Balambsgardener & Jal

ndice

La cuarta dimensin

Pg. 3

Intuicin de la cuarta dimensin

Pg. 4

La cuarta dimensin como tiempo

Pg. 6Hipercubo

Pg. 7Proyeccin y construccin de un hipercubo

Pg. 8

Henri Poincar

Pg. 11

Bibliografa

Pg. 13

La cuarta dimensin

Con un nmero podemos situar un punto sobre una recta previamente graduada. Para situar un punto sobre un plano necesitaremos dos nmeros, la coordenadas x e y; y tres sern los nmeros que especifiquen la posicin de un punto en el espacio. Pero, y si tomamos cuatro nmeros? En tal caso estaramos hablando de un punto situado en un lugar de cuatro dimensiones! Pero, existe eso?

La invencin de la geometra analtica por Descartes permiti expresar los objetos geomtricos mediante ecuaciones que relacionan sus coordenadas: as, x = 7 describe un punto en una recta; x + y = 7 una recta en el plano; y x + y + z = 7 un plano en el espacio. Y si hacemos lo mismo con cuatro coordenadas? Siguiendo este proceso parece natural preguntarse si la ecuacin x + y + z + t = 7 tiene algn sentido geomtrico.

Lo cierto es que, con independencia de su existencia real, la geometra analtica permite estudiar la estructura y propiedades de espacios n-dimensionales, trabajo que emprendieron a mediados del siglo XIX Cayley en Inglaterra y Grassman en Alemania y con el que aumentaron el repertorio de nuevas geometras que se haba abierto con las geometras no eucldeas. Algo ms tarde, el francs Henri Poincar llegara a describir un mtodo para visualizar la cuarta dimensin a base de entrenar la intuicin mediante proyecciones sucesivas de objetos tridimensionales sobre tres o dos dimensiones.

A principios del siglo XX un actuario de seguros y aficionado a la pintura, Maurice Princet, introducira el tema de la cuarta dimensin en los cenculos artsticos parisinos. Fue esta una de las influencias reconocidas por los pintores e intelectuales cubistas, aunque estos otorgaron a la cuarta dimensin cualidades distintas de las otras tres y la consideraron como un lugar casi espiritual desde el que observar la realidad desde varias perspectivas simultneamente. Dal, en su Corpus hipercubus, volvera al tema de las cuatro dimensiones, aunque de un modo matemticamente ms riguroso. La teora de la Relatividad acabara provisionalmente con todo esto al considerar el tiempo como la cuarta dimensin, aunque la fsica de supercuerdas, al plantear un universo de once dimensiones (una temporal y diez espaciales), ha introducido nuevas e interesantes variantes al asunto. De todas formas, hay que sealar que ya en 1919 Theodor Kaluza propuso la posibilidad de que hubiese fsicamente ms de tres dimensiones espaciales. El hecho de que nosotros solo percibamos tres se debe a que las dimensiones adicionales est curvadas sobre s mismas, como explicit Klein al refinar las ideas de Kaluza. Su tamao: aproximadamente la longitud de Plank.

Intuyendo la cuarta dimensin

Aunque lo intentemos, a nuestro cerebro le es imposible visualizar la cuarta dimensin espacial. Las computadoras, por supuesto, no tienen problema para trabajar en un espacio dimensional N, pero las dimensiones espaciales ms all de tres son simplemente imposibles de conceptualizar para nuestros cerebros. (La razn de este desafortunado accidente tiene ms que ver con la biologa que con la fsica. La evolucin del hombre puso como prioridad el ser capaz de visualizar objetos movindose en tres dimensiones. Haba una presin de seleccin sobre los humanos que pudiesen esquivar el ataque de un tigre con colmillos de sable o acertar con una lanza a un mamut lanzado a la carga. Dado que los tigres no nos atacan en la cuarta dimensin espacial, simplemente no haba ninguna ventaja en desarrollar un cerebro con la habilidad para visualizar objetos movindose en cuatro dimensiones).Al vivir en un espacio euclidiano de tres dimensiones, unido por la fecha del tiempo, y, en consecuencia, se nos hace muy difcil comprender que algo real pueda existir ms all de tales lmites. Por lo tanto, el slo intento de visualizar mentalmente otro mundo, uno trascendente y ajeno a nuestras percepciones sensoriales, que escapa de lo que a diario vemos, omos, olemos, gustamos o tocamos, se transforma muy pronto, para muchos, en un ejercicio exasperante; algo sin ton ni son. Desde luego, este tipo de razonamiento "antrpico" desconoce, bsicamente, que buena parte del mundo que nos rodea est hecho de cosas que no vemos; a tal punto que la fascinacin que despierta la fsica moderna reside, precisamente, en la explicacin de ese universo desconocido.

