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Capitolo 7
SPAZI DI HILBERT E TEORIA DIFOURIER
In questo capitolo ci concentriamo sugli spazi di Hilbert: per questi spazi sipossono generalizzare molte nozioni geometriche valide negli spazi euclidei, adesempio i procedimenti di ortogonalizzazione, che forniscono i sistemi ortonor-mali completi: questi ultimi si inquadrano nella teoria di Fourier, della quale cioccuperemo in fondo al capitolo, e che costituisce il primo e principale esempiodi applicazione degli spazi di Hilbert
7.1 Basi ortonormali negli spazi di Hilbert
Uno spazio di Hilbert, come ogni spazio vettoriale, possiede delle basi, chetuttavia si dimostrano inadatte a descriverne la geometria, dato che \ignorano"l'esistenza del prodotto hilbertiano; il concetto \giusto" di base per uno spaziodi Hilbert e quello di sistema ortonormale completo.
7.1.1 Denizione Un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H e unafamiglia feg2A di elementi di H di norma 1 (8 2 A jjejj = 1) tali che
8; 2 A (e; e) = A priori un sistema ortonormale puo essere del tutto insuciente a descrivere
la totalita degli elementi di uno spazio di Hilbert; per questo diamo la
7.1.2 Denizione Un sistema ortonormale feg2A si dice base ortonormale(b.o.) se il sottospazio
P eC (generato dalla famiglia feg2A) e denso in H.
7.1.3 Proposizione Se feg2A e un sistema ortonormale in uno spazio diHilbert H allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
210
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7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 211
feg2A e una base ortonormale. Se 8x 2H 8 2 A (e; x) = 0 allora x = 0. 8x 2H jjxjj2 =P j(e; x)j2 (identita di Parceval). 8x 2H x =P(e; x)e.
Dimostrazione: (1) () (2) e ovvio per denizione di densita.(1) () (4) Segue dal fatto che M = M??; infatti se B A e nito e N e
il sottospazio generato da feg2B, che e chiuso, allora per x 2H:
xN =X2B
(e; x)e
e, seM0 e il sottospazio (non chiuso!) generato da feg2A, si ha che, per x2M0:
x =X2A
(e; x)e
ejjxjj2 =
X2A
j(e; x)j2
(ove le somme sono estese ad un numero nito di termini non nulli). Consideriamoora il sottospazio N0 denso in l
2(A) denito come
N0 := ff : A ! C j Cardf 2 A j f() 6= 0g
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212 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
da cui, per ogni x 2H: X2A
j(x; e)j2 jjxjj2
e quindi l'equivalenza (1) () (3).qed
Notiamo due conseguenze della dimostrazione:
7.1.4 Corollario Se feg2A e una base ortonormale in uno spazio di HilbertH allora H = l2(A).
Cioe spazi di Hilbert che ammettano basi della stessa cardinalita sono isomora l2(A) e quindi fra loro.
7.1.5 Corollario (Identita di Bessel)X2A
j(x; e)j2 jjxjj2
7.1.6 Teorema Uno spazio di Hilbert ha sempre una base ortonormale.
Dimostrazione: La famiglia S formata dai sistemi ortonormali in H e un in-sieme parzialmente ordinato dall'inclusione (e non vuoto, visto che un qualsiasivettore di norma 1 forma da solo un sistema ortonormale). Se e una catena inS (i.e. per ogni S; S 0 2 si ha S S 0 oppure S 0 S) allora l'insieme unione di: [
S2S
e un sistema ortonormale: se x; y2SS2 S allora esistono S; S 02 tali che x2S ey2S 0 e quindi, dato che e una catena, si ha x; y2S S 0 oppure x; y2S 0 S:in ogni caso x; y appartengono ad un medesimo sistema ortonormale (che sia So S 0) e quindi devono vericare la (x; y) = x;y.
