ho 01 podst pojecia

7/22/2019 HO 01 Podst Pojecia

1/20

PODSTAWOWE POJCIA

UYWANE W HYDROMECHANCE


2/20

Ukady wsprzdnych

Wielkoci fizyczne nie mog zalee od ukadu wsprzdnych wjakim si je rozpatruje. Wszystkie rwnania ruchu i inne operatory

hydromechaniczne s wane w kadym rozpatrywanym ukadzie

wsprzdnych:

kartezjaskim, walcowym,

sferycznym,

parabolicznym, itp.Aby zapisa rwnanie w wybranym ukadziewsprzdnych naley

znale skadowe tego rwnania w rozpatrywanym ukadzie. Naley

stara si o zastosowanie najbardziej naturalnego ukadu

wsprzdnychdo rozpatrywanego zagadnienia.


3/20

Ukady wsprzdnych

Znajdziemy teraz wyraenia do zapisania operatorw

hydromechanicznego pola i rwna ruchu pynu w dowolnychkrzywoliniowych ukadach wsprzdnych. Bdziemy stosowa

ukadyprawoskrtne.

Na kady punkt N w obszarze V moe by

wyznaczony przez promie wiodcy, ktry wkartezjaskim ukadzie wsprzdnych 0xyz

jest dany:

zkyjxir

(x, y, z) to skadowe wektora r lub wsprzdne punktu N. Punkt N

wyznaczony zostaje takeprzez przecicietrzech powierzchni z, y i z.

Wzduosi 0x, 0y i 0z skierowane swektory jednostkowe wersory:

kji

,,

S one prostopade do siebie i zachowuj swe kierunki wewszystkich punktach przestrzeni.


4/20

Ukady wsprzdnych

Dla krzywoliniowych ukadw wsprzdnych oznaczonych przez

powierzchnie q1, q2 i q3, ktrych przecicie wyznacza punkt N. Wkierunku wzrastajcychwartociq1, q2i q3moemyskierowastyczne

do tych linii q1, q2i q3ortogonalne wektory jednostkowe:

speniajcewarunek:

321 ,, eee

- wektory bazy przewanienie sstae, ale zmieniajsi od

punktu do punktu w przestrzeni, co moemyzapisa:

ijji ee

Pomidzy kartezjaskim a ortogonalnym wkadem wsprzdnych(q1, q2, q3) istnieje jednoznaczna odpowiednio. Zatem:

321 ,, eee

321333212232111 ,,,,,,,, qqqeeqqqeeqqqee

321

321

321

,,

,,,

,,,

qqqzz

qqqyy

qqqxx

i

zyxqq

zyxqq

zyxqq

,,

,,,

,,,

33

22

11

lub

rqqqqqrr ii

i,, 321


5/20

Ukady wsprzdnych

Dla walcowego ukadu wsprzdnych q1 = r, q2 = , q3 = z przy

czym r 0; +), 0;2, z (- , +).

- promiewiodcy,jego przyrost:

zzryrx

eeeeee zr

,sin,cos

,, 321

332211 dsedsedsedzkdyjdxird

gdzie dsi skadowe przyrostw dr wbazie ukadukrzywoliniowego3

3

2

2

1

1

333222111

dqq

rdq

q

rdq

q

r

dqHedqHedqHe

maj kierunek stycznej do linii

wsprzdnychqi.

r

33

3

22

2

11

1

,, Heq

rHe

q

rHe

q

r


6/20

Ukady wsprzdnych

Hito wspczynnikiLamego, oglnie:

Zatem:

333222111 ,, dqHdsdqHdsdqHds

i iiii q

zkqyj

qxi

qr

czyli

zkyjxirq

rH

i

i

gdzie,

222

2

2

iiii

i q

z

q

y

q

x

Hq

r

2222

2

iiii

i

q

z

q

y

q

x

q

rH


7/20

Element powierzchni i objtoci

332211 dSedSedSedSnSd

Element powierzchni dS w krzywoliniowym ukadzie

wsprzdnych:

Std2

3

2

2

2

1 dSdSdSSddS

3232321 dqdqHHdsdsdS

1313132 dqdqHHdsdsdS

2121213 dqdqHHdsdsdS wektor zewntrznejnormalnej:332211 nenenen


8/20

Element powierzchni i objtoci

321321332211 dqdqdqHHHdsdSdsdSdsdSdV

Element objtocidV w krzywoliniowym ukadziewsprzdnych:

