1  

Hilbert  Transforms  Signal  envelopes,  Instantaneous  amplitude  and  instantaneous  frequency!  

 Kate  Allstadt’s  final  project  for  ESS522  –  June  10,  2010  

 The  Hilbert  transform  is  a  useful  way  of  looking  at  an  evenly  sampled  signal.  It  is  used  to  obtain  the  analytic  signal  -­‐  a  complex  signal  from  which  the  negative  frequencies  have  been  removed.  The  advantage  of  using  this  complex  ‘analytic  signal’  over  the  original  signal  is  that  it  separates  the  amplitude  information  from  the  frequency  information.  The  amplitude  information  is  represented  by  the  signal  envelope,  which  gives  the  overall  shape  of  a  signal.  The  frequency  portion  gives  the  instantaneous  frequency  at  any  given  time,  this  is  essentially  the  mean  frequency  at  that  point.      The  math    The  Hilbert  transform  is  the  convolution  of  the  function  f(t)  with  the  “kernel”  (-­‐πt)-­‐1.    

 

This  can  be  written  as:              

€

H f (t)[ ] =−1πt* f (t) =

1π

f (τ)dττ − t−∞

∞

∫  

 

(because  convolution  is  

€

c(t) = a(t) *b(t) = a(τ )b(t − τ )dτ−∞

∞

∫  and  it  is  communative.)  

Because  (-­‐πt)-­‐1  goes  to  infinity  at  t=0,  this  integral  is  not  solvable  for  a  finite  value…this  can  be  solved  by  removing  an  infinitesimal  slice  of  the  function  centered  at  the  singularity  by  using  the  Cauchy  principal  value,  denoted  by  P:      

€

H f (t)[ ] =1πP f (τ )dτ

τ − t−∞

∞

∫  

 Since  convolution  in  the  time  domain  is  multiplication  in  the  frequency  domain,  an  easier  way  to  grasp  this  is  to  go  to  the  frequency  domain.  The  fourier  transform  of  the  kernel  function  (-­‐πt)-­‐1  is  the  signum  (sgn)  function  times  I  =  isgn(f).  This  is  equal  to  +i  for  negative  frequencies  and  –i  for  negative  frequencies.  See  Figure  2:    

       Figure  1  Showing  the  Kernel  function  (-­π  x)-­1  at  left,  and  its  fourier  transform,  i*  the  signum  function    From  Bracewell  (1965).  

 

  2  

The  amplitude  of  the  signal  in  the  frequency  domain  is  not  changed  by  this  because  the  signum  is  just  multiplying  by  1.  The  phase,  on  the  other  hand,  is  shifted  by  π/2  for  positive  frequencies,  and  -­‐  π/2  for  negative  frequencies.  The  shift  is  π/2  because  the  i*sgn(s)  function  flips  the  signal  a  quarter  of  the  way  around  the  imaginary  axis.  This  means  that  two  Hilbert  transforms  will  recover  the  negative  of  the  original  signal  (because  phase  was  shifted  by  ±  π),  and  four  Hilbert  transforms  will  recover  the  original  signal  (because  phase  is  shifted  by  ±  2π  ).  This  is  illustrated  in  the  figure  below  from  Bracewell  (1965):      

 Figure  2  The  column  at  left  is  in  the  time  domain,  at  right  in  frequency  domain.  Each  successive  plot  downwards  is  a  Hilbert  transform  Bracewell  (1965).    

The  analytic  signal    The  important  part  of  all  this  is  that  the  Hilbert  transform  is  used  to  compute  the  analytic  signal  from  a  real  signal.  The  analytic  signal  is  computed  by  subtracting  i  times  the  Hilbert  transform  of  the  function  f(t)  from  the  function  itself:    

€

fa (t) = f (t) − iH f (t)[ ]    The  analytic  signal  fa(t)  is  a  complex  helical  sequence  with  a  real  part  -­‐  the  original  data  -­‐  and  an  imaginary  part  -­‐  the  Hilbert  transform.  Again,  the  Hilbert  transform  is  simply  the  real  signal  with  a  90-­‐degree  phase  shift.  This  means  that  if  the  real  part  of  the  signal  is  sine,  the  imaginary  part  becomes  cosine  and  vice  versa.      The  analytic  signal  fa(t)  can  be  used  to  get  the  envelope  (instantaneous  amplitude),  the  phase  and  the  instantaneous  frequency  by  the  following  formulas:  

  3  

 

€

envelope = Re( fa (t))2 + Im( fa (t))

2

phase = arctan(Im( fa (t)) /Re( fa (t)))

inst. freq =∂phase∂t

 