Cmo imaginar otras dimensiones? Para darnos una idea de cmo seran las cosas si acaso nos topramos con un visitante recin llegado de, digamos, una cuarta dimensin espacial, la mayora de los divulgadores cientficos recurre frecuentemente a la analoga, hacindonos imaginar un extrao universo bidimensional al que denominan Flatland o Planilandia, donde todo tiene anchura y longitud pero carece de altura.

Naturalmente, para los habitantes de Planilandia la existencia en un mundo de dos dimensiones espaciales no tiene nada de extraordinario. De hecho, ni siquiera piensan que pueda haber algo diferente. Todos absolutamente planos como son, algunos con forma de cuadrado, y otros de rectngulo o tringulo, se consideran a s mismos individuos perfectamente normales. Y en consecuencia, viven sus vidas planas ocupndose de sus cosas planas, yendo y viniendo hacia atrs y adelante o tal vez de derecha a izquierda, sin la menor comprensin del "arriba" y el "abajo".

Si un habitante de Planolandia se pierde, podemos registrar rpidamente todo planolandia, mirando directamente dentro de las casas, edificios e incluso en los sitios ms escondidos. Si un habitante de Planolandia se pone enfermo, podemos llegar a su interior para operar, sin llegar siquiera a cortar su piel. Si un habitante de Planolandia es encarcelado (un crculo que lo rodea) podemos simplemente levantarlo de Planolandia dentro de la tercera dimensin para volver a colocarlo en otra parte. Si metemos los dedos y los brazos en Planolandia , los habitantes de Planolandia solo vern crculos de carne a su alrededor, constntemente cambiando de forma fundindose con otros crculos. Y finalmente si traemos a un habitante de Planolandia a nuestro mundo de tres dimensiones, solo vera secciones bidimensionales, una fantasmagora de crculos, cuadrados, etc cambiando de forma constntemente y fundindose unos con otros.

Ahora imagina que somos habitantes tridimensionales de Planolandia siendo visitados por un ser de una dimensin superior. Si nos perdemos, un ser de estas caractersticas puede registrar de un vistazo el universo entero, mirando dentro incluso de los ms recnditos escondrijos. Si nos ponemos enfermos, un ser as podra operar en nuestro interior sin necesidad de tocar siquiera nuestra piel. Si estuvisemos en una prisin de mxima seguridad, podra sacarnos a una dimensin superior para colocarnos de vuelta en algn otro lugar. Si un ser de una dimensin superior mete sus dedos en nuestro universo, aparecerian como informes masas de carne sobre nosotros que constantemente se juntan y dividen. Y finalmente, si fusemos lanzados al hiperespacio, veramos una serie de esferas, masas informes y poliedros cambiando de forma y color que aparecen y desaparecen misteriosamente.De esta manera, la gente de dimensiones superiores tendra poderes parecidos a los de un Dios: podran caminar a travs de las paredes, podran aparecer y desaparecer segn su voluntad igual que podran ver a travs de los edificios. Serian omniscientes y omnipotentes. Vivimos en un universo de ms de 3 dimensiones?En 1854, cuando Georg Riemann de la Universidad de Gottiengense pregunt qu es lo que sentiran los seres bidimensionales, si la hoja en que vivan era muy grande, lisa y curvada, (F1) en una dimensin adicional, para ellos la tercera dimensin. Dedujo que seguiran pensando que su mundo era plano de dos dimensiones, igual que nosotros pensbamos de la Tierra, sin embargo, si la hoja era como un papel arrugado (montaas) (F2) y ellos trataban de moverse, entonces sentiran una misteriosa "fuerza", que les impedira moverse fcilmente, es decir para Riemann, esa "Fuerza (Gravedad) era una consecuencia de la Geometra".De igual manera, imagin que nuestro mundo podra estar arrugado en una Cuarta Dimensin Espacial y concluy que la electricidad, el magnetismo y la gravedad eran causadas por esas arrugas, es decir, dedujo que nuestra naturaleza requiere de ms Dimensiones Fsicas que las que podemos percibir. Ese concepto utiliza actualmente la comunidad cientfica, para tratar de unificar las leyes de la naturaleza y la teora ms aceptada, es que nuestro universo tiene 10 dimensiones.La Cuarta Dimensin como tiempo