Elementy powierzchni w ukadzie walcowym, gdzie powierzchnia

boczna o promieniu r:

dzrddqdqHHdSdS

32321

11dSedSnSd

Podobnie w ukadziesferycznym:reen

1

ddHHedSedSnSd rrr

ren


9/20

DEFINICJE w skrcie

Wektor nabla:z

iy

ix

i zyx

Wzory umoliwiajce obliczanie operacji wektorowych we

wsprzdnychkartezjaskich:

Gradient funkcji skalarnejf: fz

fi

y

fi

x

fif zyx

grad

Laplasjan funkcji skalarnejg:2

2

2

2

2

22

z

g

y

g

x

gg


10/20

Dywergencja pola wektorowego:

A

AAdiv

zA

yA

xA zyx

Rotacja pola wektorowego:A

AArot

zyx

zyx

AAA

zyx

iii

Laplasjan pola wektorowego: A

zzyyxx AiAiAi 2222 A

DEFINICJE w skrcie


11/20

Gradient funkcji skalarnejRniczkazupenafunkcji skalarnej :

3

3

2

2

1

1

dss

dss

dss

d

Poniewadsi=Hidqi, to:

332211

3

3

2

2

1

1 dsedsedses

es

es

e

sdgrad

33

3

22

2

11

1

qH

e

qH

e

qH

egrad

gdzie33

3

22

2

11

1

qH

e

qH

e

qH

e


12/20

Gradient funkcji skalarnejDla kartezjaskiegoukaduwsprzdnychH1 =H2 =H3=1oraz

zvv

rvv

rvv zr

321 ,1,

Jelijest potencjaemprdkocipynu

dzdsdydsdxdskejeie 321321 ,,i,,

332211 vevevev

to

33

3

22

1

11

1

1,

1,

1

qHvqHvqHv

W walcowym ukadziewsprzdnych:

W sferycznym ukadziewsprzdnych:

sin

1

,

1

, 321 rvvrvvrvvr


13/20

Dywergencja prdkoci i tensora napre

Dywergencja prdkoci:

z

v

y

v

x

v

vvdiv

zyx

to iloczyn skalarny operatora(nabla) i prdkociv.Dywergencja tensora napreP:

zp

yp

xpPdivP zyx

Dywergencja tensora jest wektorem o skadowychna osi x, y, x:

zpy

p

xpdivP

z

p

y

p

x

pdivP

z

p

y

p

x

pdivP

zzyzxzz

zyyyxy

y

zxyxxxx

,

,


14/20

Dywergencja tensora napre

Stosujcpojciedywergencji tensora napre rwnanie rniczkowe

ruchu pynumonazapisa:

divPFdt

vd

1

lubPF

dt

vd

1


15/20

Rotacja prdkociRotacja prdkociw kartezjaskimukadziewsprzdnych:

zyx vvv

zyx

kji

vvrot

Czstorot voznacza siprzez :

zyx kji

Std

y

v

x

v

vrot

x

v

z

vvrot

zv

yvvrot

xy

zz

zxyy

yzxx


16/20

Laplasjan

Laplasjan prdkocivjest wektorem, ktry w ukadziekartezjaskim

ma posta:

zyx vkvjviv 2222

Laplasjan funkcji skalarnej(q1, q2, q3):

dla wsprzdnych walcowych, H1=1, H2=r, H3=1, q1=r, q2=, q3=z

2

2

2

2

211

zrrr

rr

dla wsprzdnychbiegunowych :

2

2

2

11

rrrrrr

dla wsprzdnychsferycznych, H1=1, H2=r, H3=r sin , q1=r, q2= , q3=

2

2

222

2

2 sin

1sin

sin

11

rrrr

rr


17/20

Rwnanie linii prdu i linii wirowychRwnanie linii prdu:

0 sd

321

321

321

0

dsdsds

vvv

eee

sdv

std 332211 vdsvdsvds Rwnanie linii wirowych:

i3

3

2

2

1

1

dsdsds


18/20

Przyspieszenie elementu pynu, tensor prdkoci

Obliczamy:

332211gdzie, vevevevvSdt

vd

dt

vd

Po rozpisaniu wzorw otrzymamy tensor prdkociS:

33

3

22

2

11

1qHvv

qHvv

qHvvvvvS

TvSSS

SSS

SSS

S

333231

232221

131211


19/20

Przyspieszenie elementu pynu, tensor prdkoci

Dywergencjaprdkoci:

332211321 SSSvdiv

Rotacja prdkociprzy pomocy elementw tensora:

TSSS 21

vStv

dtvd

Przyspieszenie elementu pynu:


20/20

Koniec wykadu.

ho 01 podst pojecia

Documents