Inoltre l'insiemeS
S2 S e evidentemente un conne superiore della famiglia rispetto all'ordine e quindi, per il lemma di Zorn, l'insieme S dei sistemiortonormali ammette un elemento massimale: per denizione di massimalita (eper la (2) della proposizione precedente) questo massimale deve essere una baseortonormale; infatti la massimalita di una base e ovvia, mentre un sistema or-tonormale massimale S che non sia una base e tale che S? 6= 0 e quindi deveesistere e 2 S? con jjejj = 1 in modo che S [ feg sia un sistema ortonormale,contro la massimalita di S.
qed
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7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 213
7.1.7 Denizione La cardinalita di una base ortonormale in uno spazio di Hil-bert si dice dimensione hilbertiana dello spazio.
Evidentemente se la dimensione di H come spazio vettoriale e nita alloraanche la dimensione hilbertiana lo e e questi due numeri coincidono. In generalequesto non sara vero: molti spazi di funzioni, ad esempio L2(R), avranno dimen-sione hilbertiana numerabile (lo vedremo fra breve rammentando che si trattadi uno spazio separabile): tuttavia L2(R), come spazio vettoriale, ha dimensionecontinua: i suoi punti sono parametrizzati dagli elementi di R.
Nel caso generale non e ovvio nemmeno che tutte le basi ortonormali abbianola stessa cardinalita.
7.1.8 Teorema Tutte le basi ortonormali in uno spazio di Hilbert hanno lastessa cardinalita, che e poi pari alla dimensione hilbertiana.
Dimostrazione: Siano feg2A e ffg2B basi ortonormali di H, allora
8 2 A e =X2B
(f; e)f
Ma l'insieme
G := f 2B j (f; e) 6= 0ge numerabile, quindi l'unione B =
S2AG e una unione di insiemi numerabili
indicizzata da A:
Card(B) Card(A) @0 = Card(A)(stiamo supponendo Card(A) innita, i.e. @0).
Viceversa, scrivendo gli elementi f in termini della base feg2A otteniamo
Card(A) Card(B)
e quindi, per il teorema di Cantor{Bernstein: Card(A) = Card(B).qed
7.1.9 Teorema Gli spazi di Hilbert di dimensione hilbertiana numerabile (onita) sono tutti e soli quelli separabili1.
Dimostrazione: Il caso di dimensione nita segue ovviamente da quello didimensione numerabile.
1Cioe che contengono una successione densa.
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214 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
Sia la dimensione hilbertiana di H numerabile: allora esiste una base orto-normale fengn2N ed, evidentemente, il sottospazioX
n2N(Q+ iQ)en
e denso inP
n2NCen, la cui chiusura e H.Sia viceversa lo spazio H e separabile; dimostreremo che possiede una base
ortonormale indicizzata da N. Sia fxngn2N una successione di vettori totale2, chedeve esistere per l'ipotesi di separabilita: usando un procedimento alla Gram{Schmidt la renderemo ortonormale in modo da avere la base voluta.
Basta per questo osservare che il sottospazio Mn generato dall'insieme nitodi vettori fx1; :::; xng e chiuso (perche ha dimensione nita e quindi e completo)e ovviamente non contiene xn+1. Decomponiamo allora xn+1 secondo la sommadiretta Mn +M
?n e chiamiamo yn+1 la componente di xn+1 in M
?n . Ponendo per
ogni n 2 N:en :=
yn+1jjyn+1jj
otteniamo ovviamente un sistema ortonormale in Hqed
La seguente denizione e di fondamentale importanza:
7.1.10 Denizione Un operatore unitario fra due spazi di Hilbert H1 e H2 eun operatore U : H1 ! H2 lineare isometrico tale che
U = U1
Un operatore unitario e una realizzazione concreta di un isomorsmo fra spazidi Hilbert: in particolare
7.1.11 Teorema Se due spazi di Hilbert H1 e H2 hanno la stessa dimensionehilbertiana allora esiste un operatore unitario U : H1 ! H2.Dimostrazione: Possiamo per ipotesi scegliere due basi ortonormali feg2Ae ffg2A in H1 e H2 indicizzate dallo stesso insieme A. Quindi esistono gliisomorsmi di spazi di Hilbert
1 : H1 ! l2(A) e 2 : H2 ! l2(A)(per il corollario 7.1.4) e componendo l'uno con l'inverso dell'altro otteniamol'operatore unitario voluto.
