hlld 法に基づく磁気流体方程式の差分解法

HLLD 法に基づく磁気流体方程式の差分解法

三好　隆博広島大学大学院理学研究科

2012 年 8 月 6 日（月） -10 日（金）　千葉大学アカデミックリンクセンター宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール

安心して HLLD 法をお使いいただくために．．．

内容

はじめに双曲型保存則MHD 方程式

近似リーマン解法HLL 近似リーマン解法HLLD 近似リーマン解法

近似リーマン解法の多次元化磁場発散の数値処理

HLLD 近似リーマン解法の展開

はじめに

宇宙プラズマにおける流体現象の特徴保存性、非線形性、圧縮性、多次元性

流れの支配方程式線形移流方程式Burgers 方程式Euler 方程式MHD 方程式・・・・

0

0

02

0

2

UAU

FU

t

t

uxt

uxuu

tu

auxt

uxua

tu

双曲型保存則

1 次元システム方程式の保存則

　　　：特性変数ベクトル　　　：ヤコビ行列　　　：固有値行列　⇒　独立の実固有値　　　：右固有ベクトル

0

xtFU

RΛARWΛWUARRRUR

UFAUAU

,0

,0

111

xtxt

xt

U：保存変数ベクトル：流束ベクトル

WAΛR

F

双曲型方程式

双曲型保存則

連立移流方程式

0

000

000

,0

2

1

2

1

2

1

1

mmm w

ww

xw

ww

t

dRdxt

UWWΛW

.constk

x

t

.constdtdx

.constk

x

t

.constdtdx

非線形移流方程式

双曲型保存則

非線形移流方程式Burgers 方程式

非線形双曲型保存則非線形結合で高次モード生成有限時間で不連続解を形成

0,0,,2

,02

txuxutxu

ufxf

tu

xuu

tu

x

u

双曲型保存則

弱解（ weak solution ）

不連続解を含むより一般的な解解の一意性消失物理的な解はエントロピー条件を満足

00,0,

,

0

0

dxxxdxdtxt

dxdtxt

tx

UFU

FU

tx, ：無限回微分可能かつ無限遠で 0 の任意関数

双曲型保存則

双曲型保存則の数値解法保存型解法

Lax-Wendroff の定理 [1960]数値解が収束すれば、その解は保存則の弱

解に収束Harten のエントロピー条件 [1980]

数値解がエントロピー条件を満足し、収束すれば、その解は保存則の物理解に収束

非保存型解法Hou-LeFloch の定理 [1994]

数値解が収束したとしても、衝撃波を含むその解は非物理的解に収束

0 FUt

0 UAUt

双曲型保存則

保存型解法有限差分法有限要素法有限体積法

02/12/1

iitx i FFU

2/1iF：数値流束

*2/1i

F 2/1i

F 2/3i

F 2/3i

FiU 1iU1iU

x

0,, 2/12/12/1

2/1

txtxdxt ii

x

x

i

i

UFUFU

MHD 方程式（保存形式）

MHD 方程式

,221

,ideal,0

,012

,0

,02

,0

2

2

2

Bep

ptet

Bpt

t

2v

v

BEB

BE

EB

BBI

v

v

vvv

v

MHD 方程式

1 次元 MHD 方程式

fas

saf

xzyT

zyx

TzyxTxzxy

zxyxT

Tzy

x

cucucu

ucucucu

BBBpp

BBBwuep

wBBBupewBuBBuB

BBwuBBupuuu

eBBwu

Bxt

765

4321

222

222222

,,

,,,,

,2

,221

,,,

,,,,

,,,,,,,

,const.,0

vvv

vv

F

U

FU

MHD 方程式

MHD 方程式の波の性質特性波

Rankine-Hugoniot の関係式

7654321

22222,

22 24,

xsfxa pBBpBpcBc

0,02

0,0

,,0

0,0

22

22

xzy

xzy

zyzy

BBBp

BpBBwv

BwBvBBp

u

F

（回転不連続）（接触不連続）

（接線不連続）

（速進衝撃波、遅進衝撃波）

はじめに

MHD 衝撃波管問題（リーマン問題）

t

RU

FRFS /RDSRSS /CDRDFRFS / SRSS /

LU

LRtx UUUU ,;

