hawkes learning systems math courseware specialists describiendo series datos de una variable...
TRANSCRIPT
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describiendo series datos de una variable
Capítulo 4
Copyright © 2010 by Hawkes Learning
Systems/Quant Systems, Inc.
All rights reserved.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Ch 4. Describing Data From One Variable
4.1 Measures of Location
Describing Data from One Variable
Sections 4.1-4.3a Measures of Location
Objetivos:
• Calcular la media, mediana y moda• Determinar la medida de centralidad más apropiada
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Medidas de Tendencia Central:
• Si consideramos una serie de datos como un grupo de valores que se agrupan alrededor de un valor central, entonces el valor central representa un punto focal para la serie,
• Desafortunadamente, la noción de valor central es un concepto vago, que ha sido definido tanto por la manera como es calculado como por la noción en sí misma.
• Existen varias medidas estadísticas que se utilizan para definir la noción del centro: la media aritmética, la media truncada (trimmed mean), la mediana y la moda
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
La media aritmética:
• Supongan que existen n observaciones en una serie de datos, que consisten en las observaciones ; la media aritmética es
• La media es lo que generalmente llamamos el “promedio” de una serie de datos.
• Para calcular la media, simplemente suma todos los valores y divide por el numero total de valores en la serie de datos.
• La media sólo debe ser utilizada para datos cuantitativos.
• Los datos extremos (outliers) tienen un fuerte efecto en la media.
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
1 2
1... .nx x x
n
1 2, ,..., nx x x
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
La media aritmética:
• Si utilizamos notación matemática, la fórmula puede ser simplificada a
donde es el i-ésimo valor de una serie de datos y sigma es la función sumatoria.
• Existen dos símbolos asociados con la media.
•
•
• Aquí se refiere al tamaño de la muestra y se refiere al
tamaño de la población. En todo caso, los cálculos se hacen de la misma manera.
ix
nix
1 2
1... nx x x x
n the , andsample mean
1 2
1... nx x x
N the .population mean
n N
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Ejemplo:
Calcula la media de las siguientes alturas:63, 68, 71, 67, 63, 72, 66, 67, 70
Solución:
Al calcular la media, redondea a una décima más de lo que digan los datos.
607
9
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Desviación:
• Dado un punto A y un punto x, entonces x – A representa qué tanto x se desvía de A. Esta diferencia se llama desviación.
• La tabla de abajo muestra las desviaciones de la media del siguiente conjunto de valores: 4, 10, 7, 15. La media de la serie de datos es 9.
Nota que la suma de las desviaciones es cero. Esto demuestra por qué la media es una medida de tendencia central. Si calculamos las desviaciones con respecto a cualquier otro valor, su suma no será cero.
1x = 4+10+7+15 = 9.
4
Valoresxi
Desviaciones de la media(xi – 9)
4 – 5 10 17 – 2
15 6
i 9 = 0x
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
La mediana:
• La mediana de una serie de datos es el valor mediano en un conjunto ordenado. Es decir, el mismo número de valores se encuentra en cada lado del valor mediano.
Ordena los datos en
orden ascendente
Cuenta el número de valores en los datos
La mediana es la suma de los dos valores
medianos dividido entre dos.
La mediana es el valor que se situa enmedio de
los datos.
El número de
valores es par
El número de
valores es non
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
a. 15 16 11 22 19 10 17 22
Calcula la mediana de los siguientes sets de datos
Solución:
10 11 15 16 17 19 22 22
b. 2.6 3.3 5.0 1.8 0.7 2.2 4.1 6.1 6.7
Solución:
0.7 1.8 2.2 2.6 3.3 4.1 5.0 6.1 6.7
16+17=
216.5
Ejemplo:
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
La media ajustada:
• The media ajustada ignora un porcentaje igual de los valores más altos y más bajos al calcular la media.
Para calcular una media 10%
ajustada, ordena los datos en
orden ascendente.
