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Ecuaciones semilinealescon espectro discreto


José F. Caicedo Alfonso Castro

Ecuaciones semilinealescon espectro discreto

Bogotá, D. C., Colombia, agosto de 2012

FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS


© Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas © José F. Caicedo Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas, sede Bogotá Alfonso Castro Harvey Mudd College Department of Mathematics Claremont, CA, EUA

ilustración portada y contraportada Profesor Gustavo RubianoDepartamento de Matemáticas

isbn 978-958-761-242-4 Mathematics Subject Classification (MSC2010): 35-XX

Primera edición, 2012

preparación editorial e impresión:Editorial Universidad Nacional de [email protected]

Bogotá, Colombia Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Impreso y hecho en Bogotá, D. C. Colombia

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Caicedo Contreras, José Francisco, 1939- Ecuaciones semilineales con espectro discreto / José F. Caicedo, Alfonso Castro. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xiv, 178 p.

Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-242-4

1. Ecuaciones diferenciales parciales 2. Ecuaciones diferenciales semilineales 3. Teoría espectral (Matemáticas) 4. Análisis funcional II. Castro Buitrago, Alfonso, 1950- II. Tít. CDD-21 515.353 / 2012


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Contenido

Prólogo ix

1 Conservación de energía 1

1.1 El método de Cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Soluciones Oscilatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Plano de fase, energía, valor intermedio 11

2.1 Principio de Contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Alternativa de Fredholm, caso semilineal . . . . . . . . . . 13

2.4 Plano de fase, ecuación superlineal . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Valor intermedio generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 19

vvii

Xi

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Caicedo Contreras, José Francisco, 1939- Ecuaciones semilineales con espectro discreto / José F. Caicedo, Alfonso Castro. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xiv, 178 p.

Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-242-4

1. Ecuaciones diferenciales parciales 2. Ecuaciones diferenciales semilineales 3. Teoría espectral (Matemáticas) 4. Análisis funcional II. Castro Buitrago, Alfonso, 1950- II. Tít. CDD-21 515.353 / 2012


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vi CONTENIDO

2.6 Sistemas con acoplamiento débil . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 El método de líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Problemas radialmente simétricos 25

3.1 Identidad de Pohozaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Caso radialmente simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Energía y plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Métodos de Orden 31

4.1 Principio del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Supersoluciones y subsoluciones . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Grado, género, teoría L-S 37

5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Aplicaciones de Teoría de grado . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Grado de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Aplicaciones del grado de L-S . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6 La noción de género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.7 Teorema de Liusternick-Schnirelman . . . . . . . . . . . . 78

5.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Bifurcación 85

6.1 Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

viii


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CONTENIDO vii

6.2 Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 El método de Lyapunov-Schmidt 97

7.1 Introdución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Ejemplos de problemas variacionales . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Lemas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 El espectro del operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . 117

7.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Otros problemas variacionales . . . . . . . . . . . . . . . 132

8 Otros principios variacionales 135

8.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.2 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3 La noción de seudogradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.4 El lema de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.6 Principios de minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.7 Aplicaciones de los principios de minimax . . . . . . . . . 148

8.8 La variedad de Nehari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A Funciones de Green 163

Bibliografía 167

iX


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Prólogo

Este libro está diseñado como un primer curso sobre ecuaciones di-ferenciales semilineales para estudiantes con conocimientos básicos deálgebra lineal, análisis matemático y ecuaciones diferenciales. El estu-dio del primer capítulo solamente requiere de conocimientos básicos deecuaciones diferenciales elementales. Para el segundo capítulo se necesitamanejo de las coordendas polares y el teorema del valor intermedio. Loanterior, más conocimiento de ecuaciones diferenciales ordinarias singu-lares facilitan el estudio del capítulo 3. En el capítulo métodos de orden,se usa a menudo el papel de las segundas derivadas parciales por su im-portancia para determinar mínimos o máximos locales. El estudio de loscapítulos 5 a 8 requiere de cierta familiaridad con conceptos básicos delanálisis funcional tales como la integral de Lebesgue, espacios de Hilberty espacios Lp.

Por ecuación semilineal entendemos una ecuación de la forma

L(u) +N(u) = 0, (1)

donde L es un operador lineal y N es un operador no lineal de caracte-rísticas tales como dependencia en menos derivadas que L. Prototipo deestos problemas es la ecuación

∆u+ g(x, u) = 0, x ∈ Ω; u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (2)

donde ∆ denota el operador de Laplace y Ω, una región en Rn. Pararegiones acotadas, el operador de Laplace, sujeto a las condiciones de

ixXi


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x CAPÍTULO 0. PRÓLOGO

frontera en (2), tiene espectro discreto; es decir, sus valores propios for-man una sucesión sin punto de acumulación en la recta real. En efecto,ellos son una suceción decreciente, convergente a −∞ y todos tienen mul-tiplicidad finita. Para ver cuan abierta está esta area del conocimiento,notamos que el operador de D’Alembert u ≡ ∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2 sujeto a lascondiciones u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t + 2π) también tie-ne espectro discreto (k2 − j2; k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . .), pero el valorpropio 0 tiene multiplicidad infinita. Esto es causa de que muchas de laspropiedades de solubilidad de (2) no se puedan llevar a

u+ g(t, x, u) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t+ 2π). (3)

Complicaciones mayores surgen en el anterior problema cuando sepide que en las soluciones el período en la variable t sea múltiplo irra-cional de 2π, es decir, 2τπ con τ irracional, (ver [15]). En esos casos, 0no es valor propio y el espectro puede tener puntos de acumulación (ver[54]). En general podemos decir que la solubilidad de (1) está determi-nada por la interacción de la derivada de N con el espectro de L. Unpunto de partida para este análisis son las notas 8.4 y 8.5 Allí se ve quesi el rango de la derivada de N no intersecta el espectro de −L entonces(1) tiene una única solución. El teorema 7.5, debido a A. Ambrosetti yG. Prodi, demuestra que cuando el rango de N ′ intersecta el espectro de−L, bien puede ser que la ecuación (1) no tenga solución o tenga más deuna solución. En el caso del teorema 7.5 puede decirse que el rango deloperador L+N es como el de una función cuadrática, una parábola. Amedida que el rango de N ′ incluye más valores propios la ecuación (1)puede tener más soluciones. Esto se pone de manifiesto en los teoremas1.2 y 7.5.

Queremos hacer énfasis en que los últimos dos capítulos están inti-mamente ligados. Son muchas las oportunidades que aparecen al mezclarlas técnicas de reducción del capítulo 7 con los principios de minimaxdel capítulo 8 (ver [27] y [24]). Los teoremas 8.2 y 8.3 merecen espe-cial atención pues dan existencia de puntos críticos en la ausencia desimetrías.

No hemos pretendido hacer un tratado exhaustivo del progreso enanálisis funcional no lineal sino dar conocimientos suficientes que moti-ven el estudio de problemas de actualidad. En los últimos capítulos sepresentan problemas y bibliografía para iniciarse en la investigación dela solubilidad de problemas no lineales.

Xii prólogo


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xi

Los autores agradecen a la Universidad Nacional de Colombia, sedeBogotá, y a Harvey Mudd College, y a sus departamentos de matemá-ticas, por su hospitalidad; sin esta, culminar el presente libro hubieratomado muchos años más.

Claremont, California, mayo de 2012

Xiiiprólogo

ii

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ii

ii

CAPÍTULO 1

Conservación de energía

1.1 El método de Cuadratura

Comenzamos explicando cómo obtener información acerca de solu-ciones de ecuaciones de la forma:

u′′(t) + f(λ, u(t)) = 0, t ∈ [0, π], (1.1)

u(0) = u(π) = 0 (1.2)

λ ∈ R, usando “cuadratura”. Por cuadratura entenderemos el análisis de(1.1) a través de observar que si (1.1) se multiplica por u′(t), entoncesesta ecuación queda reducida a una ecuación cuadrática de primer orden.En efecto, multiplicando (1.1) por u′(t) tenemos que

1

2

((u′(t))2

)′+ (F (λ, u(t))′ = 0, (1.3)

1

ii


ii

ii

2 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

donde F (λ, x) =∫ x

0 f(λ, s) ds. Es decir,

(u′)2 + 2F (λ, u) = C, (1.4)

donde C es independiente de t. La ecuación (1.4) es, en efecto, una formade conservación de energía.

Si la ecuación (1.1), sujeta a condiciones iniciales, tiene unicidad desoluciones (por ejemplo, cuando f es localmente Lipschitziana en la se-gunda variable), vemos que las soluciones de (1.1) son simétricas conrespecto a sus puntos críticos. Es decir:

Lema 1.1. Si u es solución de (1.1) en [a, τ ] y u′(τ) = 0, entoncesu(t) = u(2τ−t) es solución de (1.1) en [τ, 2τ−a]. Si además (1.1) sujetaa condiciones iniciales tiene solución única, entonces u(τ + t) = u(τ − t)para todo t ∈ [0,mınτ, π − τ].

Demostración. Sean v(t) = u(t+τ), y w(t) = u(τ−t). Fácilmente vemosque v, w son soluciones de (1.1) (nótese que sólo intervienen las derivadasde orden par y que f no depende de t). Como v(0) = w(0) = u(τ), yv′(0) = u′(τ) = w′(0) = 0, obtenemos que v, w satisfacen la mismacondición inicial. Luego, por unicidad de soluciones v(t) = u(t + τ) =w(t) = u(τ − t), prueba el lema.

El lema anterior implica que aun cuando el problema de valor inicialno tenga una única solución, si se conoce una solución en un intervalo[a, b] y u′(a) = u′(b) = 0, entonces simetrizando alrededor de a y de b,se puede extender la solución de la ecuación diferencial en (1.1) en R.

A continuación usamos las anteriores observaciones para entender laestructura de las soluciones del problema (1.1)-(1.2) cuando λ > 0 yf es positiva. También las usamos en el caso en que f es “superlineal”para cada λ ∈ R para probar que el problema (1.1)-(1.2) tiene infinitassoluciones (ver teorema 1.2).

1.2 Soluciones positivas

En esta sección consideramos el caso en que el término no lineal espositivo. Demostramos:

ii


ii

ii

1.2. SOLUCIONES POSITIVAS 3

Lema 1.2. Si f(λ, t) ≥ 0 para todo λ > 0 y todo t ∈ R y f es continua,entonces:a) Las soluciones de (1.1)-(1.2) o son positivas en (0, π) o son idéntica-mente nulas.

b) Si u, v son soluciones de (1.1)-(1.2) y u(π2 ) > v(π2 ), entoncesu(t) > v(t) para todo t ∈ (0, π).

c) Además si u 6= v, entonces F (λ, u(π2 )) 6= F (λ, v(π2 )).

Demostración. Sean G : [0, π]× [0, π]→ R definida por:

G(s, t) =

s(π−t)π , si 0 ≤ s ≤ t,

t(π−s)π , si t ≤ s ≤ π.

(1.5)

Para la construcción de esta función, ver anexo (Funciones de Green).

Un cálculo elemental demuestra que (1.1)-(1.2) es equivalente a

u(t) =

∫ π

0G(s, t)f(λ, u(s)) ds, para todo t ∈ [0, π]. (1.6)

Como el integrando en (1.6) es no negativo, vemos que u(t) ≥ 0 paratodo t ∈ [0, π]. Ya que para cada t ∈ [0, π] G(., t) es positiva en (0, π),obtenemos que si u(τ) = 0 para algún τ ∈ [0, π], entonces f(λ, u(s)) = 0para todo s ∈ (0, π). Luego u(t) = 0 para todo t ∈ (0, π), esto demuestraa).

Sea τ punto crítico de u. De (1.4) tenemos:

(u′(t))2 = 2F (λ, u(τ))− 2F (λ, u(t)), para todo t ∈ [0, π].

En particular u′(0) = −u′(1) =√

2F (λ, u(τ)), donde τ es tal queu(τ) = maxu(t); t ∈ [0, π]. Si F (u(τ) = 0, vemos que u′ ≡ 0, luegou ≡ 0. Pero si F (u(τ)) 6= 0, tenemos que tanto u como v(t) = u(π − t)satisfacen:

u′(t) =√

2F (λ, u(τ))− F (λ, u(t)), u(0) = 0 en [0, τ1), (1.7)

v′(t) =√

2F (λ, v(τ))− F (λ, v(t)), v(0) = 0 en [0, τ2), (1.8)

ii


ii

ii


donde τ1 = supt; u(t) < u(τ), τ2 = ınft;u(t) ≤ u(τ). Ya que ellado derecho de las ecuaciones (1.7)-(1.8) es el mismo y es localmenteLipschitziano en [0, u(τ)), por el teorema de unicidad de soluciones paraproblemas de valor inicial tenemos:

u(t) = v(t) = u(π − t) en [0, τ1), τ1 = π − τ2.

Ahora si τ2 ≤ τ1, se puede demostrar que u(τ1) = u(τ2) = u(t)(ejercicio). Luego u(t) = u(π − t) también [τ1, τ2], es decir, tenemos:Si u satisface (1.1)-(1.2), entonces:

u(π

2) = maxu(t); t ∈ [0, π] y u(t) = u(π − t). (1.9)

Es decir, u es simétrico con respecto a π2 .

Sean u, v dos soluciones de (1.1)-(1.2) tales que u(π2 ) > v(π2 ). De(1.4) tenemos∫ u(t)

0

du√F (λ, u(π2 ))− F (λ, u)

= t√

2 t ∈ [0, τ1], (1.10)

∫ v(t)

0

du√F (λ, u(π2 ))− F (λ, v)

= t√

2 t ∈ [0, τ2]. (1.11)

Ya que F es creciente en la segunda variable, de las igualdades (1.10)-(1.11) obtenemos:

u(t) = v(t) ∀t si y sólo si F(λ, u

(π2

))= F

(λ, v

(π2

)). (1.12)

Además si F (λ, u(π2 )) > F (λ, v(π2 )), entonces u(t) > v(t) para todot ∈ (0, π), esto demuestra las partes b) y c).

Ahora podemos demostrar:

Teorema 1.1. Sean g : R → R continua y positiva y f(λ, u) = λg(u).Si lımu→∞

g(u)u = ∞, entonces existe λ∗ > 0 tal que para 0 < λ < λ∗ el

problema (1.1)-(1.2) tiene por lo menos dos soluciones, y para λ = λ∗

por lo menos una solución. Si u, v satisfacen (1.1)-(1.2) y u(π2 ) < v(π2 ),entonces u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π).

ii


ii

ii

1.2. SOLUCIONES POSITIVAS 5

Si además g es convexa para λ ∈ (0, λ∗), el problema (1.1)-(1.2) tieneexactamente dos soluciones y para λ = λ∗ una única solución.

Demostración. Como toda solución de (1.1)-(1.2) es positiva en (0, π)y posee un único punto crítico en π

2 necesariamente una tal solución escreciente en (0, π2 ). Luego de (1.4) concluimos:

u′ =√C − 2λG(u), en [0,

π

2] (1.13)

donde G(u) =∫ u

0 g(s)ds. Como u′(π2 ) = 0. Es decir:

u′ =√

2λ(G(ρ)−G(u(t))

), t ∈ [0,

π

2] (1.14)

donde ρ = u(π2 ) = maxu(t), t ∈ [0, π]. Luego:∫ u(t)

0

du√G(ρ)−G(u)

= t√

2λ. (1.15)

En particular ∫ ρ

0

du√G(ρ)−G(u)

=π

2

√2λ. (1.16)

Recíprocamente, supongamos que la pareja (ρ, λ) satisface (1.16). Sea

H(u(t)) = −t√

2λ+

∫ u

0

du√G(ρ)−G(u)

. (1.17)

Como Hu 6= 0 para u > 0, por teorema de la función implícita dedu-cimos que H(u, t) = 0 define u como función de t con u(0) = 0, u(π2 ) = ρ,además u es creciente y (1.13) se obtiene. En particular u satisface (1.1),y u′(π2 ) = 0. Luego u(π) = 0, es decir, u es solución al problema (1.1)-(1.2). Concluimos que (1.16) es condición necesaria y suficiente para que(1.1)-(1.2) tenga solución.

Para completar la demostración del teorema 1.1 basta con hallar elgráfico de la función

λ = 2π−2

(∫ ρ

0

du√G(ρ)−G(u)

)2

= 2π−2(γ(ρ))2. (1.18)

ii


ii

ii


Para esto observamos que

lımρ→0

∫ ρ

0

du√G(ρ)−G(u)

= 0 (1.19)

lımρ→∞

∫ ρ

0

du√G(ρ)−G(u)

= 0. (1.20)

Las demostraciones de (1.19)-(1.20) se dejarán como ejercicio al lec-tor. Para demostrar (1.19), usamos que g(0) > 0 y para (1.20) usamosque:

lımu→∞

g(u)

u=∞.

De la continuidad de γ (¡demuéstrese!) y de (1.19)-(1.20) se deduceque si

λ∗ = 2π−2(max(σ(ρ)2; ρ ∈ (0,∞)

entonces (1.1)-(1.2) tiene por lo menos dos soluciones cuando 0 < λ < λ∗,y por lo menos una solución cuando λ∗ < λ. Demostraremos ahora quelas soluciones positivas de (1.1)-(1.2) están ordenadas. Más exactamente,“Si u(π2 ) < v(π2 ) entonces u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π) ”.

En efecto, de (1.15) tenemos

t√

2 =

∫ u(t)

0

ds√G(u(π2 )−G(s)

, para todo t ∈ (0,π

2). (1.21)

t√

2 =

∫ v(t)

0

ds√G(v(π2 )−G(s)

, para todo t ∈ (0,π

2). (1.22)

Como G(u(π2 ) < G(v(π2 ) (¡g es positiva!), vemos que el integran-do (1.21) es menor, para cada s, que el integrando en (1.22). Luegou(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π).

Supongamos, finalmente, que g es convexa. Si (1.1)-(1.2) tiene tres so-luciones u, v, w; de la afirmación anterior, podemos suponer queu < v < w en (0, π). Si z = v − u y σ = w − u, obtenemos

z′′ + λh(t)z = 0, z > 0 en (0, π), z(0) = z(π) = 0

σ′′ + λk(t)σ = 0, σ > 0 en (0, π), σ(0) = σ(π) = 0,

ii


ii

ii

1.3. SOLUCIONES OSCILATORIAS 7

donde

h(t) =g(v(t))− g(u(t))

v(t)− u(t)y k(t) =

g(w(t))− g(u(t))

w(t)− u(t).

Por la convexidad de g obtenemos que h < k en (0, π), contradice elteorema de comparación de Sturm-Liouville (entre dos ceros de z debehaber un cero de σ). Esto completa la demostración del teorema 1.1.

1.3 Soluciones oscilatorias

Consideramos ahora la existencia de soluciones, no necesariamentepositivas, para el problema “superlineal ”

u′′ + f(u) = α t ∈ [0, π],

u(0) = u(π) = 0,(1.23)

donde α ∈ R, y f : R→ R es continua y satisface

lım|u|→∞

f(u)

u=∞. (1.24)

Ya que las soluciones de (1.23) son simétricas con respecto de suspuntos críticos (véase lema 1.1 de sección 1.1), para hallar una soluciónde (1.23)-(1.24), en el siguiente teorema demostraremos que (1.23)-(1.24)tiene infinitas soluciones. Para ello veremos que, para enteros positivos ksuficientemente grandes, la ecuación (1.23) tiene una solución en (0, πk )la cual tiene exactamente un máximo, y un mínimo y u′(0) = u′(πk ) > 0.Es decir, una solución de la forma (ver figura 1.1): Luego, extendiendou a (0, π), usando

u(x) = u(x− jπ

k); si x ∈ [

jπ

k,(j + 1)π)

k] (∗),

tenemos así una solución que tiene exactamente k máximos y k míni-mos; esto demuestra que (1.23) tiene infinitas soluciones. Sean F (u) =∫ u

0 f(s)ds, ρ = u(a), q = u(b). Siguiendo el análisis que condujo a (1.7)-(1.8) vemos que

u′ =√

2(F (ρ)− αρ− F (u) + αu en [0, a],

u′ =√

2(F (q)− αq − F (u) + αu en [2a, 2a+ b].(1.25)

ii


ii

ii


a 2a

2a+b

2(a+b)=π/k

ρ

Figura 1.1. Formas de oscilaciones.

Luego:

t√

2 =

∫ u(t)

0

du√2F (ρ)− αρ− F (u) + αu

, t ∈ [0, a]. (1.26)

(t− 2a)√

2 = −∫ u(t)

0

du√2F (q)− αq − F (u) + αu

, t ∈ [2a, 2a+ b].

(1.27)

Ya que u es simétrica respecto de a, calculando la derivada de u en2a, usando (1.25) tenemos:

F (q)− αq = F (ρ)− αρ. (1.28)


Teorema 1.2. Si f satisface (1.24), entonces para cada α ∈ R existe unentero positivo K = K(α) tal que para todo k ≥ K, el problema (1.23)tiene una solución con k máximos locales. En particular, para cada α elproblema (1.23) tiene infinitas soluciones.

Demostración. Dado α ∈ R, definimos H(s) = F (s) − αs. Por (1.23)vemos que H ′(s) < 0 para s < 0 suficientemente grande y H(s) → ∞

ii


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1.3. SOLUCIONES OSCILATORIAS 9

cuando s→ −∞. Por consiguiente vemos que existe A ≤ 0 tal que:

H(s) ≤ H(q) si q ≤ A y s ∈ (q, 0). (1.29)

Igualmente vemos que H(s) → ∞ cuando s → ∞ y que H ′ > 0 envecindad de +∞. En particular vemos que existe A1, tal que H ′ > 0 enel intervalo [A1,∞), y

H(s) ≤ H(ρ) si ρ ≥ A1 y s ∈ (0, ρ), y (1.30)H(s) ≥ H(A). (1.31)

Sea Q la inversa de H restringida a (−∞, A]. Para ρ > A1 definimos

γ(ρ) =

∫ ρ

0

ds√H(ρ)−H(s)

−∫ q

0

ds√H(q)−H(s)

. (1.32)

donde q = Q(H(ρ)). Un cálculo elemental (véase (1.11)-(1.12)) demues-tra que γ(ρ)→ 0 cuando ρ→∞.

Sea K el menor entero mayor que π/(2−maxγ(ρ); ρ ≥ A1). Porteorema del valor intermedio, para cada k ≥ K, existe ρk tal que

γ(ρk) =π

2k. (1.33)

Ahora definimos

a =

∫ ρk

0

ds√H(ρk)−H(s)

, b =

∫ qk

0

ds√H(qk)−H(s)

donde qk = Q(H(ρk)). Volviendo a (1.7)-(1.8) observamos que parat ∈ [0, a] la fórmula: ∫ u

0

ds√H(ρk)−H(s)

= t√

2. (1.34)

define a u como función de t. Derivando luego con respecto a t tenemos

u′ =√

2√H(ρk)−H(u(t), (∗∗)

elevando al cuadrado y derivando respecto a t, tenemos que

2u′u′′ = 2(−(f(u(t))− α)u′(t),

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ii

ii


como u es positiva en (0, a), tenemos que

u′′ + f(u(t)) = α,

vemos que u satisface (1.22) en [0, a]. Usando que u es simétrica conrespecto de a en [0, 2a]. De igual manera vemos que:∫ u(t)

0

ds√H(ρk)−H(u)

= (t− 2a)√

2

define una solución de (1.15) en [2a, 2a+b], que u(2a) = 0, u′(2a+b) = 0.Esto concluye la demostración del teorema 1.2.

Invitamos al lector a consultar [30], [47]y [55] para mayor informaciónsobre el método de cuadratura.

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CAPÍTULO 2

Plano de fase, energía, valor intermedio

2.1 Principio de contracciones

En esta sección revisamos detalles relativos a dependencia continuade soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias respecto de paráme-tros que las definen para obtener información sobre problemas de fronteraa partir de problemas de valor inicial. El principio de contracciones y elteorema de valor intermedio serán las principales herramientas.

Teorema 2.1 (Principio de contracciones). Sean (X, d) espacio métricocompleto y (Y, δ) espacio métrico. Si f : X × Y → X es continua en lasegunda variable y existe λ ∈ [0, 1), tal que:

d(f(x1, y), f(x2, y)) ≤ λd(x1, x2), (2.1)

entonces existe una función continua ϕ : Y → X tal que f(x, y) = x siy solo si y = ϕ(x).

Demostración. Del hecho que λ ∈ [0, 1), se deduce que para cada y, lafunción f(·, y) tiene exactamente un punto fijo x∗. Tal punto fijo se ob-

11

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12 CAPÍTULO 2. PLANO DE FASE, ENERGÍA, VALOR INTERMEDIO

tiene escogiendo un punto x0 ∈ X arbitrario si definimos:x1 = f(x0, y), x2 = f(x1, y), . . . , xn+1 = f(xn, y). Logramos que la suce-sión (xn) es de Cauchy (demuestre esto como ejercicio). Por la completezde X, se tiene que existe x∗, tal xn converge a x∗. De la continuidad def en la primera variable, se sigue que f(x∗, y) = x∗. Luego x∗ = ϕ(y).Veamos que ϕ es continua. Supongamos que yn converge a y∗, tenemos:

d(ϕ(yn), ϕ(y∗)) = d(f(ϕ(yn), yn), f(ϕ(y∗), y∗)

)≤ d(f(ϕ(yn), yn), f(ϕ(y∗), yn)

)+ d(f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y∗), y∗)

)≤ λ

(d(ϕ(yn), ϕ(y∗)) + d(f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y∗), y∗))

).

Luego

d(ϕ(yn), ϕ(y∗)) ≤ 1

1− λd(f(ϕ(y∗), yn), f(ϕ(y∗), y∗))→ 0 si n→∞,

esto demuestra que ϕ es continua.

Nota 2.1. Como ejercicio se propone demostrar existencia y dependenciacontinua de soluciones de

u′′ +n

ru′ + f(u, r) = 0, u′(0) = 0, u(0) = a,

donde f es continua en [0,∞)× [0,∞).

2.2 Variación de parámetros

Es fácil verificar que si λ > 0, entonces la solución a la ecuacióndiferencial

u′′ + λu = p(t) t ∈ [0, π]; u(0) = a, u′(0) = b

está dada por:

u(t, a, b, p) = a cos(t√λ)+

b sen(t√λ)√

λ+

∫ t

0

sen((t− s)√λ)p(s)ds√

λ. (2.2)

En esta fórmula es fácil verificar que si an → a, bn → b y pn → p enL1(0, π), entonces u( , an, bn, pn) converge uniformemente a u( , a, b, p)en [0, π].

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2.3. ALTERNATIVA DE FREDHOLM, CASO SEMILINEAL 13

2.3 Alternativa de Fredholm, caso semilineal

Consideramos el problema semilineal:

u′′ + g(u) = p(t) (2.3)u(0) = u(π) = 0. (2.4)

Suponemos que lım|u|→∞g(u)u = λ ∈ R, λ > 0, que g es localmente

lipschitziana, y que p es continua. Veamos en primer lugar:

Teorema 2.2. Si λ /∈ n2;n = 1, 2, 3, . . ., entonces el problema (2.3)tiene solución.

Demostración. Como g es localmente lipschitziana, el problema (2.3)sujeto a condición inicial

u(0) = 0, u′(0) = b

tiene una única solución u( , b). Reescribiendo g(u) = λu−h(u), tenemosque lım|u|→∞

h(u)u = 0. Luego:

u(t, b) =b sen(t

√λ)√

λ+

∫ t

0

sen((t− s)

√λ))(p(s) + h(u))ds√λ

.

En particular si ψ(b) = u(π, b), ψ es continua. Como para cada b,u(t, b) es continua, existe t0 ∈ [0, π] tal que |u(t0, b)| = max|u(t, b)|.Luego, para b

|u(t0, b)| ≤ |b|∣∣∣sen(t

√λ)√

λ

∣∣∣+ C1 + C2ε|u(t0, b)| y

|u(t0, b)| ≤1

1− εC2

(|b|∣∣∣sen(t

√λ)√

λ

∣∣∣+ C1

).

Donde ε > 0 arbitrario, suficientemente pequeño y C1 cota para pen [0, π]. Ya que

√λ no es entero, sin pérdida de generalidad podemos

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ii

ii


suponer que sen(√λπ) > 0. Luego, si b→∞

ψ(b) = u(π, b) ≥b sen

(√λπ)

√λ

− C1 −∫ π

0|h(u(s, b)| ds

≥b sen

(√λπ)

√λ

− C1 − πC2ε

( b√λ

+ C1

1− C2ε

)→∞.

Igualmente se demuestra que ψ(b)→ −∞ si b→ −∞.Si sen(

√λπ) < 0 se razona de manera similar con −ψ(b). Luego por la

continuidad de ψ vemos que existe β tal que ψ(β) = u(π, β) = 0, estodemuestra el teorema.

Surge la pregunta: ¿Qué pasa si λ = n2?

Procediendo de manera similar vemos que todo se reduce a saber si0 está en el recorrido de la función:

ψ(b) =

∫ π

0sen(n(π − s))

(p(s) + h(u(s, b)

)ds.

No entraremos en detalles de la desigualdad siguiente: Por ejemplo,si h es acotada y creciente, vemos que es necesario que:

∫ π

0h(−∞)(sin(mx))+ − h(+∞)(sin(mx)− ds <

∫ π

0sin(ns)p(s) ds

<

∫ π

0h(+∞)(sin(mx)+ − h(−∞)(sin(mx)− ds.

(2.5)

La anterior condición es conocida como condición de Landesman-Lazer. Se invita al lector a consultar [18] para la demostración de que laanterior condición también es suficiente.Estos dos casos λ /∈ n2, n = 1, 2, 3, · · · y λ = n2 justifican el títulode esta sección de Alternativa de tipo Fredholm.

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2.4. PLANO DE FASE, ECUACIÓN SUPERLINEAL 15

2.4 Plano de fase, ecuación superlineal

Consideramos el problema de frontera:

u′′+f(u) = p(t), t ∈ [0, π] (2.6)u(0) = u(π) = 0, (2.7)

bajo las hipótesis:

lım|u|→∞

f(u)

u=∞, f, p continuas. (2.8)

Ya hemos visto, usando cuadratura, que si p(t) es función constante,entonces (2.6) tiene infinitas soluciones. El propósito de esta sección,además de explicar el método de plano de fase, es mostrar que (2.8) essuficiente para demostrar que (2.6) tiene infinitas soluciones. En primerlugar, transformamos la ecuación (2.6) en un sistema de primer orden,llamando x = u, y = u′ tenemos:

x′ = y, y′ = −f(x) + p(t). (2.9)

Del principio de contracciones (f ∈ C1) se deduce que para cadaa ∈ R, el problema (2.9) tiene una única solución que satisface:

x(0) = 0, y(0) = a. (2.10)

Más aún, denotando tal solución como (x(a, t), y(a, t)) sabemos queesta función es continua en las dos variables. Tambén si an → a, en-tonces (x(an, ), y(an, )) converge uniformemente a (x(a, ), y(a, )) enintervalos compactos.

Lema 2.1. Existe a0 tal que si |a| ≥ a0, entonces x2(a, t) + y2(a, t) 6= 0para todo t ∈ [0, π]. Más precisamente, Si

E(a, t) =y′(a, t)2

2+ F ((x(a, t)) F (t) =

∫ t

0f(s) ds, (2.11)

entonceslım|a|→∞

E(a, t) =∞ (2.12)

uniformemente para t en intervalos compactos.

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Demostración. De (2.8) se sigue que F es acotada inferiormente. SeaM ∈ R, tal que F (t) ≥M para todo t ∈ R. Como

dE

dt= p(t)u′(t) ≥ −‖p‖∞

(√2√E −M

)≥ −‖p‖∞

(√2√E +

√2√|M |

), o

(E −M)−1/2d(E −M)

dt≥ −√

2‖p‖∞

2√E(t)−M ≥ 2

√E(a, 0)−M −

√2‖p‖∞t. (2.13)

Como E(a, 0) = a2

2 y E(a) → ∞ cuando |a| → ∞, vemos queE(a, t)→∞ cuando |a| → ∞ uniformemente para t en intervalos acota-dos; esto demuestra el lema.

Por el lema 2.1, existe a0 tal que si |a| ≥ a0, entonces E(a, t) ≥ 1para todo t ∈ [0, π]. En particular, (u(t), u′(t)) 6= (0, 0). Luego existe unafunción θ(a, t) tal que

θ(a, 0) = 0 (2.14)x(a, t) = r(a, t) sen(θ(a, t)) (2.15)y(a, t) = cos(θ(a, t). (2.16)

De la definición de r y el Lema 2.1 tenemos:

Corolario 2.1. Para t ∈ [0, π] tenemos

lım|a|→∞

r(a, t) =∞. (2.17)

Lema 2.2.lım|a|→∞

θ(a, π) =∞.

Demostración. Fácilmente vemos que:

dθ

dt=y2 − xy′

x2 + y2=y2 − x(p(t)− f(x))

r2(2.18)

= 1 +xf(x)− x2 − xp(t)

r2. (2.19)

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2.4. PLANO DE FASE, ECUACIÓN SUPERLINEAL 17

Por la hipótesis (2.8), xf(x)−x2−xp(t)r2 es acotada inferiormente para

x ∈ R, t ∈ [0, π]. Esto y el corolario 2.1 implican la existencia de a1 talque sí |a| ≥ a2, entonces

(xf(x)−x2−xp(t)r2 > −1

2 . Luego

dθ

dt>

1

2para todo ∈ [0, π]. (2.20)

Sea j ≥ 4|p|∞ + 4 un entero positivo (usamos el teorema del valor inter-medio). Por (2.20) existe r1(a) ≡ r1 ∈ (0, 2

j ) tal que θ(a, r1) = 1j . Debido

a (2.8) existe k >√

1 + j2 tal que |f(x)| ≥ j3|x| si |x| > k. Usaremosθ(t) = θ(a, t). Por el corolario 2.1, existe a(j) tal que si |a| ≥ a/j), enton-ces r(a, t) > k

√1 + j2 si |a| ≥ a(j). Para t > r1 tal que θ(t) ≤ π− 1

j tene-mos | tan(θ(t))| ≥ 1

j . Luego |y(a, t)| ≤ j|x(a, t)|. Así que, para |a| > a(j)y t ∈ [0, π] tenemos:

x2 + j2x2 ≥ x2 + y2 ≥ r2. (2.21)

En consecuencia|x(a, t)| ≥ r(a, t)√

1 + j2≥ k. (2.22)

Reemplazando en (2.20) tenemos

dθ

dt≥ xf(x)− x2

x2 + y2− ‖p‖∞

r≥ j2x2 − x2

x2 + y2− ‖p‖∞

r

≥ j3 − 1

1 + j2− ‖p‖∞

kj≥ 3j

4− j

4

≥ j

2.

(2.23)

Luego existe s1 ∈ (t1, r1+ 2πj ) tal que θ(a, s1) = π− 1

j (usamos el teoremade valor intermedio). Usando de nuevo (2.20) tenemos que existet1 ∈ (s1, s1 + 2

j ) tal que θ(a, t1) = π. Además

t1 <4 + 2π

j. (2.24)

Repitiendo este argumento, vemos que para i < jπ4+2π ; i entero positivo,

existe ti <i(4+2π)

j tal que θ(a, ti) = iπ (por inducción, ver nota siguiente

después del lema). En particular θ(a, π) > mπ , donde m es la parte entera

de jπ4+2π . Esto demuestra el lema.

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Nota 2.2. Hacemos la prueba de inducción usada. Como dθdt ≥

12 y

dθdt ≥

j2 , entonces al suponer como hipótesis de inducción que si n < jπ

4+2π ,existe tn ∈ [0, π] tal que θ(tn) = nπ y que tn < n(4+2π

j ), se tiene que sin+ 1 < jπ

4+2π , entonces

θ(tn +2

j)− θ(tn) >

2j

2=

1

j,

luego θ(tn+ 2j )− > nπ+ 1

j > nπ = θ(tn), entonces por teorema del valorintermedio, existe rn+1 ∈ (tn, tn + 2

j ) tal que θ(rn+1) = nπ + 1j .

Ahora, θ(rn+1 + 2πj )− θ(rn+1) >

2πj

2 j = π, entonces

θ(rn+1 +2π

j) > nπ +

1

j+ π = (n+ 1)π +

1

j

> (n+ 1)π − 1

j> nπ +

1

j= θ(rn+1).

Nuevamente, por teorema del valor intermedio, existe

sn+1 ∈ (rn+1, rn+1 +2π

jtal que θ(sn+1) = (n+ 1)π − 1

j.

Ahora, θ(sn+1 + 2j )− θ(sn+1) >

2j

2 = 1j , entonces

θ(sn+1 + 2j ) > (n+ 1)π− 1

j + 1j = (n+ 1)π > (n+ 1)π− 1

j = θ(sn+1). Denuevo por teorema del valor intermedio, existe tn+1 ∈ (sn+1, sn+1 + 2

j )tal que θ(tn+1) = (n+ 1)π. Ahora,

tn+1 < sn+1 +2

j< rn+1 +

2π

j< tn +

2

j+

2π

j+

2

j

= tn +4 + 2π

j< n

4 + 2π

j+

4 + 2π

j= (n+ 1)

4 + 2π

j.

Esto completa la prueba por inducción.

Ahora es fácil demostrar

Teorema 2.3. Si f satisface (2.8), entonces el problema (2.6)-(2.7) tieneinfinitas soluciones.

Demostración. Ya que ψ(a) = θ(a, π) es función continua definida en[a0,∞), por el Teorema del Valor Intermedio existe sucesión a1, a2, . . . ⊂

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2.5. VALOR INTERMEDIO GENERALIZADO 19

[a0,∞), tal que θ(ai, π) = (i + k)π donde k es el mayor entero menorque θ(a0,π)

π . De la definición de θ se deduce que para cada i = 1, 2, . . .,la función x(ai, .) es una solución de (2.6)-(2.7). Esto demuestra el teo-rema.

2.5 Teorema del valor intermedio generalizado

Pieza fundamental en los desarrollos hasta ahora presentados ha sidoel Teorema del valor Intermedio en dimensión uno. Por ello, para poderextender los anteriores resultados a ecuaciones más complejas, es precisoextender el teorema del valor intermedio. A continuación presentamosuna tal generalización atribuida a Carlo Miranda.

Teorema 2.4. Sean aj < bj, j = 1, 2, . . . , n números reales y

f : [a1, b1]× · · · × [an, bn]→ Rn continua, de componentes f1, f2, . . . , fn.

Si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene que

fi(x1, . . . , xi−1, ai, xi+1, . . . , xn) ≤ 0 yfi(x1, . . . , xi−1, bi, xi+1, . . . , xn) ≥ 0

para todo (x1, . . . , x1−1, xi+1, . . . , xn), o,

fi(x1, . . . , xi−1, ai, xi+1, . . . , xn) ≥ 0 yfi(x1, . . . , xi−1, bi, xi+1, . . . , xn) ≤ 0

para todo (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), entonces existe

z ∈ [a1, b1]× · · · × [an, bn] tal que f(z) = 0.

Este teorema es equivalente al Teorema del Punto fijo de Brouwer.El lector familiarizado con la teoría de grado de Brouwer puede darsecuenta de que, usando la propiedad de Homotopía del grado, el resultadose deduce fácilmente. Dejaremos su demostración para tal capítulo (verteorema 5.21).

La siguiente sección muestra como usar el Teorema del Valor Inter-medio Generalizado.

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2.6 Sistemas con acoplamiento débil

En esta sección consideraremos el problema de frontera:

u′′i + fi(ui) + gi(t, u1, . . . , un) = 0, t ∈ [0, π] (2.25)ui(0) = ui(π) = 0, i = 1, 2, . . . , n. (2.26)

Diremos que el sistema (2.25) es débilmente acoplado si las funcionesg1, . . . , gn son acotadas. Supondremos que para i = 1, 2, . . . , n

lım|u|→∞

fi(u)

u=∞. (2.27)

Es decir, el sistema (2.25) es superlineal. A continuación indicamoscómo demostrar (véase [28]):

Teorema 2.5. Si f1, . . . , fn satisfacen (2.27), entonces el problema (2.25)tiene infinitas soluciones. Más precisamente, existen enteros positivosM1, . . . ,Mn tales que si mi ≥ Mi para i = 1, . . . , n donde los mi sontambién enteros, entonces (2.25) tiene una solución (u1, . . . , un) tal queui tiene mi ceros en (0, π).