（ここでは複合波は無視）

x

近似リーマン解法

近似リーマン解法（ Godunov 型解法）

物理量分布を一定と仮定

0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x



物理量分布を一定と仮定リーマン問題厳密解・近似解

0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x



物理量分布を一定と仮定リーマン問題厳密解・近似解厳密解・近似解の空間積分

0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x



物理量分布を一定と仮定リーマン問題厳密解・近似解厳密解・近似解の空間積分数値流束による形式（時空間保存則から評価）

0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x

011

2/1

2/1

2/1

2/12/12/1

1

n

n

n

n

i

i

i

i

t

t i

t

t i

x

x

nx

x

n dtdtdxdx FFUU

0,; 2/12/112/12/1

nii

niii

x

x

ni

ni

i txxdxt

xxi

i

FFUUUU



0dtdxdxdt

xtFUFU

niU

ni 1U

2/1ixnt

ttn

dttxtt

t ii

n

n

,2/12/1 FF

2/1

2/1

,1 i

i

x

x

nni dxttx UU

2/1ix

ni 1U

n

ini

i

txx

12/1 ,; UUU

HLL 近似リーマン解法

HLL 近似リーマン解法 [Harten+, 1983]衝撃波近似2-wave 近似

LRS ,：最大 / 最小情報伝播速度

RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

0dtdxdxdt

xtFUFU

0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS




RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

0* LRLLRRLR SSSS FFUUU

U

0dtdxdxdt

xtFUFU

0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS




RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS

0dtdxdxdt

xtFUFU

UF

LR

LRLRRLLRLRLRLR SS

SSSS

UUFFUUSFF ,*

,,*



固有ベクトルの計算不要正値性保存 [Einfeldt, et al., 1991]

MHD については [Miyoshi, Kusano, 2005] 接触不連続の分解不可能

UFUUFFF

FFUUU

LR

LRLRRLLR

LR

LRLLRR

SSSSSS

SSSS

*

HLLD 近似リーマン解法

HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]衝撃波近似5-wave 近似

リーマンファンで移流速度一定リーマンファンで全圧力一定

LRS , ：速進磁気音波

RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i





RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

TM pS , MS ：エントロピー波





RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

TM pS ,

RU

RU

LU

LU

MS ：エントロピー波*

,LRS ：アルフェン波

*RS*

LS MS


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]エントロピー波の評価 [Batten, et al., 1997]

全圧力の評価

LLLRRR

TLTRLLLLRRRRM uSuS

ppuuSuuSuS


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件

BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222

LRBBBwS zyxM ,,,,,,, Bvv


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]エントロピー波の評価 [Batten, et al., 1997]