Artculo de Jos Juan Tablada en El Universal el 20 de Abril de 1924

El ruso Ouspensky, el ms asombroso expositor de la Cuarta Dimensin y del hiperespacio dice: "El espacio cuadrimensional, sera, si quisiramos imaginarlo, la repeticin infinita de nuestro espacio, como la lnea es la infinita repeticin de un punto".

Un cuerpo de cuatro dimensiones es segn Hinton, el trazo que deja un slido nuestro al moverse en una direccin nueva, en una direccin desconocida. Esa direccin no puede ser sino el tiempo. Nosotros no vemos ese cuerpo de cuatro dimensiones por la limitacin de nuestro aparato receptivo, slo vemos su seccin, que es el slido de tres dimensiones. Por tanto, concluye Ouspensky, hay un error al considerar como real cualquier slido nuestro de tres dimensiones que en verdad no es sino la proyeccin del cuerpo de cuatro dimensiones, su apariencia, su imagen, en nuestro plano. El cuerpo de cuatro dimensiones es el nmero infinito de cuerpos relativos de tres dimensiones. El tessaracto de que habla Hinton, es el nmero infinito de momentos de existencia de nuestro cubo de tres dimensiones. La magnfica concepcin de Ouspensky en su asombroso libro, considerado como el evangelio del nuevo pensamiento, Ouspensky hace portentosas afirmaciones basadas en lo que a grandes lneas hemos dicho anteriormente.

"...nada nace y nada muere; solamente se nos representa as porque no vemos sino las secciones de las cosas. En realidad el crculo de vida es slo la seccin de algo y ese algo sin duda existe antes del nacimiento; es decir, antes de su aparicin en el crculo de nuestro espacio y contina existiendo despus de la muerte; es decir, despus de su desaparicin del campo de nuestra visin".

Otro ejemplo aclarar a los lectores la concepcin del sabio ruso. Las cosas reales del superespacio "la cosa en s" es algo como una cinta cinematogrfica encerrada en su caja; all est todo, all existe todo, pasado y futuro, que no son pasado y futuro, sino en relacin con nuestras percepciones, que son la pantalla, el momento de la proyeccin, el presente. Todas esas condiciones de nuestra propia percepcin, condiciones temporales, presente, pasado y futuro no existen, sino como tales y en el superespacio son quizs simultneas!

Y lo inefable de las concepciones de la Cuarta Dimensin y del superespacio que promulga la nueva ciencia, es que por ellas resultan vivificadas en su esencia todas las religiones.

Hipercubo tetradimensional

A fines del Siglo XIX, cuando Federico Gauss y su discpulo G. Riemann, ya haban dado a luz el concepto de universos de ms dimensiones, C. Hinton desarroll formas de mentalizar la 4D, pero sin verla, pues nuestra percepcin de seres 3D nos limita; sin embargo, sus mtodos nos dijeron que la 4D, a travs de la geometra, es mas fcil de lo que pensamos.

Para hacernos una idea de qu es un cubo tetradimensional vamos a razonar por analoga: pensemos en un punto situado sobre una mesa que se desplaza a lo ancho una unidad: lo que describe es un segmento, del que diremos que tiene dimensin 1. Si este segmento lo desplazamos a lo largo de la mesa una unidad describir un cuadrado, del que diremos que tiene dimensin 2. El tercer paso es igual de sencillo: si levantamos el cuadrado en perpendicular una unidad, el cuadrado barrer un volumen al que llamamos cubo y del que podemos decir que tiene dimensin 3. Pues ahora viene el paso crucial: si en vez de vivir en un universo de tres dimensiones espaciales vivisemos en uno de cuatro podramos repetir el proceso y desplazar el cubo en esa cuarta dimensin adicional y en perpendicular a las otras tres. Lo que obtendramos en ese caso tiene un nombre: hipercubo.