Demostración. Bosquejo de la demostración: imitando la demostracióndel Lema 2.1 de la sección anterior, se ve que existen números realesαi ≥ 0 i = 1, . . . , n tales que |ai| ≥ αi para i = 1, . . . , n, entonces

(ui(a1, . . . , an, t))2 + (u′i(a1, . . . , an, t))

2 > 0,

para todo t ∈ [0, π]. Más aún,

Ei(a1, . . . , an, t)) =1

2((u′i(a1, . . . , an, t))

2 + F (ui(a1, . . . , an, t))→∞,

uniformemente en t ∈ [0, π] cuando ai → ∞, donde Fi(x) =∫ x

0 fi(s) ds.De aquí se deduce que si ai ≥ αi i = 1, . . . , n entonces existen funcionescontinuas crecientes θi(a1, . . . , an, t) para i = 1, . . . , n tales que:

θi(a1, . . . , an, 0) = 0 y θi(a1, . . . , an, π)→∞ si ai →∞. (2.28)

(véase lema 2.2 de la sección anterior).

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2.7. EL MÉTODO DE LÍNEAS 21

Además existen números reales positivos w1, . . . , wn tales que

θi(a1, . . . , a−1, αi, ai+1, . . . , an, π) ≤ wi (2.29)

donde ai ≥ αi, i = 1, 2, . . . , n.

Definimos: para todo i = 1, 2, · · · , n

Ωi = minθi(a1, . . . , an, π); ai ≥ αi, i = 1, . . . , n. (2.30)

Sea ahoraMi el mayor entero menor que Ωiπ . Ahora, dadosm1, . . . ,mn

tales que mi > Mi, definimos

zi(a1, . . . , an) = θi(a1, . . . , an, π)−miπ, i = 1, . . . , n.

De (2.28) vemos que existen βi > αi, i = 1, . . . , n tales que si aj ∈[αj , βj ], entonces:

zi(a1, . . . , ai−1, βj , a1+1, . . . , an) > 0.

Como zi(a1, . . . , ai−1, αi, a1+1, . . . , an) < 0, por el teorema del valorIntermedio generalizado (2.4), vemos que z = (z1, . . . , zn) tiene un cero.Es decir, existen a1, . . . , an tales que θi(a1, . . . , an, π) = miπ. En otraspalabras, ui(a1, . . . , an, π) = 0 y ui tiene mi − 1 ceros en (0, π), estopermite concluir el bosquejo de demostración del teorema 2.5.

2.7 El método de líneas

En esta sección, a través de un ejemplo, mostramos el papel quepuede jugar el estudio de sistemas “grandes” de ecuaciones diferencialesparciales. Consideramos una “discretización” de una ecuación de ondaque da sistemas de ecuaciones ordinarias con acoplamiento “lineal”. Estasección solo debe tomarse como una “lista de inquietudes”.Este método de líneas se usa, por ejemplo, para transformar problemasde valor inicial y de frontera asociados con la ecuación bidimensional deseno-Gordon en dos variables espaciales en un problema de valor inicialde segundo orden.Consideramos el problema de frontera:

utt − uxx + f(u) = p(x, t) x ∈ [0, π], t ∈ [0, T ]

u(x, 0) = u(x, T ) = u(0, t) = u(π, t) = 0.(2.31)

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Subdividimos el intervalo [0, π] en n+ 1 sub-intervalos iguales, deno-tando uk(t) = u(kπn , t), para k = 1, . . . , n vemos que la ecuación (2.31)puede aproximarse por el sistema

u′′k(t)− (n+ 1)(uk+1(t)− 2uk(t) + uk−1(t)) + f(uk) = pk(t), (2.32)

donde u0(t) = 0, un+1(t) = 0 (véase (2.31)).

Además, por (2.31) las funciones uk deben satisfacer la siguiente con-dición:

uk(0) = uk(T ) = 0, k = 1, . . . , n. (2.33)

El lector debe observar la analogía con el sistema (2.25)-(2.26). Elsistema (2.32) no es débilmente acoplado. En efecto, la ecuación (2.32)es equivalente a u′′ + f(u) + Au = p(x, t), donde A es la matriz decomponentes

aij = 2(n+ 1)2 si i = j

aij = −(n+ 1)2 si i = j + 1, o i = j = 1

aij = 0 si |i− j| ≥ 2.

En particular A es una matriz simétrica real. Sus valores propios son:

2(n+ 1)2(1− cos( jπ

n+ 1))

j = 1, 2, . . . , n.

En el proceso de demostrar que las soluciones de (2.32)-(2.33) con-ducen a soluciones de (2.31) aparecen los siguientes problemas:

1. (Estimaciones a priori) Dar condiciones sobre f y p para que si(u1, . . . , un) son soluciones de (2.32) tales que ui(0) = 0,|u′i(0)| ≤ b, entonces las ui serán acotadas, digamos por B. Aquíse requiere que B dependa de b pero no de n.

2. (Oscilación) ¿Es posible dar condiciones sobre f y p tales que in-dependientes de n, existan? α1, α2, . . . , αn tales que si |ai| ≥ αi,entonces ¿las funciones argumento θi estén definidas y las conclu-siones del teorema 4 anterior prevalezcan?.

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2.7. EL MÉTODO DE LÍNEAS 23

Otra alternativa que debe ser considerada es la siguiente: paraj = 1, . . . , n sea

φj = Col(

sen(jπ

n+ 1), . . . , sen(

jkπ

n+ 1), . . . , sen(

jnπ

n+ 1)). (2.34)

Como cada φj es un vector propio de A y φj 6= φj cuando i 6= j, yaque A es matriz simétrica vemos que φ1, . . . , φn es base ortogonal deRn.

Además:‖φj‖2 = kn,j(n+ 1) y kn,j = 0(1). (2.35)

Luego si un(t) := u(t) =∑n

j=1 αj(t)φj , entonces

‖u‖2(t) =n∑j=1

α2jkn,j(n+ 1) y

〈Au, u〉 =n∑j=1

2(n+ 1)2(1− cos(

j

n+ 1))kj,nα

2j (n+ 1). (2.36)

Reemplazando u en (2.32) tenemos:

α′′j +2(n+1)2(1−cos(

j

n+ 1))αj(t)+

〈ϕj , f(u)〉(kn,jn+ 1)

=〈ϕj , pn〉

(kn,jn+ 1), (2.37)

donde la k−ésima componente de f(u) es

f

(n∑k=1

αj(t) sen(jkπ

n+ 1)

). (2.38)

Aquí 〈ϕj , pn〉 > denota el producto interno en L2.

Más explícitamente:

α′′j + σj,nαj +

n∑k=1

sen( jkπn+1)fk(u)

kn,j(n+ 1)=〈ϕj , pn〉

kn,j(n+ 1)≡Wn,j , (2.39)

donde σn,j = 2(n+ 1)2((1− cos( j

n+1)).

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Usando la fórmula de variación de parámetros tenemos:

αj(t)(

(σn,j)12kn,j(n+ 1)

)= senh((σn,j)

12 t)aj

+

∫ t

0senh

((σn,j)

12 (t− s)

)〈ϕj , f(u)− pn〉 ds.

Para verificar la efectividad de este método se sugiere tratar decomprobar que si f y p son funciones acotadas, entonces para cadan = 1, 2, . . . existen vectores (a1, . . . , aj , . . . , an) tales que αj(π) = 0para j = 1, . . . , n. Luego, ver que los vectores un definidos por medio delos αj tienen un límite que satisface la ecuación diferencial parcial (2.31)y las condiciones de frontera (2.31).

El lector interesado en profundizar sobre el método de líneas puedeconsultar [11] y [45] y bibliografía citada en esos artículos.

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CAPÍTULO 3

Problemas radialmente simétricos

3.1 Identidad de Pohozaev

Los argumentos de esta sección, debidos al matemático ruso Poho-zaev, han sido activamente estudiados. Supongamos que u satisface:

∆u+ λf(u) = 0 en Ω (3.1)u = 0 en δΩ, (3.2)

donde Ω es región acotada en RN , ∆ es el Laplaciano y λ ∈ R. Multipli-cando por u la ecuación (3.1) e integrando por partes obtenemos:

−∫

Ω∇u · ∇u+ λ

∫Ωuf(u) = 0. (3.3)

Sea F (u) =∫ u

0 f(s) ds. Multiplicando (3.1) por x · ∇u obtenemos:

0 = (x · ∇u)∆u+ λf(u)(x · ∇u)

=N∑i,j

xi∂u

∂xi

∂2u

∂x2j

+ λx · ∇F (u).(3.4)

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26 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS RADIALMENTE SIMÉTRICOS

De nuevo integrando por partes sobre Ω, y teniendo en cuenta queu = 0 en ∂Ω, obtenemos:∫

Ω

N∑i,j=1

xi∂u

∂xi

∂2u

∂x2j

+ λ

(∫∂ΩF (u)(x · η)dσ −

∫ΩF (u)∆

(1

2|x|2))

= −λN∫

ΩF (u) +

∫Ω

N∑i,j=1

xi∂u

∂xi

∂2u

∂x2j

= 0,

(3.5)

donde η denota la normal exterior unitaria a ∂Ω.

Ahora calculamos la última integral:∫Ω

(x · ∇u)∆u =

∫∂Ω

(x · ∇u)(∇u · η)dσ −∫

Ω∇(x · ∇u) · ∇u. (3.6)

Definiendo I =∫∂Ω(x · ∇u)(∇u · η)dσ, de (3.6) tenemos:∫

Ω(x · ∇u)∆u = I −

∫Ω

N∑i,j=1

(δij

∂u

∂xi+ xi

∂2u

∂xi∂xj

)∂u

∂xj

= I −∫

Ω∇u · ∇u−

∫Ω

N∑i,j=1

xi∂2u

∂xi∂xj

∂u

∂xj

= I − λ∫

Ωf(u)u−

∫Ωx · ∇

(1

2‖∇u‖2

)= I − λ

∫Ωf(u)u−

∫∂Ω

(x · η)

(1

2‖∇u‖2

)+

∫Ωdiv(x)

(1

2‖∇u‖2

)=

1

2I − λ

∫Ωf(u)u+

∫Ωdiv(x)(

1

2‖∇u‖2)

=1

2I − λ

∫Ωf(u)u+N

∫Ω

(1

2‖∇u‖2

),

donde δij es el delta de Kronecker. Como para cada x ∈ ∂Ω, ∇u(x) yη(x) son linealmente dependientes por ser ambos perpendiculares a ∂Ω,obtenemos:

∇u(x) = ±‖∇u(x)‖2(x · η

). (3.7)

Entonces:

(x · ∇u(x))(∇u(x) · η(x)

)= ‖∇u(x)‖2

(x · η

). (3.8)

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3.2. CASO RADIALMENTE SIMÉTRICO 27

De la definición de I y de (3.8) tenemos que:

I =

∫∂Ω‖∇u(x)‖2(x · η).

Reemplazando en la última relación en (3.6) tenemos:∫Ω

(x · ∇u)∆ =1

2I − λ

∫Ωf(u)u+N

∫Ω

(1

2‖∇u‖2

)=

1

2I − λ(1− 1

2N)

∫Ωf(u)u,

(3.9)

donde hemos usado (3.3). Sustituyendo (3.9) en (3.5) tenemos:

1

2I = λ(1− 1

2N)

∫Ωf(u)u+ λ

∫ΩF (u) (3.10)

o equivalentemente:

1

2I = λ

∫Ω

(NF (u)− 1

2(N − 2)f(u)u

)dx. (3.11)

Fórmulas como la precedente (3.11), se conocen como identidades dePohozaev: en particular, implican que si Ω es convexo o, más general-mente, en forma de estrella

((x · η) ≥ 0) y f(u) = u|u|p−1, entonces

(3.1)-(3.2) tienen soluciones no nulas si (s + p) ≥ N+2N−2 . Se sabe que si

p < N+2N−2 , entonces (3.1)-(3.2), tiene infinitas soluciones (véase [65] ).

Versiones generalizadas de (3.11) pueden encontrarse en [61] .

3.2 Caso radialmente simétrico

Suponemos ahora que Ω es la bola unidad en Rn y que u es unafunción radial (u(x) = u(y) si ‖x‖ = ‖y‖). Al hacer la sustitución ‖x‖ =r, la ecuación (3.1) se transforma en:

urr +N − 1

rur + λf(u) = 0. (3.12)

ur(0) = 0. (3.13)

u(0) = a. (3.14)

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28 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS RADIALMENTE SIMÉTRICOS

Multiplicando (3.12) por rnu e integrando por partes en [0, t] tene-mos:

0 =

∫ t

0rn(uurr + nuur + λf(u)u

)dr

= tnuur −∫ t

0rn(ur)

2dr + λ

∫ t

0rnuf(u) dr,

(3.15)

donde n = N − 1.

Multiplicando esta ecuación (3.15) por n−12 tenemos:

0 =n− 1

2tnuur −

n− 1

2

∫ t

0rnu2

r dr +λ(n− 1)

2

∫ t

0rnuf(u) dr.

De manera similar, multiplicando (3.12) por rNur e integrando porpartes en [0, t], obtenemos:

0 =tNu2

r

2+n− 1

2

∫ t

0rnu2

r dr + λ

∫ t

0rNurf(u) dr

o equivalentemente

0 =tN (ur)

2

2+n− 1

2

∫ t

0rn(ur)

2 dr − λ∫ t

0NrnF (u) dr + λtNF (u).

(3.16)donde F (u) =

∫ u0 f(s)ds. Combinando (3.15) multiplicada por n−1

2 ysumándola a (3.16) obtenemos:

(n− 1)tnuur2

+tNu2

r

2+ λtNF (u) + λ

∫ t

0rn(

n− 1

2uf(u)−NFu)) dr

Si 0 ≤ r1 < r2 ≤ 1 y H(t) = (n−1)tnuur2 + tNu2

r2 + λtNF (u), tenemos

0 = H(r2)−H(r1) + λ

∫ r2

r1

rn(n− 1

2uf(u)−NFu)) dr. (3.17)

Invitamos al lector a deducir una fórmula del tipo (3.17) cuando fdepende de (r, u). Un caso particular interesante es f(r, u) = p(r) + g(u)Para más detalles véase [25].

Estas técnicas pueden extenderse a problemas cuasilineales. Estosson casos en los que el operador lineal (rnur)r es reemplazado por expre-siones de la forma (rng(ur))r. Tal es el caso, por ejemplo, del operadorp-Laplaciano (ver ecuación (7.104)) o del k-Hessiano (ver [44]).

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3.3. ENERGÍA Y PLANO DE FASE 29

3.3 Energía y plano de fase

Por analogía con el teorema 2.3 es fácil conjeturar que si:

lım|u|→∞

f(u)

u=∞, (3.18)

entonces la ecuación:

urr +N

rur + f(u) = p(r), r ∈ [0, 1), (3.19)

ur(0) = 0, (3.20)u(1) = 0, (3.21)

tiene infinitas soluciones. Volviendo a la demostración del teorema 2.3,se ve que un ingrediente fundamental es demostrar que para cada r laenergía es grande si la energía inicial lo es. Tomando f(u) = u|u|

4N−2 ,

r1 = 0, r2 = 1 vemos que independientemente del valor inicial que u tomeen 0 la energía en 1 es acotada. En efecto, volviendo a (3.17) vemos que(

urr(1))2

+ 2λ|u|2NN−2 + (N − 2)u(1)ur(1) = 0. (3.22)

Luego

(ur(1))2 + 2λ|u|2NN−2 ≤ (ur(1))2

2+

(N − 2)2

2(u(1))2, (3.23)

esto implica que (ur(1))2 + (u(1))2 es acotado. Para salvar este escollo,es preciso analizar cuidadosamente el integrando en (3.17). Resulta quesi queremos que H(r)→∞ cuando |a| → ∞ es preciso imponer a f cier-tas condiciones. Funciones con crecimiento subcrítico, es decir, funcionestales como f(u) = u|u|α con α < 4

N−2 permiten extender los argumentosdel Capítulo 2. En particular, en este caso, el sistema (3.19)-(3.21) tieneinfinitas soluciones cuando (3.18) se satisface. En [25] y [28] se hallanestos desarrollos. Para estudios sobre el caso α ≥ 4/(N − 2) referimos allector a [2], [44] y [72], entre otros.

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CAPÍTULO 4

Métodos de orden

4.1 Principio del máximo

Importante información acerca de ecuaciones elípticas de segundo or-den resulta de extensiones del principio del máximo, que en su forma máscomún, dice que toda función armónica que no sea constante, definidaen en la adherencia de un abierto conexo, no puede tener máximo nimínimo local en su interior.

Aquí, y con el propósito de dar aplicaciones, presentamos, para casosrelativamente simples pero significativos, algunas versiones del principiodel máximo. Referimos al lector, el libro de M. Protter y H. Weinberger[60] para resultados más generales y demostraciones.

Teorema 4.1 (El principio del máximo). Sea Ω una región en Rn.

Si bj : Ω→ R, j = 1, . . . , n son funciones continuas, u : Ω→R y

−∆u+n∑j=1

bj(x)∂u

∂xj≥ 0 en Ω,

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32 CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ORDEN

entonces u no tiene mínimos locales en Ω salvo que sea constante.

Corolario 4.1. Sea Ω región acotada en Rn Si f ≥ 0 en Ω, f 6≡ 0,−∆u = f en Ω y u = 0 en ∂Ω, entonces u > 0 en Ω.

Demostración. Si u(x) ≤ 0 para algún x ∈ Ω, entonces, como u = 0 en∂Ω, luego existe a ∈ Ω tal que

mınu(x); x ∈ Ω = u(a).

En particular a es mínimo local, esto contradice el teorema 4.1.

Teorema 4.2 (Hopf). Sea Ω región acotada en Rn. Si

−∆u+n∑j=1

bj(x)∂u

∂xj≥ 0, en Ω,

∂Ω es suave y u toma mínimo local en x ∈ ∂Ω, entonces ∂u∂η (x) < 0,

donde ∂∂η denota la derivada normal exterior.

Teorema 4.3. Sea Ω la bola abierta de radio a > 0 en Rn. Si

∆u+ f(u) = 0, en Ω, u ≥ 0 en Ω, u = 0 en ∂Ω,

y f es de clase C1. Entonces u es radialmente simétrica (u(x) = u(y) si‖x‖ = ‖y‖) y radialmente decreciente (∂u∂r < 0 para 0 < r < a).

Este teorema fue demostrado en [39] para el caso en que u > 0 en Ω,mientras que el caso u ≥ 0 en Ω fue demostrado en [31]. La demostraciónen [39] puso de manifiesto la utilidad del método de planos paralelos. Porejemplo, este se usa para establecer la existencia de estimaciones a prioripara soluciones positivas de ecuaciones semilineales elípticas (ver [36] y[40]).

4.2 Supersoluciones y subsoluciones

Consideremos la ecuación:

−∆u = λf(u(x)) en Ω (4.1)u = 0 en ∂Ω.

donde Ω es región con frontera ∂Ω suave, λ > 0, λ ∈ R.

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4.2. SUPERSOLUCIONES Y SUBSOLUCIONES 33

Definición 4.1. Decimos que v (respectivamente w) es una subsoluciónde la ecuación (4.1) (respectivamente supersolución) si v ≤ 0 en ∂Ω(respectivamente w ≥ 0 en ∂Ω ) y −∆v ≤ λf(x, v) (respect. −∆w ≥λf(x,w)).

Teorema 4.4. Suponemos en la ecuación (4.1) que f es de clase C1 enΩ. Si la ecuación 4.1 tiene subsolución u y una supersolución u y u ≤ uen Ω, entonces 4.1 tiene una solución u que satisface u ≤ u ≤ u . Másaún, u puede obtenerse como:

u = lımn→∞

un donde u1 = u,

−∆un+1 = λf(x, un) en Ω,

un+1 = 0 en ∂Ω.

Demostración. Consideramos el caso en que f es creciente. Se deja comoejercicio el caso en que f ′ cambia de signo. La existencia de las un sesigue de cuando el problema de Dirichlet

−∆u = g en Ω, u = 0 en ∂Ω,

tiene una única solución, cuando g : Ω→ R es continua y que la aplica-ción Φ : C(Ω) → C(Ω), g → u es compacta (ver teorema 8.7) Veamosque (un) es convergente. Como:

−∆(un+1 + un

)= λ

(f(x, un)− f(x, un−1)

)en Ω

un+1 − un = 0 en ∂Ω.

Inductivamente vemos que un+1 ≥ un ≥ · · · ≥ u1 = u. Igualmentetenemos:

−∆(w − u2) = λ(f(x,w)− f(x, u2)

)≥ 0,

entonces u2 ≤ u . Iterando este argumento, tenemos que u ≤ un ≤ u.Luego, por el Teorema de Dini ([67]), existe u tal que u = lımn→∞ un.Por la compacidad de (−∆)−1 (ver teorema 8.7) tenemos

u = lımn→∞

un = lımn→∞

(−∆)−1(λf(x, un−1)) = (−∆)−1(λf(x, u)).

Luego−∆u = λf(x, u) en Ω, u = 0 en ∂Ω.

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34 CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE ORDEN

Otra manera de obtener una solución es definiendo: u1 = u,

−∆un+1 = λf(x, un).

Esta nueva sucesión (un) es decreciente y converge a una solución Uno necesariamente igual a u. De hecho u es solución de (4.1), entre v yw.

A continuación vemos cómo utilizar el método de súper-sub solucio-nes para demostrar que el problema

∆u+ f(u) = p(x) x ∈ Ω, (4.2)u = 0 x ∈ ∂Ω, (4.3)

tiene solución cuando f es acotada.

En efecto, tenemos:

Teorema 4.5. Sea p : Ω → R una función continua y acotada. Sif : R → R es diferenciable y acotada, entonces el problema (4.2)-(4.3)tiene solución.

Demostración. Sea ϕ : R→ R la solución de:

−∆ϕ = 1 en Ω

ϕ = 0 en ∂Ω.

Por el principio del máximo sabemos que ϕ es positiva en Ω. Seanc < 0 y d > 0 números reales tales que:

c ≤ inff(u)− p(x), u ∈ R;x ∈ Ω y

d ≥ supf(u)− p(x);u ∈ R, x ∈ R.

Fácilmente se ve que cϕ es una subsolución y que dϕ es una super-solución. Como además cϕ < dϕ en Ω, por el teorema 4.5, tenemos que(4.2)-(4.3) tienen una solución que, además, satisface cϕ ≤ u ≤ dϕ, portanto, esta demostrado el teorema.

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4.2. SUPERSOLUCIONES Y SUBSOLUCIONES 35

Ejemplo 4.1. Sea λ ≥ 0 y f : R → [0,∞) diferenciable. Consideremosel problema:

−∆u = λf(u) en Ω, (4.4)u = 0 en ∂Ω. (4.5)

Ya sabemos, del principio del máximo, que las soluciones de (4.4)-(4.5) son positivas en Ω. Claro es que u ≡ 0 es una subsolución de (4.4)-(4.5), luego, si esta tiene una solución w, vemos que (para el mismo valorde λ) iterando la subsolución 0, llegamos a una solución u ≤ w. Como laconstrucción de u es independiente de w, vemos que u ≤ w para cualquierw, solución de (4.4)-(4.5).

Es decir, tenemos:

Teorema 4.6. Si (4.4)-(4.5) tienen solución, entonces tiene una solu-ción mínima u. Igualmente si f es acotada superiormente (no necesa-riamente positiva), entonces (4.4)-(4.5) tienen supersolución positiva y,por tanto, solución máxima u.

La primera afirmación de este teorema ha sido demostrada en el pá-rrafo precedente. La segunda se propone como ejercicio. Se invita al lectora analizar los resultados de [46], donde se considera el caso f(u) = eu,para identificar las ramas de soluciones mínimas y máximas, cuando exis-ten. Cuando (4.4)-(4.5) tienen subsolución u y supersolución u tales queu ≤ u del teorema 4.6, se sigue que si existen dos soluciones no ordena-das, entonces existe una tercera solución, ver ([3]). Se invita al lector aconsultar [46] donde se da una descripción completa de las soluciones de(4.4)-(4.5) cuando f(x, u) = eu y Ω es una bola. La dimensión de Ω juegaun papel preponderante en la estructura del conjunto de soluciones.

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CAPÍTULO 5

Grado, género, teoría de Liusternik-Schnirelmann

En este capítulo estudiamos las nociones de grado de Brouwer, gradode Leray-Schauder, Teoría de Liusternik-Schnierelmann, y damos apli-caciones a problemas de existencia de soluciones débiles a problemas defrontera para ecuaciones diferenciales parciales.

5.1 Preliminares

En la sección siguiente presentamos la noción de “grado de Brou-wer” y enunciamos algunos teoremas básicos de dicha teoría que se usa-rán en este capítulo. La noción de grado de Brouwer es generalizadaa espacios de dimension infinita; una tal generalización es el “grado deLeray-Schauder”. Esta es de gran aplicabilidad en el análisis de ecuacio-nes diferenciales no lineales (véase [38], [57] y [70]).

Definición 5.1. Sea Ω ⊂ Rm abierto y f : Ω→ Rn diferenciable.

i) Decimos que p ∈ Rn es un valor regular de f , si p /∈ f(Ω), o, si para

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38 CAPÍTULO 5. GRADO, GÉNERO, TEORÍA L-S

todo x ∈ f−1(p) el rango de la matriz Df(x) = Jf(x) (Jacobianade f en x) es mınm,n.

En particular, si m = n, p es un valor regular de f si det f ′(x) =det(J(f(x)

)6= 0 para todo x ∈ f−1(p) o f−1(p) = ∅.

ii) p ∈ Rn es llamado valor singular de f si no es valor regular.

Teorema 5.1 (Teorema de Sard). Si f : Ω→ Rn es de clase C |m−n|+1,entonces la medida de Lebesgue del conjunto de valores singulares de f ,es cero. En particular, el conjunto de valores regulares de f es denso enRn.

Demostración. Véase [42, Appendix 1], [56, Capítulo 2].

Teorema 5.2 (Teorema de la función inversa). Sean Ω ⊂ Rn abierto,f : Ω → Rn aplicación de clase Ck, k ≥ 1, x0 ∈ Ω. Si f(x0) = y0 ydet(f ′(x0)) 6= 0, entonces existe una vecindad abierta W de x0 tal quef : W → f(W ) es biyección, f(W ) es abierto, y f−1 : f(W )→W es declase Ck.

(Demostración véase [50])

Teorema 5.3 (Existencia, unicidad y dependencia continua). Sean f :[0, ε)× Rn → Rn aplicación continua y localmente lipschitziana respectoa segunda variable. Para cada x0 ∈ Rn, existe δ > 0 tal que si ‖x−x0‖ <δ, entonces existe una única función continua ψ(x, t) tal que dψ(x,t)

dt =f(t, ψ(x, t)), t ∈ (−δ, δ) y ψ(x, 0) = x. Más aún, si ε = ∞ y para algúnreal A |f(t, x)| ≤ A(|x|+ 1), entonces δ =∞.

Escribiremos ψx(t) = ψ(x, t).

Las pruebas de los anteriores teoremas son consecuencia del siguienteteorema (véase [14, Section 7]).

Teorema 5.4 (El principio de contracción). Sean (X, d), (Y, δ) espaciosmétricos, (X, d) completo. Si f : X × Y → X es continua y existe λ ∈[0, 1) tal que d(f(x, y), f(x1, y)) ≤ λd(x, x1) para todo x, x1 ∈ X, y ∈Y , entonces existe una función ϕ : Y → X tal que f(x, y) = x si y solosi x = ϕ(y).

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5.1. PRELIMINARES 39

Teorema 5.5 (El teorema de la función implícita). Sean k,m, n ≥ 1enteros, m > n, Ω ⊂ Rm abierto, f : Ω→ Rn de clase Ck. Si

det

∂f1

∂xi1· · · ∂f1

∂xin

. . . . . . .∂fn∂xi1

· · · ∂fn∂xin

(x0) 6= 0,

entonces existen ε > 0 y una función ψ de clase Ck definida en el con-junto x ∈ Rm; ‖x− x0‖ < ε, xi1 = (x0)i1 , . . . , xin = (x0)in al conjuntox ∈ Rm;xj = (x0)j ,∀j /∈ i1, . . . , in tal que f(x+ψ(x)) = y0 = f(x0).Más aún, si f(x) = y0 y ‖x− x0‖ < ε, entonces x = z + ψ(z).

Teorema 5.6 (Soluciones periódicas para sistemas autónomos). SeanΩ subconjunto abierto de Rn, y f : Ω → Rn localmente lipschitziana. Six : R→ Ω satisface x′ = f(x), x(0) = x(T ), entonces x es T -periódica.

Demostración. Sea y(t) = x(t + T ). Claramente y(0) = x(T ) = x(0).También y′(t) = x′(t + T ) = f(x(t + T )) = f(y(t)). Por unicidad desoluciones al problema de valores iniciales, vemos que x(t) = y(t) =x(t+ T ) para todo t ≥ 0. Por consiguiente, x es T -periódica.

Teorema 5.7. Si S ⊂ E es compacto, donde E es de Banach real, en-tonces S es compacto, donde

S =⋂V ⊃ S, V es cerrado y convexo.

Demostración. Se ve fácilmente que S es la adherencia de ax + (1 −a)y;x, y ∈ S, a ∈ [0, 1]. Usando la compacidad de [0, 1] y de S, sededuce que toda sucesión zn ⊂ S tiene una subsucesión convergene,luego S es convexo.

El siguiente teorema es una generalización del teorema de exten-sión de Tietze. Para el lector no familiarizado con la teoría de espaciosvectoriales topológicos, tener en mente que todo espacio de Banach eslocalmente espacio vectorial topológico localmente convexo.

Recordamos que en un espacio topológicoX un recubrimiento Uii∈Ide X se dice que es localmente finito si todo punto de X tiene una ve-cindad que intersecta solo un número finito de los elementos del recubri-miento.

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Un refinamiento Wj de un recubrimiento, Ui es un recubrimiento,tal que cadaWj está contenido en alguno de los Ui; también suele decirseque el recubrimiento Wj está subordinado al recubrimiento Ui.

Teorema 5.8 (Teorema de Dugundji). Sea (X, d) espacio métrico yA ⊂ X cerrado. Sea E espacio topológico localmente convexo. Sea C ⊂ Econvexo. Si f : A→ C es continua, entonces existen F : X → C continuatal que F|A = f . Más aun: si f es compacta, entonces, F es compacta.

Demostración. Para cada x ∈ X − A, sea Vx vecindad abierta de x, talque diam(Vx) ≤ d(x,A). Por consiguiente, Vxx∈X−A es recubrimientopor abiertos de X − A. Ya que X − A es paracompacto (todo espa-cio métrico es paracompacto), existe un refinamiento localmente finitoUαα∈Λ, el cual cubre X − A (para cada α, existe x tal que Uα ⊂ Vx).En particular, Uα ∩A = ∅. Para cada α, definimos

λα(x) =d(x,X − Uα)∑β∈Λ d(x,X − Uβ

).

Para cada α, λα es continua y finita. Más aún,∑

α λα(x) = 1. Paracada Uα escogemos aα ∈ A tal que d(aα, Uα) < 2d(Uα, A). Un tal aαexiste porque d(Uα, A) = ınfd(x, y), x ∈ Uα, y ∈ A y d(Uα, A) <2d(Uα, A). Ahora definimos:

F (x) =

∑α λα(x)f(aα), si x /∈ A,

f(x) si x ∈ A.

Claramente, el rango de F es un subconjunto de C. Ahora tenemosF|A = f y F : X → C. Si x ∈ int(A), entonces F coincide con f en unavecindad de x, entonces F es continua en x. Si x ∈ X − A, existe unavecindad de x que intersecta solo un número finito de los Uα. Sea W unavecindad de x contenida en X−A conW ∩Uα = ∅ salvo para un númerofinito de los α, así, W ⊂ (Uα1 ∪ · · · ∪ Uαn). Por tanto,(

F|W)(y) = λα1(y)f(aα1) + · · ·+ λαn(y)f(aαn).

Por consiguiente, F|W es continua, luego F es continua en x. De-ducimos que F es continua en X. Sea x0 ∈ ∂A ⊂ A. Sea W vecindadconvexa de 0. Como f es continua existe r > 0, tal que si d(x, x0) < r,

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ii

5.2. GRADO DE BROUWER 41

entonces f(x) ∈ f(x0)+W (x ∈ A), así f(x)−f(x0) ∈W . Demostramosahora que si d(x, x0) < r

6 , entonces F (x)− f(x0) ∈W . Supongamos quex ∈ X −A, d(x, x0) < r

6 y d(x, aα) < r2 para algún α. Entonces

d(x0, aα) ≤ d(x, x0) + d(x, aα) <r

6+r

2< r.

Por consiguiente, f(aα) − f(x0) ∈ W . Por otro lado, si d(x, x0) < r6

y d(x, aα ≥ r2 , entonces

d(x, aα) ≥ 3r

6> 3d(Uα, A).

Si x ∈ Uα, entonces

d(x, aα) ≤ d(aα, Uα) + diam(Uα) ≤ 2d(Uα, A) + diam(Uα) ≤ d(Uα, A),

esto es una contradicción. Por tanto, x /∈ Uα. Luego λα(x) = 0, y

F (x) =∑

d(x,Uα)< r2

λα(x)f(aα) +∑

d(x,Uα)≥ r2

λα(x)f(aα).

Deducimos que F (x) − f(x0) ∈ W . Por tanto, F es continua en x0.Ya que f(A) es compacto, entonces (ver teorema 5.7.)

k(f(A)) =⋂Z;Z es convexo, cerrado, y f(A) ⊂ Z

es también compacto ya que F (X) ⊂ conv(f(A)) ⊂ conv(f(A)), yF (X) ⊂ conv(f(A)) ⊂ k(f(A)), así F (X) es compacto. Por consiguienteF es compacta.

5.2 Grado de Brouwer

Dados un conjunto abierto acotado Ω ⊆ Rn, un elemento p ∈ Rn yuna función continua f : Ω → Rn, tal que p /∈ f(∂Ω), les asociamos unentero denotado d(f,Ω, p). Al número d(f,Ω, p) lo llamaremos el gradode f en Ω con respecto a p y lo definimos a continuación. Primero lodefinimos para funciones de clase Ck, k ≥ 1.

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Definición 5.2. Sean Ω conjunto abierto acotado de Rn, y f : Ω→ Rnfunción de clase Ck, k ≥ 1. Si p ∈ Rn − f(∂Ω) es valor regular de f ,definimos d(f,Ω, p) por:

d(f,Ω, p) =

∑

x∈f−1(p)

signo(det(f ′(x))), si f−1(p) 6= ∅,

0, si f−1(p) = ∅,

donde signo : R− 0 → −1, 1, es definida por:

signo(s) =

1, si s > 0,

−1, si s < 0.

Al entero d(f,Ω, p) se llama grado de f con respecto a Ω y a p.

La anterior definición está bien dada ya que Ω es compacto, y comop es valor regular, esto implica que f−1(p) es finito (consecuencia delTeorema de la función inversa 5.2).

Ejemplo 5.1. Sea Ω = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 4. Definimos f(x, y) =(x2−y2, 2xy). En verdad f es la función de variable compleja f(z) = z2.Luego f−1((1, 0)) tiene dos elementos, los cuales son (1, 0) y (−1, 0).En este caso det(f ′(x, y)) = 4x2 + 4y2 > 0 si (x, y) 6= (0, 0). Por tantod(f,Ω, (1, 0)) = 2.

A continuación demostramos las tres propiedades que caracterizan elGrado de Brouwer: invariancia bajo homotopía, escisión y existencia desoluciones (véase [6].)

Teorema 5.9 (Invariancia por homotopía). Si h : Ω × [0, 1] → Rnaplicación de clase Ck, k ≥ 2 tal que:

a) 0 es un valor regular de h,

b) 0 es un valor regular de f0 y de f1, donde f0(x) = h(x, 0) yf1(x) = h(x, 1),

c) 0 /∈ h(∂Ω× [0, 1]),

entoncesd(f0,Ω, 0) = d(f1,Ω, 0).

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Demostración. Sean h1, · · · , hn las componentes de h. Tenemos

h′(x, λ) =

∂h1∂x1

· · · ∂h1∂xn

∂h1∂λ

. . . . . . . . . .∂hn∂x1

· · · ∂hn∂xn

∂hn∂λ .

Para i = 1, . . . , n+ 1, sea Ai la submatriz de h′ resultante de omitiren h′ la i-ésima columna. Ya que estamos suponiendo que 0 es un valorregular de h, existe i tal que det(Ai(x, λ)) 6= 0 si h(x, λ) = 0. Luego elcampo vectorial definido por

z(x, λ) = (a1(x, λ), . . . , an+1(x, λ)),

donde ai(x, λ) = (−1)i det

(Ai(x, λ))

)no se anula cuando h(x, λ) = 0.

En particular, ya que h−1(0) es compacto, existen α > 0 tal que‖z(x, λ)‖ ≥ α si h(x, λ) = 0.

Afirmamos que

〈z(x, λ),∇hi(x, λ)〉 = 0, para i = 1, . . . , n. (5.1)

En efecto, debido a que la i-ésima (i = 1, . . . , n) y la última fila de

Bi =

∂h1∂x1

· · · ∂h1∂xn

∂h1∂λ

. . . . . . . . .∂hn∂x1

· · · ∂hn∂xn

∂hn∂λ

∂hi∂x1

· · · ∂hi∂xn

∂hi∂λ

(5.2)

son iguales, tenemos que detBi = 0. Por otro lado,

0 = det(Bi)

(−1)n+2 ∂hi∂x1

(−1)a1 + · · ·+ (−1)2n+2∂hi∂λ

(−1)n+1an+1

= (−1)n+3(a1∂hi∂x1

+ · · ·+ an+1∂hi∂λ

). (5.3)

Claramente (5.1) se deduce de (5.3).

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Sea x0 ∈ Ω tal que h(x0, 0) = f0(x0) = 0. Ya que 0 es valor regularde f0, tenemos

an+1(x0) 6= 0. (5.4)

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que an+1(x0) > 0.Sea ϕ(t) la solución al problema de valor inicial:

ϕ′(t) = z(ϕ(t)), ϕ(0) = (x0, 0). (5.5)

En particular, si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn, ϕn+1) (Recordamos queϕn+1(0) = 0 por hipótesis) y ϕ′n+1(0) > 0. Por tanto existe t′ > 0tal que ϕn+1(s) > 0 para todo s ∈ (0, t′). Sea

t1 = supt > 0; 0 < ϕn(s) < 1, ∀s ∈ (0, t).

Afirmamos que t1 <∞.

Supongamos que no, es decir, para todo t > 0, ϕn(t) ∈ (0, 1). Por(5.1) tenemos (h(ϕ(t)))′ = h′(ϕ(t))z(ϕ(t)) = 0. Por tanto h(ϕ(t)) =0 para todo t > 0. Por consiguiente, la sucesión ϕ(n);n = 1, 2, . . .tiene una subsucesión convergente. Por tanto, sin pérdida de generalidadpodemos suponer que ϕ(n) → β. Por continuidad de h tenemos queh(β) = 0.

Por la hipótesis c) vemos que β /∈ ∂Ω × [0, 1].Ya que 0 es un valorregular, vemos que para algún i (i = 1, . . . , n + 1) existe ε > 0 tal que|ai(x, λ)| ≥ c > 0 (c ∈ R). Luego podemos suponer que

ai(x, λ) ≥ c para ‖(x, λ)− β‖ < ε. (5.6)

Ahora distinguimos dos casos:

i) β ∈ ∂Ω× (0, 1),

ii) β ∈ Ω× 0, 1.

Si sucede i), por el teorema de la función implícita existe δ < ε y unafunción diferenciable ψ : (−δ, δ)→ Rn+1 tal que

h(β + (0, . . . , s, 0, . . . , 0) + ψ(s)) = 0, ψ(0) = 0 (5.7)

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y si ‖x − β‖ < δ, entonces x = β + (0, . . . , s, 0, . . . , 0) + ψ(s). Por (5.6)y el hecho de que h(ϕ(t)) ≡ 0, ya que ϕ(n) → β vemos que para n essuficientemente grande

ϕ(n) = β + (0, . . . , sn, 0, . . . , 0) + ψ(sn). (5.8)

Si sn ≤ 0, ya que ϕ′i(t) = ai(ϕ(t)) > c vemos que cuando ‖ϕ(t)−β‖ <δ, entonces ϕ′i(t) > c. En particular, para algún tn ∈ [n, n+ δ

c ] tenemosϕ(tn) = β.

