hélio magalhães de oliveira , hmo@ufpehmo/slides_seminario.pdf · abordagem (pouco formal, mas...

Entrando na Onda...

1

Hélio Magalhães de Oliveira, [email protected]

Departamento de Eletrônica e SistemasUniversidade Federal de PernambucoCidade Universitária Recife - PEURL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html

Wavelets: Entrando Na Onda

2

Wavelets:Uma Evolução na Representação de

Sinais

• A análise espectral constitui uma dasferramentas clássicas mais poderosas.

• Uma teoria mais potente e geral foiintroduzida nos anos 80: A Transformada deWavelet

• Ela inclui: Série de Fourier, a Transformadade Fourier, a Transformada de Gabor deTempo Curto, Espectrogramas.

• Wavelets constituem hoje uma dasferramentas potentes em PDS.

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann,Meyer, Battle, Lemarié,Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)

... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.


3

Em 1909, a primeira menção: tese de doutoradode Alfred Haar, análise escalonada.

As Wavelets de Haar, embora de suportecompacto não são continuamente diferenciáveis.

Década de 80, Alex Grossmann (Université deMarseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine)introduziram o conceito de wavelets

Morlet recebeu o prêmio Reginald FessendenAward 1997.

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceua ligação desta teoria com o processamento digital desinais.

Yves Meyer (França) construiu uma dasprimeiras Wavelets não triviais, continuamentediferenciáveis.

Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o maisusado conjunto de wavelets ortogonais de suportecompacto (tempo-limitada).


4

Jean Morlet. (ecce homo!)

Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana

radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos

turbulência

distinção celular (normais vs patológicas)

modelos para trato auditivo

compressão de imagens

descontaminação de sinais (denoising)

detecção de rupturas e bordas


5

análise de tons musicais

neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos

análise de sinais médicos

espalhamento em banda larga

modelagem de sistemas lineares

óptica

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos

reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência

Metalurgia (rugosidade de superfícies)

visualização volumétrica

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros

Estatística

solução de eq. dif. ordinárias& parciais


6

Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:

"La Théorie Analytique de la Chaleur":

Ondas senoidais como elementos de vibrações eondas periódicas verdadeiros átomos dasflutuações e do fluxo.

Os sinais passaram a ser analisados no domíniode Fourier, i.e., no domínio da freqüência.

A decomposição evoluiu para a representação viatransformada de Fourier.

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t),

-∞< t < +∞ é ∫+∞

∞−

−= dtetfwF jwt)(:)( , denotada

algumas vezes )]([ tfℑ , se a integral imprópria

existe. o


7

Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao

domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER):

∫∞+

∞−= dwewFtf jwt)(

2

1)(

π . oo

par transformada: f(t) ↔ F(w).

TEOREMA DE PARSEVAL.

Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energiafinita. Então a energia do sinal pode ser calculadaem qualquer dos domínios, i.e,

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−= dffFdttf 22 |)(|)( . o

Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode

ser mais potente que a análise espectral clássica

de Fourier? De onde surgiram as wavelets?


8

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Os sinais devem ser tratados não nodomínio t ou domínio f, mas em ambos(espaço conjunto tempo-freqüência)!

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é queela não apresenta um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞)

até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.

A transformada de Fourier representa um

"comportamento global médio" do sinal.


9

(a)

(b)Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal

(possivelmente) estacionário,

(b) Ilustração de um trecho de um possívelsinal não estacionário.

A transformada de Fourier analisa a

contribuição de cada componente harmônica no

sinal como um todo.


10

O sinal estacionário apresenta umcomportamento "mais ou menos" semelhante emqualquer trecho analisado...

Abordagem (pouco formal, mas suficiente).

Figura. Sinal com linha de base.

Evolução na TF clássica:

(STFT) Transformada de Gabor, outransformada de janela (transformada de Fourier detempo curto).

Esta transformada introduz um caráter locale passa a depender fortemente do instante detempo analisado.


11

Primeiro passo na direção das wavelets: a

introdução de um caráter local.

Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a

contribuição espectral fosse analisada, resultando em

um espectro local.

seqüência de "fotos" do espectro:

... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindotemporalmente.

Sinais práticos " bem comportado" com relação à

estacionaridade: sinais periódicos.

Não é a toa que a análise clássica de Fourier é

freqüentemente restrita a esta classe de sinais.


