“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”.

Curso:

Fisica II

Tema:

Hidrostatica e Hidrodinamica

Profesor:

Carlos Alban

Integrantes:

Quevedo Tarrillo Brandon Smith

Rivera Quino Rafael Mauricio Facultad:

Minas

Escuela:

Ingenieria Ambiental y Seguridad Industrial.

-2015-

Hidrostática

La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición.

Características de los fluidos:

Se denomina fluido a aquél medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad definitoria es que los fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restituidas tendentes a recuperar la forma "original" (lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable, donde sí hay fuerzas restituidas).

Los estados de la materia líquido, gaseoso y plasma son fluidos, además de algunos sólidos que presentan características propias de éstos, un fenómeno conocido como solifluxión y que lo presentan, entre otros, los glaciares y el magma.

Las características principales que presenta todo fluido son:

Cohesión.- Fuerza que mantiene unidas a las moléculas de una misma sustancia.

Tensión superficial.- Fenómeno que se presenta debido a la atracción entre las moléculas de la superficie de un líquido.

Adherencia.- Fuerza de atracción que se manifiesta entre las moléculas de dos sustancias diferentes en contacto.

Capilaridad.- Se presenta cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida, debido al fenómeno de adherencia. En caso de ser la pared un recipiente o tubo muy delgado (denominados "capilares") este fenómeno se puede apreciar con mucha claridad.

Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.

Principio de Pascal: En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

El principio de Pascal afirma que la presión aplicada sobre un fluido no compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.

Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este principio.

Definimos compresibilidad como la capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.

Principio de Arquímedes: El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desalojado.

El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.

Propiedades de los fluidos

Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo como en movimiento.

Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.

Propiedades primarias o termodinámicas:

Densidad: En física y química, la densidad es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza mediante la letra rho ρ del alfabeto griego. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.

Presión: En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula   donde   es la presión hidrostática,   es el peso específico y   profundidad bajo la superficie del fluido.

Temperatura: La temperatura atmosférica es el indicador de la cantidad de energía calorífica acumulada en el aire. Aunque existen otras escalas para otros usos, la temperatura del aire se suele medir en grados centígrados (ºC) y, para ello, se usa un instrumento llamado "termómetro”. La temperatura depende de diversos factores, por ejemplo, la inclinación de los rayos solares. También depende del tipo de sustratos (la roca absorbe energía, el hielo la refleja), la dirección y fuerza del viento, la latitud, la altura sobre el nivel del mar, la proximidad de masas de agua, etc.

Energía interna: La energía interna se define como la energía asociada con el movimiento aleatorio y desordenado de las moléculas.

Entalpía: La Entalpía es la cantidad de energía de un sistema termodinámico que éste puede intercambiar con su entorno.

Entropía: la entropía (simbolizada como S) es una magnitud física que, mediante cálculo, permite determinar la parte de la energía que no puede utilizarse para producir trabajo.

Calores específicos: El calor específico (s) de una sustancia es la cantidad de calor necesario para elevar un grado Celsius la temperatura de un gramo de la sustancia.

Propiedades secundarias

Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos.

Viscosidad: La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales, es debida a las fuerzas de cohesión moleculares. 

Conductividad térmica: Es la capacidad de una sustancia de transferir la energía cinética de sus moléculas a otras adyacentes o a sustancias con las que no está en contacto. 

Tensión superficial: En física se denomina tensión superficial de un líquido a la cantidad de energía necesaria para aumentar su superficie por unidad de área.

Compresión: La compresibilidad es una propiedad de la materia a la cual se debe que todos los cuerpos disminuyan de volumen al someterlos a una presión o compresión determinada manteniendo constantes otros parámetros.

Fluidos en equilibrio

La materia existe en diferentes estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Los líquidos y los gases tienen propiedades comunes tales como su capacidad de fluir y adoptar la forma de los recipientes que los contiene por lo que se los denomina conjuntamente fluidos.

Los líquidos son prácticamente incompresibles, por lo que podemos considerar que su volumen no se modifica. El gas, en cambio, se expande y comprime con facilidad.

La hidrostática estudia el comportamiento de los líquidos en equilibrio, es decir cuando no hay fuerzas que alteren el estado de reposo o de movimiento del líquido. También se emplea, como aproximación, en algunas situaciones de falta de equilibrio en las que los efectos dinámicos son de poca monta.

Aunque los fluidos obedecen a las mismas leyes físicas que los sólidos, la facilidad con la que cambian de forma hace sea conveniente estudiar pequeñas porciones en lugar de todo el fluido. Por eso se reemplazan las magnitudes extensivas (que dependen de la cantidad de materia) por las magnitudes intensivas (que no dependen de la cantidad de materia): la masa se reemplaza por la densidad y el peso se reemplaza por el peso específico.

Densidad y peso específico

La densidad (δ) de un cuerpo es el cociente entre la masa (m) del cuerpo y el volumen (V) que ocupa:

δ m V

Como ya dijimos, la densidad es una magnitud intensiva (no depende de la cantidad de materia sino solo del tipo de materia).

Las unidades de medida de la densidad son, por ejemplo, kg/lt. Así, la densidad del agua es aproximadamente de 1 kg/lt y la del hierro 7,8 kg/lt. Sin embargo, pueden utilizarse otras unidades, como por ejemplo kg/dm3, g/mm3 y lb/pie3. En el sistema internacional, la densidad se mide en kg/m3.

Cuando el cuerpo es homogéneo, la densidad es la misma en diferentes regiones del cuerpo. Si el cuerpo es heterogéneo, la densidad varía para diferentes regiones del cuerpo y se puede establecer una densidad media, como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen.

La densidad de los líquidos varía muy poco dentro de muy amplios límites de presión y temperatura. En cambio, la de los gases es muy sensible a las variaciones de presión y temperatura.