qed
2Cioe gli fxng sono linearmente indipendenti ed il sottospazio vettoriale che generano edenso.
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7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 215
Ad esempio, se H = l2(N), e se consideriamo come insieme di indici i numerinaturali pari 2N, allora esiste un operatore unitario in B(H) isometrico su unsottospazio proprio:
Uen := e2n
tale chejjUxjj2 = jjxjj2
e quindi (Ux; Ux) = (x; UUx) = (x; x) i.e. UU = I. Tuttavia U non e unitario,dato che non e suriettivo.
Osserviamo inoltre che se A = f1; 2; 3; 4; :::g = N n f0g allora esiste unoperatore
S : H ! L2(A)en 7! en+1
tale che im(S)? = Ce0 e che si dice shift unilatero. Si tratta di un operatoreisometrico.
7.2 Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert
Consideriamo uno spazio di Hilbert H ed un suo sottospazio vettoriale chiusoM . Per il teorema di Riesz ogni elemento x2H si decompone come x = xM+xM? .Quindi la mappa
x 7! xMe lineare3 e suriettiva. Denotiamola EM .
Osserviamo che E2M = EM , cioe che l'operatore E : H ! H e idempotente:infatti E2M(x) = EM(xM) = xM . Questo e un fatto del tutto generale che siverica ogni qual volta uno spazio vettoriale X si decomponga in somma disottospazi e si considerino le proiezioni di X su questi suoi sottospazi.
Un altro fatto generale che probabilmente e ben noto al lettore e che, vicever-sa, se X e uno spazio vettoriale e E : X ! X un operatore lineare idempotente,X si decompone in somma diretta di due sottospazi, precisamente l'immagineM = im(E) di E ed il suo conucleo N = im(I E) (ove I e l'operatore identitasu X).
Nel caso di un sottospazio chiuso M di uno spazio di Hilbert H la proiezioneEM : X ! X e un operatore continuo:
jjxjj2 = jjxM jj2 + jjxM?jj23Se X e un qualsiasi spazio vettoriale che sia somma diretta di due sottospazi M e N allora
la decomposizione di un elemento x2X come somma di un elemento xM 2M ed un elementoxN 2N e unica, e quindi le mappe x 7! xM e x 7! xN sono lineari.
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216 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
da cui segue jjEMxjj = jjxM jj jjxjj.Osserviamo esplicitamente che, E 6= 0 se e solo se im(E) 6= (0), il che avviene
se e solo se esiste un elemento x0 2 H non nullo tale che Ex0 = x0. DunquejjEjj = 1.
Naturalmente
(y; Ex) = (yM + yM? ; xM) = (yM ; xM) = (Ey;Ex) = (y; EEx)
e quindi un proiettore E e autoaggiunto. Dunque
E = EE ()(E = E2
E = E
sono condizioni equivalenti all'essere E un proiettore su un sottospazio chiuso.
7.2.1 Denizione Una isometria parziale in uno spazio di Hilbert H e un ele-mento W 2 B(H) tale che l'operatore
W jN (W )?
sia una isometria (si ricordi che N (A) e il nucleo dell'operatore A, i.e. l'insiemefx 2H jAx = 0g).
Ad esempio, se M e N sono sottospazi chiusi di H della stessa dimensioneallora esiste un operatore unitario
W0 : M ! N
che possiamo comporre ad esempio con il proiettore EM ottenendo
W := W0EM
che e evidentemente una isometria parziale.