12

FOTOS:

• Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos,15, 20, 25 e 30 anos).

• Uma única foto representativa do indivíduo,uma "foto média". Essa foto média representao espectro de Fourier.

• Um caráter local (no tempo) => trabalhar commais fotos, => maior complexidade,capacidade de armazenamento/ processamento

A classe de sinais, cujo espectro permanece

relativamente independente no tempo, são referidos

como sinais estacionários.

Os não-estacionários trazem variações

substanciais e significativas de padrão e

comportamento, dependendo do instante de tempo

considerado.


13

É como se, "de repente", no meio de uma

seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas

semelhantes, surgisse uma foto de algum animal

completamente diferente (e.g., girafa).

Diferentes níveis de "estacionaridade":

Ø seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoaem diferentes tempos;

Ø seqüência de fotos de pessoas diferentes emtempos diferentes, porém de uma mesma raça(origem);

Ø seqüência de fotos de pessoas diferentes emtempos diferentes, porém de origens diferentes;

Ø seqüência de fotos de diferentes animais emtempos diferentes (levando em conta algumaspecto da classificação de Lineu);

Ø seqüência de fotos arbitrárias diferentes emtempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc.


14

Quando o espectro de Fourier passa a não tersentido?. A resposta não é fechada.

Depende do que se deseja e quanto se pode"pagar".

A Transformada de Gabor

Embora capaz de determinar o conteúdo de

freqüências presentes em um sinal, não há noção de

quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem.

A transformada de Fourier não fornece umaanálise temporal, apenas freqüencial.

Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT

– Short Time Fourier Transform) também conhecida

como a Transformada de Gabor.


15

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de

freqüência local (local no tempo) como se a

"Transformada de Fourier Local" observasse o sinal

através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal

permanece aproximadamente estacionário.

A transformada local observa f(t) "através" de

uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de

extensão "limitada", antes do cálculo do espectro.

Formalmente,

dtô) e(tt)Wf(STFT(w jwt* −+∞

∞−−= ∫:),τ .


16

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal

f(t), composta por características espectrais

dependentes do tempo.

Janela: a mais comum é janela Gaussiana.

f

t

f1

f2

f

f1

f2

t1

Figura. Análise espectral com Transformada deFourier clássica e em tempo curto.

As próximas perguntas:

q Por que a STFT não é suficiente?

q O que seria mais apropriado, além de um

transformada local (wavelets também são

locais)?


17

A necessidade da segunda operação básica daswavelets, o escalonamento, também pode serentendida neste contexto.

A Guisa de uma Análise de Wavelets

Alternativa para abordar o plano conjunto

tempo-freqüência :

A análise visualizada como um banco de filtros.

resolução no tempo deveria aumentar com oaumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte(ou fator de qualidade Q constante).

Q constante: as resoluções t e f mudam com a

freqüência central, satisfazendo ainda o princípio da

Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula básica).


18

FOTOS NOVAMENTE:Deve-se usar uma representação para um indivíduode meia-idade com uma meia dúzia de fotos

(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos).(1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).

O comportamento das respostas ao impulso dosfiltros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido,gerando "ondinhas".

Figura. Exemplo de uma ondinha:ondelette de Morlet (Matlab).

As wavelets podem ser interpretadas como

as transformadas lineares locais geradas por

um banco de filtros de fator de qualidade

constante.


19

domínios tempo e freqüência (f × t)domínios escala e deslocamento (a × b).

Interpretação: "mapas".

Uma mudança de escala pode permitir,

numa escala maior, ter uma visão mais global,

mas com menor precisão. Já em uma escala

menor, vê-se detalhes, mas perde-se em

estudar o comportamento global.

1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo1: 3.500.000, analisar Pernambuco,

perdendo-se a noção do Brasil como um todo.

Quem já usou mapas sabe que depende

fundamentalmente do que se quer investigar! A

análise via wavelets permite, por assim dizer,

visualizar tanto a floresta quanto as árvores.


20

Na Transformada Contínua de WaveletCWT, todas as respostas ao impulso no banco defiltros são versões (expandidas ou comprimidas) damesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.

Assim,

ta

ttf

aa )d()(

1:),CWT( *∫

∞+

∞−

−=

τψτ

. o

no rol das Transformadas Lineares...

A função ψψ(t) é conhecida como wavelet mãe.

A partir dela geram-se versões modificas nodecorrer da transformada.