De manera similar si sn > 0 para algún tn ∈ [n − δc , n], tenemos

ϕ(tn) = β. Ahora, tomando m > n + δc , vemos que tn 6= tm y ϕ(tn) =

ϕ(tm) = β. Por consiguiente, ϕ es periódica.

En particular, ϕ(t) ∈ Ω × (0, 1) para todo t, esto contradice queϕ(0) ∈ Ω× 0. Luego i) no puede ocurrir.

Si ocurre ii), extendemos h a todo Ω× [0, 1]∪Bδ(β) para δ suficien-temente pequeño. Razonando como en (5.8), vemos que β = ϕ(tn), locual contradice que ϕn+1(t) ∈ (0, 1) para todo t > 0. Por tanto, ya quei) y ii) no pueden ocurrir, tenemos que t1 <∞. Luego, por continuidad,obtenemos

ϕ(t1) ∈ Ω× 0, 1. (5.9)

Si ϕn+1(t1) = 0, entonces

lımt→t1

ϕn+1(t1)

t1 − t≤ 0.

Luego ϕ′n+1(t1) < 0 , porque 0 es un valor regular de f0.

De manera similar ϕ′n+1(t1) > 0 si ϕ(t1) ∈ Ω× 1. Por otro lado, sian+1(x0, 0) < 0, según la solución al problema,

ϕ′(t) = −z(ϕ(t)), ϕ(0) = (x0, 0)

vemos que existe t1 > 0 tal que ϕ(t1) ∈ Ω× 0, 1.

Más aún, si ϕn+1(t1) = 0, entonces an+1(ϕ(t1)) > 0 y si ϕn+1(t1) = 1,entonces an+1(ϕ(t1)) < 0. Reemplazando h por h1(x, t) := h(x, 1− t).

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Vemos que para cada x0 ∈ Ω × 1 con f1(x0) = y existe una únicax1 ∈ Ω× 0, 1 tal que an+1(x, 1) · an+1(x1) < 0 si x1 ∈ Ω× 1

an+1(x, 1) · an+1(x1) > 0 si x1 ∈ Ω× 0. (5.10)

Ahora, si f−10 (y) = x1, . . . , xm y f−1

1 (y) = z1, . . . , zl, entonces

m∑i=1

signdet(f ′0(xi)) =∑

ϕn+1(t1,xi)=1

signdet(f ′0(xi)) =

=∑

ϕn+1(t1,zi)=0

signdet(f ′1(zi)) =l∑

i=1

signdet(f ′1(zi)),

esto demuestra el teorema.

A continuación, el teorema de Sard nos ayuda a ver que es posiblehablar de grado para 0 valores no regulares de una aplicación.

Lema 5.1. Sea Ω abierto acotado de Rn, y f : Ω → Rn aplicación declase C2 tal que 0 /∈ f(∂Ω). Si yj una sucesión de valores regulares def tal que yj → 0, entonces la sucesión d(f,Ω, yj) es convergente.

Demostración. Primero demostraremos que d(f,Ω, .) es localmente cons-tante en el conjunto de valores regulares de f contenido en Rn − f(∂Ω).En efecto, sea y es valor regular de f . Por tanto, por la compacidadde Ω, vemos que f−1(y) = x1, . . . , xm ⊂ Ω es finito. Por el teoremade la función inversa para cada xj existe un abierto Uj con xj ∈ Uj(j = 1, . . . ,m) tal que

f : Uj → f(Uj)

es difeomorfismo , f(Uj) es abierto en Rn y f−1 : f(Uj)→ UJ es C2, asísigno(det(f ′(x)) es constante para x ∈ Uj .

Ahora demostramos que para ε suficientemente pequeño

si ‖z − y‖ < ε entonces f−1(z) ⊂m⋃j=1

Uj .

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Si no, existe una sucesión zk → y tal que para cada k existe

xk ∈ Ω−m⋃j=1

≡W, con f(xk) = zk.

Ya queW es compacto, la sucesión xk tiene un límite (o una subsu-cesión convergente) x ∈W . Por la continuidad de f vemos que f(x) = y,esto contradice que f−1(y) = x1, . . . , xm ⊂ W . Luego d(f,Ω, .) es lo-calmente constante en el conjunto de valores regulares de f contenidosen Rn − f(∂Ω).

Sea ahora yi → y, con cada yi valor regular. Sea hi,k := h(x, t) =f(x)− tyi − (1− t)yk. Por la continuidad de f , vemos que si 0 /∈ f(∂Ω),entonces para i, k grandes 0 /∈ h(∂Ω × [0, 1]). Ya que yi, yk son valoresregulares de f vemos que 0 es un valor regular de h(x, 0) y h(x, 1). Luego,por el teorema de Sard y constancia local del grado existe z tal que

d(f,Ω, yj + z) = d(f,Ω, yj), y d(f,Ω, yk + z) = d(f,Ω, yk)

y z es un valor regular de h(x, t). Por el teorema de homotopía (teorema5.9)

d(h(., 0),Ω, z) = d(h(., 1)Ω, z) = d(f,Ω, yj + z)

= d(f,Ω, yk + z) = d(f,Ω, yk) = d(f,Ω, yj).

esto demuestra el lema 5.1.

El siguiente teorema nos dice que el grado es constante en cada com-ponente conexa de Rn − f(∂Ω).

Teorema 5.10. Sean Ω abierto acotado de Rn y f : Ω → Rn de claseC2. Si W es una componente conexa de Rn − f(∂Ω), entonces d(f,Ω, .)es constante en W . Es decir, si p, q están en W , entonces d(f,Ω, p) =d(f,Ω, q).

Demostración. Por el lema 5.1 vemos que d(f,Ω, ) puede extenderse porcontinuidad a W , ya que los valores de d(f,Ω, ) son números enteros yW es conexo, tenemos que d(f,Ω, ) es constante en W .

Ahora enunciamos y demostramos el teorema que permite extenderla noción de grado a funciones continuas.

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Teorema 5.11. Sean Ω abierto acotado de Rn y fj : Ω → Rn su-cesión de funciones de clase C2 uniformemente convergentes a f , y ∈Rn− f(∂Ω), entonces para j ∈ N suficientemente grande d(fj ,Ω, ) estádefinido y la sucesión d(fj ,Ω, y)j∈N es convergente.

Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que y = 0,ya que fn → f uniformemente y 0 /∈ fj(∂Ω) existen j y a > 0 talesque para x ∈ ∂Ω, ‖fj(x)‖ ≥ a > 0 para j ≥ J . En verdad, debi-do a que f(∂Ω)es compacto existe b tal que ‖fj(x)‖ ≥ b > 0. Comofj converge uniformemente a f en f(∂Ω)existe N tal que si j ≥ n,‖fj(x) − f(x)‖ < b

2 para todo x ∈ ∂Ω. Por tanto, ‖m(x)‖ ≥ b2 = a.

Sea ahora h(x, t) = tfj(x, t) + (1− t)fk(x) donde j, k ≥ N . Ya que fjconverge uniformemente, existe N1 ≥ N tal que ‖fn(x)− fm(x)‖ > a, sin,m ≥ N1, x ∈ Ω. Así ‖h(x, t)‖ > 0 para x ∈ ∂Ω. Sean j, k ≥ N1 y zsuficientemente pequeño tal que h(x, t) 6= z para x ∈ ∂Ω y = d(fj ,Ω, z),d(fk,Ω, 0) = d(fk,Ω, z). Por el teorema 5.9 d(fj ,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0), sedemuestra el teorema 5.11.

Este teorema permite definir:

Definición 5.3. Sean Ω abierto acotado en Rn. Sea f : Ω→ Rn continuacon 0 /∈ f(∂Ω). Definimos d(f,Ω, 0) = lımj→∞ d(fj ,Ω, 0), donde fj esuna sucesión de funciones de clase C2 convergente uniformemente a f .

Se debe notar a este punto, que en la definición se da de mane-ra similar para y ∈ R tal que y ∈ Rn − f(∂Ω), que una tal sucesiónexiste en virtud del teorema de aproximación de Stone-Weirstrass. Tam-bién debe notarse que d(f,Ω, 0) no depende de la sucesión fj escogi-da. El lector debe verificar que si fj y gj son dos sucesiones queconvergen uniformemente a f , con 0 /∈ fj(∂Ω) y 0 /∈ gj(∂Ω), entonceslımj→∞ d(fj ,Ω, 0) = lımj→∞ d(gj ,Ω, 0).

También se evidencia que hemos usado el teorema de Sard para ga-rantizar que en el caso en que 0 = y no es valor regular sino que unopuede aproximarse a 0 = y por valores regulares de f y así poder afirmarque en el caso en que f es de clase C2 d(f,Ω, 0) = lımj→∞ d(f,Ω, zj)donde zj es sucesión de valores regulares convergente a 0, que no dependede la sucesión zj escogida.

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Notamos que no podemos quitar 0 /∈ f(∂Ω).

Podemos ahora establecer algunas propiedades básicas del grado. Al-gunas consecuencias fáciles de las otras, citamos: existencia, invarianciapor homotopía, escisión, aditividad.

Teorema 5.12 (Invariancia homotópica). Sean Ω abierto acotado deRn, f, g : Ω→ Rn continuas. Si h : Ω× [0, 1]→ Rn es continua, tal queh(x, 0) = f(x), h(x, 1) = g(x), y p = 0 /∈ h(∂ × [0, 1]), entonces

d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).

Demostración. Por el teorema de aproximación de Stone-Weierstrassexiste una sucesión hj de funciones de clase C2 (hj ∈ C(Ω× [0, 1],Rn))que convergen uniformemente a h. Por el teorema previo, y la definiciónde grado para j, suficientemente grande

d(hj(., 0),Ω, 0) = d(f,Ω, 0), d(hj(., 1),Ω, 0) = d(g,Ω, 0)

esta definido. Sea z valor regular de hj , h(., 0) y hj(., 1) y ‖z‖ suficien-temente pequeña tal que z /∈ h(∂Ω× [0, 1]), así que

d(hj(., 0),Ω, z) = d(hj(.,Ω, 0), d(hj(., 1),Ω, 0) = d(hj(., z),Ω, 0).

Por el teorema 5.9 tenemos que d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).

Esto demuestra el teorema.

Teorema 5.13 (Existencia). Sean Ω abierto acotado en Rn y f : Ω →Rn continua, 0 /∈ f(∂Ω), y d(f,Ω, 0) 6= 0, entonces existe y ∈ Ω conf(y) = 0.

Demostración. Sea fj sucesión de funciones de clase C2 en Ω conver-gente a f tal que d(fj ,Ω, 0) = d(f,Ω, 0) 6= 0. Para cada j, sea yj valorregular de fj con ‖yj‖ < 1

j . y d(fj ,Ω, yj) = d(f,Ω, 0). Como yj es valorregular existe xj con f(xj) = yj . Debido a que Ω es compacto, podemossuponer que xj → x. Por consiguiente:

‖f(xj)‖ ≤ ‖f(xj)− fj(xj)‖+ ‖fj(xj)‖ → 0 si j →∞.

Por tanto, por continuidad de f , f(x) = 0, se demuestra el teorema.

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Teorema 5.14 (Escisión). Sean Ω, f como en anterior teorema. SiW ⊂Ω es abierto y 0 /∈ f(∂W ), entonces

d(f,Ω, 0) = d(f,W, 0) + d(f,Ω−W, 0).

Demostración. Sea fk una sucesión de clase C2 convergente unifor-memente a f . Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponerd(f,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0).

Ya que fk converge uniformemente a f en W y en Ω−W podemosasumir d(fk,Ω, 0) = d(f,Ω, 0 = y d(fk,Ω − W, 0) = d(f,Ω − W, 0).Para k suficientemente grande 0 /∈ fk(∂Ω ∪ ∂W ). Para tales k sea ε > 0tal que si ‖z‖ < ε, entonces z /∈ fk(fk(∂Ω ∪ ∂W ) y d(fk,Ω −W, z) =d(fk,Ω−W, 0), y d(fk,W, z) = d(f,W, 0).

Por tanto, escogiendo un valor regular z de fk con ‖z‖ < ε tenemos

d(fk,Ω, z) =∑

fk(x)=z

signdet(f ′k(x))

=∑

fk(x)=z,x∈Ω−W

sign(det(f ′k(x)) +∑

fk(x)=z,x∈W

sign(det(f ′k(x))

= d(fk,Ω−W, z) + d(fk,W, z).

Por tanto

d(f,Ω, 0) = d(fk,Ω, 0) = d(fk,Ω, z) = d(fk,Ω−W, z) + d(fk,W, z)

= d(fk,Ω−W, 0) + d(fk,W, 0)

= d(f,Ω−W, 0) + d(f,W, 0),

se demuestra el teorema.

El siguiente teorema es consecuencia del teorema sobre invarianciahomotópica del grado, el cual nos dice: el grado depende de los valoresen la frontera, más exactamente:

Teorema 5.15 (Dependencia de los valores en la frontera). Si Ω esabierto acotado en Rn y f, g : Ω → Rn son continuas, tales que f(x) =g(x) para todo x ∈ ∂Ω, y 0 /∈ f(∂Ω), entonces d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).

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Demostración. Sea h(x, t) = tf(x) + (1 − t)g(x), (x, t) ∈ Ω × [0, 1] h escontinua y si x ∈ ∂Ω, h(x, t) = g(x) = f(x) 6= 0 y h(x, 0) = g(x). Portanto, por teorema (5.12) (homotopía) d(f,Ω, 0) = d(g,Ω, 0).

Ahora, algunas aplicaciones interesantes de la teoría de grado, en estaparte usaremos el Teorema de Weierstrass que establece que los polino-mios son densos en el conjunto de las aplicaciones continuas definidas enun compacto con valores reales (provisto de la norma del supremum).

Teorema 5.16 (Teorema de Borsuk). Si Ω es abierto acotado y simétricorespecto a 0, en Rn, 0 ∈ Ω y f : Ω→ Rn es continua con f(x) = −f(−x)(impar) y 0 /∈ f(∂Ω), entonces d(f,Ω, 0) es un entero impar.

Para demostrar el Teorema de Borsuc necesitamos unos lemas rela-cionados con el teorema de extensión de Tietze.

Lema 5.2. Sea K ⊂ Rn compacto, ϕ ∈ C(K,Rm) (m > n) tal que0 /∈ ϕ(K). Entonces para todo cubo Q ⊂ Rn, K ⊂ Q, existe una funcióncontinua ψ : Q→ Rm − 0 tal que ψ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ K.

Demostración. Sea α = mın‖ϕ(x);x ∈ K‖ > 0. Sea g una funciónpolinomial, por tanto, de clase C1 y definida aún en Q, tal que paratodo x ∈ K ‖ϕ(x) − g(x)‖ < α

4 . Extendemos g a Q × Rm−n por definirh(x, z) = g(x). Por tanto, g(Q) es el conjunto de valores no regulares deh. Luego, por el teorema de Sard, existe a ∈ Rm con ‖a‖ < α

4 el /∈ g(Q).Sea v(x) = g(X)− a

Tenemos ahora

‖ϕ(x)− v(x)‖ < ‖a‖+ ‖ϕ(x)− g(x)‖ < α

2, para todo x ∈ K. (5.11)

Sean η : R+ → R+ definida por

η(t) =

1, si t ≥ α

2 ,2tα , si t < α

2 ,

y

Γ(x) =v(x)

η(‖v(x)‖), para x ∈ Q.

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Ya que 0 /∈ v(Q), tenemos 0 /∈ Γ(Q). Actualmente ‖Γ(x)‖ ≥ α2 .

Por otro lado, para x ∈ K tenemos

‖g(x)‖ ≥ ‖ϕ(x)‖ − ‖ϕ(x)− g(x)‖ > α

2. (5.12)

Por tanto, Γ(x) = v(x) para x ∈ Q, y ‖ϕ(x)− Γ(x)‖ < α2 para todo

x ∈ K. Sea T = Γ− ϕ. Por el teorema de extensión de Tietze podemosextender t a Q; notaremos con T tal extensión con ‖T (x)‖ ≤ α

2 paratodo x ∈ Q. Sea ψ = Γ− T . Claramente ψ extiende ϕ y no se anula enQ, esto demuestra el lema.

Lema 5.3. Sean Ω abierto acotado simétrico en Rn, con 0 /∈ Ω. Seaϕ ∈ C(∂Ω,Rm), m > n. Si ϕ es impar y 0 /∈ ϕ(∂Ω), entonces existeψ ∈ C(Ω,Rm) impar y, tal que 0 /∈ ψ(Ω) que es extensión de ϕ.

Demostración. Usamos inducción sobre n. Para n = 1, es suficiente con-siderar el caso Ω = (−b,−a)

⋃(a, b), 0 < a < b claramente 0 /∈ Ω, y

ϕ : a, b,−a,−b → Rm m ≥ 2, la función continua e impar dada tene-mos: i) Si ϕ(a) = ϕ(b) escogemos ψ(t) = ϕ(a) si t ∈ [a, b] y ψ(t) = −ϕ(a)para todo t ∈ [−b,−a].

ii) Si ϕ(a) 6= ϕ(b). Escogemos z ∈ Rm tal que z − ϕ(a) y z − ϕ(b)sean linealmente independientes, definimos

ψ(t) = 2t− ab− a

(z − ϕ(a)) + ϕ(a) si t ∈ [a,a+ b

2],

ψ(t) = 2t− bb− a

(ϕ(b)− z) + ϕ(b) si t ∈ [a+ b

2, b], y

ψ(−t) = −ψ(t), si t ∈ [a, b], es decir, si − t ∈ [−b,−a]

ψ así definida en [−b,−a]⋃

[a, b] satisface las hipótesis.

Sea n ≥ 1, suponemos el lema cierto para n− 1. Ahora ϕ puede serextendida a Ω ∩ x ∈ Rn;x1 = 0. Por tanto, ϕ ha sido extendida comouna función impar a ∂Ω

⋃[Ω ∩ x1 = 0] y 0 /∈ ϕ(∂Ω ∪ [Ω ∩ x1 = 0].

Sean Ω+ = Ω ∩ x1 > 0 Ω− = Ω ∩ x1 < 0. Sea ahora Q un cubo enR+×Rn−1 conteniendo Ω+. Por el lema previo ϕ puede ahora extendersea Q con ϕ(x) 6= 0, si x ∈ Q. Finalmente definimos ϕ(x) = −ϕ(−x) parax ∈ Ω− vemos que ϕ 6= 0 para todo x ∈ Ω, esto define ψ.

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ii

ii


Lema 5.4. Sea Ω abierto acotado simétrico de Rn, con 0 /∈ Ω. Si ϕ ∈C(∂Ω,Rn) es impar con 0 /∈ ϕ(∂Ω), entonces existe ψ ∈ C(Ω,Rn) imparcon 0 /∈ ψ(Ω ∩ Rn−1) y ϕ = ψ en ∂Ω.

Demostración. Sea Ω1 = Ω ∩ Rn−1. Ya que ∂Ω ∩ Rn−1 es compacto yϕ es impar en ∂Ω ∩ Rn−1, ϕ puede extenderse como una función imparcontinua en algún cubo Q con ϕ(x) 6= 0 para todo x ∈ Q. Sea a > 0grande tal que Ω ⊂ [−a, a]× · · · × [−a, a].

Así, tomando Q = [−a, a]×· · ·×[−a, a], tenemos que ∂Ω×Rn−1 ⊂ Q.Ahora el teorema de extensión de Tietze implica que ϕ puede extendersecomo función impar a Ω. Claramente ϕ(x) 6= 0 si x ∈ Ω ∩ Rn−1 (y laextensión). Esto demuestra el lema.

Demostraremos ahora el teorema de Borsuc:

Teorema de Borsuc. Sea ε > 0 tal que Bε(0) ⊂ Ω.

Sea ψ : ∂Ω× x; ‖x‖ = ε → Rn definida por

ψ(x) =

f(x), si x ∈ ∂Ω,

x, si ‖x‖ = ε.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ψ es de clase C1(Ω)(Teorema de Weierstrass). Sea W = Ω−Bε(0). Ya que ψ ∈ (∂W,Rn), ψpuede ser extendida aW con ψ(x) 6= 0 si x ∈W∩ Rn−1, ψ(x) = −ψ(−x).

Sean

W+ = x ∈W ;x1 > 0, W− = x ∈W ;x1 < 0.

Por el Teorema de escisión,

d(ψ,W, 0) = d(ψ,W+, 0) + d(ψ,W−, 0).

Sea δ > 0 tal que si ‖x‖ < δ, entonces d(ψ,W±, 0). Sea ahora b ∈ Rn unvalor regular de ψ con ‖b‖ < δ. Ahora ψ(x) = b si y solo si ψ(−x) = −b.

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ii

ii


Ya que ψ′ es par, vemos que −b es valor regular, así

d(ψ,W, 0) = d(ψ,W−, 0) =

=∑

ψ(x)=−bx∈W−

sign(det(ψ′(x)))

=∑

ψ(x)=bx∈W+

sign(det(ψ′(x)))

= d(ψ,W+, b) = d(ψ,W+, 0).

Por tanto d(ψ,Ω, 0) = 2d(ψ,W+, 0). Ya que ψ(x) = x si x ∈ ∂Bε(0)tenemos d(ψ,Bε(0), 0) = 1. Como ψ yf coinciden en ∂Ω, tenemos

d(f,Ω, 0) = d(ψ,W, 0) + d(ψ,Bε(0), 0) = 2d(ψ,W+, 0) + 1,

esto demuestra el Teorema de Borsuc.

Corolario 5.1. Si Ω es abierto acotado simétrico de Rn, 0 ∈ Ω yψ : Ω → Rn es impar, entonces existen x, x tales que ψ(x) = 0 yψ(x) = x.

Demostración. Si para todo x ∈ ∂Ω, es ψ(x) 6= 0, entonces, por el teo-rema de Borsuc y la propiedad de existencia del grado, existe x ∈ Ω conψ(x) = 0, esto demuestra la existencia de x. Para la existencia de x,tomamos ϕ = ψ − I, y aplicamos el teorema de Borsuk (I es la idénti-ca).

Teorema 5.17 (Borsuc). Sean Ω abierto acotado en Rn, y simétrico con0 ∈ Ω. Si f ∈ C(∂Ω,Rm) es impar con m < n, entonces existe x ∈ ∂Ωcon f(x) = f(−x).

Demostración. Si para todo x ∈ ∂Ω f(x) 6= f(−x), entonces sea ϕ fun-ción impar extensión a Ω de f(x)−f(−x), ya que ϕ es impar y no nula en∂Ω. por teorema de Borsuc anterior, tenemos que d(f, ω, 0) 6= 0. Comoel grado es localmente constante para k suficientemente grande

d (ϕ,Ω, 0) = d

(ϕ,Ω,

(0, . . . , 0,

1

k

)).

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ii

ii

5.3. APLICACIONES DE TEORÍA DE GRADO 55

Ya que (0, . . . , 0, 1k ) /∈ Rm, tenemos d

(f,Ω,

(0, . . . , 0, 1

k

))= 0. esto

contradice que d(f,Ω, 0) 6= 0.

Un comentario acerca de este teorema es su interpretación en meteo-rología cuando Ω = x ∈ R3; ‖x‖ < 1 y ∂Ω = S2 = x ∈ R3; ‖x‖ = 1establece que en dos puntos opuestos (antípodas) de la tierra tenemos elmismo ambiente, es decir la misma temperatura y la misma presión.

5.3 Aplicaciones de Teoría de grado

Como aplicaciones importantes tenemos:

Teorema 5.18 (No-retracción). Sea Ω ⊂ Rn abierto acotado, no existefunción continua r : Ω→ ∂Ω, tal que r(x) = x para todo x ∈ ∂Ω.

Demostración. Si existe una tal aplicación r. Sea h : Ω × [0, 1] → Rn,definida por h(x, s) = (1 − s)r(x) + sx. Entonces h ∈ C(Ω × [0, 1],Rn)y h(x, 0) = r(x), h(x, 1) = I(x) = x, si a ∈ Ω, y (x, s) ∈ ∂Ω × [0, 1]entonces h(x, s) = (1 − s)r(x) + sx = x, por tanto h(x, s) = x paratodo (x, s) ∈ ∂Ω× [0, 1], deducimos que h(x, s) 6= a , para todo (x, s) ∈∂Ω×[0, 1], es decir a /∈ h(∂Ω×[0, 1]) pues a ∈ Ω, el teorema de invarianciahomotópica como r(x) = h(x, 0), entonces d(I,Ω, a) = 1 = d(r,Ω, a)para todo a ∈ Ω, como I−1

Ω (a) = a, el teorema de existencia de solucionesa r(x) = a implica que existe x0 ∈ Ω, tal que

r(x0) = a ∈ Ω, h(x0, s) = (1−s)r(x0)+sx0 = (1−s)a+sx0 = a+s(x0−a),

como h(x0, 1) = x0 y h(x0, 0) = a luego a ∈ r(Ω) ⊂ ∂Ω, contradicción.Esto demuestra el teorema.

Teorema 5.19. (Teorema de punto fijo de Brouwer) Sea Ω = B1(0) =x ∈ Rn‖x‖ < 1 la bola abierta unitaria en Rn, Sn−1 = ∂B1(0) = ∂Ωsu frontera, entonces toda aplicación continua f : B1(0) → B1(0) tienepunto fijo.

Demostración. Si existe a ∈ ∂B1(0) tal que f(a) = a, entonces nada hayque demostrar. Supongamos que f(x) 6= x para todo x ∈ ∂B1(0).

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ii


Sea h(x, t) = x− tf(x), entonces h : B1(0)× [0, 1]→ Rn es continuay 0 /∈ h(∂B1(0)× [0, 1]). Ya que por hipótesis

‖h(x, t)‖ ≥ ‖x‖ − t‖f(x)‖ ≥ (1− t) > 0

en ∂B1(0)×[0, 1) y f(x) 6= x para ‖x‖ = 1. Por tanto d(I−f,B1(0), 0) =d(I,B1(0), 0) = 1, luego existe x ∈ B1(0) tal que x − f(x) = 0 por elteorema de existencia (teorema 5.13).

Este teorema de punto fijo es generalizado al caso en que Ω es com-pacto no vacío y convexo así:

Teorema 5.20. Sea K ⊂ Rn conjunto compacto convexo y no vacío yf : K → K continua. Entonces f tiene un punto fijo. Resultado igual siK es homeomorfo a un compacto convexo.

Para demostraciones de resultados un poco más generales sobre teoríade puntos fijos de Brouwer, véase [52].

Ahora, un teorema anunciado, el Teorema del valor intermedio gene-ralizado, el cual enunciamos en el capítulo 2 (como teorema (2.4) ).

Teorema 5.21 (Teorema del Valor Intermedio Generalizado, de CarloMiranda). Sean cj > 0 reales, j = 1, . . . , n,

f : [−c1, c1]× [−c2, c2]× · · · × [−cn, cn]→ Rn,

función continua, f = (f1, . . . , fn), si f satisface

a) fk(x1, . . . , xk−1, ck, xk+1, . . . , xn) ≥ 0, |xj | ≤ cj , j = 1, . . . , n.y

b) fk(x1, . . . , xk−1,−ck, xk+1, . . . , xn) ≤ 0, |xj | ≤ cj , j = 1, . . . , n,

para todo k = 1, . . . , n. Entonces existe x∗ = (x∗1, . . . , x∗n), ‖x∗j‖ ≤ cj, tal

que f(x∗) = 0.

Demostración. Primero suponemos

1) fk(x1, . . . , xk−1, ck, xk+1, . . . , xn) > 0, |xj | ≤ cj , j = 1, . . . , n.

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2) fk(x1, . . . , xk−1,−ck, xk+1, . . . , xn) < 0, |xj | ≤ cj , j = 1, . . . , n,

para k = 1, . . . , n. Sea

Ω = x ∈ Rn, |xj | < cj , j = 1, . . . , n = (c1, c1)× · · · × (−cn, cn).

De 1) y 2) vemos que si h(x, s) = (1−s)f(x)+sx, entonces h(x, s) 6= 0si (x, s) ∈ (∂Ω × [0, 1]), ya que h(x, 0) = f(x) y h(x, 1) = x deducimosdel Teorema de Invariancia homotópica (teorema 5.12) que

d(f,Ω, 0) = d(I,Ω, 0) = 1,

por tanto, existe x∗ ∈ Ω, tal que f(x∗) = 0 (ver teorema 5.13).

Si f sólo satisface a) y b) para cada m ≥ 1, definimos gm(x) = f(x)+1mx, entonces gm satisface 1) y 2), por lo tanto existe ym ∈ Ω, tal quefm(ym) = f(xm)+ 1

mym = 0, como Ω es compacto, existe una subsucesiónymk de ym, convergente, sea x∗ ∈ Ω, tal que x∗ = lımk→∞ ymk , entonces

0 = lımmk→∞

f(ymk) +1

mkymk = f(x∗).

El anterior Teorema del valor intermedio puede enunciarse de nuevoasí:

Teorema 5.22. Sean aj < bj números reales, j = 1, . . . , n,

f : [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn] −→ Rn,

función continua, f = (f1, . . . , fn), si f satisface

a) fk(x1, . . . , xk−1, ak, xk+1, . . . , xn) ≥ 0, para todo xj ∈ [aj , bj ],j = 1, . . . , n, y

b) fk(x1, . . . , xk−1, bk, xk+1, . . . , xn) ≥ 0, para todo xj ∈ [aj , bj ],j = 1, . . . , n,

para todo k = 1, . . . , n. O

ii


ii

ii


a’) (fk(x1, . . . , xk−1, ak, xk+1, . . . , xn) ≥ 0, para todo xj ∈ [aj , bj ],j = 1, . . . , n, y

b’) fk(x1, . . . , xk−1, bk, xk+1, . . . , xn) ≤ 0, para todo xj ∈ [aj , bj ],j = 1, . . . , n.

Entonces existe

x ∈ [a1, b1]× · · · × [an, bn], tal que f(x) = 0.

Sobre aplicaciones sobre.

A menudo se desea saber cuándo una aplicación continua f : Rn →Rn es sobreyectiva, es decir, f(Rn) = Rn. Por ejemplo, si f es aplicaciónlineal f(x) = Ax donde A es matriz cuadrada real n × n inversible, esclaro que en este caso A define un isomorfismo lineal de Rn sobre símismo, entonces es homeomorfismo lineal.

En Particular, si A es matriz positivamente definida, se tiene quef ≡ A es biyección, además es conocido que por ser homeomorfismo li-neal, existen α, β > 0 tales que α‖x‖ ≤ ‖Ax‖ ≤ β, aún más, es posibledemostrar en este caso que existe c > 0 tal que 〈Ax, x〉 ≥ c‖x‖2 paratodo x ∈ Rn (producto interno y norma usuales en Rn), esta condiciónimplica que lım‖x‖→∞

<f(x),x)>‖x‖ = lım‖x‖→∞

<Ax,x>‖x‖ = ∞. Esta condi-

ción es suficiente para que f sea sobre. En el caso no lineal, con ayudade la teoría de grado de Brouwer tenemos:

Proposición 5.1. Sea f : Rn → Rn continua, tal que

lım‖x‖→∞

< f(x), x >

‖x‖=∞.

Entonces f(Rn) = Rn.

Demostración. Sea a ∈ Rn, y r > ‖a‖, h : Br(0)× [0, 1]→ Rn, definidapor h(x, t) = tx + (1 − t)f(x) − a, vemos que h es continua, h(x, 0) =f(x)− a, h(x, 1) = x− a. Para r = ‖x‖ tenemos que

〈h(x, t), x〉 = (1− t)f(x)− a+ tx, x〉

≥ r[tr − ‖a‖+ (1− t)< f(x), x >

r

]> 0

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ii


para todo t ∈ [0, 1] y r > ‖a‖ suficientemente grande. Por consiguiente,d(f,Br(0), a) = 1 para un tal r, es decir f(x) = a tiene solución.

Teorema 5.23. Sea Ω abierto acotado de Rn 0 ∈ Ω y sea f : ∂Ω →Rn − 0 continua. Suponemos que la dimensión n es impar. Entoncesexisten x ∈ ∂Ω y λ 6= 0 tales que f(x) = λx.

Demostración. Sin pérdida de generalidad suponemos que f ∈ C(Ω,Rn)(sino extendemos f a todo Ω usando teorema de Tietze).i) Supongamos que para todo s 6= 0 y para todo x ∈ ∂Ω es f(x) 6= sx.Como la matriz Jacobiana de (−I)′(x) = −I es la matriz de tamañon× n:

−1 0 · · · 00 −1 · · · 0

. . . . . . . .0 0 · · · −1

y su determinante es (−1)n = −1 ya que n es impar, entonces d(−I,Ω, 0) =−1. Consideramos h,H : Ω× [0, 1]→ Rn, definidas por:

h(x, t) = tx+ (1− t)f(x),

H(x, t) = (1− t)f(x)− tx,

ambas son continuas, y la hipótesis i) implica que se puede hablar degrado pues h(x, t) 6= 0 y H(x, t) son no nulas para x ∈ ∂Ω y t ∈ (0, 1]el teorema de invariancia homotópica aplicado a h, H, respectivamenteimplica que:

d(f,Ω, 0) = d(I,Ω, 0),

d(f,Ω, 0) = d(−I,Ω, 0).

Como d(I,Ω, 0) = 1 y d(−I,Ω, 0) = (−1)n = −1 por ser n impar,tenemos 1 = −1 contradicción. Luego el teorema está demostrado.

La hipótesis n impar no puede suprimirse en el anterior teorema.

En la literatura, el anterior teorema se conoce en el caso en queΩ = B1(0 = x ∈ Rn; ‖x‖ < 1 y Sn−1 = x ∈ Rn; ‖x‖ = 1 comoteorema del erizo o teorema de la bola peluda, se enuncia así:

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ii

ii


Teorema 5.24. Si n es impar, no existe aplicación continua f : Sn−1 →Rn tal que f(x) 6= 0 y 〈f(x), x〉 = 0 para todo x ∈ Sn−1. También sedice que cualquier campo vectorial continuo f : Sn−1 → Rn tangente aSn−1 en todo punto tiene puntos donde se anula, es decir un punto dondef(x) = 0, si n es impar.

En Particular, si n = 3 nos dice que un erizo no se puede peinarsin que quede algún pelo de punta (si por peinar significa poner el pelotangente a la cabeza, de manera continua).

Si n = 4 la función f(x) = (x2,−x1, x4,−x3) es un campo vectorialde vectores tangentes a S3 ⊂ R4 que no se anula. De manera similar enR2m, f(x) = (x2,−x1, x4,−x3, . . . , x2m,−x2m−1).

Sobre aplicaciones abiertas.

La teoría de grado sirve para observar que se pueden dar condicionessuficientes para que una aplicación continua sea abierta, El resultadoes conocido como Teorema de Invariancia del dominio para aplicacioneslocalmente uno a uno, es decir para funciones f tales que para todo xen su dominio exista una vecindad V (x), tal que f sea uno a uno en esavecindad V (x). Más exactamente:

Teorema 5.25. Sean Ω abierto en Rn y f : Ω → Rn continua y local-mente uno a uno. Entonces f es aplicación abierta.

Demostración. Basta demostrar que para a ∈ Ω existe una bola abiertaBr(a) ⊂ Ω, tal que f(Br(a)) contiene una bola abierta de centro en f(a).Al tomar Ω−a como abierto y g(x) = f(x+a)−f(a) para x ∈ Ω−a,si se necesita, podemos suponer a = 0 y f(0) = 0. Sea r > 0 tal quef|Br(0) sea uno a uno y h : Ω× [0, 1]→ Rn, definida por:

h(x, t) = f(1

1 + tx)− f(− t

1 + tx).

Tenemos, h es continua, h(., 0) = f , h(x, 1) = f(12x) − f(−1

2x) esimpar.Afirmamos que h(x, t) 6= 0 para todo (x, t) ∈ ∂Br(0)× [0, 1], pues si paraalgún (x, t) allí h(x, t) = 0, entonces F por tanto f( 1

1+tx) = f(− t1+tx) y

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5.4. GRADO DE LERAY-SCHAUDER 61

como f es uno a uno 11+tx = − t

1+tx, es decir x = 0, una contradicción,ya que ‖x‖ = r. Por consiguiente, podemos hablar de grado, así:

d(f,Br(0), z) = d(h(., 1), Br(0), 0) 6= 0

para todo z en una bola Bs(0) esto implica que Bs(0) ⊂ f(Br(0)). Elteorema está demostrado.

Este teorema puede usarse para probar que una función continuaf : Rn → Rn es sobre, tenemos:

Corolario 5.2. Sea f : Rn → Rn continua y localmente uno a uno, talque lım‖x‖→∞ ‖f(x)‖ =∞. Entonces f(Rn) = Rn, es decir, f es sobre.

Demostración. En efecto, f(Rn) es abierto por el anterior teorema, tam-bién cerrado, pues si f(xm) → b, entonces xm es acotada, puesto queposee una subsucesión convergente, sin pérdida de generalidad; podemossuponer entonces que existe a tal que lımm→∞ xm = a, por tanto, porcontinuidad f(a) = b. Luego, f(Rn) = Rn, ya que Rn es conexo.

5.4 Grado de Leray-Schauder

Ahora extendemos la noción de grado a funciones definidas en abier-tos acotados Ω de espacios de Banach E de dimensión infinita, pensandoen extender resultados en dimensión finita tales como teoremas de puntofijo, no existencia de retractos y otros. Veamos algunos inconvenientesque se presentan al tratar de realizar estas extensiones.

Ejemplo 5.2. El Teorema de Punto Fijo de Brouwer no vale endimensión infinita.

Sea f : B1(0) → B1(0) aplicación continua de la bola cerrada uni-taria del espacio de Banach l2, el espacio de Hilbert (de dimensión in-finita) de las sucesiones x = (x1, x2, . . .) de números reales tales que

‖x‖2 =∞∑n=1

xn×2 <∞, norma inducida por el producto interno 〈x, y〉 =

∞∑n=1

xnyn; definimos f : B1(0)→ B1(0) = x ∈ l2; ‖x‖ ≤ 1, por

f(x) =((1− ‖x‖2)

12 , x1, x2, . . .

).

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Vemos que f es continua y el rango de f está contenido en ∂B1(0) pues‖f(x)‖2 = 1. Además f no tiene punto fijo, ya que si existe un tal puntox, entonces f(x) = x; esto implica que:

(x1, x2, x3, . . .) =((1− ‖x‖2)

12 , x1, x2, . . .

),

entonces (1−‖x‖2)12 = x1, x1 = x2, x2 = x3, xn = xn+1, . . ., y que x = 0

y 1− ‖x‖2 = 0, contradicción, luego esta f no tiene punto fijo.

Este ejemplo se debe a Kakutani, quien muestra existencia de un con-junto convexo cerrado acotado de un espacio normado l2 y una aplicaciónde l2 en sí mismo sin puntos fijos.

Ejemplo 5.3. Existencia de retracción de la bola unitaria en sufrontera

Para construir una tal retracción usamos l2 y la función f anterior así:Para x ∈ B1(0), consideramos la recta que une x con f(x) ∈ ∂B1(0), esdecir, R(x) = x+ t(f(x)−x), t ∈ R y consideramos el punto donde estarecta pasa por ∂B1(0); esta corta la frontera en dos puntos, uno es f(x)cuando t = 0, consideramos el otro, lo llamamos z (cuando t 6= 1). Lafunción así definida es continua z : B1(0) → ∂B1(0) x → z = z(x) llevaentonces B1(0) sobre su frontera y z = z(x) = x para todo x ∈ ∂B1(0):Vemos que z = R(x) es la retracción buscada.

Ahora, algo que aumenta la diferencia entre los resultados de dimen-sión finita e infinita:

Ejemplo 5.4. Dos aplicaciones continuas f, g cualesquiera defi-nidas en la esfera unitaria de l2 son homótopas.

En efecto, podemos definir la homotopía siguiente:

H :∂B1(0)× [0, 1]→ ∂B1(0)

(x, t)→ H(x, t) = R(tf(x)) + (1− t)g(x),

donde R es el retracto del ejemplo anterior.

