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HAWKES LEARNING SYSTEMS

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Capítulo 7

Distribuciones de Probabilidad, valor esperado y varianza



Probability Distributions: Information about the Future

Section 7.1 Types of Random Variables

Objetivos:

• Definir variables aleatorias discretas.

• Definir variables aleatorias continuas

• Describir la notación probabilística.



• Variable aleatoria – un resultado numérico de un proceso aleatorio.

• Distribución probabilística – un modelo que describe un tipo específico de proceso aleatorio.

• Variable aleatoria discreta– una variable aleatoria que tiene un número fijo de posibles resultados.

• Variable aleatoria continua – una variable aleatoria que puede asumir cualquier valor en un segmento continuo del eje de números reales.

Definiciones:





Variables aleatorias discretas:

• Para describir una variable aleatoria discreta:

• Indica la variable.• Enlista todos los posibles valores de la variable.• Determina las probabilidades de estos valores.

Notación para variables aleatorias:

• Letras mayúsculas, como X, se utilizarán para referirse a una variable aleatoria, mientras que letras minúsculas, como x, se referirán a valores específicos de la variable aleatoria. Con frecuencia, los valores específicos tendrán subíndices,

1 2, , ... , .nx x x





Ejemplo:

Lanza un dado y observa el resultado.

Enlista los tres pasos:

• Indica la variable: X = el resultado del dado lanzado.

• Enlista los posibles valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6. En este caso,

• Determina la probabilidad de obtener cada valor.

1 1,x

Value of X Probability161616161616

1

2

3

4

5

62 2,x 3 3,x 4 4,x 5 5,x 6and 6.x





Describir una variable aleatoria continua:

•Tiempo entre fallos. Calcula el tiempo entre instalar una luz de freno en tu auto y que la luz deje de funcionar.• Definir una variable aleatoria continua es muy similar a definir una variable aleatoria discreta.

• Indentifica la variable aleatoria:

X = tiempo que transcurre entre la instalación y el fallo.

• Indentifica el rango de valores:

Entre cero e infinito, nota que X se mide como una escala continua.

• Define la densidad probabilística: Desconocida, pero probablemente estaría modelada

por datos históricos y estaría distribuida exponencialmente.

• Nota: para variables aleatorias continuas especificamos las probabilidades con funciones de densidad probabilística.





Chapter Name

Section ## Section Name


Section 7.2 Discrete Probability Distributions

Objetivos:

• Describir las características de variables aleatorias discretas.



• Distribución Discreta de Probabilidad– todos los posibles valores de una variable aleatoria con sus probabilidades asociadas.

Definición:

Características de las distribuciones discretas de probabilidad:

• La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1• La probabilidad de cualquier valor debe estar entre 0 y 1, incuyéndolos.





Crear una distribución de probabilidad para X, el número de caras si se lanza una moneda 4 veces.

Solución:• Para empezar, enlistar todos los posibles valores de X.• Luego, encontrar la distribución de probabilidad, se necesita

calcular la probabilidad de cada resultado.

Lanzar una moneda

x P(X=x) Eventos Simples

0

1

2

3

4

1

164

166

16

1

16

4

16

TTTT

HTTT

HHHH

TTHT

HHHT HHTH HTHH

TTHH THHT THTH HTHT

THTT

HTTHHHTT

THHH

TTTH

1.0P x



Ejemplo:



La distribución de probabilidad del precio de una acción 30 días a partir de ahora es la siguiente. Encuentra la probabilidad de que el precio de una acción sea mayor a $56.

Precios de Acción

x P(X=x)

54.5 .05

55.0 .10

55.5 .25

56.0 .30

56.5 .20

57.0 .10

1.0P x

Con base en la distribución de probabilidad, la probabilidad de que el precio de la acción sea mayor a $56 en treinta días se calcula así:

56 56.5 57.0P X P X P X

.20 .10

.30



Ejemplo:

Solución:




Section 7.3 Expected Value

Objetivos:

• Definir y describir el valor esperado de una variable aleatoria discreta.