 The  envelope  will  give  the  overall  shape  of  the  signal,  only  touching  at  maxima.  It  is  representing  the  combined  amplitude  of  all  frequencies  involved  but  removes  the  frequency  information.  The  formula  above  will  give  the  upper  envelope,  the  negative  of  that  formula  will  give  the  lower  envelope.  This  is  different  from  just  taking  the  absolute  value  –  the  absolute  value  will  only  give  the  envelope  at  maxima  or  minima,  while  the  envelope  obtained  from  the  analytic  signal  will  give  the  envelope  at  all  times.  We  will  explore  this  in  the  exercise.    The  phase  will  be  a  value  that  is  always  increasing  (except  if  there  are  jumps  in  frequency  content).  Changes  in  slope  represent  changes  in  frequency.  Sometimes  this  can  be  a  clearer  way  to  see  changes  than  the  instantaneous  frequency,  which  will  vary  rapidly  due  to  small  changes  in  the  phase.    The  instantaneous  frequency  will  represent  the  mean  frequency  contained  in  the  signal  at  a  given  time  (in  radians  per  time  unit…it  must  be  adjusted  to  obtain  Hz).  The  advantage  of  this  over  a  spectrogram  is  that  is  gives  a  single  value  -­‐  in  a  spectrogram  it  is  easier  to  see  how  frequency  is  changing  with  time,  but  it  is  difficult  to  quantify  and  takes  longer  to  compute.  The  instantaneous  frequency  often  must  be  smoothed  to  be  clear  because  a  tiny  sharp  jump  in  phase  will  cause  a  huge  jump  in  instantaneous  frequency,  even  if  it  is  from  an  insignificant  small  magnitude  portion  of  the  signal,  like  in  the  noise  before  an  earthquake.      How  to  do  this  for  discrete  signals      Matlab  uses  FFT  to  move  into  the  frequency  domain,  sets  the  second  half  of  fft(x)  (not  including  the  nyquist)  equal  to  zero  (which  is  essentially  removing  the  redundant  negative  frequency  information).  It  then  doubles  the  positive  frequency  and  takes  the  IFFT  of  that  to  get  the  complex  analytic  signal.  To  get  the  envelope  (instantaneous  amplitude)  we  just  need  to  take  the  magnitude  of  this  signal  sqrt(Re^2+Im^2).  To  get  the  phase,  we  just  need  to  take  the  ‘angle’  of  the  signal  and  ‘unwrap’  it.  The  slope  of  the  phase  is  the  instantaneous  frequency  which  can  be  obtained  using  the  ‘diff  ‘function.        The  reason  that  the  analytic  signal  is  equivalent  to  removing  the  negative  frequencies  and  doubling  the  positive  frequencies  is  illustrated  on  the  last  page  of  these  notes.    Examples    Now  we’ll  look  at  different  types  of  seismic  signals  using  the  Hilbert  transform.  The  following  figures  show  what  instantaneous  amplitude,  phase,  and  instantaneous  frequency  look  like  for  different  types  of  seismic  events.  Each  plot  also  includes  a  spectrogram  so  we  can  better  understand  what  the  plots  are  showing  us:    

  4  

       Figure  3  Broadband  recording  (horizonal  component)  in  Washington  state  of  the  M8.8  Chile  earthquake  on  Feb  27,  2010.  Note  the  rapid  change  in  phase  when  the  P-­waves  arrive  (~1050sec),  and  a  lowering  of  the  instantaneous  frequency  when  the  S-­waves  (~2800sec)  and  surface  waves  arrive  (~2100sec  Rayleigh,  ~2600  Love?).  Note  that  the  inst.  Freq.  gradually  increases  again  after  the  surface  waves  arrive,  this  is  because  surface  waves  are  dispersive,  lower  frequencies  arrive  sooner  than  higher  frequencies.  

 

  5  

         

 Figure  4  Local  earthquake,  M3.4  near  Bellevue  on  May  25,  2010.  Note  that  sudden  high  amplitude  arrival  of  waves.  This  recording  is  from  so  close  that  the  P  and  S  waves  are  not  distinguishable  on  this  time  scale.  The  slope  of  phase,  and  thus  instantaneous  frequency  both  decrease  here  showing  that  the  earthquake  has  a  lower  average  frequency  than  the  ambient  noise,  particularly  in  the  coda.  

