homotopia y espacio de recubrimiento

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICASESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICA

Homotopıa y Recubrimientos

Lord Livin Barrera Bocanegra

Lima - Peru2006

A los Amantes de la Matematica

Indice

Prefacio v

Introduccion vii

1 Homotopıa 1

1.1 Aplicaciones Homotopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Equivalencia Homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Propiedades de Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 El Cilindro Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Propiedades de Elevacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 El Grupo Fundamental 37

2.1 Construccion del grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . 37

2.2 El Homomorfismo inducido y sus consecuencias . . . . . . 42

2.3 El Grupo Fundamental del Cırculo . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Algunas Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Grupo Fundamental de una Variedad Topologica . . . . . . 48

2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 El Teorema de Van Kampen 49

3.1 Grupos Libres, Generadores y Relaciones . . . . . . . . . . 49

3.2 Productos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 El Teorema de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Aplicaciones del Teorema de Van Kampen . . . . . . . . . 68

3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

iv Indice

4 Espacios Recubridores 694.1 Grupo Fundamental y Aplicaciones Recubridoras . . . . . 694.2 Homomorfismos Recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Recubrimientos Regulares y Espacios Cocientes . . . . . . 804.4 Existencia de Recubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5 El Teorema de Borsuk - Ulam en dimension 2 . . . . . . . 854.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Topicos Adicionales 875.1 Grupos de Homotopıa de Orden Superior . . . . . . . . . . 875.2 Nudos y Enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Presentaciones de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Bibliografıa 89

Prefacio

Lord Barrera Bocanegra

Facultad de Ciencias MatematicasUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Lima, Peru2007

v

vi Prefacio

Introduccion

Tudo bem.

J. Milnor

vii

viii Introduccion

Capıtulo 1

Homotopıa

1.1 Aplicaciones Homotopicas

La definicion de equivalencia homotopica entre espacios topologicosfue introducida por Witold Hurewicz en una serie de artıculos entre 1935y 1936.

En lo que sigue denotaremos por I al intervalo [ 0, 1].

Definicion 1.1.1. Sean X,Y espacios topologicos y f, g : X → Y apli-caciones continuas. Una homotopıa de f a g es una aplicacion continuaH : X × I → Y tal que

H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X.

Si existe una homotopıa de f a g, entonces diremos que f y g son ho-motopicas y escribimos f ∼ g, o tambien H : f ∼ g si queremos enfatizarla homotopıa H.

Observacion 1.1.1. Decir que las aplicaciones continuas f, g : X → Y

son homotopicas, equivale a afirmar que existe una aplicacion continuaH : X × I → Y tal que los siguientes diagramas conmutan

X

∂0²²

f // Y

X × IH

;;wwwwwwwww

X

∂1²²

f // Y

X × IH

;;wwwwwwwww

donde ∂0(x) = (x, 0) y ∂1(x) = (x, 1) para todo x ∈ X.

Ejemplo 1.1.1. Sean X e Y espacios topologicos. Consideremos para caday ∈ Y la aplicacion constante cy : X → Y , definida por cy(x) = y para

1

2 1 Homotopıa

todo x ∈ X. Entonces cy ∼ cy′ si y solo si y e y′ pertenecen a la mismacomponente conexa por caminos de Y .

En efecto, si cy ∼ cy′, existe una aplicacion continua H : X × I → Y

tal que H(x, 0) = y y H(x, 1) = y′ para todo x ∈ X. Fijemos un puntox0 ∈ X y consideremos la aplicacion continua α : I → Y definida porα(t) = H(x0, t), entonces α es un camino de y a y′.

Recıprocamente, si y, y′ pertenecen a la misma componente conexa porcaminos de Y , existe un camino α en Y que va de y a y′. Ahora definimosH : X × I → Y por H(x, t) = α(t), es decir, H = α πI , donde πI es laproyeccion de X × I sobre I. Por tanto, H es continua; ademas

H(x, 0) = α(0) = y = cy(x) y H(x, 1) = α(1) = y′ = cy′(x).

Ejemplo 1.1.2. Sea X un espacio topologico y sea Y ⊆ Rn un subespacioconvexo. Entonces cualquier par de aplicaciones continuas f, g : X → Y

son homotopicas.En efecto, desde que Y es convexo, la aplicacion H : X×I → Y definida

por H(x, t) = (1− t)f(x)+ tg(x) es una homotopıa de f a g. La aplicacionH es llamada homotopıa lineal.

Ejemplo 1.1.3. Sean f, g : R→ R las aplicaciones definidas por f(s) = s

y g(s) = 2s. Entonces la homotopıa lineal entre f y g es definida porH(s, t) = (1− t)s + 2ts.

Ejemplo 1.1.4. Sean los caminos α, β : I → R3 definidos por α(s) =(senπs, 0, cosπs) y β(s) = (0, senπs, cosπs), respectivamente. EntoncesH : I × I → R3 definida por H(s, t) = (cos tπ

2 senπs, sen tπ2 senπs, cosπs) es

una homotopıa de α a β.

Ejemplo 1.1.5. Cuando n es impar, la aplicacion antıpoda f : Sn → Sn eshomotopica a la aplicacion identidad idSn. En efecto, tomemos n = 2k−1,entonces Sn ⊆ R2k = Ck y cada punto z ∈ Sn tiene la forma

z = (z1, . . . , zk) dondek∑

i=1

|zi|2 = 1.

Ahora bien, definimos

H : Sn × I → Sn

(z, t) 7→ e(1−t)πiz

Entonces H es una homotopıa de f a idSn.

1.2 Equivalencia Homotopica 3

Definicion 1.1.2. Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas y A ⊆ X.Decimos que f es homotopica a g relativa al conjunto A y se denota porf ∼ g (rel A), si existe una homotopıa H : f ∼ g tal que

H(x, t) = f(x) = g(x) para todo x ∈ A.

Observacion 1.1.2. De la definicion se sigue que, si f es homotopica a g

relativa al conjunto A, entonces f es homotopica a g.

Observacion 1.1.3. Si A = ∅, la relacion de homotopıa relativa al con-junto A coincide con la relacion de homotopıa definida en 1.1.1.

Ejemplo 1.1.6. En el ejemplo 1.1.3, f es homotopica a g relativa al con-junto 0.Ejemplo 1.1.7. En el ejemplo 1.1.4, f es homotopica a g relativa al con-junto 0, 1.Proposicion 1.1.8. Sean X, Y espacios topologicos y C(X, Y ) el espaciode funciones continuas de X en Y . La relacion ∼ (rel A) de homotopıarelativa al conjunto A es una relacion de equivalencia en C(X,Y ).

Demostracion. Sea f : X → Y una aplicacion continua. La aplicacionH = f πX es una homotopıa de f a f relativa al conjunto A. Sea ahoraH una homotopıa de f a g relativa al conjunto A. Definimos la homotopıaH : X×I → Y por H(x, t) = H(x, 1− t), entonces H es una homotopıa deg a f relativa al conjunto A. Supongamos ahora que F es una homotopıade f a g relativa al conjunto A y G es una homotopıa de g a h relativa alconjunto A. Definimos la homotopıa H por la formula

H(x, t) =

F (x, 2t), si 0 ≤ t ≤ 1

2G(x, 2t− 1), si 1

2 ≤ t ≤ 1

Notese que H es continua ya que esta bien definida y sus restricciones a loscerrados X×[0, 1

2 ] y X×[12 , 1] son continuas. Ademas, H es una homotopıade f a h relativa al conjunto A. 2

Proposicion 1.1.9. Sean X,Y, Z espacios topologicos. Si f0, f1 : X → Yy g0, g1 : Y → Z son aplicaciones continuas tal que f0 ∼ f1 (rel A) yg0 ∼ g1 (rel A), entonces g0 f0 ∼ g1 f1 (rel A).

Demostracion. Sean las homotopıas F : f0 ∼ f1 (rel A) y G : g0 ∼g1 (rel A). Definimos H : X × I → Z por H(x, t) = G(F (x, t), t), entoncesH es una homotopıa de g0 f0 a g1 f1 relativa al conjunto A. 2

4 1 Homotopıa

1.2 Equivalencia Homotopica

La definicion de equivalencia homotopica entre espacios topologicosfue introducida por Witold Hurewicz en una serie de artıculos entre 1935y 1936.

Definicion 1.2.1. Una aplicacion continua f : X → Y es llamada equiv-alencia homotopica si existe una aplicacion continua g : Y → X tal quef g ∼ idY y g f ∼ idX . Si existe una equivalencia homotopica entreX e Y , entonces diremos que X e Y son equivalentes homotopicamente osimplemente homotopicos y denotamos por X ≡ Y .

Observacion 1.2.1. Si X e Y son homeomorfos, entonces son equivalenteshomotopicamente. La recıproca no siempre se cumple, como se vera masadelante.

Ejemplo 1.2.1. Sn ≡ Rn+1 \ 0. En efecto, consideremos la inclusionı : Sn → Rn+1 \ 0 definida por x 7→ x y sea r : Rn+1 \ 0 → Sn laaplicacion definida por x 7→ x/‖x‖; es facil ver que ı y r son continuas.Ademas, (r ı)(x) = r(x) = x/‖x‖ = x; por tanto, r ı ∼ idSn. Por otrolado, veamos que ı r ∼ idRn+1\0. La correspondencia

H : (Rn+1 \ 0)× I → Rn+1 \ 0(x, t) 7→ (1− t) x

‖x‖ + tx.

esta bien definida. Para ver esto supongamos que (1− t) x‖x‖ + tx = 0 para

algun 0 < t < 1, entonces 0 = (1 − t)x + tx‖x‖ = x(1 − t + t‖x‖), lo queimplica 1− t+ t‖x‖ = 0, de donde, ‖x‖ = 1−1/t < 0, lo cual no es posible.Por lo tanto, H esta bien definida y es una homotopıa de ı r a idRn+1\0.

Ejemplo 1.2.2. Sea p < n y definimos

Rn \ Rp = (x1, . . . , xn) |xi 6= 0 para algun p + 1 ≤ i ≤ n.Consideremos las aplicaciones continuas

f : Rn \ Rp → Sn−p−1

(x1, . . . , xn) 7→ (xp+1,...,xn)‖(xp+1,...,xn)‖

yg : Sn−p−1 → Rn \ Rp

(u1, . . . , un−p) 7→ (0, 0, . . . , 0, u1, . . . , un−p).


Se tiene claramente que f g = idSn−p−1.Veamos a continuacion que g f ∼ idRn\Rp. Para esto definimos

H : (Rn \ Rp)× I → Rn \ Rp

((x1, . . . , xn), t

) 7→ (1−t)‖(xp+1,...,xn)‖(0, . . . , 0, xp+1, . . . , xn) + t(x1, . . . , xn)

.

Entonces H es una homotopıa de g f a idRn\Rp.

Ejemplo 1.2.3. Si E = (0, 0, z) | z ∈ R, entonces R3 \E ≡ R2 \ 0. Enefecto, consideremos las aplicaciones continuas

f : R2 \ 0 → R3 \ E

(x, y) 7→ (x, y, 0)y

g : R3 \ E → R2 \ 0(u, v, w) 7→ (u, v)

.

Entonces g f = idR2\0. Por otra parte, la aplicacion continua

H : (R3 \ E)× I → R3 \ E

((u, v, w), t) 7→ (u, v, tw).

es una homotopıa de f g a idR2\E. Por lo tanto, R3 \ E ≡ R2 \ 0.Proposicion 1.2.4. La relacion de equivalencia homotopica es una relacionde equivalencia en la categorıa de espacios topologicos.

Demostracion. Las propiedades reflexiva y simetrica son directas. Veamosla transitividad. Sean X,Y, Z espacios topologicos tal que X ≡ Y e Y ≡ Z.Entonces existen aplicaciones continuas

f : X → Y y g : Y → X tal que f g = idY y g f = idX ,

tambien existen aplicaciones continuas

h : Y → Z y l : Z → Y tal que h l = idZ y l h = idY .

Consideremos las aplicaciones continuas

Xf→ Y

h→ Z y Zl→ Y

g→ X.

De acuerdo a la proposicion 1.1.9 se tiene que

(h f) (g l) = h (f g) l ∼ h l ∼ idZ

y(g l) (h f) = g (l h) f ∼ g f ∼ idX .

2

6 1 Homotopıa

Ejemplo 1.2.5. Por el ejemplo 1.2.3 se tiene que R3 \ E ≡ R2 \ 0;ademas, como caso particular del ejemplo 1.2.1 se tiene R2 \ 0 ≡ S1. Porlo tanto, R3 \ E ≡ S1.

Definicion 1.2.2. Sea Y un subespacio de X e ı : Y → X la inclusion.Una retraccion de X en Y es una aplicacion continua r : X → Y tal quer ı = idY . En este caso se dice que Y es un retracto de X. Un retracto pordeformacion es una retraccion r : X → Y tal que ı r ∼ idX . Un retractopor deformacion fuerte es un retracto r : X → Y tal que ı r ∼ idX rel Y .

Observacion 1.2.2. Si Y es un retracto por deformacion de X, entoncesX e Y son equivalentes homotopicamente.

Observacion 1.2.3. Un retracto por deformacion fuerte es un retracto pordeformacion; sin embargo la recıproca no siempre se cumple. Por ejemplo,A = (0, 1) es un retracto por deformacion del espacio

X =((1/n |n ∈ N ∪ 0)× [0, 1]

) ∪ ([0, 1]× 0)

Pero que no es un retracto por deformacion fuerte.

Ejemplo 1.2.6. Consideremos la circunferencia centrada en el punto a,C = x ∈ R2 | ‖x − a‖ = 1 y sea X = R2 \ a. Veamos que C es unretracto por deformacion fuerte de X. En efecto, tomemos la inclusion ı :C → R2\a y la aplicacion f : R2\a → C definida por x 7→ (x−a)

‖(x−a)‖+a.Facilmente se ve que C es un retracto de X. Veamos a continuacion queC es un retracto por deformacion fuerte de X. Para esto definimos

H : (R2 \ a)× I → R2 \ a(x, t) 7→ (1− t)x + t

(x−a‖x−a‖ + a

) .

Si (1− t)x + t(

x−a‖x−a‖ + a

)= a, entonces

0 = (1− t)(x− a) +t(x− a)

‖x− a‖ = (x− a)((1− t) +

t

‖x− a‖)

lo que implica 1− t+ t‖x−a‖ = 0, o sea, 1

‖x−a‖ = 1− 1t < 0 y esto es imposile.

Por tanto, H esta bien definida y es continua. Ademas, H(x, 0) = idX(x)y H(x, 1) = (ı f)(x). Finalmente, dado x ∈ C se tiene

H(x, t) = idX(x) = (ı f)(x).


Ejemplo 1.2.7. Consideremos un punto a en el interior del disco D2. En-tonces S1 es un retracto por deformacion fuerte de D2 \ a. En efecto,primeramente definimos una retraccion r : D2 \ a → S1 de la siguientemanera: tomemos un punto x ∈ D2 \ a y sea r(x) = b el punto de S1 queresulta de intersecar la recta que pasa por a y x, con la circunferencia S1.

Se tiene que x = (1−t)a+tb, donde 0 < t ≤ 1, entonces (x−a)+ta = tby tomando norma tenemos

t2(‖a‖2 − 1) + 2t〈x− a, a〉+ ‖x− a‖2 = 0

de donde conseguimos

t =−〈x− a, a〉 ±

√〈x− a, a〉2 − (‖a‖2 − 1)‖x− a‖2

‖a‖2 − 1

y como ‖a‖ < 1, entonces se sigue que

t =−〈x− a, a〉 −

√〈x− a, a〉2 − (‖a‖2 − 1)‖x− a‖2

‖a‖2 − 1.

Desde que

b =1

t(x− a) + a

se tiene entonces que

r(x) = a +[−〈x− a, a〉+

√〈x− a, a〉2 − (‖a‖2 − 1)‖x− a‖2

‖x− a‖2

](x− a).

Es facil verificar que r es una retraccion. Ahora bien, para ver que r es unretracto por deformacion es suficiente definir

H : (D2 \ a)× I → D2 \ a(x, t) 7→ (1− t)x + tr(x)

.

y se tiene

H(x, 0) = idD2\a(x) y H(x, 1) = r(x).

Ademas,

H(x, t) = idD2\a(x) = r(x) para todo x ∈ S1.

8 1 Homotopıa

Ejemplo 1.2.8. Consideremos el toro T = [−1, 1]× [−1, 1]/R, donde

R : (x,−1) ∼ (x, 1) y (−1, y) ∼ (1, y).

Sea X = T \ [0] y sea ‖ ‖m la norma del maximo. Vamos a mostrar queel toro menos un punto se retrae a la union de dos cırculos con un puntoen comun.

Sea Y = [x] ∈ X | ‖x‖m = 1 y consideremos la inclusion ı : Y → X.

Definimos r : X → Y por [x] →[

x‖x‖m

]. Entonces r es una retraccion de

X en Y . Ahora bien, definiendo

H : X × I → X

( [x], t ) 7→[(1− t)x + tx

‖x‖m

]

se tiene que

H( [x], 0 ) = [x] = idX [x] y H( [x], 1 ) =[ x

‖x‖m

]= (ı r)[x].

Ademas, para todo [x] ∈ Y se tiene que

H( [x], t ) = idY [x] = (ı r)[x].

Ejemplo 1.2.9. Consideremos X = Sn \ N,S, donde N y S son el polonorte y sur, respectivamente. Veamos que el ecuador

E = x ∈ Sn | xn+1 = 0es un retracto por deformacion de X. Para esto definimos la aplicacion

r : X → E(x1, . . . , xn+1) 7→ (x1,...,xn,0)

‖(x1,...,xn,0)‖.

Luego la homotopıa es

H(x, t) =tr(x) + (1− t)x

‖tr(x) + (1− t)x‖ .

Un caso especial acontece cuando un espacio se retrae a un punto.

Definicion 1.2.3. Un espacio X es llamado contractil si es equivalentehomotopicamente a un punto.


Ejemplo 1.2.10. Rn es contractil, al igual que cualquier subespacio con-vexo de Rn.

Proposicion 1.2.11. X es contractil si y solo si la identidad idX es ho-motopica a una aplicacion constante.

Demostracion. Supongamos que X ≡ p. Sean f : X → p yg : p → X tal que g f ∼ idX ; pero g f = cg(p) es constante.Recıprocamente, sea idX ∼ cp, donde cp : X → X es la aplicacion con-stante x 7→ p. Si ı : p → X es la inclusion, se tiene entonces que

ı cp = idX cp = cp ∼ idX .

2

Corolario 1.2.12. Todo espacio contractil es conexo por caminos.

Demostracion. Sea X ≡ p y H : X × I → X la aplicacion continuatal que

H(x, 0) = idX(x) = x y H(x, 1) = fp(x) = p.

Fijamos x0 ∈ X y definimos α : I → X por t 7→ H(x0, t). Es facil ver queα(0) = x0 y α(1) = p. 2

Ejemplo 1.2.13. Sn \ p es contractil. Concretamente, la aplicacionidentidad idSn\p es homotopica a la aplicacion constante c−p. Para veresto, es suficiente considerar la homotopıa definida por

H(x, t) =t(−p) + (1− t)x

‖t(−p) + (1− t)x‖ .

Proposicion 1.2.14. Si X o Y es contractil, toda aplicacion continuaf : X → Y es homotopica a una constante.

Demostracion. Supongamos que X es contractil. Sea H : X × I → Xuna homotopıa entre idX y cp. Dada la aplicacion continua f : X → Y ,definimos F = f H. Entonces

F (x, 0) = f(H(x, 0)) = f(x) y F (x, 1) = f(H(x, 1)) = cf(p)(x).

Supongamos que Y es contractil. Sea K : Y × I → Y una homotopıaentre idY y cq. Dada la aplicacion continua f : X → Y , definimos H =K (f × idI). Se tiene entonces que

H(x, 0) = K(f(x), 0) = f(x) y H(x, 1) = K(f(x), 1) = cq(x).

2

10 1 Homotopıa

Corolario 1.2.15. Si X es contractil e Y conexo por caminos, entoncesdos aplicaciones continuas f, g : X → Y son homotopicas. Si Y escontractil, entonces para cualquier X, dos aplicaciones continuas f, g :X → Y son siempre homotopicas.

Demostracion. Supongamos que X es contractil e Y conexo por caminos.De acuerdo al corolario anterior, f ∼ fp y g ∼ fq; desde que Y es conexopor caminos, fp ∼ fq, de donde se sigue que f ∼ g.

Por otro lado, si Y es contractil, sea q ∈ Y tal que Y ≡ q. Seanf, g : X → Y aplicaciones continuas. De acuerdo al corolario anterior setiene que f ∼ fq y g ∼ fq. Por lo tanto, f ∼ g. 2

Definicion 1.2.4. Un espacio X es simplemente conexo si es conexo porcaminos y toda aplicacion continua f : S1 → X es homotopica a unaconstante.

Observacion 1.2.4. De acuerdo a la proposicion 2.1.23 se tiene que todoespacio contractil es simplemente conexo.

Ejemplo 1.2.16. Para n ≥ 2, Sn es simplemente conexo. En efecto,sea f : S1 → Sn una aplicacion continua. Desde que f(S1) Sn, existep ∈ Sn\f(S1). Por el ejemplo 2.1.22 tenemos que S∗ = Sn\p es contractil;por tanto, existe p0 ∈ S∗ y una homotopıa H : idS∗ ∼ cp0

. ConsideremosF : S1 × I → Sn definida por F = H (f × idI), entonces F es claramentecontinua; ademas

F (z, 0) = H(f(z), 0) = f(z) y F (z, 1) = H(f(z), 1) = cp0(z).

1.3 Propiedades de Extension

Teorema 1.3.1. Una aplicacion continua f : Sn → X se extiende continu-amente a a bola cerrada Dn+1 si y solo si f es homotopica a una aplicacionconstante.

Demostracion. Consideremos la aplicacion ϕ : Sn × I → Dn+1 definidapor (x, t) 7→ (1 − t)x, entonces ϕ es continua. Si f : Dn+1 → X es unaextension continua de f : Sn → X, entonces H = f ϕ es una homotopıaentre f y la aplicacion constante cf(0).

1.3 Propiedades de Extension 11

Recıprocamente, supongamos que H : Sn × I → X es una homotopıaentre f y la aplicacion constante cx0

. Definimos f : Dn+1 → X por

f(x) =

x0 , si 0 ≤ ‖x‖ ≤ 1/2

F(

x‖x‖ , 2− 2‖x‖), si 1/2 ≤ ‖x‖ ≤ 1

Entonces f es una extension continua de f . 2

Definicion 1.3.1. Un subconjunto Y ⊆ Rn es un retracto de entorno siexiste un entorno U de Y en Rn y una retraccion r : U → Y .

Ejemplo 1.3.2. Si Y es un retracto de Rn, entonces Y es un retracto decualquiera de sus entornos en Rn. Sn es un retracto de entorno, pues, existeuna retraccion de Rn+1 \ 0 sobre Sn.

