i. fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/t1/leccion_i_4_10_11.pdf · 4. c l i...
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I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos
C i l C i l4. Campos vectoriales4. Campos vectoriales
Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1.1. Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas
I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos
2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos Campos vectorialesvectoriales
Definición Propiedades generales
Líneas y tubos de campo Flujo de un campo vectorial Circulación de un campo vectorial
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
2
Campo vectorialCampo vectorialDefiniciónDefinición
ió d l i i t
Campo vectorialCampo vectorial
AA AA en una región del espacio existe un campo vectorial cuando en cada punto hay un valor de magnitud vectorial
AA==AA((rr))
y gcon módulo, dirección y sentido
P P 33 AA((PP)) 33 u2
concepto matemático: a cada radio-vector (r3) le hace corresponder
33 (( ))u1PAA((PP))
un vector A(r)3
Z( )
OP=OP=rr 33 AA==AA((rr)) 33
u3
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
puede expresarse como una función vectorial y monovaluada de la
Z r=r(q1,q2,q3)OPOP rr AA AA((rr) )
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G vectorial y monovaluada de la
posición: función de campo O
X
Y
r=rr=r(q1,q2,q3) AA((rr)=)=AA(q1,q2,q3) == AA (q q q )u33
(coordenadas ortogonales)
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
3
r rr r(q1,q2,q3) AA((rr)) AA(q1,q2,q3) ==ii=1=1 AAii(q1,q2,q3)ui
Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generalesLínea de campoLínea de campo
t t d t
Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generales
AA AA curva cuya tangente en cada punto P tiene la dirección de A(P)
dd || dd (( ))( )PA
AA==AA((rr))1
las líneas de un campo vectorial NO
ddrr||= = ds ds uu((PP););( )
( )( )
con PP
A
u
2
dr|las líneas de un campo vectorial NO se pueden cortar: si se cortasen, A(P) tendría dos
l di iZ
P AA((PP))3
|
valores distintos!!!
Tubo de campoTubo de campo OX
Y
r n(P)
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
conjunto T={T={11,…, ,…, nn,…},…} de las líneas del campo A=A(r)
X
iAA((PP))==AAjj??
dr|j
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
ecuación de la familia de líneas:
ddr r AA((rr)) = 0 = 0
j
(( )) jj??
AA((PP))==AAii??PP dr|i
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® G
a®
Ga
4
AA((PP)) AAii??
Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorialFlujo elementalFlujo elemental
Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorial
flujo a través del elemento de superficie
Plano tangente a en P
valor del flujo elemental:
d|P = dS·A(P) ú
a en P
j
/2 θ 0 θ π/2 d|P = |A(P)|cos dS
π/2 θ π 0 θ π/2 θ π/2Flujo total en Flujo total en
contribución neta de flujos elemen-
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
d 0
jtales a través de la superficie
d ( ) d A r S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
d 0 d 0 d
( ) d
A r S
cos dS A
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® G
a®
Ga
5
cos dS
A
Circulación de un campo vectorialCirculación de un campo vectorial
Elemento de circulaciónElemento de circulación
Circulación de un campo vectorialCirculación de un campo vectorialAA((rr))
circulación sobre un elemento dr|de curva
|dr|
valor del elemento:
d|P = A(P)·dr ú |P
AA((PP))
P Recta tangente a en P
dZ|P = |A(P)|cosds;AA((PP))
d 0Z
a en P(ds=|dr|)
dr drCirculación sobre una curvaCirculación sobre una curvacontribución neta de los elementos de circulación entre dos puntos de dZ
d 0Z d 0Z
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
AA Bdr
de circulación entre dos puntos de
dB
AZ Z
( )·d
B
A A r r
0 θ π/2 θ π/2
d 0Z
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G AA
AA
AA A
BA A
cosB
AZ ds
A π/2 θ π
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® G
a®
Ga
6
AAA
Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8
A(r)=cotu uA(r)=coturu
dS2 2d 2 zS R
A u
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
¡¡no es flujo!!¡¡no es flujo!!
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
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® G
a®
Ga
7
Ejemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.b
dS1=dS u
A(r)=(u+u)+zuz
dS1 dSzuz
dS =dS u 2d 3 a h A SdSL=dSu d 3 a h
A S
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
dS2=dS u ¡¡sí es flujo!!¡¡sí es flujo!!
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G dS2 dSzuz
¡¡ f j¡¡ f j
12L
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® G
a®
Ga
8
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