De manera análoga, el peso específico (ρ) es el cociente entre el peso (P) y el volumen (V) por unidad de volumen, con las mismas consideraciones anteriores:

ρ P m ⋅ g δ ⋅ g V V

o donde g es la aceleración de la gravedad.

Unidades posibles para el peso específico son, por ejemplo, kgf/lt, y gf/mm3. En el sistema internacional la unidad específica es N/m3.

Material Peso Especifico(N/m

3)

Agua(4 ºC y p = 1 atm ) 9.999,70Agua de Mar(15 ºC y p = 1 atm) 10.250,00Alcohol 8.000,00Aceite de Oliva 9.200,00Aire Frio(0 ºC y p = 1 atm) 12,90Hierro 78.000,00Madera Dura(Quebracho) 13.000,00Plomo 114.000,00Papel 12.000,00Nafta 7.500,00Aluminio 27.000,00

Fuerza y presión

Cuando en una situación de equilibrio la fuerza la transmite un sólido, como por ejemplo una soga, el valor de la fuerza no cambia por efecto de la transmisión. Consideremos, por ejemplo un cuerpo que cuelga de una polea y se mantienen en equilibrio utilizando una soga. La soga transmite la fuerza sin cambiar su valor: la intensidad de la fuerza que la mano hace sobre la soga es la misma que la que la soga hace sobre el cuerpo.

Sin embargo, cuando la fuerza la transmite un fluido el valor de la fuerza puede cambiar mucho. Para entenderlo podemos recurrir a dos jeringas (sin agua) de secciones diferentes y un tubo flexible que las conecta. Si llenamos con agua los depósitos de ambas jeringas y el

tubo flexible, al empujar uno de los pistones, ve remos que la fuerza que hay que hacer en el otro para con seguir el equilibrio es diferente: en el pistón más grueso hay que hacer mayor fuerza.

El hecho de que los fluidos modifiquen el valor de la fuerza al transmitirla, le resta importancia al concepto de fuerza al tratar con fluidos. ¿Habrá alguna otra magnitud física, en lugar de la fuerza, que no cambie de valor al transmitirse? Sí, es la presión. En el caso de las jeringas:

F1

F2

A1 A2

F1 es la fuerza que el pistón angosto hace sobre el fluido y A1 el área de la sección transversal del pistón angosto. F2 es la fuerza que el fluido hace sobre el pistón grueso y A2 el área de la sección transversal del pistón grueso.Por eso, conviene introducir la magnitud presión (p) en un fluido como la intensidad de la fuerza que se ejerce, por unidad de área:

P= F A

Para una fuerza aplicada sobre un sólido en equilibrio no existen restricciones en cuanto a su dirección. En cambio, para un fluido en equilibrio, la fuerza aplicada sobre él (o la que él aplica) siempre es perpendicular a la superficie, ya que si hubiera fuerzas tangenciales obligarían al fluido a ponerse en movimiento, o sea a fluir.

La fuerza que el émbolo grande hacesobre el fluido (F1) es de mayor intensidad

que la fuerza que el fluido hace sobre elémbolo pequeño (F2). En el equilibrio la

En el equilibrio la fuerza que el dedo hace sobre la chincheta (F1) es de igual valor que

la fuerza que la chincheta hace sobre lapared (F2). La presión en la cabeza circular

y chata de la chincheta (y en el dedo) esmenor que la presión en su afilada punta (yen la pared).

presión en el émbolo grande es igual a lapresión en el émbolo pequeño.

El hecho de que los fluidos en equilibrio transmiten la presión sin modificar su intensidad fue establecido por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) y se conoce como Principio de Pascal:

También se evidencia el principio de Pascal en la prensa hidráulica de la figura: al hacer fuerza en un extremo, el cambio de presión correspondiente se transmite a través del líquido y se manifiesta por la acción de una fuerza sobre el objeto que está en el otro extremo. Los ascensores hidráulicos y los frenos hidráulicos también se basan en ese principio.

En la prensa hidráulica se aplica una fuerza sobre el émbolo de menor área y se con sigue una fuerza mayor sobre el émbolo mayor. La relación entre las fuerzas es la misma que existe entre las áreas. Si bien se logra amplificar la fuerza, no se amplifica la energía (aún des pre cian do el rozamiento): el trabajo realizado por la fuerza chica sobre el pistón pequeño es igual al que la fuerza mayor ha ce sobre el pistón grande (despreciando los efectos dinámicos). El volumen de líquido desplazado por el pistón

pequeño se distribuye en una capa fina en el pistón grande ( V1 V2) y el producto de la fuerza por el desplazamiento es igual en ambas ramas. Así:

Un bloque apoyado sobre la mesa también origina una presión, que se calcula como el cociente entre el peso del bloque y el área de la superficie de apoyo

Cimientos. Los edificios se apoyan sobre Taco aguja. El peso de la mujer se distri-superficies de dimensiones mayores que las buye en una área muy pequeña. En los

secciones de sus paredes y columnas. El antiguos aviones cuyo piso estaba hechoobjetivo es que el peso de la construcción se de un material blando estaba prohibidodistribuya en un área mayor para evitar que usar este tipo de zapatos.

se venza la resistencia mecánica del suelo.

Unidades de medida de la presión

La presión es quizá una de las magnitudes físicas en las que se emplea más diversidad de unidades para medirla. Una unidad posible es la que resulta de utilizar kgf para la fuerza y cm² para el área, de donde resulta el kgf/cm². Esta unidad tiene la ventaja de que la presión atmosférica (la presión asociada a la fuerza que la atmósfera ejerce sobre el suelo y sobre todos los objetos) es muy próxima a 1 en esas unidades:

El valor de la presión atmosférica permite introducir la unidad atmósfera (atm), igual al valor de la presión atmosférica. Así se habla, por ejemplo de una presión de 3 atm, o sea igual a 3 veces la presión atmosférica.