Teorema 1.3.3. (Teorema del entorno tubular). Toda subvariedad enca-jada de Rn tiene un entorno tubular. (Dada una subvariedad M de Rn, unentorno tubular de M es un entorno U de M en Rn que es difeomorfa aun subconjunto abierto del fibrado normal de M).

Demostracion. Ver Lee Teorema 6.17. 2

Corolario 1.3.4. Sea M ⊆ Rn una subvariedad encajada y sea U un en-torno tubular de M . Entonces existe una retraccion diferenciable de U

sobre M .

Demostracion. Por definicion existe un subconjunto abierto V ⊆ NM ,donde NM es el fibrado normal de M . Si E : NM → Rn es definidapor (x, v) 7→ x + v, se tiene que E : V → U es un difeomorfismo. Ahoradefinimos r : U → M por r = πE−1, donde π : NM → M es la proyeccionnatural, se tiene claramente r es diferenciable. Para x ∈ M notemos queE(x, 0) = x. Por lo tanto, r(x) = (π E−1)(x) = π(x, 0) = x, lo quemuestra que r es una retraccion. 2

Proposicion 1.3.5. Sea Y ⊆ Rn un espacio compacto que es retractode entorno. Entonces existe ε > 0 tal que para todo par de aplicacionescontinuas f, g : X → Y satisfaciendo ‖f(x)− g(x)‖ < ε para todo x ∈ X,se tiene que f ∼ g.

Demostracion. Sea V ⊆ Rn un entorno de Y y r : V → Y una re-traccion. Desde que Y es compacto, entonces ε = d(Y,Rn \ V ) > 0.

12 1 Homotopıa

Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas tal que ‖f(x) − g(x)‖ < ε

para todo x ∈ X. Tomemos x ∈ X y veamos que [f(x), g(x)] ⊆ V .Dado z = (1 − t)f(x) + tg(x), entonces z − f(x) = t(g(x) − f(x)) ytomando norma se tiene ‖z − f(x)‖ = t‖g(x) − f(x)‖ < ε; por lo tanto,z ∈ B(f(x), ε). Pero B(f(x), ε) ⊆ V , pues, de lo contrario, existe z0 talque ‖z0 − f(x)‖ < ε y z0 6∈ V , entonces ε ≤ ‖z0 − f(x)‖, lo que es im-posible. Por lo tanto, z ∈ V , y ası [f(x), g(x)] ⊆ V . Esto nos permitedefinir una homotopıa H : X × I → Y entre f y g, mediante la formulaH(x, t) = r[(1− t)f(x) + tg(x)]. 2

Teorema 1.3.6. Sea X ⊆ Rm y sean f : X → Rn, ε : X → R aplicacionescontinuas con ε(x) > 0 para todo x ∈ X. Entonces existe un abierto A deRm con X ⊆ A y una aplicacion diferenciable g : A → Rn de clase C∞ talque ‖f(x)− g(x)‖ < ε(x) para todo x ∈ X.

Demostracion. Teorema 10. pag 445 [E-L]. 2

Corolario 1.3.7. Sean M, N subvariedades compactas encajadas en Rn.Toda aplicacion continua f : M → N es homotopica a una aplicaciondiferenciable.

Demostracion. Desde que N es compacto, la proposicion 2.3.5 implicaque existe ε > 0, y por el teorema 2.3.6, existe una aplicacion diferenciableg : M → N con ‖f(x) − g(x)‖ < ε para todo x ∈ M . Ahora bien, laproposicion 2.3.5 implica que f y g son homotopicas. 2

Proposicion 1.3.8. Sea Y ⊆ Rn un retracto de vecindad y A un subcon-junto cerrado del espacio normal X. Entonces toda aplicacion continuaf : A → Y puede ser extendida continuamente a una vecindad de A en X.

Demostracion. Sea r : V → Y una retraccion de una vecindad V deY . Por el teorema de extension de Tietze, la aplicacion f consideraradacomo aplicacion de A en Rn, admite una extension continua ϕ : X → Rn.Entonces U = ϕ−1(V ) es una vecindad de A en X y la aplicacion continuaf = r ϕ

∣∣U

: U → Y es una extension de f a la vecindad U . 2

Proposicion 1.3.9. (Borsuk). Sea Y ⊆ Rn un retracto de entorno y A

un subconjunto cerrado del espacio metrico X. Entonces y f, g : A → Y

aplicaciones continuas homotopicas. Si f admite una extension continuaf : X → Y , entonces g tambien admite. En consecuencia, toda homotopıaentre f y g se extiende a una fomotopıa entre f y g.

1.3 Propiedades de Extension 13

Demostracion. Consideremos la homotopıa H : A× I → Y entre f y g.La aplicacion f1 : (X × 0) ∪ (A × I) → Y definida por f1(x, 0) = f(x)y f1

∣∣A×I

= H es continua, pues, f = H en A × 0 =. De acuerdoa la proposicion 2.2.8, f1 se extiende continuamente a un entorno W desu dominio en X × I. Desde que I es compacto, existe un entorno U

de A en X y podemos suponer que (X × 0) ∪ (U × I) ⊆ W ; ası quef1 posee una extension continua f2 : (X × 0) ∪ (U × I) → Y . Seaλ : X → [0, 1] la funcion de Urysohn tal que λ

∣∣A

= 1 y λ∣∣X\U = 0.

Definimos g : X → Y por g(x) = f2(x, λ(x)), entonces H : X × I → Ydefinida por H(x, t) = f2(x, λ(x)t) es una homotopıa entre f y g. 2

Corolario 1.3.10. Sea Y ⊆ Rn un retracto de vecindad contractil. Si A esun subconjunto cerrado de un espacio metrico X, entonces toda aplicacioncontinua f : A → Y admite una extension continua f : X → Y .

Demostracion. 2

Corolario 1.3.11. Sea Y ⊆ Rn un retracto de vecindad. Si A es un subcon-junto cerrado contractil de un espacio metrico X, entonces toda aplicacioncontinua f : A → Y admite una extension continua f : X → Y .

Demostracion. 2

Corolario 1.3.12. Sea X un espacio metrico contractil, A ⊆ X un subcon-junto cerrado e Y ⊆ Rm un retracto de vecindad. Una aplicacion continuaf : A → Y admite una extension continua f : X → Y si y solo si eshomotopica a una aplicacion constante.

Demostracion. 2

Definicion 1.3.2. Sea X un espacio topologico y A un subespacio de X.Decimos que el par (X,A) tiene la propiedad de extension respecto a unsubespacio Y si toda aplicacion continua H : (A× I) ∪ (X × 0) → Y seextiende continuamente a X × I.

Proposicion 1.3.13. Sean X, Y espacios topologicos y A un subespacio deX. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) (X,A) tiene la propiedad de extension respecto de Y .

14 1 Homotopıa

(b) Para Toda aplicacion continua g : X → Y y toda aplicacion continuaG : A × I → Y tal que G(x, 0) = g(x) para todo x ∈ A, existe unaaplicacion continua F : X × I → Y con F (x, 0) = g(x) para todox ∈ X y F

∣∣A×I

= G.

Demostracion. (a) ⇒ (b). Sea la aplicacion continua g : X → Y yla aplicacion continua G : A × I → Y tal que G(x, 0) = g(x) para todox ∈ A. Consideremos la aplicacion H : A × I) ∪ (X × 0) → Y definidapor H(x, t) = G(x, t) para todo (x, y) ∈ A × I y H(x, 0) = g(x) paratodo x ∈ X. Entonces H esta bien definida y es continua. De acuerdoa la hipotesis, existe una aplicacion continua F : X × I → Y tal queF

∣∣(A×I)∪(X×0) = H; ademas se cumple que F

∣∣A×I

= G y F (x, 0) = g(x)

para todo x ∈ X.

(b) ⇒ (a). Sea g : X → Y definida por g(x) = H(x, 0) y G : A× I → Y

definida por G(x, t) = H(x, t). Como G(x, 0) = g(x) para todo x ∈ A; porhipotesis existe una aplicacion continua F : X× I → Y tal que F

∣∣A×I

= G

y F (x, 0) = g(x) para todo x ∈ X. Por tanto, F∣∣(A×I)∪(X×0) = H. 2

Proposicion 1.3.14. Sean X,Y espacios topologicos y A un subespaciode X tal que (A,X) tiene la propiedad de extension. Si f0, f1 : A → Y

son aplicaciones homotopicas y f0 admite una extension continua f 0 a X,entonces f1 admite una extension continua f 1 a X, y f 0 ∼ f 1.

Demostracion. Sea G : A × I → Y una homotopıa de f0 a f1. Porhipotesis, existe una aplicacion continua F : X×I → Y tal que F

∣∣A×I

= G

y F (x, 0) = f 0(x) para todo x ∈ X. Ahora es suficiente considerarf 1(x) = F (x, 1). 2

Proposicion 1.3.15. Sea A un subespacio de X tal que (X, A) tiene lapropiedad de extension respecto de A. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1. (a) A es un retracto de X.

2. (b) A es un retracto debil de X.

Demostracion.

2.2 El Grupo Fundamental del Cırculo 15

Proposicion 1.3.16. Sea A un subespacio de X tal que (X, A) tiene lapropiedad de extension respecto de A. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1. (a) La inclusion ı : A → X. es una equivalencia homotopica.

2. (b) A es un retracto por deformacion de X.

Demostracion.

1.4 El Cilindro Topologico

Definicion 1.4.1. Sean X e Y espacios topologicos y consideremos la sumatopologica X + Y = X ×0 ∪ Y ×1 con la topologıa final determinadapor las inclusiones ıX : X → X + Y y ıY : Y → X + Y definidas porıX(x) = (x, 0) y ıY (y) = (y, 1), respectivamente. Entonces un subconjuntoA de X + Y es abierto si ı−1

X (A) es abierto en X y ı−1Y (A) es abierto en Y ,

esta topologıa es llamada topologıa suma de los espacios topologicos X eY .

Sea ahora M un subconjunto de X y f : M → Y una aplicacion con-tinua, en X + Y se considera la siguiente relacion

(x, 0) ∼ (x′, 0) ⇔ x = x′ o f(x) = f(x′)(y, 1) ∼ (y′, 1) ⇔ y = y′

(x, 0) ∼ (y, 1) ⇔ y = f(x)

(y, 1) ∼ (x, 0) ⇔ y = f(x)

Entonces esta relacion es de equivalencia en X + Y y el conjunto cocientese denota por X ∪f Y el cual es llamado adjuncion de X con Y mediantela aplicacion f .

Ejemplo 1.4.1. Consideremos dos espacios topologicos X e Y , y sea f :X × 1 → Y definida por f(x, 1) = f(x). El espacio (X × I) ∪f Y esllamado cilindro de la aplicacion f y es denotado por Zf .

1.5 Propiedades de Elevacion

A continuacion daremos uno de los conceptos topologicos mas importantes,su relacion con los grupos fundamentales sera de gran utilidad al momentode realizar algunos calculos.

16 1 Homotopıa

Definicion 1.5.1. Sea p : X → X una aplicacion entre espacios topologicos.Un subconjunto abierto U ⊆ X es llamado cubierto uniformemente por p

si p−1(U) es union disjunta de abiertos V en X tal que p es un home-omorfismo de V sobre U . Una aplicacion recubridora es una aplicacionp : X → X, donde cada punto x ∈ X tiene un entorno abierto que es cu-bierto uniformemente por p. Si p : X → X es una aplicacion recubridora,el espacio X es llamado espacio recubridor y X es llamado espacio base;ademas, para cada x ∈ X, el espacio p−1(x) es llamado fibra sobre x.

Observacion 1.5.1. Toda aplicacion recubridora es sobreyectiva; tambienun homeomorfismo local, por tanto es continua y abierta.

Ejemplo 1.5.1. La aplicacion p : N × R → R definida por p(n, t) = t esuna aplicacion recubridora, ya que, p−1(R) es union disjunta de los abiertosn × R y las restricciones p : n × R→ R son homeomorfismos.

Ejemplo 1.5.2. La aplicacion exponencial pn : S1 → S1 definida por z 7→zn es una aplicacion recubridora. Para cada z0 ∈ S1, el conjunto U =S1 \ −z0 tiene como imagen inversa al conjunto z ∈ S1 | zn 6= −z0 elcual tiene n componentes.

Observacion 1.5.2. Si p : X → X es una aplicacion continua y U es unsubconjunto abierto de X que es uniformemente cubierto, entonces todaslas fibras p−1(x) con x ∈ U , tienen el mismo cardinal. El cardinal de p−1(x)es exactamente el numero de componentes de p−1(U).

Proposicion 1.5.3. Sea X un espacio conexo y p : X → X una apli-cacion recubridora. Si x, y ∈ X, entonces p−1(x) y p−1(y) tienen el mismocardinal, este numero comun se llama numero de hojas del recubrimiento.

Demostracion. Fijamos un punto x ∈ X y sea A el conjunto de puntosen X cuyas fibras tienen el mismo cardinal que p−1(x). Las observacionanterior muestra que A es abierto no vacıo en X. Si para cada y ∈ X,Uy es el entorno abierto de y que es uniformemente cubierto, entoncesX \ A =

⋃y 6∈A Uy; ası que A es cerrado. Desde que X es conexo se sigue

que A = X. 2

Definicion 1.5.2. La aplicacion ε : R → S1 definida por t 7→ e2πti esllamada funcion exponencial. De la definicion se sigue que ε es un homo-morfismo del grupo aditivo R sobre el grupo multiplicativo S1, y el nucleode ε es Z.

1.4 Propiedades de Levantamiento 17

Lema 1.5.4. La funcion exponencial ε : R→ S1 es abierta.

Demostracion. Sea U un subconjunto abierto de R. Veamos que F =S1 \ ε(U) es cerrado. Tenemos que ε−1(ε(U)) =

⋃n∈Z(U + 2πn) es abierto

en R; luego su complemento ε−1(F ) es cerrado en R. Observemos tambienque para cada s ∈ R, existe t ∈ [0, 2π] tal que ε(s) = ε(t). Por tanto, F =ε(ε−1(F )) = ε(ε−1(F )∩ [0, 2π]). Por tra parte, el conjunto ε−1(F )∩ [0, 2π]es compacto; ası que su imagen por ε es compacta, o sea, F es compactoy por tanto cerrado en S1. 2

Proposicion 1.5.5. La restriccion de ε a todo intervalo abierto (t, t + 1)de longitud 1 es un homeomorfismo sobre S1 \ ε(t).

Demostracion. La restriccion ε′ de ε a (t, t + 1) es claramente unabiyeccion continua sobre S1 \ ε(t); por el lema anterior, esta aplicaciones abierta. Por tanto ε′ es abierta y continua. 2

Corolario 1.5.6. Todo punto u = ε(t) posee un entorno abierto U =S1 \ ε(t) tal que ε−1(U) es una union disjunta de intervalos abiertos(t + n, t + n + 1), donde n varıa en Z; donde cada uno de estos intervaloses homeomorfo a U . Por tanto, ε es una aplicacion recubridora.

Demostracion. Ejercicio. 2

Definicion 1.5.3. Sea p : X → X una aplicacion recubridora. Una seccionlocal de p es una aplicacion continua σ : U → X, donde U es subconjuntoabierto de X, tal que p σ = idU .

Lema 1.5.7. (Propiedad de seccion). Sea p : X → X una aplicacionrecubridora. Dado q ∈ X y q en la fibra de q, existe una seccion localσ : U → X tal que σ(q) = q.

Demostracion. Por definicion de conjunto abierto uniforememente cu-bierto, t esta contenido en algun conjunto abierto Un ⊆ R tal que ε : Un →U es un homeomorfismo. Ası, (ε

∣∣Un

)−1 es la seccion local pedida. 2

Definicion 1.5.4. La aplicacion σ que resultra del lema anterior es llamadaseccion local de p sobre U .

Proposicion 1.5.8. Si p : X → X y q : Y → Y son aplicaciones recubri-doras, entonces p× q : X × Y → X × Y es una aplicacion recubridora.

18 1 Homotopıa

Demostracion. Sea (x, y) ∈ X × Y . Desde que p y q son aplicacionesrecubridoras, existen entornos U de p y V de q tal que U es cubiertouniformemente por p y V es cubierto uniformemente por q. Si p : U → U

y q : V → V son los respectivos homeomorfismos, entonces p × q : U ×V → U × V es tambien un homeomorfismo; ası que U × V es cubiertouniformemente por p× q. 2

Ejemplo 1.5.9. Consideremos la aplicacion recubridora

ε× idR+ : R× R+ → S1 × R+

Si tomamos el homeomorfismo

ϕ : S1 × R+ → R2 \ 0(x, t) 7→ tx

entonces la composicion nos da un cubrimiento p : R× R+ → R2 \ 0.Definicion 1.5.5. Sea p : X → X una aplicacion recubridora y f : B → Xuna aplicacion continua. Una elevacion de f es una aplicacion continuaf : B → X tal que pf = f . Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo

Xp

²²B

f??ÄÄÄÄÄÄÄÄ f // X

Ejemplo 1.5.10. Consideremos la aplicacion recubridora del ejemplo 2.4.8p : R×R+ → R2 \ 0. Para las aplicaciones continuas f, g : I → R2 \ 0definidas por

f(t) = (2− t, t) y g(t) = ((1 + t)cos2πt, (1 + t)sen2πt)

sus respectivas elevaciones f , g : I → R× R+ son definidas por

f(t) = (0, 2− t) y g(t) = (t, 1 + t).

Proposicion 1.5.11. (Lema de Lebesgue). Sea X un espacio metricocompacto. Si Uii∈I es un cubrimiento abierto de X, entonces existeδ > 0 (llamado numero de Lebesgue) tal que para todo subconjunto A deX con diam(A) < δ, existe j ∈ I tal que A ⊆ Uj.

Demostracion. [EL] Espacos metricos. pag 234. 2

1.4 Propiedades de Levantamiento 19

Lema 1.5.12. (Unicidad de la elevacion). Sea p : X → X una aplicacionrecubridora y B un espacio conexo. Si f : B → X es continua y f1, f2 :B → X son dos elevaciones de f que coinciden en algun punto de B,entonces f1 = f2.

Demostracion. Sea S = b ∈ B | f1(b) = f2(b). Por hipotesis tenemosque S 6= ∅. Desde que B es conexo, es suficiente mostrar que S es abiertoy cerrado.

Veamos que S es abierto. Dado b ∈ S, escribimos x = f1(b) = f2(b) yx = p(x) = f(b). Sea U ⊆ X un entorno abierto de x y U la componentede p−1(U) conteniendo a x. Si V = f−1

1 (U) ∩ f−12 (U), entonces V es un

entorno abierto de b. Ahora bien, desde que f1 y f2 son elevaciones de f ,se tiene que f = p f1 = p f2. Desde que p es inyectiva en U se sigue quef1 y f2 coinciden en V ; ası que V ⊆ S y S es abierto.

Para mostrar que S es cerrado, es suficiente mostrar que su complementoes abierto. Sea b 6∈ S y sea x1 = f1(b) y x2 = f2(b), ası que x1 6= x2. Seatambien x = p(x1) = p(x2) = f(b) y U el entorno abierto de x el cuales cubierto uniformemente. Entonces existen entornos abiertos disjuntosU1 de x1 y U2 de x2 tal que p es un homeomorfismo de U1 sobre U y deU2 sobre U . Haciendo V = f−1

1 (U1) ∩ f−12 (U2), se tiene que f1(V ) ⊆ U1

y f2(V ) ⊆ U2; ası que f1(v) 6= f2(v) para todo v ∈ V , de donde se tieneV ∩ S = ∅; por tanto S es cerrado. Esto completa la demostracion. 2

Teorema 1.5.13. (Elevacion de camino). Sea p : X → X una aplicacionrecubridora. Sea f : I → X un camino y x0 ∈ X tal que p(x0) = f(0).Entonces existe una unica elevacion f : I → X de f tal que f(0) = x0.

Demostracion. Sea f : I → X un camino y x0 ∈ ε−1(f(0)). Si U

es un cubrimiento abierto de X por conjuntos uniformemente cubiertos,la coleccion f−1(U) |U ∈ U es un cubrimiento abierto de I. Sea δ elnumero de Lebesgue de este cubrimiento y elegimos un entero n tal que1/n < δ, de esta manera, cada intervalo [k/n, (k + 1)/n] de longitud 1/nesta contenido en uno de los conjuntos abiertos f−1(U).

Definimos f : I → X inductivamente como sigue. Elegimos primeroU0 tal que f [0, 1/n] ⊆ U0 y sea σ0 : U0 → X la seccion local tal queσ0(f(0)) = x0. Definiendo

f = σ0 f en [0, 1/n].

20 1 Homotopıa

Sigue entonces que f es continua verificando f(0) = x0 y p f = f .Procediendo por induccion, supongamos que tenemos definida una ele-

vacion para f en cada intervalo de la forma [0, k/n] para algun entero k.Como sabemos, f [k/n, (k + 1)/n] esta contenido en un conjunto abiertouniformemente cubierto Uk. Sea σk : Uk → X la correspondiente seccionlocal tal que σk(f(k/n)) = f(k/n). Ahora bien, para cada k definimos

f = σk f en [k/n, (k + 1)/n].

Por el lema de pegamiento de aplicaciones continuas resulta que f es con-tinua en todo I y se satisface p f = f . Finalmente, la unicidad vienegarantizada por el lema anterior. 2

Teorema 1.5.14. (Elevacion de homotopıa). Sea p : X → X una apli-cacion recubridora. Sean f0, f1 : I → X caminos homotopicos, y seanf0, f1 : I → R las respectivas elevaciones de f0 y f1, tal que f0(0) = f1(0).Entonces f0 ∼ f1.

Demostracion. Sea x0 = f0(0) = f1(0) y sea H : I×I → S1 la homotopıaentre f0 y f1. Esto implica que

H(s, 0) = f0(s), H(s, 1) = f1(s) para todo s ∈ I

y tambien

H(0, t) = f0(0) = f1(0), H(1, t) = f0(1) = f1(1) para todo t ∈ I

Veamos que existe una elevacion de H a una aplicacion H : I × I → X

tal que H(0, 0) = x0. Ası como en la prueba del teorema anterior, existeδ > 0 tal que la imagen vıa H de cualquier subconjunto de I × I condiametro menor que δ, esta contenido en un subconjunto abierto de X

uniformemente cubierto. Elegimos n tal que cada cuadrado de lado 1/ntiene diametro menor que δ.

Para cualquier par de enteros i, j tal que 0 ≤ i, j ≤ n − 1, sea Sij

el cuadrado [i/n, (i + 1)/n] × [j/n, (j + 1)/n]. Para cualquier punto t ∈ε−1(H(i/n, j/n)), existe una unica elevacion Hij de H sobre Sij satisfa-

ciendo Hij(i/n, j/n) = x, definida por Hij = σ Hij, donde σ es la seccionlocal de p tal que σ(H(i/n, j/n)) = x.