Ela é um protótipo para a geração de outras

funções janela: versões dilatadas e comprimidas da

mesma "wavelet mãe".


21

ff 2f 3f 4f ...0 0 0 0

ff 2f 4f 8f .... 0 0 0 0

Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura. Análise Espectral com banco de Filtros:(a) STFT e (b) WT.

Toos os filtros são da mesma família (e.g., filtrosBPFs Gaussianos, centrados em freqüênciasdistintas, porém todos com o mesmo fator dequalidade Q).


22

Wavelets Contínuas

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transformada de Wavelet foi

desenvolvida como uma alternativa à STFT

para solucionar o problema da resolução.

Fixada a janela para a STFT, a resolução notempo (t) e na freqüência (f) permanecem constanteem todo o plano t-f.

CWT:

§ Alta resolução temporal e baixa freqüêncial parafreqüências mais altas

§ Alta resolução freqüêncial e baixa resoluçãotemporal para freqüências mais baixas.


23

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

Figura . Resolução no plano t-f pela análise(a) STFT (b) Transformada de Wavelet.


24

A Transformada de Wavelet Contínua CWT

ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) ∈ L2(ℜ). ∫+∞

∞−+∞<dtt)(2ψ

Operações:

a) escalonamento

=

a

t

ata ψψ

||

1)( , a≠0.

b) deslocamento )()( bttb −= ψψ .

c) deslocamento com escalonamento

=−= )()(, btt aba ψψ

−

a

bt

aψ

||

1. o

)}({)}({ , tt baψψ → (∀a, a≠0) (∀b∈ℜ).

versão: Comprimida da wavelet mãe, se a<1;

Dilatada da wavelet mãe, se a>1.


25

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi

introduzido visando garantir a isomeria: todas as

ondelettes tem a mesma energia!

2,

2 ||)(||||)(|| tt baψψ = .

Portanto, a escolha das wavelets como sendo

versões

−

a

bt

aψ

||

1 garante a mesma energia para

qualquer wavelet!

Define-se

CWT(a,b):= ∫+∞

∞−dtttf ba )()( ,

*ψ =< f(t),ψψa,b>. oo

Analogia com Fourier:

F(w)= ∫+∞

∞−

− dtetf jwt)( =< f(t),ejwt >.


26

Ø Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ondas { } ℜ∈wjwte

que constituem uma "base" do espaço de sinais.

Esta "base" de Fourier é composta por sinaisoscilatórios perpétuos - traduzindo o fato queFourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞.

Ø Wavelets:

decomposição de f(t) em sinais { }ℜ∈ℜ∈ + baba t

, *)(ψ

que constitui um novo conjunto de análise doespaço de sinais.

Esta nova "base" é composta por sinaisoscilatórios de curta duração - e não sinais abaeterno.

A combinação oscilatório (daí o termo onda) ede curta duração (inha) gera o termo ondinhas,ondeletas, ondelettes no original, ou de forma jáconsagrada, wavelets.


27

Um critério para definir wavelets:

• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seuvalor médio no domínio temporal é nulo.

∫+∞

∞−= 0)( dttψ

• Condição de admissibilidade,

Dado o par transformada de Fourier:

)()( ωψ Ψ↔t , ∞+<

Ψ∫∞

∞−

)(

2

ωωω

d o

+∞<Ψ

≡ ∫∞+

∞−ζ

ζζ

ψ dC||

|)(| 2

=> 0)(

0

lim =Ψ→

ζζ .

0)0( =Ψ => ∫+∞

∞−= 0)( dttψ .


28

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como

um banco de filtros, note os seguintes fatos:

0)0( =Ψ (pela admissibilidade)

0)( =±∞Ψ (pois ψ é de energia finita).

Dado ε >0 arbitrário, ∃ α, β ∈ ℜ, 0 < α < β <+∞ tal que

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β. o

Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro

Ψ pode ser essencialmente não nulo.

Figura. Comportamento de )(wΨ tipo passa-faixa.


29

O escalonamento é o processo de

compressão e dilatação do sinal. O

parâmetro de escala "a" usado em Wavelets

tem interpretação grosso modo idêntica à

escala empregada em mapas cartográficos.

O termo |a|-1/2 é um fator de normalização da

energia do sinal e 0 ,1

)(, ≠

−

= aa

bt

atba ψψ é uma

transformada afim.