Sin embargo, la unidad recomendada en física es la del sistema internacional, que utiliza newton para la fuerza y m² para el área. Resulta así el N/m², que recibe el nombre de pascal (Pa):

El pascal es una unidad de presión muy pequeña comparada con la presión atmosférica, ya que equivale a 1 N (menos que 1 kgf) repartido en un área de 1 m² (mucho más grande que 1 cm²). Por eso, se suelen usar sus múltiplos, el hectopascal (hPa) = 100 Pa y el kilo-pascal (kPa) = 1000 Pa.

Para tener una idea del valor de la presión atmosférica en pascales:

En las estaciones de servicio, todavía es habitual usar unidades de origen anglosajón para medir la presión del aire de los neumáticos. Estas unidades emplean la libra fuerza (lbf) para la fuerza y la pulga-da cuadrada (plg²) para el área, de donde resultan lbf/plg². Esta unidad también se conoce como psi:

En medicina, es habitual dar la presión de la sangre en milímetros y centímetros de mercurio (mmHg y cmHg) ya que, como veremos en lo que sigue, la altura de una columna de líquido sirve para establecer una medida de la presión

Principio fundamental de la hidrostática

El tipo de enlace que hay entre las moléculas de un líquido hace que sólo pueda ejercer fuerzas perpendiculares de compresión sobre las paredes del recipiente y sobre la superficie de los objetos sumergidos, sin importar la orientación que adopten esas superficies fronteras del líquido. La presión se interpreta como la magnitud de la fuerza normal ejercida por unidad de superficie y puede valer distinto en los diferentes puntos del sistema.

Al sumergirnos en agua podemos sentir que la presión aumenta con la profundidad. Nuestros oídos detectan este cambio de presión, pues percibimos que el líquido ejerce una fuerza normal de compresión mayor sobre la membrana del tímpano cuanto más hondo estamos. La sensación experimentada en una determinada profundidad es la misma, sin que importe la orientación de la cabeza; la presión es una magnitud escalar: no tiene asociada una dirección y un sentido. En cada punto existe un determinado valor de presión que está en relación con la intensidad de la fuerza que el líquido ejerce perpendicularmente al tímpano, esté la cabeza erguida o acostada.

Si un fluido está en equilibrio cada porción de él está en equilibrio. Consideremos una porción cúbica de líquido de volumen V sumergida en reposo dentro del cuerpo del líquido y efectuemos el análisis dinámico de este sistema. Las fuerzas que recibe son de dos tipos:

1) la fuerza gravitatoria ejercida a distancia por la Tierra (P)

2) la fuerza superficial de contacto ejercida por el fluido circun-dante correspondiente a la presión del entorno. (Fsup)

El cubo está en equilibrio por lo que la sumatoria de estas dos fuerzas que recibe es nula. De manera que el fluido circundante ejerce fuerzas superficiales sobre el cubo cuya resultante es una fuerza vertical hacia arriba de igual módulo que el peso del cubo de fluido.

El fluido circundante ejerce fuerzas superficiales perpendiculares de compresión sobre cada una de las seis caras del cubo. La resultante de estas fuerzas superficiales es vertical, por lo que las fuerzas horizontales que se ejercen sobre las caras laterales verticales enfrentadas del cubo se contrarrestan.

Dado que el fluido del entorno ejerce globalmente una fuerza ver-tical, para simplificar dibujaremos sólo las fuerzas superficiales ver-ticales que el cubo recibe sobre las caras horizontales de superficie S. El carácter distributivo de esas fuerzas está indicado en la figura con varias flechas que se interpretan como fuerza por unidad de área. Para que el peso sea equilibrado por las fuerzas de contacto, las fuerza por unidad de área sobre la cara inferior del cubo debe ser mayor que la fuerza por unidad de área sobre la cara superior. En definitiva, la presión por debajo del cubo es mayor que por encima: en el seno de un líquido la presión aumenta con la profundidad.

Fsup1

− F

sup 2 −

P

0

⇒

F

sup1 −

F

sup 2

P F

sup 2

p1 ⋅ S − p2 ⋅ S ρ ⋅ V

p1 − p2

ρ ⋅ V ρ ⋅ d12 PF

sup latF

sup latS

d12 es la distancia entre la cara superior y la inferior,

Fsup 1p1 − p2 ρ ⋅ h1 − h2 δ ⋅ g ⋅ h1 − h2

h indica la profundidad (no la altura).

Si consideramos dos recipientes de igual tamaño, llenos, uno con agua y el otro con mercurio (de densidad 13,6 veces la del agua) hasta el mismo nivel, la presión en el fondo debida a esos líquidos no será igual en ambos recipientes: será 13,6 veces mayor para el recipiente que contiene mercurio.

La presión del líquido es la misma para todos los puntos del líquido que se encuentran a la misma profundidad: de otro modo, no habría equilibrio, y el líquido se desplazaría horizontalmente desde los puntos de menor presión hacia los de presión más grande.

Principio de Arquímedes

Cuando un objeto se encuentra sumergido total o parcialmente en un fluido en reposo, el líquido presiona sobre el objeto. Aparecen entonces fuerzas perpendiculares a la superficie del objeto y, como la presión crece con la profundidad, la parte inferior del objeto recibe más fuerza que la parte superior. El resultado de todas esas fuer-zas es una fuerza vertical, dirigida hacia arriba, denominada empuje.

En un cuerpo sumergido las fuerzas que empujan desde abajo superan a las que empu-jan desde arriba y, por eso, el fluido ejerce

Cualquier cuerpo íntegramente sumergido, independientemente del material de que está hecho, desplaza una porción de fluido del igual forma y volumen que la del propio cuerpo. La porción de fluido que ha de “sacarse” para hacer lugar al cuerpo está en equilibrio con su entorno por lo que el fluido circundante le ejerce fuerzas superficiales cuya resultante es una fuerza vertical hacia arriba de igual módulo que el peso de la porción de dicho fluido.