Definimos H inductivamente como sigue. En S00, sea H00 la elevacionde H tal que H(0, 0) = x0. En el siguiente cuadrado de la derecha,

1.5 Ejercicios 21

S10, sea H10 la elevacion tal que H10(1/n, 0) = H00(1/n, 0) = x0. Ten-emos asi dos elevaciones definidas en el segmento (1/n, t) | 0 ≤ t ≤ 1/ndonde los dos cuadrados se intersecan. Pero en este segmento, los caminost 7→ H00(1/n, t) y t 7→ H10(1/n, t) son ambos elevaciones del caminot 7→ H(1/n, t) comenzando en el mismo punto; pero entonces deben seriguales debido al teorema anterior.

Continuando de esta manera, definimos las elevaciones en cada cuadradoSi0, i = 0, . . . , n−1, y entonces en los cuadrados de la fila superior. Supong-amos por induccion que tenemos definido elevaciones H(i′, j′) en todos loscuadrados Si′j′ para j′ < j, y para j′ = j y i′ < i, y todas estas eleva-

ciones coinciden donde estos cuadrados se intersecan. Sea Hij la unicaelevacion de H en Sij que coincide con cualquier elevacion previa en laesquina izquierda inferior (i/n, j/n). En un tal cuadrado, tenemos que lasnuevas elevaciones coinciden de dos maneras: en el cuadrado Si−1,j y elcuadrado Si,j−1. Por la unicidad de elevacion, las nuevas elevaciones co-inciden en ambos de estos segmentos. Finalmente obtenemos la elevacionpedida H haciendo H = Hij en Sij y el lema del pegamiento implica que

H es continua. 2

Corolario 1.5.15. (Propiedad de Monodromıa). Sea p : E → X unaaplicacion recubridora y f0, f1 : I → X caminos homotopicos. Si f0, f1

son sus respectivos levantamientos tal que f0(0) = f1(0), entonces f0(1) =f1(1).

Demostracion. Consecuencia directa del teorema anterior. 2

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.6.1. Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. Existe una aplicacion continua H : X × I → Y tal que H ∂0 = f yH ∂1 = g.

2. Existe una aplicacion continua H : X × I → Y y una familia deaplicaciones continuas Ht : X → Y tal que H ∂t = Ht para todot ∈ I, H0 = f y H1 = g.

22 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.2. Considere la topologıa compacto - abierta en el espa-cio C(X, Y ). Muestre que una aplicacion continua H : X × I → Y in-duce una aplicacion continua F : I → C(X, Y ). Recıprocamente, si X

es Hausdorff localmente compacto; muestre que toda aplicacion continuaF : I → C(X,Y ) induce una aplicacion continua H : X × I → Y . Con-cluya que, para dos aplicaciones continuas f, g : X → Y con X Hausdorfflocalmente compacto, dar una homotopıa de f a g es equivalente a dar uncamino en C(X,Y ) que va de f a g.

Demostracion. La topologıa compacto-abierta en C(X, Y ) es aquella quetiene como subbase a los conjuntos (K,U) = f ∈ C(X, Y ) | f(K) ⊆ U,donde K es compacto y U abierto.

Para cada t ∈ I, definimos Ht : X → Y por x 7→ H(x, t), claramentese ve que Ht es continua. Definimos ahora F : I → C(X,Y ) por t 7→ Ht yveamos que F es continua. Para esto es suficiente garantizar que F−1(K, U)es abierto para algun compacto K y un abierto U .

Sea t0 ∈ F−1(K,U), entonces Ht0(K) ⊆ U , o tambien H(K×t0) ⊆ U ,lo que implica K×t0 ⊆ H−1(U). Desde que U es abierto y H continua, elconjunto (K×I)∩H−1(U) es un abierto en K×I que contiene a K×t0;por tanto, existe un entorno W de t0 tal que K × W ⊆ H−1(U). Ahorabien, dado t ∈ W , se tiene

K × t ⊆ K ×W ⊆ H−1(U)

lo que implica H(K × t) ⊆ U o tambien Ht(K) ⊆ U ; ası que F (t) =Ht ∈ (K, U) y W ⊆ F−1(U,K). Por lo tanto, F es continua.

Recıprocamente, supongamos que X es de Hausdorff localmente com-pacto, y sea F : I → C(X,Y ) una aplicacion continua y consideremos eldiagrama

X × IidX×F−→ X × C(X,Y )

α−→ Y

donde α(x, f) = f(x). Definimos H = α (idX ×F ), entonces es suficientemostrar que α es continua. Sea U ⊆ Y abierto y veamos que α−1(U) esabierto. Dado (x, f) ∈ α−1(U), entonces f(x) = α(x, f) ∈ U , o tambienx ∈ f−1(U). Desde que X es Hausdorff localmente compacto y x ∈ X,existe un abierto V tal que V es compacto y x ∈ V ⊆ V ⊆ α−1(U);ası que f(V ) ⊆ U . Ademas, V × (V , U) ⊆ α−1(U). En efecto, dado(y, g) ∈ V × (V , U), se tiene que y ∈ V y g(V ) ⊆ U , lo que implicaα(y, g) = g(y) ∈ U , o tambien (y, g) ∈ α−1(U). Desde que V × (V , U) es

1.5 Ejercicios 23

un abierto que contiene a (x, f), se sigue que α es continua. Por lo tanto,H es continua.

Ejercicio 1.6.3. Sea X un espacio topologico y f, g : X → Sn dos aplica-ciones continuas tales que f(x) 6= −g(x) para todo x ∈ X. Muestre quef ∼ g.

Demostracion. Para todo x ∈ X y para todo t ∈ I, vale (1 − t)f(x) +tg(x) 6= 0; suponiendo lo contrario, existe x0 y t0 tal que (1 − t0)f(x0) +t0g(x0) = 0, de donde, (1− t0)f(x0) = −t0g(x0), y tomando norma se tiene|1− t0| = |t0|, o sea t0 = 1/2, lo cual es imposible.

Ahora bien, la aplicacion continua H : X × I → Sn definida por

H(x, t) =(1− t)f(x) + tg(x)

‖(1− t)f(x) + tg(x)‖es claramente una homotopıa entre f y g.

Ejercicio 1.6.4. Si los homeomorfismos f, g : X → Y son homotopicos,sus inversos f−1, g−1 : Y → X son tambien homotopicos.

Demostracion. Sea f ∼= g. Entonces idY = f f−1 ∼= g f−1, lo queimplica

g−1 ∼= g−1 (g f−1) = (g−1 g) f−1 ∼= f−1.

Ejercicio 1.6.5. Suponga que f0, f1 : X → Y son homotopicas. Muestreque existe una homotopıa H : X × I → Y tal que H(x, t) = f0(x) paratodo t ∈ [0, 1

4 ] y H(x, t) = f1(x) para todo t ∈ [34 , 1].

Demostracion. Existe f : R → R diferenciable tal que f(t) > 0 paratodo t > 0 y f(t) = 0 para todo t < 0. Sea

ρ(t) =f(4t− 1)

f(4t− 1) + f(3− 4t)

Entonces ρ(t) = 0 para t ≤ 1/4 y ρ(t) = 1 para 3/4 ≤ t. Si F : f0 ∼ f1,considere H(x, t) = F (x, ρ(t)).

Ejercicio 1.6.6. Sea F : D2 → D2 una aplicacion continua tal que F (S1) ⊆S1. Defina f : S1 → S1 como f(z) = F (z). Muestre que f es sobreyectivao que f es homotopica a una constante.

Demostracion. Si F (S1) = S1, entonces f es sobreyectiva. Sea F (S1) 6=S1. Entonces existe y0 ∈ S1 tal que F (z) 6= y0 para todo z ∈ S1. Sea

24 1 Homotopıa

g : S1 → S1 por z 7→ −y0, entonces f(z) 6= −g(z) para todo z ∈ S1. Portanto ‖(1− t)f(z) + tg(z)‖ 6= 0 para todo z ∈ S1 y todo t ∈ I. Definimosahora

H : S1 × I → S1

(z, t) 7→ (1−t)f(z)+tg(z)‖(1−t)f(z)+tg(z)‖

Entonces se ve que

H(z, 0) =f(z)

‖f(z)‖ = f(z) y H(z, 1) =g(z)

‖g(z)‖ = g(z).

Ejercicio 1.6.7. Sea f : S1 → S1 una aplicacion continua tal que f 6≈ idS1.Muestre que existe x ∈ S1 tal que f(x) = −x.

Demostracion. Supongamos que f(x) 6= −x para todo x ∈ S1, entonces‖(1− t)f(x) + tx‖ 6= 0 para todo x ∈ S1 y para todo t ∈ I. Definimos

H : S1 × I → S1

(z, t) 7→ (1−t)f(z)+tz‖(1−t)f(z)+tz‖

Entonces H es continua; ademas, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = idS1(x). Porlo tanto, f ∼ idS1.

Ejercicio 1.6.8. Muestre directamente que R3 \ E ≡ S1.

Demostracion. Definimos las aplicaciones

f : R3 \ E → S1

(u, v, w) 7→ (u,v)‖(u,v)‖

yg : S1 → R3 \ E

(x, y) 7→ (x, y, 0).

Entonces

(f g)(x, y) = f(x, y, 0) =(x, y)

‖(x, y)‖ = (x, y) = idS1(x, y).

Ahora bien, definimos la aplicacion continua

f : (R3 \ E)× I → R3 \ E((u, v, w), t

) 7→ (1−t)‖(u,v)‖(u, v, 0) + t(u, v, w)

la cual es continua. Ademas, es facil ver que H((u, v, w), 0) = (gf)(u, v, w)y H((u, v, w), 1) = idR3\E(u, v, w).

1.5 Ejercicios 25

Ejercicio 1.6.9. Sea f : (S1, 1) → (S1, 1) una aplicacion continua. En-tonces existe una unica aplicacion continua α : (I, 0) → (R, 0) tal quef = α.

Demostracion. Tomemos la rama principal log del logaritmo complejo,es decir, si z = reiθ, r > 0, −π < θ < π, entonces log(z) = ln(r) + iθ,donde ln es la funcion logaritmo natural. Sea h : I → S1 la funcion continuadefinida por h(t) = f q. Desde que I es compacto, h es uniformementecontinua, entonces existe una particion 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 de I, talque

|h(t)− h(tj)| < 2 si t ∈ [tj, tj+1] y j = 0, 1, . . . , k − 1.

Ası, h(t) 6= −h(tj), o sea h(t)h(tj)−1 6= −1. Por lo tanto, log(h(t)h(tj)

−1)esta definido. Definimos

α(t) =1

2πi

(log

(h(t1)

h(t0)

)+ . . . + log

( h(tj)

h(tj−1)

)+ log

( h(t)

h(tj)

))

Entonces α es continua con valores reales. Ahora bien, desde que la funcionexponencial es un epimorfismo y desde que h(t0) = h(0) = 1, se obtiene

α(t) = e2πiα(t) =h(t)

h(t0)= h(t) = f q.

Ejercicio 1.6.10. Sea una aplicacion continua f : S1 → S1. Muestre queexiste una unica aplicacion continua α : (I, 0) → (R, 0) tal que f(z) =f(1)α(z) para todo z ∈ S1.

Demostracion. Sea g : S1 → S1 la aplicacion continua definida porg(z) = f(z)/f(1), entonces g(1) = 1. Segun el teorema anterior, existeuna unica aplicacion α : (I, 0) → (R, 0) tal que g(z) = α(z). Por lo tanto,f(z) = f(1)α(z).

Ejercicio 1.6.11. Sea α : (I, 0) → (R, 0) una aplicacion continua tal queα(1) = n ∈ Z y αn : I → R la aplicacion definida por s 7→ ns. Muestre queH : I × I → R definida por H(s, t) = (1− t)α(s) + nst es una homotopıaentre α y αn relativa a 0, 1. Ahora bien, aplicando la funcion exponenciala α y αn, obtenemos α ∼ αn rel 1.Ejercicio 1.6.12. Muestre que A = (0, 1) es un retracto por deformaciondel espacio

X =((1/n |n ∈ N ∪ 0)× [0, 1]

) ∪ ([0, 1]× 0)

Pero que no es un retracto por deformacion fuerte.

26 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.13. Un espacio X es simplemente conexo si es conexo y todaaplicacion continua de S1 en X es homotopico a una constante. Muestreque todo espacio contractil es simplemente conexo.

Demostracion. Sea X contractil. Entonces existe una aplicacion con-tinua H(X × I) → X tal que H(x, 0) = idX(x) y H(x, 1) = fx0

(x). Seaf : S1 → X continua y veamos que fx0

. Definimos

L : S1 × I → X

(z, t) 7→ H(g(z), t).

Entonces

L(z, 0) = H(g(z), 0) = g(z) y L(z, 1) = H(g(z), 1) = fx0(z).

Por lo tanto, g ≈ fx0.

Ejercicio 1.6.14. Muestre que O(n,R) es un retracto por deformacion deGL(n,R).

Demostracion. Sea A ∈ GL(n,R). Por el teorema de descomposicionpolar, podemos expresar de manera unica A = BC, donde B ∈ O(n,R) yC es una matriz definida positivamente. Definimos

r : GL(n,R) → O(n,R)A 7→ AC−1 .

y sea ı : O(n,R) → GL(n,R) la inclusion. Es claro que r ı = idO(n,R);ası que r es una retraccion. Veamos a continuacion que ı r ≈ idGL(n,R).Definimos

H : GL(n,R)× I → GL(n,R)(A, t) 7→ (1− t)AC−1 + tA

.

Desde que C es definida positivamente, entonces C es semejante a unamatriz diagonal D, es decir, existe una matriz inversible P tal que C =P−1DP , lo que implica C−1 = P−1D−1P . Sea

Bt = H(A, t) = (1− t)AP−1D−1P + tA = A[P−1((1− t)D−1 + tIn

)P ].

Entonces

det(Bt) = detA[P−1((1− t)D−1 + tIn

)P ]

= det(A)det(P−1)det((1− t)D−1 + tIn)det(P )

= det(A)det((1− t)D−1 + tIn) 6= 0.

1.5 Ejercicios 27

Por tanto, H esta bien definida y es continua. Ademas, no hay dificultaden mostrar que

H(A, 0) = (ı r)(A) y H(x, 1) = idGL(n,R)(A).

Ejercicio 1.6.15. Sea Y un subcomjunto de Rn. Muestre que las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. Y es contractil.

2. Y es un retracto de Rn.

3. Y es un retracto por deformacion de Rn.

Ejercicio 1.6.16. Si A es un retracto por deformacion de X y A′ unretracto por deformacion de X ′, entonces A×A′ es un retracto por defor-macion de X ×X ′.

Demostracion. Sean r : X → A y r′ : X ′ → A′ retractos por defor-macion y sean las homotopıas H : ı ridX y H ′ : ı′ r′ ≈ idX ′. Considere-mos

r : X ×X ′ → A× A′

(x, x′) 7→ (r(x), r′(x′)).

Si (a, a′) ∈ A × A′, entonces r(a, a′) = (r(a), r′(a′)) = (a, a′). Definimos acontinuacion

H : (X ×X ′)× I → X ×X ′((x, x′), t

) 7→ (H(x, t), H ′(x′, t)).

Entonces

H((x, x′), 0) = (r(x), r′(x)) y H((x, x′), 0) = idX×X ′(x, x′).

Ejercicio 1.6.17. Sea X un retracto de vecindad. Pruebe que para todox0 ∈ X y todo abierto U de X con x0 ∈ U , existe un abierto V conx0 ∈ V ⊆ U tal que las aplicaciones ı : V → U y fx0

: V → U sonhomotopicas.

Demostracion. Sea Y ⊆ Rn un subconjunto abierto y r : Y → X unaretraccion, es decir, X ⊆ Y , r continua y r

∣∣X

= idX . Sea x0 ∈ X y U unabierto de X con x0 ∈ U .

Se tiene que U ′ = r−1(U) es abierto en Rn y claramente U ⊆ U ′. Deesta manera podemos definir la retraccion r = r

∣∣U ′ : U ′ → U .

28 1 Homotopıa

Consideremos ε : U → R+ por x 7→ d(x,Rn \ U ′). Veamos que x ∈ U ,z ∈ Rn y ‖x − z‖ < ε(x) implica z ∈ U ′. En efecto, si z 6∈ U ′, entoncesz ∈ Rn\U ′, pero esto es una contradiccion ya que ‖x−z‖ < ε(x) ≤ ‖x−z‖;ası, z ∈ U ′.

Veamos a continuacion que [x, z] ⊆ U ′. Las relaciones

‖x− ((1− t)x + tz)‖ = ‖tx− tz‖ = |t|‖x− z‖ ≤ ‖x− z‖ < ε(x)

implican que (1− t)x + tz ∈ U ′ para todo t ∈ I. Por tanto, [x, z] ⊆ U ′.Definimos ahora V = B(x0, ε(x0)) ∩ U ⊆ U y sean las aplicaciones

ı : V → U , fx0: V → U . Entonces

‖fx0− ı(x)‖ = ‖x0 − x‖ < ε(x0) y [x0, x] ⊆ U ′.

Definimos a continuacion

H : V × I → U

(x, t) 7→ r[(1− t)x0 + tx]

Es facil cer que

H(x, 0) = fx0(x) y H(x, 1) = ı(x).

Ejercicio 1.6.18. Sean X,Y espacios metricos, con X es compacto. Muestreque, si f, g : X → Y son homotopicas, entonces para cada ε > 0, existenaplicaciones continuas f0, f1, . . . , fk : X → Y tales que f0 = f , fk = g yd(fi(x), fi−1(x)) < ε para todo x ∈ X y para todo i = 1, . . . , k. Si X no escompacto, muestre que esta afirmacion no se cumple; ademas, si Y es unretracto de vecindad, entonces se cumple la recıproca.

Demostracion. Sea F : f ∼ G. Tenemos que X × I es un espaciometrico compacto, donde d((x, s), (y, t)) = d(x, y)+ |s− t|. Desde que F esuniformemente continua, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d((x, s), (y, t)) <

δ implica d(F (x, s), F (y, t)) < ε. Entonces existe un numero entero k talque 0 < 1/k < δ. Sea ti = i/k; luego

d((x, ti), (x, ti−1)) = d(x, x) + |ti − ti−1| = 1/k < δ

Ahora defina fi : X → Y por fi(x) = F (x, ti).

Ejercicio 1.6.19. Muestre que S1 × S1 es un retracto por deformacionfuerte de D2 × S1 \ (0 × S1).

Demostracion. Considere la inclusion ı : S1 × S1 → (D2 \ 0) × S1 yf : (D2 \ 0)× S1 → S1 × S1 definida por f(x, y) = (x/‖x‖, y).

1.5 Ejercicios 29

Ejercicio 1.6.20. Sean X e Y espacios topologicos y f : X → Y unaaplicacion continua. Se define el espacio cilindro Zf de f como el espaciocociente de la suma disjunta

(X× [0, 1]

)∪Y por la relacion de equivalenciadeterminada por (x, 0) ∼ f(x), para x ∈ X. Sea q :

(X × [0, 1]

)∪ Y → Zf

la aplicacion cociente. Muestre cada una de las siguientes afirmaciones:

1. Si Y es un punto, entonces Zf es el cono de X.

2. q lleva homeomorficamente Y sobre un subespacio cerrado q(Y ) de Zf .Por medio de este mergullo, Y puede considerarse como un subespaciocerrado de Zf . Tambien, g : X → Zf definida por g(x) = q(x, 1)lleva homeomorficamente X sobre el subespacio cerrado q(X × 1)de Zf . Luego, X e Y pueden considerarse como subespacios disjuntosy cerrados de Zf y se llaman dominio y rango de Zf , resprctivamente.

3. Pruebe que q(Y ) es un reytracto por deformacion fuerte de Zf .

4. Si f es una equivalencia homotopica, muestre que q(X × 1) es unretracto por deformacion de Zf .

5. Toda aplicacion continua f : X → Y es homotopica a una inyecciong : X → Zf .

6. Las aplicaciones g : X → Zf y q f : X → Zf son homotopicas.

Ejercicio 1.6.21. Muestre que 0 × S1 es un retracto por deformacionfuerte de D2 × S1.

Ejercicio 1.6.22. Muestre que existe una retraccion r : Dn+1 → Sn si ysolo si Sn es contractil.

Ejercicio 1.6.23. Sea la aplicacion p : R → S1 definida por t 7→ e2πti ysea V = S1 \ (1, 0), entonces p−1(V ) =

⋃k∈Z(k, k + 1) y la restriccion

p∣∣(k,k+1) : (k, k+1) → V es un homeomorfismo para todo entero k. Por otra

parte, sea V ′ = S1 \(−1, 0), entonces p−1(V ′) =⋃

k∈Z(−12 +k, 1

2 +k) y larestriccion p

∣∣(− 1

2+k, 12+k) : (−12+k, 1

2+k) → V ′ es tambien un homeomorfismo

para todo entero k. Por tanto, p es una aplicacion recubridora y S1 es unespacio recubridor de X.

Ejercicio 1.6.24. Sea X = (x, y) ∈ R2 | x o y es entero y X = (z1, z2) ∈S1 × S1 | z1 = 1 o z2 = 1. Muestre que la aplicacion p : X → X definidapor (x, y) 7→ (e2πxi, e2πyi) es una aplicacion recubridora.

30 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.25. Muestre que la funcion exponencial p : C → C \ 0definida por

ez =∞∑

n=0

zn

n!

es una aplicacion recubridora.

Ejercicio 1.6.26. Muestre que el grupo fundamental de cualquier grupotopologico es anbeliano.

Ejercicio 1.6.27. Sea U ⊆ R2 un conjunto abierto y x ∈ U . Muestre queU \ x no es simplemente conexo.

Ejercicio 1.6.28. Muestre que un espacio topologico no es simultanea-mente una 2-variedad y una n variedad para algun n > 2.

Ejercicio 1.6.29. Sea M una 2-variedad con borde. Muestre que ∂M esdisjunto del conjunto de puntos interiores. Concluir que una 2-variedadcon borde es una variedad si y solo si su frontera es vacıa.

Ejercicio 1.6.30. Sea ϕ : S1 → S1 una aplicacion continua tal que ϕ(1) =1. Desde que π1(S1, 1) es cıclico infinito, existe un entero n llamado el gradode ϕ y denotado por grad(ϕ) tal que ϕ α = αn para todo [α] ∈ π1(S1, 1).Si ϕ : S1 → S1 es una aplicacion continua arbitraria, definimos el grado deϕ como el grado de ρ ϕ, donde ρ : S1 → S1 es la rotacion ρ(z) = z/ϕ(1).Muestre las siguientes afirmaciones

(a) Dos aplicaciones continuas ϕ, ψ : S1 → S1 son homotopicas si y solosi tienen el mismo grado.