Borra 10% de los
valores más bajos
Borra 10% de los
valores más altos
Calcula la media aritmética de los
valores restantes (80%)
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Considera los siguientes datos
16 18 20 21 23 23 24 32 36 42
media = 25.5 mediana = 23Encuentra la media truncada al 10%
Debido a que tenemos 10 observaciones, remover los 10% de los mayores y menores valores significa remover sólamente la observación más alta y la más baja.
18+20+21+23+23+24+32+3610% trimmed mean = 8
=24.625
Ejemplo:
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
Solución:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Medidas resistentes:
• Las medidas estadísticas que no son afectadas por los outliers se dice que son resistentes.
• La media no es una medida resistente. • La media ajustada sí es una medida resistente
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
La moda:
• La moda de un data set es el valor que ocurre de manera más frecuente.
• La moda es la única medida de centralidad que puede ser utilizada para datos nominales. nominal data.
• Cuando una serie de datos tiene dos modas se dice que es bimodal.
• Cuando una serie de datos tiene más de dos modas se dice que es multimodal.
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
a. 63 68 71 67 63 72 66 67 70
Calcula la moda de cada set de datos.
b. 51 77 54 51 68 70 54 65 51
c. 1 5 7 3 2 0 4 6
Ejemplo:
Solución:
Existen dos modas: 63 y 67. El set de datos es bimodal.
Solución:
51 ocurre tres veces, 51 es la moda.
Solución:
Cada valor aparecer solamente una vez, no hay moda.
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• La distribución de los datos determina cómo se relacionan la media, la mediana y la moda.
• Para una distribución en forma de campana, la media, la mediana y la moda son idénticas.
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
La relación entre la media y la mediana:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• No todos los datos producen distribuciones normales o en forma de campana.
• Si la distribución de datos tiene una larga cola hacia la derecha, se dice que está sesgada a la derecha o positivamente.
• Al contrario, si la distribución tiene una cola larga hacia la izquierda, se dice que está sesgada a la izquierda o negativamente.
Si los datos están positívamente sesgados, la mediana será menos que la media.
Si los datos están negativamente sesgados, la mediana será mayor a la media.
Describing Data from One Variable
Section 4.1 Measures of Location
Distribuciones sesgadas:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
Escogiendo una medida de tendencia:
• El objetivo de usar estadística descriptiva es proveer medidas que ofrezcan información resumida útil sobre los datos.
• Al seleccionar un estadístico para representar el valor central del data set, el primer paso consiste en definir qué tipo de datos se están analizando.
• La media aritmética es frecuentemente, aunque no siempre, la medida más razonable de centralidad.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Medida de
ubicación
No sensible
Muy sensible
Media
Mediana
Moda
t-mean
Medida de ubicación
Nivel de medición aplicable
Cualitativo Cuantitativo
nominal ordinal intervalo ratio
Media
Mediana
Moda
t-mean
A la derecha se muestra una tabla que define los niveles de medición aplicables para cada medida de ubicación.
A la izquierda se muestra una tabla que define la sensibilidad ante los outliers para cada medida de ubicación.
Seleccionando una medida de ubicación:
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
Seleccionando una medida de tendencia central:
• La media y la mediana tienen el mismo valor cuando los datos son simétricos.
• Cuando los datos son nominales u ordinales, no se debe calcular la media.
• Cuando los datos tienen al menos un intervalo y no hay outliers, la media es una opción razonable.
• Cuando los datos se presentan de manera ordinal, la mejor opción es calcular la mediana.
• La mediana es una buena medida de tendencia central debido a que no es sensible a outliers.
• La mediana puede ser utilizada en todos los niveles de medición excepto el nominal.
• La moda puede ser utilizada en todos los niveles de medición, pero no es util para datos cuantitativos.
• Si los datos son nominales sólo hay una opción: la moda.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
Series de tiempo y medidas de centralidad
• La gráfica de abajo muestra los precios promedio de gasolina en una serie de años. En esta serie de tiempo no estacionaria, el valor central está aumentando
• Una manera de capturar este movimiento es con una media móvil
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
Media móvil:
• El promedio o media móvil (moving average) se obtiene al sumar observaciones consecutivas para un número de periodos y dividiendo el resultado entre el número de periodos incluídos en el promedio.