7.2.2 Proposizione Esiste una corrispondenza biunivoca
fM H jM = Mg ! fE 2 B(H) jE = EEg
Dimostrazione: Se E2B(H) e tale che E = EE allora prendiamoM = im(E)e N = im(I E). Ovviamente H = M + N . Inoltre M \ N = (0), dato cheM = N?: (Ey; (I E)x) = (y; (E EE)x) = 0, ed analogamente N = M?.
qed
-
7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 217
Se M1 e M2 sono sottospazi chiusi di H, con proiettori E1, E2, allora
M1 M?2 () E1E2 = 0
Infatti 0 = (Ex; E2y) () (x;E1E2y) = 0 () E1E2 = 0 () E1E2 = 0(essendo i proiettori autoaggiunti). Ovviamente E1E2 = 0 () E2E1 = 0 eM1 M?2 () M2 M?1 .
Osserviamo che in generale la somma E1 + E2 non e necessariamente idem-potente, ma tuttavia, se M1?M2:
(E1 + E2)2 = E21 + E1E2 + E2E1 + E
22 = E1 + E2
e quindi E1 + E2 e in questo caso il proiettore di M1 +M2.qed
Questi fatti si estendono al caso di n proiettori, cos ad esempio, seM1; :::;Mnsono sottospazi chiusi mutuamente ortogonali, allora
PEi e il proiettore dello
spazioP
Mi. In particolare la somma di sottospazi chiusi e chiuso.Ancora piu in generale, se fMg e una famiglia qualsiasi di sottospazi vetto-
riali chiusi di H mutuamente ortogonali:
8 6= M?Mallora lo spazio
PM puo non essere aatto chiuso. Bisogna considerare espli-
citamente la sua chiusura in H.Ad esempio, si noti che se fEigi2N sono idempotenti autoaggiunti (non nulli!)
e tali che8i 6= j EiEh = 0
alloraP
i2NEi non converge in norma. Se cos non fosse si avrebbe infatti, perogni " > 0 e per n;m > n": nX
i=1
Eijj < "
il che e assurdo, visto che l'idempotente autoaggiuntoP
Ei ha norma 1.Questo esempio mostra come sia necessario considerare topologie alternative
sullo spazio degli operatori lineari.
7.2.3 Denizione Se X e uno spazio di Banach e fAng B(X) allora si diceche la successione fAng converge fortemente a A, e si scrive
Anf // A
se per ogni x 2X: limnAnx = Ax.
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218 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
Osserviamo che se jjAnAjj ! 0 allora supjjxjj=1 jAnxAxj ! 0 e quindi(scriviamo An
jjjj! A per la convergenza in norma):
Anjjjj! A () An f! A uniformemente sulla palla unitaria in H
Ricordando la denizione di topologia debole su uno spazio topologico (deni-zione 2.1.22), diamo la
7.2.4 Denizione La topologia forte sullo spazio B(X) e la topologia deboledenita dalla famiglia di funzioni
ff : B(X) ! X j 8A 2 B(X) f(A) = Axgx2X
Per capire meglio la denizione, scriviamo come sono fatti gli intorni di unoperatore A nella topologia forte:
Ux1;:::;xn(A) = fB 2 B(X) j 8k = 1; :::; n jj(B A)xkjj 1g
(l'intorno U dipende da A e da n elementi x1; :::; xn 2X).Evidentemente questa topologia non possiede una base numerabile di intorni,
e non puo dunque caratterizzarsi semplicemente con i limiti di successioni, benscon i limiti di successioni generalizzate.