(b) Dadas las aplicaciones continuas ϕ, ψ : S1 → S1, muestre que grad(ϕψ) = grad(ϕ)grad(ψ).

(c) Para cada n ∈ Z calcule el grado de pn(z) = zn y de pn(z) = zn.

(d) Muestre que ϕ : S1 → S1 admite una extension continua ϕ : D2 → S1

si y solo si tiene grado cero.

Ejercicio 1.6.31. Sea V un campo vectorial en R2, es decir, una aplicacioncontinua V : R2 → R2. Un punto p ∈ R2 es llamado punto singular de V

si V (p) = 0, y un punto regular si V (p) 6= 0. Un punt singular es llamadoaislado si admite un entorno que no contiene a otros puntos singulares.

1.5 Ejercicios 31

Sea RV el conjunto de puntos regulares de V . Para un lazo f : I → RV ,definimos el ındice de V con respecto a f denotado por Ind(V, f) como elnumero de vueltas del lazo f : I → S1, dado por

f(s) =V (f(s))

|V (f(s))| .

(a) Muestre que Ind(V, f) solo depende de la clase [f ] de f .

(b) Si p es un punto singular aislado de V , muestre que Ind(V, fε) nodepende de ε para ε suficientemente pequeno. Muestre que fε(s) =p+ε(α(s)), donde α es el lazo antihorario estandar en S1. Este enteroes llamado ındice de V en p y es denotado por Ind(V, p).

(c) Si V tiene un numero finito de puntos singulares en el disco D2, todosen el interior, muestre que el ındice de V respecto de α es igual a lasuma de los ındices de V en los puntos singulares interiores.

(d) Calcular el ındice de los siguientes campos vectoriales en el origen

V1(x, y) = (x, y), V2(x, y) = (−x,−y), V3(x, y) = (x + y, x− y).

Ejercicio 1.6.32. Considere la banda de MobiusM = ([0, 1]×[−1, 1])/(0, t) ∼(1,−t), t ∈ [−1, 1]. Encontrar una aplicacion recubridora de R× I en M.

Ejercicio 1.6.33. Muestre que las siguientes aplicaciones no son recubri-doras:

1. f : R→ [0, +∞〉, definida por x 7→ |x|.2. g : C→ C definida por z 7→ z2.

Ejercicio 1.6.34. Muestre que las siguientes aplicaciones son recubridoras:

1. h : S1 → S1, definida por z 7→ z2.

2. p : Rn → Tn definida por (t1, . . . , tn) 7→ (ε(t1), . . . , ε(tn)).

Ejercicio 1.6.35. Muestre que la aplicacion π : M → O de la practica no1es una aplicacion recubridora.

Ejercicio 1.6.36. Sea X un espacio topologico y f : X → S1 una apli-cacion continua. Muestre que existe una elevacion f de f con ε f = f siy solo si f es homotopica a una constante.

32 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.37. Sea H subgrupo de un grupo topologico G. Muestreque p : G → G/H es una aplicacion recubridora si y solo si H es discreto.

Ejercicio 1.6.38. Considere la aplicacion recubridora p × p : R × R →S1 × S1 definida por (s, t) 7→ (e2πis, e2πit). Considere el camino en S1 × S1

f(t) = (cos2πt, sen2πt)× (cos4πt, sen4πt)

Encuentre una elevacion f de f a R× R.

Ejercicio 1.6.39. Muestre que la aplicacion p : T2 → T2 definida por(z, w) 7→ (zawb, zcwd) con a, b, c, d ∈ Z y ad− bc es una aplicacion recubri-dora.

Ejercicio 1.6.40. Sea Y ⊆ Rn un espacio contractil que es retracto deentorno. Muestre que toda aplicacion continua f : A → Y definida enun subconjunto cerrado de un espacio metrico X, admite una extensioncontinua f : X → Y .

Ejercicio 1.6.41. Muestre que Sn es simplemente conexo para n ≥ 2.

Ejercicio 1.6.42. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X

conexo. Muestre que si p−1(x0) tiene k elementos para algun x0, entoncesp−1(x) tiene k elementos para todo x ∈ X.

Ejercicio 1.6.43. Sean p : X → Y y q : Y → Z aplicaciones recubridorasy sea r = q p. Muestre que, si q−1(z) es finito para cada z ∈ Z, entoncesp es una aplicacion recubridora.

Ejercicio 1.6.44. Muestre que π1(X × Y, (x, y)) ∼= π1(X, x)× π1(Y, y).

Ejercicio 1.6.45. Si un espacio X es simplemente conexo, entonces π1(X) =1.

Ejercicio 1.6.46. Dar un ejemplo de una aplicacion continua e inyectivaf : X → Y tal que, la aplicacion f∗ : π1(X) → π1(Y ) no sea monomorfismo.

Ejercicio 1.6.47. Dar un ejemplo de una aplicacion continua y sobreyec-tiva f : X → Y tal que, la aplicacion f∗ : π1(X) → π1(Y ) no sea epimor-fismo.

Ejercicio 1.6.48. Considere la figura ocho X, la cual resulta de unir lascircunferencias de radio 1 centradas en (0, 1) y (0,−1) respectivamente.Sea Y la circunferencia superior. Muestre que Y es un retracto de X.

1.5 Ejercicios 33

Ejercicio 1.6.49. Calcular los grupos fundamentales de los siguientesespacios: (i) T2, (ii) R3 \ 0, (iii) R2 \ 0, (iv) M, (v) S1 ×R, (vi) Rn \ 0, (vii) P1.

Ejercicio 1.6.50. Muestre que el conjunto de puntos z ∈ D2 para loscuales D2 \ z es simplemente conexo, es precisamente S1.

Ejercicio 1.6.51. Muestre que si f : D2 → D2 es un homeomorfismo,entonces f(S1) = S1.

Ejercicio 1.6.52. Sea f : S1 → S1 la aplicacion definida por z 7→ zn.Describir el homomorfismo f∗ : π1(S1) → π1(S1).

Ejercicio 1.6.53. Muestre que el grupo fundamental de un grupo de Lie,es abeliano.

Ejercicio 1.6.54. Generalice el ejercicio 1 a una familia arbitraria de es-pacios topologicos.

Ejercicio 1.6.55. Sean f, g : S2 → R funciones continuas impares. Muestreque existe un punto z ∈ S2 tal que f(z) = g(z) = 0.

Ejercicio 1.6.56. Sea α : I → Pn(R) un lazo tal que d(α(s), α(0)) <√

2para todo s ∈ I. Muestre que [α] = 1.

Ejercicio 1.6.57. Dado el polinomio p(z) = 2z3 − 9z2 + 12z + 1, obtengados subconjuntos finitos F1 ⊆ C y F2 ⊆ C tales que p : C \ F1 → C \ F2

sea un recubrimiento con 3 hojas.

Ejercicio 1.6.58. Sea f : M → N diferenciable y q un valor regular de f ,donde M es compacto con igual dimension que N . Muestre que f−1(q) esun conjunto finito p1, . . . , pn. Muestre que existe un entorno V de q talque f−1(V ) es una union disjunta de abiertos Ui, donde Ui es un entornode pi y f es un difeomorfismo de Ui sobre V .

Ejercicio 1.6.59. Muestre que equivalencia de palabras en W (S) es unarelacion de equivalencia.

Ejercicio 1.6.60. Sea G = F (S)/N(R) y f : S → H una aplicacion en ungrupo H tal que para cada relacion ri1

1 . . . rinn se verifica f(r1)

i1 . . . f(rn)in =

e. Entonces existe un unico homomorfismo f : G → H tal que f(s1) = f(s)para todo s ∈ S.

34 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.61. Sea G un grupo y h : F (S) → G un epimorfismo. SeaR un conjunto de palabras representando elementos del nucleo de h y cuyaclausura normal sea Nuc(h). Entonces G ∼= 〈S|R〉.Ejercicio 1.6.62. Muestre que todo grupo admite una presentacion.

Ejercicio 1.6.63. Sea G = 〈a, b | a2, b3, aba−1b−1 = e〉. Muestre que G ∼=Z6.

Ejercicio 1.6.64. Muestre que A(F (S)) es precisamente la abelianizacionde F (S).

Ejercicio 1.6.65. El grupo abeliano libre A(F (S)) satisface la siguientepropiedad universal: existe un homomorfismo inyectivo f : S → A(F (S))tal que f(S) genera a A(F (S)); ademas, para cada aplicacion g : S → G

en un grupo abeliano G, existe un unico homomorfismo ϕ : A(F (S)) → G

tal que ϕ f = g.

Ejercicio 1.6.66. Muestre que los grupos 〈a, b | a4, b2a−2, bab−1a〉 y 〈x, y |xyxy−1, x2y−2〉son isomorfos.

Ejercicio 1.6.67. Muestre que Zm × Zn∼= 〈a, b | am, bn, aba−1b−1〉.

Ejercicio 1.6.68. 〈a, b | abab−1〉 ∼= 〈x, y | x2y2〉 (es precisamente el grupofundamental de la botella de Klein).

Ejercicio 1.6.69. Si G es un grupo definido por generadores a, b y rela-ciones a3 = e, b3 = e, entonces G ∼= Z2 ∗ Z3.

Ejercicio 1.6.70. El producto libre es conmutativo y asociativo: es decir,G ∗H ∼= H ∗G y (G ∗H) ∗K ∼= G ∗ (H ∗K).

Ejercicio 1.6.71. Muestre que un grupo libre es producto libre de gruposcıclicos infinitos.

Ejercicio 1.6.72. Sean x, y generadores de Z4 y Z3, respectivamente.Muestre que

x 7→(

0 1−1 0

)y y 7→

( −1 1−1 0

)

es un isomorfismo de Z4 ∗ Z3 sobre SL(2,Z).

Ejercicio 1.6.73. Si M es una variedad conexa de dimension al menos 3y p ∈ M , muestre que π1(M \ p) = π1(M).

1.5 Ejercicios 35

Ejercicio 1.6.74. Sea X = S2 ∪ (0, 0, z) | − 1 ≤ z ≤ 1. Calcularπ1(X, N), donde N es el polo norte.

Ejercicio 1.6.75. Sea X = S2 ∪(x, y, 0) | (x, y) ∈ S1. Calcular π1(X, p),donde p es un punto del ecuador.

Ejercicio 1.6.76. Muestre que S2 es homeomorfo a los siguientes espacioscociente

1. D2 modulo la relacion de equivalencia (x, y) ∼ (−x, y) para x ∈ S1.

2. I × I modulo la relacion de equivalencia (0, t) ∼ (t, 0) y (t, 1) ∼ (1, t).

Ejercicio 1.6.77. Muestre que el plano proyectivo P2 es homeomorfo a lossiguientes espacios cociente

1. S2 modulo la relacion de equivalencia x ∼ −x para x ∈ S2.

2. D2 modulo la relacion de equivalencia (x, y) ∼ (−x,−y) para (x, y) ∈S1.

3. I×I modulo la relacion de equivalencia (t, 0) ∼ (1− t, 1) y (0, 1− t) ∼(1, t).

Ejercicio 1.6.78. Calcular el grupo fundamental de S2∪(x, y, z) | (x, y) ∈D2, z = 0.Ejercicio 1.6.79. Sea M una variedad de dimension ≥ 3 y sea M ∗ = M \B, donde B es una n-bola encajada en M . Muestre que π1(M

∗) ∼= π1(M).

Ejercicio 1.6.80. Sean M y N variedades conexas de dimensiones ≥ 3.Muestre que π1(M + N) ∼= π1(M) ∗ π1(N).

Ejercicio 1.6.81. Muestre que π1(P2) ∼= Z2.

Ejercicio 1.6.82. Muestre que R2\p1, . . . , pn es homeomorfo a S1∨ . . .∨S1 y concluir que π1(R2 \ p1, . . . , pn) ∼= Z ∗ . . . ∗ Z.

Ejercicio 1.6.83. Calcular los grupos fundamentales de S1 ∨ S2, P2(R) ∨P2(R), S1 ∨ P2(R).

Ejercicio 1.6.84. Muestre que el grupo fundamental de P2(R) \ p es Z.

Ejercicio 1.6.85. Calcule el grupo fundamental del complemento de lostres ejes coordenados.

36 1 Homotopıa

Ejercicio 1.6.86. Muestre que P2(R) es homeomorfo a D2 ∪f S1, dondef(z) = z2.

Ejercicio 1.6.87. La botella de Klein B se define como el cociente deI × I modulo la relacion de equivalencia (s, 0) ∼ (s, 1) y (0, t) ∼ (1, 1− t).Muestre que B es homeomorfo a D2 ∪f X, donde X es la figura ocho yf : S1 → X es la aplicacion definida por

f(cos2πt, sen2πt) =

(cos

(8πt− π

2

), 1 + sen

(8πt− π

2

)), si t ∈ [0, 1/4](

cos(8πt + π

2

),−1 + sen

(8πt + π

2

)), si t ∈ [1/4, 1/2]

(sen(8πt + π), 1 + cos(8πt + π)), si t ∈ [1/2, 3/4](cos

(8πt + π

2

),−1 + sen

(8πt + π

2

)), si t ∈ [3/4, 1]

Capıtulo 2

El Grupo Fundamental

2.1 Construccion del grupo Fundamental

Definicion 2.1.1. Sea X un espacio topologico y x0 ∈ X. Un lazo enX basado en x0 es un camino α : [0, 1] → X tal que α(0) = x0 = α(1).Denotemos al conjunto de lazos en X por Ω1(X, x0).

Definicion 2.1.2. Sean α, β : [0, 1] → X dos caminos tal que α(1) = β(0).Definimos el camino producto de α con β por

(α ∗ β)(s) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

β(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

No hay dificultad en verificar que si α y β son lazos en X basados en x0,entonces α ∗ β es tambien un lazo en X basado en x0.

Definicion 2.1.3. Dado un camino α : [0, 1] → X, el camino inverso de α

es el camino α : [0, 1] → X definido por α(s) = α(1 − s). Si α es un lazobasado en x0, el camino inverso α es tambien un lazo basado en x0.

En lo que sigue utilizaremos la notacion α ∼ β para indicar que el lazoα es homotopico al lazo β, relativo al conjunto ∂I.

Proposicion 2.1.1. Sean α, β, γ, σ ∈ Ω1(X, x0). Se cumplen las siguientesafirmaciones:

(a) Si α ∼ β y γ ∼ σ, entonces α ∗ γ ∼ β ∗ σ.

(b) (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ).

(c) α ∗ cx0∼ α y cx0

∗ α ∼ α.

37

38 1 El Grupo Fundamental

(d) α ∗ α ∼ cx0y α ∗ α ∼ cx0

.

Demostracion. (a) Sea F : α ∼ β y G : γ ∼ σ.

Consideremos la aplicacion

H(s, t) =

F (2s, t), si 0 ≤ s ≤ 1/2

G(2s− 1, t), si 1/2 ≤ s ≤ 1

Entonces

H(s, 0) =

F (2s, 0), si 0 ≤ s ≤ 1/2

G(2s− 1, 0), si 1/2 ≤ s ≤ 1

=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

γ(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= α ∗ γ.

Tambien

H(s, 1) =

F (2s, 1), si 0 ≤ s ≤ 1/2

G(2s− 1, 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

=

β(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

σ(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= β ∗ σ.

Por tanto, H es una homotopıa tal que α ∗ γ ∼ β ∗ σ.

(b) Sean α, β, γ ∈ Ω1(X, x0)

2.1 Definiciones y Propiedades Basicas 39

definimos

H(s, t) =

α( 4s1+t), si 0 ≤ s ≤ t+1

4β(4s− 1− t), si t+1

4 ≤ s ≤ t+24

γ(4s−2−t2−t ), si t+2

4 ≤ s ≤ 1

Entonces

H(s, 0) =

α(4s), si 0 ≤ s ≤ 1/4β(4s− 1), si 1/4 ≤ s ≤ 1/2γ(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

=

(α ∗ β)(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

γ(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= (α ∗ β) ∗ γ.

Tambien

H(s, 1) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2β(4s− 2), si 1/2 ≤ s ≤ 3/4γ(4s− 3), si 3/4 ≤ s ≤ 1

=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

(β ∗ γ)(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= α ∗ (β ∗ γ).

Por lo tanto, H es una homotopıa de (α ∗ β) ∗ γ a α ∗ (β ∗ γ).(c) Sean α ∈ Ω1(X, x0)


Definimos

F (s, t) =

α( 2s

1+t), si 0 ≤ s ≤ 1+t2

x0, si 1+t2 ≤ s ≤ 1

Entonces

F (s, 0) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

x0, si 1/2 ≤ s ≤ 1= α ∗ cx0

.

Tambien F (s, 1) = α(s). Por otro lado,

definimos

G(s, t) =

x0, si 0 ≤ s ≤ 1−t

2α(2s+t−1

1+t ), si 1−t2 ≤ s ≤ 1

Entonces

G(s, 0) =

x0, si 0 ≤ s ≤ 1/2

α(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1= cx0

∗ α.

Tambien, G(s, 1) = α(s).

Por lo tanto, F : α ∗ cx0∼ α y G : cx0

∗ α ∼ α.

(d) Dado α ∈ Ω1(X, x0), definimos

F (s, t) =

α(2(1− t)s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

α(2(1− t)(1− s)), si 1/2 ≤ s ≤ 1

Tenemos que


F (s, 0) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

α(2(1− s)), si 1/2 ≤ s ≤ 1

=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

α(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= (α ∗ α)(s).

Tambien F (s, 1) = α(0) = x0 = cx0(s). Entonces F : α ∗ α ∼ cx0

; ydesde que α = α, se sigue que α ∗ α ∼ cx0

. 2

Definicion 2.1.4. Desde que la relacion de homotopıa es una relacionde equivalencia en Ω1(X, x0), podemos considerar el conjunto cocienteπ1(X, x0) = Ω1(X, x0)/ ∼. Ahora bien, definiendo las operaciones en esteconjunto por [α][β] = [α∗β], de la proposicion anterior se sigue que este con-junto es un grupo, llamado grupo fundamental de X basado en x0 o tambienconocido como el grupo de homotopıa de orden 1 o grupo de Poincare. Si[α] es un elemento de π1(X, x0), el camino α es llamado representante dela clase; ademas, dos clases [α] y [β] son iguales si y solo si α ∼ β. Elinverso del elemento [α] es la clase [α], y el elemento neutro del grupo es laclase formada por el camino constante [cx0

], en algunos casos este elementoneutro se representara por 1.

Proposicion 2.1.2. Sean x0, x1 ∈ X. Todo camino f en X enlazando x0

con x1 induce un isomorfismo de grupos f : π1(X, x0) → π1(X, x1).

Demostracion. Definimos f : π1(X, x0) → π1(X, x1) por [α] 7→ [f ∗α∗f ].Es claro que f esta bien definida. Ademas, si [α] y [β] son elementos deπ1(X, x0), entonces

f([α][β]) = f([α ∗ β]) = [f ∗ α ∗ β ∗ f ] = [(f ∗ α ∗ f) ∗ (f ∗ β ∗ f)]

= [f ∗ α ∗ f ][f ∗ β ∗ f ] = f([α])f([β]).

Ademas, el inverso de f es el homomorfismo g : π1(X, x1) → π1(X, x0)definido por [α] 7→ [f ∗ α ∗ f ]. 2

Observacion 2.1.1. Si X es conexo por caminos, cualquier par de puntosen X es enlazado por un camino contenido en X. Por tanto, los gruposfundamentales en cualquier punto base son isomorfos.


2.2 El Homomorfismo inducido y sus consecuencias

Definicion 2.2.1. Sean X e Y espacios topologicos y sean x0 ∈ X yy0 ∈ Y . En lo que sigue, f : (X, x0) → (Y, y0) denotara una aplicacioncontinua f : X → Y tal que f(x0) = y0. Si f : (X, x0) → (Y, y0) es unaaplicacion continua, entonces

f∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0)[α] 7→ [f α]

es un homomorfisno de grupos, llamado homomorfismo inducido por f .

Teorema 2.2.1. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

(a) Si f : (X, x0) → (Y, y0) y g : (Y, y0) → (Z, z0) son aplicaciones con-tinuas, entonces (g f)∗ = g∗ f∗.

(b) Si idX : (X, x0) → (X, x0) es la aplicacion identidad en X, entonces(idX)∗ = idπ1(X,x0).

(c) Si f : (X, x0) → (Y, y0) es un homeomorfismo, entonces f∗ es unisomorfismo.

Demostracion. (a) Consideremos los homomorfismos inducidos por f yg como sigue f∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0) y g∗ : π1(Y, y0) → π1(Z, z0). Dado[α] ∈ π1(X, x0) se tiene

(g f)∗([α]) = [(g f) α] = [g (f α)] = g∗([f α]) = (g∗ f∗)([α]).

(b) Dado [α] ∈ π1(X, x0) se tiene

(idX)∗([α]) = [idX α] = [α] = idπ1(X,x0)([α]).

(c) Sea g : Y → X la inversa continua de f . Entonces f g = idY yg f = idX . De acuerdo a la afirmacion (b) se sigue que

f∗ g∗ = idπ1(Y,y0) y g∗ f∗ = idπ1(X,x0).

Por lo tanto, f∗ es un isomorfismo. 2


Teorema 2.2.2. Sean f, g : X → Y aplicaciones continuas y F : f ∼ g

una homotopıa. Sea x0 ∈ X y α el camino definido por α(t) = F (x0, t),enlazando f(x0) con g(x0). Entonces el siguiente diagrama es conmutativo

π1(X, x0)f∗ //

g∗ ''PPPPPPPPPPPPπ1(Y, f(x0))

α²²

π1(Y, g(x0))

es decir, α f∗ = g∗.

Demostracion. Sea [β] ∈ π1(X, x0). Entonces

(α f∗)[β] = α([f β]) = [α ∗ (f β) ∗ α] y g∗([β]) = [g β]

Veamos que α ∗ (f β) ∗ α ∼ g β. Definimos

H(s, t) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1−t2

F(β(4s+2t−2

3t+1

), t

), si 1−t

2 ≤ s ≤ t+34

α(4s− 3), si t+34 ≤ s ≤ 1

Entonces

H(s, 0) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2F

(β(4s− 2), 0

), si 1/2 ≤ s ≤ 3/4

α(4s− 3), si 3/4 ≤ s ≤ 1

=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2f(β(4s− 2)

), si 1/2 ≤ s ≤ 3/4 ⇔ 0 ≤ 2s− 1 ≤ 1/2

α(4s− 3), si 3/4 ≤ s ≤ 1 ⇔ 1/2 ≤ 2s− 1 ≤ 1

=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2(

(f β) ∗ α)(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

= (α ∗ (f β) ∗ α)(s)

Ademas,

H(s, 1) = F(β(s), 1

)= g(β(s)) = (g β)(s).

Por lo tanto,

α ∗ (f β) ∗ α ∼ g β.