• La tabla muestra el precio promedio de gasolina en EEUU de 1991 a 2002 así como los promedios móviles de 2 y 3 periodos.
YearAverage US Gas Price
2 Period Moving Average
3 Period Moving Average
YearAverage US Gas Price
2 Period Moving Average
3 Period Moving Average
1991 1.09 1997 1.18 1.195 1.167
1992 1.10 1.095 1998 1.01 1.095 1.333
1993 1.07 1.085 1.087 1999 1.14 1.075 1.110
1994 1.08 1.075 1.083 2000 1.49 1.315 1.213
1995 1.11 1.095 1.087 2001 1.38 1.435 1.337
1996 1.21 1.160 1.133 2002 1.34 1.360 1.403
• La media móvil de 2 períodos para 1992:
1.09+1.10=1.095.2
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.2 Selecting a Measure of Location
Moving Average:
• The chart below displays the time series and the two and three-period moving averages.
• Noten que ambos promedios siguen la serie de tiempo de manera bastante cercana
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Ch 4. Describing Data From One Variable
4.1 Measures of Location
Describing Data from One Variable
Sections 4.1-4.3b Measures of Dispersion
Objetivo:
• Calcular el rango, varianza y desviación estandar.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Midiendo la variación:
• Varias de las medidas de variación utilizan el concepto de desviación de la media.
• Si la media es un punto focal (focal point) o base, úsala como una base común desde la cual calcular la variación.
• La distancia que existe entre un punto y la media se llama desviación de la media.
• La suma de las desviaciones positivas es igual a la suma de los valores absolutos de las desviaciones negativas.
• Las desviaciones siempre sumarán cero.
• Muchas de las medidas de variación promedian las desviaciones de alguna manera.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Data set: 3, 12, 20, 15, 0Media = 10
ValoresDesviaciones de la media
valor – media = desviación
3 3 – 10 =
12 12 – 10 =
20 20 – 10 =
15 15 – 10 =
0 0 – 10 =
– 7
2
10
5– 10
Ejemplo:
Las desviaciones de la media de un conjunto de datos se calculan en la tabla de abajo. Nota que la suma de las desviaciones es cero.
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Desviación absoluta de la media:
• La desviación media absoluta de la muestra (MAD) es
• Calcula la distancia promedio desde la media de un conjunto de datos.
• Si un conjunto de datos A tiene una desviación mayor a B, entonces es razonable creer que el conjunto de datos A tiene más variabilidad que el conjunto de datos B.
• Es una medida intuitiva de varianza. • Su desarollo teórico se ha dificultado debido a la dificultad que los
valores absolutos imponen al cálculo.• Es sensible a los outliers y no es una variable resistente.
. i -MAD =x x
n
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Supongan que seis personas participan en una carrera de 1000 metros. Sus tiempos, medidos en minutos, se muestran abajo. El tiempo medio es de 8.333 minutos. Calcula la desviación absoluta a la media
Time in min.
DeviationAbsoluteDeviation
% oftotal
4
10
9
11
9
7
Total
11.334Mean Absolute Deviation = =1.889 minutes.6
4 – 8.333 = – 4.33310 – 8.333 = 1.667 9 – 8.333 = 0.66711 – 8.333 = 2.667
9 – 8.333 = 0.6677 – 8.333 = – 1.333
4.3331.6670.6672.667
0.6671.333
11.334
38.2314.715.88
23.53
5.8811.77
100.00
4.333 100=38.2311.334
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Ejemplo:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Varianza y desviación estándar:
• La desviación estándar y la varianza son las medidas de variabilidad más comunes.
• La desviación estándar y la varianza también proveen medidas numéricas de cómo los datos varían alrededor de la media.
• Si los valores se encuentran comprimidos alrededor de la media, la desviación estándar y la varianza serán relativamente pequeñas.
• Si los valores se encuentran ampliamente dispersos alrededor de la media, la desviación estándar y la varianza serán relativamente altas.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Varianza:
• La varianza de un conjunto de datos que contiene el conjunto completo de la población se describe por:
Esto se llama la varianza de la población.