Supponiamo quindi di avere una famiglia di proiettori fEg2A con fMg2Arelativi sottospazi e consideriamo l'insieme
B := f A j Card()
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7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 219
Dimostrazione: Dobbiamo dimostrare che per ogni x2H esiste un 02B taleche se 0 allora
jjFx Exjj < 1Sia x 2M con
M :=X2A
M
Dato che M e chiuso deve esistere x0 2P20 M arbitrariamente vicino a x (innorma) i.e. x0 =
P2AEx. Dunque
xX2
Ex = xX2
E Ea(x x0) +X2
Ex0 = x x0 + F(x x0)
i.e.jjx
X2
Exjj jjx x0jj+ jjF(x x0)jj ! 0
per jjx x0jj ! 0. Dunque, se x 2M allora x =P2AEx.Se ora x 2 H e qualsiasi, Ex 2 M e quindi, applicando il ragionamento
precedente (tenendo conto che EEx = Ex, avendosi M M) si trova
Ex =X2A
EEx =X2A
Ex
qed
Osserviamo che, se A (con Card()
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220 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
S2AM e un sottoinsieme totale in H. (S2AM)? = 0 (S e totale se e solo se S? = 0).Non appena una di esse sia vericata allora ha luogo l'isomorsmo di spazi
di HilbertH =
M2A
M
realizzato dalla mappa x 7! f 2 A 7! () = Ex 2Mg. Si noti cheX
jj()jj2 = jjxjj2
e si osservi che, se ciascuno degli spazi M e di dimensione 1, allora la teoria cheabbiamo svolto e semplicemente quella delle basi ortonormali in H.
Concludiamo la nostra analisi di B(H) indagandone alcune particolarita dellastruttura algebrica. Prima svolgiamo qualche semplice osservazione sui proiettorie sui loro sottospazi associati:
7.2.6 Proposizione (x;Ex) = (x; x) () x 2M .Dimostrazione: Basta osservare che
(Ex;Ex) = (x;Ex) = (x; x) = (Ex;Ex) + ((I E)x; (I E)x)e che (I E)x = 0 () x = Ex.
qed
Se M e N sono sottospazi chiusi, allora
M N () EMEN = EMMa EF e autoaggiunto se e solo se EF = FE i.e. EMEN = EM () ENEM =EM :
M N ) EMEN = ENEMInoltre
M?M ) EMEN = ENEMSe poi M = M1 + M2 allora E1 + E2 = EM := E e dunque, se F := EN ,EF = FE.
In B(H) c'e una relazione di ordine parziale che possiamo determinare stabi-lendo quali sono gli elementi positivi:
B(H)+ := fB 2 B(H) j 8x 2H (x;Bx) 0gEvidentemente, per l'identita di polarizzazione:
B 2 B(H)+ ) B = BAd esempio per ogni A2B(H) l'operatore AA e semi-denito positivo: AA 0.
In particolare, un autoaggiunto idempotente E e positivo.
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7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 221
7.2.7 Proposizione M N () EMEN = EM () EM EN .Dimostrazione: Dato che N = M + (M? \ N) si ha EN = EM + EM?\N equindi:
(x;ENx) = (x;EMx) + (x;EM?\Nx)
quindi, dato che il secondo addendo del secondo membro e 0, troviamo (x;ENx) (x;EMx).
Viceversa, x 2M () (x;EMx) = (x; x). Ma se EM EN allora(x; x) = (x;EMx) (x;ENx) = (ENx;ENx) jjxjj2 = (x; x)
(dato che EN e un proiettore). Quindi, per la proposizione precedente:
M Nqed
7.2.8 Teorema Se E e F sono idempotenti autoaggiunti in B(H) (e quindi esi-stono i sottospazi chiusi M e N in modo che E = EM e F = EN) allora leseguenti proposizioni sono equivalenti:
EF = FE. EF = EM\N . N = (N \N) + (N \M?).
Dimostrazione: (3)) (1) e gia stato dimostrato.(1) ) (2): EF = FE ) EF = (EF ) e ) (EF )2 = E2F 2 = EF . Quindi
EF e un proiettore se EF = FE.Ma, se x 2M \ N allora Ex = x = Fx e quindi EFx = x, cioe M \ N
im(EF ). Inoltre, se x 2 im(EF ) allora x = EFx e Ex = E(EF )x = E2Fx = x.Scambiando il ruolo di E e F si ottiene anche Fx = x e quindiM\N = im(EF ).