2


Corolario 2.2.3. Si f : (X, x) → (Y, y) es una equivalencia homotopica,entonces f∗ : π1(X, x) → π1(Y, y) es un isomorfismo.

Demostracion. Sea g : (Y, y) → (X, x) la inversa continua de f yconsideremos las homotopıas F : g f ∼ idX y G : f g ∼ idY . Definimosel camino α : I → X por α(t) = F (x, 1− t) y sea el diagrama

π1(X, x)(idX)∗ //

(gf)∗ ''OOOOOOOOOOOπ1(X, x)

α²²

π1(X, g(y))

Entonces

α = α idπ1(X,x) = α (idX)∗ = (g f)∗ = g∗ f∗.

Por otra parte, sea z = g(y) y consideremos el camino β : I → Y definidopor β(t) = G(y, 1− t). Tenemos el diagrama

π1(Y, y)(idY )∗ //

(fg)∗ ''OOOOOOOOOOOπ1(Y, y)

β²²

π1(Y, f(z))

Lo que implica

β = β idπ1(Y,y) = β (idY )∗ = (f g)∗ = f∗ g∗.

Desde que α y β son isomorfismos, se sigue que f∗ es un isomorfismo. 2

Corolario 2.2.4. Si X es contractil, entonces π1(X, x) = 1.Corolario 2.2.5. Si Y es un retracto de X e ı : Y → X es la inclusion,entonces ı∗ : π1(Y, y) → π1(X, y) es un monomorfismo. Ademas, si Y esun retracto por deformacion de X, entonces ı∗ : π1(Y, y) → π1(X, y) es unisomorfismo.

Ejemplo 2.2.6. Para un punto p en el interior del disco D2, se tiene queπ1(D2 \ p) ∼= π1(S1).

Ejemplo 2.2.7. π1(Sn−1) ∼= π1(Rn \ 0).Ejemplo 2.2.8. π1(B(a, r)) ∼= 1 y π1(D2) ∼= 1.


Observacion 2.2.1. El ejemplo 2.1.9 nos dice que dos espacios topologicospueden tener grupos fundamentales isomorfos; sin embargo los espaciospueden no ser homeomorfos como nos muestra el ejemplo anterior.

Proposicion 2.2.9. (Grupo Fundamental del Producto). Sean X, Y es-pacios topologicos, x ∈ X e y ∈ Y . Entonces

π1(X × Y, (x, y)) ∼= π1(X, x)× π1(Y, y).


2.3 El Grupo Fundamental del Cırculo

Teorema 2.3.1. El grupo fundamental de S1 es cıclico infinito, es decir,

π1(S1) ∼= Z.

Demostracion. Sea x0 = (1, 0) el punto base de S1. Construiremos unisomorfismo de π1(S1) sobre Z. Consideremos la aplicacion exponencial

ε : R → S1

t 7→ e2πti

Si α es el lazo en S1 basado en x0, sea α la elevacion de α a un camino enR que comienza en 0. Como ε(α(1)) = (ε α)(1) = α(1) = x0, entoncesα(1) ∈ ε−1(x0) = Z. Definimos

ϕ : π1(S1, x0) → Z[α] 7→ α(1)

Por la propiedad de monodromıa, ϕ esta bien definida. Veamos a contin-uacion que ϕ es un isomorfismo de grupos.

(i) ϕ es sobreyectiva. Dado n ∈ Z, sea αn : [0, 1] → S1 la aplicaciondefinida por t 7→ e2πnti, entonces

αn : [0, 1] → Rt 7→ nt

es una elevacion de αn, pues,

(ε αn)(t) = ε(nt) = e2πnti = αn(t).


Ademas, ϕ[αn] = αn(1) = n.(ii) ϕ es inyectiva. Si α y β son lazos en S1, basados en x0 tal que

ϕ[α] = ϕ[β], entonces α(1) = β(1) y α(0) = β(0). Ademas,

F : [0, 1]× [0, 1] → S1

(s, t) 7→ ε((1− t)α(s) + tβ(s)

)

es una homotopıa entre α y β. En efecto

F (s, 0) = ε(α(s)) = α(s) y F (s, 1) = ε(β(s)) = β(s)

lo que implica α ∼ β y [α] = [β].(iii) ϕ es homomorfismo. Sean [α], [β] ∈ π1(S1, x0) y sean α y β las

elevaciones de α y β, respectivamente. Hacemos α(1) = m, β(1) = n ydefinimos

γ(s) =

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

m + β(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

Entonces γ es un camino en R que comienza en 0. Veamos que γ = α ∗ β

εγ(s) =

ε(α(2s)) = α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2

ε(m + β(2s− 1)) = ε(β(2s− 1)) = β(2s− 1), si 1/2 ≤ s ≤ 1

Entonces ε γ = α ∗ β lo que implica γ = α ∗ β, de donde obtenemos que,γ(1) = m + n = α(1) + β(1). Por lo tanto,

ϕ([α][β]) = ϕ[α ∗ β] = α ∗ β(1) = γ(1) = α(1) + β(1) = ϕ[α] + ϕ[β].

2

Proposicion 2.3.2. Si un espacio X es simplemente conexo, entoncesπ1(X) = 1.


Corolario 2.3.3. S1 no es simplemente conexo.

Demostracion. Es inmediata. 2

Proposicion 2.3.4. S1 no es retracto del disco D2.

Demostracion. Sea ı : S1 → D2 la inclusion y supongamos que S1 es unretracto de D2. Entonces existe una aplicacion continua r : D2 → S1 talque r ı = idS1, lo que implica r∗ ı∗ = idπ1(S1), o sea, ı∗ : π1(S1) → π1(D2)es inyectiva, lo cual es una contradiccion. 2


Proposicion 2.3.5. Toda aplicacion continua f : D2 → D2 admite unpunto fijo.

Demostracion. Supongamos que f = (f1, f2) : D2 → D2 es una apli-cacion continua sin puntos fijos. Entonces la aplicacion r : D2 → S1

definida por

r(x) =x− f(x)

‖x− f(x)‖[−

√‖x‖2 − δ(x)2 +

√1− δ(x)2

]+ x

donde

δ(x) =x2f1(x)− x1f2(x)

‖x− f(x)‖ con x = (x1, x2)

es continua y satisface r∣∣S1 = idS1, lo que contradice la proposicion anterior.

2

A continuacion demostramos un teorema importante del algebra.

Proposicion 2.3.6. (Teorema fundamental del algebra). Todo polinomiono constante p ∈ C[z] tiene una raız compleja.

Demostracion. Sea p(z) = zn + a1zn−1 + . . .+ an. Si p(z) no tiene raıces

complejas, para cada r ≥ 0 sea

F (s, t) =p(tre2πis)/p(tr)

|p(tre2πis)/p(tr)| y fr(s) =p(re2πis)/p(r)

|p(re2πis)/p(r)| .

Entonces

F (s, 0) = 1 y F (s, 1) = fr(s) para todo s ∈ I

Ademas,

F (0, t) = 1 y F (1, t) = 1 para todo t ∈ I

de donde sigue F : fr ∼ c1 = f0 y ası [fr] = [c1] para todo r ≥ 0. Sear > max1, |a1|+ . . . + |an|; luego para |z| = r tenemos

|z|n = rn = rrn−1 > (|a1|+ . . . + |an|)|zn−1| ≥ |a1zn−1 + . . . + an−1z + an|

O sea, |z|n > |a1zn−1 + . . . + an−1z + an|.

Veamos que el polinomio

pt(z) = zn + t(a1zn−1 + . . . + an−1z + an)


no tiene raıces en la circunferencia |z| = r para todo 0 ≤ t ≤ 1. Situvieramos |z0| = r tal que pt(z0) = 0 para algun 0 ≤ t ≤ 1, entonces

−zn0 = t(a1z

n−10 + . . . + an−1z0 + an)

lo que implica

rn = t|a1zn−10 + . . .+an−1z0 +an| ≤ |a1z

n−10 + . . .+an−1z0 +an| < |z0|n = rn

que es imposible. Definimos ahora

G(s, t) =pt(re

2πis)/pt(r)

|pt(re2πis)/pt(r)|Entonces

G(s, 0) = e2πnsi = αn(s), G(s, 1) = fr(s) y G(0, t) = G(1, t)

Por lo tanto, [αn] = [fr] = [c1], que implica n = 0. 2

2.4 Algunas Aplicaciones

2.5 Grupo Fundamental de una Variedad Topologica

2.6 Ejercicios

Capıtulo 3

El Teorema de Van Kampen

3.1 Grupos Libres, Generadores y Relaciones

Definicion 3.1.1. Sea S un conjunto. Un grupo libre con base S es ungrupo G junto con una aplicacion f : S → G con la siguiente propiedad:para todo grupo H y toda aplicacion g : S → H, existe un unico homo-morfismo ϕ : G → H tal que el siguiente diagrama es conmutativo

S

g ÃÃ@@@

@@@@

@f // G

ϕ²²

H

Es decir, ϕ f = g.

Teorema 3.1.1. Si (f, G) y (f ′, G′) son grupos libres sobre el conjunto S,entonces existe un isomorfismo ϕ : G → G′ tal que ϕ f = f ′.

Demostracion. Sea la aplicacion f ′ : S → G′. Desde que G es libre conbase S, existe un unico homomorfismo ϕ : G → G′ tal que ϕ f = f ′, esdecir, el siguiente diagrama es conmutativo

S

f ′ ÃÃ@@@

@@@@

@f // G

ϕ²²

G′

Por otra parte, consideremos la aplicacion f : S → G. Desde que G′ es librecon base S, existe un unico homomorfismo ϕ′ : G′ → G tal que ϕ′ f ′ = f ,

49


es decir, el siguiente diagrama conmuta

S

f ÃÃ@@@

@@@@

@f ′ // G′

ϕ′²²

G

Juntando ambos diagramas tenemos

S

f ÂÂ???

????f // G

ϕ′ϕ²²

G

y S

f ′ ÂÂ@@@

@@@@

@f ′ // G′

ϕϕ′²²

G′

Desde que (ϕ′ ϕ) f = ϕ′ (ϕ f) = ϕ′ f ′ = f . Entonces ϕ′ ϕ = idG.Por un argumento similar se tiene que ϕ ϕ′ = idG′. 2

Veamos a continuacion que dado un conjunto S, existe un grupo librecon base S.

Definicion 3.1.2. Sea S un conjunto no vacıo y S−1 un conjunto disjuntoa S con una biyeccion S → S−1 denotada por s = s1 7→ s−1. El alfabetoen S es el conjunto A(S) = S ∪ S−1; ahora elegimos un conjunto unitariodisjunto de S ∪ S−1 al que denotamos por 1. Entonces una palabraen S es: la palabra vacıa 1 o una n-tupla (s1, s2, . . . , sn) de elementos deA(S). La palabra (s1, s2, . . . , sn) se denota por s1s2 . . . sn, entonces pordefinicion, una palabra es, la palabra vacıa, o una expresion de la formaw = se1

1 se22 . . . sen

n , donde ei = ±1 para 1 ≤ i ≤ n. El numero n es llamadolongitud de la palabra w; definimos la longitud de la palabra vacıa comocero. Sea W (S) el conjunto de palabras en S; en el caso S = ∅, denotamosW (S) = 1. Por definicion de palabra se tiene entonces que las palabrasu = rd1

1 . . . rdmm y v = se1

1 . . . senn son iguales si y solo si m = n, ri = si y

di = ei para todo i. Una subpalabra de la palabra se11 . . . sen

n es la palabravacıa o una palabra de la forma sei

i . . . sej

j , donde 1 ≤ i ≤ j ≤ n. La inversa

de la palabra v = se11 . . . sen

n es v−1 = s−enn . . . s−e1

1 , se sigue entonces que(v−1)−1 = v para toda palabra v. Una palabra en S es llamada elementalsi es de la forma ss−1 para algun s ∈ A(S), y una palabra es reducida si esla palabra vacıa o no tiene subpalabras elementales.

La yuxtaposicion de la palabras u = rd11 . . . rdm

m y v = se11 . . . sen

n es lapalabra uv = rd1

1 . . . rdmm se1

1 . . . senn . Si 1 es la palabra vacıa, definimos u1 = u

y 1v = v.

2.3 Grupos Libres, Generadores y Relaciones 51

Definicion 3.1.3. Sean u, v ∈ W (S). Una operacion elemental de u en v esuna insercion o eliminacion de un subpalabra elemental. Escribimos u → vpara denotar que v resulta de u por una operacion elemental. Las palabrasu, v ∈ W (S) son llamadas equivalentes y denotamos u ∼ v si u = v o siexisten palabras u = w1, w2, . . . , wn = v y operaciones elementales

u = w1 → w2 → . . . → wn = v.

Esta relacion es de equivalencia en el conjunto de palabras W (S).

Lema 3.1.2. Sea S un conjunto y W (S) el conjunto de palabras en S. Secumplen las siguientes afirmaciones:

(a) W (S) es un monoide con la yuxtaposicion.

(b) Si u ∼ u′ y v ∼ v′, entonces uv ∼ u′v′.

(c) Si H es un grupo y f : S → H es una aplicacion, entonces existe unhomomorfismo f : W (S) → H tal que w ∼ w′ implica f(w) = f(w′).

Demostracion. (a) Esta afirmacion es inmediata por definicion.

(b) Sea u ∼ u′ y v ∼ v′. Entonces uv ∼ u′v y u′v ∼ u′v′; por transitivi-dad se tiene que uv ∼ u′v′.

(c) Si w = se11 . . . sen

n , entonces definimos f : W (S) → H por

f(w) = f(s1)e1 . . . f(sn)

en

Entonces ϕ esta bien definida y es un homomorfismo.

Sea w ∼ w′. Probaremos por induccion sobre el numero de operacioneselementales en una cadena de w a w′ que f(w) = f(w′) en H. Consideremosla eliminacion w = xss−1y → xy, donde x, y son subpalabras de w. Desdeque f es homomorfismo, se tiene

f(xss−1y) = f(x)f(s)f(s)−1f(y)

Por otra parte,

f(x)f(s)f(s)−1f(y) = f(x)f(y) en H

ya que H es un grupo. Entonces f(xss−1y) = f(xy). De manera similarse tiene para una insercion. 2


Definicion 3.1.4. sea F (S) el conjunto cociente determinado por estarelacion de equivalencia y [w] la clase de equivalencia de la palabra w.Notemos que ss−1 ∼ 1 y s−1s ∼ 1; por tanto, [ss−1] = [s−1s] = [1].

Teorema 3.1.3. El conjunto G = F (S) es un grupo libre con la operacion[u][v] = [uv] con base el conjunto S.

Demostracion. Si S = ∅, entonces W (∅) consiste solo de la palabravacıa 1; ası que G = 1 es un grupo libre con base ∅.

Supongamos que S 6= ∅. Por el lema 2.4.2 tenemos que la operacionen G esta bien definida. La operacion es tambien asociativa debido a laasociatividad en el monoide W (S). El elemento identidad del grupo es laclase [1] y el inverso de [w] es la clase [w−1].

Si [w] ∈ G, entonces [w] = [se11 . . . sen

n ] = [s1]e1 . . . [sn]

en, donde ei = ±1;ası que F (S) es generado por el conjunto [S] = [s ] | s ∈ S.

Veamos a continuacion que F (S) es libre con base S. Sea f : S → F (S)la aplicacion π ı, donde ı : S → W (S) es la inclusion y π : W (S) → F (S)es la aplicacion canonica. Consideremos una aplicacion f : S → H, dondeH es un grupo. Definimos ϕ : F (S) → H por

ϕ : [s1]e1 . . . [sn]

en 7→ f(s1)e1 . . . f(sn)

en

El lema anterior muestra que ϕ es un homomorfismo que obviamente sat-isface ϕ f = g. 2

Proposicion 3.1.4. Toda palabra en S es equivalente a una unica palabrareducida.

Demostracion. Sea w ∈ W (S). Si S = ∅, entonces w es precisamente lapalabra vacıa, y por definicion, esta es reducida. Si S 6= ∅, mostraremosprimero que existe una palabra reducida equivalente a w. Si w no tienesubpalabra de la forma ss−1, donde s ∈ A(S), entonces w es reducida;en otro caso, eliminamos la primera subpalabra elemental, produciendouna nueva palabra w1, la cual puede ser vacıa, con |w1| < |w|. Ahorarepetimos el proceso: si w1 es reducida, la prueba acaba; en otro caso, siexiste una subpalabra elemental de w1, eliminamos esta, produciendo unanueva palabra w2. Desde que las longitudes son decrecientes, este procesotermina con una palabra reducida que es equivalente a w.


Para la unicidad, supongamos lo contrario, que u y v son palabras re-ducidas distintas, equivalentes a w. Existe una sucesion de operacioneselementales

u = w1 → w2 → . . . → wn = v. (3.1.1)

y podemos suponer que n es minimal. Desde que u y v son reducidas,la primera operacion elemental es una insercion, mientras que la ultimaoperacion elemental es una eliminacion; ası que existe una primera elimi-nacion, digamos wi → wi+1. Por tanto, la operacion elemental wi−1 → wi

inserta ss−1, mientras que la operacion elemental wi → wi+1 elimina tt−1,donde s, t ∈ A(S).

A continuacion veremos que existen tres casos.Primer caso. Si las subpalabras ss−1 y tt−1 de wi coinciden, entonces

wi−1 = wi+1; pero wi+1 es obtenido de wi−1 por insertar primero ss−1 yluego eliminando este; de aquı, la sucesion

u = w1 → w2 → . . . → wi−1 = wi+1 → . . . → wn = v

es mas corta que la sucesion inicial, que no es posible por la eleccion de n.Segundo caso. ss−1 y tt−1 son subpalabras superpuestas de wi, esto

acontece de dos maneras: una es considerando

wi = xss−1t−1z

donde x, z son subpalabras de wi y s−1 = t; de aquı, s = t−1 y

wi = xss−1sz

Por tanto, wi−1 = xsz ya que insertamos ss−1, y tambien wi+1 = xsz yaque eliminamos tt−1 = s−1s. Ası, wi−1 = wi+1, y quitando wi tenemos otrasucesion corta. Otra manera de superponer es cuando wi = xs−1ss−1z,donde t−1 = s, como en la primera manera, esto nos da wi−1 = wi+1.

Tercer caso. Supongamos que las subpalabras ss−1 y tt−1 no se super-ponen:

wi = x′ss−1x′′tt−1z y wi+1 = x′ss−1x′′z

Ahora, podemos llegar a una subpalabra de wi por insercion de tt−1 o t−1t aalguna palabra wj−1 = pq con j < i, esto es, wj−1 → wj, donde wj = ptt−1qo wj = pt−1tq. En el primer argumento, la subcadena wj−1 → . . . → wi+1

es precisamente

pq → ptt−1q → . . . → xtt−1z → x′ss−1x′′tt−1z → x′ss−1x′′z


donde x = x′x′′. Pero podemos hacer corta esta cadena al no insertar tt−1

y obtenemospq → . . . → xz → x′ss−1x′′z.

La unica manera de eliminarse tt−1 el segundo caso es si, en wj−1 = pq

tenemos p = p′t o q = t−1q′. Si p = p′t, entonces wj−1 = p′tq y wj =p′tt−1tq (y esta debe ser la subpalabra tt−1 que debe ser eliminada por unaoperacion elemental wi → wi+1). Al igual que con la primera posibilidad,no necesitamos insercion. Mas precisamente, la sucesion

p′tq → p′tt−1tq → . . . → xtt−1z → x′ss−1x′′tt−1z → x′ss−1x′′z

donde el proceso p′ → x y tq → z es dada solo por inserciones, y podemoshacer corta esta sucesion por quitar la insercion de t−1t como sigue

p′tq → . . . → xz → x′ss−1x′′z.

el caso q = t−1q′ es tratado de la misma manera. Por tanto, en todos loscasos obtenemos una sucesion mas corta que (2.4.1), lo que es imposible.Por lo tanto, u y v son iguales. 2

Corolario 3.1.5. Todo grupo G es isomorfo al cociente de un grupo libre.

Demostracion. Sea S un subconjunto generador de G y sea F (S) elgrupo libre generado por S. Definimos ϕ : F (S) → G por 1 7→ e y[s1]

α1 . . . [sn]αn 7→ sα1

1 . . . sαnn . Entonces ϕ es un homomorfismo sobreyectivo.

Por tanto, F (S)/Nuc(ϕ) ∼= G. 2

Observacion 3.1.1. En el corolario anterior, si tenemos que R es un con-junto de palabras cuya clausura normal N(R) es precisamente Nuc(ϕ),entonces podemos escribir F (S)/N(R) ∼= G. El ejercicio 4 nos muestraque es posible obtener un isomorfismo de este tipo.

Definicion 3.1.5. Una presentacion de un grupo G es un par (S, R), dondeS es un conjunto y R es un subconjunto de W (S), tal que G ∼= F (S)/N(R),donde F (S) es el grupo libre con base S y N(R) es el subgrupo normalde F (S) generado por R. Los elementos de S son llamados generadores ylos elementos de R relaciones. Si (S,R) es una presentacion del grupo G,entonces denotamos G = 〈S |R〉. Una presentacion (S, R) es llamada finitasi S y R son conjuntos finitos. Un grupo G es finitamente presentado siadmite una presentacion finita. Sea S = s1, . . . , sn y R = r1, . . . , rn,entonces denotamos 〈S |R〉 = 〈s1, . . . , sn |r1 = . . . = rn = e〉.


Ejemplo 3.1.6. Sea G = 〈a, b | a3b, b3, a4〉 o tambien podemos escribirG = 〈a, b | a3b = b3 = a4 = e〉. Entonces tenemos a = a(a3b) = a4b = eb =b; luego, a = a4(b3)−1 = ee−1 = e; ası que a = b = e. Por tanto, G es ungrupo trivial.

Ejemplo 3.1.7. Sea 〈x〉 un grupo cıclico infinito, entonces 〈x〉/〈xn〉 ∼= Zn.Por tanto, (x, xn) es una presentacion de Zn.

Definicion 3.1.6. Sea S un conjunto no vacıo y sea el conjunto de rela-ciones R = [s][t][s]−1[t]−1 | s, t ∈ S ⊆ F (S). Entonces se tiene queA(F (S)) = 〈R |S〉 es llamado grupo abeliano libre en S. El subgruponormal N(R) generado por R es precisamente el subgrupo conmutador[F (S), F (S)] de F (S). Por tanto, el grupo abeliano libre en S es precisa-mente la abelianizacion de F (S).

Proposicion 3.1.8. El grupo abeliano libre A(F (S)) satisface la siguientepropiedad universal: existe un homomorfismo inyectivo f : S → A(F (S))tal que f(S) genera a A(F (S)); ademas, para cada aplicacion g : S → G

en un grupo abeliano G, existe un unico homomorfismo ϕ : A(F (S)) → G

tal que ϕ f = g.