全圧力の評価

LLLRRR

TLTRLLLLRRRRM uSuS

ppuuSuuSuS

LLLRRR

LRRRRLTRLLLTLRRR

RMRRRTR

LMLLLTLT

uSuSuuuSpuSpuS

uSuSpuSuSpp



BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222



HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]HLLD 解：

MSSuS

U



BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222




MSSuS

2

22

2

xM

xtt

xM

Mtxtt

BSSuSBuS

BSSuSuSB

BB

Bvv zytt BBwv ,,0,,,0 Bv

U



BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222




MSSuS

M

xTT

SSBppeuSe

BB vv

U

2

22

2

xM

xtt

xM

Mtxtt

BSSuSBuS

BSSuSuSB

BB

Bvv zytt BBwv ,,0,,,0 Bv


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]アルフェン波に対するジャンプ条件

BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222



L

xML

R

xMR

BSS

BSS

,

RL

RSLS

x

t

2/1i

R

L

MS

U



BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222



エントロピー波に対するジャンプ条件

tRxMtR

tRxMtRR

tR

tRRM

tLxMtL

tLxMtLL

tL

tLLM BS

BSS

BSBS

Sv

vvv

vvB

BBB

BB

0,det ttM Bv

0for, xttRtLttRtL BBBBvvv


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

0

tLxLtL

tLxLtLL

tRxRtR

tRxRtRR

tL

tLLL

tR

tRRR

tL

tLLRLL

t

tLLM

t

tRMR

tR

tRRRR

BuBu

BuBu

SS

SSSSSSSS

vv

vvvv

vvvv

BB

BB

BB

BBBB

tt B,v

RSLS

x

t

2/1i

*RS*

LS

tRtR B,vtLtL B,v

tLtL B,v

tRtR B,v



RL

xtLtRRLtLRtRLt

RL

xtLtRtRRtLLt

B

B

sgn

sgn

vv

vvv

BBB

BB

U



BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222



U

LRBee x :,:sgn BB vv

RL

xtLtRRLtLRtRLt

RL

xtLtRtRRtLLt

B

B

sgn

sgn

vv

vvv

BBB

BB


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]単純波近似5-wave 近似


RULURFLF

RSLS

x

t

2/1i

TM pS ,

RU

RU

LU

LU

MS ：エントロピー波*

,LRS ：アルフェン波

*RS*

LS MS

0,1,

,,

1********

*,

**,

*,

**,

*,,

*,,

*,,

LRLLRR

tS

tS

nLRLRM

LRLRLRLRLRLRLRLRLRLR

SSdxtxt

S

SS

R

L

FFUUUFFUU

FFUUFFUU


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]数値流束

LL S 0if2/1 FF

LS t 0

x

LU

LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF

LU2/1FLF



LS t 0

x

LU

LU2/1FLF

MLLLLLLL

LLLLLLLL

SSSS

SSSS

0if2/1

FUUF

UUUFF

LU

LS

LL S 0if2/1 FF LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF



0if0if0if0if0if

0if

2/1

RR

RRR

RMR

MLL

LLL

LL

SSSSSSSSS

S

FFFFFF

F

TtxtM peBS ,,,,,, ///// BFF v


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]孤立した接線不連続（ TD ）の分解

x

t

2/1i

MS

RR UU

LL UU

FU

M

xM

SBuS 0,


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]孤立した接線不連続（ TD ）の分解孤立した接触不連続（ CD ）の分解

x

t

2/1i

MS

RRR UUU

LLL UUU

FU

M

xM

SBuS 0,


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]孤立した接線不連続（ TD ）の分解孤立した接触不連続（ CD ）の分解孤立した回転不連続（ RD ）の分解

x

t

2/1i

RS

RR UU

RLLL UUUU

FU

*

* 0,

R

xx

R

S

BBuS


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]孤立した接線不連続（ TD ）の分解孤立した接触不連続（ CD ）の分解孤立した回転不連続（ RD ）の分解孤立した速進衝撃波（ FS ）の分解

x

t

2/1i

RS

RU

RRLLL UUUUU

FU RS


MHD の正値性物理的な解の集合

物理的な解の重み付き平均値

022,0| 22 BU v eG

101 212,1 GG UUUU

0211

101

221

2

21

21

B

vppp


HLLD 近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]HLLD 解の正値性

0221

0221

0

0

22

22

B

B

v

v

ep

ep



密度の正値性

RMMRRR uSSSuS ,0,0

0 RRR



圧力の正値性

11

2

11

2

22

222

2

22

2

22

RR

xfRR

tRR

RR

xR

tRR

RRRR

ppBc

ppB

e

B

B

Bv

RMMRRR uSSSuS ,0,0

一生懸命テキストの方に書きました。



圧力の正値性

00 D

RMMRRR uSSSuS ,0,0



圧力の正値性

RMMRRR uSSSuS ,0,0

fRRR

fRxfRR

tR

R

R

xfRR

tRRRR

cuS

cBc

p

BcppD

21

211

21

011

2

2

1

22

22

222

22

B

B



圧力の正値性

正値性保存の条件

RMMRRR uSSSuS ,0,0

0

22122

R

RRRRR

p

ep Bv

fLLLfRRR cuScuS

2

1,2

1


HLL 型近似リーマン解法HLLD 近似解の重み付き平均値正値性保存

(MHD HLL-type)


HLL 型近似リーマン解法正値性保存 HLLC 法 [Miyoshi, Kusano, 2007]

0if

0if2/1

MRRMR

MRRR

MLLML

MLLL

SSSSSS

SSSSSS

UUF

UUFF

RMMR

RMRRRR

MLML

LMLLLL

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

for

for

UU

UU

U


精度・計算速度の検証

ロバスト性の検証[Mignone et al., 2007]

まとめ





内容





時間と体力はありますか？

近似リーマン解法の多次元化

近似リーマン解法の多次元化多次元の特性の理論に基づく多次元解法

Euler 方程式でも容易ではないMHD 方程式では想像を絶する

磁場による波動の指向性磁場のソレノイダル性 0 B


近似リーマン解法の多次元化多次元の特性の理論に基づく多次元解法

Euler 方程式でも容易ではないMHD 方程式では想像を絶する

磁場による波動の指向性磁場のソレノイダル性

1 次元数値解法の利用Split 法Unsplit 法数値的な磁場発散の生成

nnz

ny

nx

n LLL UU 1

nnn L UU 1

0 B


数値的な磁場発散の影響

非物理的な磁気力が解全体に影響

数値的な磁場発散の処理は必須！

（補正なし）（補正あり）

BBBjBBI Tp

磁場発散の数値処理

プロジェクション法ソレノイダルベクトル場への射影　　課題：連立一次方程式の計算コスト

移流拡散法数値的な磁場発散の移流、拡散　　課題：磁場発散の停留、蓄積

Constrained-Transport （ CT ）法ソレノイダル条件を維持する離散化　　課題：高安定化、高次精度化


プロジェクション法 [Brackbill, Barnes, 1980]