• La varianza de un conjunto de datos que contiene datos de la muestra se describe por:
Esto se conoce como varianza muestral
22 ( )
ix
N
22 ( )
1
ix x
sn
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Dados los siguientes tiempos en minutos de 6 personas en una carrera de 1000 metros, calcula la varianza muestral. La media muestral es 8.333
4, 10, 9, 11, 9, 7Data Desviaciones Squared
Deviations % of total
4
10
9
11
9
7
4 – 8.333 = – 4.333
10 – 8.333 = 1.667
9 – 8.333 = 0.667
11 – 8.333 = 2.667
9 – 8.333 = 0.667
7 – 8.333 = – 1.333
18.7749
2.7789
0.4449
7.1129
0.4449
1.7769
31.33
59.93
8.87
1.42
22.70
1.42
5.67
100.00Total
2 31.33= = =6.266 squared minutes.51
ix xs
n
Ejemplo:
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Desviaciones estándar:
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
• Existen dos medidas de varianza, así que hay dos desviaciones estándar..
• La desviación estándar muestral
• La desviación estándar poblacional
• Es importante recordar los símbolos anteriores eabido a que la desviación estándar es un concepto estadístico fundamental.
2=s s
2
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Desviación Estándar:
• La desviación estándar es la raíz cuadrada del promedio de la desviación cuadrada.
• También puede ser usada para medir qué tan lejanos están los valores con respecto a la media.
• Relativamente pocos valores estarán situados a más de dos unidades de desviación de la media.
• Como la varianza, la desviación estándar es sensible a los outliers.
• La presencia de outliers contamina la interpretación de la desviación estandar como una desviación típica.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.3 Measures of Dispersion
Rango:
• El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de una serie de datos
Ejemplo:
Calcula el rango de la siguiente serie de datos:
4, 6, 16, 9, 24, 8, 0, 12, 1
Solución:
El valor más alto es 24 y el más bajo es 0Rango = 24 – 0 = 24.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Objetivos:
• Determinar los percentiles y la ubicación de datos específicos.
• Encontrar los cuartiles de datos.
• Determinar el valor-z como una medida de posición relativa.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Percentil Pth:
• Dada una serie de datos x1, x2,…,xn, el percentil Pth es un valor X, tal que al menos el P por ciento de los datos es menor o igual a X y al menos (100-P) por ciento de los datos es mayor o igual a X.
• La medida más utilizada de posición relativa es el percentil.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Percentil Pth:
Para determinar el percentil Pth:• Ordena los datos del menor al menor. • Para encontrar la ubicación del percentil TPth en el conjunto
ordenado calcula
donde n es el número de observaciones de los valores ordenados.
• Si no es un número entero, redondea al siguiente mayor entero.
• SI es un entero, promedia el valor en la ubicación con los valores en la ubicación
• Recuerda, no es el percentil, es la ubicación del percentil en el conjunto ordenado.
100
P
n
1
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Ordena los datos en
orden ascendente.
Para encontrar el percentil Pth, calcula,
Donde n es el número de observaciones en los datos ordenados.
¿Es entero?
Redondea al siguiente
entero
Promedia el valor en la ubicación
Con el valor en la ubicación
Encuentra el valor en la ubicación
1
th
100
Pn
Sí
No
Determinando el percentil Pth :
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Encuentra el percentil 50th de la siguiente serie de datos.3, 5, 0, 1, 9, 2, 7
Solución:
Debido a que la ubicación no es un entero, el valor se redondea a 4.
50
7 = 3.5100
0, 1, 2, 3, 5, 7, 9
Por tanto, la cuarta observación en el conjunto ordenado sería la media
El valor medio (que corresponde el percentil 50th) es 3.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Encuentra el 50th percentil para la siguiente serie de datos.3, 5, 0, 1, 9, 2, 7, 6
Solución:
Debido a que la ubicación es un entero, promediamos el 4to y el 5to valor del conjunto ordenado.