(2)) (1) e banale.(2)) (3): Se EF = EM\N allora:
F = (F EF ) + EF = F (I E) + EFMa vale (1) (perche vale (2)) e quindi F e I E commutano:
F (I E) = EN\M?e EF = EN\M , sicche
F = EN\M? + EN\M ) N =M? \N +M \Nqed
Possiamo formulare quanto n qui ottenuto dicendo che il reticolo dei sotto-spazi chiusi (o equivalentemente degli idempotenti autoaggiunti) di uno spazio diHilbert e un'algebra di Boole.
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222 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
7.3 Serie di Fourier
Corrediamo ora la teoria con gli esempi fondamentali: le serie e l'integrale diFourier5.
Vogliamo considerare funzioni f : R ! C periodiche, di periodo 2 (comele classiche funzioni trigonometriche): f(t) = f(t + 2); il modo piu naturale diprocedere non e considerare queste funzioni denite sulla retta reale ma sullacirconferenza T = fjzj = 1g C. Osserviamo che T e lo spazio topologico(compatto) ottenuto dall'intervallo [0; 2] identicandone gli estremi 0 2,ovvero e il quoziente R=2Z (via la mappa t 7! eit).
Consideriamo dunque lo spazio T, con la misura di Lebesgue: ricordiamo chela misura di Lebesgue e invariante per traslazioni:Z
Tf(t s)dt =
ZTf(t)dt
per ogni 0 s < 2 (integrare su T e come integrare sull'intervallo (0; 2)).Consideriamo lo spazio L1(T) con la norma di Banach
jjf jj1 = 12
ZTjf(t)jdt
(supponiamo che le funzioni abbiano valori complessi).Ad esempio sia
p(t) =NX
n=Nane
int
(una tale funzione si dice polinomio trigonometrico). I coecienti an del poli-nomio sono tutto cio che dobbiamo conoscere per determinarlo completamente;inoltre si possono ricavare dal polinomio stesso, per mezzo della formula
an =1
2
ZTp(t)eintdt
Questa formula segue direttamente dalle relazioni di ortogonalita
1
2
ZTeintdt = n0
5Si tratta degli esempi che storicamente hanno dato impulso sia alla teoria della misura diLebesgue che alla teoria degli spazi di Hilbert.
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7.3. Serie di Fourier 223
7.3.1 Denizione Una serie trigonometrica e una espressione formale
S =1X
n=1ane
int
con an 2 C.Notiamo che si tratta di una serie formale, nel senso che puo benissimo
non convergere; tuttavia, motivati dall'esempio dei polinomi trigonometrici, cichiediamo se una tale serie non possa rappresentare una funzione.
Sia f 2 L1(T) e deniamo l'n-simo coeciente di Fourier di f comebf(n) := 1
2
ZTf(t)eintdt
Se f e un polinomio otteniamo esattamente il suo coeciente in grado n; ingenerale abbiamo non un polinomio ma una serie trigonometrica
Sf :=1X
n=1bf(n)eint
che si dice serie di Fourier associata alla funzione f . Si vericano immediata-mente le seguenti proprieta:
7.3.2 Proposizione Siano f; g 2 L1(T); [f + g(n) = bf(n) + bg(n). 8z 2 C czf(n) = z bf(n). Se la traslata di t 2 T della funzione f e la funzione
ft(s) := f(s t)allora bft(n) = bf(n)eint.
j bf(n)j jjf jj1
Forse solo la (4) merita un commento:
j bf(n)j = 12
ZTf(t)eintdt
1
2
ZTjf(t)jdt = jjf jj1
(ricordiamo che eit e un numero complesso di modulo 1, se t2R). Evidentemente,se ffng e una successione convergente in L1(T) allora bfn converge uniformemente.