ソレノイダル条件を満足する最小補正ベクトル場各ステップの計算後に連立一次方程式の計算

チェッカーボード現象

BBB

BB

AULBB

01

1

n

n

nn t

jijijijijijiji

jijijiyjiy

jijijixjix

yx

xBB

xBB

,22,,2,

2,2,,2

1,1,,,

,1,1,,

42

42

2,

2

B


境界プロジェクション法 [Miyoshi, Kusano, 2011]

各ステップの計算前に連立一次方程式の計算数値流束の段階で非物理的磁気力を排除

t

yx

yBB

b

xBB

b

nnnn

jinjijijijijiji

n

jijijixjix

jiny

jijijixjixji

nx

bULBB

B

b

,

22

0

2

2

1

,21,,1,

2,1,,1

,1,,1,2/1,

,,1,,1,2/1


移流拡散法（ 8-wave 法） [Powell, 1994]

磁場発散はエントロピー波で移流

非保存型解法流れのよどみ点での磁場発散の蓄積

拡散項は実効的ではない

BBB

B

B

BFU 0

00

vvt

BBB 2vt


移流拡散法（ 9-wave 法） [Dedner+, 2002]

磁場発散は追加された固有値で等方的に移流

固有値は流れと直接的には無関係保存型解法非保存（ Powell 型のソース項）への拡張も可能

2

22,0

p

hh c

cctt

BEB

02222 BBB htphtt ccc

pc ：波動方程式 hc ：拡散方程式


CT 法 [Evans, Hawley, 1988]

Field-CT 法Flux-CT 法 [Balsara, Spricer, 1999]

2/1,2/12/1,2/12/1,

2/1,2/12/1,2/1,2/1

jizjizjiny

jizjizjinx

EExtb

EEytb

4

,

2/1,12/1,1,2/1,2/12/1,2/1

2/1,,2/1,,2/1,,2/1

jizjizjizjizjiz

jiyBjizjixBjiz

EEEEE

FEFExy


CT 法HLL-Flux-CT 法 [Miyoshi, Kusano, 2011]

1 次元近似リーマン解法とコンシステント電場の微分を HLL 数値流束で評価

2/1,4/32/1,4/1

4/3,2/14/1,2/1

2/1,12/1,1,2/1,2/12/1,2/1

8

8

4

ji

z

ji

z

ji

z

ji

z

jizjizjizjizjiz

xE

xEx

yE

yEy

EEEEE


CT 法HLL-Flux-CT 法 [Miyoshi, Kusano, 2011]

1 次元近似リーマン解法とコンシステント [Gardiner, Stone, 2005]電場の微分を HLL 数値流束で評価

2/1,4/12/1,2/1,2/1

4/1,2/1,2/12/1,2/1

2/1,2/12/1,2/1

2

2

4

ji

zjizji

iz

ji

zjizji

jz

ji

jz

jz

iz

iz

jiz

xExEE

yEyEE

EEEEE


数値実験HLLD 近似リーマン解法

2 次 MUSCL+minmod制限関数2 次 Runge-Kutta-TVD 法ヤコビ法（連立一次方程式）

Orszag-Tang渦問題

Field loop 移流問題

爆発風問題

0,2sin,sin,0,sin,sin xyxy Bv

600 102,0,max,0,sin,cos rRAAv zv

3ambientcore 102,2,0,210,210 B

Field loop

|B|2

Orszag-Tang渦問題


Projection

Face-projection

8-wave

9-wave

flux-CT

HLL-flux-CT

3max

107.0 B 9.12max

B

8max

102.0 B 35.1max

B

12max

106.0 B

12max

105.0 B

T T T

T T T

B B B

B B B

Field loop 問題

Field loop 移流問題

Projection 8-wave

9-wave

flux-CTv0=0 v0=0 v0=0

v0=0 v0=0 v0=0

|B|2 |B|2 |B|2

|B|2 |B|2 |B|2

|B|2 |B|2 |B|2

|B|2 |B|2 |B|2

Face-projection HLL-flux-CT

爆発風問題


Projection 8-wave

9-wave

flux-CTP P P

P P P

Face-projection HLL-flux-CT

y=0.3 y=0.3 y=0.3

y=0.3 y=0.3 y=0.3


連立一次方程式の処理の手抜き

エネルギー補正 : 2|||| 221 BBeek

8max

102.0 B

T

literation= 10literation = 1000

1max

106.0 B

T

flux-CT + E-fixFace-projection HLL-flux-CT + E-fix

literation = 1000

literation= 10

横方向速度（接線速度）を一定と仮定


tLu

RS

x

t

2/1i

*RS*

LS RSLS

x

t

2/1i

LS

tRu

tRu

tu

tLu

tLu tRu

tu

横方向速度（接線速度）を一定と仮定　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　　　　： HLLD 解