3.2 Productos libres

Definicion 3.2.1. Sea Gii∈I una familia de grupos. Un producto librede los Gi es un grupo P junto con una familia de homomorfismos ıi :Gi → P con la siguiente propiedad: para todo grupo G y toda familia dehomomorfismos i : Gi → G, existe un unico homomorfismo ϕ : P → G talque el siguiente diagrama es conmutativo

Pϕ

²²Gi

ıi>>

i

// G

Proposicion 3.2.1. Si P es un producto libre de la familia Gii∈I, en-tonces los homomorfismos ıi : Gi → P son monomorfismos.


Demostracion. Fijemos un ındice i ∈ I y consideremos el diagrama conG = Gi

Pϕ

²²Gi

ıi>>

id// G

Se tiene que i es la identidad id de Gi; ademas, para k 6= i, los homomor-fismos k : Gk → Gi son nulos. Por lo tanto, ϕ ıi = idGi

. 2

Teorema 3.2.2. Sea Gii∈I una familia de grupos y P , Q productos li-bres de los Gi; sean los homomorfismos ıi : Gi → P y i : Gi → Q.Entonces existe un isomorfismo ϕ : P → Q tal que el siguiente diagramaes conmutativo para todo i ∈ I

Pϕ

²²Gi

ıi>>~~~~~~~~

i

// Q

Demostracion. Sean los homomorfismos ıi : Gi → P y i : Gi → Q.Desde que P es producto libre de los Gi, existe un homomorfismo ϕ : P →Q tal que ϕ ıi = i pata todo i. Tambien, desde que Q es producto librede los Gi, existe un homomorfismo ψ : Q → P tal que ψ i = ıi para todoi. Para cada i ∈ I consideremos el diagrama

P

ψϕ²²

Gi

ıi>>

ıi// P

Entonces ψ ϕ y idP conmutan el diagrama; de aquı, ψ ϕ = idP . Simi-larmente se tiene que ϕ ψ = idP . Por lo tanto, ϕ es un isomorfismo.

2

A continuacion construiremos el producto libre de la familia Gii∈I .

Definicion 3.2.2. Sea S =⋃

i∈I Gi. La union disjunta de los grupos Gi,denotado por A(S) es llamada alfabeto de los grupos Gi. Sea W (S) =⋃∞

n=0 A(S)n. Una palabra de longitud n en los Gi es un elemento de W , dela forma (s1, s2, . . . , sn) tal que si ∈ A(S). Definimos la palabra vacıa comola unica palabra de longitud cero. Una palabra (s1, s2, . . . , sn) es llamadareducida si


(i) Para cada i, si no es el elemento neutro de Gi.

(ii) Para todo i, j ≥ 1, si y si+1 no estan en el mismo grupo Gj.

De la definicion se sigue que la palabra vacıa es reducida. Denotamos porW al conjunto de palabras reducidas en S.

Teorema 3.2.3. Dada una familia de grupos Gii∈I, su producto libreexiste.

Demostracion. Denotamos por SW al conjunto de biyecciones de W .Entonces SW es un grupo bajo la composicion de aplicaciones. Vamos aconstruir el producto libre de los Gi como un subgrupo de SW .

Primer paso. Para cada ındice i, y cada x ∈ Gi, sea σx definida comosigue: si x = ei, hacemos σx = idSW

. Si x 6= ei, definimos σx de la siguientemanera, para w ∈ W

σx(w) = x si w es la palabra vacıa

en el caso que w = (x1, . . . , xn) no es la palabra vacıa, hacemos

σx(w) =

(x, x1, . . . , xn), si i1 6= i

(xx1, . . . , xn), si i1 = i; y x1 6= x−1

(x2, . . . , xn), si i1 = i; y x1 = x−1

Segundo paso. Veamos que para x, y ∈ Gi y z = xy, se tiene σz = σxσy.La afirmacion es inmediata si x = ei o y = ei, ya que, en este caso σx = idSW

o σy = idSW; por tanto, vamos a suponer que x 6= ei y y 6= ei. Evaluemos

σz y σx σy sobre una palabra reducida w.

(i) Sea w = ∅. Entonces σy(∅) = y. Si z = ei, entonces y = x−1 yσx σy(∅) = ∅ y σz(∅) = ∅. Si z 6= ei, entonces

σx σy(∅) = xy = z = σz(∅).

En los siguientes casos supondremos que w = (x1, . . . , xn) con x1 ∈ Gi1.

(ii) Supongamos que i 6= i1. Entonces σy(w) = (y, x1, . . . , xn). Si z = ei,entonces y = x−1 y σx σy(w) = (x1, . . . , xn) y como σz es la identidad,tambien σz(w) = (x1, . . . , xn). Ahora bien, para z 6= ei, se tiene

σx σy(w) = (xy, x1, . . . , xn) = (z, x1, . . . , xn) = σz(w).


(iii) Supongamos que i = i1 e yx1 6= ei. Entonces σy(w) = (yx1, x2, . . . , xn).Si xyx1 = ei, entonces (σx σy)(w) = (x2, . . . , xn); y tambien σz(w) =(x2, . . . , xn), ya que, zx1 = xyx1 = ei. En el caso xyx1 6= ei, tenemos

σx σy(w) = (xyx1, x2, . . . , xn) = (zx1, x2, . . . , xn) = σz(w).

(iv) Supongamos ahora que i = i1 e yx1 = ei. Entonces σy(w) =(x2, . . . , xn), que es vacıo si n = 1. Ademas,

σxσy(w) = (x, x2, . . . , xn) = (x(yx1), x2, . . . , xn) = (zx1, x2, . . . , xn) = σz(w)

Tercer paso. La aplicacion σx es un elemento de SW y la aplicacionıi : Gi → SW definida por ıi(x) = σx es un monomorfismo.

En efecto, si y = x−1, entonces σx σy = σy σx = idW . Por tanto, σx esun elemento de SW . Del segundo paso se tiene que ıi es un homomorfismo.Para probar que ıi es un monomorfismo basta observar que si x 6= ei,entonces σx(∅) = x, por lo que, σx no es la aplicacion identidad de W .

Cuarto paso. Sea ∗i∈IGi el grupo de SW generado por los gruposG′

i = ıi(Gi) y mostraremos que G es el producto libre de los grupos G′i.

Veamos primeramente que G′i ∩ G′

j consiste unicamente del elementoneutro si i 6= j. Sean x ∈ Gi e y ∈ Gj y supongamos que ni σx ni σy sonla identidad de W ; entonces σx 6= σy, ya que, σx(∅) = x y σy(∅) = y, lascuales son palabras diferentes.

En segundo lugar veamos que no existe palabra reducida no vacıa w′ =(σx1

, . . . , σxn) en los grupos G′

i que represente el elemento neutro de G.Sea ij el ındice tal que xj ∈ Gij , entonces ij 6= ij+1 y xj 6= eij para todo j.Ademas se tiene

σx1(σx2

(. . . (σxn(∅)))) = (x1, . . . , xn)

De modo que el elemento de G representado por w′ no es el elemento neutrode SW .

Finalmente, dado un grupo G y una familia de homomorfismos i :Gi → G, la aplicacion ϕ : ∗i∈IGi → G definida por σx1

∗ . . . ∗ σx17→

i1(x1) . . . in(xn) es el unico homomorfismo tal que ϕ ıi = i para todoi ∈ I. 2

Proposicion 3.2.4. Sean G = F (S) y H = F (T ) tal que S ∩ T = ∅.Entonces G ∗H = F (S ∪ T ).


Demostracion.

Proposicion 3.2.5. Sean f1 : G1 → H1 y f2 : G2 → H2 homomorfismosde grupos. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

(a) Existe un unico homomorfismo de grupos f1 ∗ f2 : G1 ∗G2 → H1 ∗H2

tal que para cada i = 1, 2, el siguiente diagrama es conmutativo.

Gi

ıi²²

fi // Hi

i

²²G1 ∗G2

f1∗f2 // H1 ∗H2

(b) Nuc(f1 ∗ f2) = Nuc(f1) ∗Nuc(f2).

Demostracion.

Sean U, V subconjuntos abiertos de un espacio topologico X tal queU, V, U ∩ V son conexos por caminos y X = U ∪ V . Elegimos un puntop ∈ U ∩ V . Las inclusiones

Uk

ÃÃAAA

AAAA

U ∩ V

i;;vvvvvvvvv

j ##HHHHHHHHH X

Vl

>>

inducen los homomorfismos de grupos fundamentales

π1(U, p)k∗

&&MMMMMMMMMM

π1(U ∩ V, p)

i∗77ooooooooooo

j∗ ''OOOOOOOOOOOπ1(X, p)

π1(V, p)l∗

88qqqqqqqqqq

Consideremos el producto libre π1(U, p) ∗ π1(V, p) y sean ıU : π1(U, p) →π1(U, p) ∗ π1(V, p) y ıV : π1(V, p) → π1(U, p) ∗ π1(V, p) las inyeccionescanonicas. Por la propiedad universal del producto libre, k∗ y l∗ inducenun homomorfismo Φ : π1(U, p) ∗ π1(V, p) → π1(X, p) tal que el diagrama


conmuta

π1(U, p)

ıU²²

k∗

((RRRRRRRRRRRRR

π1(U ∩ V, p) F //___

i∗55kkkkkkkkkkkkkkk

j∗ ))SSSSSSSSSSSSSSSπ1(U, p) ∗ π1(V, p) Φ // π1(X, p)

π1(V, p)

ıV

OO

l∗

66lllllllllllll

El homomorfismo Φ : π1(U, p) ∗ π1(V, p) → π1(X, p) esta definido de lasiguiente manera

Φ([α1]U ∗ [α1]V ∗ . . . ∗ [αm]V ) = k∗[α1]U ∗ l∗[α2]V ∗ . . . ∗ l∗[αm]V

= [α1]X ∗ [α2]X ∗ . . . ∗ [αn]X

= [α1 ∗ α2 ∗ . . . ∗ αn]X .

Ahora definimos una aplicacion F : π1(U ∩ V, p) 99K π1(U, p) ∗ π1(V, p)por F ([γ]) = (i∗[γ])−1 ∗ (j∗[γ]). Sea F (π1(U ∩ V, p)) la clausura normal deIm(F ) en π1(U, p) ∗ π1(V, p). Tenemos el siguiente teorema.

Lema 3.2.6. Sea F : I × I → X una aplicacion continua y α, β, γ, σ

caminos en X definidos por

α(s) = F (s, 0), β(s) = F (1, s), γ(s) = F (0, s), σ(s) = F (s, 1)

Entonces α ∗ β ∼ γ ∗ σ.

Demostracion.

3.3 Presentaciones

3.4 El Teorema de Van Kampen

Lema 3.4.1. Sea X un espacio topologico y sean α1, . . . , αn caminos en X

tal que α1(1) = α2(0), α2(1) = α3(0), . . . , αn−1(1) = αn(0). Consideremosuna particion 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 de I y sea α el camino en X

definido por

α(t) = αi

( t− ti−1

ti − ti−1

)si ti−1 ≤ t ≤ ti, i = 1, . . . , n

Entonces α ∼ α1 ∗ . . . ∗ αn.

2.4 El Teorema de Van Kampen 61

Demostracion.

Teorema 3.4.2. (Seifert-Van Kampen). Sea X un espacio topologico yU, V subconjuntos abiertos tal que U, V, U ∩ V son conexos por caminosy X = U ∪ V . Para cualquier punto p ∈ U ∩ V , el homomorfismo Φ essobreyectivo y su nucleo es N = F (π1(U ∩ V, p)). Por lo tanto,

π1(X, p) ∼= π1(U, p) ∗ π1(V, p)

N.

Demostracion. Veamos que Φ es sobreyectiva. Sea α : I → X uncamino basado en p. Por el lema de Lebesgue, existe un entero positivo n

tal que α[(i− 1)/n, i/n] esta contenido en U o en V . Sea αi la restriccionde α a [(i− 1)/n, i/n], entonces

[α]X = [α1 ∗ . . . ∗ αn]X .

Para cada i = 1, . . . , n− 1, sea βi el camino que conecta p con α(i/n). Siα(i/n) ∈ U ∩ V , elegimos βi como el camino contenido en U ∩ V ; en otrocaso, si α(i/n) 6∈ U ∩V elegimos el camino βi contenido en U o en V , segunα(i/n) ∈ U o α(i/n) ∈ V . Definimos αi = βi−1 ∗αi ∗ βi (donde β0 y βn soniguales al lazo constante cp), ası que αi es un lazo basado en p y contenidoen U o en V . Se tiene ademas que

[α1∗ . . .∗αn]X = [(β0∗α1∗β1)∗ . . .∗(βn−1∗αn∗βn)] = [α1∗ . . .∗αn]X = [α]X

Consideremos el elemento

[γ] = [α1]U ∗ [α2]V ∗ . . . ∗ [αn]V ∈ π1(U, p) ∗ π1(V, p)

EntoncesΦ[γ] = [α1 ∗ . . . ∗ αn]X = [α]X

lo que demuestra que Φ es un epimorfismo.Veamos a continuacion que N ⊆ Nuc(Φ). Para esto es suficiente

mostrar que F (π1(U ∩ V, p)) ⊆ Nuc(Φ). Sea [α]U∩V ∈ π1(U ∩ V, p). En-tonces

Φ(F [α]U∩V ) = Φ((i∗[α]U∩V )−1∗(j∗[α]U∩V )) = Φ([α]U ∗ [α]V ) = [α∗α]X = 1.

Veamos finalmente que Nuc(Φ) ⊆ N . Sea

γ = [α1]U ∗ [α2]V ∗ . . . ∗ [αk]V ∈ π1(U, p) ∗ π1(V, p)


y supongamos que Φ(γ) = 1, esto implica que

[α1 ∗ . . . ∗ αk]X = 1

lo que equivale aα1 ∗ . . . ∗ αk ∼ cp

Veamos que γ ∈ N . Sea H : I×I → X la homotopıa de α1∗ . . .∗αk a cp enX. Por el lema de Lebesgue, podemos dividir I×I en cuadrados de lado 1/ntal que la imagen de cada cuadrado Sij = [(i− 1)/n, i/n]× [(j− 1)/n, j/n]por H, esta contenido en U o en V .

Sea xij = H(i/n, j/n) y sea αij la restriccion de H sobre el segmentohorizontal [(i− 1)/n, i/n]×j/n y sea ηij la restriccion sobre el segmentovertical i/n × [(j − 1)/n, j/n].

Se tiene que H(s, 0) = (α1 ∗ . . . ∗ αk)(s) y tomando n suficientementegrande, podemos suponer que los extremos de los caminos αi son de laforma i/n; ası que podemos expresar

H0 = α1 ∗ . . . ∗ αk ∼ α10 ∗ α20 ∗ . . . ∗ αn0

y en el producto libre esto implica que

γ = [α10]U ∗ [α20]U ∗ . . . ∗ [αn0]V .

Para cada i, j elegimos un camino βij de p a xij, estando en U ∩ V sixij ∈ U ∩ V , de otro modo, dicho camino esta en U o en V . Si xij = p,elegimos βij como el camino constante cp. Entonces definimos los lazos

αij = βi−1,j ∗ αij ∗ βi,j y ηij = βi,j−1 ∗ ηij ∗ βi,j (3.4.2)

y cada uno de estos lazos esta contenido en U o en V . Entonces γ puedeser factorizado como sigue

γ = [α10]U ∗ [α20]U ∗ . . . ∗ [αn0]V (3.4.3)

Ahora bien, el argumento restante es mostrar que modulo N , la expresion(2.4.3) para γ puede ser reemplazado por

γ = [α11]U ∗ [α21]U ∗ . . . ∗ [αn1]V (mod N)

Repitiendo este argumento llegamos a

γ = [α1n]U ∗ [α2n]U ∗ . . . ∗ [αnn]V (mod N)


Pero H(s, 1) = p, asi, cada αin es igual al lazo constante cp y este ultimoproducto es igual a la identidad. Esto muestra que γ ∈ N y completa laprueba.

Asumimos que

γ = [α1,j−1]U ∗ [α2,j−1]U ∗ . . . ∗ [αn,j−1]V (mod N) (3.4.4)

Mostremos que γ es equivalente modulo N a la misma expresion con j enlugar de j − 1.

Primero observemos el siguiente hecho: sea α un lazo en U∩V . Entonces[α]U y [α]V son la misma clase en el producto libre modulo N , ya que

[α]V ∗N = [α]U ∗ ([α]−1U ∗ [α]V ) ∗N = [α]U ∗ F ([α]U∩V ) ∗N = [α]U ∗N.

Desde que N es normal, entonces para todo x, y en el producto libre setiene

x ∗ [α]U ∗ y ∗N = x ∗ [α]U ∗N ∗ y = x ∗ [α]V ∗N ∗ y = x ∗ [α]V ∗ y ∗N

Consideremos un cuadrado Sij y supongamos que H(Sij) ⊆ V . La fronterade Sij es llevado por H al camino (ηi−1,j ∗ αij) ∗ (ηij ∗ αi,j−1). Entonces

αi,j−1 ∼V ηi−1,j ∗ αij ∗ ηij

De esta manera conseguimos

αi,j−1 = βi−1,j−1 ∗ αi,j−1 ∗ βi,j−1

∼V βi−1,j−1 ∗ ηi−1,j ∗ αij ∗ ηij ∗ βi,j−1

∼V ηi−1,j ∗ αij ∗ ηij

(3.4.5)

Comencemos ahora de la expresion (2.4.4) para γ. Para cada factor[αi,j−1]U , veamos que acontece cuando el cuadrado Sij es llevado en U oen V . Si este es llevado en V , entonces αi,j−1 debe ser llevado en U ∩ V ypodemos reemplazar este factor por [αi,j−1]V modulo N .

De acuerdo a (2.4.5), podemos reemplazar cada factor [αi,j−1]V por[ηi−1,j]V ∗ [αi,j]V ∗ [ηij]

−1V y similarmente para los factores en U . De esta

manera

γ ≡ [η0j]U ∗ [α1j]U ∗ [η1j]−1U ∗ . . . ∗ [ηn−1,j]V ∗ [αnj]V ∗ [ηnj]

−1V (mod N)

≡ [α1j]U ∗ [α2j]U ∗ . . . ∗ [αnj]V (mod N)

2


Ejemplo 3.4.3. Sn es simplemente conexa para n ≥ 2. En efecto, Sn =U ∪ V , donde U = (Sn \ N) y V = Sn \ S, los cuales son simplementeconexos; ademas, U, V y U ∩ V son conexos por caminos. Desde queπ1(U, p) = 1 y π1(V, p) = 1, se tiene que π1(U, p) ∗ π1(V, p) = 1. Por tanto,π1(Sn, p) = 1.

Corolario 3.4.4. Supongamos que en el teorema de Van Kampen U ∩ V

es simplemente conexo, entonces Φ : π1(U, x) ∗ π1(V, x) → π1(X, x) es unisomorfismo.

Demostracion. Si U ∩V es simplemente conexo, entonces π1(U ∩V ) = 1y N es precisamente el subgrupo trivial. 2

Definicion 3.4.1. Un punto p de un espacio X es llamado punto base nodegenerado si es cerrado y admite un entorno U tal que p es un retractopor deformacion fuerte de U .

Lema 3.4.5. Si pi ∈ Xi es un punto base no degenerado, entonces lainclusion Xi → X1 ∨ . . . ∨Xn es un homeomorfismo sobre su imagen.

Demostracion.

Lema 3.4.6. Sean X1, . . . , Xn espacios topologicos y pi ∈ Xi puntos basesno degenerados. Si p es el punto p1 ∨ . . . ∨ pn en el espacio X1 ∨ . . . ∨Xn,entonces p es no degenerado.

Demostracion. Para cada i, existe un entorno Ui de pi y una retraccionfuerte ri : Ui → pi. Sea ıi : pi → Ui la respectiva inclusion y Hi :Ui × I → Ui la homotopıa fuerte de ıi ri en idUi

. Entonces definimosH : (

∐ni=1 Ui)× I → (

∐ni=1 Ui) por H = Hi en Ui× I. Se tiene que

∐ni=1 Ui

es un conjunto abierto saturado y la restriccion de π a∐n

i=1 Ui es unaaplicacion cociente sobre π(

∐ni=1 Ui). Consideremos el diagrama

(∐n

i=1 Ui)× I

π×idI²²

H //∐n

i=1 Ui

π²²

π(∐n

i=1 Ui)× I H // π(∐n

i=1 Ui)

donde H es la aplicacion continua inducida por π H, entonces H esuna homotopıa fuerte de π(

∐ni=1 Ui) a p = p1 ∨ . . . ∨ pn. Por otra parte,

π−1(p1 ∨ . . . ∨ pn) = p1, . . . , pn y p = p1 ∪ . . . ∪ pn = p, lo quemuestra que p es cerrado en

∐ni=1 Xi. 2


Proposicion 3.4.7. Sean X1, . . . , Xn espacios topologicos y sean pi ∈ Xi

puntos bases no degenerados. Entonces las aplicaciones inyectivas ıXj:

Xj → X1 ∨ . . . ∨Xn inducen un isomorfismo de grupos fundamentales

Φ : π1(X1, p1) ∗ . . . ∗ π1(Xn, pn) → π1(X1 ∨ . . . ∨Xn, p).

Demostracion. Veamos la prueba para el caso n = 2. Sean Ui entornostal que pi es un retracto por deformacion fuerte de Ui. Consideremosla aplicacion cociente π : X1 t X2 → X1 ∨ X2 y sean V1 = π(X1 t U2)V2 = π(U1 tX2). Desde que X1 t U2 y U1 tX2 son abiertos saturados enX1tX2, entonces la restriccion de π a cada uno de estos conjuntos saturadoses una aplicacion cociente; ademas, V1 y V2 son abiertos en X1∨X2. Ahorabien, sean las inclusiones

p → V1 ∩ V2, X1 → V1 y X2 → V2

Desde que V1 ∩ V2 = U1 ∨ U2, la primera inclusion es un retracto pordeformacion fuerte por el lema anterior. Para V1 elegimos un retracto pordeformacion fuerte F2 : U2×I → U2 sobre p2 y sea la aplicacion continuaH1 : X1 t U2 × I → X1 t U2 definida por

H1(x, t) =

x, si (x, t) ∈ X1 × I

F2(x, t), si (x, t) ∈ U2 × I

Para V2 elegimos un retracto por deformacion fuerte F1 : U1 × I → U1 ysea la aplicacion continua H2 : U1 tX2 × I → U1 tX2 definida por

H2(x, t) =

x, si (x, t) ∈ X2 × I

F1(x, t), si (x, t) ∈ U1 × I

Consideremos los diagramas

(X1 t U2)× I

π×idI²²

H1 // X1 t U2

π²²

π(X1 t U2)× IH1 // π(X1 t U2)

(U1 tX2)× I

π×idI²²

H2 // U1 tX2

π²²

π(U1 tX2)× IH2 // π(U1 tX2)

Entonces H1 es una homotopıa fuerte de V1 en X1 y H2 es una homotopıafuerte de V2 en X2. Desde que V1 ∩ V2 es contractil, el corolario 2.4.17implica que las inclusiones V1 → X1 ∨ X2 y V2 → X1 ∨ X2 inducen unisomorfismo

π1(V1, p) ∗ π1(V2, p) → π1(X1 ∨X2, p)


Ademas las inyecciones X1 → V1 y X2 → V2 las cuales son equivalenciashomotopicas, inducen isomorfismos

π1(X1, p1) → π1(V1, p) y π1(X2, p2) → π1(V2, p)

lo que nos da un isomorfismo π1(X1, p1)∗π1(X2, p2) → π1(V1, p)∗π1(V2, p),componiendo estos isomorfismos se obtiene la afirmacion requerida. Final-mente, para el caso n > 2 se procede por induccion. 2

Ejemplo 3.4.8. De acuerdo a la proposicion anterior, la figura “ocho”,que es la union de las circunferencias de radio 1 centradas en (0,−1) y(0, 1), tiene grupo fundamental Z ∗ Z. Mas generalmente, el ensamble den circunferencias S1 ∨ . . . ∨ Sn tiene grupo fundamental Z ∗ . . . ∗ Z.