Valor esperado:

• El valor esperado de la variable aleatoria X es la media de la variable aleatoria X. Se denota E(X).

, where .E X x p x p x P X x





John vende coches. Calcula el valor esperado del número de coches que John vende cada día.

Ventas de coches

x P(X=x)

0

1

2

3

4

.15

.30

.35

.15

.05

x X xP

Solución:

E X x P X x

0 .15 1 .30

2 .35 3 .15

4 .05

0

0

0.30

0.70

0.45

0.20

0.30 0.70 0.450.20

1.65 1.65E X



Ejemplo:



Estás tratando de elegir entre dos opciones de

inversión. Los dos planes se muestran en la tabla de

abajo. La columna de la izquierda describe la ganancia

potencial de cada plan y la columna de la derecha sus

respectivas probabilidades. ¿Qué plan escogerías?

Ejemplo:

Valor esperado

Inversión A Inversión B

Ganancia Probabilidad Ganancia Probabilidad

$1200 .1 $1500 .3

$950 .2 $800 .1

$130 .4 –$100 .2

–$575 .1 –$250 .2

–$1400 .2 –$690 .2





Solución:

• Resulta dificil determinar qué plan es mejor simplemente observando la tabla. • Utilicemos el valor esperado para comparar los planes.

Para la Inversión A:

Para la Inversión B:

E(X) = (1200)(.1) + (950)(.2) + (130)(.4) + (–575)(.1) + (–1400)(.2)

= 120 + 190 + 52 – 57.50 – 280

= $24.50

E(X) = (1500)(.3) + (800)(.1) + (–100)(.2) + (–250)(.2) + (–690)(.2)

= 450 + 80 – 20 – 50 – 138

= $322.00 B es la mejor opción






Section 7.4 Variance of a Discrete Random Variable

Objetivos:

• Definir y describir la varianza de una variable aleatoria discreta.



Varianza de Variables Aleatorias DIscretas:

-V X x p x 2=

• La desviación estandar se calcula sacando la raíz cuadrada de la varianza:

Standard Deviation= V X

• En inversiones, la varianza refleja un mayor riesgo.





Varianza de una Variable Aleatoria

Inversión A Inversión B

Ganancia Probabilidad Ganancia Probabilidad

$1200 .1 $1500 .3

$950 .2 $800 .1

$130 .4 –$100 .2

–$575 .1 –$250 .2

–$1400 .2 –$690 .2

Para determinar el riesgo, debemos calcular la varianza de cada inversión.

Determinar el riesgo:





Solución:Para la inversión A:

Varianza de una Variable Aleatoria

Inversión A

Ganancia Probabilidad

$1200 .1

$950 .2

$130 .4

–$575 .1

–$1400 .2

-x p x 2

24.50A AE X

21200 24.50 0.1

2950 24.50 0.2

2130 24.50 0.4

2575 24.50 0.1

21400 24.50 0.2

138,180.03

171,310.05

4452.10

35,940.03

405,840.05

$755,722.26V X

Standard Deviation 755,722.24 $869.32V X





Solución:

Para la inversión B:

Varianza de una variable aleatoria

Inversión B

Ganancia Probabilidad

$1500 .3

$800 .1

–$100 .2

–$250 .2

–$690 .2

-x p x 2

322B BE X

21500 322 0.3

2800 322 0.1

2100 322 0.2

2250 322 0.2

2690 322 0.2

416,305.20

22,848.40

35,616.80

65,436.80

204,828.80

$745,036.00V X

Standard Deviation 745,036.00 $863.15V X





Solución:

Debido a que en términos de riesgo, la Inversión B se considera una mejor opción porque conlleva ligeramente menor riesgo.

755,722.26 745,036.00 ,A BV X V X






Section 7.7 The Binomial Distribution

Objetivos:

• Definir una variable aleatoria binomial.

• Calcular probabilidades utilizando una distribución binomial.

• Calcular el valor esperado de una variable aleatoria binomial.

• Calcular la varianza de una variable aleatoria binomial.