Uma wavelet )(, tbaψ é definida por um

mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são

versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a)

de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-

mãe ψ(t).


30

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes

escalas e localizações.

Uma Transformada inversa de Wavelet pode serobtida via

2)(

1),(

1)(

a

dadb

a

bt

abaCWT

Ctf ∫ ∫

∞+

∞−

∞+

∞−

−

= ψψ

.

Uma das primeiras transformadas WT

corresponde a Wavelet de Morlet, cuja Wavelet

mãe é ψ(t)=exp(-t2/2).exp(jw0t). Note que ela

corresponde a um BPF gaussiano.


31

A Transformada Inversa (CWT-1) e aCondição de Admissibilidade

Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e ψa,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ).Sob que condições é possível "pegar uma onda"?(catch the wave...)

Escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ(t) ↔ Ψ(w) e +∞<

Ψ= ∫

∞+

∞−ζ

ζζ

ψ d||

|)(|C

2

.

A wavelet utilizada no processo de reconstrução

é referida sempre como wavelet dual. Por isso ψ*(t)

é chamada de "dual" da wavelet ψ(t).


32

Formula de inversão sob condições menos restritivas

Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) ∈

L2(ℜ), ψ(t) ↔Ψ(w), é dita ser uma wavelet diádica

se e somente se satisfaz a condição de estabilidade,

i.e., ∃ A,B ∈ℜ 0<A≤B<+∞

tais que ∑∈

− ≤Ψ≤Zm

m BwA |)2(| . o

Estas wavelets não obedecem a condição de

admissibilidade (porém obedecem a condição de

estabilidade, menos restringente) e não são wavelets

ortogonais.

A recuperação (fórmula de transformada inversa) se

faz com o auxílio da wavelet dual.


33

Exemplos: Um mar de Wavelets

Existe um grande número de funções que podemser eleitas como wavelets mãe.

Nome da família de Wavelets

'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.'deO' de Oliveira wavelets.'legd' Legendre wavelets.'mth' Mathieu wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. o

Wavelet de Haar


34

Por simplicidade, considera-se um sinalconstante por partes. Bases de sinais constantes porpartes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso

1t0

0t1-

02

12

1

:)()( ≤<≤<

−

=tHψ.

Estas são versões do tipo "wavelet digital".

Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets).


35

Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.

Wavelet Sombrero

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que)('')( tt ρψ −= é a wavelet sombrero (chapéu

mexicano), por razões óbvias.

3

)1(2)(

4/1

2/2)(

2

πψ

tMhat et

t−−

= .

Figura. Wavelet Sombrero. Matlab.Wavelet densidade Gaussiana


36

Uma wavelet simples derivada da função

densidade gaussiana (gaus1) é dada por:

41

22

21

/

/t)fdG( te

:gaus)t(π

ψ−

== .

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

10.644

0.644−

ψ x( )

88− x

Figura. Wavelet derivada da densidade de

probabilidade gaussiana: gaus1 e gaus8.

Wavelet complexa de Morlet


37

Morlet propôs uma das primeiras wavelet deinteresse na análise de sinais.

Em sua investigação de sinais geofísicos(exploração de petróleo), empregou a waveletcomplexa:

tjwtMor eet 02 2/

4/1)( 1

)( −−=π

ψ.

Figura. Wavelet complexa de Morlet.(parte real e parte imaginária).

Wavelet de Shannon


38

A análise correspondente aos filtros passa-faixa

ideais define uma decomposição usando wavelets

conhecidas como wavelets de Shannon.

Espectro da Wavelet real:

∏∏

+

+

−

=Ψπ

ππ

π 2/32/3)(

www .

Tomando a transformada inversa:

=

2

3cos

2)()( tt

SatSha ππψ .

Assumindo t=2x+1,

12

)2sen())1(2sen(2)()(

+−+

=x

xxxSha ππ

πψ .


39

No caso da wavelet complexa, pode-se usartjCSha etSinct πψ 2)( )()( −= .

(a) (b)

Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A waveletcomplexa de Shannon (Matlab).

Constata-se facilmente que esta wavelet tem

suporte infinito (i.é., ∃/ M tal que |ψ(t)|=0 ∀|t|>M).


40

Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no domíniofreqüencial como:

≤≤

−

≤≤

−

=Ψ

contrário. caso 0

/38|w|/34 14

||3

2cos

2

1

/34|w|/32 12

||3

2sen

2

1

)( 2/

2/

πππ

υπ

π

πππ

υπ

πjw

jw

ew

ew

w

.