　　に付加的に数値粘性衝撃波安定の contact-preserving 解法（ HLLD －

法）


wvt ,U ***,, tLRLRt UU

eBBBu zyxn ,,,,,U

RULU

nRFnLF

RS

x

t

2/1i

MS *RS*

LS*RU

**nRU**

nLU*nLU

tRUtLU

tRFtLF

RSLS

x

t

2/1i

MStRU

tLU

LS

tU


odd-even デカップリング

カーバンクル現象

(HLLD)

(HLLD － )

(HLLC － )(HLLC)(HLLD － )(HLLD)


背景ポテンシャル磁場を除去した MHD

セル境界のリーマン問題で B0 を一定と仮定

数値実験：

太陽風 - 磁気圏

221

,2,

,,

,,,,,,

21

21

0121101

0110111

001

11

Buep

Bpp

pe

pe

T

TT

T

T

BBBBB

BuBBuBuBBBuuB

BBBBIuuuFBuU

p on y=0 p on z=0


多成分・一般化状態方程式の MHD

一般化状態方程式に依存した固有ベクトル不要数値実験：

van der Waals

s

TmT

T

Tm

paBueppp

pe

pe

222

1

1

,22,,,,

,,,,,,

,,,,,,,,,

uuBuBuBuuB

BBIuuuFBuU

21

21

211,

CCC

p

T on y=0 T on z=0

BB


保存型 Boris修正 MHD [Gombosi, et al., 2002]

強磁場付近で慣性が増大セル境界のリーマン問題において　　　　　　　

を一定と仮定（磁場とは非連動）数値実験：

非定常問題 “Orszag-Tang渦”

221,2

,,,,

,,,1,

222

22

BuepBpp

pep

ecB

T

TTT

T

BuBuBuuBBBIuuuF

BuU

22 cBA

6.21401.0478

max

min

6.33831.0451

max

min

5cc


ラグランジュ質量座標系における MHD

正値性保存見通しのよい定式化

221,2

,,1

,,

,,,0

222 BuEpBpp

eEp

p

E

ddtdt

ddt

d

T

T

T

BuBuBuBBIu

FBu

U

rξuFU

t

2/1i


等温MHD-HLLD [Mignone, 2007]

リーマン問題を 4-wave で近似相対論的 MHD-HLLD [Mignone, et al., 2009]

5-wave 近似（全圧一定と仮定）速度は一定でないため収束計算が必要

22 ,2

,,,,,,

apBpp

p

T

TT

T

BuuBBBIuuuFBuU

BuBBuBb

bum

mBuuBbbIuuuF

BmU

02

200

20

2

2

,,1

,2,,

,,,,

,,,,

bbpw

Bpppbbwbw

pw

TT

TT

T


衝撃波安定の contact-and-rotational-preserving 解法Liou’s conjecture [Liou, 2001]

衝撃波不安定性が成長するための必要条件：

衝撃波安定であるための十分条件：

質量流束（粒子速度）の選択が重要HLLD 法では保存則から粒子速度を評価ただし、粒子速度（全圧力）の評価は一意でな

い

pumm pu )()()(21 DDD （圧力拡散項）

Mp ,0)(D

Mp ,0)(D

（ Roe 、 HLLC （ HLLD ）など高解像度法）

（ FVS 、 HLL など低解像度法、 AUSM+ など）


粒子速度と全圧力の選択近似リーマン解法とのハイブリッド

　　　　　のとき 0)( pD

22222

2

222222

21

222

21

221

21

2

2

,

2,1min,1max

,1min1

21

21

1

zyx

LRmodifiedM

LLRRLtLtnLRtRtnR

RMRRRT

LMLLLTmodified

T

upwindMM

modifiedM

BBBbpa

SSSM

babauuuuuuM

M

uSuPM

uSuPMP

SSS

1M


数値実験結果

(odd-even)

(carbuncle)

修正 HLLDHLLD

hlld 法に基づく 磁気流体方程式の差分解法

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hlld 法に基づく磁気流体方程式の差分解法