Definiciones:

• Experimento Binomial– un experimento aleatorio que satisface las condiciones siguientes:

i) Existen solamente dos resultados en cada ensayo del experimento. (Uno de ellos es generalmente llamado éxito, y el otro fracaso).

ii) El experimento consiste en n ensayos idénticos como se describe en la Condición 1.

iii) La probabilidad de éxito de cada ensayo se denota p y no cambia de ensayo a ensayo. (Nota que la probabilidad de fracaso es 1−p y tampoco cambia de ensayo a ensayo)

iv) Los ensayos son independientes.

v) La variable aleatoria binomial X representa el número de éxitos en cada n ensayos.





Lanza una moneda 5 veces y observa el número de caras. Define el experimento en términos de nuestra definición de un experimento binomial.

i. Existen solamente dos posibles resultados, caras o cruces.

ii. El experimento consistirá en lanzar la moneda 5 veces.

(Hence: n = 5.)

iii. La probabilidad de obtener cara (éxito) es y no cambia de

ensayo a ensayo. (Por tanto: p = .)

iv. El resultado de una lanzada no afectará a las demás.v. La variable de interés es el número de caras obtenidas al

lanzar la moneda 5 veces.

1

21

2



Ejemplo:

Solución:



Lanza una moneda 4 veces y observa el número de caras. Construye la distribución de probabilidad para el número de caras.

Lanzar una moneda

EventosNúmero de caras

Probabilidad

HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH

TTTT

HTTT, THTT, TTHT, TTTH

THHH, HTHH, HHTH, HHHT

HHHH

0

1

2

3

4

1

16

4

16

6

16

4

16

1

16



Ejemplo:

Solución:



Definir la función de probabilidad de distribución binomial así:

representa el número de combinaciones de n objectos tomando x en un tiempo determinado y se expresa por

!, where ! 1 2 ...1 and 0!=1.

! !nx

nC n n n n

x n x

1

n xn xxP X x C p p

where the number of trials,n

nxC

the number of successes, andx the probability of success.p



Función probabilística de distribución binomial:

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 cruces si se

lanza 18 veces la moneda?

Ejemplo:



Solución:

n = 18, p = .5, x = 7

1

n xn xxP X x C p p

7 18 7

187

1 17

21

2P X C

7 1118! 1 1

11!7! 2 2



Un experto en control de calidad en una fábrica estima que 10%

de todas las baterías producidas son defectuosas. Si se toma

una muestra de 20 baterías, ¿cuál es la probabilidad de que no

más de 3 sean defectuosas?

Ejemplo:



Solución:

n = 20, p = .1, x = 3, esta vez debemos observar la probabilidad de que no más de tres sean defectuosas, osea

P(X ≤ 3).

0 1 33 2P X P X P X P X P X

0 20 1 1920 200 1

2 18 3 1720 202 3

0.1 0.9 0.1 0.9

0.1 0.9 0.1 0.9

C C

C C

0.867





Fórmulas:

El valor esperado binomial y la varianza pueden ser definidos con las siguientes formulas.

E X np 1V X np p

Ejemplo:

Un experto en control de calidad en una fábrica estima que 10%

de todas las baterías producidas son defectuosas. Si se toma

una muestra de 20 baterías, ¿cuál es el valor esperado, la

varianza y la desviación estándar del número de baterías

defectuosas?Solución:

20, .1n p 20 0 2.1E X

120 0. 11 1 .80.V X

Standard Deviati 1.8on= 1.34V X






Section 7.8 The Poisson Distribution

Objetivos:

• Definir una variable aleatoria Poisson.

• Calcular probabilidad utilizando una distribución de Poisson.



Definiciones:

• Distribución de Poisson– una distribución discreta de probabilidad que utiliza un intervalo de tiempo o espacio fijo en el que el número de éxitos es registrado.

donde

• En la distribución de Poisson

, for 0,1,2,...!

xeP X x x

x

2.71828..., and

average number of "successes".

e

.E X V X



1. Los éxitos deben ocurrir uno a la vez.

2. Cada éxito debe ser independiente de cualquier otro.



Pautas para la Distribución de Poisson:

Al calcular una distribución de Poisson, redondea tus respuestas a 4 decimales.