Secciones del hipercubo

Podemos ver un hipercubo? Evidentemente no, si lo que queremos es percibirlo de un solo vistazo como hacemos con un cubo. Pero lo que s podemos hacer es ver sus secciones tridimensionales. Lo mejor para entender esto es poner un ejemplo en dos dimensiones: imaginemos que fuesemos seres planos para los que arriba y abajo fuesen palabras sin sentido. Naturalmente, no podramos ver un cubo, porque literalmente no cabra entero en nuestro mundo: pero s podramos ver parte de l, aquella que correspondera a una "tajada" o seccin plana de su volumen. Esta "tajada" dependera de la forma en que el cubo entrase en contacto con nuestro universo plano. Veamos un par de ejemplos:

En los dibujos anteriores, las lneas verdes muestran lo que unos sencillos seres planiformes podran ver en cada caso de un cubo.

Est claro? Pues esto mismo es lo que podemos hacer con el hipercubo. Al entrar ste en contacto con nuestro mundo, parte de su hipervolumen, una seccin, una "tajada" tridimensional, ser accesible a nuestra vista.Proyeccin del hipercubo

Tambin podemos hacer otra cosa: ver la proyeccin de todas sus aristas. En nuestro mundo es lo que hacemos cuando dibujamos un cubo en una hoja de papel: representamos mediante lneas (las lneas grises de los ejemplos de arriba) la sombra de cada una de sus aristas y despus dejamos que nuestro cerebro se imagine que aquello es realmente un cubo, aunque no lo es: solo es su proyeccin (de hecho, nuesto cerebro a veces se hace un lo, como pasa con el cubo de Necker).

Pues con el hipercubo podemos hacer lo mismo y representar la sombra de todas sus aristas. CMO ARMAR UN CUBO

En la figura F C3D-1, se ve un cubo desarmado en 6 cuadrados. Si existieran seres de 2 dimensiones (2D), en su universo plano ellos veran esos cuadrados de perfil. Si nosotros doblamos dos lados hacia arriba, como se indica en F C3D-2, para ellos habrn desaparecido de su plano y si doblamos los otros lados, formaremos el cubo completo en F C3D-3, pero para ellos, en su mundo solo quedar el cuadrado de la base, pues el resto subi a la 3D. Un ser que en F C3D-1 caminaba por el Cubo desarmado, poda salir a 'terreno abierto' por cualquier borde, pero luego de armar el Cubo, uniendo entre s ABSOLUTAMENTE TODAS las aristas, si el mismo ser cruza cualquiera de ellas, siempre pasar a otra cara interna del Cubo y ya nunca podr salir, es decir ser su crcel en la 3D.

PROYECCIONES EN MUNDOS DE MENOS DIMENSIONES

En la F E1, nuestro amigo alumbra un Cubo 3D y la sombra de las aristas dibuja en un plano un cuadrado dentro de otro cuadrado, unidos por los vrtices que es la imagen que veran los seres 2D si existieran, es decir, basndonos en figuras geomtricas y conceptos de un universo 2D, podemos ver los efectos de nuestro universo 3D en su plano y de igual manera, es posible proyectar un Hipercubo (4D) a nuestro mundo y tambin mentalizar como podramos armarlo a partir de sus componentes, que son Cubos 3D, tal como lo veremos a continuacin.

COMO DIBUJAR UN HIPERCUBO EN LA 3D

De acuerdo a la F CH-1, al mover un punto se genera una lnea y al mover una lnea en forma perpendicular a su direccin, se forma un cuadrado F CH-2. Los lados del cuadrado son perpendiculares entre s, pero se los dibuja en perspectiva.

Al mover el cuadrado en forma perpendicular a sus dos lados, se genera un Cubo F CH-3. En cada vrtice, el tercer lado es perpendicular a los dos originales y se lo dibuja en perspectiva. Cada arista del cuadrado original genera otro cuadrado, que ser una cara del Cubo, es decir se forman 4 nuevos cuadrados. Si a los 4 sumamos el cuadrado original y el mismo en su posicin final, tendremos las 6 caras del Cubo.