Figura. Wavelet de Meyer:

(a) função de escala (b) wavelet. Matlab®.


41

Wavelets de Daubechies

Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas nadecomposição são ortogonais.

As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer,Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto.

Haar são ortogonais e de suporte compacto,porém não são diferenciáveis.

Um dos maiores desafios da teoria de waveletsfoi a construção de uma família de waveletsortogonais de suporte compacto.

Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):As Daublets Matlab.


42

Figura. Diversas versões de uma db2.

Estas formas de onda são ortogonais (!).


43

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets maissimétricas as quais foram projetadas para garantirmomentos nulos tanto na função de escala )(tφquanto na wavelet-mãe )(tψ .

Elas foram criadas Daubechies sob demanda deR. Coifman em 1989. São também wavelets desuporte compacto.

Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n énúmero de momentos nulos.


44

Wavelet de "de Oliveira"

Possuem espectro típico passa-faixa ideal

(plano), com regiões de "rolamento" assimétricas,

porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-

constante.

Mostra-se que a wavelet complexa de "deOliveira" é dada por

( ).)( )(2/)( wSew deOjwdeO −=Ψ ,

onde ( )wSw deOdeO )()( |)(| =Ψ .

Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira"


45

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : Parte real

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : parte imaginária.


46

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal

unidimensional (no tempo) em uma

representação bidimensional (tempo, escala)

que é altamente redundante.

As wavelets agora não são transladadasnem escalonadas continuamente, mas sim emintervalos discretos.

Isto pode ser feito com uma pequenamodificação na wavelet contínua.

−=⇒

=

m

mo

mba

a

anbt

at

a

b

at

0

0

0

nm,,

1)(

-t1)( ψψψψ

onde m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro dedilatação fixo, b0 é o fator de translação fixo e bdepende agora do fator de dilatação.


47

A Transformada Discreta de Wavelets:As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)

Formas discretas são atraentes do ponto de vista:

i) implementação e ii) computacional.

A discretização da WT

1) ocorre apenas no domínio dosparâmetros (variáveis de escala e translação),

2) não na variável independente do sinal aser analisado (tempo ou espaço).

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é indexada por dois inteiros m e n:

m => passos na escala discreta

n => passos das translações discretas.Fixam-se dois valores dos passos, a0 e b0.


48

Escala discreta (logarítmica): a=a0m m=1,2,3,...

Translações discretas: b=nb0a0m n=1,2,3,... dado m.

Assim

∫∞+

∞−

−== dt

a

anbttf

anmCTWSbaWT

m

m

m0

00

0

)(1

:),(),( ψ . o

Note que:

f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,

coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.

Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n)

são definidas apenas para valores positivos de escala

(a0>0), porém esta restrição não é severa.


49

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do

tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+ -{0} × Ζ)

f(t) |→ CTWS(m,n)

Enunciado de outra forma: sinais contínuos de

energia finita são mapeados em uma grade

bidimensional de coeficientes de wavelet.

Interessante observar que a DWT é mais análogaà uma representação em série de Fourier ao invés deuma DFT:

• Série ∑+∞

−∞=n

tjnwneF 0

representação de tempo

contínuo, com coeficientes discretos

• DFT ∑−

=

1

0

2

)(N

k

N

nkj

ekfπ

representação em tempo

discreto, com espectro discreto.


50

Reticulado: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a

pontos num retículo no domínio escala-translação.

A grade é indexada por dois inteiros m e n,

controlando a discretização da escala e translado.

O reticulado uniforme no plano escala-

deslocamento é expresso por:

{ } Znmba nbma ∈=∆ ,00, ),(00 .

Já o reticulado definido pelas wavelets no plano

escala deslocamento é o reticulado hiperbólico

{ } Znm

mmba bnaa ∈=∆ ,000, ),(

00

Caso diádico: a0=2 e b0=1 e { } Znmmm n ∈=∆ ,1,2 )2,2( .


51

m (escala)

n (deslocamento)

Figura. Resolução de transformadas wavelets:plano translação-escala.

A Transformada Discreta de Wavelets:Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)


52

Além da discretização do plano escala-

translação, a variável independente do sinal pode

também ser discretizada.