Al reemplazar el líquido por el cuerpo intruso el entorno no se ha modificado, por lo tanto ejercerá sobre el cuerpo de reemplazo la misma fuerza que recibía la porción de líquido desalojada.Esta situación se expresa mediante el Principio de Arquímedes:

“Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en repo-so, recibe un empuje vertical de abajo hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja”. Esta fuerza recibe el nombre de empuje

hidrostático.

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje (E) se puede expresar como:

donde, m es la masa y V el volumen.

El empuje actúa verticalmente hacia arriba y se puede considerar aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo (siempre que el cuerpo esté rodeado de fluido, para que la fuerza de empuje sea vertical). Ese punto recibe el nombre de centro de flotación o de carena.

Hundirse o flotar

El empuje que recibe el cuerpo depende del volumen del cuerpo sumergido y no de su peso. El valor del empuje es igual al del peso de la porción de líquido que desplaza

Un cuerpo sumergido completamente en un fluido se hundirá o flotará según cuál sea la relación entre su propio peso y el empuje

Si la densidad del cuerpo es mayor que la del fluido, el cuerpo tiene un peso mayor al peso del fluido que desaloja, y entonces se hunde hasta llegar al fondo

Si la densidad media del cuerpo es igual que la del fluido, el cuerpo tiene un peso igual al peso del fluido que desaloja, y entonces flota “a media agua”, es decir completamente sumergido.

Si la densidad del cuerpo es menor que la del fluido, el cuerpo tiene un peso menor al peso del fluido que desaloja, entonces el cuerpo sube hasta la superficie y flota semi-sumergido. En el equilibrio, el cuerpo flotante está sumergido parcialmente de manera que el peso del líquido desalojado equipare exactamente a su peso.

Del principio de Arquímedes surge que:

δ cuerpo > δ fluido entonces se hunde

δ cuerpo = δ fluido entonces flota completamente sumergido δ cuerpo < δ fluido entonces flota parcialmente sumergido

Ejercicios resueltos sobre hidrostatica:

1. Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2 X 1030 Kg. ¿Cuánto pesaría un volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la atracción gravitacional en la superficie de la tierra?

Solución: El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleración de gravedad. En consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a través del concepto de densidad, puesto que:

ρ= masa estrella volumen estrella

es decir, cada cm3 de la estrella tendrá una masa de 0,5x1012 Kg, por lo tanto en la superficie de la tierra pesará:

W = (0,5x1012 Kg)(9,8 m/s2) = 0,5x1012 N.

2. ¿Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar?. Suponga r = 1,03 X 103 Kg/m3 como densidad del agua de mar y que la presión atmosférica en la superficie del mar es de 1,01 X 105 Pa. Suponga además que a este nivel de precisión la densidad no varía con la profundidad.

Solución: En función de la profundidad la presión es:

P = P0 + r.g.h

Por lo tanto:

P = 1,01x105 Pa + (1,03x103 Kg/m3)(9,8 m/s2 )( h)

si h = 1 m : P = 1,11 x 105 Pa.

si h = 10 m : P = 2,02 x 105 Pa

3. Un recipiente cerrado que contiene líquido (incompresible) está conectado al exterior mediante dos pistones, uno pequeño de área A1 = 1 cm2 , y uno grande de área A2 = 100 cm2 como se ve en la figura. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F = 100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m puede levantar el pistón grande?.

Solución: Cuando actúa F1 sobre el pistón pequeño, la presión P del líquido en ese punto es :

P1= F 1F 2

¿100 N1 cm2

= 102 N10−4 N

=106 Pa

Como el pistón grande está a la misma altura, tendrá la misma presión P que el otro pistón, por tanto la fuerza F2 que actúa sobre él, es

F2 = P.A2

y el peso que puede levantar es:

F2 = m.g

por lo que se puede escribir:

P.A2 = m.g

De donde:

m= P . A2

g=

(10¿¿6 Pa)(10−2 ms2

)

9,8ms 2

¿

m= 1 020 Kg

4. Calcular el empuje que ejerce (a) el agua y (b) el alcohol sobre un cuerpo enteramente sumergido en estos líquidos cuyo volumen es de 350 cm3. El peso específico del

alcohol es de 0,8 gf

cm3

Solución :

a) El empuje del agua es igual al peso de los 350 cm3 de este líquido que el cuerpo desaloja y vale por lo tanto 350 gf.

(b) En alcohol corresponde al peso de 350 cm3 de este líquido. Conocido su peso específico, que es el cuociente entre el peso del líquido y su volumen:

Peso = Pe V = (0,8 gf

cm3 )(350 cm3) = 280 gf

5. Un recipiente contiene una capa de agua (P2 = 1,00 g

cm3 ), sobre la que flota una capa

de aceite, de densidad P1 = 0,80 g

cm3 . Un objeto cilíndrico de densidad desconocida P

cuya área en la base es A y cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el agua, sumergido en esta última hasta la profundidad de 2h/3 como se indica en la figura. Determinar la densidad del objeto.

Solucion:

El cuerpo está parcialmente sumergido en aceite y parcialmente sumergido en agua. Esta siendo sujeto de la acción de tres fuerzas: El peso, el empuje del volumen de aceite desplazado por el cuerpo y el empuje del volumen de agua desplazado por el cuerpo. Está en equilibrio por lo que las fuerzas se anulan, por lo que:

E1 + E2 - W = 0

con: E1 = P1.g.V = P1 g.A.h

E2 = P2.g.V = P2.g.A.h

reemplazando los datos:

P1.g.A.h + P2.g.A.h – P.g.A.h = 0

dividiendo por g.A.h se tiene :

P1 + P2 -P = 0

resolviendo para r y reemplazando:

P = 0,800g

cm3+ 1,00g

cm3= 0,933g

cm3

Ejercicios propuestos sobre Hidrostatica:

1. Determina la presión que ejerce un esquiador de 70 kg de masa sobre la nieve, cuando calza unas botas cuyas dimensiones son 30 x 10 cm. ¿Y si se coloca unos esquíes de 190 x 12 cm?