Los anteriores ejemplos nos dicen que la noción de grado definidapara todas las aplicaciones continuas en dimensión infinita no es útil yaque todas tendrían el mismo grado (cero). La dificultad radica en que el

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ii

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conjunto de funciones continuas es muy grande. En aplicaciones apare-cen otras características además de continuidad. La principal dificultades que en dimensión infinita los conjuntos cerrados y acotados no soncompactos. Una de las herramientas más útiles para subsanar esta defi-ciencia es el Teorema de Arzela-Ascoli (ver [69]) que nos da compacidadpara subconjuntos acotados en espacios de funciones.

Definición 5.4. Sean E,F espacios de Banach, y Ω ⊂ E. Una aplicaciónT : Ω→ F se dice que es compacta, sii) es continua yii) la imagen T (B) de todo acotado B ⊂ Ω es relativamente compactoen F, es decir, T (B) es compacto en F.

Nos restringiremos al caso E = F y Ω ⊂ E abierto acotado; estoimplica que la definición de aplicación compacta A es equivalente a sercontinua y que toda sucesión A(xm) posea una subsucesión convergen-te.

En el caso en que T ∈ L(E,F), el espacio vectorial de las aplicacioneslineales continuas de E en F, T es compacta si T (B1(0)) es relativamentecompacto en F , donde B1(0) = x ∈ E; ‖x‖ ≤ 1.

Proposición 5.2. Si E,F,G son espacios de Banach, T ∈ L(E,F),A ∈ L(F,G) es compacta (respect. T es compacta y A solo continua),entonces A T es compacta

La demostración de esta proposición se dejará como ejercicio.

Para definir el grado en dimensión infinita (grado de Leray-Schauder),haremos uso de los siguientes cinco lemas.

Lema 5.5. Sean B espacio un de Banach, Ω ⊂ B abierto y acotado, yA : Ω→ B una aplicación compacta, tal que 0 /∈ (I + A)(∂Ω). Entoncesexiste r > 0 tal que

‖x+A(x)‖ ≥ r, para todo x ∈ ∂Ω.

Demostración. Supongamos la conclusión falsa, entonces para cada nentero positivo existe xn ∈ ∂Ω tal que ‖xn + A(xn)‖ < 1

n(es decir,converge a cero). Ya que A es compacta, existe una subsucesión xnj

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ii


de xn ⊂ ∂Ω tal que que, Axnj es convergente, es decir, existe y ∈ B,tal que lımj→∞A(xnj ) = y. Por consiguiente, existe

lımj→∞

xnj = − lımj→∞

A(xnj ) = −y.

La continuidad de A nos implica que

0 = −y + lımj→∞

A(xnj ) = −y +A( lımj→∞

xnj ) = −y +A(y).

Ya que ∂Ω es cerrado, concluimos que y ∈ ∂Ω; esto contradice que0 /∈ (I +A)∂Ω.

Lema 5.6 (Proyección de Schauder). Sean X espacio vectorial normado,dotado de la métrica inducida por su norma, y K ⊂ X subconjuntocompacto. Dado ε > 0, existen un subconjunto finito F = x1, . . . , xm deX y una función Pε : K → co(F ), llamada la proyección de Schauder,tal que ‖Pε(x)− x‖ < ε para todo x ∈ K.

Demostración. Por la compacidad K existe un conjunto finito F =x1, . . . , xm tal que K ⊂ ∪mi=1B(xI , ε). Para i = 1, . . . ,m sean ϕi :K → R definidas por ϕi(x) = ε−‖x− xi‖ si x ∈ B(xi, ε) y ϕi(x) = 0 encaso contrario. Definimos Φ(x) =

∑mi=1 ϕi(x), luego Φ(x) > 0 para todo

x ∈ K. Definimos la proyección de Schauder Pε = P por

P (x) =m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)xi.

P es continua por serlo las ϕi. Tenemos:

‖P (x)− x‖ = ‖m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)xi −

m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)x‖

= ‖m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)(xi − x)‖

≤m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)‖xi − x‖

<

m∑i=1

ϕi(x)

Φ(x)ε

= ε

ya que ϕi(x) = 0 si ‖x− xi‖ ≥ ε.

ii


ii

ii


Lema 5.7. Sea Ω abierto acotado del espacio de Banach B, A : Ω→ Buna aplicación compacta tal que 0 /∈ (I+A)(∂Ω) y r > 0 como en el lema5.5. Dado ε ∈ (0, r2), existe un subespacio de dimensión finita Z y unaproyección de Schauder Pε = P : A(Ω)→ Z tal que ‖Ax−P (A(x))‖ < εque para todo x ∈ Ω y ‖x+ P (Ax)‖ ≥ r

2 para todo x ∈ ∂Ω.

Demostración. Primero observamos que A(Ω) es compacto. Esto es con-secuencia de la definición de compacidad de A. Luego existe

x1, x2, . . . , xk ⊂ B,

tal queA(Ω) ⊂ Bε(A(x1)) ∪ · · · ∪Bε(A(xk)). (5.13)

Sea Z = 〈A(x1), . . . , A(xk)〉. P una proyección sobre Z. De (5.13)tenemos: ‖A(x)−P (A(x))‖ < ε. Por consiguiente, para x ∈ ∂Ω tenemos

‖x+ P (Ax)‖ ≥ ‖x+Ax‖ − ‖(I − P )(Ax)‖ ≥ r

2, (5.14)

esto demuestra el lema.

El siguiente lema expresa que, de cierta manera, los compactos en unespacio vectorial normado son “casi de dimensión finita”. En el siguien-te lema, debido a J. Schauder, co(F ) denota la envolvente convexa delconjunto F .

Sean Y ⊂ B subespacio de dimensión finita m y Ω1 un subconjuntoabierto y acotado de Y . Dada f : Ω1 → Y continua y tal que y ∈Y − f(∂Ω1) definimos el grado de f respecto a Ω1 e y, como:

d(f,Ω ∩ Y, y) := d(ϕ(f ϕ−1), ϕ(Ω ∩ Y ), ϕ(y)) (5.15)

donde ϕ es un homeomorfismo lineal ϕ : Y → Rm. En el siguiente lemar > 0 es como en el lema 5.5.

Lema 5.8. Sean A, Z, P como en el Lema 5.7. Y un subespacio dedimension finita tal que Z ⊂ Y ⊂ B y Q : A(Ω) → Y una ε-proyecciónde Schauder. Si ε < r

4 , entonces

d(I + P (A(·)),Ω2, 0) = d(I +Q(A(·)),Ω2, 0), (5.16)

donde Ω2 = Ω ∩ Y

ii


ii

ii


Demostración. Seah : [0, 1]× Ω→ B,

definida por h(t, y) = y+P (A(y)) + t(Q(A(y))−P (A(y))

). Claramente

h es continua. Si y ∈ ∂(Ω) tenemos:

‖h(t, y)‖ ≥ ‖y + P (A(y))‖ − ‖Q(A(y))− P (A(y))‖

≥ r

2− ‖Q(A(y))− P (A(y))‖

≥ r

2− ‖A(y)− P (A(y))‖ ≥ r

4.

Por el teorema de invariancia homotópica del grado de Brouwer (verteorema 5.12), se demuestra el lema.

Sean ahora z1, . . . , zk una base para Z y z1, . . . , zk, w1, . . . , wlbase para Y . Ahora, para y ∈ Y , P (A(y)) =

∑ki=1 ai(y)zi, Sea f ij

sucesión de funciones de clase C2 convergentes uniformemente a ai enΩ2. Es claro que f ij → ai converge uniformemente en Ω1 := Ω ∩ Z. Porconsiguiente, para j suficientemente grande tenemos

d(I + PA,Ω2, 0) = d(I + fj ,Ω2, 0), (5.17)

donde fj(y) =∑k

i=1 fij(y)zi.

Sea ahora p ∈ Z un valor regular de (I + fj)|Ω∩Z suficientementepróxima a cero tal que ‖p‖ < r

4 y

d(I + fj ,Ω ∩ Z, p) = d(I + fj ,Ω ∩ Z, 0). (5.18)

Afirmamos que p es también valor regular para I + fj en Ω ∩ Y . Enefecto, si (I + fj)(x) = p, entonces debido a que el rango de fj está enZ, vemos que x ∈ Ω ∩ Z, y

det(I + f ′j)Z(x) = det(I +

∂f ij∂zk

(x))6= 0. (5.19)

Por otro lado,

(I + f ′j)(x) =

(I + f ′j)(x) · · · J

. . . . . . .0 · · · I

. (5.20)

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ii

ii


Por tanto, det(I + f ′j)Z(x) = det(I + f ′j)(x) 6= 0. Luego, p es valorregular de I + fj y

d(I + fj ,Ω ∩ Y, p) = d((I + fj)Z ,Ω ∩ Z, p)= d(I + PA,Ω ∩ Z, p).

(5.21)

De (5.17) y (5.21) hemos demostrado:

Lema 5.9. Sea ε < r4 . Si Z ⊂ Y , entonces

d(I +QA,Ω ∩ Y, 0) = d(I + PA,Ω ∩ Z, 0).

Corolario 5.3. Si Z1, Z2 son subespacios de dimensión finita de B comoel Z en el lema anterior , 0 ∈ Ω, entonces

d(I + P1A,Ω ∩ Z1, 0) = d(I + P2A,Ω ∩ Z2, 0),

donde P1, P2 son las proyecciones sobre Z1, Z2, respectivamente.

Demostración. Escogiendo Y = Z1 + Z2, la prueba se sigue del lemaprevio.

Definición 5.5. (Grado de Leray-Schauder) Sean B espacio de Banach,Ω abierto acotado de B, A y r > 0 como anteriormente. Definimos elgrado de Leray-Schauder de I +A en Ω, con respecto a 0 como el entero

d(I +A,Ω, 0) = d(I + PA,Ω ∩ Z, 0). (5.22)

Por el corolario 5.3, la definición está bien dada. Ahora demostramosque las propiedades fundamentales del grado de Brouwer se extienden algrado de Leray-Schauder.

Teorema 5.26 (Existencia). Sean B espacio de Banach, Ω abierto aco-tado de B, ϕ : Ω→ B aplicación compacta. Si d(I+ϕ,Ω, 0) 6= 0, entoncesexiste x ∈ Ω tal que x+ ϕ(x) = 0.

Demostración. Para j entero positivo suficientemente grande, sea Zj unsubespacio de dimensión finita tal que ‖ϕ(x)− Pj(ϕ(x))‖ < 1

j si x ∈ Ω,‖x + Pj(ϕ(x))‖ ≥ r

2 si x ∈ ∂Ω ∩ Zj , y d(I + Pjϕ,Ω ∩ Zj , 0) = d(I +

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Pjϕ,Ω, 0) (ver lemas 5.6 y 5.7). Luego, por la teoría de grado de Brouwer(ver teorema 5.13), existe xj ∈ Zj tal que xj + Pj(ϕ(xj)) = 0. Ahora

‖xj + ϕ(xj)‖ ≤ ‖xj + Pj(ϕ(xj))‖+ ‖ϕ(xj)− Pj(ϕ(xj))‖ <1

j.

Por tanto, xj + ϕ(xj) → 0. Como ϕ es compacta, existe una subsu-cesión xjk con ϕ(xjk) → y. Por tanto, xjk → −y. Por consiguiente, porcontinuidad

−y + ϕ(−y) = lımk→∞

(xjk + ϕ(xjk) = 0.

Luego, el teorema está demostrado.

Teorema 5.27 (Homotopía). Sean Ω, B como antes. Si

i) h : [0, 1]× Ω→ B es compacta y

ii) x+ h(t, x) 6= 0 para todo (t, x) ∈ [0, 1]× ∂Ω

entoncesd(I + h(1, ·),Ω, 0) = d(I + h(0, ·),Ω, 0). (5.23)

Demostración. Sea r > 0 como en el Lema 5.5. Sea Z un subespacio dedimensión finita tal que

‖h(t, x)− Ph(t, x)‖ < ε <r

2para (t, x) ∈ [0, 1]× Ω

y‖Ph(t, x) + x‖ ≥ r

2para x ∈ [0, 1]× ∂Ω ∩ Z.

Ahora, por la propiedad de homotopía del grado de Brouwer (verteorema 5.12), tenemos

d(I + Ph(1, ·),Ω ∩ Z, 0) = d(I + Ph(0, ·),Ω ∩ Z, 0)

el cual, por definición de grado de Leray-Schauder, implica (5.23) y asíel teorema queda demostrado.

A continuación establecemos la propiedad de escisión del del gradode Leray-Schauder.

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Teorema 5.28 (Escisión). Sean B espacio de Banach, Ω abierto acotadode B, y ϕ : Ω→ B aplicación compacta. Si W es subconjunto abierto deΩ, y ϕ(x) + x 6= 0 para todo x ∈ ∂Ω ∪ ∂W , entonces

d(I + ϕ,Ω, 0) = d(I + ϕ,W, 0) + d(I + ϕ,Ω−W, 0).

Demostración. Sea r = ınf‖x + ϕ(x)‖;x ∈ ∂Ω ∪ ∂W > 0, y Z subes-pacio de dimensión finita tal que ‖x + Pϕ(x)‖ > r

4 , donde P es unaproyección sobre Z. Por la propiedad de escisión del grado de Brouwerdeducimos el teorema.

Combinando la propiedad de escisión del grado de Leray-Schaudercon el teorema anterior de homotopía, podemos extender la popiedad dehomotopía a regiones no cilíndricas.

Teorema 5.29 (Homotopía en regiones no cilíndricas). Sean A abiertoacotado conexo de R×B y h : A→ B aplicación continua y compacta. Siz+ h(z) 6= 0 para todo z ∈ ∂A, entonces d(h(·)λ, Aλ, 0) es independientede λ, donde

Aλ := x : (λ, x) ∈ A.

Demostración. Sean a < b tales que Aa y Ab son subconjuntos abiertosde B. Ya que A es conexo y compacto, existen reales a < b tales que

(λ, x) ∈ A =⇒ a < λ < b.

Sean c ∈ (a, b), yN = x ∈ Rn;x+h(c, x) = 0. Como h es compacta, asílo es N . Por tanto, existe δ > 0 tal que d(N, ∂(Ac)) ≥ δ. Un argumentoelemental muestra que existe α > 0, tal que si |λ−c| ≤ α y x+h(λ, x) = 0entonces d(x,N) < δ. Sean s, t ∈ [c−α, c+α]. Por la propiedad de escisióndel grado de Leray-Schauder tenemos

d(I + h(s, ·), As, 0) = d(I + h(s, ·), x; d(x,N) < δ, 0) y

d(I + h(t, ·), At, 0) = d(I + h(t, ·), x; d(x,N) < δ, 0).

Por otro lado, por teorema 5.27 obtenemos

d(I + h(s, ·), x; d(x,N) < δ, 0) = d(I + h(t, ·), x; d(x,N) < δ, 0).

Por consiguiente, d(I + h(s, ·), As, 0) = d(I + h(t, ·), At, 0), se demuestrael teorema.

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5.5 Aplicaciones del grado de L-S

Para las técnicas abstractas desarrolladas en la sección precedente,debemos considerar problemas donde existan continuidad y compacidad.A menudo aparecen operadores continuos no-lineales a través de la com-posición con una función dada. Esta clase de operadores se conocen comooperadores de Neymistki.

Sean Ω una región acotada en Rn, y g : Ω× R→ R, para u : Ω→ Rcontinua, definimos γ(u) : Ω→ R por γ(u)(x) = g(x, u(x)).Notaremos con C([0, 1],R) = C([0, 1]) las funciones continuas definidasen [0, 1] a valor real.

Propiedades básicas del operador γ dadas por:

Lema 5.10. i) Si g es continua, entonces γ es un operador continuoen C(Ω).

ii) Si existen reales A > 0, p ≥ 1, y q ≥ 1, tales que

|g(x, u)| ≤ A(|u|pq + 1),

entonces γ define una función continua entre Lp(Ω) y Lq(Ω).

La demostración de i) es elemental se deja como ejercicio. La demos-tración de ii) es muy delicada; puede verse en [65].

Una fuente importante de operadores compactos son los operadoresintegrales. La siguiente construcción se usará extensivamente en adelante.

Sea k : [0, 1]× [0, 1]→ R una función continua. Para u ∈ C([0, 1],R), seaK : C([0, 1],R)→ C([0, 1],R), definida por: K(u) : [0, 1]→ R, como

K(u)(t) =

∫ 1

0k(s, t)u(s)ds. (5.24)

Lema 5.11. El operador integral K : C([0, 1])→ C([0, 1]) es compacto.

Demostración. Si tn converge a t, entonces k(s, tn)u(s) converge uni-formemente a k(s, t)u(s). Por consiguiente, K(u) es en verdad unafunción continua. Por otro lado, si un converge uniformemente a u,

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ii

5.5. APLICACIONES DEL GRADO DE L-S 71

entonces k(s, t)un(s) converge uniformemente a K(u), esto demuestraque K es continua. Si un es acotada en C([0, 1]), entonces K(un) estambién acotada. No solo eso: también tenemos k que es uniformementecontinua. Luego, dado que ε > 0 existe δ > 0 tal que si |(s, t)−(s, t)| < ε.Por tanto,

|K(un)(t)−K(un)(τ)| ≤∫ 1

0|k(s, t)− k(s, τ)||u(s)|ds ≤Mε, (5.25)

donde M > 0 es cualquier cota superior para la sucesión un. LuegoK(un) es uniformemente acotada y equicontinua. Por el Teorema deArzela-Ascoli deducimos que K(un) tiene una subsucesión convergen-te, esto demuestra que K es compacto.

Tomando γ como en el lema 5.10 anterior tenemos:

Corolario 5.4. El operador K γ es compacto.

Teorema 5.30. Si g es continua y acotada, entonces la ecuaciónu = K(γ)(u) tiene una solución. Más aún

d(I −K γ,B2M (0)) = d(I,BM (0), 0) = 1.

Demostración. Aplicaremos el teorema de punto fijo Schauder. Ya queg es acotada, existe M > 0, tal que ‖K γ(u)‖ ≤ M , para todou ∈ C([0, 1]). Por consiguiente, para λ ∈ [0, 1] y ‖u‖ ≤ 2M tenemos‖λK(γ(u))‖ ≤ λM . Por tanto, ‖u−K(γ(u))‖ ≥ 2M − λM > 0. Luego,por existencia, existe u ∈ B2M (0) tal que

u(t) =

∫ 1

0k(s, t)g(s, u(s) ds. (5.26)

Esto demuestra el teorema.

Corolario 5.5. Si g es acotada, entonces la ecuación

−u′′(t) = g(t, u(t)), u(0) = u(1) = 0 (5.27)

tiene una solución.

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Demostración. Tomando

k(s, t) =

(1− t)s, para s ∈ [0, t]

(1− s)t para s ∈ [t, 1],

vemos fácilmente que u(t) =∫ 1

0 k(s, t)g(s, u(s))ds es equivalente a laecuación (5.27): ya que por el teorema 5.30 anterior, la útima ecuaciónintegral tiene una solución; esto demuestra el corolario.

Muchas aplicaciones de la teoría de grado de Leray-Schauder se basanen el hecho de que la ecuación bajo consideración envuelve un operadorlineal cuyo espectro es compacto.Para presentar un ejemplo de tales aplicaciones, recordamos el teoremaespectral para operadores autoadjuntos compactos en espacios de Hil-bert.

Teorema 5.31. Sea H un espacio de Hilbert real. Sea K : H → H unoperador compacto y autoadjunto, entonces existen una sucesión λn → 0y un conjunto ortonormal completo ϕn ⊂ H tal que Kϕn = λnϕn. Siλn 6= 0, entonces el subespacio propio asociado es de dimensión finita,es decir, dim(u ∈ H,Ku = λnu) <∞.

Demostraciones de este teorema pueden verse en muchos libros deAnálisis funcional, como, por ejemplo, Análisis funcional Teoría y apli-caciones de Haim Brézis (ver [12] )o en Real Analysis de Serge Lang).Proponemos al lector, como ejercicio, verificar que si k : [0, 1]×[0, 1]→ Res continua, entonces el operador K definido en (5.24) por:K : C([0, 1]) → C([0, 1]) como K(u)(t) =

∫ 10 k(s, t)u(s)ds para u ∈

C([0, 1]) es compacto, aún más, K : L2[0, 1] → L2[0, 1] es compacto. Si,además k(s, t) = k(t, s), entonces K es autoadjunto. En particular, si kes como la función k, definida en la prueba del Corolario (5.4) anterior,vemos que existe un conjunto ortonormal completo ϕn en L2[0, 1] (verteorema 7.1) tal que

−ϕ′′n = λnϕn en [0, 1]; ϕn(0) = ϕn(1) = 0, (5.28)

donde podemos escoger ϕn(t) =√

2 sin(nπt), y λn = n2π2.

Teorema 5.32. Suponemos que g : [0, 1]×R→ R es continua y acotada.Si g(t, 0) = 0 y ∂g

∂u(t, 0) ∈ [((2j + 1)π)2 + σ, ((2j + 2)π)2 − σ] para algúnj = 0, 1, · · · , y para algún σ > 0, entonces la ecuación

−u′′ = g(t, u), u(0) = u(1) = 0 (5.29)

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5.5. APLICACIONES DEL GRADO DE L-S 73

tiene, por lo menos, una solución no nula.

Demostración. Primero observamos que u(t) = 0 es una solución. Si0 < δ < 1 es tal que si |u| < δ implica que g(t, u) = g(t, 0) + ∂g

∂u(t, 0)u+h(t, u) con |h(t, u)| < σ

2 |u(t)|. Afirmamos que si

‖u‖ = δ entonces − u(t) +K(u(t)(

∂g

∂u(t, 0)

)6= 0, para todo λ ∈ [0, 1].

Primero demostramos que si

q : [0, 1]→[((2j + 1)π)2 + ρ, (((2j + 2)π)2 − ρ

],

para algún ρ > 0, entonces la ecuación u−K(uq) = 0 tiene solución nonula. Supongamos que no sea así, sea w tal que w = K(wq). Por tanto,

−w′′ = wq, w(0) = w(1) = 0. (5.30)

Escribimos w = w1 + w2 donde w1 ∈ 〈sin(πt), . . . , sin((2j + 1)πt)〉. Seaz = w2−w1, multiplicando (5.30) por z e integrando por partes tenemos∫ 1

0w′z′ =

∫ 1

0wqz =

∫ 1

0(w′1 + w′2)(w′2 − w′1) =

∫ 1

0(w′2)2 − (w′1)2.

Por tanto, ∫ 1

0

((w′2)2 − q(w2)2

)=

∫ 1

0(qw2

1 − (w′1)2). (5.31)

Ahora observamos que para x ∈ 〈sin((2j + 2)πt), . . .〉 tenemos∫ 1

0((x′)2 ≥ (2j + 2)2

∫ 1

0x2, (5.32)

mientras que para x ∈ 〈sin(πt), . . . , sin((2j + 1)πt)〉 obtenemos∫ 1

0((x′)2 ≤ (2j + 1)2

∫ 1

0x2. (5.33)

Reemplazando (5.32) y (5.33) en (5.31) , y usando que

q(t) ∈ [((2j + 1)π + ρ, ((2j + 2)π − ρ],

tenemos que

0 ≤ ρ∫ 1

0((w2)2 ≤

∫ 1

0

((w′2)− qw2

2

)=

∫ 1

0((w′1)2 − qw2

1) = 0.

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Por tanto, (ya que ρ > 0) tenemos w1 = w2 = 0, esto demuestra queu−K(uq) = 0 no tiene soluciones no nulas.Sea ahora q(t, λ) = (1− λ)( ∂g∂u(t, 0) + λτ), donde

τ ∈(((2j + 1)π)2 + ρ, ((2j + 2)π)2 − ρ

)vemos que si λ ∈ [0, 1] y u 6= 0, entonces u−K(q(·, λ)) 6= 0. Luego, porla propiedad de homotopía del grado de Leray-Schauder obtenemos

d

(I −K(·∂g

∂u(t, 0)), Bδ(0), 0

)= d

(I − τK,Bδ(0), 0

). (5.34)

Un cálculo simple demuestra que los operadores lineales I−τK tienen2j + 1 valores propios negativos, en verdad estos son

(1− τ

π2, . . . , (1− τ

((2j + 1)π)2)).

Esto y (5.34) demuestra que

d(I −K(.∂g

∂u(t, 0), Bδ(0), 0) = (−1)2j+1. (5.35)

Por otro lado, ya que para ‖u‖ ≤ δ, ∂g∂u(t, 0) + λ (h(t,u(t))u(t) pertenece a[

((2j + 1)π)2 + σ2 , ((2j + 1)π)2 − σ

2

]vemos que la ecuación

−u(t) +K(u(t)∂g

∂u(t, 0) + λK(h(t, u(t))) = 0. (5.36)

no tiene solución en Bδ(0). Otra vez, por invariancia homotópica delgrado de Leray-Schauder, tenemos

d(I −K γ,Bδ(0), 0) = (−1)2j+1. (5.37)

Ya que γ es acotada, de (5.26) y (5.37), y la propiedad de escisión,obtenemos

d(I −K γ,B2M (0)−Bδ(0), 0) = 1− (−1)2j+1 = 2. (5.38)

Luego, por el teorema de existencia del grado existe u conδ < ‖u‖ < 2M que satisface (5.29); así el teorema queda demostra-do.

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5.6. LA NOCIÓN DE GÉNERO 75

En el capítulo siguiente daremos aplicación de la teoría de grado ala de bifurcación. A continuación mostramos usos de la teoría de gradoa la de género.

5.6 La noción de género

Sea E un espacio de Banach real. Denotaremos con S(E) la familia detodos los subconjuntos de E−0 que son cerrados y simétricos respectodel origen.

Es claro que siempre S(E) 6= ∅, E − 0, ∂Br(0), −x, x si x 6= 0son elementos de S(E).

Definición 5.6. Sea A ∈ S(E), diremos que A tiene género n si nes el menor entero para el cual existe una función continua e imparϕ : A → Rn − 0. El género de A será denotado por γ(A). Si A = ∅definimos γ(∅) = 0. Si A 6= ∅ y para ningún n existen funciones continuasimpares f : A→ Rn − 0 definimos γ(A) =∞.

A partir de esta sección A yB denotarán elementos de S(E).

Lema 5.12. Si existe una función continua e impar f : A→ B, entoncesγ(A) ≤ γ(B). En particular, si A ⊂ B, γ(A) ≤ γ(B). También si existeun homeomorfismo impar h : A→ B, entonces γ(A) = γ(B).

Demostración. Se dejará como ejercicio.

Lema 5.13. Para todo A,B ∈ S(E) se tiene que γ(A∪B) ≤ γ(A)+γ(B).

Demostración. De la definición de género se deduce que existen funcionescontinuas e impares ϕ : A→ Rγ(A)−0 y ψ : B → Rγ(B)−0 continuase impares. Por el Teorema de Extensión de Tietze φ, ψ pueden extendersea todo E con valores en Rγ(A), Rγ(B), respectivamente. Denotamos porϕ, ψ a tales extensiones. Observamos que podemos suponer ϕ, ψ impares,ya que basta considerar ϕ(x)−ϕ(−x)

2 y ψ(x)−ψ(−x)2 . Se verifica fácilmente

que f = (ϕ, ψ) : E→ Rγ(A) × Rγ(B) es función continua e impar la cualno se anula en A ∪B, luego γ(A ∪B) ≤ γ(A) + γ(B).

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El lema anterior no puede mejorarse; los ejemplos a continuación lomuestran.

Ejemplo 5.5. Tomando E = R2, A = x ∈ R2; ‖x‖ = 1 yB = x ∈ R2; ‖x‖ = 2.

Tenemos que 2 = γ(A ∪B) = γ(B) < 4 = γ(A) + γ(B).

Ejemplo 5.6. Sean E = R2, A = (x, y) ∈ R2; |x| = 1 yB = (x, y) ∈ R2; |y| = 1.

Como A,B son no vacíos y ϕ(x, y) = x y ψ(x, y) = y son funcionescontinuas e impares que no se anulan en A, y B respectivamente, se tiene1 = γ(A) = γ(B). Como

A∪B ⊃ C = (x, y) ∈ R2; |x| = 1, |y| ≤ 1∪(x, y) ∈ R2; |x| ≤ 1, |y| = 1

y C es homeomorfo, vía un homeomorfismo impar, a S1, tenemosγ(A ∪B) ≥ γ(C) = γ(S1) = 2. Luego γ(A ∪B) = 2 = γ(A) + γ(B).

Que γ(S1) = 2, se deduce del siguiente lema:

Lema 5.14. Para todo entero positivo n se tiene γ(Sn−1) = n.

Demostración. Claramente se ve que γ(Sn−1) ≤ n, porque la identidadi : Sn−1 → Rn−0 es función impar continua. Consecuencia del Teore-ma de Borsuc (teorema 5.17), sabemos que no es posible encontrar unafunción continua e impar ϕ : Sn−1 → Rj − 0 si j < n. Esto concluyela demostración del lema.

Ejemplo 5.7. Sea x 6= 0 en E, A = Br(x) ∪ Br(−x) con r < ‖x‖Entonces γ(A) = 1.

En efecto, existe ϕ : A→ R− 0, definida por

ϕ(z) =

1, si z /∈ Br(x),

−1, si z /∈ Br(−x).

De manera más general, un conjunto A ∈ S(E) no conexo tiene géneroigual a 1.

En el caso E = Rn, si Ω ⊂ Rn es abierto acotado, simétrico respectodel orígen conteniendo el orígen, entonces γ(A) = n.

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5.6. LA NOCIÓN DE GÉNERO 77

Lema 5.15. Si γ(B) <∞, γ(A−B

)≥ γ(A)− γ(B).

Demostración. Como A ⊂ A−B∪B, tenemos γ(A) ≤ γ(A−B)+γ(B).El lema está demostrado.

Lema 5.16. Si A es compacto γ(A) <∞.

Demostración. Para cada x ∈ A y cada 0 < r < ‖x‖ sea

A(r, x) = Br(x) ∪Br(−x).

Fácilmente se ve que γ(A(r, x)) = 1. Por la compacidad de A existeuna familia finita A(rj , xj); j = 1, . . . ,m que cubren A. Luego, por ellema 5.13 anterior, γ(A) ≤ m <∞.

Lema 5.17. Si A es compacto, existe δ > 0 tal que γ(A) = γ(Nδ(A))donde Nδ(A) = x ∈ E; dist(x,A) < δ.

Demostración. Sea ϕ : A → Rγ(A) − 0 continua e impar. Sea ϕ :E → Rγ(A) una extensión continua impar. Como ϕ no se anula en Ay A es compacto, existe δ > 0 tal que ϕ no se anula en Nδ(A), luegoγ(NδA)) ≤ γ(A). La anterior desigualdad y el Lema 5.12 implican queγ(Nδ(A)) = γ(A).

Lema 5.18. Si A es homeomorfo, vía un homeomorfismo impar, a lafrontera de una vecindad simétrica y acotada de 0 en Rn, entoncesγ(A) = n.

Demostración. Se deja como ejercicio; se sugiere imitar la demostracióndel lema 5.14 anterior.

Lema 5.19. Sean X,Y dos subespacios lineales de E tales queE = X ⊕ Y , A ⊂ E. Si γ(A) > dim(X), entonces A ∩ Y 6= ∅.

Demostración. Sea P : E→ X la proyección sobre X a lo largo de Y . SiA∩Y = ∅, entonces P (u) 6= 0 para todo u ∈ A, luego P : A→ X−0 esuna función continua impar. Esto contradice que γ(A) > dim(X), luegoA ∩ Y 6= ∅.

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5.7 Teorema de Liusternick-Schnirelman

A continuación, una variación del Teorema de Liusternick-Schnirelmandebida a D. Clark (véase [17]).

Teorema 5.33. Sea f : E → R una función par que satisface (P-S) ytal que f(0) = 0. Para cada m ≤ dim(E) sea

cm(f) = ınfγ(A)≥m

(supx∈A

(f(x)).

Si −∞ < cm(f) < 0, entonces Km = x ∈ E; f(x) = cm(f), f ′(x) =0 6= ∅ y Km es compacto. Más aún, si m ≤ n y −∞ < cm(f) = cn(f) =c < 0, entonces γ(Km) ≥ n−m+ 1.

Demostración. Como f satisface (Palais-Smale), es inmediato que Km

es compacto. Si Km = ∅ por el teorema de deformación de Clark (véaseteorema 8.1), existe d > 0 tal que cm(f) + d < 0 y una función continuaimpar en la segunda variable η : [0, 1]× E→ E tal que

η(1, fcm(f)+d ⊂ fcm(f)−d (véase teorema 8.1).

Sea A ∈ S(E) tal que γ(A) ≥ m y supf(x);x ∈ A < cm(f) + d, luegoA1 = η(1, A) es un conjunto cerrado y simétrico. Como η(t, .);E→ E esun homeomorfismo para cada t, γ(A1) ≥ m.Pero supf(x), x ∈ A1 ≤ cm(f)− d, lo cual contradice la definición decm(f). Luego Km 6= ∅.

Como Km es compacto, por el lema 5.16 anterior, γ(Km) < ∞. SeaU una vecindad abierta de Km tal que U ∈ S(E) y γ(U = γ(Km) (véaselema 5.18). Sean d > 0 tal que c + d < 0 y η : [0, 1] × E → E tal queη(1, fc+d ⊂ fc−d (véase teorema refdeform). De la definición de cm(f) sesigue que existe A ∈ S(E) tal que A ⊂ fc+d y γ(A) ≥ n.Sea B = A− U , por el lema 5.14, tenemos:

γ(Km) = γ(U) ≥ γ(A)− γ(B). (5.39)

También tenemos que B ∈ S(E) y η(1, B) ⊂ fc−d. Por el lema 5.12γ(B) = γ(η(1, B)). Si γ(B) ≥ m tendríamos una contradicción conla definición de c, luego γ(B) ≤ m − 1. De la ecuación 5.39, tenemosγ(Km) ≥ n−m+ 1; el teorema está demostrado.

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5.8. APLICACIONES 79

Sea f : E → R una función de clase C1, par y tal que f(0) = 0.Definimos

i1(f) = lıma→0+

γ(fa),

i2(f) = lıma→−∞

γ(fa)(5.40)

Teorema 5.34. Supongamos que f satisface (Palais-Smale, ver defini-ción 8.2).

Si i1(f) > i2(f), entonces para cada entero m tal que i2(f) < m ≤i1(f) existe por lo menos un par (xm,−xm) de puntos críticos de f talesque f(xm) = cm(f).

Demostración. Veamos primero que cm(f) < 0 si y solo si m < i1(f).En efecto, si cm(f) < 0 podemos hallar A ∈ S(E) tal que

γ(A) ≥ m y supf(x);x ∈ A ≤ cm(f)

2.

Luego, si cm(f)2 < a < 0 se tiene γ(fa) ≥ γ(A) ≥ m, y esto implica

que i1(f) ≥ m.

Recíprocamente, si m ≤ i1(f) existe a < 0 tal que γ(fa) ≥ m. Comofa es un conjunto cerrado y simétrico, tenemos cm(f) ≤ a < 0.De manera similar se demuestra que

i2(f) > −∞ si y solo si cm(f) > −∞.

Esto, combinado con el teorema anterior, demuestra que Km 6= ∅ y,así, de esta manera, el teorema queda demostrado.

Notamos que si E = R f(x) = −x2 entonces i1(f) = i2(f) = 1.También si f(x) = x4 − x2, entonces i1(f) = 1 y i2(f) = 0.

5.8 Aplicaciones

En esta sección presentamos aplicaciones al problema de Dirichlet(ver ecuación (8.6)); miramos a un caso particular importante: para

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simplificar notaciones consideramos, ejemplos típicos, por esto sugeri-mos al lector como ejercicio extender estos resultados. En [5], [7], [17],[18], y [28], se encuentran aplicaciones de los Teoremas de Liusternik-Schnirelman a ecuaciones diferenciales parciales semi-lineales.

Usamos ahora el teorema 5.34 para obtener información acerca delnúmero de soluciones débiles del problema

∆u+ λ sin(u(x)) = 0 x ∈ Ω (5.41)u(x) = 0 x ∈ ∂Ω.

Demostramos que la posición del parámetro λ con respecto a losvalores propios λ1, λ2, . . . (véase teorema 8.8) determina cotas inferiorespara el número de soluciones débiles de la ecuación (5.41). En efecto,tenemos:

Teorema 5.35. Si λN < λ, entonces (5.41) tiene por lo menos 2N + 1soluciones débiles.

Demostración. En el capítulo 8, debido a la definición de solución débildada allí para la ecuación (5.41), se muestra que las relaciones (8.6) a(8.9) bastan para demostrar que el funcional J : H1

0 (Ω) → R, definidopor

J(u) =

∫ (‖∇u‖22

+ λ(cos(u(x))− 1))dx, (5.42)

tiene 2N + 1 puntos críticos. Como 0 ∈ H10 (Ω) es un punto crítico de

J , por el teorema 5.34, basta probar que i1(J) − i2(J) ≥ N y que Jsatisface (P-S). Esto último será dejado como ejercicio al lector.

Veamos que i2(J) e i1(J) ≥ N . De (5.42) se sigue que

J(u) ≥ ‖u‖2

2− 2λ(med(Ω)).

En particular, si a < −2λ(med(Ω)) tenemos Ja = ∅. Luego i2(J) = 0.Sea X el subespacio de H1

0 (Ω generado por ϕ1, · · · , ϕN. Es fácil ver

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que para cada x ∈ X.

d2J(tx)

dt2

∣∣∣t=0≡ 〈D2J(0)x, x〉

= ‖x‖21 − λ∫

cos(0)x2

≤ (λN − λ)

∫x2.

Como λN −λ < 0 y X es de dimensión finita, tenemos que J restrin-gido a X tiene un punto de mínimo local estricto en 0.

Luego existe a < 0 tal que x ∈ X; J(x) ≤ a contiene un conjunto dela forma x ∈ X; 0 < ε1 ≤ ‖x‖ < ε2, para algún par de números reales(ε1, ε2). Luego γ(Ja) ≥ N . Esto implica que i1(J) ≥ N y el teoremaqueda demostrado.

En el siguiente teorema no daremos todos los detalles de la demos-tración.

Teorema 5.36. Sea Ω una región acotada en Rn, n < 4. Entonces elproblema de Dirichlet

∆u+ u3 = 0 en Ω, u(x) = 0 x ∈ ∂Ω, (5.43)

tiene infinitas soluciones débiles.

Demostración. Sea J : H10 (Ω)→ R definido así:

J(u) = ‖u‖61 −∫

Ωu4. (5.44)

Como n < 4, del teorema 7.2 (Inmersión de Sobolev), deducimos queJ es un funcional de clase C1. Para u, v ∈ H1

0 (Ω) tenemos

〈∇J(u), v〉1 = 6‖u‖41〈u, v〉1 − 4

∫Ωu3v. (5.45)

Luego∇J(u) = 6‖u‖41u−f(u). Siguiendo las ideas de la demostracióndel teorema 5.33, se ve que f : H1

0 (Ω)→ H10 (Ω) es un operador compacto

y continuo.

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Veamos que J satisface la condición (P-S). Sea um ⊂ H10 (Ω) tal

que J(um) es acotada y J(um) → 0. Del teorema 8.6 se sigue queexiste un número real c > 0 tal que∫

Ωu4 ≤ c‖u‖41. (5.46)

De las ecuaciones (5.44) y (5.46) tenemos J(u) ≥ ‖um‖61 − c‖u‖41,luego um es acotada.

De (5.45) tenemos 6‖um‖41um − f(um) = ∇J(um)→ 0.

Como f es compacta, existe una subsucesión umj tal que f(umj )converge. Por consiguiente, 6‖umj‖41umj converge, lo cual implica queumj tiene una subsucesión convergente. Esto concluye que J satisface(P-S).

De (5.44) y (5.46) deducimos que J(u) esta acotado inferiormente,luego i2(J) = 0.

Sean ψ1, . . . , ψk funciones de clase C∞ y de soporte compacto con-tenido en Ω. Es claro que ψ1, . . . , ψk ∈ H1

0 (Ω). Sea X el subespaciogenerado por ψ1, . . . , ψk. Como X ⊂ L6(Ω) y X tiene dimensión finitaexiste un real d tal que

‖x‖1 ≤ d∫

Ωu6.