Supón que la conexión a Internet en tu casa falla en promedio

0.75 veces cada hora. Si planeas conectarte a internet durante

3 horas en la tarde, ¿cuál es la probabilidad de que te

mantendrás conectado todo el tiempo? Asume que las fallas de

conexión siguen una distribución de Poisson.

Ejemplo:



Solución:

x = 0, (0.75)(3) = 2.25

0.1054



Un mecanógrafo comete en promedio 1 error tipográfico por

párrafo. Si el documento tiene 4 párrafos, ¿cuál es la

probabilidad de que existan menos de 5 errores?

Ejemplo:



Solución:

x < 5, =Esta vez tenemos que observar la probabilidad de que ocurran menos de 5 errores, lo que es P(X < 5).

(4)(1) = 4

P(X < 5) = P(X ≤ 4)

0.6288



Un restaurante de comida rápida en promedio realiza dos órdenes

incorrectas cada 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan

al menos 3 órdenes incorrectas en cualquier día entre 11 AM y 11PM?

Asume que los errores siguen una distribución de Poisson.

Ejemplo:



Solución:

x ≥ 3, =

Esta vez debemos analizar la probabilidad de que al menos tres órdenes incorrectas ocurran, lo que es P(X ≥ 3).

(3)(2) = 6

P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3)

= 1 – P(X ≤ 2)

0.9380



! ! !

0 1 26 6 66 6 6

10 1 2

e e e



Objetivos:

• Definir una variable aleatoria hipergeométrica.

• Calcular probabilidades utilizando distribuciones

hipergeométricas.

• Calcular el valor esperado de una variable aleatoria

hipergeométrica.

• Calcular la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica.


Section 7.9 The Hypergeometric Distribution

• Distribución hipergeométrica – una función de probabilidad especial discreta para problemas con un número fijo de ensayos dependientes y un número específicos de éxitos.



Definiciones:

• Al calcular la distribución hipergeométrica, redondea tus respuestas a 4 valores decimales.

, where 0 min ,A N Ax n x

Nn

C CP X x x A n

C

the total number of successes possibleA the size of the population, andN the size of the sample drawn.n



1. Cada ensayo consiste en seleccionar uno de los N elementos en la población y resulta en un éxito o un fracaso.

2. El experimento consiste en n ensayos.

3. El número total de posibles éxitos en la población es A.

4. Los ensayos son dependientes. (i.e., las selecciones se realizan sin reemplazos)



Pautas para Distribuciones Hipergeométricas:



En el supermercado local hay 50 cajas de cereal en el estante,

la mitad de las cuales contiene un premio. Supón que compras

4 cajas de cereal. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 cajas

contengan un premio?

Ejemplo:



A = 25, x = 3, N = 50, n = 4

25 50 253 4 3

504

3C C

P XC

25 253 1

504

C C

C

2300 25

2303000.2497



Solución:



Un distribuidor de productos ofrece 10 cajas de manzanas

Granny Smith y 8 cajas de manzanas Golden Delicious. Si se

entregan 6 cajas a un mercado local, seleccionadas de manera

aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de las

cajas contengan manzanas Golden Delicious?

Ejemplo:

Solución:

A = 8, x ≥ 4, N = 18, n = 6

4 5 64P X P X P X P X 8 18 8 8 18 8 8 18 84 6 4 5 6 5 6 6 6

18 18 186 6 6

C C C C C C

C C C

70 45 56 10 28 1

18564 18564 18564

0.2014





Fórmulas:

El valor esperado hipergeométrico y la varianza pueden ser definidos con las siguientes fórmulas.

AE X n

N

11

N nA AV X n

N N N





Ejemplo:

Un distribuidor de productos ofrece 10 cajas de manzanas Granny Smith y 8 cajas de manzanas Golden Delicious. Si se entregan 6 cajas a un mercado local, elegidas aleatoriamente, ¿cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución?

Solución:

A = 8, N = 18, n = 6

E X8

618

8

3

V X 18 68 8

618 18 18

11

160

153



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