Al mover el Cubo en una direccin 'perpendicular a sus tres lados', se genera un Hipercubo (Cubo 4D) F CH-5. El 'cuarto' lado en cada vrtice es perpendicular a los 3 originales y tambin se dibuja en perspectiva. Cada una de las 6 caras del Cubo original, genera un nuevo Cubo que ser parte del Hipercubo, es decir, se forman 6 nuevos cubos. (Ej: Cara azul en F CH-5) Si a esos 6 sumamos el Cubo original y el mismo en su posicin final, tendremos que un Hipercubo esta formado por 8 Cubos 3D. Realmente, el dibujo es una proyeccin del Hipercubo en una superficie 2D.

La figura F CH-4, nos muestra como los vrtices y las caras de un Cubo, empiezan a dibujar los nuevos 6 cubos. Se puede analizar el cuadrado azul y su proyeccin hasta llegar a formar el Hipercubo en F CH-5.

UN TESSERACT

Otra forma de representar un Hipercubo consta en la figura F 3D, pues al igual que un Cubo se desarma en sus 6 cuadrados, un Hipercubo se desarma en sus 8 cubos. Si para armar el Cubo unamos TODAS las aristas, SIN DEJAR NI UNA SOLA SUELTA, para armar el Hipercubo debemos unir TODAS las caras, SIN DEJAR NI UNA SOLA SUELTA. El ejercicio requiere imaginar la posibilidad geomtrica, de que las caras se van uniendo en la Cuarta Dimensin, hasta desaparecer. Al unir entre si las caras con el nmero 1, hacindolas girar en la arista comn, TODAS desaparecen de nuestra vista. De igual manera, las caras 2 desaparecen al unirlas entre si. Luego unimos entre si las caras 3 y las 4 y tambin desaparecen. Finalmente, unimos las caras 5 superior e inferior y con eso todas las caras externas del Hipercubo desaparecen de nuestro mundo y se van a la 4D...

Puesto que TODAS las caras se juntaron, un ser que viviera dentro de uno de los cubos del Hipercubo, jamas podr 'salir', puesto que al cruzar una cara, SIEMPRE entrar en otro Cubo.Este universo que sembraron F. Gauss y G. Riemann, luego se vio que talvez poda ser nuestro propio mundo

El programa d4

D4 obtiene la seccin y la proyeccin del hipercubo en la pantalla del ordenador; nos permite acercarlo o alejarlo de nuestro mundo; y, adems, nos permite girarlo de seis modos distintos. Esto ltimo exige una pequea explicacin:

Los giros son movimientos que se realizan en paralelo a un plano. En tres dimensiones para poder ver un objeto desde cualquier ngulo nos basta considerar tres giros, uno por cada plano coordenado. Pero en cuatro dimensiones tenemos cuatro ejes y, por lo tanto, seis planos coordenados

Algo digno de ver es cmo el hipercubo aparece y desaparece de nuestro mundo. Segn la posicin relativa de ambos, el hipercubo puede aparecer como un punto que de inmediato se convierte en un tetraedro, o como un cuadrado, o incluso como un cubo que de pronto surge de la nada.

Descarga del programa: http://www.epsilones.com/programas/d4.exe

Henri Poincar

"Ninguna de nuestras sensaciones, aislada, habra podido conducirnos a la idea de espacio; hemos sido conducidos a ella solamente estudiando las leyes segn las cuales esas sensaciones se suceden". Henri Poincar. Para Poincar, los objetos eran grupos de sensaciones "unidas por una liga permanente", que es el objetivo o campo de estudio de la ciencia. Nuestros sentidos registran todo lo que existe relacionado en el mundo; la ciencia no nos ensea la verdadera naturaleza de las cosas sino slo las relaciones que existen entre ellas. El resultado de la investigacin cientfica no es un retrato del contenido de la naturaleza, sino de sus interrelaciones; por ejemplo, lo que nos revela la teora de la luz no es la esencia de este fenmeno sino la naturaleza y extensin de las relaciones de la luz con otros hechos o procesos, al margen de lo que la luz es.