Esta última desigualdad y (5.44) implican que J restringido a Xtiene un punto de máximo estricto en 0. Luego existe a > 0 tal quex ∈ X; J(x) < a contiene un conjunto de la forma x ∈ X; 0 < ε1 ≤‖x‖ < ε2, con ε1, ε2 ∈ R.

Luego i1(J) ≥ k. Como k puede ser cualquier entero positivo, te-nemos i1(J) = ∞; con lo cual, por el teorema 5.34 de este capítulo,concluimos que J tiene infinitos puntos críticos.

De la definición de solución débil de la ecuación (8.6) tenemos que ues un punto crítico de J si y solo si u es solución débil de

6‖u‖41∆u+ 4u3 = 0 ∈ Ω; u = 0 ∈ ∂Ω. (5.47)

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5.9. EJERCICIOS 83

Sea u 6= 0 un punto crítico de J , definimos v =(

2√6‖u‖21

)u. Como u

satisface (5.47) fácilmente se verifica que v es solución de (5.43). ComoJ tiene a lo más un número finito de puntos críticos en cada subespaciode dimensión uno, con esto queda demostrado el teorema.

5.9 Ejercicios

1. Sean a < b números reales f : [a, b] → R función continua tal quef(a)f(b) 6= 0, demuestre que

d(f, (a, b), 0) =1

2

(sign(f(b))− sign(f(a))

).

2) Sea E espacio de Banach, Ω ⊂ E abierto acotado,H : [0,1]×Ω→ Etal que existe K compacto en E conteniendo la imágen de H, Hcontinua.

i) Demuestre que H es compacta.

ii) Demuestre que para cada t ∈ [0, 1] Ht : Ω → E, dada porHt(x) = H(t, x) es compacta. ¿Qué se puede decir acerca dela compacidad de H si quitamos la hipótesis de que su imagenesté contenida en un compacto?

3) Sea f : R→ R, dada por f(t) = t sin(1t ) si t 6= 0 y f(0) = 0. Calcule

d(f, (−12π,

12π), 0). ¿Puede exhibir dos maneras para calcularlo?.

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CAPÍTULO 6

Bifurcación

6.1 Ejemplos y contraejemplos

La teoría de bifurcación estudia la estructura del conjunto de solu-ciones de ecuaciones de la forma:

F (λ, x) = 0 (6.1)

donde F : Λ×X → X. Por lo general Λ es un espacio métrico llamadoespacio de párametros, y X un espacio de Banach.

Aquí suponemos que

F (λ, 0) = 0, para todo λ ∈ Λ.

Al ser esto cierto, entonces (6.1) tiene para todo λ la solución u = 0 ∈ X.

Esta solución es conocida como la solución trivial.

Sea S el conjunto de las soluciones no triviales de (6.1). El teorema 2.1(Principio de Contracciones) es ejemplo de cómo analizar tal conjunto de

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86 CAPÍTULO 6. BIFURCACIÓN

soluciones. Más débil que el teorema 2.1, aunque particularmente útil,es el teorema de la función implícita (véase [68], pág. 224). Este diceque si la derivada de F con respecto a la segunda variable es invertible,entonces, localmente, el conjunto de ceros (soluciones) de F es el gráficode una función x(λ).

Definición 6.1. Sean X,Y espacios de Banach, F : R × X → Y apli-cación de clase C2. Diremos que λ∗ ∈ R es punto de bifurcación para F(desde la solución trivial u = 0) si existe una sucesión (λn, un) ∈ R×Xcon un 6= 0, F (λn, un) = 0 y (λn, un)→ (λ∗, 0).

Otra manera equivalente de definir punto de bifurcación es requerirque (λ∗, 0) sea punto adherente de S, donde S ⊂ R×X anterirormentedefinido es el conjunto de soluciones no triviales de F (λ, x) = 0.

Esto equivale a decir que en toda vecindad de (λ∗, 0) existe un punto(λ, ν) ∈ S, con ν 6= 0. Se puede debilitar la clase de F a ser de clase C1.El siguiente teorema da condiciones necesarias para que (λ, 0) sea puntode bifurcación.

Teorema 6.1. Sean X,Y espacios de Banach, F : R×X → Y , de claseC1. Una condición necesaria para que λ∗ sea punto de bifurcación paraF es que ∂2F (λ∗, 0) = Fx(λ∗, 0) sea no inversible.

Demostración. Si Fx(λ∗, 0) fuese inversible, el teorema de la función im-plícita implica la existencia de una vecindad de la formaW×V de (λ∗, 0)en R×X tal que F (λ, v) = 0 para (λ, v) ∈ W × V si y solo si v = 0, esdecir que λ∗ no es de bifurcación para F .

Cuando X = Y y F (λ, x) = λx − N(x), N : X → X es de claseC1, el teorema 6.1 se reescribe como:

Teorema 6.2. Si λ es punto de bifurcación para F , entonces λ ∈ σ(N ′(0)),el espectro de de N ′(0).

El recíproco no es válido. Un caso particular, y también interesan-te, es cuando N : X → X es lineal continua, como N ′(0) = N , entoncesla relación entre N , puntos de bifurcación para F = λI−N y el espectrode N puede establecerse de manera precisa. Primero, es claro que losvalores propios de N son puntos de bifurcación para F = λI −N . Másaún, podemos demostrar:

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6.1. EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS 87

Teorema 6.3. Sean X espacio de Banach T : X → X lineal continuay F : R × X → X definida por F (λ, x) = λx − T (x). Entonces λ∗ espunto de bifurcación para F si y solo si λ∗ pertenece a la clausura de losvalores propios de T .

Su demostración se propone como ejercicio.

Nota 6.1. a) Pueden entonces existir puntos de bifurcación (λ∗, 0) deF = λI − T que no son valores propios de T , yb) Para F = λI−T con T lineal continua de X en X puede haber puntosλ en el espectro de T tales que (λ, 0) no es punto de bifurcación de F .

El siguiente ejemplo muestra que en el caso F = λI − N con N nolineal pueden haber λ∗ valores propios de N ′(0) que no son puntos debifurcación de F = λI −N , N : X → X de clase C2.

Ejemplo 6.1. Sea F : R× R2 → R2, definida por:

F (λ, x, y) = λ(x, y)− (x+ y3, y − x3),

N(x, y) = (x+y3, y−x3), entonces λ∗ = 1 es valor propio deN ′(0, 0) = I.Como F (λ, (x, y)) = (0, 0) si y solo si (x, y) = (0, 0), deducimos queF (λ, (x, y)) = (0, 0) tiene como única solución la trivial u ≡ 0, luegono hay puntos de bifurcación para F . Es decir (1, 0, 0) no es punto debifurcación para F .

Otro ejemplo es:

Ejemplo 6.2. Sea F : R× R2 → R2, definida por:

F (λ, x, y) = (x− y3 − λx, y + x3 − λy),

claramente F (λ, 0, 0) = (0, 0).

∂F

∂(x, y)=

(1− λ −3y2

3x2 1− λ

).

Luego el único posible punto de bifurcación es (1, 0, 0), sin embargo,(1, 0, 0) no es punto de bifurcación; en efecto, las únicas soluciones deF (λ, x, y) = (0, 0) = 0 son los puntos de la forma (λ, 0, 0), Veámoslo, si

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F (λ, x, y) = (0, 0) = 0, entonces tomando producto interno con (−y, x)tenemos:

x4 + y4 = 0,

luego (x, y) = (0, 0). En particular, (1, 0, 0) no es punto de bifurcación.Este ejemplo presenta aspectos que muestran las limitaciones de los teo-remas generales (véase teorema 6.4 y 6.5) de este capítulo). Un ejemplosimilar es: para σ ∈ (0,∞) sea

Fσ(λ, x, y) = (x− y3 − σλx, y + x3 − λy).

∂Fσ∂(x, y)

(λ, 0, 0) = ∂2Fσ(λ, 0, 0) =

(1− λσ 0

0 1− λ

)

Ahora, si σ 6= 1, hay dos posibles puntos de bifurcación: (1, 0, 0) y( 1σ , 0, 0). Un cálculo elemental muestra que ambos son puntos de bifur-

cación. Se propone como ejercicio ver qué sucede para σ 6= 1 con elconjunto de ceros de Fσ.

Nota 6.2. Si en la definición de Fσ cambiamos −y3 por y2, un cálculoelemental muestra que (aun cuando σ = 1) el punto (1, 0, 0) es un puntode bifurcación. Más aún, en una vecindad de (1, 0, 0), las soluciones notriviales (aquellas para las cuales (x, y) 6= (0, 0) forman una curva quese puede parametrizar con la variable y).

Se invita al lector a comparar este resultado con el dado en el teorema6.4 sobre multiplicidad (Se recomienda repasar multiplicidad de valorpropio en dimensiones arbitrarias).

6.2 Teoremas principales

Los siguientes teoremas representan las principales herramientas enla Teoría de Bifurcación. Suponemos en esta seción que F : R×X → X,es de la forma F (λ, x) = λx − N(x), donde N : X → X, es tal queN(0) = 0, y se trata de dar una respuesta parcial a la negativa sobre elrecíproco al teorema 6.2.

Teorema 6.4 (Bifurcación local). Sea X un espacio de Banach real yN : X → X un operador compacto diferenciable tal que N(0) = 0. Siλ−1 6= 0 es un valor propio simple de N ′(0), entonces (λ, 0) es un punto

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6.2. TEOREMAS PRINCIPALES 89

de bifurcación de la ecuación x− λN(x) = 0. Más aún, en una vecindadde (λ, 0) las soluciones no triviales tienen la forma (λ, sϕ+ h(s)) dondeϕ es función propia asociada a λ−1 y h(s) es función continua con rangoen un subespacio complementario al subespacio generado por ϕ. Además:

lıms→0

ϕ(s)

s= 0.

En el teorema anterior valor propio simple significa que:

λ 6= 0 y dim(Ker(λI −N ′(0)) = 1,

Ker(λI −N ′(0)) ∩R(λI −N ′(0)) = 0.

Observe que N ′(0) es lineal compacta.

Teorema 6.5 (Bifurcación local). Si en el teorema anterior λ−1 no essimple sino de multiplicidad impar, entonces (λ−1, 0) es un punto debifurcación.

La hipótesis de la imparidad del valor propio puede eliminarse cuandoX = H es un espacio de Hilbert y el operador N es la derivada de unafunción I : H → R. Es decir, tenemos la siguiente propiedad.

Teorema 6.6. Sea H un espacio de Hilbert e I : H → R una funciónde clase C1 tal que

lımt→0

I(u+ tv)− I(u)

t= 〈N(u), v〉 para todo u, v ∈ H.

Si λ−1 es un valor propio de I ′(0), entonces (λ−1, 0) es un punto debifurcación.

Para la demostración de este teorema referimos al lector al clásicolibro de M. A. Krasnoselskii (1964) [48].

Con el fín de enunciar el siguiente teorema, recordamos al lector queun par (X,P ) es un espacio de Banach ordenado si X es espacio deBanach real y P es un cono cerrado en X.

Donde P es cono en X si:

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i) Dados x, y ∈ P , entonces x+ y ∈ P .

ii) Si x ∈ P y λ ≥ 0 es real, entonces λx ∈ P .

iii) P ∩ (−P ) = 0.

y en X la relación x ≤ y , si y solo si y−x ∈ P , es de orden parcial entreelementos de X.

Igualmente recordamos que una función se dice completamente con-tinua si es continua y la imagen de cualquier sucesión acotada tiene unasubsucesión convergente. (Algunos autores la definen como compacta, esdecir transforma acotados en relativamente compactos y continua).

Teorema 6.7 (Bifurcación global en espacios de Banach ordenados).Sean (X,P ) un espacio de Banach real ordenado según el cono P y f :[0,∞) × P −→ P completamente continua tal que f(0, ) = 0 y 0 es elúnico punto fijo de f(0, ). Si existe ρ > 0 tal que f(0, x) 6= σ.x cuando‖x‖ = ρ y σ ≥ 1, entonces existe un conjunto no acotado convexo desoluciones de f(λ, x) = 0 que contiene a (0, 0).

Para la demostración de los dos teoremas anteriores sugerimos allector consultar a [4].

Teorema 6.8 (Bifurcación global). Si N satisface las hipótesis del teo-rema anterior, existen dos conjuntos (conexos) Γ+, Γ− de soluciones notriviales de la ecuación x − λN(x) = 0 tales que ambos conjuntos sonno acotados o si uno de ellos es acotado, ambos tienen como punto deacumulación un punto de la forma (µ, 0) donde µ 6= λ y µ es un valorpropio de N ′(0).

Este teorema se debe a P. Rabinowitz. Su demostración usa fuerte-mente la teoría de grado de Leray-Schauder. (véase capítulo anterior o[62], o [65]).

Mostraremos en esta sección cómo aplicar la teoría de grado pararesolver la ecuación:

x+ λN(x) = 0, (6.2)

donde x pertenece a un espacio de Banach X, y λ ∈ R. Es decir, F :R × X → X. Suponemos que N : X → X es de la forma N = L + K,

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donde L es lineal compacto, K es compacto, N(0) = 0, y además que‖K(x)‖ = o(‖x‖), es decir,

lım‖x‖→0

‖K(x)‖‖x‖

= 0.

Dicho de otra manera, que se pueda descomponerN en su parte linealmás un resto, el cual sea K. Por consiguiente, N es diferenciable en 0 yN ′(0) = L. Suponemos que (λ, 0) es una solución de F (λ, x) = 0 paratodo λ ∈ R.

Para (λ, x) ∈ R×X, se considera ‖(λ, x)‖ = |λ|+ ‖x‖.

Recordemos que operador compacto es aquel que transforma acotadosen relativamente compactos.

Lema 6.1. Si (0, λ0) 6= (0, 0) es un punto de bifurcación de (6.2), en-tonces (−λ0)−1 es un valor propio de L.

Demostración. Si −λ−10 no es valor propio de L = N ′(0), entonces I +

λ−10 L es inversible, por teorema de la función implícita para λ cercano

a λ−10 y x cercano a 0, I + λL es homeomorfismo lineal, entonces la

ecuación x = (I + λL)−1(−λK(x)) es imposible para esos x y λ, ya queesto implica que (I + λL)

(x‖x‖

)= −λK(x)

‖x‖ es una contradicción, estodemuestra el lema.

De ahora en adelante suponemos:a)L−1 es compacto,b)λk es valor propio de L de multiplicidad impar,c)‖K(u)−K(v)‖ ≤ o(‖u‖, ‖v‖)‖u− v‖.

(6.3)

Sea P la proyección ortogonal sobre A = kerL y Q = I−P , la proyecciónsobre el rango de L.

Teorema 6.9. Sea N : R × X → X un operador compacto tal queN(0, u) = 0, para todo u ∈ X. Sean C la componente conexa de J =(λ, u);u+N(λ, u) = 0 que contiene a (0, 0), C+ = [0,∞)×X ∩ Cy C− = (−∞, 0]×X ∩ C. Afirmamos que C+ y C− son no acotadas.

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Demostración. Como N(0, x) = 0 para todo x ∈ X, J ∩ (0 × X) =(0, 0). Veamos primero que C+ y C− son conexos. Si C+ no es conexo,existen conjuntos abiertos disjuntos A,B tales que C+ = (C+∩A)∪(C+∩B). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que (0, 0) ∈ C+ ∩ A.Entonces

C = ((C+ ∩A) ∪ ((−∞, 0)×X) ∩ C)) ∪ (C+ ∩B)

= ((C+ ∩A) ∪ ((−∞, 0)×X) ∩ C)) ∪ (C ∩B ∩ ((0,∞)×X)

= ((C ∩A) ∪ ((−∞, 0)×X) ∩ C)) ∪ (C ∩B ∩ ((0,∞)×X),

(6.4)

lo que contradice que C es conexo pues ((C ∩A)∪ ((−∞, 0)×X)∩C)) y(C ∩B) son abiertos relativos a C y disjuntos. Igualmente se demuestraque C− también es conexo. Supongamos que C+ es acotado. Por la com-pacidad de N se tiene que C+ es compacto. Sea ε > 0. Como (λ, x) ∈J ;λ ≥ 0, dist((λ, x), C+) ≤ ε − C+ es compacto, existe δ ∈ (0, ε) talque si (λ, x) ∈ J y dist((λ, x), C+) < δ, entonces (λ, x) ∈ C+. SeaO = (λ, x); dist((λ, x), C+) ≤ δ, Oλ = x ∈ X; (λ, x) ∈ O y Φ(λ, u) =u + N(λ, u). Luego O es vecindad de C+ para la cual x + N(λ, x) 6= 0si (λ, x) ∈ ∂O. Sea λ∗ = maxλ;∃x ∈ X con (λ, x) ∈ C+. Por tanto,para λ > λ∗, d(Φ(λ, ), Oλ, 0) = 0. También d(Φ(λ, ), O0, 0) = 1, lo cualcontradice la invariancia del grado bajo homotopía.

Ejemplo 6.3. Sean f : R→ [a,∞) función diferenciable, a > 0. Consi-deramos

u′′ + λf(u) = 0, u(0) = u(1) = 0. (6.5)

Por supuesto, esto es equivalente a u(t) = λ∫ t

0 G(s, t)f(u(s))ds, don-de

G(s, t) =

(1− s)t si t < s.

(1− t)s si s ≤ t.(6.6)

Primero observamos que toda solución no nula de la ecuación (6.5)es positiva en (a,∞), si λ > 0. Más aún, si x0 es un punto crítico de u,entonces 0 = u′(0) − λ

∫ x0

0 f(u(s))ds, o u′(0) = λ∫ x0

0 f(u(s))ds > 0 siλ > 0. De manera similar vemos que u′(1) < 0.Nota 6.3. a) Si f es acotada, entonces para todo λ > 0 el conjuntoC+ contiene un elemento de la forma (λ, u), y b) si lımu→∞

f(u)u = ∞,

entonces λ; ∃u ∈ X, (λ, u) ∈ C es acotado.No es difícil demostrar que si f(u) = eu, entonces λ < 1. Más aún, si‖u‖1C = ρ, entonces cuando ρ→∞, tenemos λ = o(ρ

2

eρ ).

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Lema 6.2. Supongamos que N(0) = 0 y que L = N ′(0) es compacto.Sea (λk, 0) un punto de bifurcación de

u+ λN(u) = 0. (6.7)

Si la componente conexa C de J := (λ, u);u+ λN(u) = 0, u 6= 0que contiene a (λk, 0) es acotada y no contiene otro punto de bifurcaciónde la forma (λj , 0) 6= (λk, 0), entonces existe un conjunto abierto acotadoW ⊂ R×X tal que:

i) C ⊂W

ii) ∂W ∩ J = ∅

iii) W ∪ (R × 0) = (λk − ε, λk + ε) × 0 donde [λk − ε, λk + ε] nocontiene valores propios, y

iv) existe α > 0 tal que si (λ, u) ∈W , |λ− λk| ≥ ε entonces ‖u‖ > α.

Demostración. Primero observamos que C ∪ (λk, 0) es compacto. Enverdad, sea (λn, un) una sucesión en C∪(λk, 0) ya queN es compactoy C ∪ (λk, 0) es acotado, podemos suponer que (λn, un) → (λ, u). Siu 6= 0, entonces (λ, u) ∈ C. Si u = 0, ya que por hipótesis la únicasolución de (6.7) en C, satisfaciendo u = 0 es (λk, 0), tenemos que λ = λk,esto demuestra que C ∪ (λk, 0) es compacto. Sea

0 < δ < ε0 = dist(λk; λ; λ es valor propio de L;λ 6= λk

).

Sea U = Bδ(C), K = U ∩ J , K1 = C ∪ (λk, 0) y K2 = ∂U ∩ J . Yaque K1, y K2 son subconjuntos compactos disjuntos del compacto K,existen compactos disjuntos K1, y K2 tales que K = K1 ∪ K2, K1 ⊂ K1

y K2 ⊂ K2. Tomando ε = 12 ınfdist(K1, K2), dist(K1, ∂U), y W =

Bε(K1), el lema queda demostrado.

Ejemplo 6.4. Consideramos el problema de valor frontera

u′′(t) + λeu(t) = 0, t ∈ (0, 1); u(0) = u(1) = 0 λ ≥ 0,

el cual puede ser escrito como

u(t) = λ

∫ 1

0G(s, t)eu(s)ds. (6.8)

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ii


Observamos que toda solución a (6.8) satisface u > 0 en (0, 1). Si(λ, u) es solución a (6.8), entonces λ < 1. En efecto, multiplicando (6.8)por sin(πt) e integrando por partes dos veces obtenemos:

0 =

∫ 1

0

(u′′(s) sin(sπ) + λeu(s) sin(sπ)

)ds =

= −π2

∫ 1

0u(t) sin(tπ)dt+ λ

∫ 1

0eu(t) sin(tπ)dt,

así λ < 1.

Luego notamos que si (λ, u) es una solución y u′(a) = 0, entoncesu(a+ s) = u(a− s). En verdad, sean v(s) = u(a+ s) y w(s) = u(a− s),entonces v′(s) = u′(a + s) y w′(s) = −u′(a − s), v′′(s) = u′′(a + s) yw′′(s) = u′′(a− s), además como v(0) = u(a) = w(0) y v′(0) = w′(0) =u′(a) = 0 y v′′(s) = −λev(s), w′′(s) = −λeu(a−s) = −λew(s) vemosque v y w satisfacen la misma ecuación diferencial y las condicionesiniciales. Por unicidad de soluciones, obtenemos que v(s) = w(s), es deciru(a+ s) = u(a− s) para todo s ∈ [0, 1]. Por tanto, u(1

2) = maxu(t), t ∈[0, 1]. Llamemos ρ = u(1

2). Multiplicando la ecuación dada por u′(t)obtenemos:

0 = u′′u′ + λeuu′ =(1

2(u′)2

)′+ λ(eu)′,

por consiguiente,1

2(u′)2 + λeu = k,

donde k es una constante. En particular, si reemplazamos t = 12 , vemos

que k = 0 + λeu( 12

) = λeρ. Luego (u′)2

2 + λeu = λeρ, es decir,

u′(r) =(2λ(eρ − eu(r))

) 12 , para r ∈

[0,

1

2

].

Separando las variables e integrando tenemos:

λ =

(∫ 0−ρ (1− es)

−12 ds

)2

2ρ2eρ. (6.9)

Esta relación, en particular, implica la existencia de λ tal que paraλ ∈ (0, λ) el problema (6.8) tenga exactamente dos soluciones, para λ = λuna solución, y para λ > λ no tenga solución.

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Nota 6.4. Esta relación, para λ < 0, nos dice que las soluciones alproblema (6.8) son acotadas (entre −1 y 0). Si λ→ −∞, entonces ρ→ 0y para cada λ < 0 existe solo una solución.

Teorema 6.10. Si λk es un valor propio L de multiplicidad impar, en-tonces si con J denotamos la componente conexa de la clausura de J , quecontiene (λk, 0), J es no acotada o contiene otro elemento de la forma(λj , 0) donde λj 6= λk es también un valor propio de L.

Demostración. Por contradicción. SeanW, ε, α como en el lema 6.2. Paracada λ sean Wλ = u ∈ X; (λ, u) ∈W, y Jλ = u ∈Wλ; (λ, u) ∈ J.

S(λ) =

12d(0, Jλ), si 0 < |λ− λk| < εα2 , si |λ− λk| ≥ ε.

Por tanto, BS(λ)(0) ∩ Wλ = ∅ si |λ − λk| ≥ ε y para λ 6= λk,J∩(∂(Wλ−BS(λ)(0))) = ∅. Por consiguiente, d(I+λN(.),Wλ−BS(λ)(0), 0)

está bien definido (es no nulo en la frontera). Sean λ∗ > λk, λ < λktales que Jλ = Jλ∗ = ∅. Por tanto, por invariancia homotópica del gra-do tenemos para λ > λk que d(I + λN(.),Wλ − BS(λ)(0), 0) = d(I +λ∗N(.),Wλ∗ , 0).

Para, λ < λk, d(I + λN(.),Wλ −BS(λ)(0), 0) = d(I + λN(.),Wλ, 0).

Ahora, tomando λ1 ∈ (λk − ε, λk), λ2 ∈ (λk, λk + ε) tenemos

d(I + λ1N(.),Wλ1 −BS(λ)(0), 0) + d(I + λ1N(.), BS(λ1)(0), 0)

= d(I + λ1N(.),Wλ1 , 0)

= d(I + λ2N(.),Wλ2 , 0)

= d(I + λ2N(.),Wλ2 −BS(λ)(0), 0) + d(I + λ2N(.), BS(λ2)(0), 0).

Por tanto

d(I + λ1N(.), BS(λ1)(0), 0) = d(I + λ2N(.), BS(λ2)(0), 0),

esto implica contradicción con la hipótesis de que λk tiene multiplicidadimpar. El teorema está demostrado.

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6.3 Ejercicios

1. Sea X espacio de Banach, f : X → X, compacta, diferenciableen 0 (en el sentido de Frechet), tal que f(0) = 0, demuestre quef ′(0) : X → X es compacta. Si notamos T = f ′(0), demuestre quesi I − T es inversible, entonces existen δ > 0 tal que si

Ω = B(0, δ) = x ∈ X, ‖x‖ < 1,

entonces d(I − T,Ω, 0) = d(I − f,Ω, 0).

2) Sea X de Banach, G : X → X, tal que G(λ, 0) = 0, diferenciableen (λ, 0), con derivada de Frechet de la forma G′(λ, 0) = λT conT : X → X lineal continua y compacta. Si α1 no es valor propiode T , entonces existen ε >) y η > 0 tales para todo (λ, x), que0 < |λ− α| < ε y 0 < ‖x‖ < η F (λ, x) 6= x. En particular, α no esde bifurcación para F = I −G.

3) Considere f : R× R2 → R2, definida por

F (λ, x, y) = (λx− y − y3, λy + x3).

Demuestre que si u = (x, y) Fu(λ, u) en (λ, 0, 0) es dada por

Fu(λ, 0, 0)(x, y) = (λx− y, λy.

Determine la multiplicidad algebráica de λ = 0. Se pueden aplicarlos teoremas de esta sección para establecer el punto de bifurcaciónen λ = 0.

4) Si F : R× R2 → R2 es definida por

F (λ, x, y) = (λx− y − y3, λx+ λy + x3).

Determine, como en ejercicio anterior, Fu(λ, x, y) y estudie en (λ, 0, 0)qué acontece. ¿Qué sucede en λ = 0? Calcule Fλu la derivada mix-ta, en u = (x, y) cuando u = 0.

¿Es λ = 0 punto de bifurcación para F?

5) Sea X espacio de Banach, f : X → X compacta, tal que f(0) = 0,diferenciable en 0; demuestre que f ′(0) : X → X es compacta (esdecir, transforma acotados en relativamente compactos).

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CAPÍTULO 7

El método de reducción de Lyapunov-Schmidt

7.1 Introdución

En este y en el siguiente capítulo estudiamos la solubilidad de ecua-ciones de la forma

∇J(x) = 0, (7.1)

donde J : H → R es diferenciable, H es un espacio de Hilbert real conproducto interno 〈 , 〉 y

lımh→0

J(u+ hv)− J(u)

h= 〈∇J(u), v〉, (7.2)

para todo u, v ∈ H. En el capítulo siguiente se incluyen casos más gene-rales que permiten que el dominio H sea un espacio de Banach. En esecaso, se prefiere la notación J ′ en vez de ∇J y se introduce el conceptode seudogradiente que hace las veces de ∇J . El común denominador delpresente capítulo es que el espacio H admite una descomposición de laforma H = X ⊕ Y , donde X y Y son subespacios cerrados y comple-mentarios, pero no necesariamente ortogonales, y la solubilidad de (7.1)es equivalente a resolver ∇J(x) = 0 donde J : X → R es una función de

97

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98 CAPÍTULO 7. EL MÉTODO DE LYAPUNOV-SCHMIDT

clase C1 definida en términos de J . El desarrollo histórico de estas ideasse puede ver analizando los artículos [51, 5, 19, 26, 20, 27].

El siguiente lema caracteriza las funciones f : H → H que son dela forma ∇J . La función J se denomina gradiente de f . En este casodecimos que el problema f(x) = 0 es variacional.

Lema 7.1. Si f : H → H es continua y para todo x1, x2 ∈ X∫ 1

0〈f(sx1), x1〉ds =

∫ 1

0〈f(sx2), x2〉ds, (7.3)

entonces existe J : H → R cuyo gradiente es f .

Demostración. Sea J : H → R, definida por: J(x) =∫ 1

0 〈f(sx), x〉ds.Luego

lımt→0

J(x+ th)− J(x)

t= lım

t→0

∫ 1

0〈f(x+ sth), h〉ds

= 〈f(x), h〉,

demuestra el lema.

Nótese que en la anterior demostración solamente se usó que la fun-ción γ : [0, 1]→ R, definida por γ(t) = 〈f(x+th), h〉 es continua. Cuandof tiene derivada continua se puede ver que la condición

〈Df(x)h, k〉 = lımt→0〈f(x+ th)− f(x)

t, k〉

= lımt→0〈f(x+ tk)− f(x)

t, h〉

= 〈Df(x)k, h〉, (7.4)

para todo x, h, k ∈ X, es suficiente para que (7.1) sea variacional. Lacondición (7.4) no es otra cosa que la regla de las derivadas cruzadas delcálculo de varias variables. Se ve fácilmente que (7.4) implica (7.3).

El fundamento de las técnicas variacionales consiste en obtener in-formación acerca de (7.1) estudiando a J en vez de ir directamentea f = ∇J . Por ejemplo, si logramos demostrar que J tiene un pun-to mínimo local en x0 (o máximo local) automáticamente tenemos quef(x0) = 0.

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7.2. RESULTADOS AUXILIARES 99

Un subproducto importante del estudio de (7.1), usando métodosvariacionales, es que en muchos casos se obtiene cierta decripción dela manera de hallar alguna o algunas de las soluciones. Tal descripción(mínimo, máximo, inf, minimax, etc.) se conoce como caracterizaciónvariacional. Esta permite, en muchos casos, hacer estimaciones sobrela norma de la solución, la convergencia de soluciones, etc. El análisisde la convergencia de soluciones aproximadas es esencial en el estudio demétodos numéricos (véase [51]). Tanto en los desarrollos abstractos comoen las aplicaciones trataremos de enfatizar el uso de las caracterizacionesvariacionales.

7.2 Resultados Auxiliares

En esta sección presentamos conceptos y técnicas necesarias paraconvertir ecuaciones no lineales en problemas del tipo (7.1).

Comenzamos por definir el espacio de Sobolev H10 (Ω), donde

Ω ⊂ Rn es región acotada. Sea C10 (Ω) el conjunto de todas las funciones

u : Ω→ R, de clase C1 tales que el soporte de u es compacto contenidoen Ω, es decir,

sop(u) ≡ x ∈ Rn;u(x) 6= 0 ⊂ Ω.

En C10 (Ω) definimos la forma bilineal

〈u, v〉 =

∫Ωuv +

n∑i=1

(∂u

∂xi)(∂v

∂xi). (7.5)

Es fácil ver que 〈 , 〉 es un producto interno en C10 (Ω). El espacio

de Hilbert resultante de completar C10 (Ω) con respecto a 〈 , 〉 lo deno-

taremos por H10 (Ω). El lector interesado en la definición de espacios de

Sobolev más generales puede consultar [1].

De la definición de 〈 , 〉 se ve que si uk es sucesión de Cauchyen (C1

0 (Ω), 〈 , 〉), entonces uky ∂ukdxi (i = 1, . . . , n) son sucesiones de

Cauchy en L2(Ω), luego a cada elemento deH10 (Ω) lo podemos identificar

con una función v ∈ L2(Ω) para la cual existen funciones vi ∈ L2(Ω)(i = 1, . . . , n) que se comportan como derivadas parciales de v en el

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sentido de que ∫Ωviw = −

∫Ωv

(∂w

∂xi

), i = 1, . . . (∗)

para todo w ∈ C10 (Ω). Por tanto, si usamos la notación vi = ∂v

∂xi, entonces

la ecuación (∗) implica∫Ω

∂v

∂xiw = −

∫Ωv

(∂w

∂xi

)(7.6)

para todo i = 1, . . . , n y todo v, w ∈ H10 (Ω). A las funciones ∂v

∂xise les

conoce como derivadas generalizadas de v.

Definición 7.1. (Condición de Caratheodory) Sea g : Ω × R → R,decimos que g satisface la condición de Caratheodory si:

i) para cada x ∈ Ω, g(x, u) es continua en u, yii) para cada t ∈ R, g(x, u) es medible en x.

Es fácil ver que si g satisface la condición de Caratheodory, entoncesv(x) = g(x, u(x)) es medible si u : Ω→ R es medible.

Para enunciar estos resultados, presentamos algunas nociones sobreOperadores Compactos y el Lema de Rellich.

Definición 7.2. Sean E, F dos espacios de Banach y K : E → F unoperador, no necesariamente lineal. Decimos que K es compacto si to-da sucesión K(un) posee una subsucesión convergente cuando un esacotada; es decir, K transforma conjuntos acotados en conjuntos relati-vamente compactos.

Definición 7.3. Sea H un espacio de Hilbert real y K : H → H unoperador lineal. Decimos que K es autoadjunto, si 〈Kx, y〉 = 〈x,Ky〉para todo x, y ∈ H.

Enunciamos el siguiente teorema conocido como teorema espectralpara operadores compactos autoadjuntos:

Teorema 7.1. Sea H espacio de Hilbert real y separable, y K : H → Hun operador compacto autoadjunto. Entonces existen una sucesión ϕjjde elementos de H y una sucesión µjjtales que:

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7.2. RESULTADOS AUXILIARES 101

a) Para cada j = 1, 2, . . ., K(ϕj) = µjϕj.

b) El conjunto ϕj ; j = 1, 2, . . . es un sistema ortonormal completoen H, y

c) Si dim(H) =∞, la sucesión µjj converge a 0. En particular, sitodos los µj son negativos, podemos suponer que µ1 ≤ µ2 ≤ · · · .

La demostración puede verse en [38, 66].

El siguiente teorema es conocido como Lema de Rellich o Teoremade Inmmersión de Sobolev:

Lema 7.2. (Teorema de Inmersión de Sobolev)

i) Si n > 2 y 1 ≤ q ≤ 2nn−2 , entonces H

10 (Ω) ⊂ Lq(Ω) y el operador

de inclusión es continuo. Más aún, si 1 ≤ q < 2nn−2 la inclusión es

compacta (es decir, si um es sucesión acotada en H10 (Ω), enton-

ces um posee una subsucesión convergente en Lq(Ω)).

ii) Si n = 2 y 1 ≤ q < ∞, entonces H10 (Ω) ⊂ Lq(Ω) y la inclusíon es

compacta.

iii) Si n = 1, entonces H10 (Ω) ⊂ C(Ω) y la inclusión es compacta.

Lema 7.3. (Nyemitsky) Supongamos que g satisface la condición de Ca-ratheodory. Si existen un real a ≥ 0 y una función b ∈ Lq(Ω) tales que

|g(x, u)| ≤ a|u|pq + b(x) para todo (x, u) ∈ Ω× R,

entonces para cada u ∈ Lp(Ω) la función

g(u)(x) = g(x, u(x))

está en Lq(Ω) y g es un operador continuo ,

g : Lp(Ω)→ Lq(Ω).

La demostración de este lema puede verse en [65].

Damos a continuación un bosquejo informal del método de reducción.

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Sean X,Y subespacios cerrados de H, tales que H = X⊕Y . Y

P : H → X,Q : H → Y las correspondientes proyecciones. Si u = x+ y,(x ∈ X, y ∈ Y )) satisface que f(u) = ∇J(u) = 0, entonces

Q(f(x+ y)) = 0. (7.7)

Supongamos que para cada x ∈ X existe un único y = ϕ(x) ∈ Y talque la relación (7.7) subsiste. En este caso, para hallar una solución de(7.1), es necesario y suficiente que exista x ∈ X tal que

P (f(x+ ϕ(x)) = 0. (7.8)

Igualmente si x+y satisface (7.7) y (7.8), entonces x+y satisface (7.1).Bajo ciertas condiciones (véase Lemas 7.2, 7.3 y 7.4 de este capítulo) laecuación (7.8) es variacional.

Cuando X es de dimensión finita (hemos reducido un problema dedimensión infinita a uno de dimensión finita), el análisis de la solubilidadde (7.1) se simplifica hasta el punto de poder caracterizar el recorrido def . Se refiere al lector a la sección 6 de este capítulo.

7.3 Ejemplos de problemas variacionales

En esta sección presentamos algunos problemas típicos del AnálisisFuncional no Lineal cuyo estudio es equivalente a la ecuación (7.1). Losproblemas que se presentan han motivado en gran parte los desarrollosabstractos de la siguiente sección. Sugerimos al lector que, a título deejercicio, imite para otros ejemplos los resultados que en la sección deaplicaciones se presentan para algún ejemplo particular.

Soluciones débiles al problema de Dirichlet.

A continuación definimos el concepto de solución débil del problema deDirichlet:

∆u+ g(x, u) = 0, x ∈ Ω; u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (7.9)

donde ∆ =∑n

i=1∂2

∂x2idenota el operador de Laplace.

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7.3. EJEMPLOS DE PROBLEMAS VARIACIONALES 103

Definición 7.4. Una función u ∈ H10 (Ω) es una solución débil del pro-

blema de Dirichlet (7.9) si para todo v ∈ H10 (Ω)∫

Ω

(〈∇u(x),∇v(x)〉)− g(x, u(x))v(x)

)dx = 0, (7.10)

donde 〈 , 〉 denota el producto interno usual en Rn y

∇w = (∂w

∂x1, . . . ,

∂w

∂xn), para cada w ∈ H1

0 (Ω).

Consideramos el funcional J : H10 (Ω)→ R definido por:

J(u) =

∫Ω

1

2

⟨∇u(x),∇u(x)〉 −G(x, u(x)))dx, (7.11)

donde G(x, u)) =∫ u

0 g(x, s))ds.

Primero que todo observamos que para que J esté bien definido,es necesario imponer restricciones en G, de manera equivalente, en g.Así, por ejemplo, si G(x, u) = um, es preciso que todos los elementosde H1

0 (Ω) estén en L2(Ω) para que J esté bien definido. Los siguientesresultados nos permiten dar condiciones para que el funcional J sea declase C1 y sus puntos críticos sean las soluciones débiles de (7.9).


Lema 7.4. Supongamos que g : Ω × R → R satisface la condición deCaratheodory y que

i) Si n = 2, y existen s ∈ [1,∞], b(x) ∈ Ls′(Ω), donde s′ = s

s−1 ya > 0 tales que |g(x, u)| ≤ a|u|s + |b(x)| para todo (x, u) ∈ Ω× R.

ii) Si n > 2, existen s ∈ [1, n+2n−2 ], b(x) ∈ Ls

′(Ω) y a ≥ 0 tales que

|g(x, u)| ≤ a|u|s + |b(x)| para todo (x, u) ∈ Ω× R.

Bajo las anteriores condiciones, J es de clase C1 y u0 es solucióndébil de (7.9) si y solamente si ∇J(u0) = 0.

Demostración. Como

|G(x, ε)| ≤∫|g(x.s)|ds ≤

(a

s+ 1|ε|s+1

)+ |b(x)||ε|

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y 2 ≤ s+ 1 ≤ 2nn−2 , por los dos lemas anteriores 7.2 y 7.3, tenemos que J

está definido para todo elemento de H10 (Ω). Sean u, v ∈ H1

0 (Ω), luego

J(u+ tv)− J(u)

t=

∫Ω

(〈∇u,∇v〉+

t

2〈∇v,∇v〉

)+

∫Ω

∫ 1

0g(x, u(x) + stv(x))v(x)) ds dx. (7.12)

En consecuencia, por el lema anterior de inmersión de Sobolev, tene-mos

〈∇J(u), v〉 = lımt→0

J(u+ tv)− J(u)

t

=

∫Ω

(〈∇u,∇v〉 − g(x, u(x))v(x) dx. (7.13)

Comparando (7.13) con (7.10) observamos que hallar soluciones dé-biles a la ecuación (7.9) es equivalente a resolver la ecuación ∇J(u) = 0.De esta manera el lema queda demostrado.

Ecuaciones integrales de Hammerstein

Sean Ω ⊂ Rn una región acotada y K : Ω×Ω→ R tal que K(x, y) =K(y, x) para todo x, y ∈ Ω y K ∈ L2(Ω × Ω). Definimos K : L2((Ω) →L2(Ω) por:

K(u)(x) =

∫ΩK(x, y)u(y) dy.

Como‖K(u)‖l2(Ω) ≤ ‖K‖L2(Ω×Ω)‖u‖L2(Ω),

el operador K es continuo. Fácilmente se demuestra que si um convergea u débilmente en L2(Ω), entonces K(um converge a K(u), luego K escompacto. Además como K(x, y) = K(y, x) el operador K es autoadjun-to.

Sean g(x, u) una función que satisface la condición de Caratheodory(véase definición 7.1) y G(x, u) =

∫ u0 g(x, s) ds.

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Consideramos la ecuación integral de Hammerstein:

u(x) =

∫ΩK(x, y)g(y, u(y)) dy

= K(g(y, u(y))). (7.14)

Vamos a demostrar que hallar soluciones débiles a la ecuación deHammerstein (7.14) es equivalente a encontrar puntos críticos de uncierto funcional J : L2(Ω)→ R, para ser definido.

Como K es compacto y L2(Ω) es separable, existe un conjunto orto-normal completo ϕ1, . . . , ϕm, . . . , de funciones propias de K (véase elteorema 7.1). Para cada i = 1, 2, . . . sea λi ∈ R tal que K(ϕi) = λiϕi.Definimos como Y la adherencia del subespacio de L2(Ω) generado porϕi; λi > 0 y denotamos con X al complemento ortogonal de Y . Debidoa que K es autoadjunto, es fácil ver que X es la adherencia del subespaciogenerado por ϕi; λi ≤ 0.

En consecuencia, dado y ∈ Y , existe una sucesión de números realesci tales que ci = 0 si λi < 0 y que y =

∑∞i=1 ciϕi.

Ahora definimos para u ∈ L2(Ω), u =∑∞

i=1 diϕi, Q1(u) =∑∞

i=1 aiϕi,donde ai = di

√λi si λi ≥ 0, y ai = 0 si λi < 0.

Se verifica inmediatamente que

Q1(u) = 0 si u ∈ X, Q1(Q1(y)) = K(y) (7.15)

para todo y ∈ Y . De igual manera, se demuestra que existe un operadorautoadjunto Q : L2(Ω)→ L2(Ω) tal que

Q(u) = 0, si u ∈ Y, Q(Q(x)) = −K(x) (7.16)

para todo x ∈ X.

Ahora podemos demostrar

Lema 7.5. Si (x, y) ∈ X × Y es una solución de

−x(ψ)+y(ψ) = Q(g(Q1(y)+Q(x))(ψ)+Q1(g(Q(y)+Q(x))(ψ), (7.17)

donde g(ψ) = g(ψ,w(ψ)) para w ∈ L2(Ω), entonces u = Q(x) +Q(y) esuna solución de (7.14). Recíprocamente, si u es una solución de (7.14),entonces existen (x, y) ∈ X × Y , solución de (7.17) tal que u = Q(x) +Q1(y).

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ii

ii


Demostración. Sean P : L2(Ω) → L2(Ω) la proyección ortogonal sobreX y P1 = I −P , la proyección sobre Y . Sea (x, y) ∈ X ×Y una soluciónde (7.17), aplicando Q y Q1 a (7.17) obtenemos respectivamente:

Q(x) = −Q2(g(u)) = K(P g(u)) (7.18)

Q1(y) = K(P1(g(u))), (7.19)

donde u = Q(x) + Q(y). Sumando (7.18) y (7.19) tenemos que u essolución de (7.14).

Supongamos ahora que u es una solución de (7.14). Sean x = P (u),y = P1(u). Luego x = K(P (g(u))) = −Q2(P (g(u)). Así pues, si deno-tamos x = −Q(P (g(u)) tenemos Q(x) = x. Análogamente se demuestraque Q1(y) = y con y = Q1(g(u). Por tanto

x = −Q(P (g(x+ y)) = −Q(g(Q(x) +Q1(y))

y = −Q1(g(Q(x) +Q1(y)).

Sumando las dos ultimas ecuaciones se ve que (x, y) ∈ X × Y essolución de (7.17), y así el lema está demostrado.

En el siguiente lema demostramos que la ecuación (7.17) es equiva-lente a (7.14) y que esta es una ecuación variacional.

Lema 7.6. Supongamos que existen un número real A ≥ 0 y una funciónB ∈ L2(Ω) tales que

|g(ζ, u)| ≤ A|u|+B(ζ), (7.20)

para todo (ζ, u) ∈ Ω× R, Si J : L2(Ω)→ R es el funcional definido por:

J(u) =

∫Ω

1

2

((P1(u))2 − (P (u))2

)− G(Q(u) +Q1(u)) (7.21)

donde G(w)(ζ) = G(ζ, w(ζ)) =∫ w(ζ)

0 g(ζ, s)ds, entonces J es de claseC1 y u es punto crítico de J si y solamente si (P (u), P1(u)) ∈ X × Y esuna solución de (7.17).

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ii

ii


Demostración. Por (7.20) tenemos que

G(ξ, u)| ≤ (a+ 1)|u|2 +B2(ξ).

Por tanto, por el lema de Nyemitsky (véase lema 7.3), tenemos que Jesta bien definido para todo u y J es continuo. Imitando la demostracióndel lema 7.4, vemos que J es diferenciable y que:

〈∇J(u), x〉 =

∫Ω

(−P (u)(x)− g(Q(u) +Q1(u))

)Q(x) (7.22)

para todo x ∈ X y todo u ∈ L2(Ω). Igualmente vemos que para todou ∈ L2(Ω) y todo y ∈ Y :

〈∇J(u), y〉 =

∫Ω

(P1(u)y − g(Q(u) +Q1(u))

)Q1(y). (7.23)

Como Q y Q1 son operadores autoadjuntos, vemos de (7.22) y (7.23) quesi u es punto crítico de J , entonces respectivamente

−P (u) = Q(g(Q(u) +Q1(u)), (7.24)

P1(u) = Q1((Q(u) +Q1(u)). (7.25)

Luego, sumando (7.24) y (7.25) tenemos que (P (u), P1(u)) ∈ X × Y essolución de (7.17).

Recíprocamente, si (P (u), P1(u)) ∈ X × Y es solución de (7.17),entonces (P (u), P1(u)) satisface (7.24) y (7.25). Luego, por (7.22) y (7.23)tenemos 〈∇J(u), x〉 = 0 para todo x ∈ X y 〈J(u), y〉 = 0 para todoy ∈ Y .

Pero, como X ⊕Y = L2(Ω), estas últimas igualdades implican que ues un punto crítico de J , y así el lema queda demostrado.

Soluciones periódicas de sistemas hamiltonianos.

Sea H : R × Rn × Rn → R, (t, p, q) → H(t.p, q). Al sistema deecuaciones

∂p

∂t= −∂H

∂q(t.p, q) (7.26)

∂q

∂t=∂H

∂p(t, p(t), q(t)). (7.27)

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ii


le llamaremos sistema Hamiltoniano y a la función H el Hamiltoniano.

Es importante observar que ecuaciones diferenciales de la forma

x′′(t) +

(∂G

∂x

)(t, x) = 0,

donde G(t, x) : R × Rn → R pueden llevarse a sistemas Hamiltonianos,basta tomar

p(t) = x(t), q(t) = x′(t) y H(t, p, q) = G(t, p)− ‖q‖2

2.

Consideramos ahora el problema de hallar soluciones 2π-periódicasde (7.26). Suponemos que H es de clase C1 y 2π-periódica en la variablet. Sea E el espacio de funciones:

E = ϕ : R→ R2n, 2π-periódicas,

dotado del producto interno:

〈ϕ1, ϕ2〉 =

∫ 2π

0

((ϕ′1(t), ϕ′2((t)) + (ϕ1(t), ϕ2((t))

)dt.

Al espacio de Hilbert resultante de completar E lo denotaremos E1.A cada función x(t) = (x1(t), . . . , x2n(t)) la identificaremos como x(t) =(p(t), q(t)), donde p(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), y q(t) = (xn+1(t), . . . , x2n(t)).Dejamos como ejercicio al lector verificar que definiendo J : E1 → R por:

J(x) = J(p, q) =

∫ 2π

0

((p, q′)−H(t, p(t), q(t))

)dt,

entonces (p, q) es un punto crítico de J si y solamente si (p, q) es unasolución de (7.24) y (7.25).

Para mayor información sobre el estudio de la existencia de solucionesperiódicas de sistemas Hamiltonianos mediante métodos variacionalesvéase [27, 64, 63] y las referencias que allí se citan.

7.4 Lemas de reducción

En esta sección presentamos algunos resultados que se desarrollaronalrededor de 1980 en la teoría de puntos críticos. Al lector interesado en

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7.4. LEMAS DE REDUCCIÓN 109

los aspectos históricos de estas ideas sugerimos los artículos [49, 5, 20] y[28].

En esta sección, H será un espacio de Hilbert.

Lema 7.7. Si j : H → R es función continua y convexa, entonces jes débilmente semicontinua inferiormente (es decir, si xn converge a xdébilmente, entonces j(x) ≤ lım ınf j(xn)). Si además j(x)→∞ cuando‖x‖ → ∞, entonces j tiene un punto de mínimo.

Demostración. Sea xn una sucesión que converge débilmente a x. De-bido a que en todo espacio de Hilbert cualquier sucesión débilmenteconvergente posee una subsucesión cuyos promedios convergen al límitedébil, podemos suponer que

zk =k∑i=1

xik→ x. (7.28)

Por la convexidad de j tenemos:

j(zk) ≤1

k

k∑i=1

j(xi) (7.29)

de la continuidad de j y las relaciones (7.28), (7.29) vemos que

j(x) ≤ lım ınf j(xn). (7.30)

Luego j es débilmente semicontinua inferiormente.

Si j(x) → ∞ cuando ‖x‖ → ∞, entonces, tomando una sucesiónxn tal que lımn→∞ j(xn) = ınfj(x);x ∈ H, vemos que xn tieneque ser acotada. Luego xn tiene una subsucesión xni que convergedébilmente a algún elemento x0, Como j es débilmente semicontinuainferiormente, se tiene:

j(x0) ≤ lım ınf j(xni) = lımn→∞

j(xn) = ınfj(x);x ∈ H. (7.31)

De (7.31) se tiene inmediatamente que xo es un punto de mínimo. Ellema está demostrado.

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Lema 7.8. Sean X,Y subespacios cerrados de H tales que X ⊕ Y = H.Sea j : H → R una función de clase C1. Si existen números rales m > 0y α > 1 tales que

〈∇j(x+ y)−∇j(x+ y1), y − y1〉 ≥ m‖y − y1‖α, (7.32)

para todo x ∈ X, y, y1 ∈ Y , entonces:

i) Existe una función continua ϕ : X → Y tal que

j(x+ ϕ(x)) = mınj(x+ y); y ∈ Y ,

además ϕ(x) es el único punto crítico de jx : Y → R, y → j(x+y)).

ii) La función j : X → R, x→ j(x+ ϕ(x)) es de clase C1 y

〈∇j(x), x1〉 = 〈∇j(x+ ϕ(x)), x1〉,

para todo x, x1 ∈ X

En consecuencia u = x + y es punto crítico de j si y solo si x espunto crítico j y y = ϕ(x).

Demostración. En primer lugar demostraremos que la hipótesis (7.32)implica que para todo x ∈ X, la función

jx : Y → R, definida por y → jx(y) = j(x+ y),

es convexa. En efecto, para y, y1 ∈ Y definimos ρ(s) = Jx(sy+(1−s)y1),s ∈ R. Como j es de clase C1, también lo es ρ. Luego, si ρ′ denota laderivada de ρ respecto a s, tenemos:

ρ′(s)− ρ′(s1) = 〈∇j(x+ sy + (1− s)y1)

−∇j(x+ s1y + (1− s1)y1), y − y1〉,(7.33)

De (7.32) y (7.33) deducimos que si s < s1, entonces

ρ′(s)− ρ′(s1) ≥ −|s− s1|α−1‖y − y1‖α, (7.34)

esto comprueba que jx es convexa, para cada x ∈ X.

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De (7.32) y el teorema fundamental del cálculo resulta

jx(y) = jx(0) +

∫ 1

0〈∇jx(sy), y〉 ds

= jx(0) + 〈∇j(x), y〉+

∫ 1

0〈∇j(x+ sy)−∇j(x), y〉 ds

≥ j(x)− ‖∇j(x)‖‖y‖+m‖y‖α

α.

(7.35)

Esta última desigualdad implica que jx(y) → ∞ cuando ‖y‖ → ∞,luego, por el lema anterior (lema 7.7), la función jx tiene un punto demínimo. De (7.31) resulta fácilmente que jx tiene a lo más un puntocrítico, luego tal punto de mínimo es único.

Sea ϕ(x); el único punto de mínimo de jx; veamos que ϕ es funcióncontinua. Si ϕ no lo es, existirá δ > 0 y una sucesión xn tal que xn → xy ‖ϕ(xn)− ϕ(x)‖ ≥ δ.

Como ∇j es una función continua y 〈∇j(x) +ϕ(x), y〉 = 0 para todoy ∈ Y , si n es suficientemente grande, entonces:

‖P ∗(∇j(xn + ϕ(x)))‖ < mδα−1. (7.36)

En (7.36) P ∗ denota el adjunto del operador

P (x+ y) = y, x ∈ X, y ∈ Y.

Aplicando (7.32) y el hecho de que 〈∇j(xn +ϕ(x)), y〉 = 0 para todoy ∈ Y , obtenemos:

‖P ∗(∇j(xn + ϕ(x))‖‖ϕ(xn)− ϕ(x)‖≥ 〈−∇j(xn + ϕ(x)), ϕ(xn)− ϕ(x)〉= 〈∇j(xn + ϕ(xn))−∇j(xn + ϕ(x)), ϕ(xn)− ϕ(x)〉≥ m‖ϕ(xn)− ϕ(x)‖α.

(7.37)

Claramente (7.37) contradice a (7.36), esto demuestra que ϕ es con-

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tinua y la parte i) del lema queda demostrada. Sea ahora t > 0 y h ∈ X

j(x+ th)− j(x)

t=j(x+ th+ ϕ(x+ th))− j(x+ ϕ(x))

t

≤ j(x+ th+ ϕ(x))− j(x+ ϕ(x))

t

=

∫ 1

0〈∇j(x+ ϕ(x) + sth), h〉 ds. (7.38)

De manera similar se puede demostrar que

j(x+ th)− j(x)

t≥∫ 1

0〈j(x+ ϕ(x) + sth) + sth), h〉 ds.

De esta desigualdad y (7.38) deducimos que

〈∇j(x), h〉 = 〈∇j(x+ ϕ(x)), h〉. (7.39)

Luego j tiene derivadas direccionales continuas, por tanto j es declase C1, la parte ii) del lema esta demostrada.

El lema 7.8 admite una serie de generalizaciones que en verdad cons-tituyen una teoría. Por ejemplo, se sabe que si j tiene más diferenciabi-lidad (clase Ck con k ≥ 2), esta es heredada por j. Un resultado en estadirección es:

Lema 7.9. Si además de las hipótesis del lema 7.8 suponemos que j esde clase C2, entonces j es de clase C2.

Demostración. Para la demostración de este lema ver [27] teorema 4.

La condición (7.32) puede debilitarse obteniendo las conclusiones dellema 7.8. Buen ejercicio es demostrar que si (7.32) es reemplazada por:Para todo x ∈ X, y, y1 ∈ Y , y1 6= y,

〈∇j(x+ y)−∇jx+ y1), y − y1〉 > 0→∞, (7.40)cuando ‖y‖ → ∞ y dimX <∞,

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entonces las tésis i) y ii) del lema 7.8 se satisfacen. En [7, teorema 2.1] sedemuestra un resultado similar al lema 7.8 con hipótesis más débil que(7.32).

Cuando se considera la ecuación ∇j = p, con p ∈ H y no la ecua-ción ∇j = 0, es de utilidad que los subespacios X,Y sean mutuamen-te perpendiculares. El siguiente lema, cuya demostración dejamos comoejercicio, pone de manifiesto este hecho.

Lema 7.10. Supongamos que j satisface la hipótesis del lema 7.8 y,además X es el complemento ortogonal de Y . Para cada p ∈ H, seajp(u) = j(u) − 〈p, u〉. Entonces existe una función ϕ : X × H → Ysatisfaciendo las tésis i) y ii) del lema 7.8 con j reemplazado por jp.Más aún, si p1 − p2 ∈ Y , entonces ϕ(x, p1) = ϕ(x, p2); es decir, ϕ(x, )es independiente de la proyección de p en X.

La condición (7.32) nos dice que el funcional jx es convexo. Igualmen-te es fácil dar las condiciones para que la gráfica de jx luzca globalmentecomo un punto de silla, en este caso tenemos:

Lema 7.11. Sean X,Y, Z subespacios cerrados de H tales queH = X ⊕ Y ⊕ Z. Sea j : H → R un funcional de clase C1. Si exis-ten números reales m > 0, α > 1, β > 1 tales que

−m‖z1 − z2‖α ≥ 〈∇j(x+ y + z1)−∇j(x+ y + z2), z1 − z2〉, (7.41)

m‖y − y1‖β ≤ 〈∇j(x+ y + z)−∇j(x+ y1 + z), y − y1〉, (7.42)

para todo x ∈ X, y, y1 ∈ Y , z, z1, z2 ∈ Z, entonces:

i) existen, una función continua ϕ : X → Y ⊕ Z tal que

j(x+ ϕ(x)) = maxminj(x+ z + y); y ∈ Y ; z ∈ Z,

ii) y la función j : X → R x→ j(x+ ϕ(x)) es de clase C1 y

〈∇j(x), x1〉 = 〈∇j(x+ ϕ(x)), x1〉, para todo x, x1 ∈ X.

El lector que haya estudiado la demostración del lema 7.8 debe tomarla demostración del anterior lema 7.11 como ejercicio, que es básicamenteuna reiteración del lema 7.8.

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Demostración. De la ecuación (7.42) y Lema 7.8 deducimos que existeuna función continua τ : X ⊕ Z → Y tal que

j(x+ z + τ(x+ z)) = mınj(x+ z + y); y ∈ Y ;

j1 : X ⊕ Z → R, j1(x+ z) = j(x+ z + ϕ(x+ z)),

es de clase C1 y 〈∇j1(x + z), u〉 = 〈∇j(x + z + ϕ(x + z)), u〉 para todou ∈ X ⊕ Z.

De la definición de la función τ anterior, (7.41) y el teorema funda-mental del cálculo inferimos

j1(x+ z) = j(x+ z + τ(x+ z)) ≤ j(x+ z) (7.43)

= j(x) +

∫ 1

0〈∇j(x+ tz), z〉dt

≤ j(x) + ‖∇j(x)‖‖z‖ − m‖z‖α

α.

De esta última desigualdad, en particular, obtenemos

j1(x+ z)→ −∞ cuando ‖z‖ → ∞. (7.44)

Fijamos x ∈ X, sea zn una sucesión en Z tal que

lımn→∞

j1(x+ zn) = supj1(x+ z);x ∈ X.

De (7.44) vemos que zn es sucesión acotada, así que sin pérdida degeneralidad podemos suponer que zn converge déblimente a un z0 ∈ Z.

Como

j1(x+ zn) = j(x+ zn + τ(x+ zn)) (7.45)≤ j(x+ zn + τ(x+ z0)),

y, por (7.41) la función z → j(x+ z + τ(x+ z0)) es concava, el lema 7.7implica

j1(x+ zn) ≤ j(x+ z0 + τ(x+ z0)) (7.46)= j1(x+ z0).

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ii


Luego z0 es un punto de máximo de j1 y esto demuestra queϕ(x) = z0 + τ(x + z0) satisface la caracterización de máximo de i).La demostración de que ϕ es continua, es esencialmente igual a la de-mostración de que la función ϕ del lema 7.7 es continua. Se propone estocomo ejercicio.

Sean y1 + z1, y2 + z2 puntos críticos de la función jx : Y ⊕ Z → R,y + z → j(x+ y + z), entonces

0 = 〈∇j(x+ y1 + z1)−∇j(x+ y2 + z2), y1 + z2 − y2 − z1〉 (7.47)

Como el único punto crítico de K1 : Y → R, y → j(x + z1 + y) esτ(x + z1) y el único punto crítico de K2 : Y → R, y → j(x + z2 + y)es τ(x + z2) (véase tesis i)) del Lema 7.8, tenemos que τ(x + z1) = y1,τ(x+z2) = y2. Aplicando también la tésis i) del Lema 7.8 a las funcionesl1 : Z → R z → l1(z) = −j(x+z+y1), y l2 : Z → R l2(z) = −j(x+z+y2)vemos que, debido a que zi (i = 1, 2) es un punto crítico de li, entonces

j(x+ zi + yi) = maxz∈Z

j(x+ z + yi) (7.48)

para i = 1, 2. Luego si z1 fuera distinto de z2, tendríamos

j(x+ z1 + y1) > j(x+ z2 + y1)

≥ j(x+ z2 + τ(x+ z2)) = j(x+ z2 + y2).

De manera similar

j(x+ z2 + y2) > j(x+ z1 + y1).

Esta contradicción demuestra que z1 = z2. Un proceso similar com-prueba que y1 = y2, con esto tenemos que ϕ(x) es el único punto críticode jx.

Otra manera de obtener un valor crítico para jx es así: para caday ∈ Y la función z → j(x + y + z) tiene un punto de máximo (aquíusamos (7.41)) ρ(x+y), repitiendo el análisis que hicimos para la funciónj1 se demuestra que la función y → j(x + y + ρ(x + y)) tiene un puntode mínimo y0. Luego y0 + ρ(x+ y0)) es un punto crítico de jx, como jxtiene un único punto crítico, tenemos que ϕ(x) = y0 + ρ(x+ y0). Luego

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maxx

mınyj(x+ y + z) = j(x+ ϕ(x)) (7.49)

= j(x+ y0 + ρ(x+ y0)) = mıny

maxx

j(x+ y + z).

Este último conjunto de igualdades es importante para demostrar latésis ii).

Denotaremos con ϕ1(x) la proyección de ϕ(x) sobre Y y con

ϕ2(x = ϕ(x)− ϕ1(x).

Demostraremos enseguida que j es diferenciable. De las igualdades(7.48) y (7.49) vemos que, para x, h ∈ X, t > 0,

j(x+ th)− j(x)

t

=j(x+ th+ ϕ1(x+ th) + ϕ2(x+ th))− j(x+ ϕ1(x) + ϕ2(x))

t

≤ j(x+ th+ ϕ1(x) + ϕ2(x+ th))− j(x+ ϕ1(x) + ϕ2(x+ th))

t

=

∫ 1

0〈∇j(x+ sth+ ϕ1(x) + ϕ2(x+ th)), h〉 ds. (7.50)

En la primera desigualdad hemos usado que

j(x+th+ϕ1(x+th)+ϕ2(x+th)) = mınj(x+th+y+ϕ(x+th)); y ∈ Y .

Análisis similar se hace para justificar la segunda desigualdad. Igualmen-te se obtiene:j(x+ th)− j(x)

t≥∫ 1

0〈∇j(x+ sth+ϕ1(x+ th) +ϕ2(x)), h〉 ds. (7.51)

Claramente de las ecuaciones (7.49) y (7.50) demuestran que j es declase C1 y

〈∇j(x), h〉 = 〈∇j(x+ ϕ(x)), h〉,para todo x, h ∈ X. Con esto hemos demostrado el lema.

En [5] se encuentran numerosas aplicaciones de este último lema.

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7.5. EL ESPECTRO DEL OPERADOR DE LAPLACE 117

7.5 El espectro del operador de Laplace

En esta sección aplicamos el teorema espectral (teorema 7.1) al ope-rador de Laplace cuando este actúa sobre elementos del espacio de So-bolev H1

0 (Ω). Para ello, primero demostramos que la norma en H10 (Ω)

es equivalente a ‖u‖2 =∫

Ω〈∇u,∇u〉dx por medio del siguiente lema.

Lema 7.12. (Desigualdad de Poincaré) Si Ω es una región acotada deRn, y a > 0, tal que

Ω ⊂ [−a, a]× · · · × [−a, a].

Entonces existe C ≤ 4a2

n ∈ R tal que∫Ωu2(x)dx ≤ C

∫Ω〈∇u,∇u〉, (7.52)

para todo u ∈ H10 (Ω).

Demostración. Por la definición de H10 (Ω), las funciones de clase C1 y

de soporte compacto en Ω (es decir, las funciones ϕ; Ω → R tales quela adherencia del conjunto x ∈ Ω;ϕ(x) 6= 0 está contenida en Ω) sondensas enH1

0 (Ω), basta demostrar que (7.52) es válida para tales u. ComoΩ es región acotada, existe a > 0 tal que Ω ⊂ Q = [−a, a]×· · ·× [−a, a].Sea u de soporte compacto en Ω y de clase C1. Extendemos u a Qdefiniendo u(x) = 0 si x ∈ Q−Ω. Claramente u así extendida a Q es declase C1. Sea x = (x1, . . . , xn) ∈ Q, tenemos:

u2(x1, . . . , xn)2 =

(∫ x1

−a

∂u

∂x1(t, x2, . . . , xn) dt

)2

≤ 2a

(∫ a

−a

(∂u

∂x1

)(t, x2, . . . , xn) dt

).

(7.53)

Por consiguiente∫Q

(u)2 dx ≤ 2a

∫Q

(∫ a

−a

(∂u

∂x1

)2

(t, , x2, . . . , xn) dt

)dx2 · · · dxn.

(7.54)

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Como∫ a−a(

∂u∂x1

)2(t, x2, . . . , xn)dt no depende de la variable x1, de(10.2), obtenemos:∫

Qu2 ≤ 4a2

∫Q

(∂u

∂x1

)2

(t, x2, . . . , xn) dtdx2 · · · dxn. (7.55)

De manera similar se demuestra que:∫Qu2 ≤ 4a2

∫Q

(∂u

∂xj

)2

dx1 . . . dxn (7.56)

para todo j = 1, 2, . . . , n. Luego, de (7.56) se obtiene (7.52) con C = 4a2

n ,y el lema queda demostrado.

Recordamos al lector que la norma en H10 (Ω) está dada por

‖u‖2 =

∫Ωu2 +

∫Ω

n∑j=1

(∂u

∂xj

)2

(x) dx, (7.57)

respecto de la cual es de Banach. De la desigualdad de Poincaré, tenemos

‖u‖21 ≤ (C + 1)

n∑j=1

∫Ω

(∂u

∂xj

)2

,

luego la norma

‖u‖21 =

∫Ω〈∇u,∇u〉 dx, (7.58)

que proviene del producto interno

〈u, v〉 =

∫Ω

(∇u,∇v) dx, (7.59)

es equivalente a la norma original de H10 (Ω).

Dada f ∈ L2(Ω), el funcional ϕ(u) =∫

Ω fudx define un funcio-nal continuo (acotado) en H1

0 (Ω). Por el teorema de representación deRiezs existe un único elemento K(f) tal que ϕ(v) = 〈K(f), v〉 para todov ∈ H1

0 (Ω). Es decir ∫Ω〈∇K(f),∇v〉 =

∫Ωfv (7.60)

ii


ii

ii

7.5. EL ESPECTRO DEL OPERADOR DE LAPLACE 119

para todo v ∈ H10 (Ω). Luego K(f) es una solución débil de

−∆u = f en Ω, u = 0 en ∂Ω. (7.61)

Tomando v = K(f) en (7.60) tenemos

‖K(f)‖21 ≤ ‖f‖2‖K(f)‖1. (7.62)

Luego K : L2(Ω)→ H10 (Ω) es un operador continuo. Esto y el teore-

ma de inmersión de Sobolev (lema 7.2) implican que K : L2(Ω)→ L2(Ω)es un operador compacto al componer K con la inmersión de H1

0 (Ω) enL2(Ω). Además, para f, g ∈ L2(Ω),∫

ΩfK(g) =

∫Ω〈∇K(f),∇K(g)〉dx =

∫ΩK(f)g, (7.63)

es decir, K también es autoadjunto. Tomando f = g en (7.63) vemosque cualquier valor propio de K es positivo. Por el teorema espectral(Teorema 7.1) tenemos:

Lema 7.13. Existen un conjunto ortonormal completo ϕ1, ϕ2, . . . enL2(Ω) y una sucesión λ1 ≤ λ2 ≤ · · · → ∞ tal que ϕj es solución débil de

∆ϕj + λjϕj = 0 en Ω ϕj = 0 en ∂Ω (7.64)

Para y ∈ H10 (Ω) ⊂ L2(Ω) de la forma y =

∑∞j=k ckϕk se tiene

λj

∫Ωy2 ≤

∑k≥j

λkc2k

=∑k≥j

λkc2k

∫Ω

ϕk(Kϕk)

µk

=∑k≥j

λkc2k

∫Ω

〈∇K(ϕk),∇(Kϕk)〉µk

=∑k≥j

c2k

∫Ωλkµk〈∇ϕk,∇ϕk〉

=

∫Ω

(∇y,∇y).

(7.65)

Igualmente se demuestra que si y =∑

i≤j ciϕi, entonces

λj

∫Ωy2 ≥

∫Ω

(∇y,∇y). (7.66)

ii


ii

ii


7.6 Aplicaciones

En esta sección mostramos como aplicar los lemas de reducción ob-tenidos en la sección anterior para obtener información acerca de la exis-tencia de soluciones a problemas no-lineales. Los casos que sepresentanmuestran que la relación entre el crecimiento de ciertos operadores nolineales y el espectro de cierto operador lineal son la clave para este estu-dio. Para las notaciones concernientes al siguiente teorema, referimos allector a la sección sobre ejemplos de Problemas variacionales Ecuacionesintegrales de Hammerstein: Ω ⊂ Rn región acotada, K : Ω × Ω → Rsimétrica K(x, y) = K(y, x) para todo x, y ∈ Ω, K ∈ L2(Ω×Ω) y dondeK : L2(Ω)→ L2(Ω) es definido por:

Ku(x) =

∫Ωk(x, y)u(y)dy.

Recordamos que K resulta compacto autoadjunto.

Ordenamos los valores propios de K según la desigualdad

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ 0 ≥ · · · ≥ λ−2 ≥ λ−1

y g como en la sección 7.2, sobre ejemplos de problemas variacionales.

Teorema 7.2. Si existen un entero N y números reales γ, γ′ y c talesque

a) 1λN

< γ ≤ γ′ < 1λN+1

b) Para todo u, v ∈ R, x ∈ Ω (g(x, u)− g(x, v)(u− v) ≤ γ′(u− v)2 yg(x, 0) ∈ L2(Ω),

c) G(x, u) ≥ γ2u

2 − C para todo (x, u) ∈ Ω× R,

entonces

A) La ecuación integralu(x) = Kg(u) (7.67)

tiene solución,

ii


ii

ii


B) Si la hipótesis c) se reemplazada por(g(x, u) − g(x, v))(u − v) ≥ γ(u − v)2 para todo u, v ∈ R, x ∈ Ω,entonces u(x) = Kg(u, x) tiene una única solución.

C) Si además de a), b) y c), suponemos que g(x, 0) = 0, ∂g∂u(x, 0) < 1λN

para todo x ∈ Ω y ϕn ∈ L∞(Ω), entonces u(x) = Kg(x, u) tieneuna solución no nula; es decir, tiene por lo menos dos soluciones.

Demostración. Del teorema de descomposición espectral de un operadorcompacto autoadjunto (véase teorema 7.1) sabemos que existen un con-junto ortonormal completo de u ∈ H;Ku = 0, ϕj : j = ±1,±2, . . .que es completo en el complemento ortogonal al núcleo de K tal queK((ϕj) = λjϕj .

De las hipótesis b) y c) se sigue (ejercicio de cálculo) que existe unaconstante c1 y una función c2 ∈ L2(Ω) tales que

|g(x, u)| ≤ c1|u|+ c2(x). (7.68)

Luego, por el lema 7.6, para demostrar A) basta que probemos queel funcional J : L2(Ω)→ R definido en (7.21) tiene un punto crítico.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que N > 0. Sea Y1

el subespacio cerrado de L2(Ω) generado porϕN+1, ϕN+2, . . . y X1 sucomplemento ortogonal. Es claro que X1 se genera por los elementos delnúcleo de K y el conjunto ϕj : j < 0, o, j = 1, 2, . . . , N. ComoY1 ⊂ Y , de la fórmula (7.23), tenemos:

〈∇J(x+ y1)−∇J(x+ y2), y1 − y2〉 =

∫Ω

(y1 − y2)2

−∫

Ωg(Q(x+ y1) +Q1(x+ y2))− g(Q(x+ y1)

+Q1(x+ y2))(Q1(y1 − y2)). (7.69)

Para todo x ∈ X1, y1, y2 ∈ Y1.

Aplicando a (7.69) la hipótesis b) tenemos:

〈∇J(x+ y1)−∇J(x+ y2), y1 − y2〉 ≥∫

Ω

((y1 − y2)2 − γ′(Q1(y1 − y2)

2)) (7.70)

ii


ii

ii


De la definición de Q1 se sigue que para todo y ∈ Y1

∫Ω(Q1(y))2 ≤

λN+1

∫Ω y

2, luego, combinando esta última desigualdad con (7.70), tene-mos:

〈∇J(x+ y1−∇J(x+ y2), y1− y2〉 ≥ (1− γ′λN+1)‖y1− y2‖L2(Ω) (7.71)

para todo x ∈ X1, y1, y2 ∈ Y1. Como, por a), γ′λN+1 < 1 por el lema7.8 existe una función continua ϕ : X1 → Y1 tal que J(x + ϕ(x)) =mınJ(x + y); y ∈ Y1. También por el lema 7.8 parte ii) sabemos quepara demostrar que J tiene un punto crítico, basta comprobar que J tieneun punto crítico (recordamos que J : X1 → R, x→ J(x) = J(x+ϕ(x)).

Veamos que J tiene un punto de máximo; con esto demostramos A).Para x ∈ X1 tenemos:

− 2J(x) ≥ −2J(x) = −∫

Ω(P1(x)2 − Px)2 − 2G((Q(x) +Q1(x))

≥ −‖P1(x)‖2L2(Ω) + ‖P (x)‖2L2(Ω) + γ(‖Q(x)−Q1(x)‖2L2(Ω))− 2Cmed(Ω)

≥ (γλN − 1)‖x1‖2L2(Ω) + ‖P (x)‖2L2(Ω) − 2Cmed(Ω), (7.72)

donde x1 es la proyección de x sobre el subespacio generado por

ϕ1, . . . , ϕN,

hemos usado las hipótesis a) y c). De (7.72) es claro que:

J(x)→ −∞ cuando ‖x‖ → ∞, x ∈ X1, (7.73)

y J es acotada superiormente.

Sea xn una sucesión tal que J(xn)→ supJ(x);x ∈ X1 . De (7.73)vemos que xn está acotada y, sin pérdida de generalidad, podemossuponer que xn converge débilmente a x0 ∈ X1. Sea x′n la proyecciónsobre el subespacio generado por

ϕ1, . . . , ϕN.

Es claro que x′n converge a x′0, donde x′0 es la proyección de x0 sobreel mismo subespacio. Vemos que ϕ(xn) converge a x0 sobre el mismosubespacio. Veamos que ϕ(xn) converge a ϕ(x0). Sea y1 ∈ Y1, como

0 = lımn〈∇J(xn + ϕ(xn)), y〉 (7.74)

= lımn

∫Ω

((x′n + ϕ(xn))y − g(Q(xn + ϕ(xn) + ϕ(xn))

−Q1(xn + ϕ(xn)))Q1(y).

ii


ii

ii


Poniendo en (7.71) x = xn, y1 = ϕ(xn), y2 = 0 vemos que ϕ(xn) esacotada. En consecuencia también podemos suponer que ϕ(xn) con-verge débilmente a algún y0. Entonces, por la compacidad de Q, y Q1,de (7.74) obtenemos

0 =

∫Ωy0y − g(Q(x0 + y0) +Q1(x0 + y0))Q1(y) (7.75)

para todo y ∈ Y1.

Como el único punto crítico de Jx0(y) = J(x0 +y) ( y ∈ Y1) es ϕ(x0),de (7.75) vemos que y0 = ϕ(x0), luego ϕ(xn) converge débilmente aϕ(x0). Poniendo en (7.71) x = xn, y1 = ϕ(x0), y2 = ϕ(xn) tenemos

(1− γ′λN+1)‖ϕ(xn)− ϕ(x0)‖2L2(Ω)

≤ 〈∇J(xn + ϕ(x0)−∇J(xn + +ϕ(xn)), ϕ(x0)− ϕ(xn)〉

=

∫Ω

(ϕ(x0)(ϕ(x0)− ϕ(xn)))− g(Q(xn + ϕ(xn))

+Q1(xn + ϕ(x0)))Q1(ϕ(x0)− ϕ(xn))).

(7.76)

Como Q1 es compacto y ϕ(xn) converge débilmente a ϕ(x0), laúltima expresión en (7.76) tiende a 0 cuando n → ∞, esto demuestraque ϕ(xn)→ ϕ(x0). Ahora obtenemos

supJ(x);x ∈ X1 = lımn→∞

J(xn)

=1

2(

∫Ω

(ϕ(xn)2 − P (xn)2 − (x′n)2

− 2G(Q(xn + ϕ(xn)) +Q(xn + ϕ(xn))))

≤ J(x0 + ϕ(x0)) = Jj(x0).

(7.77)

En la última desigualdad hemos usado que ϕ(xn) → ϕ(x0), quex′n → x′0 y ∫

Ω(P (x0))2 ≤ lım ınf

∫Ω

(P (xn))2.

De (7.77) es claro que x0 es un punto de máximo, que demuestra latésis A).

ii


ii

ii


Ahora demostraremos B). Imitando la demostración de (7.73) obte-nemos:

〈∇J(x1 + y)−∇J(x2 + y), x1 − x2〉 ≥ (1− γλn)‖x1 − x2‖2L2(Ω),

para todo x1, X − 2 ∈ X1, y ∈ Y1. Luego, usando el lema (7.11) conX = 0, Z = X1, Y +Y1 vemos que J tiene un único punto crítico, portanto la ecuación (7.67) tiene una única solución.

Para demostrar C) consideramos la función h(t) = J(tϕN ), entonces

h′(t)−h′(s) =

∫Ω

((t−s))ϕ2N−(g(ξ, t

√λNϕN )−g(ξ, s

√λnϕN ))

√λNϕN ),

esta última relación muestra que si ∂g∂u(x, 0) > 1√

λN, entonces en una

vecindad de t = 0 h′ es creciente; luego 0 no puede ser un punto demáximo de J ; como j tiene un punto de máximo, la ecuación (7.67)tiene una solución distinta de 0, lo que completa la demostración delteorema.

Resultados similares a los obtenidos en el teorema 7.2 pueden demos-trarse para la existencia de soluciones débiles al problema de Dirichlet(7.9). En efecto, se tiene

Teorema 7.3. Sean λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λN ≤ · · · los valores propios delproblema (7.64) (véase lema 7.13). Suponemos que g satisface la condi-ción de Caratheodory. Si existen números reales γ, γ′ y C tales que:

a) λN < γ ≤ γ′ < λN+1,

b) para todo u, v ∈ R y x ∈ Ω

(g(x, u)− g(x, v))(u− v) ≤ γ′(u− v)2, g(x, 0) ∈ L2(Ω),

c) G(x, u) ≥ γu2

2 − C, para todo (x, u) ∈ Ω× R;

entonces:

A) el problema de Dirichlet 7.9 tiene una única solución débil,

ii


ii

ii


B) si la hipótesis es reemplazada por (g(x, u) − g(x, v)) ≥ γ(u − v)2

para todo u, v ∈ R, x ∈ Ω, entonces 7.9 tiene una única solucióndébil, y

C) si además de a), b) y c) suponemos que g(x, 0) = 0, ∂g∂u(x, 0) < λN

y ϕN ∈ L∞(Ω), entonces el problema de Dirchlet 7.9 tiene por lomenos dos soluciones.