2. ¿Cómo se define 1 atmósfera?. A partir de la definición de atmósfera, halla la equivalencia entre atmósfera y Pascal, sabiendo que la densidad del mercurio es 13,6 g/cm3.

3. Calcula la presión ejercida sobre el suelo por un bloque de 25 kg de masa, si la superficie sobre la que se apoya tiene 80 cm2

4. Suponiendo que la densidad del agua del mar es 1,03 g/cm3, ¿a qué profundidad hay una presión de 2 atmósferas?

5. Un elevador hidráulico consta de dos émbolos de sección circular de 3 y 60 cm de radio, respectivamente. ¿Qué fuerza hay que aplicar sobre el émbolo menor para elevar un objeto de 2000 kg de masa colocado en el émbolo mayor?

Dinamica de fluidos o hidrodinámica

Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática,sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.

a) Flujos incompresibles y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:

A1.v1 = A2.v2 = constante.

b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.

El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí,porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es

turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

p1/δ + v1²/2 + g.h1 = p2/δ + v2²/2 + g.h2 + H0

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

c) Flujos de la capa límite

Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos.

La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.

d) Flujos compresibles

El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística,donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.

Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido.

El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 °C (293 Kelvin en la escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico),las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige hacia el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1.

Viscosidad:

Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.

La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura.

Ecuaciones de la hidrodinámica

Caudal ( Q )

Para la física la palabra caudal ( Q ) significa la cantidad de líquido que pasa en un cierto tiempo. Concretamente, el caudal sería el volumen de líquido que circula dividido el tiempo.

El caudal se mide unidades de volumen dividido unidades de ti empo. Generalmente se usan m3/seg o litro /seg. A veces también se usa kg/seg. Estas no son las únicas unidades que se usan. Que no te extrañe si en un problema te aparece un caudal en cm3/seg, dm3/seg o en litros /hora.

Nota: La unidad kilogramos / hora o kg /seg es lo que se llama " caudal másico ". Vendría a ser la cantidad de masa que pasa en un cierto tiempo. A veces te pueden dar como dato el caudal másico. ( O te pueden pedir que lo calcules ). Sabiendo el caudal másico puedo sacar al caudal en m3 por segundo dividiendo la masa por la densidad del líquido .

¿ Cómo se mide un caudal en la práctica ?

Rta: Muy simple. Mirá el dibujito. Si vos querés saber que cantidad de agua sale por la canilla de tu casa, ponés un balde abajo y te fijás cuanto tarda en llenarse.

Así se mide un caudal en la práctica.

Tomas el tiempo, te fijas cuantos litros cargó el balde y después haces la cuenta volumen dividido tiempo. Una canilla común tira entre 5 y 10 litros por minuto.

A veces podés tener situaciones má s complicadas y no podés medir el caudal de esta manera. Entonces se usan otros métodos má s raros. Por ejemplo, para saber que caudal bombea el corazón. ( El corazón bombea alrededor de 5 litros por minuto ).

El significado de la palabra caudal es parecido al que vos conocés de la vida diaria. Por ejemplo, se habla de un río caudaloso. ( = un río que lleva mucha agua). Se habla de caudal de autos en una autopista, caudal de información o de un gran caudal de turistas que llegan al país.

Otra formula para el caudal ( Q = Vx S )

Fijate lo siguiente: El caudal es el volumen que circula dividido el tiempo que pasa.

Entonces mirando el dibujito puedo hacer esta deducción. El líquido al moverse dentro del caño recorre una cierta distancia d. Entonces al volumen que circula lo puedo poner como Volumen = Sup erficie del caño x distancia.

Vamos a un ejemplo:

Una canilla llena un balde de agua de 10 litros en 2 minutos.

A) – calcular el caudal que sale por la canilla.

B) – sabiendo que la seccion de la canila es de 1 cm2 calcular con qué velocidad esta saliendo el agua.

a) Veamos. Tengo la canilla por la que sale el agua. Me dicen que salen 10 litros en 2 minutos. Entonces el caudal va a ser:

b) Para calcular la velocidad con que sale el agua planteo que el caudal es la velocidad por la sección. La superficie de la canilla es 1 cm2 . Entonces:

Ecuacion de continuidad

Fijate esto: Imaginate un caño que tiene un diámetro de 10 cm. Supongamos que por el caño están entrando 5 litros por minuto. Pregunta: ¿ qué cantidad de líquido está saliendo por la otra punta del caño ?

Rta: Esto no hay que pensarlo mucho. Es lo que te imaginás. Todo lo que entra , tiene que salir. Si entran 5 litros por minuto, tiene que estar saliendo 5 litros por minuto.

Dicho de otra manera, el caudal que entra es igual al caudal que sale. Si entran 5, salen 5. Si entran 10, salen 10. Conclusión:

Como al caudal lo puedo poner como Velocidad x Superficie, la fórmula que me queda es :

ECUACION DE

CONTINUIDAD

En esta fórmula Ve es la velocidad del líquido a la entrada y Se es la sección ( = superficie ) del caño a la entrada. Lo mismo con VS y SS para la salida.

A esta fórmula ellos la llaman " ecuación de continuidad ". El nombre " continuidad " significa algo así como que el caudal siempre es continuo, no se interrumpe.

Algo importante. Fijate que pasa lo mismo si el tubo tiene un angostamiento o un ensanche.Aunque el caño cambie su sección, siempre se cumple que todo lo que entra tiene salir.

LA ECUACION DE CONTINUIDAD

TAMBIEN SE USA SI EL TUBO

CAMBIA SU DIÁMETRO.