Deniamo ora una operazione sullo spazio L1(T) che riette il fatto che T eun gruppo rispetto alla somma (modulo 2).
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224 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
7.3.3 Lemma Se f; g 2 L1(T) allora, per quasi ogni s 2 T, la funzione t 7!f(t)g(s t) e integrabile.
Dimostrazione: La funzione di due variabili (s; t) 7! f(t)g(s t) e misurabile(e prodotto di funzioni misurabili!) e quindi, per quasi ogni t, la funzione s 7!f(t)g(s t) e multiplo costante di gt e quindi e integrabile e
1
2
ZT
1
2
ZTjf(t)g(s t)jdsdt = 1
2
ZTjf(t)j jjgjj1dt = jjf jj1jjgjj1
Quindi f(t)g(s t) e integrabile (per il teorema di Fubini) come funzione di t,per quasi ogni s.
qed
Abbiamo quindi, per ogni f; g 2 L1(T) la loro convoluzione f g 2 L1(T)denita come
f g(s) = 12
ZTf(t)g(s t)dt
Ovviamente
jjf gjj1 jjf jj1jjgjj1dato che
1
2
Zjf g(s)jds = 1
2
Z1
2
Zjf(t)g(s t)jdtds
142
ZZjf(t)g(s t)dt ds = jjf jj1jjgjj1
7.3.4 Proposizione [f g(n) = bf(n)bg(n)Dimostrazione: Si tratta di un semplice cambiamento di variabile nell'integralecombinato col teorema di Fubini:
[f g(n) = 12
Zf g(s)einsds = 1
42
ZZf(t)eintg(s t)ein(st)dsdt
=1
2
Zf(t)eintdt
1
2
Zg(s)einsds = bf(n)bg(n)
qed
A questo punto, usando calcoli analoghi a quelli n qui svolti, e un facileesercizio dimostrare la
-
7.3. Serie di Fourier 225
7.3.5 Proposizione Rispetto alla convoluzione, lo spazio L1(T) diviene un'al-gebra associativa e commutativa.
7.3.6 Esempio Calcoliamo la convoluzione di una funzione f 2 L1(G) con unpolinomio trigonometrico p:
f p(t) = 12
Zf(s)
NXn=N
anei(ts)nds =
NXn=N
aneint 1
2
Zf(s)einsds
=NX
n=Nan bf(n)eint
Consideriamo ora una successione di funzioni in L1(T) (si tratta di polinomitrigonometrici) nota come nucleo di sommabilita di Fejer :
(y) KN(t) :=NX
n=N
1 jnj
N + 1
eint
7.3.7 Proposizione Il nucleo di Fejer soddisfa alle proprieta seguenti:
Per ogni N 2 N:1
2
ZKN(t)dt = 1
Esiste una costante c tale che1
2
ZjKN(t)jdt c
Se 0 < < :lim
N!1
Z 2
jKN(t)jdt = 0
KN(t) 0.
Dimostrazione: La (2) e la (4) sono ovvie, dato che jeintj = 1. La (1) seguedal fatto che
Reint = n0:
1
2
ZKM(t)dt =
NXn=N
1 jnj
1 +N
1
2
Zeint =
NXn=N
1 jnj
1 +N
n0 = 1
-
226 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
La (3) segue dalla formula
KN(t) =1
1 +N
sin N+1
2t
sin t2
!2che si dimostra osservando che
14eit +
1
2 1
4eit NX
n=N
1 jnj
1 +N
eint =
=1
1 +N
14ei(N+1)t +
1
2 1
4ei(N+1)t
ed utilizzando l'identita trigonometrica
sin2t
2=
1 cos2 t2
= 14eit +
1
2 1
4eit
qed
Una successione di funzioni che verichi queste proprieta si dice nucleo (po-sitivo) di sommabilita. Notiamo che, per la (y):
f KN(t) =NX
n=N
1 jnj
N + 1
bf(n)eintIl nucleo di Fejer e di fondamentale utilita: ad esempio possiamo dimostrare permezzo di esso6 il