El 50th percentil de esta serie de datos es 4
50
8 = 4100
0, 1, 2, 3, 5,6, 7, 9
3+5 8= =42 2
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Percentil:
• El percentil de un valor x está dado por:
100 xx number of data values percentile oftotal number of data values
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Encuentra el percentil de 45 para la siguiente serie de datos.
67, 45, 63, 58, 35, 54, 27, 66, 21, 48
Los valores menores o iguales a 45 son:
21, 27, 35, 45, 48, 54, 58, 63, 66, 67
El número de valores menores o iguales a 45 es 4.
4
percentile of 45 = 100 = 4 10 = 40.10
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Solución
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Cuartiles:
• Los percentiles 25th, 50th y 75th se conocen como cuartiles y se nombran Q1, Q2, y Q3.
• Los cuartiles sirven como marcadores para dividir los datos.
• Q1 separa al 25% más bajo
• Q2 representa la mediana (percentil 50th).
• Q3 marca el principio del 25% más alto
• Como los cuartiles no son más que percentiles, los construimos de la misma manera que éstos.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Encuentra Q1, Q2, and Q3 para la siguiente serie de datos:
50, 50, 62, 75, 77, 82, 86, 87, 88, 88
25
10 = 2.5100
Q1th rd = 25 percentile = 3 data value = 62.
= = = Q2th 77+82
250 percentile 79.5.
= = = Q3th th75 percentile 8 data value 87.
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Solución:
50
10 = 5100
75
10 = 7.5100
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Rango intercuartil:
• El rango intercuartil (interquartile range), que describe el rango del 50% mediano de los datos, es dado por:
Rango intercuartil = Q3 – Q1.
• Para el ejemplo anterior el rango intercuartil es 87 – 62 = 25.
• Un valor es considerado un outlier si es 1.5 veces mayor que el rango intercuartil arria del percentil 75th o 1.5 veces mayor que el rango intercuartil más bajo que el percentil 25th.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
• Un uso importante de los cuartiles es la construcción de box plots.• Los box plots son resúmenes gráficos de datos que parecen cajas.• Provee un método alternativo al histograma para mostrar datos.• Un box plot es un resúmen gráfico de tendencia central, la
distribución, el sesgo y la existencia potencial de outliers en los datos. • Abajo se presenta una box plot de la serie de datos anterior:
• El cuadro se construye a partir de 5 medidas: • el valor mayr• el valor menor• el percentil 25th
• el percentil 75th • la mediana
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Box Plots:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
12, 50, 62, 75, 77, 82, 86, 87, 88, 126
Q1 = 62, Q2 = 79.5, Q3 = 87, rango intercuartil = 25
Mayor que el 75th percentil + 1.5 veces el rango intercuartil= 124.5
62 1.5 25 = 24.5
Menor que el 25th percentil – 1.5 veces el rango intercuartil = 24.5
87+1.5 25 =124.5
Encuentra los outliers en esta serie de datos.
Los outliers de esta serie de datos son 12 y 126.
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Solución:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• El z-score transforma un valor en el número de desviaciones estándar que lo separan de la media
xz
• Describir el número de desviaciones estándar es un concepto fundamental en estadística.
• Se utiliza como una técnica de estandarización. • Si el z-score es negativo, el valor es menor a la media • Si el z-score es positivo, el valor es mayor a la media.• El z-score es una unidad de medida de libre.
mean
standard deviation
Remember:
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Valores-Z:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Curso Media
Desviación Estandar
Biology 74 10
Psychology 82 11
Supongan que obtienen un 86 en su examen de biología y un 94 en su examen de psicología. La media y la desviación estándar de los dos examenes se muestran a la derecha.
¿Cuáles son los z-scores de los dos exámenes? ¿En cuál fue mejor el resultado?
El z-score para el ex. de biología es:
El z-score para el ex. de psicología es:
z
86 74= =1.2.
10
z
94 82= =1.09.
11
Aunque el resultado bruto en el examen de psicología es mayor que el de biología, el desempeño en el examen de biología fue ligeramente menor
Describing Data from One Variable
Section 4.4 Measures of Relative Position
Ejemplo:
Solución:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• Calcular el coeficiente de variación y usarlo para comparar la variación de diferentes series de datos• Calcular la media, varianza y desviación estandar de datos agrupados. • Utilizar la regla empírica y el Teorema de Chebyshev para describir la variabilidad de los datos.