Así que esta ecuación de Ve x Se = Vs xSs se usa siempre para todo tipo de tubo, sea ancho constante o no. Esta fórmula no se podría usar únicamente si el caño tuviera una pérdida en el medio o si el líquido pudiera comprimirse. ( como si fuera un gas ). No problem. No te va a aparecer ninguno de esos casos.

Ecuacion de Bernoulli

Te diría que la ecuación de Bernoulli es la fórmula más importante de toda esta parte de hidrodinámica. Es la que más se usa y es la que trae má s problemas. Te doy la fórmula sin demostración. Esta ecuación es:

De este formula tenés que saber varias cosas:

1 – Esta fórmula es la ecuación de la conservación de la energía para el líquido que va dentro del tubo. Al plantear este choclazo, lo que uno plantea es la conservación de la energía. Conclusión: Bernoulli no se puede plantear si el líquido tiene viscosidad. En los líquidos, al rozamiento se lo llama viscosidad.

2- Es muy común hacerse líos con las unidades en la ec. de Bernoulli. Es lógico porque hay muchas letras raras. Te aclaro lo que significa cada cosa. Fijate:

Pent = Presión en la entrada. Va en Pascales = Newton /m2

Psal = Presión en la salida. Va en Pascales = Newton /m2

Delta: ( d ) Es la densidad del líquido. Va en Kg/m3

Vent = Velocidad del líquido en la entrada. Va en m/s

Vsal = Velocidad del líquido en la salida. Va en m/s

g : Aceleración de la gravedad ( = 10 m/s2 )

hent = Altura del líquido en la entrada. Va en m.

hsal = Altura del líquido en la salida. Va en m.

3 – Esta ecuación así como está vale en todos los casos y se puede usar siempre. Sirve si el tubo es vertical, es horizontal o si está inclinado. Tubo inclinado o tubo vertical es lo más difícil que te pueden llegar a tomar. Mirá bien estas 2 situaciones para que puedas reconocerlas si llega a aparecer un problema de este tipo. Un tubo vertical es lo siguiente:

El líquido puede estar subiendo o bajando. En este dibujo el líquido sube. El líquido también puede estar bajando. En ese caso cambian la entrada y la salida.

La otra situación complicada que puede aparecer es tubo inclinado. Sería este caso:

A su vez los tubos verticales o inclinados pueden cambiar de sección en el medio. O sea pueden cambiar de diámetro y hacerse más angostos o mas anchos.

Ecuacion de Bernoulli para tubos horizontales

Hay algo que puede llegar a salvarte si te toman un problema de Bernoulli. Es el caso de que el tubo esté horizontal. Si el tubo está horizontal la ecuación se reduce un poco.

Concretamente, los términos de la ecuación que tenían h se simplifican. Esto pasa porque al ser el tubo horizontal, la altura en la entrada es igual a la altura en la salida.Entonces, para tubos horizontales la ecuación queda así :

Van las mismas aclaraciones que te dije para la ecuación de Bernoulli completa:

Pent = Presión en la entrada. Va en Pascales = Newton /m2

Psal = Presión en la salida. Va en Pascales = Newton /m2

Delta: ( d ) Es la densidad del líquido. Va en Kg/m3

Vent = Velocidad del líquido en la entrada. Va en m/s

Vsal = Velocidad del líquido en la salida. Va en m/s

g : Aceleración de la gravedad = 10 m/s2

Analisis de las ecuaciones de continuidad y de Bernoilli

Puesto que veo que ya estás un poco mareado con tanto lio de fórmulas, te hago un pequeño resumen. Después del resumen te pongo unas conclusiones muy importantes de la hidrodinámica. (Atención)

En hidrodinámica tenemos 2 (dos) ecuaciones que se usan para resolver los problemas.Estas ecuaciones son las de continuidad y la de Bernoulli. Acá van:

La ecuación de continuidad me dice que todo el caudal (l/seg) que entra por un lado de un tubo, tiene que salir por el otro lado del tubo. Esto vale tanto si el tubo tiene diámetro constante como si el diámetro cambia. ( angostamiento o ensanche ).

En la ecuación de continuidad v es la velocidad del líquido y va en m/s. S es la superficie del tubo. Va en m2. Acordate por favor que la superficie de un círculo es: Sup = p . r2.Si pensás un poco, vas a ver que el término VxS da en m3/seg. Esto es lógico porque el término Vx S es el caudal que circula.

Acordate también que cuando yo digo “caudal que entra”, puedo estar hablando de litros/seg, m3/seg o Kg/seg. Tenés que saber pasar de una unidad a otra.

Vamos ahora a la ecuación de Bernoulli. En la ecuación de Bernoulli, Pe es la presión a la entrada del tubo y Ps es la presión a la salida del tubo. Van en la fórmula en Pascales. ( Pa = Newton /m2 ). d (delta) es la densidad del líquido que circula. Va en Kg/m3. Ve y Vs son las velocidades a la entrada y a la salida del tubo. Van en la fórmula en m/seg. g es la aceleración de la gravedad. Es siempre positiva y vale 10 m/seg2. h (hache) es la altura del tubo al suelo. Si el tubo es horizontal h1 = 0 y h2 = 0. (No hay altura). h1 y h2 van en la ecuación en m.

De las ecuaciones de continuidad y Bernoulli sacamos varias ideas importantes. Fijate :

Concepto uno: A mayor sección, menor velocidad

De la ecuación de continuidad hago una deducción importante: si el valor Vx S siempre se tiene que mantener constante, entonces donde el tubo sea más angosto la velocidad será mayor.

Esto pasa porque el caudal que circula es constante. Entonces si el tubo se hace má s angosto, para que pueda circular el mismo caudal, la velocidad de líquido tiene que aumentar. Exactamente lo contrario pasa si el caño se hace mas ancho. La velocidad del líquido tiene que disminuir para que pueda seguir pasando el mismo caudal.