La demostración de este teorema sigue el mismo patrón de la de-mostración del teorema 7.2; se propone como ejercicio para que el lectorcomplete los detalles. Se considera el funcional J , definido en 7.11; se to-ma como X al subespacio generado por ϕ1, . . . , ϕN, esto implica quela demostración del teorema 7.3 sea menos complicada que la del primerteorema 7.2 de esta sección.

Soluciones periódicas de la ecuación del péndulo.

Sea g : R→ R una función continua T -periódica tal que(g(u)− g(v)

)(u− v

)< (u− v)2,

para todo u, v ∈ R, u 6= v. Sea p : R → R una función medible2π-periódica,; consideramos la ecuación del péndulo forzado:

x′′(t) + g(t, x(t)) = p(t), (7.78)

el caso del péndulo clásico ocurre cuando se escoge g(u) = sin(u).

Como en los casos del problema de Neumann y del problema de Di-richlet, introducimos un espacio de Hilbert H1

T y una noción de solucióndébil adecuada al problema de (7.78).

Sea H1T el espacio de Hilbert resultante de completar el espacio

C1T = ϕ : R→ R;ϕ es declase C1, y T -periódica,

(suele escogerse T = 2π) provisto del producto interno:

〈u, v〉 =

∫Ω

[u(t)v(t) + u′(t)v′(t)

]dt. (7.79)

Al espacio de Hilbert resultante de completar(C1T , 〈 , 〉

)lo denota-

remos por H1T . Es fácil verificar que cada elemento de H1

T puede ser iden-tificado con una función T -periódica u : R→ R tal que u tiene derivada

ii


ii

ii


u′ ∈ L2([0, T ]). En realidad, los elementos de H1T pueden identificarse

con funciones absolutamente continuas. u′ resulta ser la derivada de u encasi toda parte. Es fácil demostrar que si u es una solución T -periódicade (7.78) y v ∈ H1

T , entonces∫ T

0[u′(t)v′(t)− g(t, u(t))v(t)] dt = 0. (7.80)

Decimos que u ∈ H1T es una solución T -periódica débil de (7.78) si

para toda v ∈ H1T (7.80) se verifica.

Si G(t, u) =∫ 1

0 g(t, s)ds y J : H1T → R es dada por:

J(u) =

∫Ω

[(u′(t))2

2−G(t, u(t))

]dt, (7.81)

entonces

J ′(u)v = lımt→0

J(u+ tv)− J(u)

t

=

∫ T

0

[(u′(t)v′(t)− g(t, u(t))v(t)

]dt,

(7.82)

para todo u, v ∈ H1T .

Comparando (7.81) y (7.82), vemos que u es una solución T -periódicadébil de (7.78) si y solo si∇J(u) = 0; así concluimos que hallar solucionesdébiles de (7.78) es equivalente a ∇J(u) = 0.

Técnicas usuales de la “teoría de la regularidad” (ver [41]) demues-tran que si U es una solución débil 2π-periódica de (7.78) y p(t) escontinua, entonces u es una solución clásica.

El siguiente teorema, en el cual vemos el uso del lema 7.10, fue de-mostrado en [21].

Teorema 7.4. Supongamos que g satisface (7.78) y sea g = 1T

∫ T0 g(s)ds.

Si p0 : R → R es medible, 2π-periódica,∫ 2π

0 p0 = 0 y∫ 2π

0 p20 < ∞,

entonces existen números reales d(p0) y D(p0) tales que

mınt∈R

g(t) ≤ d(p0) ≤ g ≤ D(p0) ≤ maxt∈R

g(t), (7.83)

ii


ii

ii


y (7.78) tiene una solución débil si y solamente si

d(p0) ≤ 1

2π

∫ 2π

0p(t)dt ≤ D(p0).

Más aún,

a) si C = x; g(x) = maxs∈R g(s), o g(x) = mıns∈R es discreto,entonces d(p0) = mın g(t), o D(p0) = maxt∈R g(t) si y solamentesi p0 = 0.

b) Si pn0 converge débilmente en L2([0, 2π]) a p0, entoncesd(pn0 )→ d(p0) y D(pn0 )→ D(p0).

Demostración. Usando que las funciones trigonométricas son un conjun-to ortonormal completo en L2[0,2π], es fácil ver que si

∫ 2π0 y = 0, es

decir, si y es ortogonal al subespacio de las funciones constantes, y ∈ E,entonces ∫ 2π

0y2 ≤

∫ 2π

0(y′(t))2 dt. (7.84)

Sea g(u) =∫ u

0 g(s) ds, repitiendo argumentos presentados en la sec-ción sobre ejemplos de problemas variacionales, es fácil ver que u ∈ Ees solución débil de (7.78) si y solo si u es punto crítico del funcionalJp : E → R definido por:

Jp(u) =

∫ 2π

0

(u′(t)2

2−G(u(t)) + p(t)u(t)

)dt. (7.85)

Sea X el subespacio generado por las funciones constantes, Y sucomplemento ortogonal, es decir,

y ∈ Y si y solo si∫ 2π

0y = 0.

De las desigualdades (7.77) y (7.84) resulta que si x1 ∈ X, y1, y2 ∈ Y ,y1 6= y2, entonces

〈∇Jp(x+ y1)−∇Jp(x+ y2), y1 − y2〉 > 0 > . (7.86)

ii


ii

ii


Como g es periódica y continua, existe M > 0 tal que G(u) ≤M |u|,luego si x ∈ X, y ∈ Y , entonces

Jp(x+ y)

≥∫ 2π

0y′2 − 2M

(∫ 2π

0(x+ y)2

) 12

−(∈ t2π0 (x+ y)2

) 12

(∫ 2π

0p2

) 12

≥ 1

2‖y‖2E −

(2πM +

(∫ 2π

0p2

) 12

‖x+ y‖E

), (7.87)

lo cual implica que para x ∈ X, p ∈ L2[0, 2π]

Jp(x+ y)→∞, cuando ‖y‖E →∞.

Así, por el lema 7.8, existe una función continua ϕ( , p) : X → Y tal queϕ(x, p) es el único punto crítico del funcional Jp(x+, ) : Y → R y

Jp(x+ ϕ(x, p)) = mınJp(x+ y); y ∈ Y . (7.88)

De la definición de Jp(x+ ) se ve que si q(t) − p(t) es una funciónconstante, entonces Jq(x+ )−Jp(x+ ) es también una función constante.Luego

ϕ(x, p) = ϕ

(x, p− 1

2π

∫ 2π

0p(t) dt

),

es decir, para cada x ∈ X ϕ(x, p) depende solamente de la proyección dep sobre el subespacio Y . En lo que sigue para cada función 2π-periódicap ∈ L2([0, 2π]) denotaremos con

p0 = p− 1

2π

∫ 2π

0p y con p1 =

1

2π

∫ 2π

0p.

Es claro que p1 es la proyección de p sobre X.

Sea p0 ∈ L2([0, 2π]), tal que∫ 2π

0p0 = 0,

sea p1 ∈ X y p = p0 + p1. Por la discusión precedente y por el lema7.8 parte ii), para demostrar que (7.78) tiene una solución, basta quedemostremos que el funcional

Jp(x) = Jp(x+ ϕ(x, p)) = Jp(x+ ϕ(x, p0))

ii


ii

ii


tiene un punto crítico. Ahora bien: por el lema (7.8) tenemos

〈∇Jp(x+ ϕ(x, p0)), 1〉 =

∫ 2π

0(−g(x+ ϕ(x, p0) + p1) dt, (7.89)

donde 1 denota la función constante de valor 1. De (7.89) es claro que sidefinimos

d(p0) =1

2πmın

∫ 2π

0g(x, ϕ(x, p0));x ∈ X

(7.90)

y

D(p0) =1

2πmax

∫ 2π

0g(x, ϕ(x, p0));x ∈ X

, (7.91)

entonces se tiene que

mınt∈R

g(t) ≤ d(p0) ≤ D(p0) ≤ maxt∈R

g(t) (7.92)

y que (7.78) tiene una solución débil 2π-periódica si y solo si

d(p0) ≤ p1 ≤ D(p0). (7.93)

Debido a que g es T -periódica, es fácil ver que ϕ(x+T, po) = ϕ(x, p0),por consiguiente, para demostrar que la ecuación

x′′ + g(x) = p0 + g

tiene una solución débil, basta que observemos que la función

Jp0+g(x) tiene un punto crítico.

Pero

Jp0+g(x) =

∫ 2π

0

(ϕ(x, p0))2

2

−∫ 2π

0

(G(x+ ϕ(x, p0))− g(x+ ϕ(x, p0))

). (7.94)

Ahora bien: como g es T -periódica G(u)− g(u) es T -periódica (Ejer-cicio) luego Jp0+g es T -periódica, por tanto x′′+ g(x) = p0 + g tiene una

ii


ii

ii


solución débil 2π-periódica; en consecuencia, por (7.23) tenemos com-probado (7.83).

Ahora, para terminar la demostración del teorema es necesario quedemostremos a) y b). Dejamos como ejercicio para el lector demostrara), y procederemos a demostrar b). Sea Jn = Jpn0 , J = Jp0 , ϕn = ϕ( , pn0 )y ϕ = ϕ( , p0).

Como g es acotada y pn0 es acotada en L2([0, 2π]), de

0 =

∫ 2π

0(ϕn(x))′)2 −

∫ 2π

0(g(x+ ϕn(x))ϕn(x)) (7.95)

y (7.84), es claro que

φn(x); n = 1, 2, . . . ;x ∈ X

es un subconjunto acotado de E. Sea x0 ∈ X fijo y ψ ∈ Y tal que algunasubsucesión de ϕnj (x0) converge débilmente a ψ en E. Como para todoy ∈ Y

0 =

∫ (φnj (x0))′y′ − g(x0 + φnj (x0))y + p

nj0 y)

(7.96)

y por el lema de Rellich (7.2) (o véase teorema 6.2 [1]) φnj (x0) convergea ψ en L2([0, 2π]), de (7.96) deducimos

0 =

∫(ψy′ − g(x0 + ψ)y + p0y), (7.97)

para todo y ∈ Y . Esa última relación y la definición de ϕ(x0, p0) implicanque ψ = ϕ(x0, p0) y, en particular, ϕn(x0) converge débilmente en Ea ϕ(x0).Demostramos ahora que D(pn0 )→ D(p0). Sea un ∈ E una solución débilde

u′′ + g(u) = pn0 +D(pn0 ). (7.98)

Como g es periódica, podemos suponer que la proyecciones sobre Xde la sucesión un son acotadas, luego por (7.84) y (7.95) podemos su-poner que un es acotada en E y, por tanto, sin pérdida de generalidad,que un converge débilmete a u0 ∈ E. De esto y (7.98) deducimos que∫ 2π

0

(u′0v′ − g(u0)v + p0v + lım sup(D(pn0 ))))v

)= 0 (7.99)

ii


ii

ii


para todo v ∈ E. La relación (7.99) demuestra que

D(p0) ≥ lım sup(D(pn0 ). (7.100)

Sea ahora x1 ∈ X tal que D(p0) = 12π

∫ 2π0 g(x1 + φ(x1))(t)dt.

De (7.95) sabemos que φn(x1) converge a φ(x1) en L2([0, 2π]), luego

D(p0) = lım(1

2π

∫ 2π

0g(x1 + φn(x1))). (7.101)

Como∫ 2π

0 g(x1 + φn(x1)) ≤ 2πD(pn0 ), y por (7.99) tenemos que

D(p0) ≤ lım ınf D(pn0 ).

Esto combinado con (7.100) demuestra la parte b) del teorema, por tanto,el teorema queda demostrado.

A continuación, algunos comentarios sobre extensiones a estos teo-remas: Antes unas notaciones: sea Ω región acotada de Rn, como en elLema 7.13 sobre la desigualdad de Poincaré (7.52), y g : R → R unafunción que satisface:

i) lımx→−∞g(x)x = µ < λ1

ii) lımx→∞g(x)x = ν ∈ (λ1, λ2)

iii) (g(u)−g(v)u−v ≤ γ < λ2 para todo u, v ∈ R, donde γ es constante.

Sea Y0 = u ∈ L2(Ω);∫

Ω uϕ1 − 0, y consideramos el problema deDirichlet:

∆u+ g(u) = rϕ1 + h en Ω, u = 0 en∂Ω, (7.102)

donde h ∈ Y0.

El siguiente teorema constituye una extensión del clásico resultadode Ambrosetti y Prodi [4].

Teorema 7.5. Para cada h ∈ Y0 existe un número real r(h) tal que(7.100) tiene:

ii


ii

ii


a) por lo menos dos soluciones si r > r(h)

b) por lo menos una solución si r = r(h) y

c) ninguna solución si r < r(h).

Además, si hn → h débilmente en L2(Ω), entonces r(hn)→ r(h). Si,además de las hipótesis i), ii), y iii) suponemos que g es estrictamenteconvexa en a) y b), la expresión por lo menos puede reemplazarse porexactamente.

La demostración de este teorema puede verse en [8], donde se usanesencialmente los mismos argumentos que empleamos en la demostracióndel teorema anterior.

7.7 Otros problemas variacionales

Muchas son los problemas de ecuaciones diferenciales parciales nolineales que se pueden estudiar mediante métodos variacionales. Ade-más de los ya presentados en este capítulo, entre otros, cabe mencionar:ecuaciones con el p-Laplaciano, problemas con condición de frontera nolineal, la ecuación de Schrodinger y las ecuaciones de Maxwell. En lo quesigue se supone que la frontera de Ω es suave.

El p-Laplaciano Para p ∈ [1,∞) el funcional

J1(u) =

∫Ω

(‖∇u‖p

p−G(x, u)

)dx (7.103)

resulta bien definido en el espacio W 1,p0 (Ω) cuando |g(x, u)| ≤ A +

B|u|(n(p−1)+p)/(n−p) y G(x, u) =∫ u

0 g(x, s)ds. Lo puntos críticos de J1

resultan ser las soluciones de la ecuación

−∆pu = −div(‖∇‖p−2∇u) = g(x, u), x ∈ Ω

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.(7.104)

Para mayor información sobre problemas variacionales en los queaparece el p-Laplanciano, ∆p, referimos al lector a [37] y su amplia gamade referencias.

ii


ii

ii

7.7. OTROS PROBLEMAS VARIACIONALES 133

Problemas con condición de frontera no linealSea f : ∂Ω × R → R que satisface la condición de Caratheodory (verdefinición 7.1) y tal que |f(x, u)| ≤ A+B|u|2n/(2n−1). Los puntos críticosdel funcional J2 : H1(Ω)→ R definido por

J2(u) =

∫Ω

(‖∇u‖2

2−G(x, u)

)dx+

∫partialΩ

F (y, u)dy, (7.105)

donde F (x, u) =∫ u

0 f(x, s)ds, son las soluciones del problema

−∆u = g(x, u), x ∈ Ω;∂u

∂η(x) = f(x, u), x ∈ ∂Ω, (7.106)

ver [18].

Las ecuaciones de MaxwellLas ecuaciones

H = ∇×A, E = −∂A∂t−∇ϕ

ρ = W ′(|A|2 − ϕ2)ϕ, J = W ′(|A|2 − ϕ2)A,(7.107)

se conocen como las ecuaciones de Maxwell semilineales. En (7.107)A : R4 → R3, ϕ : R4 → R son funciones suaves conocidas como lacalibración; la función W : R → R es una perturbación que hace laecuación invariante bajo el grupo de Poincaré. En (7.107) H es el cam-po magnético, E el campo eléctrico, ρ la densidad de carga y J ; sussoluciones son los puntos críticos de

J3(A) =

∫R

∫R3

[∣∣∂A∂t

+∇ϕ∣∣2 − |∇ ×A|2 −W (|A|2 − ϕ2)

]dx dt. (7.108)

Referimos al lector a [9] para ver la aplicabilidad de los métodosvariacionales en el estudio de las ecuaciones de Maxwell.

Ecuación de onda semilinealPor último, algunos comentarios sobre la ecuación de onda semilineal.Consideramos el problema de hallar soluciones T -peródicas débiles alsistema hiperbólico:

∂2u

∂t2− ∂2u

x2+ g(t, x, u) = 0

u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t+ T ),

(7.109)

ii


ii

ii


donde g : R× [0, π]×R→ R es una función continua de período T en laprimera variable. Las soluciones débiles de (7.109) son las soluciones de∇J4(u) = 0, donde J4 es el funcional dado por

J4(u) =

∫[0,π]×[0,T ]

(u2t

2− u2

x

2−G(x, u)

)dx dt. (7.110)

Una gran dificultad del funcional J4 es que la forma cuadrática quedepende de las derivadas de primer orden es definida negativo en subes-pacios de dimensión infinita como también lo es positiva en otros subes-pacios de dimensión infinita. Más aún, tal forma cuadrática puede seridénticamente cero en subespacios de dimensión infinita. Esta hace queargumentos basados en la condición de Palais-Smale (ver definición 8.2)no funcionen (Ver [13, 15, 16, 29, 17]).

La ecuacıón de Schrodinger

La ecuación

(−εi∇+A)2u+ V · u = K|u|p−2u en Rn, (7.111)

se conoce como la ecuación de Schrodinger y aparece en multitud deproblemas de la física matemática. Las soluciones de (7.111) son lospuntos críticos de

J5(u) =

∫Rn

(1

2(|ε∇u+ iAu|2 + V |u|2)− 1

p|u|p)dx, (7.112)

ver [33] y [34]. Ya que la ecuación (7.111) está definida en una regiónque no es acotada, surgen otras dificultades derivadas de que no se tienecompacidad en la inclusion de H1(Rn) en L2(Rn) y no se tiene unadesigualdad de tipo Poincaré (ver lema 7.12.)

ii


ii

ii

CAPÍTULO 8

Otros principios variacionales

8.1 Preliminares

En este capítulo continuamos el estudio de la ecuación F (x) = 0,ahora con la ausencia de principios de reducción como los lemas 7.8-7.11. Los principios a desarrollar se basan en la existencia de puntoscríticos dados por principios de minimax. A diferencia de los resultadosen el capítulo anterior, se permiten no linealidades donde la derivada noestá acotada inferior ni superiormente, pues no se depende de reducir aun subespacio. Se abandona el estudio buscando soluciones en espaciosde Hilbert, se hará este en espacios de Banach, por tanto no tendremoscondiciones como la que se da en (7.32). En consecuencia, no se tienenhipótesis como en (7.32). Esta deficiencia se suple, en gran parte, por unacondición de compacidad conocida como condición de Palais-Smale (verdefinición 8.2). Consideramos en estas notas, como siempre, problemasque tienen “estructura variacional”. Con esto se quiere decir que hallaruna solución del problema dado es equivalente a resolver:

F (x) = 0, (8.1)

135

ii


ii

ii

136 CAPÍTULO 8. OTROS PRINCIPIOS VARIACIONALES

donde F es función definida en un abierto de un espacio de Banach realE. Aparte de lo anterior, no tendremos Teorema de representación deRiesz-Frechet, el dual del espacio, que por lo general no se identifica E.En el caso F (x) = ∇J , la función J no es solo una comodidad de ca-rácter matemático, puesto que J proviene generalmente de cantidadesfísicas como “energía”, “momento” o “acción”. Con F = ∇J estamos di-ciendo que resolver (8.1) es equivalente a hallar los puntos críticos deJ . Ya vimos la ayuda adicional que representa la existencia de J pararesolver (8.1). Como observamos, J es acotada inferiormente, por tanto,podemos esperar que J tenga un punto de mínimo x0, el cual, de hecho,es una solución de (8.1). Este primer caso sugiere las sutilezas y dificulta-des que aparecen en el estudio de problemas variacionales. En efecto, noes suficiente que un funcional de clase C1 sea acotado inferiormente paraque tenga un mínimo: el contraejemplo típico es la función f(x) = ex.Tenemos también ausencia de compacidad de las bolas de centro en unpunto. Para resolver estas dificultades, aparecen en la literatura, entreotras, la propiedad conocida como condición de Palais-Smale, que enun-ciaremos, y el lema de deformación de Clark. Veamos antes unas nocionessobre solución débil nuevamente, Punto de Silla, Paso de Montaña:

8.2 Resultados auxiliares

En esta sección, E denota un espacio de Banach real, separable yf : E → R una función de clase C1. Para cada u ∈ E denotaremos conf ′(u) la diferencial de f en u (o derivada en el sentido de Frechet de fen u).

Con E∗ denotaremos al conjunto:

E∗ = u ∈ E; f ′(u) 6= 0 = E −K,

donde K es el conjunto de puntos críticos de f , es decir,

K = x ∈ E; f ′(x) = 0.

Nótese que E∗ es abierto y K es cerrado en E.

Los dos lemas siguientes son fundamentales para la demostracióndel lema de Deformación (teorema 8.1 es de carácter técnico y no losdemostraremos (véase [59] ).

ii


ii

ii

8.3. LA NOCIÓN DE SEUDOGRADIENTE 137

Lema 8.1. Si v : E∗ → E es una función localmente Lipschitziana,entonces:

a) Para cada x ∈ E∗ existen intervalo (t−(x), t+(x)) ⊂ R y una fun-ción Φ(x ) : (t−(x), t+(x)) → E∗ tal que Φ(x, 0) = x y Φ′(x, t) =v(Φ(x, t)).

b) Si t−(x) 6= −∞ (respectivamente t∗ 6= +∞), entonces Φ(x, t) notiene puntos límites en E∗ cuando t→ t−(x) (respect. t→ t+(x)).

c) El conjunto (x, t); t−(x) < t < t+(x) es abierto en E∗ × R y lafunción Φ es continua. A la función Φ se llama el flujo definidopor v.

Demostración. Su demostración puede verse en [59], teorema 1.6.

Lema 8.2. Si M es una variedad de Banach paracompacta (recordamosque todo subconjunto abierto de un espacio de Banach es una variedadparacompacta) y Uα;α ∈ A un recubrimiento abierto de M, entoncesexiste una partición de la unidad ψβ;β ∈ B subordinada a un refina-miento localmente finito de Uα;α ∈ A, y todas las funciones ψβ sonlocalmente Lipschitzianas.

Demostración. Su demostración puede verse en [59], Teorema 1.6.

8.3 La noción de seudogradiente

Para espacios de Hilbert H es fácil generalizar la noción de gradientecon ayuda del Teorema de Representación de Riesz, por medio del cual,una aplicación lineal continua se identifica con un único vector de H.Recordamos que si f : A → R es función definida en abierto de espaciode Hilbert H, si f es diferenciable en a ∈ A, con ∇f(a) se denota el únicovector de H, tal que f ′(a)(v) = 〈∇f(a), v〉 para todo v ∈ H (obtenidopor teorema de Riezs) se llama el gradiente de f en a. En el caso deun espacio de Banach, en general, debido a la ausencia de un productointerno, es preciso introducir el concepto de seudogradiente.

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ii

ii


Definición 8.1. Sean E espacio de Banach, U ⊂ E abierto y f : U → E,una función de clase C1. Decimos que v : U → E es un seudogradientede f en U si

i) ‖v(x)‖ ≤ 2‖f ′(x)‖ para todo x ∈ U , y

ii) (f ′(x))(v(x)) ≥ ‖f ′(x)‖2 para todo x ∈ U .

Nota 8.1.

i) Si E es un espacio de Hilbert, entonces, en la definición anterior∇f , es un seudogradiente de f cuando f : E → R y f es de claseC1, en efecto:

‖f ′(u)‖2 = sup‖h‖≤‖f ′(u)‖

〈f ′(u), h〉

y el supremo se alcanza en h = f ′(u). Recuérdese que el Teoremade Representación de Riesz, permite identificar f ′(u) con ∇f(u).

ii) Si v y w son seudogradientes de f en U y α, β son números reales nonegativos tales que α+β = 1, entonces αv+βw es seudogradientede f en U .

Lema 8.3. (R. Palais) Si f : E→ R es de clase C1, existe una funciónw : E∗ → E que es localmente Lipschitziana y también es un seudogra-diente de f en E∗. Si f es par w, puede ser escogido impar.

Demostración. Sea x ∈ E∗. Como ‖f ′(x)‖ > 0, podemos hallar u ∈ E,tal que ‖u‖ = 1 y (f ′(x))(u) ≥ 3

4‖f′(x)‖. Definiendo v(x) = 5

3‖f′(x)‖u,

obtenemos f ′(x)(v(x)) > ‖f ′(x)‖2 y ‖v(x)‖ < 2‖f ′(x)‖. Como f ′ esfunción continua en x, podemos hallar rx > 0, tal que B(x, rx) ⊂ E∗ yque ‖x− y‖ < rx implica f ′(y)(v(x)) ≥ ‖f ′(y)‖2.Sea vx : E∗ → E definida por

vx(y) =

v(x), si ‖y − x‖ < rx

0, si ‖y − x‖ ≥ rx.

Como E∗ es conjunto abierto de E, por el lema 8.2, existe una parti-ción de la unidad Φβ;β ∈ B subordinada a un recubrimiento localmen-te finito Uα;α ∈ A que es un refinamiento de

ii


ii

ii

8.4. EL LEMA DE DEFORMACIÓN 139

B(x, rx); x ∈ E∗. Para cada β ∈ B escogemos g(β) ∈ E∗ tal queel soporte de Φβ ⊂ B(g(β), rg(β)) y definimos

w(y) =∑β∈B

Φβ(y)vg(β)(y). (8.2)

El lector debe verificar que w es un seudogradiente de f en E∗ (véaseejercicio 8.1). Como el recubrimiento Uα;α ∈ A es localmente finito,las funciones vx son localmente constantes y las Φα son localmente Lips-chitzianas (véase lema 8.2), se tiene que w es localmente Lipschitziana.Si f es par, como f ′ es impar, entonces w(x)+w(−x)

2 es seudogradienteimpar de f .

8.4 El lema de deformación

Para enunciar el Lema de Deformación es preciso introducir el con-cepto de condición de Palais-Smale.

Definición 8.2. Decimos que una función f : E → R de clase C1 sa-tisface condición de Palais-Smale, o simplemente (P-S), si toda sucesiónunn∈N ⊂ E tal que f(un) es acotada y f ′(un)→ 0 tiene una subsuce-sión convergente.

Ejemplo 8.1.

a) Si f : Rn → R es de clase C1 y lım‖x‖→∞ f(x) = ∞, entonces fsatisface (P-S).

b) La función f : R→ R , definida por f(x) = ex es ejemplo de funciónde clase C∞ que no satisface la condición (P-S).

En lo sucesivo, para c ∈ R, y f : E → R, de clase C1 emplearemoslas siguientes notaciones:

K = x ∈ E; f ′(x) = 0, Kc = x ∈ E; f ′(x) = 0, f(x) = cfc = x ∈ E; f(x) ≤ c, f c = x ∈ E; f(x) ≥ c.

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ii

ii


Notamos que fc = f−1((−∞, c]) y f c = f−1([c,∞)) y K,Kc, fc, f c

son todos cerrados en E.

La demostración del teorema siguiente se sustenta en la existencia yunicidad de soluciones a problemas de valor inicial del tipo

η′(t, x) = f(η(t, x)); η(0, x) = x.

Cuando f continua y localmente Lipschitziana en la segunda variable,por el lema 8.1, existe intervalo maximal (t−(x), t+(x)) donde η( , x) estádefinida. A la función η(t, x) se llama el flujo definido por f (véase, porejemplo, [14]).

A menudo, emplearemos la siguiente notación: Si E es un espacio deBanach y W ⊂ E es compacto, y U es abierto de E tal que W ⊂ U , siδ > 0, existe vecindad de W de la forma:

Uδ = x ∈ E; dist(x,w) < δ.

El siguiente teorema, conocido como el lema de Deformación, se debea D. Clark [35]. Antes de la publicación de [35], otras formas del lemade deformación habían sido presentadas (véase [70]).

Teorema 8.1. [D. Clark]. Supongamos que f : E → R de clase C1,satisface (P-S). Si c ∈ R y U vecindad de Kc, existe d0 > 0, tal que si0 < d < d1 < d0 existe una función continua η : [0, 1] × E → E quesatisface

a) η(0, x) = x, para todo x ∈ E,

b) para todo t, η(t, x) = x si |f(x)− c| > d1,

c) para todo t, η(t, x) es un homeomorfismo de E sobre E,

d) f(η(t, x)) ≤ f(x) para todo (t, x) ∈ [0, 1]× E,

e) f(η(1, x)) ≤ c− d si f(x) ≤ c+ d y x /∈ U ,

f) si Kc = ∅ se puede tomar U = ∅, y

g) si f es impar, η es par en x.

ii


ii

ii


Demostración. Consideramos el caso Kc 6= ∅.

Como f satisface (P-S), toda sucesión xmm∈N tal que f(xm) = c yf ′(xm) = 0 tiene una subsucesión convergente. Luego Kc es compacto.En consecuencia, U contiene vecindad (abierta) de Kc ( existe ε > 0) dela forma

Uε = x ∈ E; d(x,Kc) < ε. (8.3)

Luego, basta demostrar el teorema reemplazando U por Uε.

Como f satisface (P-S) existen constantes b > 0, d1 ∈ (0, d0) talesque

‖f ′(x)‖ ≥ b, six ∈ fc+d1−(fc−d1 ∪U ε

2

)= f−1[c−d1, c+d1]−U ε

2. (8.4)

Además podemos suponer que:

d0 ≤ mın

b/4, b2/4,

bε

12

, (8.5)

Sean d y d1, tales que 0 < d < d1 ≤ d0. Definimos

g(x) =dist(x,A)

dist(x,A) + dist(x,B, (8.6)

donde

A = f−1((−∞, c− d1] ∪ (c+ d1,∞)) = (E− fc+d1) ∪ fc−d1 ,

B = f−1(((c− d, c+ d]) = fc+d − fc−d.

Fácilmente vemos que A ∩B = ∅, y que

0 ≤ g(x) ≤ 1, g(x) = 0 si x ∈ A; g(x) = 1 si x ∈ B. (8.7)

Además g es localmente Lipschitziana (véase ejercicio 8.2).

Veamos: g es par si f es par. Si f(x) = f(−x), tenemos que

x ∈ B = f−1(((c− d, c+ d]) = fc+d − fc−d= f−1((c− d, c+ d])⇔ c− d < f(x) ≤ c+ d

⇔c− d < f(−x) ≤ c+ d⇔ −x ∈ B ⇔ x ∈ −B,

ii


ii

ii


es decir, B = −B. Entonces

dist(x,B) = ınf‖x− z‖, z ∈ B = ınf‖ − x+ z‖, z ∈ B= ınf‖ − x− w‖, w ∈ −B = ınf‖ − x− w‖, w ∈ B= dist(−x,B).

De manera similar f(x) = f(−x) implica dist(x,A) = dist(−x,A),por consiguiente, g(x) = g(−x). Por el lema 8.3 sabemos que existew : E∗ → E que es seudogradiente de f y es localmente Lipschitziana. Ellema 8.3 implica que si f es para, entonces w puede suponerse impar. Seextiende w a todo E, al definir w(x) = 0 si f ′(x) = 0. Así lo suponemos.Por tanto, w extendido a todo E es un seudogradiente de f en E, sean hy V las funciones definidas por

h(s) =

1, si 0 ≤ s ≤ 1,1s si 1 ≤ s

V : E→ E,V (x) = −g(x)h

(‖w(x)‖

)w(x) x ∈ E.

Claramente ‖V (x)‖ ≤ 1 para todo x ∈ E y V es impar si f es par.

Sea η el flujo generado por V (véase lema 8.1), es decir, la soluciónal problema de valor inicial

dx

dt= V (x), x(0) = x0. (8.8)

Para cada x ∈ E∗ sean

α(t) = f(η(t, x)), β(t) = ‖η(t, x)− x‖. (8.9)

Demostremos que para cada x ∈ fc+d − Uε se tiene

t+(x) > 1 y α(t) < c− d. (8.10)

Es inmediato que las relaciones en (8.10) se tienen si x ∈ fc−d1 yaque en este caso f(x) ≤ c− d1. Esto implica g(x) = 0, luego V (x) = 0 y,

ii


ii

ii


por unicidad de soluciones a problemas de valor inicial, η(t, x) = x paratodo t ∈ [0, t+(x)). Luego f(η(1, x)) = f(x) ≤ c − d1 < c − d, lo queprueba que x ∈ fc−d. Es decir, α(1) = f(η(1, x)) = f(x) ≤ c− d.

Consideramos ahora el caso x ∈ D = fc+d−fc−d1−Uε. Por definiciónde seudogradiente tenemos:

α′(t) = (f ′(η(t, x)))(V (η(t, x)))

≤ −1

2‖f ′(η(t, x))‖‖V (η(t, x))‖.

(8.11)

Como V ≡ 0 en fc−d1 , para 0 ≤ t < t+(x) tenemos

0 ≤ α(0)− α(t) < d− d1 < 2d1. (8.12)

Sea T = mın(t+(x), ınft ∈ [0, t+(x)); η(t, x) ∈ U 1

2ε). Por (8.4),

(8.9) y (8.11) obtenemos:

α(0)− α(t) ≥ 1

2

∫ t

0‖f ′(η(s, x))‖‖V (η(s, x))‖ds

≥ 1

2b‖∫ t

0V (η(s, x)ds‖

≥ 1

2bβ(t).

Deducimos por (8.5) y (8.12) que β(t) < 13ε para si t ∈ [0, T ). Luego,

por la continuidad de η en t, T = t+(x) y η(t, x) /∈ U 12ε si x ∈ D y

t ∈ [0, t+(x)).

Demostramos ahora que t+(x) = ∞ si x ∈ D. Supongamos lo con-trario; sea x0 ∈ D tal que t+(x0) < ∞. Sea tj sucesión de númerosreales en [0, t+(x0)) tales que lımj→∞ tj = t+(x0), Como V es acotadaη(tj , x0) es una sucesión de Cauchy en E∗. Como, además, β(tj) <

ε3

el límite de tal sucesión está en E∗. Esto contradice el lema 8.1. Luego,para x ∈ D tenemos que t+(x) =∞, lo que demuestra la primera partede (8.10).

Para verificar la segunda desigualdad de (8.11) basta observar que de(8.4), (8.7) y (8.11) tenemos α′(t) ≤ −1

2 mınb, b2 si x ∈ D y η(t, x) /∈

ii


ii

ii


fc−d. Por tanto, por (8.5), α(1) < c−d para x ∈ D. Luego (8.10) ha sidodemostrada.

Como η es el flujo generado por V de la parte a) del lema 8.1 de estasección, deducimos la parte a) del teorema 8.1. De la definición de g, sededuce la parte b) del teorema. Como V es localmente Lipschitziana delteorema de unicidad de soluciones para la ecuación diferencial ordina-ria dφ(t,x)

dt = V (φ(t, x)) deducimos que η(t, ) es continua y uno a uno.Considerando −V en el papel de V , tenemos que si σ(t, x) es el flujogenerado por −V , entonces σ(t, η(t, x)) = x, esto demuestra la parte c)del teorema.

Como g y h son funciones no negativas y w es seudogradiente paraf(x), f(η(t, x)) es una función no creciente en t. Luego obtenemos d).La relación (8.10) implica la parte e) del teorema. Como g y w puedenescogerse impares si f es par, deducimos g). Las verificaciones de f) y elcaso Kc = ∅ son modificaciones de la parte demostrada y serán dejadascomo ejercicio (véase ejercicio 8.3. Con esto terminamos la demostracióndel teorema 8.1.

Nota 8.2. La condición de que f satisface (P-S) solo se usó en la de-mostración para ver que es válida la desigualdad 8.4. Esto sugiere quedado c puede imponerse para que f satisfaga: Si xn es sucesión, tal quef(xn)→ c y f ′(xn)→ 0 implique que xn posee subsucesión convergente.

Otra demostración se debe a D. Clark (véase [35]).

Para otra demostración exhaustiva, ver Castro A. Métodos variacio-nales y análisis funcional no lineal, Sociedad Colombiana de Matemáti-cas, Monografías Elementales, 1980 De esta monografía se tomaron lasideas para la presente demostración.

8.5 Ejercicios

Ejercicio 8.1. Demuestre que la función w definida en (8.2) es local-mente Lipschitziana y es un seudogradiente de f .

Ejercicio 8.2. Demuestre que la función g definida en (8.6) es local-

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ii

ii

8.6. PRINCIPIOS DE MINIMAX 145

mente Lipschitziana. Sugerencia: Use, que en todo espacio métrico

|dist(x, S)− dist(y, S)| ≤ dist(x, y)

para todo x, y en el espacio métrico y S subconjunto del mismo.

Ejercicio 8.3. Se propone demostrar el lema de deformación para elcaso Kc = ∅.

8.6 Principios de minimax

El siguiente teorema es una versión infinito-dimensional del teoremade Rolle. En [16] se encuentra una versión más general de este teoremaen dimensión finita. En el próximo capítulo se darán aplicaciones de losteoremas siguientes:

Teorema 8.2. (Pasamontaña) Sean E espacio de Banach y f : E → Runa función de clase C1 que satisface (P-S). Si existen x0, x1 ∈ E, r > 0tales que:

i) b = ınff(y) : ‖y − x0‖ = r > f(x1), y

ii) ‖x1 − x0‖ > r, f(x0) < b,

entonces f tiene un punto crítico de minimax.

Demostración. Sea Σ = σ ∈ C([0, 1];E), σ(0) = x0, σ(1) = x1.Como para cada σ ∈ Σ, σ([0, 1]) es conjunto compacto, f toma un valormáximo en σ([0, 1]). Definimos

c = ınfσ∈Σ

maxt∈[0,1]

f(σ(t)). (8.13)

De i) y ii) tenemosc ≥ b > f(x1). (8.14)

Afirmamos que existe x ∈ E tal que f(x) = c, y f ′(x) = 0. En casocontrario, por el teorema 8.1, podemos encontrar números d1 > d > d0

ii


ii

ii


y una función η : [0, 1]× E→ E tales que: d1 < mın(

(b−f(x0)2 , (b−f(x1)

2

),

η(0, x) = x, η(1, fc+d) ⊂ fc−d, y η(t, x) = x si x ∈ fc−d1 .

En (8.13) vemos que se puede hallar σ ∈ C tal que maxf(σ(t)) : t ∈[0, 1] < c+ d. De (8.14) y las propiedades de d1, obtenemos

f(σ(0)) = f(x0) < fc−d1 y f(σ(1)) = f(x1) < c− d1.

Luego

η(t, x0) = x0, y η(t, x1) = x1 para todo t ∈ [0, 1]. (8.15)

De (8.15) deducimos que, si σ : [0, 1] → E es dada por σ(t) =η(1, σ(t)), entonces σ ∈ C. Como σ([0, 1]) ⊂ fc+d, f(σ(t)) = f(η(1, σ(t)) ≤c− d para todo t ∈ [0, 1]. Luego maxf(σ(t)); 0 ≤ t ≤ 1 ≤ c− d, estocontradice (8.13). Esta contradicción comprueba que existe x ∈ E talque f(x) = c y f ′(x) = 0. El teorema está demostrado.

Para el siguiente teorema necesitamos fijar algunas notaciones: Edenotará espacio de Banach, X,Y subespacios vectoriales cerrados de E,tales que

dim(X) <∞, E = X ⊕ Y,

BX(r) = x ∈ X; ‖x‖ ≤ r, y BY (r) = y ∈ Y ; ‖y‖ ≤ r.

SX(r) = x ∈ X; ‖x‖ = r SY (r) = y ∈ Y ; ‖y‖ = r.

Teorema 8.3. (Punto de silla) Sea f : E→ R función de clase C1 quesatisface (P-S).

Si existen r1 > 0 y r2 > 0 tales que

i)

a1 ≡ ınff(y); y ∈ Y, ‖y‖ = r2 > b1

≡ supf(x);x ∈ X, ‖x‖ ≤ r1, y

ii)

a2 ≡ supf(x);x ∈ X, ‖x‖ = r1 < b2

≡ ınff(y); y ∈ Y, y ∈ BY (r2).

ii


ii

ii

8.6. PRINCIPIOS DE MINIMAX 147

Entonces f tiene un punto crítico de minimax.