 

  6  

       

 Figure  5  Mt  Redoubt  (near  Anchorage,  Alaska)  volcanic  eruption  –  March  28,  2009.  The  actual  eruption  is  the  blast  at  about  3300  seconds,  the  noise  before  that  is  volcanic  tremor  which  in  this  case  had  a  strong  fundamental  frequency  and  higher  modes  and  these  actually  increased  in  frequency  approaching  the  eruption  (gliding  spectral  lines  –  their  cause  is  still  being  investigated).  This  is  apparent  in  the  phase,  which  swoops  upwards  as  the  average  frequency  increases.  This  is  represented  as  a  linear  increase  in  instantaneous  frequency.  Then,  right  before  the  eruption,  frequency  rapidly  increases,  then  all  is  quiet  for  a  few  seconds  –  the  inst  frequency  drops  way  down,  (very  noticeable  on  the  envelope)  and  then  the  blast  occurs  at  lower  frequencies.  

  7  

 Figure  6  Main  event  of  Nile  Valley  Landslide  near  Naches,  WA,  Oct  11,  2009.  This  signal  was  recorded  12km  away  from  the  slide  so  it  is  not  very  strong,  but  the  increase  in  noise  between  0  and  10Hz  is  noticeable,  particularly  at  5Hz,  which  is  probably  due  to  a  site  amplification  where  the  station  is  located.  Note  that  the  envelope  shows  that  this  event  has  an  emergent  onset,  unlike  the  earthquakes  which  had  sudden  arrivals.  This  entire  signal  is  dominated  by  the  5Hz  amplification,  so  the  instantaneous  frequency  is  rather  flat  at  5Hz.  As  the  amplitude  of  the  5Hz  signal  increases  around  700seconds  as  the  landsliding  intensifies,  the  instantaneous  frequency  is  more  dominated  by  5Hz.  The  higher  frequency  blip  is  due  to  local  noise  on  the  station,  not  due  to  the  landslide,  it  clearly  stands  out  in  the  instantaneous  frequency.    

           

  8  

 Exercise  (exerciseK.m)    A)  What  is  the  envelope  of  a  sine  wave?  What  do  phase  and  instantaneous  frequency  look  like?    Construct  a  sine  wave  with  a  frequency  of  1Hz  that  lasts  for  5  seconds  with  a  sample  interval  of  0.01  seconds:    t=0:0.01:5-0.01; %subtract one sample so there is no jump xr=sin(1*2*pi*t); %1Hz sine wave plot(t,xr) hold on get  the  analytic  signal  (use  function  ‘hilbert’  if  have  signal  processing  toolbox,  otherwise  follow  these  steps)    xf=fft(xr); %take fft of sine wave half=ceil(length(xf)/2); %find the halfway point of the vector xf(half+1:end)=0; %set repeated part of FT to zero xf=2*xf; %double the amplitude of the freq. domain signal x=ifft(xf); take ifft to go back to time domain  Now  plot  the  envelope  (a.k.a.  instantaneous  amplitude),  what  is  the  envelope  of  a  sine?   hilbx=sqrt(real(x).^2+imag(x).^2); %take magnitude of signal to get envelope plot(t,hilbx,'r'); %upper envelope hold off Now  plot  the  phase      phase1=unwrap(angle(x)); %get phase angle and unwrap so it plots as always increasing instead of repeating every 2pi plot(t,phase1) ylabel('radians') title('Phase')  Take  the  derivative  of  the  phase  to  get  the  instantaneous  frequency  –  normalize  by  the  sample  interval  and  2*pi  to  get  to  Hz  (because  the  slope  is  in  units  of  radians  per  sample).      deriv=(diff(phase1)/0.01)/(2*pi); plot(t(1:end-1),deriv,'k') B)  Same  thing  but  with  a  real  signal.  How  is  envelope  different  from  absolute  value  of  signal?      Now  we  will  work  with  a  real  signal  composed  of  ambient  noise  recorded  at  a  seismometer.  This  is  saved  as  signal.mat,  it  has  a  sampling  rate  of  100Hz.    

  9  

 First  plot  the  signal  and  its  upper  and  lower  envelopes.  Zoom  in  and  look  around.  Also  plot  the  phase  and  instantaneous  frequency.  Apply  a  lowpass  filter  to  the  instantaneous  frequency  to  eliminate  outlying  spikes.      Now  replot  the  original  signal,  but  this  time  take  the  absolute  value.  Plot  the  upper  envelope  over  this,  zoom  in  and  look  around  and  comment  on  the  differences.    The  end.    References    Bracewell,  R.  (1965).  The  Fourier  Transform  and  Its  Applications.  McGrawHill:  New  York,  p.268-­‐272.    Farnbach,  J.S.  (1975).  The  Complex  Envelope  in  Seismic  Signal  Analysis.  Bull.  of  Seis.  Soc.  of  America:  v.65,  p951-­‐962.    King,  F.  (2009).  Hilbert  Transforms,  Volume  I.  Cambridge  University  Press:  Cambridge.  p.???    Matlab  help  section