Vamos ahora a la 2da deducción importante que podemos hacer en hidrodinámica.

Concepto dos: A mayor velocidad, menor presión

Algo importante que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli es que en el lugar donde la velocidad del líquido que circula sea mayor, la presión será menor. Aclaración importante:Esto pasa solo si el tubo es horizontal. ( Ojo). Recordá la fórmula para tubos horizontales:

Es un poquito complicado explicar como se deduce que a mayor velocidad del líquido, menor presión. A ver si me seguís: Fijate que la ecuación tiene 2 términos del lado izquierdo y 2 términos del lado derecho.

En realidad el término Pe + ½ d Ve2 vale lo mismo que el término PS + ½ d Vs2 . Quiero decir, si el lado izquierdo de la ecuación vale 5, el lado derecho también tiene que valer 5.Entonces, fijate esto. Supongamos que vos estás regando con una manguera y apretás la punta. El diámetro de la manguera se achica y ahora el agua sale con mayor velocidad.

Lo que hago es aumentar la velocidad de salida. Al aumentar la velocidad de salida, la

Presión de salida tendrá que disminuir. ¿ Por qué ?

Rta: Bueno, v aumenta, pero el término PS + ½ d Vs2 tiene que seguir valiendo lo mismo que antes. Entonces PS tiene que hacerse más chica para que se siga cumpliendo la igualdad.

Es decir que si la velocidad a la salida aumenta, la presión a la salida va a disminuir.Este concepto de que " a mayor velocidad, menor presión " es bastante anti-intuitivo. Lo que

termina pasando es al revés de lo que uno diría que tiene que pasar. Lo razonable sería decir que " a mayor velocidad, mayor presión ". Pero no es así. Lo que ocurre en la realidad es lo contrario. Es decir, repito, a mayor velocidad, menor presión.

El concepto de " mayor velocidad, menor presión " tenés que saberlo porque se usa un montón en los problemas. También es común que tomen preguntas teóricas que finalmente se terminan resolviendo aplicando la idea de que " a mayor velocidad, menor presión ".

Concepto tres: A mayor seccion, mayor presion

Hasta ahora relacioné el concepto de sección con el de velocidad y el concepto de velocidad con el de presión. Ahora voy a relacionar el concepto de sección con el de presión. Fijate:Por un lado te dije que a menor sección, mayor velocidad. ( Continuidad ). Por otro lado te dije que a mayor velocidad, menor presión. ( Bernoulli en tubos horizontales ). Uniendo estas 2 ideas en una sola, puedo decir que a menor sección, menor presión. O lo que es lo mismo, a mayor sección, mayor presión.

Esta conclusión significa que donde mayor sea el diámetro del tubo, mayor va a ser la presión en el líquido que circula. ( Esto vale sólo para tubos horizontales ).Si pensás un poco te vas a dar cuenta que esta conclusión también es bastante anti-intuitiva. Pero bueno, Así son las cosas. ( Bienvenido a la hidrodinámica ).

Hagamos un esquema y resumamos las 3 frases célebres de la hidrodinámica :

A veces en los problemas piden calcular la diferencia de presión. Diferencia significa resta. Esto quiere decir que te están pidiendo que hagas la cuenta Psalida – Pentrada . Entonces:

P = Ps – Pe

Ejemplos de aplicación del teorema de Bernoulli

Hay algunas situaciones que suelen tomar en los parciales. Pueden ser preguntas teóricas o pueden ser problemas en donde haya que aplicar Bernoulli. Fijate:

1 -teorema de Torriccelli

Imaginate un tanque con agua. Le hacés un agujero a una profundidad h por debajo de la superficie. El agua va a empezar a salir con cierta velocidad.

El teorema de Torriccelli te da la manera de calcular la velocidad con la que sale el agua por el agujero. La fórmula de Torriccelli es :

En esta fórmula g es la aceleración de la gravedad. Vs es la velocidad con la que sale el agua en m/s. Hache es la profundidad del agujero. Va en metros y se mide desde la superficie del agua. Atención: El agujero puede estar en las paredes o en el fondo del tanque.

2 - Sifon

Para la física, un sifón es un cañito que se usa para pasar líquidos de un lado a otro . Vendría a ser una cosa así:

Lo que uno puede calcular aplicando Bernoulli es la velocidad con que va a salir el agua.

Al igual que pasa en el teorema de Torriccelli, acá también la velocidad de salida es raíz de 2 ge hache:

Atención: Acá h es la distancia que va desde la parte de abajo del tubo hasta la superficie del agua.

3- Viento sobre un cartel

Imaginate que tenés un cartel o alguna superficie plana en donde pega el viento.

El viento ejerce una fuerza al pegar sobre el cartel. Esa fuerza se puede calcular porBernoulli. La fórmula es :

En esta ecuación de aire es la densidad del aire ( = 1,3 kg/m3 ). VA es la velocidad del aire en m/seg. Sup C es la superficie del cartel en m2 .

4 - Arteria o vena con una obstrucción.

Parece que en la medicina es bastante común que las arterias o las venas se taponen con cosas tipo colesterol y demás. Concretamente la situación es esta:

Si se le pregunta a una persona que cree que va a ocurrir con la arteria cuando se obstruye, la respuesta mas común es esta: Y bueno, al chocar con la obstrucción, la sangre se va a frenar y va a empezar a presionar hacia fuera porque quiere pasar. Por lo tanto la arteria se va a dilatar y se va a formar como un globo.

Este razonamiento es muy lindo y muy intuitivo pero está MAL. Lo que pasa es justo al revés. Fijate. El caudal que ma nda el corazón es constante. Este caudal no se frena por ningún motivo.