Corolario 3.4.9. Sea X un espacio topologico y U, V subconjuntos abiertoscuya union es X tal que U, V, U ∩ V son conexos por caminos con lassiguientes presentaciones

π1(U, p) ∼= 〈α1, . . . , αm | ρ1, . . . , ρr〉π1(V, p) ∼= 〈β1, . . . , βn | σ1, . . . , σs〉

π1(U ∩ V, p) ∼= 〈γ1, . . . , γp | τ1, . . . , τt〉Entonces π1(X, p) tiene la siguiente presentacion

〈α1, . . . , αm, β1, . . . , βn | ρ1, . . . , ρr, σ1, . . . , σs, u1 = v1, . . . , up = vp〉donde para cada i = 1, . . . , p, ui es una expresion para ı∗γi ∈ π1(U, x) enterminos de los α1, . . . , αm, y vi es una expresion para ∗γi ∈ π1(V, x) enterminos de los β1, . . . , βn.

Demostracion. Consideremos los grupos libres G = F (α1, . . . , αm) yH = F (β1, . . . , βn). De acuerdo a la proposicion 2.4.12 tenemos la igualdadG∗H = F (α1, . . . , αm, β1, . . . , βn). Sean R = ρ1, . . . , ρr, S = σ1, . . . , σsy T = u−1

1 v1, . . . , u−1p vp, todos considerados como subconjuntos de G∗H.

Por hipotesis tenemos que π1(U, p) ∼= G/R y π1(V, p) ∼= H/S. Con-siderando estos isomorfismos como identificaciones, tenemos que Φ es unhomomorfismo de (G/R)∗ (H/S) en π1(X, p). De acuerdo a la proposicion2.4.13, las proyecciones G → G/R y H → H/S inducen un homomorfismoπ : G ∗H → (G/R) ∗ (H/S).

Por el teorema de Van Kampen, Φ es un epimorfismo y su nucleo es iguala F (π1(U ∩ V, p)) y claramente tiene que π(T ) ⊆ F (π1(U ∩ V, p)). Veamos


que F (π1(U ∩ V, p)) ⊆ π(T ) y para esto consideremos el grupo cociente((G/R) ∗ (H/S)

)/π(T ). Por definicion de T , para cada elemento u−1

i vi

tenemos que π(u−1i vi) = 1, o sea que, modulo π(T ), ui = vi. Tomemos

ahora un elemento γ ∈ π1(U ∩ V, p) y lo expresamos en terminos de losgeneradores γ1, . . . , γp

Por otra parte, la composicion

G ∗Hπ→ (G/R) ∗ (H/S)

Φ→ π1(X, p)

es tambien sobreyectiva. Veamos que Nuc(Φ π) = R ∪ S ∪ T . Se tieneclaramente que R∪S ⊆ Nuc(Φπ). Tambien, por el argumento antrerior,π(T ) ⊆ F (π1(U ∩ V, p)) y ası π(T ) ⊆ Nuc(Φ), o sea, T ⊆ Nuc(Φ π). Porlo tanto, R ∪ S ∪ T ⊆ Nuc(Φπ). Veamos la otra inclusion. Sea w ∈ G∗Huna palabra tal que (Φπ)(w) = 1. Desde que π es un epimorfismo se tieneque π(w) ∈ Nuc(Φ) = π(T ) = π(T ); ası que π(w) = π(g), donde g ∈ T ;de aquı, por la proposicion 2.4.13 se tiene w ∗ g−1 ∈ Nuc(π) = R ∗ S.Escribimos w = h ∗ g, donde h ∈ R ∗ S y g ∈ T ; pero R ∗ S ∪ π(T ) ⊆R ∪ S ∪ T . Por lo tanto, w ∈ R ∪ S ∪ T . 2

Ejemplo 3.4.10. (Grupo fundamental de una superficie orientable degenero g). Consideremos el disco D2 al cual dividimos en 4g arcos

a1, b1, a1, b1, a2, b2, a2, b2, . . . , ag, bg, ag, bg.

Sea la superficie Fg que resulta de identificar cada arista con la correspon-diente arista con barra. Sea π : D2 → Fg la aplicacion cociente x 7→ [x] yconsideremos los subespacios

X1 = [x] | ‖x‖ < 3/4, X2 = [x] | ‖x‖ > 1/4 y C = [x] | ‖x‖ = 1

La inclusion C → X2 es una equivalencia homotopica. La inversa ho-motopica esta dada por r : X2 → C definida por [x] → [x/‖x‖]. Para estoes suficiente definir la homotopıa

H : X2 × I → X2

([x], t) 7→ [(1− t)x + t x‖x‖ ]

Sea x0 ∈ D2 tal que ‖x0‖ = 1/2 y notemos que r∗ : π1(X2, [x0]) →π1(C, [ x0

‖x0‖ ]) es un isomorfismo. Sea α : I → X2 el arco definido por


α(t) = [(1− t)x0 + t x0

‖x0‖ ] de modo que x0/‖x0‖ sea su vertice. Notemos queC es homeomorfo a una suma amalganada de 2g circunferencias y

π1(C) ∼= 〈a1, b1, a2, b2, . . . , ag, bg〉Definimos a continuacion

A1 = αa1α, B1 = αb1α, . . . , Ag = αagα, Bg = αbgα

Se tiene que π1(X2) ∼= 〈A1, B1, A2, B2, . . . , Ag, Bg〉. Por otra parte, si φ2 :X1 ∩ X2 → X2 es la inclusion canonica y b es el generador de π1(X1 ∩X2, [x0]), entonces (φ2)∗(b) = A1B1A

−11 B−1

1 . . . AgBgA−1g B−1

g ; ademas, siφ1 : X1 ∩X2 → X1 es la otra inclusion canonica, se tiene que (φ1)∗(b) = 1,pues, X1 es contractil. Por lo tanto,

π1(Fg) ∼= 〈A1, B1, A2, B2, . . . , Ag, Bg |A1B1A−11 B−1

1 . . . AgBgA−1g B−1

g 〉.Ejemplo 3.4.11. (Grupo Fundamental de una superficie no orientable degenero g). Sea D2 el disco con su borde dividido en 4g + 2 arcos

a1, b1, a1, b1, a2, b2, a2, b2, . . . , ag, bg, ag, bg, c, c

y sea Gg la superficie que resulta de identificar cada arista con la correspon-diente arista con barra y la arista c con la siguiente arista c. Denotemospor π : D2 → Gg a la aplicacion cociente. Como en el caso anterior, C eshomeomorfo a un racimo de 2g + 1 circunferencias y

π1(C) ∼= 〈a1, b1, a2, b2, . . . , ag, bg, c〉Definimos a continuacion

A1 = σa1σ, B1 = σb1σ, . . . , Ag = σagσ, Bg = σbgσ, C = σcσ

Si φ2 : X1∩X2 → X2 es la inclusion canonica y d es el generador de π1(X1∩X2, x2), entonces (φ2)∗(d) = A1B1A

−11 B−1

1 . . . AgBgA−1g B−1

g CC. Por otrolado, si φ1 : X1 ∩ X2 → X1 es la otra inclusion canonica, se tiene que(φ1)∗(C) = 1, pues, X1 es contractil. Entonces

π1(Gg) ∼= 〈A1, B1, A2, B2, . . . , Ag, Bg, C |A1B1A−11 B−1

1 . . . AgBgA−1g B−1

g C2〉.

3.5 Aplicaciones del Teorema de Van Kampen

3.6 Ejercicios

Capıtulo 4

Espacios Recubridores

4.1 Grupo Fundamental y Aplicaciones Recubridoras

Proposicion 4.1.1. (Teorema de inyectividad). Sea p : X → X unaaplicacion recubridora. Para cualquier punto x ∈ X, el homomorfismop∗ : π1(X, x) → π1(X, p(x)) es inyectivo.

Demostracion. Sea [α] ∈ π1(X, x) tal que p∗[α] = [cx], donde x =p(x). Esto indica que p α ∼ cx en X. Por la propiedad de elevacionde homotopıa, existen elevaciones de p α y cx comenzando en el mismopunto los cuales son homotopicos en X. Ahora bien, α es una elevacionde p α comenzando en x y cx es una elevacion de cx comenzando en elmismo punto. Por lo tanto, α ∼ cx en x, lo que implica [α] = 1. 2

Teorema 4.1.2. (Criterio de elevacion). Sea p : X → X una aplicacion re-cubridora. Sea Y un espacio que es conexo y localmente conexo por caminosy sea ϕ : Y → X una aplicacion continua. Dado y0 ∈ Y y x0 ∈ X tal quep(x0) = ϕ(y0), entonces ϕ admite una elevacion ϕ : Y → X satisfaciendoϕ(y0) = x0 si y solo si ϕ∗π1(Y, y0) ⊆ p∗π1(X, x0).

Demostracion. Supongamos que ϕ admite una elevacion ϕ : Y → X

con ϕ(y0) = x0. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo.

π1(X, x0)

p∗²²

π1(Y, y0)

ϕ∗77oooooooooooo

ϕ∗ // π1(X,ϕ(x0))

Por lo tanto, ϕ∗π1(Y, y0) = (p∗ ϕ∗)π1(Y, y0) ⊆ p∗π1(X, x0).

69

70 1 Espacios Recubridores

Veamos la parte recıproca. Sea y ∈ Y , como Y es conexo por caminos,

existe un camino f de y0 a y, sea ϕ f el unico levantamiento de ϕ f a

un camino en X comenzando en x0 y definimos ϕ(y) = ϕ f(1).Afirmamos que ϕ esta bien definida. En efecto, sean f y f ′ dos caminos

de y0 a y. Entonces f ′ ∗ f es un lazo en Y basado en y0; ası que

ϕ∗[f ′ ∗ f ] ∈ ϕ∗π1(Y, y0) ⊆ p∗π1(X, x0).

Esto indica que [ϕ (f ′ ∗ f)] = [p g] para algun lazo g en X basado en x0.De donde obtenemos

p g ∼ ϕ (f ′ ∗ f) = (ϕ f ′) ∗ (ϕ f)

que a su vez implica(p g) ∗ (ϕ f) ∼ ϕ f ′

Por el teorema de monodromıa, los levantamientos de estos dos caminos,comenzando en x0, tienen los mismos puntos finales. Desde que g es ellevantamiento de p g, el cual es un lazo basado en x0, entonces

ϕ f ′(1) = g ∗ ϕ f(1) = ϕ f(1)

Por lo tanto, ϕ esta bien definida.Afirmamos que ϕ es continua. Sea y ∈ Y y sea U un entorno abierto

de ϕ(y) que es uniformemente cubierto por p. Sea U la componente dep−1(U) conteniendo a ϕ(y). Como ϕ es continua, Y es localmente conexopor caminos y ϕ(y) ∈ U , existe un entorno V de y en Y , que es conexopor caminos tal que ϕ(V ) ⊆ U . Para probar la continuidad de ϕ eny es suficiente ver que ϕ(V ) ⊆ U . Sea y1 ∈ V y f1 un camino en Y

conectando y0 con y1, entonces, si α es un camino en V que enlaza y1 cony, se tiene que f1 ∗ α es un camino en Y que conecta y0 con y. Por tanto,ϕ (f1 ∗ α) = (ϕ f1) ∗ (ϕ α) es un camino en X que enlaza ϕ(y0) conϕ(y). Sea f1 el levantamiento en X de ϕ f1. Desde que (ϕ α)(I) ⊆ U ,existe un unico camino α1 = (p

∣∣U)−1 (ϕ α) en U tal que

α1(0) = ϕ(y) y p α1 = ϕ α

Ademas, es claro que p (f ∗ α1) = (ϕf1)∗ (ϕα) = ϕ (f1 ∗α), de donde

ϕ(y1) = ˜ϕ (f1 ∗ α)(1) = (f ∗ α1)(1) ∈ U

Por tanto, ϕ(V ) ⊆ U , lo que concluye la prueba. 2

3.3 Clasificacion de Aplicaciones Recubridoras 71

Corolario 4.1.3. Sea p : X → X una aplicacion recubridora y sea Y

un espacio simplemente conexo y localmente conexo por caminos. Todaaplicacion continua ϕ : Y → X admite una elevacion a X.

Demostracion. Sea y0 ∈ Y . Desde que Y es simplemente conexo,π1(Y, y0) = 1, entonces la afirmacion se sigue del teorema anterior. 2

Corolario 4.1.4. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X simple-mente conexo. Dado un espacio Y conexo y localmente conexo por caminos.Toda aplicacion continua ϕ : Y → X admite una elevacion a X si y solosi ϕ∗ es el homomorfismo trivial para cualquier punto base y0 ∈ Y .

Demostracion. Supongamos que ϕ admite una elevacion. Desde que X

es simplemente conexo, entonces ϕ∗π1(Y, y0) ⊆ p∗π1(X, x0) = 1, o sea,ϕ∗ es el homomorfismo trivial. Recıprocamente, si ϕ∗ es el homomorfismotrivial, entonces ϕ∗π1(Y, y0) = 1 ⊆ p∗π1(X, x0); de aquı se sigue que ϕ

admite una elevacion. 2

Observacion 4.1.1. Sea X conexo por caminos y p : X → X una apli-cacion recubridora. Sean puntos x, x′ ∈ X y f un camino en X que conectax con x′, entonces g = p f es un camino en X que conecta x = p(x) conx′ = p(x′). Ademas, el siguiente diagrama

π1(X, x)

p∗²²

f // π1(X, x′)p∗

²²

π1(X, x)g // π1(X, x′)

(4.1.1)

es conmutativo. En efecto,

(p∗ f )[α] = p∗[f ∗ α ∗ f ]

= [p (f ∗ α ∗ f)]

= [(p f) ∗ (p α) ∗ (p f)]

= [p f ∗ (p α) ∗ (p f)]

= [g ∗ (p α) ∗ g]

= g [p α]

= (g p∗)[α]


Teorema 4.1.5. (Teorema de conjugacion). Sea X conexo por caminos yp : X → X una aplicacion recubridora. Para cada x ∈ X y x, x′ ∈ p−1(x),los subgrupos p∗π1(X, x) y p∗π1(X, x′) son conjugados.

Demostracion. Sea f un camino que conecta x con x′ y sea g = p f .Consideremos el diagrama

π1(X, x)

p∗²²

f // π1(X, x′)p∗

²²

π1(X, x)g // π1(X, x)

el cual es conmutativo, por la observacion anterior, es decir, p∗ f = g p∗.Veamos que

p∗π1(X, x′) = [p f ]p∗π1(X, x)[p f ]

En efecto, sea [β] ∈ π1(X, x′), desde que f es sobreyectiva, existe [α] ∈π1(X, x) tal que f [α] = [β]. Entonces

p∗[β] = p∗f [α]

= (p∗ f)[α]

= (g p∗)[α]

= g[p α]

= [g ∗ (p α) ∗ g]

= [p f ∗ (p α) ∗ (p f)]

∈ [p f ]p∗π1(X, x)[p f ].

Por otra parte, sea [α] ∈ π1(X, x), entonces [f ∗ α ∗ f ] = f [α] ∈ π1(X, x′).Luego

[p f ]p∗[α][p f ] = [p f ][p α][p f ]

= [p f ∗ (p α) ∗ (p f)]

= (g p∗)[α]

= (p∗f)[α]

= p∗[f ∗ α ∗ f ]

∈ p∗π1(X, x′).

Por tanto, p∗π1(X, x) y p∗π1(X, x′) son conjugados. 2

3.3 Clasificacion de Aplicaciones Recubridoras 73

Corolario 4.1.6. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X conexopor caminos, x ∈ X y x ∈ p−1(x). Dado un subgrupo H de π1(X, x),conjugado con p∗π1(X, x), existe x′ ∈ p−1(x) tal que p∗π1(X, x′) = H.

Demostracion. De acuerdo a la hipotesis, existe [α] ∈ π1(X, x) tal que[α]p∗π1(X, x)[α] = H. Ahora bien, sea α la elevacion de α, comenzando enx, entonces x′ = α(1) ∈ p−1(x). De acuerdo al teorema anterior tenemosque p∗π1(X, x) = [α]p∗π1(X, x′)[α]. Por lo tanto, p∗π1(X, x′) = H. 2

Corolario 4.1.7. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X conexopor caminos y x ∈ X. La familia de subgrupos de π1(X, x), dada por

p∗π1(X, x) : x ∈ p−1(x)

es una clase de conjugacion de π1(X, x).

Demostracion. Se sigue directo del teorema 2.5.5 y el corolario 2.5.6. 2

Definicion 4.1.1. Una aplicacion recubridora p : X → X es llamadanormal en x si p∗π1(X, x) es un subgrupo normal de π1(X, p(x)). Si p esnormal para cada x ∈ X, entonces p es llamada normal.

Observacion 4.1.2. Sea p : X → X una aplicacion recubridora normal yx ∈ X. Entonces de acuerdo al corolario 2.5.7, el conjunto p∗π1(X, x) :x ∈ p−1(x) es una clase de conjugacion de π1(X, x); sin embargo, desdeque los subgrupos π1(X, x) son normales, esta clase de conjugacion estaconstituida por un solo elemento.

Lema 4.1.8. Sea X conexo por caminos y p : X → X una aplicacionrecubridora que es normal en un punto x ∈ X. Entonces p es normal.

Demostracion. Consideremos otro punto x′ ∈ X, y sean x = p(x),x′ = p(x′). Tomemos un camino f de x a x′ y sea g = p f , el cual es uncamino de x a x′. Como f es sobreyectiva, por la observacion 2.5.1 se tieneque

gp∗π1(X, x) = (g p∗)π1(X, x) = (p∗ f)π1(X, x) = p∗π1(X, x′).

Por otra parte, desde que g es un isomorfismo y π1(X, x) es normal, sesigue que p∗π1(X, x′) es normal. 2


Teorema 4.1.9. (Accion del grupo fundamental en la fibra). Sea X conexopor caminos, p : X → X una aplicacion recubridora y x ∈ X. Entoncesπ1(X, x) actua a derecha transitivamente sobre la fibra p−1(x).

Demostracion. Vamos a definir una accion a derecha de π1(X, x) sobrep−1(x). Sea x ∈ p−1(x) y [α] ∈ π1(X, x). Por el teorema de elevacion decaminos, existe una elevacion α de α en X, comenzando en x. Definimosx.[α] = α(1). Por el teorema de monodromıa, esta aplicacion esta biendefinida. Veamos que esta aplicacion es efectivamente una accion a derecha;es decir, debemos verificar

x.[cx] = x y ( x.[α] ).[β] = x.( [α].[β] )

Para la primera igualdad observemos que el lazo constante cx es la unicaelevacion de cx comenzando en x; por tanto, x.[cx] = cx(1) = x. Para lasegunda igualdad, supongamos que α y β son dos lazos en X basados enx. Sea α la elevacion de α comenzando en x; ası que x.[α] = α(1). Ahorabien, si β es la elevacion de β comenzando en α(1), entonces por definicionse tiene ( x.[α] ).[β] = β(1). Por otra parte, α ∗ β es la elevacion de α ∗ β

comenzando en x. De donde se sigue

x.( [α].[β] ) = x.[α ∗ β] = (α ∗ β)(1) = β(1) = ( x.[α] ).[β]

Finalmente, para ver que la accion es transitiva, sean x, x′ ∈ p−1(x), desdeque X es conexo por caminos, existe un camino α en X que conecta xcon x′. Definimos α = p α, entonces se ve que α es una elevacion de α

comenzando en x; por lo tanto, x.[α] = α(1) = x′. 2

Corolario 4.1.10. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X sim-plemente conexo y X conexo. Entonces el numero de hojas del cubrimientoes igual al orden de π1(X, x).

Demostracion. Elegimos un punto x ∈ X y un punto x ∈ p−1(x).Ahora definimos π1(X, x) → p−1(x) por [α] 7→ x.[α]. Esta aplicacion essobreyectiva porque la accion es transitiva. Para ver que es inyectiva,supongamos que x.[α] = x.[β], esto implica que las elevaciones α y β

comienzan en x y tienen el mismo punto final. Desde que X es simplementeconexo, α ∼ β; por tanto, [α] = p∗[α] = p∗[β] = [β]. 2

4.2. HOMOMORFISMOS RECUBRIDORES 75

Ejemplo 4.1.11. La aplicacion π : Sn → Pn definida por x 7→ [x] esuna aplicacion recubridora la cual tiene dos hojas, y para n ≥ 2, Sn essimplemente conexo. Segun el corolario anterior, π1(Pn) es un grupo condos elementos; por tanto, isomorfo a Z2.

Corolario 4.1.12. Si X es simplemente conexo, entonces cualquier apli-cacion recubridora p : X → X es un homeomorfismo.