7.3.8 Teorema di Approssimazione (Weierstrass) Ogni funzione f2C(T)e limite uniforme di polinomi trigonometrici.
Dimostrazione: Osserviamo che una funzione continua e in L1(T) e che
jjf jj1 jjf jj0ove jj:jj0 e la norma dello spazio di Banach C(T):
jjf jj0 = maxt2T
jf(t)j
Infatti
jjf jj1 = 12
Zjf(t)jdt 1
2
Zjjf jj0dt = 1
2
jjf jj02
= jjf jj06Questo teorema seguira immediatamente da un risultato generale, il teorema di Stone{
Weierstrass 9.2.9, che daremo in seguito: ci sembra interessante darne comunque unadimostrazione particolare in questa sede.
-
7.3. Serie di Fourier 227
Quindi la convergenza in L1 implica la convergenza uniforme; ora se f 2C(T) L1(T) dimostriamo che si puo approssimare con i polinomi trigonometrici f KN .Dobbiamo dimostrare che jjf f KN jj1 ! 0, il che faremo in due passi: primadimostreremo che, se k 2 C(T) e f 2 L1(T) allora
() 12
Zk(t)ftdt = f k
e poi dimostreremo che
() f = limN!1
1
2
ZKN(t)ftdt
(limite nella norma jj:jj1). Da (*) e (**) segue la tesi.Dimostriamo (*): se f 2 C(T) scriviamo l'integrale alla Riemann:
1
2
Zk(t)ftdt =
1
2limXn
(tn+1 tn)k(tn)ftn
per una partizione ftng di [0; 2): ma
1
2limXn
(tn+1 tn)k(tn)f(t tn) = f k(t)
(limite nella norma uniforme) sempre per denizione di integrale di Riemann:quindi per funzioni continue il teorema e dimostrato. Ma le funzioni continueapprossimano le funzioni L1(T), e, se f 2L1(T) e g2C(T) e tale che jjf gjj "allora, dato che la (*) vale per le funzioni continue:
1
2
Zk(t)ftt f k = 1
2
Zk(t)(f g)tdt (f g) k
da cui 1
2
Zk(t)ftdt f k
1
2"jjkjj1
Questo dimostra la (*); passiamo alla (**): ricordiamo che f e continua su uncompatto (T), quindi uniformemente continua. Cioe, per ogni " > 0 esiste " taleche se js tj < " allora jf(s) f(t)j < ". Allora, ricordando le proprieta del
-
228 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier
nucleo di Fejer (proposizione 7.3.7), se 0 < < :
jf KN(s) f(s)j =1
2
ZKn(t)f(t s)dt 1
2
Zf(s)KN(t)dt
12
Zjf(t s) f(s)jKN(t)dt
=1
2
Z 0
jf(t s) f(s)jKN(t)dt+
+
Z 2
jf(t s) f(s)jKN(t)dt+
+
Z 22
jf(t s) f(s)jKN(t)dt!
0:lim
y!1
Zjxj>
jKy(x)jdx = 0
Dimostrazione: Calcoliamo la norma jj:jj1 di K(x), usando la nostra conoscen-za del nucleo di Fejer per le serie trigonometriche: sappiamo che
limN!1
1
2
Z
1
N + 1
sin (n+1)x
2
sin x2
!2dx = 1
Dato cheRKy(x)dx =
RyK(yx)dx =
RK(yx)d(yx) =
RK(x)dx possiamo
prendere y = N + 1, ottenendo
Ky(x) =1
2(N + 1)
sin (n+1)x
2x2
!2e quindi
sin
21
2
Z
1
N + 1
sin (n+1)x
2
sin x2
!2dx