Para poder pasar por la obstrucción lo que hace la sangre es aumentar su velocidad.( La velocidad aumenta porque el diámetro de la arteria disminuye ).Entonces,…¿ qué es lo que pasa ?

Y bueno, razonemos con la frase salvadora de la hidrodinámica. Esta frase es:

Conclusión: al aumentar la velocidad dentro de la arteria, la presión adentro tiene que disminuir. Pero afuera de la arteria la presión sigue siendo la misma. Entonces la presión de afuera le gana a la presión de adentro y la arteria se comprime.

¿ Y qué pasa al comprimirse la arteria ?

Rta: La obstrucción se cierra más. Esto provoca un aumento de la velocidad dentro de la obstrucción, lo que a su vez obliga a la arteria a cerrarse más todavía.

De esta manera, la arteria se va cerrando más y má s hasta que sobreviene el colapso.Esto significa que la arteria tiende a cerrarse del todo e impide el pasaje de sangre.

Esto es lo que ocurre cuando una persona tiene un ataque cardíaco. Creo que también pasa en el cerebro y en otros lados. Me parece que a este asunto los médicos lo llaman trombosis o algo así. Esta es una de las pocas aplicaciones verdaderas que tiene la biofísica a la medicina.

Problemas resueltos de hidrodinámica

1.-Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El

espacio encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de

. De un orificio en el fondo se quita un tapón que cierra un área de . Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón.

Solución:

Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual magnitud, pero de dirección opuesta a la fuerza con que es expulsado. Por otro lado, el segundo principio de Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en su cantidad de movimiento. Justo al ser soltado la cantidad de movimiento del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, habrá sido expulsado un elemento de líquido de masa dm, que tendrá una velocidad v2 en dirección hacia abajo.

En consecuencia:

Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba será la comunicada al tanque, la que debe ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre él, de modo que :

de donde :

La velocidad de salida puede calcularse con la ecuación de Bernouilli:

pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y h2 = 0, usándola como referencia :

por lo que :

reemplazando :

F = 5 212 000 D = 52,12 Newton

Cuando la presión P1 es suficientemente grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete

2.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se

muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de Su velocidad en el

extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s, y la presión allí es de y el radio de la

sección es r0 = 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5 cm. Encontrar la presión P1 en ese extremo.

Solución:

La presión se puede encontrar mediante la ecuación de Bernouilli ; sin embargo, previamente necesitaremos calcular la velocidad v1 con la ecuación de continuidad :

de donde :

Ahora, según Bernouilli :

Note que si ponemos una válvula y cortamos el flujo de agua, sube !

3.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presión P1 en la parte superior

Solución:

Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v0 = v1 = v

En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene :

de donde :

¡La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm! Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a las velocidades. Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energía potencial del fluido en movimiento.

4.- Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?

Solución:

Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal manera que según la ec (27):

G = A v

por lo que :

Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla.

Es decir, se debe cumplir la relación:

de donde se tiene:

Este ejemplo es interesante, puesto que muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que permite regar a distancias convenientes. Note que ha disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a la relación cuadrática de las áreas.

5.- Por una tubería inclinada circula agua a razón de como se muestra en la

figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a?

Solución:

Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que:

de donde se pueden calcular las velocidades en a y en b :

También se puede ocupar la ecuación de Bernouilli para relacionar ambos puntos, de la que se puede calcular la presión en b:

Problemas propuestos de hidrodinamica

1.- Un depósito cilíndrico abierto por su parte superior tiene 20 cm de altura y 10 cm de diámetro. En el centro del fondo del depósito se practica un orificio circular cuya área es de 1

El agua penetra en el depósito por un tubo colocado en la parte superior a razón de 140

¿Qué altura alcanzará el agua en el depósito?

Respuesta: 10,0 cm

2.- Un sifón de sección transversal de se utiliza para vaciar un depósito de agua. El tubo se halla inicialmente lleno de agua y con los dos extremos cerrados, uno situado en el interior del depósito, a 0,25 m por debajo de la superficie. El otro extremo se encuentra en el exterior a una distancia de 0,5 m por debajo del extremo inmerso.

a) ¿Cuál es la velocidad inicial del agua que sale por el tubo cuando se abren sus extremos?

b) ¿El flujo es continuo?

c) ¿Cuál es la velocidad del agua cuando la superficie de ésta en el depósito ha descendido hasta 0,1 m por encima del extremo inmerso?

Respuesta:

a) 3,83 m/s

b) si, hasta que el nivel del agua cae 0,25 m

c) 3,43 m/s

3.- Un tubo horizontal de 3 plg de diámetro se conecta al fondo del tanque del problema anterior. Se encuentra que la presión manométrica de esta tubería es de

a) Calcular la velocidad de flujo en el tubo (desprecie la velocidad dentro del tanque)

b) Después de determinada longitud horizontal el diámetro de la tubería de agua se reduce a 2 plg. ¿Qué velocidad de flujo habrá en esa parte del conducto?.

c) ¿ Qué presión manométrica habrá allí ?.

Respuesta:

a) 29,0 pie/s

b) 55,25 pie/s

c) 5,02 lbf/plg2

4.- ¿ Qué masa de mercurio sale en 3 minutos por un orificio practicado a una pared delgada, si la altura del líquido es constante e igual a 20 cm y el orificio es rectangular, siendo sus dimensiones 4 mm y 3 cm ?

Densidad del mercurio =

Respuesta: 587,52 Kg

5.- Desde un depósito estacionario fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura. La altura del punto 1 es 10 m, la de los puntos 2 y 3 es de 1 m.

La sección transversal en el punto 2 es de 0,04 y de 0,02 en el punto 3. La superficie del depósito es muy grande comparada con las secciones transversales del conducto.

a) Calcúlese la presión manométrica en el pto. 2

b) Calcúlese el caudal expresado en metros cúbicos por cada segundo

Respuesta:

a) 67500 Pa

b) 0,266

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