Neste caso, define-se:

∑+∞

−∞=

−==

km

m

m a

anbkkf

anmDTWSbaWT

0

00

0

)(1

:),(),( ψ . o

Assim, as DTWS consiste em um mapeamentodo tipo

DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+ -{0} × Ζ)

f(k) |→ DTWS(m,n).

Enunciado de forma alternativa: sinais discretos

de energia finita são mapeados em uma grade

bidimensional de coeficientes.


53

Interessante observar que a DTWS é mais

análoga à uma representação do tipo DFT que em

série de Fourier.

O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-seentão este fator de escalonamento, o que é referidocomo escalonamento diádico. O menor passo inteirode translação temporal é b0=1.

Wavelets diádicas:

( )∑+∞

−∞=

−− −=k

mm nkkfnmDTWS 2)(2),( 2/ ψ.


54

Em resumo:

CWT(a,b)= ∫∞+

∞−

− −dt

a

bttfa )(*)(2/1 ψ

( )∫+∞

∞−

−− −= dtnttfnmCTWS mm 2)(2),( 2/ ψ

( )∑+∞

−∞=

−− −=k

mm nkkfnmDTWS 2)(2),( 2/ ψ . o


55

Um Estudo de Caso:Decomposição via Daubechies db2 para ECG

Decomposição wavelet (AMR) usando db2 paraum sinal ECG, com seis níveis de decomposição.

ECGFigura. Análise de ECG com db2.


56

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, awavelet mãe db2.

Lembra decomposição em série de Fourier: Os

"harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas,

mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não

perpétuas).

Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira

ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados os

detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para

compor a aproximação.

Maior grau de liberdade é conferido àanálise, pois o mesmo sinal pode serdecomposto via um grande número dediferentes wavelets, ao invés de sempreser decomposto em componentessenoidais.


57

Aplicações de Wavelets

Provocações... (!)

Wavelets em Descontaminação de Sinais

Infelizmente, descontaminação é um problema

difícil não há fronteiras de distinção entre o sinal

e o ruído.

Métodos de descontaminação: suprimir

"algumas" componentes "incoerentes" com o sinal

de informação.

As wavelets tem se mostrado como ferramentas

importantes no combate e remoção de ruído.


58

• sinal original fk

• ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.

• observações kkk nfy σ+= , k=0,1,2,...,K-1,

Matricialmente, y=f+σn .

Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se

)()()( nfy DWTDWTDWT σ+= .

Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal.

SNR alta:

Eliminam-se as contribuições para a reconstrução dosinal em que o ruído é "comparável" ao sinal,mantendo apenas coeficientes wavelets onde acontribuição do sinal é "importante".

É comum o uso de um limiar abrupto (hard

threshold), contrário caso

|x| se 0)(

T

xxC

≤

= .


59

Algoritmo Waveshrink

P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações

via mkk Kyy /~ = .

P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.

P3. Aplique o operador C(x) nos coeficienteswavelet obtidos.

O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é

definido por:

contrário caso

T|x| seT|x|).x(Sgn)x(C mm >

−

=0 ,

em que Tm é um limiar.

P4. Efetue a transformada inversa de wavelet paraobter uma estimativa descontaminada do sinaloriginal. o


60

Figura. Waveshrink:descontaminação de sinais usando wavelets.

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das waveletscomo mecanismos de compressão:

Ø Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.

Ø padrão do FBI (Federal Bureau ofInvestigations) para o armazenamento deimpressões digitais.


61

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagemcomprimida por JPEG (28 KB);

(c) Imagem comprimida wavelets (5KB).


62

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de

Transmissão

Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na

detecção de faltas em linhas de transmissão,

inclusive na análise de faltas de difícil detecção

(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com

compensação série e faltas em linhas com

acoplamento mútuo).

A implementação de algoritmos de identificação

ou localização de faltas em linhas de transmissão

está baseada na configuração do sistema de

monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na

linha de transmissão, através do uso de registradores

digitais de perturbação.

Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e

Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym2.


63

• PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE

Novas wavelets Potenciais aplicaçõesWavelets em GF(p) Multiplex, Acesso múltiplo,

seqüências de DNA

Wavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSL

Wavelets de Chebyshev Análise em biomédica

(eletrogastrografia, ECG...)

Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN,

Imagens médicas

Wavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo

(antenas...)

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA

ANÁLISE DE SINAIS

• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS

hélio magalhães de oliveira , hmo@ufpehmo/slides_seminario.pdf · abordagem (pouco formal, mas...

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