Demostración. Sea Σ = σ : BX(r1)→ E = X⊕Y donde: a) σ es conti-nua, y σ(x) = (σ(x), σ2(x)); b) existe una función continuah : [0, 1] × BX(r1) → E − SY (r) tal que h(t, x) = x si ‖x‖ = r1,h(0, x) = x y h(1, x) = σ(x). Claramente Σ es familia no vacía. Ob-servamos primero que si σ ∈ Σ, entonces existe x0 ∈ BX(r1) tal queσ(x0) ∈ Y y ‖σ(x0)‖ < r2, En efecto, sea h : [0, 1] × BX(r1) → E quesatisface b). Consideramos la función h1 : [0, 1] × BX(r1) → X × R+,definida por:

h1(t, x) = (P (h(t, x)), ‖Q(h(t, x))‖),

donde P denota la proyección sobre X a lo largo de Y y Q la proyecciónsobre Y a lo largo de X. De la definición de h vemos que h1 toma valoresen X × R+ − (0, r2). Como h1 restringida a

S =(BX(r1)× [0, 1]

)∪(x ∈ X; ‖x‖ = r1 × [0, 1]

)admite una extensión a BX(r1) × [0, 1] en X × (0, r2), tenemos queh1 restringido a S es homotópicamente trivial, lo cual sería imposible si(h1(BX(r1) × 1

)∩(0 × [0, r2)

)= ∅. Luego existe x0 ∈ BX(r1) tal

que σ(x0) ∈ Y y ‖σ(x0)‖ < r2.

Consideramosc = ınf

σ∈Σmax

x∈BX(r1)f(σ(x)).

De la observación anterior se deduce que para cada σ ∈ Σ es maxf(σ(x));x ∈ BX(r1) ≥ b2, luego c ≥ b2 > −∞. De la definición de b1 concluimosque a1 > b1 ≥ c ≥ b2 > −∞.

Supongamos que c no fuera valor crítico. Sea d0 > 0 como en elenunciado del teorema 8.1, sea 0 < d < d1 < d0 tal que a1 > b1 + d ya2 + d < b2, y, sea η : [0, 1] × E → E como en en el teorema 8.1. Por ladefinición de c existe σ0 ∈ Σ tal que maxf(σ0(x));x ∈ BX(r1) < c+d.

Veamos que si:

σ1(x) = η(1, σ(x)), para x ∈ BX(r1), (8.16)

entonces σ1 ∈ Σ.

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ii

ii


Si ‖x‖ = r1 tenemos f(x) ≤ a2 < c − d < c − d1 luego, por laparte b) del teorema 8.1, η(t, x) = x para todo t ∈ [0, 1]. Notemosque η([0, 1] × BX(r1)) ⊂ E − y ∈ Y ; ‖y‖ = r2. Si para alguna pa-reja (t, x), η(t, σ(x)) ∈ Y y ‖η(t, x)‖ = r2, entonces de i) tenemos quef(η(t, σ(x))) > c+d1. Luego, por parte d) del teorema 8.1 f(η(0, σ(x)) =f(σ(x)) > c+d1. Esto último contradice que maxf(σ(x));x ∈ BX(r1) <c+ d, por tanto, concluimos que σ ∈ Σ.

Como σ(BX(r1)) ⊂ fc+d se tiene

σ1(BX(r1)) = η(1, σ(BX(r1))) ⊂ fc−d,

se contradice la definición de c. Esta contradicción implica que c es unvalor crítico y así el teorema queda demostrado.

Nota 8.3. El teorema 8.3 es una adaptación del teorema dado en [64].En este puede hallarse un resultado bajo hipótesis similares a i) y ii) delteorema 8.3.

Teorema 8.4. Sean E espacio de Banach real y separable, y f : E→ Runa función de clase C1 que satisface (P-S). Si f es acotada inferior-mente, entonces f tiene un punto de mínimo.

Demostración. Sea c = ınff(y); y ∈ Y >∞. Si no existe y ∈ Y tal quec = f(y), por el teorema 8.1, existirían η : [0, 1]×E→ E continua y d > ctales que η(1, fc−d ⊂ fc−d, pero esto es una contradicción a la definiciónde c ya que fc+d 6= ∅ y fc−d = ∅. El teorema está demostrado.

8.7 Aplicaciones de los principios de minimax

Recordemos que si E y F son espacios de Banach y K : E → F esun operador, no necesariamente lineal, decimos que K es un operadorcompacto si toda sucesión K(un) tal que un sea acotada, posee unasubsucesión convergente.

En esta sección damos aplicaciones al problema de existencia de so-luciones débiles al Problema de Dirichlet planteado en el capítulo. Cons-tituye un buen trabajo imitar lo que se hará en este capítulo para losdemás problemas planteados en los capítulos 7 y 8. Antes de iniciar estas

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ii

8.7. APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE MINIMAX 149

aplicaciones es necesario que el lector recuerde los teoremas OperadoresCompactos y el Lema de Rellich, estudiados en el capitulo 7 (ver seccio-nes 7.2 y 7.4). Sin embargo, los enunciaremos de nuevo en este capítulo,dada su importancia; igualmente haremos la demostración detallada dela desigualdad de Poincaré. Para mayor información sobre operadorescompactos, véase [38]. Recuérdese que si E es separable, es decir, si po-see un subconjunto denso enumerable, todo operador lineal compacto deE en E es continuo.

A continuación demostraremos la existencia de soluciones débiles delproblema de Dirichlet (7.9). Para simplificar notaciones, suponemos queg es de la forma g(x, u) = f(u) − p(x), donde f : R → R es continua yp ∈ L2(Ω). Estudiaremos la ecuación (7.9) bajo las siguientes hipótesispara f :

A) lım|u|→∞

sup(f(u)

u

)< λ1.

B) Existe un entero positivo N tal que

λN < mın

lım

u→−∞

f(u)

u, lımu→∞

f(u)

u

≤ max

lım

u→−∞

f(u)

u, lımu→∞

f(u)

u

< λN+1,

C) lım|u|→∞f(u)u = λN y

D) f(0) = 0, lımu→0f(u)u < λ1, y existen α > 0 y β > 1 tales que

lım|u|→∞

f(u)

uβ= α.

El resultado que a continuación enunciamos se demostró originalmen-te por Nyemitsky y lo usaremos a menudo en esta sección.

Lema 8.4 (Nyemitsky). Sea g : Ω×R→ R, g(x, u una función medibleen x para u fijo y continua en u para x fijo. Si existen números realesa, b tales que |g(x, u)| ≤ a|u|

pq + b, entonces la función u(x)→ g(x, u(x))

es una función continua con dominio todo Lp(Ω) y rango en Lq(Ω).N : Lp(Ω)→ Lq(Ω). Donde:

N(u)(x) = g(x, u(x)) ∈ R, para u ∈ Lp(Ω), x ∈ Ω.

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ii


Demostración. Véase [65].

Notaciones (∗): Usaremos las siguientes notaciones:

Con Ω denotamos región acotada en Rn, con frontera suave.

Con ‖.‖1 denotaremos la norma en H10 (Ω), ya dada en (7.58). Con

‖|.‖ denotamos la norma usual en L2(Ω). Todas las integrales cuando nose especifique serán sobre Ω.

El siguiente teorema es una aplicación directa del teorema 8.4

Teorema 8.5. Si la hipótesis A) es válida, n ≥ 2, existen reales a, b y stales que 1 ≤ s < n+2

n−2 y

|f(u)| ≤ a|u|s + b,

entonces (7.9) tiene por lo menos una solución débil.

Demostración. Primero vemos que J es un funcional de clase C1. Como

〈∇J(u), v〉1 = 〈u, v〉1 + 〈f(u), v〉1 +

∫pv, u, v ∈ H1

0 (Ω) (8.17)

(véase notaciones (∗) anteriores) donde f(u) es el único elemento deH1

0 (Ω) tal que:

〈f(u), v〉1 = −∫

Ωf(u)vdx, u, v ∈ H1

0 (Ω), (8.18)

de (8.17) vemos que es suficiente comprobar que f es un operador conti-nuo. Supongamos que uk → u en H1

0 (Ω), por el Teorema de Rellich 7.2uk → u en Ls(Ω). Luego, por el lema 8.4 (de Nyemitsky) de este capítu-lo, f(uk)→ f(u) en L 2n

n+2(Ω). De (8.18) tenemos, por la desigualdad de

Hölder, la deducción ∫Ω

(f(uk)− f(u)

)dx→ 0. (8.19)

Luego J es de clase C1 y, en particular, f es continua. Como elteorema 7.2 (Rellich) también dice que la inclusión de H1

0 (Ω) en Ls(Ω)

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ii

ii


es compacta, una pequeña adaptación del argumento anterior demuestraque f es además un operador compacto.

En segundo término vemos que J está acotado inferiormente.

Como lım sup f(s)s ≤ λ1 existe M > 0 tal que si |s| ≥ m, entonces

f(s)s ≤

λ1+γ2 . En consecuencia, para u ≥ 0

F (u) ≡∫ u

0f(s)ds ≤ (λ1 + γ)u2

4− (λ1+)M2

4(8.20)

−(∫ M

0

(λ1 + γ)s

2−∫ M

0f(s)ds

)≡ (λ1 + γ)u2

4+K1.

De manera similar se obtiene una expresión para u ≤ 0. Resumiendoestas dos expresiones obtenemos la existencia de K ∈ R tal que

F (u) ≤ (λ1 + γ)u2

4+K u ∈ R. (8.21)

Luego

J(u) ≥ ‖u‖21 −Kmed(Ω)− (λ1 + γ

4)

∫u2 − ‖p‖0‖u‖0.

Aplicando (7.66) en la última desigualdad, se tiene

J(u) ≥ (1− λ1 + γ

2λ1)‖u‖21

2−Kmed(Ω)− ‖p‖0‖u‖1/

√λ1. (8.22)

La relación (8.22) comprueba que J está acotado inferiormente.

Demostraremos ahora que J satisface (P-S). Sea Um ⊂ H10 (Ω) tal

que J(Um) está acotado y ∇J(Um)→ 0. De (8.22) tenemos que Umestá acotada. Como f es compacta (véase el párrafo que sigue a (8.19)),existe una subsucesión Umj tal que f(Umj ) es convergente. De (8.18)tenemos

∇J(Umj ) = Umj + f(Umj + p→ 0,

donde 〈p, v〉1 =∫

Ω pvdx para todo v ∈ H10 (Ω), entonces Umj converge.

ii


ii

ii


Luego J satisface (P-S), como además J es de clase C1 y está acotadoinferiormente, el teorema 8.4 implica que J tiene un punto crítico. Luegola ecuación (7.9) tiene por lo menos una solución débil, con lo cual elteorema 8.5 queda demostrado.

Nota 8.4. Si f satisface también

(f(u)− f(v))

u− v< λ1,

entonces (7.9) tiene una única solución.

Teorema 8.6. Si f satisface la condición B) anterior, entonces la ecua-ción (7.9) tiene por lo menos una solución débil.

Demostración. Denotamos lımu→∞f(u)u = f ′(∞) y con

lımu→−∞

f(u)

u= f ′(−∞),

y por simplicidad suponemos que f ′(−∞) ≤ f ′(∞). Observamos primeroque la hipótesis B) implica que J es de clase C1. De acuerdo al lemade Nyemitsky (8.4) basta demostrar que f satisface una condición decrecimiento de la forma |f(u)| ≤ a|u|+b; un cálculo elemental demuestra;que esto se tiene con

a = 2f ′(∞) y b = max|f(u)|; |u| ≤M para algún M.

Demostramos ahora que J satisface (P-S). Sea X el subespacio deH1

0 (Ω) generado por ϕ1, . . . , ϕN,(véase teorema 7.1 y el subespaciocerrado de H1

0 (Ω) y generado por ϕN+1, . . .. Supongamos pues, queuk ⊂ H1

0 (Ω) es tal que J(uk) es acotada y ∇J(uk)→ 0. Denotamospor xk la proyección ortogonal de uk sobre X y por yk la proyecciónortogonal de uk sobre y, claramente uk = xk + yk, como ‖xk − yk‖1 =‖xk + yk‖1 tenemos ⟨

∇J(uk),(xk − yk)‖xk + yk‖2

⟩1

→ 0, (8.23)

de (7.10)⟨∇J(uk),

xk − yk‖xk + yk‖1

⟩1

=

(1

‖xk + yk‖1

)(∫(∇(xk + yk),∇(xk − yk)

)−∫

(f(xk + yk)(xk − yk)− p(xk − yk)).

ii


ii

ii


Sea f1 : R → R definido así: f1(u) = f ′(∞)u si u ≥ 0 y f1(u) =

f ′(−∞)u si u < 0. Luego f1(u)−f(u)u → 0 cuando |u| → ∞, lo cual a su

vez implica que existe M1 > 0 tal que∣∣∣∣ 1

‖xk + yk‖2

∫(f(xk + yk)− f1(xk + yk))(xk − yk)

∣∣∣∣ ≤M1. (8.24)

También se tiene∫(f1(xk + yk)(xk − yk) =

∫f ′(−∞)(x2

k − y2k)

+

∫Ω′

(f ′(∞)− f ′(−∞)(x2k − y2

k), (8.25)

dondeΩ′ = ξ ∈ Ω; (xk + yk)(ξ) ≥ 0.

De (8.25) obtenemos∫(f1(xk + yk))(xk − yk) ≥ f ′(−∞)

∫x2k − f ′(∞)

∫y2k. (8.26)

Reemplazando (8.24), (8.25) y (8.26), en (7.10) tenemos⟨∇J(uk),

xk − yk‖xk + yk‖21

⟩1

≤(‖xk‖21 − ‖yk‖21‖xk + yk‖21

)+M1

+−f ′(−∞)

∫xk

2 + f ′(∞)∫y2k

‖xk + yk‖21

+‖p‖0 · ‖xk + yk‖0‖xk + yk‖21

(8.27)

≤

((1− f ′(−∞)

λN

)‖xk‖21 +

(f ′(∞)

λN+1− 1

)‖yk‖21

+ ‖p‖0 · ‖xk + yk‖

)1

‖xk + yk‖21+M1, (8.28)

como xk y yk están en subespacios mutuamente ortogonales

‖xk + yk‖21 = ‖xk‖21 + ‖yk‖21.

ii


ii

ii


También, la hipótesis B) implica que(

1− f ′(−∞)λn

)< 0 y(

f ′(∞)λN+1

− 1)< 0. Luego por (8.28) vemos que existe C < 0 tal que⟨

∇J(uk),(xk − yk)‖xk − yk‖21

⟩1

≤ C +‖p‖0‖xk + yk‖0‖xk + yk‖21

+M1. (8.29)

Comparando (8.23) con (8.29) vemos que uk es sucesión acotada enH1

0 (Ω). Por consiguiente, el Teorema de Rellich y el lema de Nyemitsky8.4 y el hecho de que |f(u)| ≤ 2f ′(∞)|u| + b, tenemos que existe unasubsucesión ukj tal que f(uk) converge (véase teorema 8.5).

Como ∇J(ukj ) = ukj + f(ukj ) + p→ 0 (véase (8.17)) tenemos clara-mente que ukj converge, luego J satisface (P-S).

Como f’(∞) < λN + 1 y f’(−∞)<λN + 1 existen γ < λN + 1 yC ∈ R tales que f(u) ≤ γ(u + c). Luego existen γ′ y C ′ ∈ R tales que

F (u) ≤ γ′(u)2

2+c′ y γ′ < λ(N + 1). Así pues, para y ∈ y

J(y) ≥ (1

2)(‖y‖21 − γ′

∫y2))− C ′(medida(Ω))

12 + ‖p‖0‖y‖0 (8.30)

≥ 1

2

(1− γ′

λN+1

)‖y‖21 −

(C ′(medida(Ω))

12 + ‖p‖0

)‖y‖0√λ1.

En forma análoga, usando que f ′(∞) > λN y f ′(−∞) > λN , se puedever que existen γ > λN y C ′′ ∈ R tales que si x ∈ X

J(x) ≤ 1

2

(1− γ

λN

)‖x‖21 +

(C ′′(medida(Ω))

12 + ‖p‖0)

) ‖y‖√λ1. (8.31)

De (8.30) y (8.31) vemos que existen r1 > 0 y r2 > 0 que satisfacenlas hipótesis del teorema 8.3. Como además J satisface (P-S), por elteorema 8.3 notamos que J tiene un punto critico, luego (7.9) tiene unasolución débil y el teorema queda demostrado.

Nota 8.5. Si además de B) f cumple λN < (f(u)−f(v))(u−v) < λN+1 para

todo u, v ∈ R, u 6= v, entonces (7.9) tiene una única solución débil.

El siguiente teorema se debe a Ahmad, Lazer y Paul [4], aquí lodemostraremos como una aplicación del teorema 8.3.

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ii

ii


Cuando la función f satisface la condición C), se dice que f resuenacon el valor propio λN .

Teorema 8.7. Supongamos que f(u) = λN + h(u), siendo h funcióncontinua y acotada. Si∫ (

H(φ(ξ))− p(ξ)φ(ξ))dξ → ±∞ (8.32)

cuando |φ|1 → ∞, φ ∈ M , entonces (7.6) tiene solución débil. Por Hdenotamos la función H(u) =

∫ u0 h(s)ds y por M , el subespacio lineal de

las soluciones débiles de

∆u+ λNu = 0 ∈ Ω, u(x) = 0 x ∈ ∂Ω.

Demostración. Como lım(f(u)u

)= λN , cuando ‖u‖ → ∞, se ve fácilmen-

te que J es de clase C1. La demostración de que J satisface (P-S), siguelos mismos lineamientos de la demostración dada por el teorema anterior,por ello la dejamos como ejercicio para el lector. Sea K la multiplicidaddel valor propio λN , es decir, sea λN−1 < λN = λN+1 = · · · = λN+k−1 <λN+k, luego dim(M) = k. Suponemos que

∫(H(φ(ξ))−p(ξ)φ(ξ)dξ →∞

cuando ‖φ‖ → ∞, φ ∈ M . El caso∫

(H(φ(ξ)) − p(ξ)φ(ξ)dξ → −∞ seresuelve de manera análoga.

Sea X el subespacio generado por φ1, . . . , φN+k−1 y el subespaciocerrado de H1

0 (Ω) generado por φN+k, φN+k+1, . . .. Vemos primero queJ(y) → ∞ y que J(y) está acotado inferiormente, y ∈ Y . Como −h esacotado, podemos hallar C > 0 tal que ‖H(u)‖ ≤ ‖C(u)‖. Luego tenemos

J(y) ≥ ‖y‖21

2− λN

∫y2

2−∫H(y)− ‖p‖0‖y‖1√

λN+k

(8.33)

≥ (1

2)(1− λN

λN+k

)‖y‖21 −

C‖y‖1√λN+k

−(‖p‖0‖y‖1√

λN+k

);

en las dos relaciones anteriores se ha usado (7.66). Como 1− λNλN+k

> 0,de (8.33) notamos que, para y ∈ Y J(y) → ∞ cuando ‖y‖1 → ∞ y Jestá acotado inferiormente en Y .

Vemos ahora que J(x) → −∞ cuando ‖x‖1 → ∞, x ∈ X. Cadaelemento x ∈ X lo escribimos en la forma x = x1 + x2, con x1 en el

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ii

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subespacio generado por φ1, . . . , φN−1 y x2 ∈M . Luego obtenemos

J(x) = J(x1 + x2)− 1

2‖x1‖21 + ‖x2‖21 − λN

∫(x1)2

2

− λN∫

(x2)2

2−∫

(H(x1 + x2)− p(x1 + x2)).

Como x2 ∈M tenemos ‖x2‖21 = λN∫x2

2. Esto y la anterior desigual-dad implican que

J(x) ≤1

2

(1− λN

λN+1

)‖x1‖21 +

‖f‖0‖x1‖1√λN−1

(8.34)

−∫

((H(x1 + x2)(ξ))− p(ξ)x2(ξ)) dξ.

Del teorema fundamental del cálculo obtenemos

H((x1 + x2)(ξ)) = H(x1(ξ)) +

(∫ 1

0h(x1(ξ) + sx2(ξ)) ds

)x2(ξ).

Como h es acotada de (8.34) se tiene como resultado

J(x) ≤ 1

2

(1− λN

λN−1

)‖x1‖21 +

‖p‖0‖x‖1√λN−1

+ C(medida(Ω))12‖x1‖1√λ1−∫

(H(x2(ξ))− p2(ξ)x2(ξ)) dξ.

Dado que (1− λNλN−1

) < 0 y, por hipótesis,∫(H(x2(ξ))− p(ξ)x2(ξ))dξ →∞ cuando ‖x2‖1 →∞,

tenemos que J(x)→ −∞ cuando ‖x‖1 →∞, x ∈ X, esto y (8.33) impli-can que podemos encontrar r1 > 0 y r2 > 0 que satisfacen la hipótesisdel teorema 8.3. Luego J posee un punto critico, lo cual demuestra elteorema.

La condición (8.32) se conoce como la condición de tipo Landesman-Lazer. Esta terminología proviene del hecho de que E.M Landesmann

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ii

ii


y A.C.Lazer fueron los primeros en considerar, en [49], el problema 7.9bajo la condición C). Vimos en el teorema anterior que (8.32) es suficientepara la solubilidad de (7.9); puede verse que una condición ligeramentemás fuerte es necesaria (véase [49], sección 7).

Teorema 8.8. Supongamos que existen números reales a, b y s tales que1 ≤ s < n+2

n−2 , para n ≥ 2, y ‖f(u)‖ ≤ a‖u‖s+b. Si p(x) ≡ 0 y f satisfacela hipótesis D), entonces (7.9) tiene una solución débil u0 6= 0.

Con el objeto de poner de manifiesto el papel jugado por cada partede la hipótesis del teorema 8.8, hacemos la demostración de este a travésde una serie de tres lemas.

Lema 8.5. Sea p = 0. si f(u)u → α cuando u→ 0, α ∈ R, α < 1 y existen

s, a y b números reales tales que 1 ≤ s < n+2n−2 y ‖f(u)‖ ≤ a‖u‖s + b,

entonces existen δ > 0 y n > 0 tales que J(u) > n para ‖u‖1 = δ.

Demostración. Con el objeto de simplificar notaciones, suponemos queα > 0. Sea ε > 0 tal que a+ ε < λ1. Sea M > 0 tal que ‖f(x)− αx‖ <ε‖x‖ si ‖x‖ ≤M . Sea u ∈ H1

0 (Ω).∫F (u) =

∫‖u‖≤M

F (u) +

∫‖u‖>M

F (u)

≤∫‖u‖≤M

(∫ 1

0‖f(pu(ξ))‖dp

)u(ξ)dξ +

∫‖u‖>M

F (u)

≤∫‖u‖≤M

((a+ ε)u2(ξ)

2

)dξ +

∫‖u‖>M

F (u).

Luego de (7.66) tenemos∫F (u) ≤

((a+ ε)‖u‖212λ1

)+

∫‖u‖>M

F (u). (8.35)

Como ‖f(u)‖ ≤ a‖u‖s + b, existen numeros reales a1 y a2 tales que‖f(u)‖ ≤ a1‖u‖s+1 + b1. Luego para ‖x‖ ≥ M la función F (x)

‖x‖s+1 es aco-

tada. Así que existe a2 tal que para ‖x‖ ≥M ,∣∣∣ F (x)‖x‖s+1

∣∣∣ ≤ a2, obviamentepodemos suponer que s+ 1 > 2. Luego de (8.35) obtenemos∫

F (u) ≤ (a+ ε)‖u‖212λ1

+

∫a2|u(ξ)|s+1 dξ. (8.36)

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ii

ii


Como s < n+2n−2 , entonces s + 1 < 2n

n−2 . Así pues, por el teorema 2de este capítulo existe c > 0 tal que

∫|u|s+1 ≤ C‖u‖s+1

1 . Reemplazandoesta última relación en (8.36) observamos que

∫F (u) ≤ (a+ ε)‖u‖21

2λ1+ a2C‖u‖s+1

1 . (8.37)

En consecuencia

J(u) ≥ ‖u‖21

2−∫F (u)

≥ 1

2

(1− a+ ε

λ1

)‖u‖21 − a2C‖u‖s+1

1 . (8.38)

Como s+ 1 > 2 tenemos que existe δ > 0 tal que δs−1 < (12)

(1−a+ελ1

)

a2C.

Luego poniendo η ≡ δ2(

12 −

a+ελ1− a2Cδ

s−1), por (8.38), vemos que

J(u) ≥ η > 0 si ‖u‖1 = δ. Así hemos demostrado el lema 8.5.

Lema 8.6. Sean a, b y s como en el lema anterior. Si existen α > 0 yβ > 1 tales que

lım|x|→∞

f(x)

xβ= α,

entonces J satisface (P-S).

Demostración. Sea ε > 0 tal que

0 <α+ ε

(β + 1)(α− ε)<

1

2y 0 <

α− ε(β + 1)(α+ ε)

<1

2.

Sea M ≥ 0 tal que si |x| ≥M

(α− ε)xβ ≤ f(x) ≤ α+ ε)xβ. (8.39)

ii


ii

ii


Luego para x ≥M tenemos

F (x) =

∫ x

0f(t)dt ≤

∫ M

0f(t)dt+

∫ x

M(α+ ε)tβdt (8.40)

≤∫ M

0f(t)dt+

∫ x

0(α+ 1)tβdt

= F (M) +(α+ 1)xβ+1

β + 1

≤ F (M) +(α+ ε)f(x)x

(α− ε)(β + 1). (8.41)

En forma análoga obtenemos que si x < −M

F (x) ≤ F (M) +(α− ε)f(x)x

(α+ ε)(β + 1). (8.42)

De (8.41) y (8.42), y el hecho que F es continua, obtenemos queexisten números reales θ y γ tales que 0 < θ < 1

2 y

F (x) ≤ θf(x)x+ γ, para todo x ∈ R. (8.43)

Sea un sucesión en H10 (Ω) tal que

J(un) es acotada y ∇J(un)→ 0.

Luego existe M ∈ R tal que∣∣〈∇J(un), un〉1∣∣ ≤M‖un‖1. (8.44)

Sea d ∈ R una cota superior para J(un). Luego usando (8.43)tenemos

d ≥ J(un) =‖un‖21

2−∫F (un) +

∫pun (8.45)

≥ ‖un‖21

2− θ

∫f(un)un −

‖p‖0‖un‖1√λ1

+ γ(med(Ω)).

De (8.44) obtenemos

θM‖un‖1 ≥ θ∫f(un)un − θ‖un‖21 −

θ‖p‖0‖un‖21√λ1

. (8.46)

ii


ii

ii


Sumando (8.45) y (8.46) resulta que existe c ∈ R, independiente den tal que

d+ c‖un‖ ≥(1

2− θ)‖un‖2 + γmed(Ω).

Esta última desigualdad implica que un es una sucesión acotadapues θ ∈ (0, 1

2). Como ∇J(un)0un + f(un) + p → 0 y f es compacta,f(un) tiene una subsucesión convergente, luego unj converge. Conesto completamos la demostración del lema 8.6.

Nota 8.6. El lector debe observar que la demostración del lema 8.7 puedeefectuarse suponiendo que f satisface (8.79) la cual es una condición másdébil que lım|x|→∞

f(x)xβ

= α.

Lema 8.7. Supongamos que existen a,b y s son números reales que sa-tisfacen las condiciones del lema 8.6. Si f(x)

x → ∞ cuando x → ∞,entonces existe u1 ∈ H0

1 (Ω) tal que J(u1) ≤ J(0) = 0.

Demostración. Como f(x)x → ∞ existe γ ∈ R tal que f(x) ≥ 2λ1x + γ.

Luego existen números reales c y d tales que c > λ1,F (x) ≥ cx + d. Enconsecuencia

J(λϕ1) =λ1λ

2

2−∫F (λϕ1) +

∫pλϕ1

≤ λ1λ2

2− cλ2 − d(medida(Ω)) + λ‖p‖0. (8.47)

En la deducción de la anterior desigualdad hemos usado el hecho deque ϕ1 es una función no negativa. Como c > λ1 de (8.47) resulta queJ(λϕ1) → −∞ cuando λ → ∞, de lo cual es claro que existe u1 = λϕ1

tal que J(u1) ≤ J(0) = 0. Así queda demostrado el lema 8.7.

Ahora demostraremos el teorema 8.8.

Demostración. Como las hipótesis del teorema 8.8 implican las de lostres lemas precedentes, J satisface las tesis de estos tres lemas. Así pues,por el teorema 8.2, J tiene un punto crítico u 6= 0. Luego (7.9) tiene unasolución débil u 6= 0 por tanto, el teorema 8.8 está demostrado.

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ii

ii

8.8. LA VARIEDAD DE NEHARI 161

Recomendamos al lector demostrar el teorema 8.8 reemplazando lacondición p = 0 por ‖p‖0 suficientemente pequeña. Para mayor informa-ción sobre aplicaciones de principios de minimax a ecuaciones en deriva-das parciales sugerimos los siguientes trabajos [8, 10, 15, 26, 27, 27, 32,43, 53, 62, 27, 71]

8.8 La variedad de Nehari

Observando que toda solución no nula de

∆u+ g(x, u) = 0, x ∈ Ω; u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (8.48)

está en

N = u ∈ H10 (Ω)− 0;

∫Ω

(∇u · ∇u− g(x, u)u)dx = 0, (8.49)

cuando, por ejemplo, g(x, u) = u|u|α para u ≥ 0, g(x, u) = u|u|β parau ≤ 0 y α, β ∈ (1, 4/(N−2)) se puede demostrar que (8.48) tiene tres so-luciones distintas de cero. Estas soluciones se pueden obtener utilizandola geometría de N .

ε

P

Q

N+

N-

ε

Figura 8.1. Variedad de Nehari.

Resulta que N , la variedad de Nehari, es radialmente difeomorfaa la esfera unidad en H1

0 (Ω) y el conjunto

E = u ∈ N ;u+ ∈ N , u− ∈ N, (8.50)

hace las veces de ecuador en el sentido de que N − E tiene exactamentedos componentes conexas, N+ y N− (ver [22] y [23]). La componente

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ii

ii


conexa N+ contiene a todas las funciones positivas de N mientras quelas funciones negativas de N están en N−. El minimizante del funcional

J(u) =

∫Ω

(‖∇u‖2

2−G(x, u)

)dx, (8.51)

en N+ resulta ser una solución positiva de (8.48) mientras que el mi-nizante de J en N− es una solución negativa del mismo. Aún más sor-prendente es que J tiene un punto de mínimo en E que resulta ser unasolución de (8.48) que cambia de signo exactamente una vez. Su carácterminimizante da lugar a muchas propiedades que han sido ampliamenteestudiadas en los últimos años (ver [58]). Combinando estas ideas conlos métodos de reducción del capítulo anterior, se puede demostrar, porejemplo, que si (∂g/∂u)(x, 0) < λ1, lım|u|→∞(∂g/∂u)(x, u) ∈ (λk, λk+ε),u(∂2g/∂u2)(x, u) > 0 para todo x ∈ Ω, u ∈ R−0 y k ≥ 3, entonces elproblema (8.48) tiene por lo menos siete soluciones (ver [24]).

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ii

APÉNDICE A

Funciones de Green

Sea I = [a, b], −∞ < a < b < ∞, p, q, w : I → R, p, q ∈ C(I),p ∈ C1(I) y m1,m2,m3,m4 ∈ R tales que m2

1 +m22 > 0 y m2

3 +m24 > 0.

Suponemos, que p es diferenciable y positiva en I. Sea L el operadordado por

L(x) = [(p(t)x′(t))′ + q(t)x(t)]1

w(t). (A.1)

definido en el conjunto de funciones de clase C2. Denotamos por L a larestricción de L al conjunto de funciones que satisfacen la condición defrontera

m1x(a) +m2x′(a) = 0 m3x(b) +m4x

′(b) = 0 (A.2)

El propósito de esta sección es construir el inverso del operador L através de un operador integral conocido como la función de Green deloperador L.

Lema A.1. Si 0 no es un valor propio de L, L(z) = L(y) = 0 ∈ I,m1y(a) + m2y

′(a) = 0 y m3z(b) + m4z′(b) = 0, y2(a) + (y′(a))2 > 0 y

z2(b) + (z′(b))2 > 0 entonces z e y son linealmente independientes.

163

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164 APÉNDICE A. FUNCIONES DE GREEN

Demostración. Suponiendo que y, z son linealmente dependientes, existeλ ∈ R− 0 tal que y = λz. Luego

m3y(b) +m4y′(b) = λm3z(b) + λm4z

′(b) = 0. (A.3)

Por tanto L(y) = 0, es decir y es una función propia para el valor propioλ = 0. Como esto contradice la hipótesis, el lema queda probado.

Sean y, z : I → R tales que L(y) = L(z) = 0 en I,m1y(a)+m2y′(a) =

0 y m3z(b) + m4z′(b) = 0, y2(a) + (y′(a))2 > 0 y z2(b) + (z′(b))2 >

0. Luego y, z son linealmente independientes. Reemplazando en (A.1)tenemos que p(t)(y(t)z′(t) − y′(t)z(t))′ = 0 en I. Sea A ∈ R tal quep(t)(y(t)z′(t)− y′(t)z(t)) = A para todo t ∈ I. Nótese que A 6= 0 por laindependencia lineal de y y z.

Teorema A.1. Si 0 no es un valor propio de L0

G(t, s) =

y(t)z(s)

A si t ≤ sz(t)y(s)

A si t ≥ s

y f ∈ C(I), entonces L(x) = f si y solo si

x(t) =

∫ b

aG(t, s)f(s)ds. (A.4)

Demostración. Fácilmente se verifican las siguientes propiedades:

1. G : I × I → R es continua y G es de clase C2 en

I × I − (t, t); t ∈ I.

2. G es simétrica, es decir, G(s, t) = G(t, s) para todo (s, t) ∈ I×I.

3. Para s ∈ I fijo G(·, s) satisface las condiciones de frontera (A.2).

4.∂

∂t

[p(t)

∂G(t, s)

∂t

]+ q(t)G(t, s) = 0 ∀t 6= s, s ∈ I.

5. La derivada de G con respecto a t tiene una discontinuidad salto ent = s. Más aún,

∂G

∂t(t, s)

∣∣t=s+−∂G∂t

(t, s)∣∣t=s−=

1

p(s), ∀s ∈ I.

ii


ii

ii

165

Sea f ∈ C(I) y

u(t) =

∫ b

aG(t, s)f(s)ds.

Entonces

u(t) =

∫ t

aG(t, s)f(s)ds+

∫ b

tG(t, s)f(s)ds. (A.5)

Derivando con respecto a t tenemos

u′(t) = G(t, t)f(t) +

∫ t

a

∂G(t, s)

∂tf(s)ds

−G(t, t)f(t) +

∫ b

t

∂G(t, s)

∂tf(s)ds

=

∫ t

a

∂G(t, s)

∂tf(s)ds+

∫ b

t

∂G(t, s)

∂tf(s)ds.

Luego

(p(t)u(t)′)′ + q(t)u(t) = p(t)(∂G(t, t−)

∂tf(t) +

∫ t

a

∂2G(t, s)

∂t2f(s)ds

− ∂G(t, t)+

∂tf(t) +

∫ b

t

∂2G(t, s)

∂t2f(s)ds

)+ p′(t)u′(t) + q(t)u(t)

= f(t) +

∫ b

a

(p′(t)

∂G(t, s)

∂t+ p(t)

∂2G(t, s)

∂t2+ q(t)G(t, s)

)f(s)ds

= f(t).

Como G(t, s) satisface las condiciones de frontera en a y en b, u(t) tam-bién las satisface. Por tanto

u ∈ D(L) y L(u) = f. (A.6)

Recíprocamente, si L(u) = f , entonces L(u − v) = 0. Como 0 no esvalor propio de L tenemos que u− v = 0, o sea u = v, con lo que quedademostrado el teorema

ii


ii

ii

166 APÉNDICE A. FUNCIONES DE GREEN

Ejemplo A.1. Consideramos el problema de frontera:

x′′(t) = f(t) t ∈ (0, π)

x(0) = x(π) = 0,

donde f es continua en [0, π]. En este caso podemos tomar y(t) = t yz(t) = t− π. Luego

G(t, s) =

π−sπ t, si t ≤ s,sπ (π − t), si s ≤ t.

La fórmula de Mercer

Por el teorema espectral (véase teorema 7.1) existe un conjunto or-tonormal completo ϕjj en L2(I) y una sucesión creciente de númerosreales λ1 < λ2 < · · · tales que

(−L)ϕj = λjϕj . (A.7)

Luego si f ∈ L2(I) existen números reales ci, i = 1, 2, · · · tales quef =

∑∞i=1 ciϕi. Sean

G1(s, t) =∞∑j=1

ϕj(s)ϕj(t)

λjy u(t) =

∫IG1(s, t)f(s)ds. (A.8)

Luego

(Lu)(t) = L[∫

I(( ∞∑i=1

ϕi(s)ϕj(t)

λi

)( ∞∑i=1

ciϕi(s)ds)]

(A.9)

= L( ∞∑i=1

ciϕi(t)

λi

)(A.10)

= −f(t). (A.11)

En consecuencia, G1(s, t) = −G(s, t). Esto nos da una fórmula, conocidacomo fórmula de Mercer, para hallar la función de Green de un operadorL a través de sus valores propios.

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Índice alfabético

acoplado, 20alternativa, 13aplicaciones

abiertas, 60sobre, 58

autónomos, 39autoadjunto, 100

bifurcación, 75, 85global, 90local, 88

Brouwer, 55, 56

Carlo Miranda, 19, 56Clark, 78condición

de Palais-Smale, 139crecimiento subcrítico, 29cuadratura, 1

D. Clark, 140débilmente acoplado, 22deformación, 139dependencia continua, 38Dirichlet, 102discretización, 21

ecuación

de Maxwell, 133de onda semilineal, 133de Schrodinger, 134superlineal, 15

energía y plano de fase, 29escisión, 50, 69espacio de Sobolev, 99, 117estimaciones a priori, 22existencia, 12, 38, 49, 67

fase, 11Formas

de oscilaciones, 8Fredholm, 13

género, 37, 75generalizado, 19grado, 37

constante, 47de Brouwer, 19, 41de Leray-Schauder, 61, 67, 70

Green, 163

Hamiltoniano, 108Hammerstein, 104Homotopía, 42, 62, 66, 68Hopf, 32

identidad de Pohozaev, 25

173

ii


ii

ii

174 ÍNDICE ALFABÉTICO

infinitas soluciones, 8intermedio, 18invariancia, 42

por homotopía, 49

Kakutani, 62Kronecker, 26

Laplace, 117Lipschitziana, 13Liusternick-Schnirelman, 78

máximos locales, 8método de líneas, 21Maxwell, 132Mazur, 39

Nehari, 161no-retracción, 55Nyemitsky, 101, 149

operadores compactos, 100orden, 31

p-Laplaciano, 132péndulo, 125Palais-Smale, 78parámetros, 24Pasamontaña, 145plano de fase, 15planos paralelos, 32principio

de contracción, 11, 38de minimax, 135, 145del máximo, 31

problemas de frontera, 37propiedad

de Homotopía, 19Protter, 31proyección

de Schauder, 64

puntocrítico, 147de bifurcación, 86de silla, 146fijo, 11de Brouwer, 19

R. Palais, 138radialmente

decreciente, 32simétrico, 25, 27, 32

reducción, 108de Lyapunov-Schmidt, 97

regiones no cilíndricas, 69Rellich, 100retracción, 62

Sard, 38semilineal, 13seudogradiente, 137, 138solución(es), 2

débiles, 37máxima, 35mínima, 35oscilatorias, 7periódica, 39positivas, 2, 32

Sturm-Liouville, 7subsoluciones, 32superlineal, 20supersolución(es), 32

positiva, 35

teoría de Liusternick-Schnirelman,78

teoremade Borsuk, 51de Clark, 78de Dini, 33de Dugundji, 40de inmersión de Sobolev, 101

ii


ii

ii

ÍNDICE ALFABÉTICO 175

de la función implícita, 39de la función inversa, 38de Punto Fijo, 61de Riezs, 137de Sard, 38del valor intermedio generali-

zado, 56, 57punto fijo, 55

Tietze, 39

unicidad, 38

valor intermedio, 9valor regular, 42valores en la frontera, 50variación de parámetros, 12variacional, 135

Weinberger, 31

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Esta edición consta de 300 ejemplares.Se imprimió en agosto de 2012 en la Editorial

Universidad Nacional de Colombia. Tiene un formato de 16,5 x 24 centímetros.

La carátula va en propalcote de 240 gramos y las páginas interiores en bond de 75 gramos.

Bogotá, D. C. Colombia

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