e-learning e modelli matematici in 3d1 e-learning e modelli matematici in 3d e-learning e modelli...

E-Learning e modelli matematici in 3D

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Tutto ebbe inizio da ...

Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria

Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate

Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perchè forniscono concretezza ad un risultato e sono accessibili all’esperimento.

I modelli matematiciI modelli matematici


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Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?

Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D.

Come renderle facilmente reperibili ?

The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,

but the means we use for threading through the consequent

maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-

rigged ships.

Vannevar Bush , “As we may think”, 1945

Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?


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Obiettivo:Obiettivo:

Sviluppare tool per contestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici nelle didattiche dell’E-Learning.


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Capitolo Primo: L'E-Learning•I Learning Object•Un Learning Object per la classificazione delle quadriche

Capitolo Secondo: Algoritmi di approssimazione •NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati •La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico•3D-Resource brokering con algoritmi basati su NurbsCapitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici


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Perché L’E-Learning

L’E-Learning si sta affermando … …è vietato opporsi…

…. Ma qualcuno potrebbe chiedersi perché.

Proviamo a dare una risposta…..


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- decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva E-Learning

-le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto“

-Ipercomplessità tecnologica

-reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione

Perché L’E-Learning


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Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web

Ontologia : dominio di conoscenza dell’esperto

Instructor : esperto nel dominio di conoscenza -Scrive l’Ontologia

Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor Filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, associa all’ontologia le risorse didattiche, fornisce allo studente una interpretazione -ermeneutica- dell’ontologia

Learning Management System Piattaforma per la didattica a distanza. Implementa i corsi e permette al tutor di seguire lo studente Ambiente esterni


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I Learning Object

E-learning in the small


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I Learning Object

Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai learning object

I learning object sono gli strumenti che popolano gli ambienti di apprendimento

I learning object sono rappresentati con metadata

Esistono diversi standard per rappresentare i metadata


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I Learning Object

Definizione: Un learning object è un’entità-digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia-

D.A.Wiley “The Instructional Use of Learning Objects”” in D.A.Wiley (Ed.) The instructional use of learning objects,, pp.-10-11, AIT editions, 2002


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Asset : file Learning object : la più piccola unità di

apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica (Vanni-Formato,2003)

A. Vanni, F. Formato –Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione Ravello, ottobre 2003

I componenti di un learning object possono essere di due tipi

1) assets 2) altri learning object più semplici

I Learning Object


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Per la costruzione di Learning Object complessi, è necessario che il materiale didattico sia “riusabile”.

Learning Object

L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consenta l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.


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Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di granularità

I Learning Object


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ContentProvider

LearningServiceProvider

Learning Community

L’E-Learning in the large L’E-Learning in the large

Modelli di E-Learning


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I fornitori di contenuto (Content provider)

Possono essere le università o le aziende che fanno formazione, organizzate in unità distribuite.

Esempi:

MIT OCW ocw.mit.edu

MURL -Multi University virtual Research Laboratory

http://murl.microsoft.com/

The Geometry Center

www.geom.uiuc.edu/



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I fornitori di servizi di E-learning (Learning Service Provider)

I learning service provider possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning agli utenti finali

Esempi:- Global Virtual University http://www.gvu.unu.edu/ -GRID –Arendal http://www.grida.no/-Sfera www.sfera.it



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Sono l’estensione del core business delle università tradizionali

new universities = old universities + learning community

Esempi: OCW : estende il MIT ai paesi dell’america latina BatMath: comunità di docenti di matematica

Le Comunità di apprendimento

Comunità di pratica (Community of Practice)

sostituiscono la tradizionale formazione professionale



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Per eliminare i learning object “spuri”, è necessario dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta di accedere a learning object “buoni”

Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie:

Filtri di informazione information filter

Filtri collaborativi (collaborative filter)



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ContentProvider

LearningService

Provider

Learning Community Information

Filter

I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti.I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente.

ContentProvider

LearningService

Provider

Learning Community

Collaborative

Filter



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I filtri collaborativi

MIT OCWTopologyAtl

asPolito

MathworldMURL

Il giardino di

Archimede

BatMatPisa

MedialabCS

PrincetonHarvard

CSCICAVE

StanfordS

A’

B’

A e B sono entrambi interessati all’argomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i learning object S A’ e B ha visto i learning object S B’ , con A’ e B’ learning object inizialmente non condivisi.Si comparano le pagine A’ , B’ e S’. Se sono simili , allora

Chaos on the web Yale FractGeo

A = S B’ B = S A’


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Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i Metadati descrivono i dati contenuti sul Web.