Describing Data from One Variable
Sections 4.5-4.10 Applying the Standard Deviation
Objectivo:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Regla de una sigma: aproximadamente 68% de los datos deben caer dentro de una desviación estándar de la media.Una desviación de más de una sigma se debe esperar una vez cada tres observaciones.
Si la distribución tiene forma de campana:
Regla de dos sigmas: aproximadamente 95% de los datos deben caer dentro de dos desviaciones de la media. Una desviación de más de dos sigmas se espera una vez cada veinte observaciones.
Regla de tres sigmas: aproximadamente 99.7% de los datos deben caer dentro de tres desviaciones estándar de la media. Una desviación de más de tres sigmas se espera aprox. una vez cada 333 observaciones, un poco menos que 0.3% de las veces.
Describing Data from One Variable
Section 4.5 Using the Standard Deviation
Regla Empírica:
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• La proporción de cualquier serie de datos que caiga dentro de desviaciones estándar de la media es al menos:
2 .k
k
11 , for 1
k
• = 2: Al menos (o 75%) de los valores caen dentro de 2 desviaciones estándar de la media para cualquier serie de datos.
k 2
1 31 =
2 4
• = 3: Al menos (o 88.9%) de los valores caen dentro de 3 desviaciones estándar de la media, para cualquier serie de datos.
Describing Data from One Variable
Section 4.5 Using the Standard Deviation
Teorema de Chebyshev:
k 2
1 81 =
3 9
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• El coeficiente de variación compara la variación en las series de datos • Para datos muestrales:
• Para una población:
• El coeficiente de variación estandariza la medida de variación.
Describing Data from One Variable
Section 4.8 The Coefficient of Variation
Coeficiente de variación:
% s
CVx
100
%
CV 100
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• Encontrar la media de datos agrupados implica encontrar el punto medio de cada una de las clases en la distribución de frecuencia y ponderar cada uno de estos puntos medios por el número de observaciones en la clase.
• Para una población, la media de datos agrupados se da por:
• Si los datos agrupados representan observaciones muestrales la media se da por:
Describing Data from One Variable
Section 4.9 Analyzing Grouped Data
Encontrando la media de datos agrupados:
.i if M
N
.i if Mx
n
i
i
i
f
N N f
M
n
i
i
th
th
number of observations in the group,
the total number of observations in all classes, ,
midpoint of the class, and
the number of observations in the sample.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• La varianza de población para datos agrupados se representa de la siguiente manera:
• La varianza muestral por:
Describing Data from One Variable
Section 4.9 Analyzing Grouped Data
Encontrando la varianza de datos agrupados:
i
i
i
f
N N f
M
n
i
i
th
th
number of observations in the group,
the total number of observations in all classes, ,
midpoint of the class, and
the number of observations in the sample.
2
2 222 .
i i
i ii i i i
f Mf M f M f MN
N N N
2
2
2 .1
i i
i i
f Mf M
nsn
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
• Una proporción mide la fraccion de un grupo que posee cierta característica
• Para calcular una proporción, simplemente cuenta el número del grupo que posee dicha característica y divide entre el número en el grupo.
ˆ
X
N
n
Xp
NX
pn
number that possess the characteristic
number in the population
number in the sample, then
the population proportion, and
the sample proportion.
p̂
Describing Data from One Variable
Section 4.10 Proportions
Proporciones:
• El símbolo se le llama p-hat o “p gorro”.
HAWKES LEARNING SYSTEMS
math courseware specialists
Supongan que su clase de estadística se compone de 48 estudiantes de los cuales 4 son zurdos. ¿Qué proporción de la clase es zurda? ¿Qué proporción es diestra?
=X
pN
4
.08348
.083 es la proporción de personas en la clase que es zurda
Xp
N
44.917
48
.917 es la proporción de personas en la clase que es diestra.
Ejemplo:
Describing Data from One Variable
Section 4.10 Proportions
Solución: