rigorosa, astratta e perfetta- è alla base delle operazioni dell’artigiano (come misurare e costruire).

Si intrecciano quindi due tendenze: quella legata alla tradizione greca e in particolare platonica, e quella rinascimentale, che vede nella matematica uno strumento utile nelle tecniche artigianali e nelle costruzioni.

Il metodo della conoscenza scientifica

Il libro della natura è stato scritto da Dio in termini matematici e geometrici(Il Saggiatore)

1. Osservare i fatti

2. Decodificare i dati quantitativi osservati

3. Formulare leggi

4. Verificare le leggi (esperimenti)

matematica

Il passaggio cruciale

Descrizioni qualitative concrete, enpiriche

espresse con discorsi, motivazioni finalistiche

Scienza antica

Esempioun sasso tende sempre alla terra, le

bolle d'aria che si liberano nell'acqua tendono a ricongiungersi all'aria.

Ogni elemento tende al suo ambiente naturale.

Descrizioni quantitative astratte espresse

con simboli matematici, motivazioni causali

Scienza moderna

Esempi

s = s0 + vtF = ma

Il percorso intellettuale della scienza moderna è paradossale: per avvicinarsi di più alla realtà, alla natura, deve farsi più astratta! 2