Demostracion. El teorema de inyectividad muestra que X es simple-mente conexo y el corolario 2.5.10 muestra que el cardinal de cada fibra es1; ası que p es una aplicacion recubribora biyectiva, por tanto un homeo-morfismo. 2

4.2 Homomorfismos Recubridores

Definicion 4.2.1. Sean p1 : X1 → X y p2 : X2 → X aplicaciones recubri-doras con base X. Un homomorfismo recubridor de (X1, p1) en (X2, p2) esuna aplicacion continua ϕ : X1 → X2 tal que p2 ϕ = p1

X1

p1 ÃÃ@@@

@@@@

ϕ // X2

p2~~~~~~

~~~

X

Un homomorfismo recubridor que es un homeomorfismo es tambien lla-mado isomorfismo recubridor. Decimos que dos recubrimientos son iso-morfos si existe un isomorfismo entre ellos. Un endomorfismo es unatransformacion recubribora del espacio sobre si mismo. Un isomorfismo delespacio sobre si mismo es llamado automorfismo. Denotamos por A(X, p)al conjunto de automorfismos del espacio recubridor (X, p) de X.

Proposicion 4.2.1. Sean p1 : X1 → X y p2 : X2 → X dos recubrimientoscon la misma base X. Si X2 es localmente conexo y conexo por caminos,entonces todo homomorfismo ϕ : X1 → X2 es una aplicacion recubridora.

Demostracion. Sea x ∈ X2. Elegimos x1 ∈ X1 y sea x2 = ϕ(x1) ∈ X2.Sea x = p1(x1) = p2(ϕ(x1)) = p2(x2) ∈ X. Consideremos un caminog en X2 de x2 a x y sea f = p2 g que es un camino comenzando en


f(0) = p2(g(0)) = p2(x2) = x. Sea f la elevacion de f a un camino en X1

comenzando en x1 y sea el camino ϕ f en X2 Se tiene que

(ϕ f)(0) = ϕ(x1) = x2 y p2 (ϕ f) = p1 f = f

Entonces ϕ f es una elevacion de f a un camino en X2 comenzando enx2. Por unicidad se tiene que ϕ f = g y ϕ(f(1)) = g(1) = x. Por lo tanto,ϕ es sobreyectiva.

Veamos que ϕ es una aplicacion recubridora. Sea x ∈ X2 un puntoarbitrario y sea x = p2(x) ∈ X. Sean U1, U2 ⊆ X los entornos abiertos dex que son uniformemente cubiertos por p1 y p2, respectivamente. Sea U lacomponente conexa de U1 ∩ U2 conteniendo a x; ası que U es tambien unentorno abierto de x que es uniformemente cubierto por p1 y p2, respecti-vamente. Sea V la componente conexa de p−1

2 (U) y afirmamos que V esun entorno abierto de x que es uniformemente cubiert por ϕ. Tenemos quep−1

1 (U) =⋃

i∈I Ui es union de abiertos disjuntos, donde para cada i, p1 es un

homeomorfismo de Ui sobre U . Desde que el conexo ϕ(Ui) esta contenidoen p−1

2 (U) y como V es una componente conexa, se sigue que ϕ(Ui) ⊆ V yϕ∣∣Ui

= (p2∣∣V)−1 p1

∣∣Ui

. De aquı se sigue que ϕ−1(V ) =⋃

i∈J Ui, donde J

es la familia de ındices j tal que ϕ(Uj) ∩ V 6= ∅. 2

Proposicion 4.2.2. Sea p1 : X1 → X y p2 : X2 → X aplicaciones re-cubridoras con X1 conexo y ϕ0, ϕ1 : X1 → X2 homomorfismos. Si existex1 ∈ X1 tal que ϕ0(x1) = ϕ1(x1), entonces ϕ0 = ϕ1.

Demostracion. Es consecuencia del lema 2.2.26. 2

Corolario 4.2.3. Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X

conexo. El grupo A(X, p) actua libremente en el espacio X.

Demostracion. Consideremos el homomorfismo identidad idX y sea ϕ ∈A(X, p). Si x ∈ X es tal que ϕ(x) = x, segun la proposicion anteriordebemos tener ϕ = idX . 2

Teorema 4.2.4. (Criterio del homomorfismo recubridor). Sea X1 conexoy localmente conexo por caminos y sean p1 : X1 → X y p2 : X2 → X dosrecubrimientos con la misma base X. Sean x1 ∈ X1 y x2 ∈ X2 tal quep1(x1) = p2(x2) = x ∈ X. Entonces existe un homomorfismo recubridorϕ de (X1, p1) en (X2, p2) tal que ϕ(x1) = x2 si y solo si (p1)∗π1(X1, x1) ⊆(p2)∗π1(X2, x2).

3.3 Homomorfismos Recubridores 77

Demostracion. Un homomorfismo recubridor puede ser visto como unaelevacion de p1.

X1

p1 ÃÃ@@@

@@@@

ϕ // X2

p2~~~~~~

~~~

X

Luego el teorema es consecuencia del criterio de levantamiento. 2

Ejemplo 4.2.5. Sean pm, pn : S1 → S1 las aplicaciones recubridoras delejemplo 2.2.16 y consideremos el diagrama

S1

pm ÃÃ@@@

@@@@

// S1

pn~~~~~~

~~~

S1

Segun el teorema anterior, existe un homomorfismo recubridor ϕ de (S1, pm)en (S1, pn) si y solo si n divide a m.

Corolario 4.2.6. Consideremos las hipotesis tel teorema anterior. En-tonces existe un isomorfismo ϕ de (X1, p1) en (X2, p2) tal que ϕ(x1) = x2

si y solo si (p1)∗π1(X1, x1) = (p2)∗π1(X2, x2).

Demostracion. Una implicacion es facilmente verificada a partir del teo-rema anterior. Supongamos ahora que se tiene la igualdad (p1)∗π1(X1, x1) =(p2)∗π1(X2, x2), el teorema anterior nos dice que existen homomorfismos re-cubridores ϕ : X1 → X2 y ψ : X2 → X1 tal que ϕ(x1) = x2 y ψ(x2) = x1.Desde que (ϕ ψ)(x2) = ϕ(x1) = x2, el corolario 2.6.3 implica que ϕ ψ =idX2

. De manera similar se consigue ψ ϕ = idX1. 2

Corolario 4.2.7. Sea p : X → X una aplicacion recubridora y x, x′ ∈p−1(x). Entonces existe un automorfismo ϕ ∈ A(X, p) tal que ϕ(x) = x′ siy solo si p∗π1(X1, x) = p∗π1(X2, x

′).

Demostracion. Este es un caso particular del corolario 2.6.6. 2

Corolario 4.2.8. (Criterio del isomorfismo recubridor). Dos espacios re-cubridores (X1, p1) (X2, p2) de X son isomorfos si y solo si para cualquierpar de puntos x1 ∈ X1 y x2 ∈ X2 tal que p1(x1) = p2(x2) = x, los sub-grupos (p1)∗π1(X1, x1) y (p2)∗π1(X2, x2) pertenecen a la misma clase deconjugacion en π1(X, x).


Demostracion. Consecuencia del corolario 2.6.6 y corolario 2.5.7. 2

Teorema 4.2.9. (Teorema de estructura para cubrimientos). Sea X unespacio conexo por caminos, p : X → X una aplicacion recubridora yx ∈ X. Entonces

A(X, p) ∼= N(p∗π1(X, x))

p∗π1(X, x).

Demostracion. Sea H = p∗π1(X, x) ⊆ π1(X, x). Vamos a definir unepimomorfismo α : N(H) → A(X, p) con nucleo H y el resultado seguiradel teorema de isomorfismo para grupos.

Sea [g] ∈ N(H) un elemento arbitrario y definimos como en el teorema2.5.9, x′ = x.[g]. Debemos recordar que x′ es el punto final de la elevaciong de g que comienza en x. Sea Φg : π1(X, x) → π1(X, x′) el isomorfismoinducido por g. Por la conmutatividad en el diagrama (2.5.6) conseguimosque

p∗π1(X, x′) = p∗Φgπ1(X, x)

= Φgp∗π1(X, x)

= [g].H.[g] = H

= p∗π1(X, x).

Ası que, existe un homomorfismo recubridor ϕ tal que ϕ(x) = x′ y estaes unica por la proposicion 2.6.2. Definimos α[g] = ϕ y veamos que αes un homomorfismo de grupos. En efecto, sean [g1], [g2] ∈ N(H) y es-cribimos α[gi] = ϕi; ası que ϕi es un homomorfismo recubridor satisfa-ciendo ϕi(x) = gi(1). Sea ϕ12 = α[g1 ∗ g2]; ası que ϕ12(x) = g1 ∗ g2(1).Necesitamos mostrar que ϕ12 = ϕ1 ϕ2, y para esto es suficiente mostrarque estos homomorfismos recubridores coinciden e un punto. Veamos queϕ12(x) = (ϕ1 ϕ2)(x), equivalentemente, g1 ∗ g2(1) = ϕ1(g2(1)). Ahorabien, la elevacion g2 de g2 es un camino en X comenzando en x; por otraparte, desde que p ϕ1 = p, entonces ϕ1 g2 es tambien una elevacion deg2, pero esta elevacion comienza en ϕ1(x) = g1(1). Por tanto, podemosconsiderar el camino producto g1 ∗ (ϕ1 g2) y es una elevacion de g1 ∗ g2

3.3 Homomorfismos Recubridores 79

comenzando en x. En conclusion

ϕ12(x) = g1 ∗ g2(1)

= g1 ∗ (ϕ1 g2)(1)

= ϕ1 g2(1)

= ϕ1(ϕ2(x)).

Para mostrar que α es sobreyectiva, sea ϕ ∈ A(X, p) un elemento ar-bitrario, sea x′ = ϕ(x) y sea g el camino en X de x a x′. Entoncesg = p g es un lazo en X. Ademas, el corolario 2.6.7 muestra quep∗π1(X, x) = p∗π1(X, x′), pues, x y x′ estan en la misma orbita. Porotra parte, de la observacion (2.5.6), p∗π1(X, x′) = Φgp∗π1(X, x). Ası

que Φgp∗π1(X, x) = p∗π1(X, x), de donde, [g] ∈ N(H), y el argumentoanterior muestra que α[g] = ϕ. Finalmente, veamos que Nuc(α) = H.Sea [g] ∈ N(H) y sea g la elevacion de g comenzando en x y escribi-mos ϕ = α[g]. Entonces ϕ es el homomorfismo identidad si y solo siϕ(x) = g(1) = x, lo que implica que g es un lazo en X; ası que ϕ es laidentidad si y solo si [g] = [p g] = p∗[g] para algun [g] ∈ π1(X, x), o sea,[g] ∈ H. 2

Corolario 4.2.10. Sea X conexo por caminos. Si p : X → X es uncubrimiento normal, x ∈ X y x = p(x), entonces

A(X, p) ∼= π1(X, x)/p∗π1(X, x).

Demostracion. Desde que p : X → X es un cubrimiento normal, en-tonces N(p∗π1(X, x) = π1(X, x) y el isomorfismo se sigue del teoremaanterior. 2

Corolario 4.2.11. Sea X conexo por caminos. Si p : X → X es unaaplicacion recubridora con X simplemente conexo, entonces

A(X, p) ∼= π1(X, x).

Demostracion. Desde que X es simplemente conexo, entonces p∗π1(X, x) =1. Ahora bien, la afirmacion se sigue del teorema anterior. 2

Ejemplo 4.2.12. La aplicacion recubridora p : Sn → Pn tiene como unicoshomomorfismos recubridores a la aplicacion antıpoda A : Sn → Sn y a laidentidad; por lo que, A(Sn, p) ∼= Z2, de esto se sigue que π1(Pn) ∼= Z2. 2


4.3 Recubrimientos Regulares y Espacios Cocientes

4.4 Existencia de Recubrimientos

Proposicion 4.4.1. (Recubrimiento simplemente conexo). Se cumplen lassiguientes afirmaciones:

(a) Sea p : X → X una aplicacion recubridora con X simplemente conexo.Para cualquier aplicacion recubridora p1 : X1 → X, existe una apli-cacion recubribora ϕ : X → X1 tal que el siguiente diagrama conmuta

X

pÂÂ?

????

???

ϕ // X1

p1~~~~~~

~~~

X

(b) Dos recubrimientos simplemente conexos del mismo espacio son iso-morfos.

Demostracion. Desde que el subgrupo trivial esta contenido en todosubgrupo, la parte (a) se sigue del criterio del homomorfismo recubridorjunto con la proposicion 2.6.1. Por otra parte, la afirmacion (b) es conse-cuencia del criterio del isomorfismo recubridor. 2

Definicion 4.4.1. Un espacio recubridor X de X es llamado recubrimientouniversal de X si es simplemente conexo.

Definicion 4.4.2. Un espacio topologico X es llamado localmente sim-plemente conexo si admite una base de conjuntos abiertos simplementeconexos. Se sigue de la definicion que un espacio localmente simplementeconexo es localmente conexo por caminos, ya que espacios simplementeconexos son conexos por caminos. Cualquier variedad es localmente sim-plemente conexa.

Teorema 4.4.2. (Existencia del recubrimiento universal). Todo espacioconexo, localmente simplemente conexo, tiene un recubrimiento universal.

Demostracion. Fijemos un punto x0 ∈ X. Definimos

X = [ αx] |x ∈ X y αx es un camino en X, que conecta x0 con x.

3.3 Recubrimiento Universal 81

Primer paso. Construyamos una topologıa en X. Dado [f ] ∈ X y U ⊆X un conjunto abierto simplemente conexo conteniendo f(1), definimos

[f ∗ U ] = [f ∗ α] |α es un camino en U comenzando en f(1).Sea B la coleccion de todos los conjuntos [f ∗ U ] y veamos que B es basede una topologıa en X. Para cualquier [f ] ∈ X, existe un conjunto abiertoU simplemente conexo conteniendo f(1) y claramente f ∗ cf(1) ∈ [f ∗ U ];

ası que X es la union de todos los elementos de B. Ahora bien, sean[f ∗ U ] y [g ∗ V ] dos elementos de B cuya interseccion es no vacıa, sea[h] ∈ [f ∗U ]∩ [g ∗V ], esto implica que h ∼ f ∗α y h ∼ g ∗β, donde α es uncamino en U comenzando en f(1) y β es un camino en V comenzando eng(1). Sea W un entorno simplemente conexo de h(1) contenido en U ∩ V .Si h ∗ γ es cualquier elemento de [h ∗W ], entonces

[h ∗ γ] = [f ∗ α ∗ γ] ∈ [f ∗ U ] y [h ∗ γ] = [g ∗ β ∗ γ] ∈ [g ∗ V ]

Ası que [h ∗ W ] ⊆ [f ∗ U ] ∩ [g ∗ V ] y B es base de una topologıa de X,los abiertos de esta topologıa son precisamente las uniones arbitrarias deelementos de B.

Segundo paso. X es conexo por caminos. Sea [f ] ∈ X un elementoarbitrario, mostraremos que existe un camino en X que conecta [cx0

] con[f ]. Para cada 0 ≤ t ≤ 1, definimos ft : I → X por s 7→ f(ts); ası que ft

es un camino en X que conecta x0 con f(t). Ahora definimos f : I → X

por t 7→ [ft]. Claramente se tiene que

f(0) = [f0] y f(1) = [f1] = [f ]

Por tanto, es suficiente mostrar que f es continua. Sea [h ∗ U ] ⊆ X unabierto basico y t0 un punto tal que f(t0) ∈ [h ∗ U ], entonces ft0 ∼ h ∗ γpara algun camino γ en U , de aquı, f(t0) = ft0(1) ∈ U . Ahora bien, paracada 0 ≤ t ≤ 1, definimos un camino

ft0t : I → X por ft0t(s) = f(t0 + s(t− t0)).

Que es un camino que va de f(t0) a f(t) y ft0 ∗ ft0t ∼ ft. Desde quef es continua, existe δ > 0 tal que f(t0 − δ, t0 + δ) ⊆ U . Ademas, sit ∈ (t0 − δ, t0 + δ), entonces

ft ∼ ft0 ∗ ft0t ∼ h ∗ γ ∗ ft0t


lo que implica

f(t) = [ft] = [h ∗ γ ∗ ft0t] ∈ [h ∗ U ]

Esto muestra que f−1[h ∗ U ] contiene el conjunto (t0 − δ, t0 + δ), y ası, f

es continua.

Tercer paso. La aplicacion p : X → X definida por [f ] 7→ f(1) esuna aplicacion recubridora. Sea U ⊆ X un conjunto abierto simplementeconexo. Veamos que U es uniformemente cubierto. Elegimos x1 ∈ U yveamos que p−1(U) es union disjunta de los abiertos [f ∗ U ], donde las [f ]son las distintas clases que van de x0 a x1. De la definicion es claro quep[f ∗ U ] ⊆ U y ası,

⋃[f ][f ∗ U ] ⊆ p−1(U); recıprocamente, si [g] ∈ p−1(U),

entonces g(1) = p[g] ∈ U , por tanto hay un camino β en U que conecta g(1)con x1 y [g] = [g∗β∗β] ∈ [(g∗β)∗U ]. Esto muestra que p−1(U) =

⋃[f ][f∗U ].

Esto muestra en particular que f es continua y sobreyectiva.

Veamos a continuacion que p es un homeomorfismo de [f ∗ U ] sobre U .Esta restriccion es sobreyectiva ya que para cada x ∈ U , existe un caminoα en U que conecta f(1) con x; ası, x = p[f ∗ α] ∈ p[f ∗ U ]. Para ver lainyectividad, sean [g], [g′] ∈ [f ∗ U ] y supongamos que p[g] = p[g′], o sea,g(1) = g′(1); entonces por definicion de [f ∗U ], g ∼ f ∗α y g′ ∼ f ∗α′ paraalgunos caminos α, α′ en U que conectan f(1) con g(1) = g′(1). Desde queU es simplemente conexo, α ∼ α′ y por tanto [g] = [g′]. Veamos ahoraque para dos caminos f, f ′ de x0 a x1, los conjuntos [f ∗ U ] y [f ′ ∗ U ] sondisjuntos. Si no fuesen disjuntos existe [g] ∈ [f ∗ U ] ∩ [f ′ ∗ U ]; ası queg ∼ f ∗ α ∼ f ′ ∗ α′ para caminos α, α′ en U que conectan x1 con g(1).Desde que U es simplemente conexo, α ∼ α′, lo que implica f ∼ f ′ y portanto [f ∗ U ] = [f ′ ∗ U ′].

Cuarto paso. X es simplemente conexo. Sea F : I → X un lazobasado en x0. Si f = p F , entonces F es una elevacion de f . Escribimosf(t) = [ft] como en el tercer paso, entonces (pf)(t) = p[ft] = ft(1) = f(t);ası que f es tambien una elevacion de f comenzando en x0 y por unicidadconseguimos que F = f . Desde que F es un lazo se tiene

[cx0] = x0 = F (1) = f(1) = [f1] = [f ]

Ası que f es homotopico a una aplicacion constante y por la propiedadde elevacion de homotopıa, tambien se tiene que F es homotopica a unaaplicacion constante. 2

3.3 Recubrimiento Universal 83

Ejemplo 4.4.3. El recubrimiento universal de Tn es Rn y el recubrimientouniversal de Pn es Sn.

Teorema 4.4.4. Sea Y un espacio conexo, localmente conexo por caminosy de Hausdorff localmente compacto. Supongamos que un grupo discretoΓ actua continuamente, libremente y propiamente en X, entonces Y/Γes de Hausdorff, la aplicacion cociente π : Y → Y/Γ es una aplicacionrecubribora normal, y A(Y , p) = Γ.

Demostracion.

Teorema 4.4.5. (Clasificacion de recubrimientos). Sea X un espacioconexo el cual es localmente simplemente conexo. Dada una clase de con-jugacion de subgrupos de π1(X, x), entonces existe un espacio recubridorp′ : X ′ → X tal que p′∗π1(X

′, x′) pertenece a dicha clase de conjugacion.

Demostracion. Sea H un subgrupo de π1(X, x) y sea p : X → X elrecubrimiento universal de X. Elegimos un punto x ∈ p−1(x), entoncesel corolario 2.6.11 muestra que π1(X, x) es isomorfo a A(X, p) por el ho-momorfismo α : π1(X, x) → A(X, p) definido por [f ] 7→ ϕ, donde ϕ es elhomomorfismo recubridor que lleva x en x.[f ]. Sea H = α(H) ⊆ A(X, p).

Desde que A(X, p) actua libremente y propiamente en X, lo mismosucede con H. Sea X ′ = X/H y sea π : X → X ′ la aplicacion cociente;por el teorema anterior, π es una aplicacion recubridora normal. Ahorabien, desde que p : X → X es constante en las fibras de π, entonces existeuna aplicacion continua p′ : X ′ → X tal que el siguiente diagrama conmuta

X

pÂÂ@

@@@@

@@@

π // X ′

p′~~

X

Veamos que p′ es una aplicacion recubridora. Sea x1 ∈ X, sea U un entornode x1 el cual es uniformemente cubierto por p, y sea U ′ una componentede p′−1(U). Veamos a continuacion que la restriccion de p′ es un homeo-morfismo de U ′ sobre U .

Desde que X ′ es localmente conexo por caminos, entonces U ′ es abierto ycerrado en p′−1(U); ası que, π−1(U ′) es abierto y cerrado en π−1(p′−1(U)) =p−1(U), el cual implica que es el union de componentes de p−1(U). Si X


es una tal componente, entonces el siguiente diagrama conmuta

U

pÂÂ>

>>>>

>>>

ϕ // U ′

p′ÄÄ~~~~

~~~

U

En este diagrama tenemos que p = p′ π es un homeomorfismo; ası que π

es inyectivo en U . Si π(U) 6= U ′, entonces

π(π−1(U ′)) =⋃

ϕ∈U

π(ϕ(U)) = π(U) 6= U

lo que contradice la sobreyectividad de π : X → X ′; por tanto, π : U →U ′ es biyectiva, y como es una aplicacion abierta, esta aplicacion es unhomeomorfismo. Desde que p y π son homeomorfismos, entonces lo es p′.

Veamos finalmente que p′∗π1(X′, x′) = H para algun x′ ∈ X ′ tal que

p′(x′) = x. Sea x′ = π(x) y consideremos el siguiente diagrama

π1(X′, x′)

p′∗²²

α′ // A(X, π)

ı²²

π1(X, x) α // A(X, p)

donde α′ y α representan los isomorfismos dados por el teorema de estruc-tura de cubrimientos, y donde ı es la inclusion. Veamos que este diagramaes conmutativo. Sea [f ] ∈ π1(X

′, x′) y sea ϕ = α′[f ], donde ϕ es el homo-morfismo recubridor que lleva x en x.[f ] = f(1), siendo f la elevacion def a un camino en X comenzando en x. Entonces (ı α′)[f ] = ϕ. Por otraparte, (α p′∗)[f ] = α[p′ f ] es el homomorfismo ψ ∈ A(X, p) que lleva x

en p′ f(1); ahora bien, p f = p′ π f = p′ f ; ası que f es la elevacion

de p′ f comenzando en x, lo que implica p′ f(1) = f(1). Por lo tanto,ϕ = ψ y el diagrama conmuta. Para concluir el teorema tenemos

p′∗π1(X′, x′) = α−1 ı α′(π1(X

′, x′))

= α−1 ı(A(X, π))

= α−1(H) = H.

2

4.5. EL TEOREMA DE BORSUK - ULAM EN DIMENSION 2 85

4.5 El Teorema de Borsuk - Ulam en dimension 2

4.6 Ejercicios

Capıtulo 5

Topicos Adicionales

5.1 Grupos de Homotopıa de Orden Superior

5.2 Nudos y Enlaces

Definicion 5.2.1. Un nudo K es un subespacio de R3 o S3, que es home-omorfo a S1

5.3 Presentaciones de Wirtinger

5.4 Ejercicios

87

Bibliografıa

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89

homotopia y espacio de recubrimiento

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