Il Web Semantico

Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché memorizzata sotto forma di metadati – intesi come una pura e semplice combinazione di stringhe- indipendente dal contesto.

Tim Berners-Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998

Nel Web Semantico

l’informazione diventa machine-

processable.


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RDFLa novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i Metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…

L’RDF è codificato in XML.


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Quadrica PianoTangente

Intersezione Cdet(Quadrica)

det=0

det>0

C immaginaria C reale nondegenre C degenre

C 2 rettereali C 1 retta

C 2 retteimmaginarie

det<0

ConoReale

ConoImmaginario

Ellissoide

CilindroIperbolico

CilindroParabolico

CilindroEllittico

IperboloideEllittico

IperboloideIperbolico

det0

ParaboloideEllittico

ParaboloideIperbolico

Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche3x2+4y2+2xy+9z2-1=0 det=-99<0

Iperboloideellittico


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<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<rdf :

xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#”

xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#”

xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns”

>

<rdf: Description>

<quadrica: determinante>

<quadrica: R_neg value= “-99” >

</quadrica:determinante>

<quadrica:equazione>

3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0

</quadrica:equazione>

<quadrica: intersezione_piano_improprio>

<quadrica: Conica_reale_non_degenere>

<quadrica: discriminante>

<quadrica: R+ value = “99”/>

</quadrica: discriminante>

</quadrica: Conica_reale_non_degenere

</quadrica: intersezione_piano_improprio>

</rdf: Description>


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Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica usando un robot che sonda informazioni di tipo locale (tipo di punti, molteplicità…).

Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente.


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NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale.

Una superficie NURBS ha equazione parametrica

È controllata dai gradi (h e k), dai punti di controllo (pij)e dai pesi (wij).

dove le Ni,h e Nj,k sono le funzioni di base B–Spline definite da:

con

sui vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq);

i pij sono i punti di controllo, e i wij sono i pesi. Valgono le relazioni

p=m+h+1 e q=n+k+1

u,v [0,1]


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NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati

Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata:

21m

0i

1n

0jjiji QtsS

,),(

per opportuni valori si e tj dei parametri.


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L’algoritmo

Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.

Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è

con u[0,1] parametro della rappresentazione

parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di

controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul

vettore dei nodi U=(u0,…,um).

m=n+h+1.


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Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij da approssimare, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.

L’algoritmo


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L’algoritmo

Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare

NTNP=NTQ dove

Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)

1n

0k

2

kk tCQ )(

per opportuni valori tj del parametro.


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Passo 1. Si costruisce un'opportuna parametrizzazione (t0,t1,…,tn)

Passo 2. Si costruisce il vettore dei nodi U=(u0,u1,…,un+h)

Passo 3. Si costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(ti)) i,j=0,…,n-1

Passo 4. Si calcola il prodotto NT N

Passo 5. Si applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NT N=LLT.

Passo 6. Si calcolano i prodotti NTa ed NTb (Chi sono a e b?))

Passo 7. Si risolvono i sistemi finali LLTx=NTa e LLTy=NTb mediante forward e back substitution.

L’algoritmo


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Risultati dell’algoritmo

File di input

Gradi della NURBS

3 3

Dimensioni della griglia

5 5

Punti da approssimare

(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)

Pesi Tutti uguali ad 1


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Resource Discovery

Un Learning Object composto da un insieme di asset

Ad esempio questo Learning object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO

Problema: Si puo’ cambiare il LO riusando una superficie in rete?


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Soluzione: 1) Si definisce un linguaggio di query basato sul web

semantico –RDF di un sampling set- 2) Si determina uno shape descriptor della query basato

sul sampling set: Nel nostro caso lo shape descriptor di un sampling set è

la NURBS generata con l’algoritmo di approssimazione.Si definisce un grado di similarity tra lo shape descriptor

del sampling set S e lo shape descriptor S’ della risorsa sul web. Per esempio (Kazdhan 2004)

R(S,S’) = Raster(RS) EDTS(S’) + Raster(RS’) EDTS(S)

Resource Discovery


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RDF

LO

RDF

LO

RDF

LORDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

Shapedescriptor

NURBS -basedShape

descriptor

Resource broker

3D repository

Learning Object

Resource Discovery

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