De acuerdo con Poincar, las matemticas y la ciencia comparten sus mtodos de descubrimiento pero difieren en sus tcnicas de confirmacin; este punto de vista se sustenta en la comparacin de la geometra con la ciencia (tambin en este caso, como en la mayora, la ciencia = la fsica). El mbito de la geometra no es el de la ciencia, en vista de que es perfectamente posible manipular objetos de tal manera que dos de ellos, idnticos a un tercero, no lo sean entre s. El divorcio entre la exactitud matemtica y la realidad llev a Poincar a postular que los axiomas geomtricos no son ni verdades a priori ni hechos experimentales, sino que simplemente son verdades disfrazadas, o mejor an, convenciones. No se trata de postulados arbitrarios, en vista de que se apoyan en observaciones, experimentos y el principio de la no contradiccin; de todos modos, no pertenecen a la polaridad verdadero-falso. Se aceptan porque en ciertas circunstancias contribuyen a establecer la configuracin verdadera de la realidad. Para la mayor parte de los propsitos, la geometra euclideana es la ms conveniente; pero como todos sabemos, no es la nica que existe. Adems, no es posible ofrecer apoyo experimental ni para la geometra euclideana ni para ninguna de las otras, porque los experimentos slo se refieren a las relaciones entre los cuerpos y no a las relaciones entre los cuerpos y el espacio, o entre dos o ms partes del espacio entre s. Poincar sostuvo que las ciencias fsicas contienen, adems de elementos matemticos, hipotticos y experimentales, otros ms de tipo convencional, lo que haba pasado inadvertido para la mayor parte de los cientficos; por ejemplo, el principio de la inercia, segn el cual en ausencia de alguna fuerza un cuerpo slo puede moverse a velocidad constante y en lnea recta, no es ni a priori ni experimental sino que se ha convertido en una definicin y por lo tanto no puede refutarse por medio de experimentos. Las conclusiones cientficas son siempre ms o menos convencionales, en vista de que siempre hay hiptesis alternativas y lo que el investigador hace es escoger la ms econmica, pero como no existe manera de saber si las propiedades cualitativas de la hiptesis seleccionada corresponden a la realidad, no tiene sentido que la considere como "verdadera".

En las ciencias fsicas, de acuerdo con Poincar, hay dos clases de postulados: las leyes, que son resmenes de resultados experimentales y se verifican de manera aproximada en sistemas relativamente aislados, y los principios, que son proposiciones convencionales de mxima generalidad, rigurosamente ciertas y ms all de toda posible verificacin experimental, ya que por razones de conveniencia as se han definido. Por lo tanto, como la ciencia no consiste solamente de principios no es totalmente convencional; se inicia con una conclusin experimental o ley primitiva, que se divide en un principio absoluto o definicin, y una ley que puede revisarse y perfeccionarse. El ejemplo que da Poincar es la proposicin emprica: "Las estrellas obedecen la ley de Newton", que se desdobla en la definicin, "La gravitacin obedece la ley de Newton", y en la ley provisional, "La gravitacin es la nica fuerza que acta sobre las estrellas". La gravitacin es un concepto ideal inventado, mientras que la ley provisional es emprica y no convencional puesto que predice hechos verificables. Otro ejemplo es la ley de la conservacin de la energa, que es completamente convencional porque lo que hace es definir el concepto de energa. La prediccin implica generalizacin, y sta a su vez requiere idealizacin. De esta manera Poincar se opuso a los principios a priori postulados por Kant y Whewell, as como a la idea de Mill, de que los axiomas geomtricos son proposiciones de carcter emprico.

Uno de los episodios ms famosos en la historia de la ciencia, y que los popperianos citan infaliblemente, es el relato de Poincar sobre sus vanos descubrimientos matemticos en forma de ideas de aparicin sbita y sin conexin con sus actividades o pensamientos del momento, aunque casi siempre haban sido precedidas por un periodo previo de intenso trabajo en el problema, tambin casi siempre infructuoso. El relato es compatible con la teora de la retroduccin de Peirce, sobre todo porque introduce el concepto de un "ego subliminal" que se encarga de continuar el trabajo hasta que se encuentra la solucin al problema y surge con ella a la conciencia. Pero aunque un positivista estricto como Mach hubiera rechazado al "ego subliminal" como un ente metafsico, el convencionalismo de Poincar se acerca mucho al instrumentalismo y al pragmatismo, que como ya hemos mencionado, estn relacionados muy de cerca con el positivismo.

Bibliografahttp://www.epsilones.comhttp://www.fabiozerpa.comhttp://www.dlh.lahora.com.echttp://www.mercurialis.comhttp://biblioweb.dgsca.unam.mx

Corpus hipercubus de Dal

Seccin de una esfera en un mundo bidimensional.

Cubo de Necker

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